二次函数一般式与顶点坐标公式练习
顶点式专题训练(含答案解析)
顶点式专题训练（含答案解析）一、填空题（本大题共3小题，共9.0分）x2−x+3用配方法化成y=a(x−ℎ)2+k的形式是______ ；该二次函数图象的顶点坐标是1.把二次函数y=−14______ ．2.将二次函数y=x2−2x化为顶点式的形式为：______ ．3.把二次函数y=x2−2x−1配方成顶点式为______ ．二、解答题（本大题共12小题，共96.0分）4.已知二次函数y=−2x2+8x−6，完成下列各题：(1)将函数关系式用配方法化为y=a(x+ℎ)2+k的形式，并写出它的顶点坐标、对称轴；(2)它的图象与x轴交于A，B两点，顶点为C，求S△ABC．5.已知二次函数y=−2x2+8x−4，完成下列各题：(1)将函数关系式用配方法化为y=a(x+ℎ)2+k形式，并写出它的顶点坐标、对称轴．(2)若它的图象与x轴交于A、B两点，顶点为C，求△ABC的面积．6.已知二次函数y=x2−6x+8．(1)将解析式化成顶点式；(2)写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；(3)x取什么值时，y随x的增大而增大；x取什么值时，y随x增大而减小．7.已知二次函数y=x2+2x−3．(1)将y=x2+2x−3用配方法化成y=a(x−ℎ)2+k的形式；(2)求该二次函数的图象的顶点坐标．8.用配方法将二次函数化成y=a(x−ℎ)2+k的形式，并写出顶点坐标和对称轴①y=2x2+6x−12②y=−0.5x2−3x+3．9.已知二次函数y=x2−6x+5．(1)将y=x2−6x+5化成y=a(x−ℎ)2+k的形式；(2)求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；(3)当y>0时，求x的范围．10.已知二次函数y=2x2−8x+6．(1)把它化成y=a(x−ℎ)2+k的形式为：______ ．(2)直接写出抛物线的顶点坐标：______ ；对称轴：______ ．(3)求该抛物线于坐标轴的交点坐标．11.(1)解方程：12x(x−1)−(x−1)=0．(2)已知抛物线y=−2x2+8x−6，请用配方法把它化成y=a(x−ℎ)2+k的形式，并指出此抛物线的顶点坐标和对称轴．12.已知二次函数y=−12x2+x+32．(1)用配方法将此二次函数化为顶点式；(2)求出它的顶点坐标和对称轴方程．13.用配方法把二次函数y=x2−3x−4化成y=a(x−ℎ)2+k的形式，并写出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．14.用配方法把函数y=−3x2−6x+10化成y=a(x−ℎ)2+k的形式，然后指出它的图象开口方向，对称轴，顶点坐标和最值．15.已知二次函数y=x2−4x+3．(1)将函数化成y=(x−ℎ)2+k的形式；(2)写出该函数图象的顶点坐标和对称轴．答案和解析【答案】(x+2)2+4；(−2,4)1. y=−142. y=(x−1)2−13. y=(x−1)2−24. 解：(1)y=−2x2+8x−6=−2(x2−4x+3)=−2(x2−4x+4−4+3．=−2(x−2)2+2，∴顶点坐标为(2,2)，对称轴为直线x=2．(2)令−2(x−2)2+2=0解得：x1=3，x2=1．∴A(3,0)，B(1,0)∴AB=3−1=2．∴C(2,2)，×2×2=2．∴S△ABC=125. 解：(1)y=−2x2+8x−4=−2(x2−4x)−4=−2(x2−4x+4−4)−4=−2(x−2)2+4.所以，抛物线的顶点坐标为(2,4)，对称轴为直线x=2．(2)令y=0得−2(x−2)2+4=0，(x−2)2=2，所以x−2=±√2，所以x1=2+√2，x2=2−√2．所以与x轴的交点坐标为A(2+√2,0)，B(2−√2,0)．×[(2+√2)−(2−√2)]×4=4√2．∴S△ABC=126. 解：(1)y=x2−6x+8=x2−6x+9−1=(x−3)2−1；(2)开口向上，对称轴是x=3，顶点坐标是(3,−1)；(3)x>3时，y随x的增大而增大；x<3时，y随x增大而减小．7. 解：(1)y=x2+2x−3=x2+2x+1−1−3 =(x+1)2−4．(2)∵y=(x+1)2−4，∴该二次函数图象的顶点坐标是(−1,−4)．8. 解：①y=2x2+6x−12=2(x+32)2−332，则该抛物线的顶点坐标是(−32,−332)，对称轴是x=−32；②y=−0.5x2−3x+3=−12(x+3)2+152，则该抛物线的顶点坐标是(−3,152)，对称轴是x=−3．9. 解：(1)y=x2−6x+5=x2−6x+9−4=(x−3)2−4；(2)∵y=(x−3)2−4，∴该二次函数图象的对称轴是直线x=3，顶点坐标是(3,−4)；(3)x2−6x+5=0，x1=1，x2=5，当x<1或x>5时，y>0．10. y=2(x−2)2−2；(2,−2)；x=211. 解：(1)12x(x−1)−(x−1)=0，分解因式得：(x−1)(12x−1)=0，可化为：x−1=0或12x−1=0，解得：x1=1，x2=2；(2)∵y=−2x2+8x−6=−2(x2−4x+4)+8−6=−2(x−2)2+2，∴此抛物线的顶点坐标是(2,2)，对称轴为直线x=2．12. 解：(1)二次函数y=−12x2+x+32=−12(x−1)2+2；(2)∵二次函数y=−12(x−1)2+2，∴二次函数的顶点坐标为(1,2)，抛物线的对称轴为x=1．13. 解：y=x2−3x−4=(x−32)2−254，则函数图象的开口方向向上，对称轴是x=32，顶点坐标(32,−254).14. 解：∵y=−3x2−6x+10=−3(x+1)2+13，∴开口向下，对称轴x=−1，顶点坐标(−1,13)，最大值13．15. 解：(1)y=x2−4x+4−4+3=(x−2)2−1；(2)图象的顶点坐标是(2,−1)，对称轴是：x=2．【解析】1. 解：y=−14x2−x+3=−14(x2+4x)+3=−14(x+2)2+4，∴顶点(−2,4)．(x+2)2+4，(−2,4)．故答案为：y=−14利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式，可把一般式转化为顶点式，从而得出顶点坐标．此题考查了二次函数表达式的一般式与顶点式的转换，并要求熟练掌握顶点公式．2. 解：y=x2−2x=x2−2x+1−1=(x−1)2−1，故答案为y=(x−1)2−1．利用配方法把二次函数的一般形式配成二次函数的顶点式．本题考查的是二次函数的三种形式，题目中给出的是一般形式，利用配方法可以化成顶点式．3. 解：y=x2−2x−1=(x2−2x+1)−1−1=(x−1)2−2，故选答案为y=(x−1)2−2．由于二次项系数为1，所以直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．本题考查了二次函数的解析式有三种形式：(1)一般式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)；(2)顶点式：y=a(x−ℎ)2+k；(3)交点式(与x轴)：y=a(x−x1)(x−x2).4. (1)利用配方法整理成顶点式，然后写出顶点坐标和对称轴即可；(2)令y=0解关于x的一元二次方程，即可得到与x轴的交点坐标，然后利用三角形的面积公式计算即可；本题考查了二次函数的三种形式，二次函数的性质，二次函数图象与x轴的交点问题，熟练掌握配方法的操作整理成顶点式形式求出顶点坐标和对称轴更加简便．5. (1)利用配方法即可解决问题；(2)求出A、B、C三点坐标即可解决问题；本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．6. (1)利用配方法将解析式化成顶点式；(2)根据二次函数的性质解答；(3)根据抛物线的开口方向、对称轴以及二次函数的性质解答．本题考查的是二次函数的三种形式、配方法的应用以及二次函数的性质，灵活运用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．7. 本题考查了二次函数的性质以及二次函数的三种形式.二次函数的解析式有三种形式：①一般式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)；②顶点式：y=a(x−ℎ)2+k；③交点式(与x轴)：y=a(x−x1)(x−x2).(1)利用配方法先加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，再把一般式转化为顶点式即可；(2)根据顶点坐标的求法，得出顶点坐标即可；8. ①②利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式，可把一般式转化为顶点式，从而得出顶点坐标和对称轴．此题考查了二次函数表达式的一般式与顶点式的转换，并要求熟练掌握顶点公式和对称轴公式．9. (1)利用配方法把一般式化为顶点式；(2)根据二次函数的性质解答；(3)求出x2−6x+5=0的解，解答即可．本题考查的是二次函数的三种形式、二次函数的性质，灵活运用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．10. 解：(1)y=2x2−8x+6=2(x2−4x+4)−8+6=2(x−2)2−2；(3)∵y=2x2−8x+6，∴当y=0时，2x2−8x+6=0，解得x1=1，x2=3，∴抛物线与x轴的交点坐标为(1,0)，(3,0)；当x=0时，y=6，∴抛物线与y轴的交点坐标为(0,6)．故答案为y=2(x−2)2−2；(2,−2)，x=2．(1)利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式；(2)根据二次函数的性质，利用二次函数的顶点式即可求出抛物线的顶点坐标与对称轴；(3)把y=0代入y=2x2−8x+6，解方程求出x的值，从而得到抛物线与x轴的交点坐标；把x=0代入y=2x2−8x+6，求出y的值，从而得到抛物线与y轴的交点坐标．本题考查了二次函数的解析式有三种形式：(1)一般式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)；(2)顶点式：y=a(x−ℎ)2+k；(3)交点式(与x轴)：y=a(x−x1)(x−x2).同时考查了二次函数的性质以及抛物线与坐标轴交点坐标的求法．11. (1)先将把方程左边化为两个一次因式积的形式，然后根据两数相乘积为0，两因式至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出方程的解即可得到原方程的解；(2)先利用配方法提出二次项系数，加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式，再根据二次函数的性质即可写出抛物线的对称轴和顶点坐标．本题考查了二次函数解析式的三种形式，二次函数的性质及解一元二次方程−因式分解法，难度适中．12. (1)利用配方法将二次函数的一般式变形为顶点式，此题得解；(2)根据二次函数的顶点式，结合二次函数的性质即可得出顶点坐标以及对称轴．本题考查了二次函数的三种形式以及二次函数的性质，利用配方法将二次函数的一般式变形为顶点式是解题的关键．13. 运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答即可．本题考查的是二次函数的三种形式，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键，14. (1)这个函数的二次项系数是−3，配方法变形成y=(x+ℎ)2+k的形式，配方的方法是把二次项，一次项先分为一组，提出二次项系数−3，加上一次项系数的一半，就可以变形成顶点式的形式．(2)二次函数的一般形式中的顶点式是：y=a(x−ℎ)2+k(a≠0，且a，h，k是常数)，它的对称轴是x=ℎ，顶点坐标是(ℎ,k)．本题主要是对抛物线一般形式中对称轴，顶点坐标的考查，是中考中经常出现的问题．15. (1)把一般式利用配方法化为顶点式即可；(2)利用顶点式求得顶点坐标和对称轴即可．此题考查二次函数的解析式的三种形式：(1)一般式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)；(2)顶点式：y=a(x−ℎ)2+k；(3)交点式(与x轴)：y=a(x−x1)(x−x2).。
二次函数知识点总结及练习题
二次函数考点1、二次函数的概念定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 注意： （1）二次函数是关于自变量x 的二次式，二次项系数a 必须为非零实数，即a ≠0， 而b 、c 为任意实数。
（2）当b=c=0时，二次函数2ax y =是最简单的二次函数。
（3）二次函数c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a 自变量的取值为全体实数 （c bx ax ++2为整式）例1： 函数y=（m ＋2）x 22-m ＋2x －1是二次函数，则m= _______．例2：已知函数y=ax 2＋bx ＋c （其中a ，b ，c 是常数），当a____时，是二次函数；当a______，b_____时，是一次函数；当a_______，b_______，c_________时，是正比例函数．例3：函数y=（m －n ）x 2＋mx ＋n 是二次函数的条件是（ ）A ．m 、n 为常数，且m ≠0B ．m 、n 为常数，且m ≠nC ．m 、n 为常数，且n ≠0D ．m 、n 可以为任何常数 例4： 下列函数中是二次函数的有（ ）①y=x ＋x 1；②y=3（x －1）2＋2；③y=（x ＋3）2－2x 2；④y=2x1＋x ． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个考点2、三种函数解析式：（1）一般式： y=ax 2+bx+c （a ≠0），对称轴：直线x=ab 2- 顶点坐标：( a b ac a b 4422--，) （2）顶点式：()k h x a y +-=2（a ≠0）， 对称轴：直线x=h 顶点坐标为（h ,k ）（3）交点式：y=a （x-x1）（x-x2）（a ≠0）,对称轴:直线x=22x1x + (其中x1、x2是二次函数与x 轴的两个交点的横坐标).例1：抛物线822--=x x y 的顶点坐标为____________；对称轴是___________。
广东省广州市 人教版 九年级上 数学 二次函数一般式化顶点式题目方法及练习题
二次函数一般式2y ax bx c =++化成()2y a x h k =-+的形式一．基础知识：1.（1）完全平方公式：222a ab b ±+=()2a ±——（2）()226_____x x x ++=+ （3）()223______x x x -+=-（4）()222____x x x ++=+ （5）()224____x x x -+=-二、基础知识练习1.类型一：1,a b ==偶数例1.用配方法将抛物线261y x x =-+-化成顶点式，并写出开口方向、顶点坐标、对称轴。
举一反三：用配方法将抛物线281y x x =-+化成()2y a x h k =-+的形式，并写出开口方向、顶点坐标、对称轴。
类型二：1,a b ==奇数例2.求抛物线21y x x =++的顶点坐标。
举一反三：求抛物线232y x x =-+的顶点坐标。
类型三：1a ≠例3.求二次函数221210y x x =-+-的最大值举一反三：求二次函数23123y x x =--的最小值。
例4.求抛物线21232y x x =--+的顶点坐标。
举一反三：求抛物线23+12y x x =-+的顶点坐标。
三、过关练习：1.求抛物线243y x x =--的顶点坐标2.将抛物线22y x x =-化成()2y a x h k =-+的形式为（ ）A.()211y x =-+ B. ()211y x =-- C. ()214y x =++ D.()214y x =--3.已知抛物线228y x x =+。
（1）化成顶点式为_________ (2)顶点坐标为_________ (3)当x ________时，y 的最_______值__________;(4)当x________时，y 随x 的增大而增大。
4.二次函数2112y x x =---的图像可由抛物线212y x =-怎样平移得到？5.抛物线222y x x =-++。
二次函数的一般式化为顶点式
2020年3月26日星期四
5
将抛物线 y 3x2向左平移2个单位
再向下平移5个单位就得到 y 3 x 22 5 的图 象，将 y 3 x 22 5 化为一般式为
y 3x2 12x 7 ，那么如何将抛物线 y 3x2的图 像移动，得到的 y 3x2 12x 7 图像呢？
2020年3月26日星期四
2020年3月26日星期四
13
y=ax2+bx+c =a(x2+ b x)+c
a
=
a[x2+
b
a x+
( b )2]-
2a
( b )2a +c
2a
=a(x+ b )2+ 4ac b2
2a
4a
14
求下列二次函数图像的开口、顶点、对称轴
①y=2x2-5x+3②y=－ 1 x2+4x-9 ③y=(x-3)(x+2)
y 3 x 22 5 的图象？
2020年3月26日星期四
4
3．y 3 x 22 5 的顶点坐标是(－2，－5)，
对称轴是直线 x＝－2 ． 4．在上述移动中图象的开口方向、形状、 顶点坐标、对称轴，哪些有变化？哪些没 有变化？
有变化的：抛物线的顶点坐标、对称轴， 没有变化的：抛物线的开口方向、形状
像的特征吗？
2020年3月26日星期四
7
如何画出 y -2x2 8x-7 的图象呢?
我们知道,像y=a(x+h)2+k这样的函数, 容易确定相应抛物线的顶点为(-h,k), 二次 函数y -2x2 8x-7 也能化成这样的形式 吗?
2020年3月26日星期四
《公式法求顶点坐标》学生用
（ 4）
1 2 y x 4x 3 2
4 0.5 3 (4) y小 5 4 0.5
2
解: a = 0.5 > 0抛物线开口向上
4 x对 4 2 0 .5
顶点坐标：（4 , - 5）
对称轴： x 对 4
当 x 4时， y最小值＝ -5
4 3 0 2 1 y小 43 3
《公式法求顶点坐标》步骤:
1、从二次函数一般式中找出a b c的值； 2、把a b c的值代入顶点坐标公式；
1 1 顶点坐标为 , 3 3
1 1 当x 时，y最小值＝3 3
1 对称轴x 3
x对
b 2a
对称轴x 1
当x 1时，y最大值＝ 1
（ 3）
y 2 x 8x 8
2
2
解: a = －2 < 0抛物线开口向下
4 （ 2） （ 8） 8 8 x对 2 y大 0 2 (2) 4 （ 2）
顶点坐标为 2, 0
对称轴x 2
4ac b y大（小） 4a
2
3、按题的要求写出结果。 注意：a>0有小值；a<0有大值。
（ 2）
y x 2x
2
解: a = －1 < 0抛物线开口向下
2 x对 1 2 (1)
4 （ 1 ） 0 （ 2） y大 1 4 （ 1 ）
2
顶点坐标为 1,1
注意：一般式化成顶点式的步骤。 二次函数的一般式：y＝ax2 +bx+c化成顶点式：y=a(x-h)2 +k
三、用配方法:求二次函数y＝－2x2－4x＋1 的对称轴、顶点坐标、大（小）值．
二次函数经典例题及解答
⎧⎪⎨⎪⎩二次函数一、中考导航图1.二次函数的意义;2.二次函数的图象;3.二次函数的性质⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩顶点对称轴开口方向增减性顶点式：y=a(x-h)2+k(a ≠0)4.二次函数 待定系数法确定函数解析式一般式：y=ax 2+bx+c(a ≠0) 两根式：y=a(x-x 1)(x-x 2)(a ≠0)5.二次函数与一元二次方程的关系。
6.抛物线y=ax 2+bx+c 的图象与a 、b 、c 之间的关系。
三、中考知识梳理 1.二次函数的图象在画二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象时通常先通过配方配成y=a(x+b 2a)2+ 4a 24ac-b 的形式,先确定顶点(-b 2a,4a 24ac-b ),然后对称找点列表并画图,或直接代用顶点公式来求得顶点坐标. 2.理解二次函数的性质抛物线的开口方向由a 的符号来确定,当a>0时,在对称轴左侧y 随x 的增大而减小;在对称轴的右侧,y 随x 的增大而增大;简记左减右增,这时当x=-b 2a 时,y 最小值=4a24ac-b ;反之当a<•0时,简记左增右减,当x=-b2a时y 最大值=4a 24ac-b .3.待定系数法是确定二次函数解析式的常用方法一般地,在所给的三个条件是任意三点(或任意三对x,y•的值)•可设解析式为y=ax 2+bx+c,然后组成三元一次方程组来求解;在所给条件中已知顶点坐标或对称轴或最大值时,可设解析式为y=a(x-h)2+k;在所给条件中已知抛物线与x•轴两交点坐标或已知抛物线与x 轴一交点坐标和对称轴,则可设解析式为y=a(x-x 1)(x-x 2)来求解. 4.二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax 2+bx+c 当y=0时抛物线便转化为一元二次方程ax 2+bx+c=0,即抛物线与x 轴有两个交点时,方程ax 2+bx+c=0有两个不相等实根;当抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有一个交点,方程ax 2+bx+c=0有两个相等实根;当抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴无交点,•方程ax 2+bx+c=0无实根.5.抛物线y=ax 2+bx+c 中a 、b 、c 符号的确定a 的符号由抛物线开口方向决定,当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,•抛物线开口向下;c 的符号由抛物线与y 轴交点的纵坐标决定.当c>0时,抛物线交y 轴于正半轴;当c<0时,抛物线交y 轴于负半轴;b 的符号由对称轴来决定.当对称轴在y•轴左侧时,b 的符号与a 的符号相同;当对称轴在y 轴右侧时,b 的符号与a 的符号相反;•简记左同右异. 6.会构建二次函数模型解决一类与函数有关的应用性问题,•应用数形结合思想来解决有关的综合性问题. 四、中考题型例析 1. 二次函数解析式的确定例1 求满足下列条件的二次函数的解析式 (1)图象经过A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6); (2)图象经过A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值-8; (3)图象顶点坐标是(-1,9),与x 轴两交点间的距离是6.分析:此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式.可根据已知条件中的不同条件分别设出函数解析式,列出方程或方程组来求解.(1)解:设解析式为y=ax 2+bx+c,把A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6)各点代入上式得3,3,642.a b c a b c a b c =-+⎧⎪=++⎨⎪=++⎩ 解得1,0,2.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴解析式为y=x 2+2.(2)解法1:由A(-1,0)、B(3,0)得抛物线对称轴为x=1,所以顶点为(1,-8).• 设解析式为y=a(x-h)2+k,即y=a(x-1)2-8. 把x=-1,y=0代入上式得0=a(-2)2-8,∴a=2. 即解析式为y=2(x-1)2-8,即y=2x 2-4x-6.解法2:设解析式为y=a(x+1)(x-3),确定顶点为(1,-8)同上, 把x=1,y=-8•代入上式得-8=a(1+1)(1-3).解得a=2, ∴解析式为y=2x 2-4x-6.解法3:∵图象过A(-1,0),B(3,0)两点,可设解析式为:y=a(x+1)(x-3)=ax 2-2ax-3a. ∵函数有最小值-8.∴24(3)(2)4a a a a---=-8.又∵a ≠0,∴a=2.∴解析式为y=2(x+1)(x-3)=2x 2-4x-6.(3)解:由顶点坐标(-1,9)可知抛物线对称轴方程是x=-1,xyO又∵图象与x 轴两交点的距离为6,即AB=6.由抛物线的对称性可得A 、B 两点坐标分别为A(-4,0),B(2,0), 设出两根式y=a(x-x 1)·(x-x 2),将A(-4,0),B(2,0)代入上式求得函数解析式为y=-x 2-2x+8.点评:一般地,已知三个条件是抛物线上任意三点(或任意3对x,y 的值)可设表达式为y=ax 2+bx+c,组成三元一次方程组来求解;•如果三个已知条件中有顶点坐标或对称轴或最值,可选用y=a(x-h)2+k 来求解;若三个条件中已知抛物线与x 轴两交点坐标,则一般设解析式为y=a(x-x 1)(x-x 2). 2. 二次函数的图象例2 (2003·孝感)y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示,则点M(a,bc)在( • ). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 分析:由图可知: 抛物线开口向上⇒a>0.002y c bx y b a ⇒<=-⇒<⎫⎪⎬⎪⎭抛物线与轴负半轴相交对称轴在轴右侧⇒bc>0.∴点M(a,bc)在第一象限. 答案:A.点评:本题主要考查由抛物线图象会确定a 、b 、c 的符号.例3 (2003·岳阳)已知一次函数y=ax+c 二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0),它们在同一坐标系中的大致图象是( ).分析:一次函数y=ax+c,当a>0时,图象过一、三象限;当a<0时,图象过二、•四象限;c>0时,直线交y 轴于正半轴;当c<0时,直线交y 轴于负半轴;•对于二次函数y=•ax 2+bx+c(a ≠0)来讲:⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩开口上下决定a的正负左同右异(即对称轴在y轴左侧,b的符号与a的符号相同;)来判别b的符号抛物线与y轴的正半轴或负半轴相交确定c 的正负解:可用排除法,设当a>0时,二次函数y=ax 2+bx+c 的开口向上,而一次函数y=•ax+c 应过一、三象限,故排除C;当a<0时,用同样方法可排除A;c 决定直线与y 轴交点;也在抛物线中决定抛物线与y 轴交点,本题中c 相同则两函数图象在y 轴上有相同的交点,故排除B.答案:D.3. 二次函数的性质例4 (2002·杭州)对于反比例函数y=-2x与二次函数y=-x 2+3,•请说出他们的两个相同点:①_________,•②_________;•再说出它们的两个不同点:••①________,••②_________.分析:本小题是个开放性题目,可以从以下几点性质来考虑①增减性②图象的形状③最值④自变量取值范围⑤交点等.解:相同点:①图象都是曲线,②都经过(-1,2)或都经过(2,-1);不同点:①图象形状不同,②自变量取值范围不同,③一个有最大值,一个没有最大值. 点评:本题主要考查二次函数和反比例函数的性质,有关函数开放性题目是近几年命题的热点.4. 二次函数的应用例5 (2003·厦门)已知抛物线y=x 2+(2k+1)x-k 2+k, (1)求证:此抛物线与x 轴总有两个不同的交点.(2)设x 1、x 2是此抛物线与x 轴两个交点的横坐标,且满足x 12+x 22=-2k 2+2k+1. ①求抛物线的解析式.②设点P (m 1,n 1)、Q(m 2,n 2)是抛物线上两个不同的点,•且关于此抛物线的对称轴对称. 求m+m 的值.分析:(1)欲证抛物线与x 轴有两个不同交点,可将问题转化为证一元二次方程有两个不相等实数根,故令y=0,证△>0即可.(2)①根据二次函数的图象与x 轴交点的横坐标即是一元二次方程的根.由根与系数的关系,求出k 的值,可确定抛物线解析式;•②由P 、Q 关于此抛物线的对称轴对称得n 1=n 2,由n 1=m 12+m 1,n 2=m 22+m 2得m 12+m 1=m 22+m 2,即(m 1-m 2)(m 1+m 2+1)=0可求得m 1+m 2=-1. 解:(1)证明:△=(2k+1)2-4(-k 2+k) =4k 2+4k+1+4k 2-4k=8k 2+1. ∵8k 2+1>0,即△>0,∴抛物线与x 轴总有两个不同的交点.(2)①由题意得x1+x2=-(2k+1), x1· x2=-k2+k.∵x12+x22=-2k2+2k+1,∴(x1+x2)2-2x1x2=-2k2+2k+1,即(2k+1)2-2(-k2+k)=-2k2+k+1,4k2+4k+1+2k2-2k=-2k2+2k+1.∴8k2=0,∴k=0,∴抛物线的解析式是y=x2+x.②∵点P、Q关于此抛物线的对称轴对称,∴n1=n2.又n1=m12+m1,n2=m22+m2.∴m12+m1=m22+m2,即(m1-m2)(m1+m2+1)=0.∵P、Q是抛物上不同的点,∴m1≠m2,即m1-m2≠0.∴m1+m2+1=0即m1+m2=-1.点评:本题考查二次函数的图象(即抛物线)与x轴交点的坐标与一元二次方程根与系数的关系.二次函数经常与一元二次方程相联系并联合命题是中考的热点.基础达标验收卷一、选择题:1.(2003·大连)抛物线y=(x-2)2+3的对称轴是( ).A.直线x=-3B.直线x=3C.直线x=-2D.直线x=22.(2004·重庆)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,则点M(b,ca)在( ).A.第一象限;B.第二象限;C.第三象限;D.第四象限3.(2004·天津)已知二次函数y=ax2+bx+c,且a<0,a-b+c>0,则一定有( ).A.b2-4ac>0B.b2-4ac=0C.b2-4ac<0D.b2-4ac≤04.(2003·杭州)把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是y=x2-3x+5,则有( ).A.b=3,c=7B.b=-9,c=-15C.b=3,c=3D.b=-9,c=215.(2004·河北)在同一直角坐标系中,一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为( ).6.(2004·昆明)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点P的横坐标是4,•图象交x轴于点A(m,0)和点B,且m>4,那么AB的长是( ).A.4+mB.mC.2m-8D.8-2m二、填空题1.(2004·河北)若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式,则y=_______.2.(2003·新疆)请你写出函数y=(x+1)2与y=x2+1具有的一个共同性质_______.3.(2003·天津)已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2,且经过点(1,4)和点(5,0),则该抛物线的解析式为_________.4.(2004·武汉)已知二次函数的图象开口向下,且与y轴的正半轴相交,请你写出一个满足条件的二次函数的解析式:_________.5.(2003·黑龙江)已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为-1,则a+c=_____.6.(2002·北京东城)有一个二次函数的图象,三位学生分别说出了它的一些特点:甲:对称轴是直线x=4;乙:与x轴两个交点的横坐标都是整数;丙:与y轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形面积为3.请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式:三、解答题1.已知函数y=x2+bx-1的图象经过点(3,2).(1)求这个函数的解析式;(2)画出它的图象,并指出图象的顶点坐标;(3)当x>0时,求使y≥2的x取值范围.2.已知抛物线y=- 12x2+(6- 2m)x+m-3与x轴有A、B两个交点,且A、B两点关于y轴对称.(1)求m的值;(2)写出抛物线解析式及顶点坐标;(3)根据二次函数与一元二次方程的关系将此题的条件换一种说法写出来.一、学科内综合题1.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于B、C两点,•与y轴交于A点.(1)根据图象确定a、b、c的符号,并说明理由;(2)如果点A的坐标为(0,-3),∠ABC=45°,∠ACB=60°,•求这个二次函数的解析式.二、实际应用题3.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,•公司经历了从亏损到盈利的过程.下面的二次函数图象(部分)•刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s与t之间的关系).根据图象(图)提供的信息,解答下列问题:(1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润s(万元)与时间t(月)之间的函数关系式;(2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元;(3)求第8个月公司所获利润是多少万元?4.如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面AB•的宽为20m,如果水位上升3m时,水面CD的宽是10m.(1)建立如图所示的直角坐标系,求此抛物线的解析式;(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地,已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计).货车正以每小时40km的速度开往乙地,当行驶1小时时,•忽然接到紧急通知:前方连降暴雨,造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处,当水位达到桥拱最高点O时,禁止车辆通行),试问:如果货车按原来速度行驶,能否完全通过此桥?若能,请说明理由;若不能,•要使货车安全通过此桥,速度应超过每小时多少千米?答案:基础达标验收卷一、1.D 2.D 3.A 4.A 5.B 6.C二、1.(x-1)2+2 2.图象都是抛物线或开口向上或都具有最低点(最小值)3.y=-12x 2+2x+52 4.如y=-x 2+1 5.1 6.y=15x 2-85x+3或y=-15x 2+85x-3或y=-17x 2-87x+1或y=-17x 2+87x-1三、1.解:(1)∵函数y=x 2+bx-1的图象经过点(3,2), ∴9+3b-1=2,解得b=-2. ∴函数解析式为y=x 2-2x-1. (2)y=x 2-2x-1=(x-1)2-2. 图象略.图象的顶点坐标为(1,-2).(3)当x=3时,y=2,根据图象知,当x ≥3时,y ≥2. ∴当x>0时,使y ≥2的x 的取值范围是x ≥3. 2.(1)设A(x 1,0) B(x 2,0). ∵A 、B 两点关于y 轴对称.∴12120,0.x x x x +=⎧⎨≤⎩∴2(60,2(3)0.m ⎧⎪=⎨--≤⎪⎩解得m=6. (2)求得y=-12x 2+3.顶点坐标是(0,3) (3)方程-12x 2)x+m-3=0的两根互为相反数(或两根之和为零等). 3.解:(1)符合条件的抛物线还有5条,分别如下:①抛物线AEC; ②抛物线CBE; ③抛物线DEB; ④抛物线DEC; ⑤抛物线DBC. (2)在(1)中存在抛物线DBC,它与直线AE 不相交. 设抛物线DBC 的解析式为y=ax 2+bx+c.将D(-2, 92),B(1,0),C(4,0)三点坐标分别代入,得942,20,164.a b c a b c a b c ⎧-+=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎩解这个方程组,得a=14,b=-54,c=1. ∴抛物线DBC 的解析式为y=14x 2-54x+1.【另法:设抛物线为y=a(x-1)(x-4),代入D(-2, 92),得a=14也可.】 又将直线AE 的解析式为y=mx+n.将A(-2,0),E(0,-6)两点坐标分别代入,得20,6.m n n -+=⎧⎨=-⎩解这个方程组,得m=-3,n=-6. ∴直线AE 的解析式为y=-3x-6. 能力提高练习 一、1.解:(1)∵抛物线开口向上,∴a>0.又∵对称轴在y 轴的左侧, ∴-2ba<0,∴b>0. 又∵抛物线交于y 轴的负半轴. ∴c<0.(2)如图,连结AB 、AC.∵在Rt △AOB 中,∠ABO=45°, ∴∠OAB=45°.∴OB=OA.∴B(-3,0). 又∵在Rt △ACO 中,∠ACO=60°, ∴OC=OA ·cot60°3∴3 设二次函数的解析式为 y=ax 2+bx+c(a ≠0).由题意930,330,3.a b ca b cc-+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩3,31,3.abc⎧=⎪⎪⎪⇒=-⎨⎪=-⎪⎪⎩∴所求二次函数的解析式为y=33x2+ (3-1)x-3.3.解:(1)设s与t的函数关系式为s=at2+bt+c由题意得1.5,422,255 2.5;a b ca b ca b c++=-⎧⎪++=-⎨⎪++=⎩或1.5,422,0.a b ca b cc++=-⎧⎪++=-⎨⎪=⎩解得1,22,0.abc⎧=⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩∴s=12t2-2t.(2)把s=30代入s=12t2-2t, 得30=12t2-2t.解得t1=0,t2=-6(舍).答:截止到10月末公司累积利润可达到30万元.(3)把t=7代入,得s=12×72-2×7=212=10.5;把t=8代入,得s=12×82-2×8=16.16-10.5=5.5.答:第8个月公司获利润5.5万元.4.解:(1)设抛物线的解析式为y=ax2,桥拱最高点O到水面CD的距离为hm,则D(5,-h),B(10,-h-3).∴25,100 3.a ha h=-⎧⎨=--⎩解得1,251.ah⎧=-⎪⎨⎪=⎩抛物线的解析式为y=-125x2.(2)水位由CD处涨到点O的时间为:1÷0.25=4(小时).货车按原来速度行驶的路程为:40×1+40×4=200<280, ∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥.设货车速度提高到xkm/h.当4x+40×1=280时,x=60.∴要使货车完全通过此桥,货车的速度应超过60km/h.。
二次函数常用公式、结论及训练
初中函数问题涉及到的常用公式或结论及其训练一、 常用公式或结论（1）横线段的长 = x 大-x 小 =x 右-x 左 =横标之差的绝对值（用于情况不明）。
纵线段的长 = y 大-y 小=y 上-y 下 = 纵标之差的绝对值（用于情况不明）。
（2）点轴距离：点P （x 0 ，y 0）到X 轴的距离为0y ，到Y 轴的距离为o x 。
（3）两点间的距离公式：若A （x 1,y 1），B(x 2,y 2), 则 AB=221212()()x x y y -+- （4）点到直线的距离：点P （x 0 ，y 0）到直线Ax+By+C=0 (其中常数A,B,C 最好化为整系数，也方便计算)的距离为：0022Ax By Cd A B++=+（5）中点坐标公式:若A(x 1,y 1)，B （x 2,y 2），则线段AB 的中点坐标为（1212,22x x y y ++）（6）直线的斜率公式：若A （x 1,y 1），B （x 2,y 2）(x 1≠x 2)，则直线AB 的斜率为：1212=AB y y k x x --,（x 1≠x 2） （7）两直线平行的结论：已知直线l 1: y=k 1x+b 1 ; l 2: y=k 2x+b 2①若l 1//l 2,则k 1=k 2；②若k 1=k 2，且b 1 ≠b 2，则 l 1//l 2。
（8）两直线垂直的结论：已知直线l 1: y=k 1x+b 1 ; l 2: y=k 2x+b 2 ①若l 1┴l 2，则k 1•k 2 =-1；②若k 1•k 2 =-1，则l 1┴l 2（9）直线与抛物线（或双曲线）截得的弦长公式：【初高中数学重要衔接内容之一，设而不求的思想】直线y=kx+n 与抛物线y=ax 2+bx+c （或双曲线y=m/x ）截得的弦长公式是：AB=2121x x k -∙+=2122124)(1x x x x k -+∙+证明如下：设直线y=kx+n 与抛物线y=ax 2+bx+c （或双曲线y=m/x ）交于A （x 1, y 1）, B （x 2, y 2）两点，由两点间的距离公式可得：AB=221221)()(y y x x -+-，因为A （x 1, y 1）,B （x 2, y 2）两点是直线y=kx+n 与抛物线抛物线y=ax 2+bx+c （或双曲线y=m/x ）的交点，所以 A （x 1, y 1）,B （x 2, y 2）两点也在直线y=kx+n 上，∴y 1=kx 1+n, y 2=kx 2+n, ∴y 1-y 2=（kx 1+n ）—（kx 2+n ）=kx 1-kx 2=k （x 1-x 2）， ∴AB=2212221)()(x x k x x -+-=2212))(1(x x k -+=2121x x k -∙+=2122124)(1x x x x k -+∙+而x 1, x 2显然是直线y=kx+n 与抛物线y=ax 2+bx+c （或双曲线y=m/x ）组成方程组后，消去y （用代入法）所得到的那个一元二次方程的两根，从而运用韦达定理x 1+x 2 , x 1∙x 2可轻松求出，进而直线与抛物线（或双曲线）截得的弦长就很容易计算或表示出来。
二次函数一般式与顶点坐标公式练习
已知函数()412-+=xy.（1）该抛物线经过怎样的平移能经过原点.（2）画出该函数图象，并根据图象回答：当x取何值时，函数值大于0；当x取何值时，函数值小于0.1、二次函数khx ay+-=2)(的图像和2axy=的图像之间的关系。
2.二次函数y=a(x-h)2+k的性质：问题一：将一般式转化为顶点式试将下列函数转化为顶点式，并说出其对称轴，顶点坐标。
《（1）262y x x =-- （2）2124y x x =--+ （3）2961y x x =-+问题二：顶点坐标公式将2y ax bx c =++转化为顶点式：22222222222424y ax bx cb c a x x a a b b b c a x a a a a b ac b a x a a =++⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⋅+-+⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-⎛⎫=++⎪⎝⎭22,24,24y ax bx c bx ab ac b a a =++=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭因此，二次函数的图像是一条抛物线，它的对称轴是直线顶点是利用顶点坐标公式填写下列表格：问题三：y=a（x-2）（x+3）与x轴的交点坐标是，二次函数图象的顶点坐标，对称轴，开口方向。
例1当x= 时，二次函数y=x2+2x-2有最小值．例2、若抛物线y=-x2+4x+k的最大值为3，则k=【试一试：1、函数21262y x x=+-的顶点坐标为，当x= 时，y取最值为.与坐标轴的交点坐标，分析增减性，用5点作图法完成作图。
2、当x为实数时，代数式x2-2x-3的最小值是，此时x= .3、求二次函数62+--=x x y 的图象与x 轴和y 轴的交点坐标五、课后练习：1、抛物线y=2x 2-4x+3的顶点坐标是2、二次函数y=x 2+2x-3的图象的对称轴是直线3、抛物线y=-3x 2+1的顶点坐标是4、二次函数y=-（x+1）2-2的图象开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为6、抛物线y=-2x 2-4x+1的顶点关于x 轴对称的点的坐标为 #7、二次函数y=ax 2-2x+1的图象经过点（1，2），则其图象的开口方向8、函数y=-x 2+2x-3的对称轴是 ，有最 值，且最值为9、已知二次函数y=-x 2+2x+c 2的对称轴和x 轴相交于点（m ，0），则m 的值为10、抛物线y=2x 2-bx+3的对称轴是直线x=1，则b 的值为 11、二次函数y=x 2-2x+3的最小值是12、二次函数y=mx 2-4x+1有最小值-3，则m 等于 13、将抛物线y=x 2-2向左平移3个单位，所得抛物线的函数表达式为14、在平面直角坐标系中，将二次函数y=（x-2）2+2的图象向左平移2个单位，所得图象对应的函数解析式为 15、将抛物线y=x 2+x 向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是16、把抛物线y=x 2+bx+c 的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=x 2-2x+3，则b 的值为 17、已知二次函数y=x 2+2mx+2，当x ＞2时，y 的值随x 值的增大而增大，则实数m 的取值范围是 .8、二次函数c bx x y ++=2的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移3个单位，得到的图象的函数解析式为122+-=x x y ，则b 与c 分别等于（ ）。
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y ax 2 bx c
a x2 a x2
bc x
aa
b 2
2a
2
b 2a
2
b
c
2a a
2
bபைடு நூலகம்
4ac b2
ax
2a
4a
利用顶点坐标公式填写下列表格：
抛物线
y x2 3x 2
对称轴
顶点坐标 开口方向
增减性
最值
因此，二次函数 y
2
ax
bx
c的图像是
一条抛物线，它的对称轴是直线 x
b ,
2a
顶点是
b 4ac b2 ,
10 、抛物线 y=2x 2-bx+3 的对称轴是直线 x=1 ，则 b 的值为
11、二次函数 y=x 2-2x+3 的最小值是
12 、二次函数 y=mx 2-4x+1 有最小值 -3，则 m 等于
13 、将抛物线 y=x 2-2 向左平移 3 个单位，所得抛物线的函数表达式为
14 、在平面直角坐标系中，将二次函数 y=（ x-2 ）2+2 的图象向左平移 2 个单位，所得图象对应
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1、二次函数 y a (x h) 2 k 的图像和 y ax 2 的图像之间的关系。
2.二次函数 y=a(x-h)2+k 的性质：
抛物线
对称轴 顶点坐标 开口方向
y=y=a(x-h)2+k （ a>0）
y=y=a(x-h)2+k （a<0）
增减性
最值
问题一： 将一般式转化为顶点式 1、填空： 例： 2x2 8x 3
（1）请把这个函数解析式转化为顶点式 （2）根据顶点式，说出该函数图像的开口方向，对称轴，顶点坐标和增减性
随堂练习：
试将下列函数转化为顶点式，并说出其对称轴，顶点坐标。
（1） y x2 6x 2
（ 2） y
1 x2 x 2 4
（3） y 9x2 6x 1
问题二： 顶点坐标公式 将 y ax 2 bx c 转化为顶点式：
2( x2 4x) 3 2( x2 4x 4 4) 3 2( x 2) 2 8 3 2( x 2) 2 11
（1） 2x2 4x 5
(x
)2
（2） 4x2 4x 3
(x
)2
（3） 1 x2 2x 1
(x
)2
2
（4） 2 x2 2 x 4
(x
)2
3
2、你能根据上述经验回答下列问题吗？已知函数
y 2x2 12 x 13 ：
围是
.
五、课后练习： 1、抛物线 y=2x 2-4x+3 的顶点坐标是 2、二次函数 y=x 2+2x-3 的图象的对称轴是直线 3、抛物线 y=-3x 2+1 的顶点坐标是 4、二次函数 y=- （ x+1 ） 2-2 的图象开口向
，对称轴为
，顶点坐标为
5、 y=2 （ x-2 ）（ x+3 ）二次函数图象的顶点坐标是
，对称轴是
，开
口方向
6、抛物线 y=-2x 2-4x+1 的顶点关于 x 轴对称的点的坐标为
7、二次函数 y=ax 2-2x+1 的图象经过点（ 1， 2 ），则其图象的开口方向
8、函数 y=-x 2+2x-3 的对称轴是
，有最
值，且最值为
9、已知二次函数 y=-x 2+2x+c 2 的对称轴和 x 轴相交于点（ m ， 0），则 m 的值为
的函数解析式为 15 、将抛物线 y=x 2+x 向下平移 2 个单位，所得抛物线的表达式是
2a 4a
y 2x2 2x 1
y 1 x2 2x 3
2
2
问题三： 利用配方法或顶点坐标公式确定二次三项式的最值
例 1 （ 2012?新疆）当 x=
时，二次函数 y=x 2+2x-2 有最小值．
例 2 、若抛物线 y=-x 2+4x+k 的最大值为 3 ，则 k=
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利用顶点坐标公式的小技巧：
对于函数 y
ax 2 bx
c ，当 x=
b
4ac
时， y=
b2 ，所以可以求出顶点横坐标之后，通过
2a
4a
代入求值求得顶点的纵坐标。
试一试：
1、函数 y
2 x2
6x
1
的顶点坐标为
2
，当 x=
时，y 取最
值为
.
2、当 x 为实数时，代数式 x2-2x-3 的最小值是
，此时 x=
.
16 、把抛物线 y=x 2+bx+c 的图象向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，所得图象的解析式 为 y=x 2-2x+3 ，则 b 的值为 17 、已知二次函数 y=x 2+2mx+2 ，当 x ＞ 2 时， y 的值随 x 值的增大而增大，则实数 m 的取值范