全国高考理科数学:立体几何
2013年国理科数学试题分类汇编7立体几何
一、选择题
1 .(2013年新课标1(理))如图有一个水平放置的透明无盖的正方体容器容器8cm 将一个
球放在容器口再向容器内注水当球面恰好接触水面时测得水深为6cm 如果不计容器的
厚度则球的体积为
)
A 2 .(2013年普通等学校招生统一试广东省数学(理)卷(纯WORD 版))设,m n 是两条不同的
直线,αβ是两个不同的平面下列命题正确的是( )[]
A .若αβ⊥m α?n β?则m n ⊥
B .若//αβm α?n β?则//m n
C .若m n ⊥m α?n β?则αβ⊥
D .若m α⊥//m n //n β则αβ⊥
3 .(2013年上海市春季数学试卷(含答案))若两个球的表面积之比为1:4则这两个球的体积
之比为( )
A .1:2
B .1:4
C .1:8
D .1:16
4 .(2013年普通等学校招生统一试大纲版数学(理)WORD 版含答案(已校对))已知正四棱柱
1111ABCD A B C D -12AA AB =则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于( )
A 5 .(2013年新课标1(理))某几何体的三视图如图所示则该几何体的体积为
( )
A .168π+
B .88π+
C .1616π+
D .816π+ 6 .(2013年湖北卷(理))一个几何体的三视图如图所示该几何体从上到下由四个简单几何
体组成其体积分别记为1V 2V 3V 4V 上面两个简单几何体均为旋转体下面两个简单几何体均为多面体则有( )
A .1243V V V V <<<
B .1324V V V V <<<
C .2134V V V V <<<
D .2314V V V V <<<
7 .(2013年湖南卷(理))已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形则该正
方体的正视图的面积不可能...等于( )
A .1 B
8 .(2013年普通等学校招生统一试广东省数学(理)卷(纯WORD 版))某四棱台的三视图如
图所示则该四棱台的体积是
( )
A .4B
.6
9 .(2013年普通等学校招生统一试新课标Ⅱ卷数学(理)(纯WORD 版含答案))已知n m ,为异
面直线⊥m 平面α⊥n 平面β直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥??则( ) A .βα//且α//l B .βα⊥且β⊥l
C .α与β相交且交线垂直于l
D .α与β相交且交线平行于l
10.(2013年普通等学校招生统一试山东数学(理)试题(含答案))已知三棱柱
111
ABC A B C
-的正三角形若P 为底面111A B C 的心则PA 与平面ABC 所成角的大小为( )
A
11.(2013年普通等学校招生统一试重庆数学(理)试题(含答案))某几何体的三视图如题
()
5图所示则该几何体的体积为( ) A
.200D .240
正视图
俯视图
侧视图
第5题图
12.(2013年普通等学校招生统一试辽宁数学(理)试题(WORD 版))已知三棱柱111
ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上若34AB AC ==,AB AC ⊥112AA =则球O 的半径为( )
A 13.(2013年江西卷(理))如图正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上且A
B CD
正方体的六个面所在的平面与直线CEEF 相交的平面个数分别记为,m n 那么m n +=
( )
A .8
B .9
C .10
D .11
14.(2013年普通等学校招生统一试新课标Ⅱ卷数学(理)(纯WORD 版含答案))一个四面体的
顶点在空间直角坐标系O xyz -的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0)画该四面体三视图的正视图时以zOx 平面为投影面则得到正视图可以为
( )
A .
B .
C .
D .
15.(2013年普通等学校招生统一试安徽数学(理)试题(纯WORD 版))在下列命题不是公理..
的是( )
A .平行于同一个平面的两个平面相互平行
B .过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面
C .如果一条直线上的两点在一个平面内那么这条直线上所有的点都在此平面内
D .如果两个不重合的平面有一个公共点 那么他们有且只有一条过该点的公共直线 16.(2013年普通等学校招生统一试浙江数学(理)试题(纯WORD 版))在空间过点A 作平面π
的垂线垂足为B 记)(A f B π=设βα,是两个不同的平面对空间任意一点
P )]([)],([21P f f Q P f f Q βααβ==恒有21PQ PQ =则( )
A .平面α与平面β垂直
B .平面α与平面β所成的(锐)二面角为045
C .平面α与平面β平行
D .平面α与平面β所成的(锐)二面角为060
17.(2013年四川卷(理))一个几何体的三视图如图所示则该几何体的直观图可以是
二、填空题
18.(2013年上海卷(理))在xOy 平面上将两个半圆弧
22(1)1(1)x y x -+=≥和
22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y = 和1y =-围成的封闭图形记为D 如图阴影部
分记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面所得截面面试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体得出Ω的体积值为__________
19.(2013年陕西卷(理))某几何体的三视图如图所示 则其体积为________
20.(2013年普通等学校招生统一试大纲版数学(理)WORD )已知圆O 和圆
K 是球O 的大圆和小圆其公共弦长等于球O 且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为60则球O 的表面积等于______
21.(2013年北京卷(理))如图在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1E 为BC 的点点P 在线段D 1E
上点P 到直线CC 1的距离的最小值为__________
22.(2013年普通等学校招生国统一招生试江苏卷(数学)(已校对纯WORD 版含附加题))如图
在三棱柱ABC C B A -111F E D ,,分别是1AA AC AB ,,的点设三棱锥ADE F -的体积为1V 三棱柱ABC C B A -111的体积为2V 则=21:V V ____________
1B
23.(2013年普通等学校招生统一试浙江数学(理)试题(纯WORD 版))若某几何体的三视图(单
位:cm)如图所示则此几何体的体积等于________2cm
24.(2013年普通等学校招生统一试安徽数学(理)试题(纯WORD 版))如图正方体
1111ABCD A B C D -的棱长为1P 为BC 的点Q 为线段1CC 上的动点过点APQ 的平面截该
正方体所得的截面记为S 则下列命题正确的是__①②③⑤___(写出所有正确命题的编
号)[]
S S S 与11C D 的交点R S 为六边形;⑤当1CQ =时S 的面积
25.(2013年普通等学校招生统一试辽宁数学(理)试题(WORD 版))某几何体的三视图如图所
示则该几何体的体积是____________
A B
C
A
D
E
F B
C
26.(2013年普通等学校招生统一试福建数学(理)试题(纯WORD 版))已知某一多面体内接
于一个简单组合体如果该组合体的正视图测试图俯视图均如图所示且图的四边形是边
长为2的正方形则该球的表面积是
_______________
27.(2013年上海市春季数学试卷(含答案))在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -异面直
线1A B 与1B C 所成角的大小为_______
三、解答题
28.(2013年普通等学校招生统一试辽宁数学(理)试题(WORD 版))如图AB 是圆的直径PA
垂直圆所在的平面C 是圆上的点 (I)求证:PAC PBC ⊥平面平面;
(II)2.AB AC PA C PB A ===--若,1,1,求证:二面角的余弦值
D 1 C 1 B 1
A 1
D C A
B
29.(2013年普通等学校招生统一试重庆数学(理)试题(含答案))如图四棱锥
为PC
(1)求PA 的长; (2)求二面角B AF D --的正弦值
1.(2013年普通等学校招生统一试安徽数学(理)试题(纯WORD 版))如图圆锥顶点为p 底面
圆心为o 其母线与底面所成的角为225°AB 和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦轴
OP 与平面PCD 所成的角为60°
(Ⅰ)证明:平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面; (Ⅱ)求cos COD ∠ 1.(2013年普通等学校招生统一试浙江数学(理)试题(纯WORD 版))如图在四面体
BCD A -⊥AD 是AD 的点P 是BM
的点点Q 在线段AC 上且QC AQ 3=
(1)证明://PQ 平面BCD ;(2)若二面角D BM C --的大小为060求BDC ∠的大小
2.(2013年上海市春季数学试卷(含答案))如图在正三棱锥111ABC A B C -16AA =异面直线
1BC 与1AA 所成角的大小为
3.(2013年普通等学校招生国统一招生试江苏卷(数学)(已校对纯WORD 版含附加题))本小题
满分14分
如图在三棱锥ABC S -平面⊥SAB 平面SBC BC AB ⊥AB AS =过A 作SB AF ⊥垂足为F 点G E ,分别是棱SC SA ,的点
求证:(1)平面//EFG 平面ABC ; (2)SA BC ⊥
4.(2013年上海卷(理))如图在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1AB=2AD=1A 1A=1证明直线BC 1平行于平
面DA 1C 并求直线BC 1到平面D 1AC 的距离
D 1
C 1
B 1
A 1
D C B
A
5.(2013年湖北卷(理))如图AB 是圆O 的直径点C 是圆O 上异于,A B 的点直线PC ⊥平
面ABC E F 分别是PA PC 的点
A
B
S
G
F
E
B 1
A 1
C 1
A
C
B
(I)记平面BEF 与平面ABC 的交线为l 试判断直线l 与平面PAC 的位置关系并加以证明;
(II)设(I)的直线l 与圆O 的另一个交点为D 且点Q 满足1
DQ CP =
记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ异面直线PQ 与EF 所成的角为α二面角E l C --的大小为β求证:sin sin sin θαβ=
6.(2013年普通等学校招生统一试广东省数学(理)卷(纯WORD 版))如图1在等腰直角三角
形ABC 90A ∠=?6BC =,D E 为BC 的点将
ADE ?沿DE 折起得到如图2(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ; (Ⅱ) 求二面角
7.(2013年普通等学校招生统一试天津数学(理)试题(含答案))如图 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1
侧棱A 1A ⊥底面ABCD
AB //DC AB ⊥AD AD = CD = 1 AA 1 = AB = 2 E 为棱AA 1的点 (Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;
(Ⅱ) 求二面角B 1-CE -C
1的正弦值
(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上 且直线AM 与平面ADD 1A 1求线段AM 的长
C
O B
D
E
A C
D
O
B
E
'A
图1
图2
第19题图
8.(2013年新课标1(理))如图三棱柱ABC-A1B1C1CA=CBAB=A A1∠BA A1=60°(Ⅰ)证明AB⊥A1C;
(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1BAB=CB=2求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值
9.(2013年陕西卷(理))如图四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形O为底面心A1O⊥
平面ABCD
(Ⅰ) 证明: A1C⊥平面BB1D1D;
(Ⅱ) 求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小
10.(2013年江西卷(理))如图四棱锥
-PA,
P ABCD
⊥平面为的中点G PD
ABCD E BD
为的中点,
连接CE并延长交AD于F
⊥平面;
(1)求证:AD CFG
(2)求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值
11.(2013年四川卷(理))如图在三棱柱
11ABC A B C -侧棱1AA ⊥底面
ABC 12AB AC AA ==120BAC ∠=1,D D 分别是线段11,BC B C 的点P 是线段AD
的点[]
(Ⅰ)在平面ABC 内试作出过点P 与平面1A BC 平行的直线l 说明理由并证明直线l ⊥平面11ADD A ;
(Ⅱ)设(Ⅰ)的直线l 交AB 于点M 交AC 于点N 求二面角1A A M N --的余弦值
12.(2013年普通等学校招生国统一招生试江苏卷(数学)(已校对纯WORD 版含附加题))本小
题满分10分
如图在直三棱柱111A B C ABC -AC AB ⊥2==AC AB 41=AA 点D 是BC 的点 (1)求异面直线B A 1与D C 1所成角的余弦值 (2)求平面1ADC 与1ABA 所成二面角的正弦值
13.(2013年普通等学校招生统一试大纲版数学(理)WORD 版含答案(已校对))如图四棱锥
P ABCD -902,ABC BAD BC AD PAB ∠=∠==?,与PAD ?都是等边三角形
(I)证明:;PB CD ⊥ (II)求二面角A PD C --的大小
14.(2013年普通等学校招生统一试山东数学(理)试题(含答案))如图所示在三棱锥
P ABQ -PB ⊥平面ABQ BA BP BQ ==,,,D C E F 分别是,,,AQ BQ AP BP 的点 2AQ BD =PD 与EQ 交于点G PC 与FQ 交于点H 连接GH
(Ⅰ)求证:AB GH ; (Ⅱ)求二面角D GH E --的余弦值
15.(2013年湖南卷(理))如图5在直棱柱
1111//ABCD A B C D AD BC -中,90,,1BAD AC BD BC ∠=⊥=13AD AA ==
(I)证明:1AC B D ⊥; (II)求直线111B C ACD 与平面所成角的正弦值
16.(2013年普通等学校招生统一试福建数学(理)试题(纯WORD 版))如图在四棱柱
1111
ABCD A B C D -侧棱
1A A A B C
D ⊥底面//AB DC 11AA =3A B k =4A D k =5B C k =6D C k =(0)k > (1)求证:11;CD ADD A ⊥平面
(2)若直线1AA 与平面1AB C 所成角的正弦值为
求k 的值; (3)现将与四棱柱1111ABCD A B C D -形状和大小完相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱规定:若拼接成的新的四棱柱形状和大小完相同则视为同一种拼接方案问:共有几种不同的方案?在这些拼接成的新四棱柱记其最小的表面积为()f k 写出()f k 的表达式(直接写出答案不必要说明理由)
18.(2013年北京卷(理))如图在三棱柱ABC -A 1B 1C 1AA 1C 1C 是边长为4的正方形平面ABC ⊥平
面AA 1C 1C AB=3BC=5
(Ⅰ)求证:AA 1⊥平面ABC ;
(Ⅱ)求二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值;
(Ⅲ)证明:在线段BC 1存在点D 使得AD ⊥A 1B
近五年高考数学(理科)立体几何题目汇总
高考真题集锦(立体几何部分) 1.(2016.理1)如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积是( ) A 20π B24π C28π D.32π 2. βα,是两个平面,m,n 是两条直线,有下列四个命题: (1)如果m ⊥n,m ⊥α,n ∥β,那么βα⊥; (2)如果m ⊥α,n ∥α,那么m ⊥n. (3)如果αβα?m ,∥那么m ∥β。 (4)如果m ∥n,βα∥,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.(2016年理1)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是π328,则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ,α//平面11D CB ,?α平面ABCD =m , ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为( ) A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.(2016年理1)如图,在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF=2FD ,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .(12分) (Ⅰ)证明:平面ABEF ⊥平面EFDC ; (Ⅱ)求二面角E-BC-A 的余弦值.
6. (2015年理1)圆柱被一个平面截取一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积是16+20π,则r=( ) A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点,BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明:平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为() 9.如图,长方体1111D C B A ABCD -中,AB = 16,BC = 10,AA1 = 8,点E ,F 分别在1111C D B A , 上,411==F D E A ,过点E,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形。 (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,AB=5,AC=6,点E,F 分别在AD,CD 上,AE=CF=45 ,EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置,OD ’=10 (1)证明:D ’H ⊥平面ABCD (2)求二面角B-D ’A-C 的正弦值
全国高考理科数学:立体几何
2013年国理科数学试题分类汇编7立体几何 一、选择题 1 .(2013年新课标1(理))如图有一个水平放置的透明无盖的正方体容器容器8cm 将一个 球放在容器口再向容器内注水当球面恰好接触水面时测得水深为6cm 如果不计容器的 厚度则球的体积为 ) A 2 .(2013年普通等学校招生统一试广东省数学(理)卷(纯WORD 版))设,m n 是两条不同的 直线,αβ是两个不同的平面下列命题正确的是( )[] A .若αβ⊥m α?n β?则m n ⊥ B .若//αβm α?n β?则//m n C .若m n ⊥m α?n β?则αβ⊥ D .若m α⊥//m n //n β则αβ⊥ 3 .(2013年上海市春季数学试卷(含答案))若两个球的表面积之比为1:4则这两个球的体积 之比为( ) A .1:2 B .1:4 C .1:8 D .1:16 4 .(2013年普通等学校招生统一试大纲版数学(理)WORD 版含答案(已校对))已知正四棱柱 1111ABCD A B C D -12AA AB =则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于( ) A 5 .(2013年新课标1(理))某几何体的三视图如图所示则该几何体的体积为
( ) A .168π+ B .88π+ C .1616π+ D .816π+ 6 .(2013年湖北卷(理))一个几何体的三视图如图所示该几何体从上到下由四个简单几何 体组成其体积分别记为1V 2V 3V 4V 上面两个简单几何体均为旋转体下面两个简单几何体均为多面体则有( ) A .1243V V V V <<< B .1324V V V V <<< C .2134V V V V <<< D .2314V V V V <<< 7 .(2013年湖南卷(理))已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形则该正 方体的正视图的面积不可能...等于( ) A .1 B 8 .(2013年普通等学校招生统一试广东省数学(理)卷(纯WORD 版))某四棱台的三视图如 图所示则该四棱台的体积是
2018届高考数学(理)热点题型:立体几何(含答案解析)
4 42 立体几何 热点一空间点、线、面的位置关系及空间角的计算 空间点、线、面的位置关系通常考查平行、垂直关系的证明,一般出现在解答题的第(1)问,解答题的第(2)问常考查求空间角,求空间角一般都可以建立空间直角坐标系,用空间向量的坐标运算求解. π 【例1】如图,在△ABC中,∠ABC=,O为AB边上一点,且3OB=3OC=2AB,已知PO⊥平面ABC,2DA=2AO=PO,且DA∥PO. (1)求证:平面PBD⊥平面COD; (2)求直线PD与平面BDC所成角的正弦值. (1)证明∵OB=OC,又∵∠ABC= π 4 , ππ ∴∠OCB=,∴∠BOC=. ∴CO⊥AB. 又PO⊥平面ABC, OC?平面ABC,∴PO⊥OC. 又∵PO,AB?平面PAB,PO∩AB=O, ∴CO⊥平面PAB,即CO⊥平面PDB. 又CO?平面COD, ∴平面PDB⊥平面COD. (2)解以OC,OB,OP所在射线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.
? →·n ? 则 sin θ=? ?|PD||n|? PD BC BD BC BD =? ?= 02+(-1)2+(-1)2× 12+12+32 ? 11 1×0+1×(-1)+3×(-1) 设 OA =1,则 PO =OB =OC =2,DA =1. 则 C(2,0,0),B(0,2,0),P(0,0,2),D(0,-1,1), ∴→=(0,-1,-1),→=(2,-2,0),→=(0,-3,1). 设平面 BDC 的一个法向量为 n =(x ,y ,z), ??n·→=0, ?2x -2y =0, ∴? ∴? ??n·→=0, ?-3y +z =0, 令 y =1,则 x =1,z =3,∴n=(1,1,3). 设 PD 与平面 BDC 所成的角为 θ, ? PD ? → ? ? ? ? 2 22 . 即直线 PD 与平面 BDC 所成角的正弦值为 2 22 11 . 【类题通法】利用向量求空间角的步骤 第一步:建立空间直角坐标系. 第二步:确定点的坐标. 第三步:求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标. 第四步:计算向量的夹角(或函数值). 第五步:将向量夹角转化为所求的空间角. 第六步:反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范. 【对点训练】 如图所示,在多面体 A B D DCBA 中,四边形 AA B B ,ADD A ,ABCD 均为正方 1 1 1 1 1 1 1 形,E 为 B D 的中点,过 A ,D ,E 的平面交 CD 于 F. 1 1 1 1 (1)证明:EF∥B C. 1 (2)求二面角 EA D B 的余弦值. 1 1 (1)证明 由正方形的性质可知 A B ∥AB∥DC,且 A B =AB =DC ,所以四边形 A B CD 为平行 1 1 1 1 1 1
高考数学专题复习立体几何(理科)练习题
A B C D P 《立体几何》专题 练习题 1.如图正方体1111D C B A ABCD -中,E 、F 分别为D 1C 1和B 1C 1的中点, P 、Q 分别为A 1C 1与EF 、AC 与BD 的交点, (1)求证:D 、B 、F 、E 四点共面; (2)若A 1C 与面DBFE 交于点R ,求证:P 、Q 、R 三点共线 2.已知直线a 、b 异面,平面α过a 且平行于b ,平面β过b 且平行于a ,求证:α∥β. 3. 如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEFG 4=AB 1=BC 3=BE ,4=CF ,若如图所示建立空间直角坐标系. ①求EF 和点G 的坐标; ②求异面直线EF 与AD 所成的角; ③求点C 到截面AEFG 的距离. 4. 如图,三棱锥P —ABC 中, PC ⊥平面ABC ,PC=AC=2,AB=BC ,D 是PB 上一点,且CD 平面PAB . (I) 求证:AB ⊥平面PCB ; (II) 求异面直线AP 与BC 所成角的大小; (III )求二面角C-PA-B 的余弦值. 5. 如图,直二面角D —AB —E 中,四边形ABCD 是边长为2的正方形,AE=EB ,F 为CE 上的点,且BF ⊥平面ACE. (1)求证AE ⊥平面BCE ; (2)求二面角B —AC —E 的余弦值. 6. 已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2,点M 在侧棱1BB 上. P Q F E D 1C 1B 1A 1D C B A F E C B y Z x G D A
(Ⅰ)若P 为AC 的中点,M 为BB 1的中点,求证BP//平面AMC 1; (Ⅱ)若AM 与平面11AA CC 所成角为30ο,试求BM 的长. 7. 如图,在底面是矩形的四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,PA =AB =1,BC =2. (1)求证:平面PDC ⊥平面PAD ; (2)若E 是PD 的中点,求异面直线AE 与PC 所成角的余弦值; 8. 已知:在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AB = a ,AA 1 = 2a . D 是侧棱BB 1的中点.求证: (Ⅰ)求证:平面ADC 1⊥平面ACC 1A 1; (Ⅱ)求平面ADC 1与平面ABC 所成二面角的余弦值. 9. 已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形,且60DAB ∠=,1AD AA =F 为 棱1BB 的中点,M 为线段1AC 的中点. (Ⅰ)求证:直线MF //平面ABCD ; (Ⅱ)求证:直线MF ⊥平面11ACC A ; (Ⅲ)求平面1AFC 与平面ABCD 所成二面角的大小 10. 棱长是1的正方体,P 、Q 分别是棱AB 、CC 1上的内分点,满足 21==QC CQ PB AP . P A B C D E