2.5 关于随机性的游程检验

反之当游程数R较小，则说明两个总体的分布可能不同， 因此是一个左边检验。
查表的 n1＝12，n2＝10 的下临界值为 7，因此拒绝 H0.
2. 检验单样本的随机性
从生产线上抽取产品检验，是否应采用频繁抽取小样本的 方法。
在一个刚刚建成的制造厂内，质检员需要设计一种抽样方 法，以保证质量检验的可靠性。生产线上抽取的产品可以分成 两类，有瑕疵，无瑕疵。检验费用与受检产品数量有关。一般 情况下，有毛病的产品如果是成群出现的，则要频繁抽取小样 本，进行检验。如果有毛病的产品是随机产生的，则每天以间 隔较长地抽取一个一个典型的序列就是 二元0/1序列出现顺序的随机性问题
在一个二元序列中，0和1交替出现，一个由0或1连续构成 的串称为一个游程(run)，一个游程中数据的个数称为游程的长 度。
一个序列里游程个数用R表示， R表示0和1交替轮换的频 繁程度。容易看出， R是序列中0和1交替轮换的总次数加1.
函数 run.test (计算概率 P(R r) ，P(R r) 和 p 值的函数 ) 在输入函数 run.test(x) 之后，输出了 m, n 以及双边精确的和
渐近的 p 值，还输出涉及 p 值的 P(R r) ，P(R r) 的精确值 和渐近值
在输入函数 run.test(x) 之后，输出了 m, n 以及双边精确的和 渐近的 p 值，还输出涉及 p 值的 P(R r) ，P(R r) 的精确值 和渐近值
小，则数据不支持
H
；
0
若足够大，则不拒绝
H
。
0
备择假设 H1
序列具有混合的倾向（游程大）
p值
Z 的右尾概率
序列具有聚类的倾向（游程小） Z 的左尾概率
序列是非随机的
Z 较小的尾巴概率的两倍
四、总结 随机性的游程检验
H0 : 有随机性 H1 : 无随机性
检验统计量
K 游程 R
p值
P K k
2.3 关于随机性的游程检验
➢ 在实际中，经常需要考虑一个序列中的数据出现是否与 顺序无关，这关系到数据是否独立. ➢ 几乎所有经典统计方法在理论上都要求样本是随机样本， 即要求重复观察到的一组变量值在统计上相互独立。 ➢ 参数统计很难考察这一问题，但从非参数的角度考察时， 若数据出现趋势，周期性规律，.就不能表示数据是独立的。 这些问题可以转化为 0－1 序列或类型出现顺序的随机性问 题。 ➢ 游程检验就是检验数据出现顺序是否随机，其出发点是 检验样本的独立性。
其中 P(R r) =0.00072，P(R r) =0.99980，而相应的渐近值 分别为 0.000751，0.99925. 双边精确 p 值为0.00144（渐近的 p 值为 0.00150）
因此，可以在水平 0.0015 时，认为该数串不是随机的
（拒绝零假设）
例 2.6 如在工厂的全面质量管理中，生产出来的 20 个工件的某
8 9 10 11 12 13 14
73 75 76 1 11
77 80 80 82 2 221
15 16 17 18 19 20 21 22
82 83 84 1 12
84 86 91 91 93 2 2222
11111，2，1111，222，111，222222 共有6各游程。
如果原假设成立，则两个行业的负债水平的分布是相同 的，将其混合后，应能较为充分、均匀地混合，游程数R应 该比较大
假如我们掷一个硬币，这是一个伯努利试验，将正面向上 记做1，将反面向上记做0，例如我们得到一列这样的结果：
00000001111110000111100
如果称连在一起的0或1为游程，则上面这组数中有3个0游 程，2个1游程，一共是5个游程 (R=5)
这里0的总个数为 m=13，1的总个数为 n=10. 记总的试验 次数为 N，有 N=m+n
一尺寸按顺序为 X1, X 2 ,L , X 20 单位cm
12.27 9.92 10.81 11.79 11.87 10.90 11.22 10.80 10.33 9.30 9.81 8.85 9.32 8.67 9.32 9.53 9.58 8.94 7.89 10.77 人们想知道生产出来的工件尺寸变化是否只是由于随机因素， 还是有其它非随机因素
如果 0/1 序列中0和1出现的顺序规律性不强，随机性强，则 0和1出现不会太集中，也不会太分散。换句话说，可以通过0 和1出现的集中程度度量序列随机性的大小。
若序列随机，则游程的个数不能太多，也不能太少。游程 长度也不应太长或太短。相应地，就会出现游程个数检验和 游程长度检验。
在固定序列长度 m和n时，可以通过游程的个数 R 过多或 过少来定义假设检验的拒绝域。
H0 : 序列是随机的 H1 : 序列具有混合的倾向 H0 : 序列是随机的 H1 : 序列具有成群的倾向
注：
1. 为了对假设作出判定，被收集的样本数据仅需定类尺度 测量，但要求进行有意义的排序，按一定次序排列的样本观 察值能够被变换为两种类型的符号（比如 二元0/1序列）
2. 在H0为真的情况下，两种类型符号出现的可能性相等， 其在序列中是交互的。相对于一定的 m和n，序列游程的总 数应在一个范围内。 ➢ 若游程的总数过少，表明某一游程的长度过长，意味着 许多0 或许多1 连在一起，序列存在成群的倾向； ➢ 若游程总数过多，表明游程长度很短，意味着 0 和1交 替出现得太频繁，序列具有混合的倾向。 ➢ 因此，无论游程的总数 R 过多或过少，都表明序列不是 随机的。
2mn(2mn m n)
m n2 (m n 1)
因此可以用正态分布表得到 p 值和检验结果，
这时，在给定水平 后，可以用近似公式得到拒绝域的临界值 c1 和 c2 ，满足 P(R c1) 及 P(R c2 ) .
三、确定 p值
若
p
值相对于给定的显著性水平
2.当样本很大时，当数据序列的量很大时，即 n , 在零假设下，根据精确分布的性质可以得到
E(R) 2 mn 1 mn
Var(R)

2mn(2mn m n)
m n2 (m n 1)
于是 Z R E(R) Var(R)
R 2 mn 1
mn
N (0,1)
例 现随机抽了30件产品，按生产线抽取的顺序排列： 0000111111111111110001111111
问：检验瑕疵的产品是随机出现的吗？
解：假设检验
H0 : 序列是随机的 H1 : 序列具有成群的倾向 略
工 64 76 55 82 59 82 70 75 61 64 73 83 业 商 77 80 80 65 93 91 84 91 84 86 业
问：两个行业的负债水平是否有显著性差异 ( 0.05)
解：排序寻找游程 顺序 1 2 3 4 5 6 7 负债率 55 59 61 64 64 65 70 组别 1 1 1 1 1 2 1
解：Step 1. 先找出它们的中位数 X med 9.865，再把大于 X med 的 记做 1，小于的记做 0，于是产生一串 1 和 0： 11111111100000000001
Step 2. R 3, m 10, n 10, P(R 3) 0.00006，
p 值 2 minP(R 3) , P(R 3) 0.00012
然而，在已知 m 和 n 时，游程个数 R 的条件分布就与 p 无关了
假定有 m 个 0 和 n 个 1，m n N，出现任何一种不同结构序列的
可能性是 1

N n


1
N

m

如果游程个数为奇数R 2k＋1，这意味着 有 k 1 个1 游程和 k 个 0 游程；或有 k 1 个 0 游程和 k 个1 游程。
二、随机游程的检验
➢ Mood (1940) 提出关于这一问题的检验 ➢ 假设检验：
随机抽取一个样本，其观察值按某种顺序排列，如果 研究所关心的问题是：被有序排列的两种类型符号是否随 机排列，则可以建立双侧备择．
H0 : 数据出现顺序随机 H1 : 数据出现顺序不随机
如果关心的是序列是否具有某种倾向，.则应建立单侧备择
m 和 n 较大时，用近似正态统计量 Z
R 2 mn 1 mn
2mn(2mn m n)
m n2 (m n 1)
对显著性水平 ，如果 p 值 ，拒绝零假设，否则不能拒绝
例2.5 假如我们掷一个硬币，将正面向上记做1，将反面向上 记做0，例如我们得到一列这样的结果：
二、检验统计量
检验统计量为： R 游程个数
例如，对于序列 1100001110110000111100， R=8，游程长度分别为 2,4,3,1,2,4,4,2
极端情况: 000001111111 R = 2 0101010101010 R = 2min(m,n)+1
所以，2 ≤ R ≤ 2min(m,n)+1 极端情况都说明数据不具有随机性。
如果游程数为偶数R 2k，这意味着 0 和1 各有 k 个游程， 于是得到 R 的条件分布为
m 1 n 1
P(R

2k )

2
k
1


k
1
N

n

P(R

2k

1)


m 1
k

1


n
k
1


m 1
00000001111110000111100
假定在 R软件中，x代表上面的数据，则游程个数可由语句 N=length(x); k=1; for (i in 1: (N-1)) if (x[i]!=x[i+1])k=k+1