数学与应用数学毕业论文(剁树枝问题,组合数学、初等数论方向)
数学与应用数学专业毕业论文
数学与应用数学专业毕业论文一、教学中的常见问题1、学习兴趣不足在当前的中小学数学教学中，普遍存在着学生学习兴趣不足的问题。
一方面，由于数学学科的抽象性和严谨性，使得许多学生在学习过程中感到枯燥乏味，难以产生兴趣；另一方面，教师在教学过程中往往过于关注知识的传授，忽视了激发学生的学习兴趣。
（1）课堂氛围枯燥，缺乏趣味性在传统数学课堂中，教师往往采用“一言堂”的教学方式，课堂氛围较为严肃，学生被动接受知识，缺乏积极参与和互动。
这种教学方式使得数学课堂变得枯燥无味，难以激发学生的学习兴趣。
（2）教学手段单一，缺乏创新性在教学过程中，部分教师过于依赖教材和PPT，教学手段单一，缺乏创新。
这使得学生在学习过程中感到乏味，难以产生学习兴趣。
2、重结果记忆，轻思维发展在数学教学中，部分教师过于关注学生的考试成绩，导致教学过程中重视结果记忆，轻视思维发展。
（1）题海战术，忽视思维训练为了提高学生的考试成绩，部分教师采用题海战术，让学生大量做题。
这种做法虽然能在一定程度上提高学生的解题能力，但忽视了思维训练，导致学生难以形成系统的数学思维。
（2）教学过程过于关注答案，忽视思考过程在教学过程中，部分教师过于关注答案的正确性，而忽视了学生的思考过程。
这种做法使得学生在遇到新问题时，难以运用所学知识进行思考和解决。
3、对概念的理解不够深入在数学学习中，概念的理解至关重要。
然而，在当前的教学中，部分学生对概念的理解不够深入，影响了他们的数学学习。
（1）概念教学过于表面，缺乏深入剖析在概念教学中，部分教师仅仅停留在定义的层面，未能深入剖析概念的内涵和外延，导致学生对概念的理解不够深入。
（2）忽视概念之间的联系，难以形成知识体系在教学中，部分教师未能引导学生理解概念之间的联系，使得学生在面对复杂问题时，难以将所学知识进行整合，形成系统的知识体系。
二、教学实践与思考1、梳理脉络，全面理解教材（1）从培养目标出发，理解课程核心素养的发展体系为了提高数学教学的质量，教师需要从培养目标出发，深入理解课程核心素养的发展体系。
数学与应用数学毕业论文范文
数学与应用数学毕业论文范文在数学领域里，应用数学占有重要的位置，理论上应用数学包括运筹学和线性代数，还有概率论及数理统计等学科。
下文是店铺为大家整理的关于数学与应用数学毕业论文的内容，欢迎大家阅读参考!数学与应用数学毕业论文篇1浅析高校目前的应用数学教学状况与改革策略在高校设立的学科中数学教学占有的位置不容忽视，加强数学教育就能够使学生在解决实际问题时更有把握，并且学生自身还可以构建其数学知识体系。
所以，在进行高效实际数学教学改革时，师生都对教学改革的观念加以重视，同时要慢慢的培养学生养成良好的学习习惯。
1 高校应用数学内在的意义高校应用数学这门学科非常重要，并且不同与以往的教学。
其一，是应用领域上的不同，高校应用数学的开始针对性特别的强，以往是数学有着较为传统的应用领域。
其二，应用数学主要关注的就是将理论知识联系到实际，可是，以往的数学主要就是对理论加以注重。
即使有很大的差异存在这两种数学中，可是这两种学科的内容是不能分离的，他们是一个整体，存在的差异也只是在针对性方面和教学目标方面[1].2 高校目前的应用数学的教学状况2.1 建立应用数学的有关课堂学生在深入学习应用数学知识后，可以对数学中的一些基础运算加以掌握，并且学生的思维能力也得到了提高，学生能够深入的分析数学中的所有问题，并在对所有问题应用所学的理论知识加以解决，对学生的数学理论知识的运用与创新能力进行培养，最后达到提升学生数学素养的目标。
大学生的教学课程就包括高等数学课程，并且高校还建立了与改课程有关的专人培养内容，对应用数学的学习有助于学习其他的学科，想要学好其他的课程，应用数学的学习必不可少[2].高校建立应用数学课堂，这样学生就能掌握数学的理论知识，学生的学习数学能力将会得到培养，同时增加学生的学习兴趣，学生的数学素养也会得到提高。
2.2 高校数学中出现的问题(1)在教学内容上有问题存在。
高校数学教学的内容上涵盖性较强，很多专业学生对数学的学习知识为基础理论，根本不能联系数学实践，所以，教学的领域根本不符合教学要求，并且，学生在整个学习的过程中对所有理论知识都不能深刻的理解，这都阻碍了学生积极主动的学习数学理论知识的想法。
应用数学毕业论文
应用数学毕业论文应用数学在信息化领域的应用，主要涉及网络技术、加密技术图像处理以及身份认证等，应用数学可以有效促进信息化的应用，其可以优化信息技术的应用。
下面是店铺为大家整理的应用数学毕业论文，供大家参考。
应用数学毕业论文范文一：应用数学与数学论文1.当前数学与应用数学专业对人才培养教育所存在主要问题1.1教学课时过多，学生独立思考的时间少，很难激发他们的创造力由于专业课的课时设置得过多，使得学生个人自学、独立思考的时间变得很少，留给学生自由发挥的空间也很少，很难激发他们的创造力。
一直以来，我国的高等教育的主要目的是培养教学型人才和科研型人才，而当前的数学与应用数学专业的教学模式和课程内容都呈现出陈旧老化的状态，已经不能适应当前社会对新型人才培养的要求了。
无论在哪种时期，经济理论都是为当前时期的经济建设和发展而服务的，是为指导当前时期的经济活动而服务的，而教育体制的改革常常滞后于经济体制的改革，导致教学内容很难满足现阶段的市场经济发展的需求。
1.2不够重视课外动手能力的培养环节，设置的实践环节层面不高纵观现阶段我国的数学与应用数学专业的教学实践来看，还存在很多有待改进的地方，主要表现为学生学习课堂知识的环节设置很多，而动手实践的环节设置很少，培养其创造能力的环节设置更少。
因此，要对现阶段的教育模式进行调整，改变传统的学生听老师讲的方式，而是多创造师生之间交流探讨的机会。
客观条件的限制也会影响教学模式的改进，有些学校由于一些客观原因只能以传统教学方式为主，使得教学质量得不到很大的提高，学生创造水平的发挥也受到了限制。
2.对于数学与应用数学专业的人才培养教育方案的探讨2.1明确数学教学的目标，改进教学模式，及时更新教学内容实现教学目标的创新，要从以下三点入手:一是从注重知识结论变成注重知识体系的构建;二是从注重知识传授变成注重能力培养;三是从注重技能训练变成注重思维训练。
实现教学模式的改进，首先，要做到将教学模式从以教师为中心转变为以学生为中心;其次，将教师的灌输性教学转变为协作互助的教学模式;再者，从纯教学知识讲解的模式转变为以培养学生逻辑思考能力和创新能力为主的模式。
数学与应用数学专业大学毕业论文
数学与应用数学专业大学毕业论文一、引言数学与应用数学专业涵盖了数学理论和数学应用的学习，旨在培养学生在数学理论和方法上的深入理解和应用能力。
本次毕业论文旨在探究数学与应用数学的重要性以及其在现代社会中的应用。
二、数学的重要性1. 数学理论的推动作用数学理论作为科学发展的基础，对现代科学和技术的发展起到了重要的推动作用。
通过深入理解数学的基本原理和概念，学生可以在未来的职业生涯中运用数学方法解决实际问题。
2. 数学在科学研究中的应用数学在自然科学和社会科学等领域中起到了重要的作用。
在物理学、化学、生物学等自然科学领域，数学模型被广泛运用于预测、解释以及模拟实验。
在经济学、管理学、社会学等社会科学领域，数学方法可以用来分析数据、描述现象以及推理推论。
3. 数学教育的培养能力数学学科的学习不仅仅是为了培养学生的数学知识和技能，更重要的是培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力、创造力以及解决问题的能力。
这些能力在学生的终身学习和职业发展中都起到了重要的作用。
三、数学与应用数学的应用领域1. 工程与技术领域数学在工程和技术领域中应用广泛。
在电子工程、计算机科学和信息技术等领域，数学方法被用于设计和优化算法、模拟和分析电路，以及解决不同领域的工程问题。
2. 金融与经济领域数学在金融与经济领域中起到了重要的作用。
通过建立数学模型和运用数学方法，可以预测市场走势、风险管理和投资决策。
金融数学和金融工程等学科的发展也证明了数学在金融领域中的重要性。
3. 自然科学领域数学在自然科学领域中也有广泛的应用。
在物理学、化学、天文学等领域中，数学方法被用于解决实验数据分析、数值计算和模拟实验等问题。
数学模型和方程式可以帮助科学家理解和解释现象，指导实验和观测。
4. 社会科学领域社会科学领域也离不开数学的应用。
例如，在心理学、社会学和统计学等领域中，数学方法可以帮助研究者分析数据、探索关联性以及验证假设。
数学模型的运用可以揭示出隐藏在数据背后的规律和趋势。
数学与应用数学专业毕业论文
数学与应用数学专业毕业论文数学与应用数学专业毕业论文数学与应用数学专业是一门深奥而又实用的学科，它涉及到数理逻辑、代数、几何、微积分、概率统计等多个领域。
毕业论文是学生在大学期间的重要任务之一，它不仅要求学生掌握所学知识，还需要学生具备独立思考和解决问题的能力。
本文将从数学与应用数学专业毕业论文的选题、研究方法和结果分析等方面进行探讨。
一、选题数学与应用数学专业毕业论文的选题是一个关键的环节。
学生可以选择自己感兴趣的领域进行深入研究，也可以选择与实际应用紧密相关的课题。
例如，可以选择在金融领域中应用数学模型来解决问题，或者研究图像处理中的数学算法等。
选题时需要考虑到自己的兴趣和专业背景，同时也要考虑到课题的研究难度和可行性。
二、研究方法研究方法是数学与应用数学专业毕业论文的核心。
学生可以运用数学分析、数值计算、模拟实验等方法来解决问题。
例如，可以运用微积分的知识来分析函数的性质，或者使用概率统计的方法来分析数据的规律。
在具体的研究过程中，学生需要运用数学模型来描述问题，并进行合理的假设和推导。
同时，还需要进行数据采集和实验验证，以验证自己的研究结果。
三、结果分析结果分析是数学与应用数学专业毕业论文的重要组成部分。
学生需要对自己的研究结果进行全面准确的分析和解释。
在结果分析中，学生可以运用图表、统计数据等形式来展示自己的研究成果。
同时，还需要对结果进行深入的讨论，分析其意义和局限性。
在结果分析中，学生还可以提出自己的观点和建议，为相关领域的研究和应用提供参考。
四、实际应用数学与应用数学专业毕业论文的实际应用是其重要价值之一。
毕业论文的研究成果可以为相关领域的实际问题提供解决方案。
例如，通过研究金融领域中的数学模型，可以为投资者提供科学的投资策略；通过研究图像处理中的数学算法，可以为图像识别和图像重构等提供技术支持。
因此，数学与应用数学专业毕业论文的实际应用价值不容忽视。
综上所述，数学与应用数学专业毕业论文是学生在大学期间的重要任务之一。
数学与应用数学专业本科毕业论文参考题目
要求：1。以引理：设 f(x)和 g(x)在[a,b]上可积，则
lim
λ→0
∑
n
i =1
f ( ξ i ) g (θ i ) ∆ xi =
∫
b
a
f ( x ) g ( θ
i
∈
［ xi-1,xi ］ ,(i=1,2, … ,n),x0=a,xn=b, Δ xi=xi-xi-1, λ = max{∆xi}
25．一个不等式的推广 简介：文献《几何不等式》[M]、O、Bottema 等著。单尊译。北京大 学出版社。1991 给出了如下一个三角形不等式： 设△ABC 的三边长分别为 a、b、c，则 1 a2 + b2 + c2 1 ≤ < ，当且仅 3 (a + b + c) 2 2
当 a=b=c 时等号成立，试推广之。 26．一个矩阵式成立的条件
)
k 的所有本原元 θ 并找出 θ 在 Q 上的极小多项式. 29．刻画 I[x] ,K[x,y](进而 R[x],R 为 Pid)中的素理想，其中 I 为整数环，K 为域。 30．给出求方程 X2+Y2=Z2 的所有整数解的三种不同方法。 31． 对于每个 n≥2,找出对称群 Sn 在 Mn(Z) 中的一个表示(模型),其中 Mn(Z) 为整数环 Z 上的 n 阶矩阵环. 32．给出 Euler 定理(若(a,m)=1， 则 a ϕ ( m ) ≡ 1(mod m) ) 的三种不同证明。 33．试论矩阵环（代数）Mn(K)的基本结构性质，其中以为域，n≥2. 34．试述函数在数学中的地位和作用。 要求：1、阐明初等函数在中学数学中的地位和作用。 （结合中学数学教学 内容） 2、阐明函数理论在高等数学中的地位和作用。 （着重说明函数理论在研究近代科学技术上应用） 参考资料：高中数学（教本）高等数学（教本） 初等代数研究教程（王林全主编暨南大学出版社） 35. 浅谈微分学（或积分学）在中学数学教学中的应用 要求：1、从高等数学与初等数学的联系中说明微分学（或积分学）在数学 中的地位和作用。 2、考查微分学（或积分学）在中学数学解题中作用（举例说明） 3、谈提高中学教师的现代数学修养的必要性、可能性。 参考资料： 1、高中课本（高三教材）2、微积分（经济应用数学基础理超树 著编） 3、数学教育研究导引（张奠宙主编江苏教育出版社）4、数学分析问题
数学与应用数学专业毕业论文
数学与应用数学专业毕业论文数学与应用数学专业是一门涉及广泛且充满挑战性的学科。
无论是在理论研究还是实际应用上，数学与应用数学都起着重要的作用。
在这篇文章中，我们将探讨一些与数学与应用数学专业相关的毕业论文选题。
1. 数论在密码学中的应用数论是研究整数性质及其关系的数学分支。
在当今数字化时代，安全性成为了信息交流中至关重要的一环。
密码学在保护信息安全方面发挥了重要作用。
通过研究数论中的素数分解、离散对数等算法，可以应用于密码学中的加密和解密过程中。
本论文将深入探讨数论在密码学中的应用，并就其相关算法的效率和安全性进行研究和评估。
2. 图论在社交网络分析中的应用社交网络已经成为人们日常生活中重要的一部分。
通过构建数学模型，可以揭示社交网络中个体之间的联系、影响力传播以及群体行为规律等。
图论作为研究节点和边之间相互关系的数学分支，在社交网络分析中具有重要意义。
本论文将基于图论方法，采用网络分析工具，对社交网络中的节点度中心性、聚类系数等指标进行研究，并以某社交网络为案例进行实证分析和探讨。
3. 微分方程在物理建模中的应用物理现象通常可以通过微分方程进行建模和描述。
微分方程作为研究变量之间关系的数学工具，在物理建模中广泛应用。
本论文将以某具体物理现象为例，通过选取合适的微分方程模型，进行求解和分析，并对其合理性和精确性进行讨论。
通过这一研究，可以进一步揭示微分方程在物理建模中的作用和应用价值。
4. 统计学在医学研究中的应用统计学作为研究收集整理数据方法和推断结论的学科，在医学研究中拥有广泛的应用。
通过合理设计实验、分析数据和研究结果，可以得出结论并为临床决策提供依据。
本论文将选择某一医学研究领域，结合实际案例，运用统计学方法进行数据分析，并就结果进行解读和讨论。
同时，对数据处理过程中可能存在的风险和误差进行评估和探讨。
以上只是数学与应用数学专业毕业论文选题的几个示例。
无论选择哪个选题，都需要合理设置研究目标、提出问题，并采用适当的方法和技巧进行研究。
数学与应用数学毕业论文
数学与应⽤数学毕业论⽂ 应⽤数学是应⽤⽬的明确的数学理论与数学⽅法的集合名称，是数学学科的⼀项⾄关重要的分⽀。
下⽂是店铺为⼤家整理的关于数学与应⽤数学毕业论⽂的范⽂，欢迎⼤家阅读参考! 数学与应⽤数学毕业论⽂篇1 浅析数学分析原理和⽅法在数学中的运⽤ 数学分析是⾼等教学中的基础技能之⼀，对数学教学具有促进作⽤。
针对数学的抽象性和严谨性特征，数学分析能够使概念清晰化，数学分析中包含了数学知识内容，主要采⽤极限的⽅式建⽴数学概念之间的内在联系，从⽽为数学学习提供丰富的⽅法，拓宽学⽣是视野，为数学教学提供理论基础。
⼀、数学分析的重要作⽤ 数学分析以及丰富的内容为数学教学提供了理论基础，其在数学教学中的作⽤经得起验证。
并且是对数学能⼒、数学意识的客观反映。
在教学中，其作⽤重点体现为以下⼏点： (⼀)数学分析有助于培养学⽣的辩证唯物主义思想 数学分析以极限思想为核⼼内容，极限的定义利⽤“ε”语⾔实现了有限与⽆限两个概念紧密相连，将事物由量变向质变转变的过程转化为数学语⾔。
通过这⼀分析过程，学⽣⾃然的掌握了唯物主义理论，对其数学知识学习具有积极意义。
(⼆)数学分析有助于培养学⽣的数学应⽤意识 数学分析来源于实践，在数学教材中，许多例⼦应⽤于数学分析理论。
通过数学分析理论，学⽣具有较强的应⽤意识，丰富了其解题技巧，从⽽培养其⾃主学习和探究精神，与素质教育的精神相吻合。
(三)培养抽象意识、建⽴审美意识 数学分析的主导思想导数和定积分具有⾼度抽象特点。
利⽤数学分析思想，使学⽣形成正确的审美观念，培养其抽象意识。
通过概念、命题的形成过程⽽培养学⽣从本质看问题的习惯。
⽽对于复杂事物或概念，数学分析可帮助学⽣学会由表及⾥，分清主次的特点，为学⽣数学问题的解决提供了多样化的、可⾏的⽅案。
数学分析思想中的极限、微积分都具有抽象特点，有助于引导学⽣发现数学中的美感，对数学产⽣好的印象，从⽽提⾼其对数学学习的兴趣。
⼆、数学分析原理和⽅法在数学中的应⽤ (⼀)微分学原理、⽅法在数学中的应⽤ 数学分析中的微分学原理对函数图形的解读具有积极意义。
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摘要有一根正整数单位长树枝，要剁成一定长的短树枝，在剁的过程中可以重叠，问如何剁次数最少？这样的问题被称为剁树枝问题。
剁树枝问题是许多实际问题的一个模型，有着广泛的应用。
本课题的任务是提供一般的方法使剁的次数最少。
采用例举、分析、归纳、证明的流程，给出了剁树枝问题最少次数的递推关系和具体表达式，并对其进行了证明。
关键词初等数论；组合数学；递归；数学归纳法AbstractSuppose there is a positive integer units long branches, to chop them into a certain length of short branches. During the cutting process overlap is allowed, then how many times is needed at least? This problem is known as cutting the tree problem. The cutting branches-problem is a model for many practical problems, with a wide range of applications. Based on the idea of dynamic programming, the recursion formula of the least number of movements necessary for this problem is presented. The direct formula of the least number of movements necessary for this problem is given and proved by triple mathematical induction and pure combinatorics.Key words number theory；combinatorial mathematics；recursive; mathematical目录摘要 (2)第一章．绪论 (4)1.1 剁树枝问题的简介 (4)1.2 剁树枝问题的研究意义及主要方法 (4)第二章．主要理论：递归关系 (5)第三章．推导过程 (6)3.1 剁成1分米长的短树枝的情况 (6)3.2 剁成2或3分米长的短树枝的情况 (9)第四章．结论 (13)致谢 (14)参考文献 (15)附录：外文参考文献 (16)参考文献翻译 (18)第一章.绪论1.1 剁树枝问题的简介有一根正整数单位长树枝，要剁成一定长的短树枝，在剁的过程中可以重叠，问如何剁次数最少？这样的问题被称为剁树枝问题。
例如：长为4分米的树枝要剁成1分米长的短树枝，先剁成两个2分米长度的树枝，再重叠剁成四个1分米的长度的短树枝，这样剁的次数最少，为两次。
又如，长为9分米的树枝要剁成2分米或3分米长的短树枝最少次数是两次。
剁树枝问题是许多实际问题的一个模型，有着广泛的应用。
本课题的任务是提供一般的方法使剁的次数最少。
1.2 剁树枝问题的研究意义及主要方法本课题是主要研究剁树枝这样一个数学模型的一般性解决方法，涉及数论和组合数学知识，为日常生产生活、以及数学中类似问题的解决提供模型和参考。
本课题的研究主要将涉及初等数论、组合数学等方面的知识，尤其是组合数学中的递推关系，将在本课题的研究中起到重要的作用。
力图通过研究任意正整数长度的树枝分别剁成1分米，2或3分米两种情况的最少次数的情况，由其归纳出普遍适用的函数关系式，并通过验证、证明，归纳出最终的结论。
第二章 主要理论：递归关系在组合数学中，递归关系是求解计数问题的重要方法。
一般地说，当01n n k≥+≥时，若数列0(())((0),(1),...,(),...)n f n h h h n ≥=满足(h (n ))=F (h (n -1),h (n -2),…,h (n-k )) （*） （这里F 是k 元函数）则称式（*）为这数列的递推关系（或递归关系）。
而满足递推关系（*）的数列称为这递推关系的解。
当这数列的初始值 h (0),h (1),…,h (0n )给定时，从式（*）可依次计算出00(1),(2)h n h n ++,…. 从而就确定了这数列，也就是可以计算出这数列的每一项。
有时还能得到这数列的通项公式。
第三章.推导过程3.1剁成1分米长的短树枝的情况（为书写方便，所有单位dm均忽略不写）：设n为树枝长度（n∈Z*），f(n)为最少剁的次数。
例举n∈[1,50]的情形。
如：当n=1时，f(1)=0.当n=2时，剁一次，f(2)=1.n=3,f(3)=2.……n=16时，先在中间剁一次为2个8（记为8·2），重叠在中间成4个4（4·2·2），如此往复，依次可得：16=8·2=4·2·2=2·2·2·2=1·2·2·2·2，共剁4次,f(16)=4n=17,先剁成8+9，重叠后剁成(4+4)+(4+5)，重叠后剁成2·7+3，再次重叠剁成1·15+2，最后将2剁成两个1，共计5次。
……n=50, 50=25·2=(12+13)·2=(6·3+7)·2=(3·7+4)·2=(2·9+1·7)·2 =1·50,由等号的个数可以看出f(50)=6.结果如下表所列：通过以上表格和在分析得到此表格的过程，我们可以得到如下发现：1.f(n)随着n的增大而增大或不变，即f(m) ≥f(n),m ≥n.2.f(n) 在以下位置之后值发生改变：f(1)=0, f(2)=1,f(4)=2, f(8)=3, f(16)=4,f(32)=5.……不难发现这样的规律：f(2n)= n，f(2n+ t )= n+1 (1≤t <2n).为了证明这个公式，下面，我将给出以下几个引理：引理1.1f(n) ≤f(n+1)证明：由剁树枝的过程，此定理显然成立。
引理1.2 f(2n)=f(n)+1证明：由剁树枝的过程可发现，对于偶数长度的树枝，先将其对半剁，使2n长度为2个n长。
接着将2个n重叠，以下剁法同长为n的树枝。
故长2n的树枝比长n的树枝多剁一次，即f(2n)=f(n)+1.引理1.3 f(2n-1)=f(2n) n≥2证明：对于大于1的奇数长度的树枝，如2n-1，第一步将其剁为长度相差最小的两段，即(n-1)+n，然后将这两段树枝重叠再剁。
由f(n-1) ≤f(n),故重叠后至少要剁f(n)次。
故f(2n-1)=f(n)+1=f(2n).下面我们开始定理的证明：定理1.对于长度为m（m∈Z*）分米的树枝，将其剁为长度为1分米的短树枝，最少所需次数为f(m)。
则f(m)满足下列公式：任意m∈Z*, 存在n, t ∈Z , 使得m=2n+ t , 其中t∈[0, 2n),t∈Z .n t=0;则f(m)=f(2n+t)=n+11≤t <2n.证明：【一】先考虑t=0的情形：n=0时，f(1)=f(02)=0 .结论成立。
n >0时，由引理1.2，有f (2n )=f (2·12n -)=f (12n -)+1=f (22n -)+2=……=f (02)+n=n. 得证。
【二】再考虑t ≠0 ，即1≤t <2n的情形：n ≥1时，2n < 2n +t < 12n +，故由引理1.1，有 f(2n ) ≤ f(2n +t) ≤ f(12n +) （1）而由引理1.3: f(2n-1)=f(2n) n ≥2，故 f(2n +1)=f(2n +2)=f[2*(12n -+1)]=f(12n -+1)+1=f(12n -+2)+1=f(22n -+1)+2=……=f(2n n-+1)+n=f(2)+n=n+1 .又 f(2n )=n , f(2n+1)=n+1 , f(12n +)=n+1,由（1）式及引理1.1，有n+1= f(2n +1) ≤f(2n +t) ≤ f(12n +)=n+1,故 f(2n+t)=n+1, 1≤t <2n . 得证。
3.2 剁成2或3分米长的短树枝的情况设n 为树枝长度（n ∈Z*），g(n)为最少剁的次数。
例举n ∈[2,50]的情形。
如：当n =2或3时，g(n)=0;当n=4时，剁一次，g(n)=1 ……n=16时，先在中间剁一次为2个8（记为8·2），重叠在中间成4个4（4·2·2），再重叠剁一次即可，依次可得：16=8·2=4·2·2=2·2·2·2，共剁3次,g(16)=3n =17,先剁成8+9，重叠后剁成(4+4)+(4+5)，重叠后剁成2·7+3，共计3次，故g(17)=3。
……n=50, 50=25·2=(12+13)·2=(6·3+7)·2=(3·7+4)·2=3·14+2·4, 由等号的个数可以看出g (50)=5.结果如下表所列：和剁成1分米的情况类似，我们也不难得到如下发现：3.g(n)随着n的增大而增大或不变，即g(m) ≥g(n),m ≥n.4.g(n)在以下位置之后值发生改变：g(3)=0,g(6)=1，g(12)=2,g(24)=3,g(48)=4. ……不难发现这样的规律：g(3·2n)=n，g(3·2n+ t )=n+1 (1≤t <3·2n).为了证明这个公式，同样也将给出以下几个引理：引理2.1g(n) ≤g(n+1)证明：由剁树枝的过程，此定理显然成立。
引理2.2 g(2n)=g(n)+1证明：由剁树枝的过程可发现，对于偶数长度的树枝，先将其对半剁为最简方案，使2n长度为2个n长。
接着将2个n重叠，以下剁法同长为n的树枝。
故长2n的树枝比长n的树枝多剁一次，即g(2n)=g(n)+1.引理2.3 g(2n-1)=g(2n) n≥3证明：对于大于3的奇数长度的树枝，如2n-1，第一步将其剁为长度相差最小的两段，即(n-1)+n，然后将这两段树枝重叠再剁。
由g(n-1) ≤g(n),故重叠后至少要剁g(n)次。
故g(2n-1)=g(n)+1=g(2n).下面我们开始定理的证明：定理2.对于长度为m （m ∈Z*）分米的树枝，将其剁为长度为2或3分米的短树枝，最少所需次数为g(m)。