大学物理 静电场的能量和能量密度
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-静电场的能量和能量密度
2 b 2 1
l
-+ - + R1 - + R2 -+
_
_ _ _
++ + _ + + _ + ++ _
_
R2 Eb R2 U max Eb R1 ln 9.10103 V R1 2 e
9 – 5 静电场的能量 能量密度
C, U, q, E 的变化。 （ 1 ） 充电后切断电源 （2）充电后不切断电源
9 – 静电场的能量 5 静电场的能量 能量密度 第九章静电场中的导体和电介质 例9-9 求半径为R 带电量为Q 的均匀带电球的静电能。 解一：计算定域在电场中的能量 球内 r 处电场
Qr E ， 3 4 0 R (r R)
1 2 0 R Qr 2 4r dr W 0 E dV 0 3 2 2 4 0 R
第九章静电场中的导体和电介质
例 1.平行板电容器，其间充满介质 r , 求下列情况充入介质前后的
A
K 300V
E0
d
B
r
U Ed U0
（1）q不变 解 : 提示： （1）q不变
（2）U不变
C r C0 E
r
U （2）U不变 C r C0 E 不变 q CU r CU d S U 基本公式： C E d d q C C r C0 U
Q2 We 8π R1
（孤立导体球贮存的能量）
9 – 5 静电场的能量 能量密度
第九章静电场中的导体和电介质
例2 如图圆柱形电容器，中间是空气，空气的击 2 6 -1 穿场强是 Eb 310 V m，电容器外半径 R2 10 m. 在空气不被击穿的情况下，内半径 R1 ? 可使电容器 存储能量最多. （ 空气 r 1 ）43; ++ _
l
-+ - + R1 - + R2 -+
_
_ _ _
++ + _ + + _ + ++ _
_
R2 Eb R2 U max Eb R1 ln 9.10103 V R1 2 e
9 – 5 静电场的能量 能量密度
C, U, q, E 的变化。 （ 1 ） 充电后切断电源 （2）充电后不切断电源
9 – 静电场的能量 5 静电场的能量 能量密度 第九章静电场中的导体和电介质 例9-9 求半径为R 带电量为Q 的均匀带电球的静电能。 解一：计算定域在电场中的能量 球内 r 处电场
Qr E ， 3 4 0 R (r R)
1 2 0 R Qr 2 4r dr W 0 E dV 0 3 2 2 4 0 R
第九章静电场中的导体和电介质
例 1.平行板电容器，其间充满介质 r , 求下列情况充入介质前后的
A
K 300V
E0
d
B
r
U Ed U0
（1）q不变 解 : 提示： （1）q不变
（2）U不变
C r C0 E
r
U （2）U不变 C r C0 E 不变 q CU r CU d S U 基本公式： C E d d q C C r C0 U
Q2 We 8π R1
（孤立导体球贮存的能量）
9 – 5 静电场的能量 能量密度
第九章静电场中的导体和电介质
例2 如图圆柱形电容器，中间是空气，空气的击 2 6 -1 穿场强是 Eb 310 V m，电容器外半径 R2 10 m. 在空气不被击穿的情况下，内半径 R1 ? 可使电容器 存储能量最多. （ 空气 r 1 ）43; ++ _
6-5 静电场的能量和能量密度
14
物理学
第五版
6-5 静电场的能量和能量密度
故静电能量为
1 v v 1 2 We = ∫ D • EdV = ε ∫ EV dV 2 2 V 1 = ε∫ 2 a
∞
q q 2 4π r dr = 2 8πε a 4πε r
2
2
15
物理学
第五版
6-5 静电场的能量和能量密度
1 = 2
当均匀电介质充满电场时 当均匀电介质充满电场时 电介质充满
∫∫∫
V
εE
2
dV
电场能是整个电场的总能量。 电场能是整个电场的总能量。
19
Q2 1 1 2 W= = CU = QU 2C 2 2
18
物理学
第五版
6-5 静电场的能量和能量密度
静电场的能量 电场能量的体密度： 电场能量的体密度：
1 uv uv we = D ⋅ E 2
电场能: 电场能:
uv uv 1 W = ∫∫∫ we d V = ∫∫∫ E ⋅ Dd V 2 V q
B
17
物理学
第五版
总结：电容器 电容 总结：
电容器的电容
6-5 静电场的能量和能量密度
C = q −U
U
A
B
三种常见的电容器 平行板电容器 圆柱形电容器的电容 球形电容器的电容 电容器的能量
C =
C
q U AB
=
=
ε0S
d
0
2 πε ln R R
l
2 1
4πε 0 R B R A C = (R B − R A )
R r
Q
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物理学
第五版
6-5 静电场的能量和能量密度
物理学
第五版
6-5 静电场的能量和能量密度
故静电能量为
1 v v 1 2 We = ∫ D • EdV = ε ∫ EV dV 2 2 V 1 = ε∫ 2 a
∞
q q 2 4π r dr = 2 8πε a 4πε r
2
2
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物理学
第五版
6-5 静电场的能量和能量密度
1 = 2
当均匀电介质充满电场时 当均匀电介质充满电场时 电介质充满
∫∫∫
V
εE
2
dV
电场能是整个电场的总能量。 电场能是整个电场的总能量。
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Q2 1 1 2 W= = CU = QU 2C 2 2
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物理学
第五版
6-5 静电场的能量和能量密度
静电场的能量 电场能量的体密度： 电场能量的体密度：
1 uv uv we = D ⋅ E 2
电场能: 电场能:
uv uv 1 W = ∫∫∫ we d V = ∫∫∫ E ⋅ Dd V 2 V q
B
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物理学
第五版
总结：电容器 电容 总结：
电容器的电容
6-5 静电场的能量和能量密度
C = q −U
U
A
B
三种常见的电容器 平行板电容器 圆柱形电容器的电容 球形电容器的电容 电容器的能量
C =
C
q U AB
=
=
ε0S
d
0
2 πε ln R R
l
2 1
4πε 0 R B R A C = (R B − R A )
R r
Q
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物理学
第五版
6-5 静电场的能量和能量密度
...必修三第十章静电场中的能量微公式版知识点总结归纳
千里之行，始于足下。
...必修三第十章静电场中的能量微公式版知识
点总结归纳
必修三第十章静电场中的能量微公式版知识点总结归纳：
1. 静电场中的电势能：电场中的电荷在电场力作用下移动时会做功，其功可以转化为电势能。
电势能的表达式为 U = qV ，其中 q 是电荷量，V 是电势。
2. 静电场中的电场能量：静电场在存在电荷时具有能量，称为电场能量。
电场能量的表达式为 W = (1/2)ε₀E²，其中ε₀是真空电容率，E 是电
场强度。
3. 静电场的能量密度：静电场中的能量分布在空间中，单位体积内的能量称为能量密度。
能量密度的表达式为 u = (1/2)ε₀E²，其中ε₀是真空
电容率，E 是电场强度。
4. 静电场的能量守恒定律：静电场中的能量不会产生或消失，只会转化形式，遵循能量守恒定律。
5. 点电荷系的电势能：点电荷系的总电势能可以看作是各个电荷之间相互作用电势能的总和。
6. 电场的能量密度的积分表达式：电场的能量密度可以通过对空间中所有点的能量密度进行积分，得到电场的总能量。
7. 惯性负荷的移动：当惯性负荷从一个电势较高的位置移动到一个电势较低的位置时，它会释放出一部分能量。
第1页/共2页
锲而不舍，金石可镂。
8. 静电势能的应用：静电势能可以用于描述电场的储能特性，例如电容器的电荷和电势能的关系、电容器的能量和电势差的关系。
以上是必修三第十章静电场中的能量微公式版的知识点总结归纳。
静电场的能量与能量密度
静电场是由带电粒子的分布和运动引起的一种电力学现象。
它的能量
与能量密度是电力学中的重要概念，可以用来描述静电场的强弱和能
量分布。
静电场的能量是指静电场中带电粒子所携带的能量。
这些能量可以在
静电场中传递和转化，但是总能量是不变的。
静画场的能量密度是指单位体积内静电场的能量。
在静电场中，能量
密度越大，静电场就越强。
反之，能量密度越小，静电场就越弱。
举个例子，假设有两个电荷相互作用，一个带正电荷，一个带负电荷。
如果电荷的电量越大，那么静电场的能量就越大，能量密度也就越大。
如果电荷的电量越小，那么静电场的能量就越小，能量密度也就越小。
静电场的能量和能量密度是相互影响的，因此在研究静电场时，通常
要同时考虑这两个概念。
静电场的能量
q
连接后, 腔内电场消失, 腔外电场不变, 所以 静电场能量减少.
答案(B)
太原理工大学大学物理
例3 为电容器充电. 在电源保持连接的情况下, 把电介质插入, 则静电能 . (填增大、减小、不变)
解：电源保持连接时，两极板间的电 压一定，插入介质后，C增大 由 得静电能增加
思考： 若将“电源保持连接”改为“电源断开”, 结果如何？
We 1 2 e 0 r E V 2
对于电容器中充有各向同性的电介质
1 2 1 e 0 r E DE 2 2
说明： 1）公式对任意电场成立。 2）电场的能量密度与场强的平方成正比， 场强越大，能量密度越大。 太原理工大学大学物理
3.一般电场的能量 对于非均匀电场，电场能量密度应为空间 坐标的函数，任何带电系统的电场中所储存的 总能量为：
dr
q E2 2 4 πr
r
o
R
取半径为r-r+dr 的球壳, 体积 dV= 4πr2dr 体积元中电场能为 dW dV 1 E 2 dV e e 2 太原理工大学大学物理
整个电场中能量 1 We E 2 dV V 2
0dV
0 R R
R
0
0dV
2
R
1 2 E2 4 r 2 dr 2
1 q 2 4 r dr 2 2 4 r
q2 8 R
2 2 2
解二 看成电容器（孤立导体球）
1q q q We 2 C 2 4 R 8 R
太原理工大学大学物理
例2 如图，一带电量为q的球形导体置 于一任意形状的空腔导体中. 若用导 线将两者连接，则系统静电场能将 (A)增加. (B)减少. (C)不变. (D)无 法确定. 解：连接前, 腔内外均有电场.
大学物理8-5 静电场的能量
E ( R1 r R2 ) 2π 0 r
r R1
max Eb 2π 0 R1
l
max 2 0 R1 Eb
-+ - + R1 - + R2 -+
8 – 5
静电场的能量
第八章 静电场中的导体和电介 质
（2）电场的能量
E ( R1 r R2 ) 2π 0 r
( R1 r R2 )
1 1 R12 Eb2 2 wm 0 Em 0 2 2 2 r
R2
沿轴线单位长度的最大电场能量
Wm wm dV
2 1 2 b
R1
1 R E 0 2 1 2rdr 2 r
2 1
2 b
R2 4 1 0R E ln 5.76 10 J m R1
8 – 5
静电场的能量
第八章 静电场中的导体和电介 质
作业:
Q2 6 8 0 R
2
R
0
Q 2 dr 4 r dr R r 2 8 0
2 2
Q Q 3Q 40 0 R 8 0 R 20 0 R
8 – 5
静电场的能量
例8-6 如图所示,球形电容器的内、外半径分别为 R1和 所带电荷为 Q．若在两球壳间充以相对介电常数为 的电介质，求此电容器贮存的电场能量.
8 – 5 一
静电场的能量 电容器的电能
第八章 静电场中的导体和电介 质
q d W udq d q C
1 W C
Q
0
1 1 W QU CU 2 2 2
Q2 1 1 电容器贮存的电能 We QU CU 2 2C 2 2
6-5 静电场的能量和能量密度
2
+++++++++
+Q +q(t)
-q(t) -Q
---------
E
A
U
B
第六章 静电场中的导体和电介质
3
物理学
第五版
6-5 静电场的能量和能量密度
二
静电场的能量
能量密度
平行板电容器内的电场总能量：
d
---------
S
+++++++++
1 1 S 1 2 2 ε0 ( Ed ) ε0 E 2 Sd We CU 2 2 d 2
第六章 静电场中的导体和电介质
1
物理学
第五版
6-5 静电场的能量和能量密度
电容器电能公式的证明：
设t时刻，两极板上电荷分 别为+q(t)和q(t)， A、B间电势差为：
把电量dq 从B移到A，外力做的功为:
+++++++++
q (t ) U C
q (t ) dW Udq dq C
当A、B上电量达到+Q和-Q时，外力做的总 功为:
We we dV
V V
1 we εE 2 2
1 ε0 E 2 dV 2
5
第六章 静电场中的导体和电介质
物理学
第五版
6-5 静电场的能量和能量密度
例：有一个均匀带电荷为Q，半径 为R，均匀带电球面，试求空间中 的电场总能量。
注意：空间的分割和dWe表达式建 立。
§6.5 静电场能量与能量密度
R2 R 1
Q 一定,We ∝ C -1 ; 一定, C 一定,We ∝ Q 2 ; 一定,
( 解毕 )
o
+Q
Q
Chapter 9. 静电场中的导体与电介质 作者: 作者:杨茂田
§9. 4 静电场能量与能量密度
P. 14
课堂练习 已知:R1 ,R2 ,Q ,εr .求球形电容器内部 已知: 求球形电容器内部 电场的电场能量. 电场的电场能量. 提示: 电容器内部电场强度为: 提示: 电容器内部电场强度为: E = 内部电场强度为
Q2 2εrε0S
2
Sdx
εrε0S Q2d , W= , C= e d 2ε rε0S
∴
Q2 W = e 2C
Chapter 9. 静电场中的导体与电介质 作者: 作者:杨茂田
§9. 4 静电场能量与能量密度
P. 18
二,电容器的能量
电容为 C ,带电为 Q 的电容器电场能量为: 的电容器电场能量为:
单位长度电量: 单位长度电量:Q =1×λ = λ 电量
∴
Q λ2 ln R2 = W= e 2C 4π εrε0 R 1
2
R 1 R2
( 解毕 )
Chapter 9. 静电场中的导体与电介质 作者: 作者:杨茂田
§9. 4 静电场能量与能量密度
P. 21
课堂练习 保持平板电容器的电量 Q 不变,将板间距由 不变, d 缓慢地增至 2d ,则外力做功为多少?板面积为 S . 缓慢地增至 则外力做功为多少? 提示: 外力功= 提示: 外力功=电容器能量的增量 !
Q2 之前: 之前: W 1 = e 2C1
单位长度电量: 单位长度电量:Q =1×λ = λ 电量
Q 一定,We ∝ C -1 ; 一定, C 一定,We ∝ Q 2 ; 一定,
( 解毕 )
o
+Q
Q
Chapter 9. 静电场中的导体与电介质 作者: 作者:杨茂田
§9. 4 静电场能量与能量密度
P. 14
课堂练习 已知:R1 ,R2 ,Q ,εr .求球形电容器内部 已知: 求球形电容器内部 电场的电场能量. 电场的电场能量. 提示: 电容器内部电场强度为: 提示: 电容器内部电场强度为: E = 内部电场强度为
Q2 2εrε0S
2
Sdx
εrε0S Q2d , W= , C= e d 2ε rε0S
∴
Q2 W = e 2C
Chapter 9. 静电场中的导体与电介质 作者: 作者:杨茂田
§9. 4 静电场能量与能量密度
P. 18
二,电容器的能量
电容为 C ,带电为 Q 的电容器电场能量为: 的电容器电场能量为:
单位长度电量: 单位长度电量:Q =1×λ = λ 电量
∴
Q λ2 ln R2 = W= e 2C 4π εrε0 R 1
2
R 1 R2
( 解毕 )
Chapter 9. 静电场中的导体与电介质 作者: 作者:杨茂田
§9. 4 静电场能量与能量密度
P. 21
课堂练习 保持平板电容器的电量 Q 不变,将板间距由 不变, d 缓慢地增至 2d ,则外力做功为多少?板面积为 S . 缓慢地增至 则外力做功为多少? 提示: 外力功= 提示: 外力功=电容器能量的增量 !
Q2 之前: 之前: W 1 = e 2C1
单位长度电量: 单位长度电量:Q =1×λ = λ 电量
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max
+ ++ _ + + +++ _
_
13
10.8
电场的能量和能量密度
R2 （ 2 ）U ln 2 π ε0 R1
根据功能原理，外力做的功应等于两个点电荷形成 系统前后电能的增量，即等于点电荷系统的电能。
3
10.8 电场的能量和能量密度 U为 q在 q1 2 所在点处的电势 1 式(10.8.1)可以改写为 1 q2 1 q1 1 1 W q1 q2 q1U 1 q2U 2 2 4 0 r 2 4 0 r 2 2 此结论可以推广：对于有n个点电荷的系统，其 系统的电场能为 n 1 W ( qi U i ) i 1 2 如果电荷连续分布，则采用微元法，对上边 的和式取极限，即可得到电荷连续分布的带电体 的电场能为 1 W q udq 2
10.8
电场的能量和能量密度
10.8 静电场的能量
静电场能量的来源：
若有一带电体带有电量Q，可以设想这一带电 状态是这样建立的，即不断地把微小电量从无限 远处移到这一物体上，一直到带电体带有电量Q为 止。在这一过程中外力不断地克服电场力而做功。 当带电体带有电荷 q 、相应的电势为 U 时，再把 一个 dq 从无限远处移到这一物体上时，外力做的 功为 dW (U U )dq Udq
-Q Q
R1
10
10.8
电场的能量和能量密度
Q2 1 1 讨论 We ( ) 8 π ε R1 R2 Q2 （1） We 2 C R2 R1 C 4πε R2 R1 dr
（球形电容器）
r
R2
R1
Q2 （2） R2 We 8 π εR1
（孤立导体球）
11
10.8
电场的能量和能量密度
W w V
7
10.8
电场的能量和能量密度
例： 计算球形电容器的能量 已知RA、RB、q q 解：场强分布 E 4 0 r 2
q
RA
q
取体积元 dV 4r 2 dr 1 1 q 2 dW wdV 0 E dV 0 ( )2 4r 2 dr 2 4 0 r 2 2 RB 2 2 q 1 1 q 能量 W dW 8 0 r 2 dr 8 0 ( RA RB ) V RA
1
10.8
电场的能量和能量密度
Q
所以带电体的电量从0增加到Q时，外力做的总功
W dW 0 Udq
按能量守恒，外力所做功转化为带电体的电势能。 10.8.1 点电荷系的电势能 先讨论两个点电荷组成的系统： 设有两个点电荷 q1和 q2相距 r ，令 q1不动， 将 q2从它所在的位置移动到无限远。在这个过程 中， q1的电场力对 q2做的功为 q1 Wr r q2 E1 dl q2 (U r U ) q2 4 0 r 2
6
10.8
电场的能量和能量密度
2、电场中某点处单位体积内的电场能量 对任一电场，电场强度非均匀
W 1 w 0E 2 V 2
D 0 r E E
dWe we dV
1 1 2 W dW 0 E dV DEdV V V 2 V 2
若是均匀电场，则
uA
uB
Q
终 了 时 刻
Q
UA
UB
5
10.8
二、电场能量
对平行板电容器
电场的能量和能量密度 q q
0
1 1 0S 2 W CU ( )( Ed )2 2 2 d 1 1 2 0 E ( Sd ) 0 E 2V 2 2
S
d
电场存在 的空间体积
电场能量体密度——描述电场中能量分布状况
1 2
RB
r
1 2 q2 q RA RB 2C 4 0 RB RA
8
10.8
电场的能量和能量密度
例1 如图所示,球形电容器的内、外半径 分别为R1和R2 ，所带电荷为Q．若在两球 壳间充以电容率为 的电介质，问此电容器 贮存的电场能量为多少？ -Q
Q
R1
R2
9
10.8
电场的能量和能量密度
1 Q 解 E 4 π ε r2 1 2 Q2 we εE 2 32 π 2 εr 4 2 Q dWe we dV dr 2 8 π εr dr 2 R 2 dr Q r We dWe 8 π ε R1 r 2 Q2 1 1 ( ) R2 8 π ε R1 R2
例2
圆柱形空气电容器中，空气 - + 的击穿场强是Eb=3106 V· -1 ，设 m - + R -2 m .求（1） 外导体的半径R2= 10 l + -3 m，在 若内导体的半径R1= 5×10 - + R 空气不被击穿的情况下，电容器 _ _ _ 所能承受的最大电压；（2）长圆 _ + ++ _ 柱导体的半径R1 取多大值可使电 + + _ +++ _ 容器存储能量最多？ _
1
2
12
10.8
电场的能量和能量密度
解 （ 1）
E 2 π ε0 r
( R1 r R2 )
l _
R1处E最大，最容易被击穿
Eb
U max
max
2π ε0 R1 max 2 π ε0
+ + + +
_
R1
R2
R2
R1
dr r
_
_
_
R2 ln R1 Eb ln 2 2 π ε0 R1
4
10.8 10.8.2 电容器的储能
电场的能量பைடு நூலகம்能量密度
q
任 一 时 刻
q
dq
q 外力做功 dW dA udq dq C Q q Q2 电容器的电能 A dq C 2C 0
Q2 1 1 W QU CU 2 2C 2 2
q u A uB u C dq B A
10.8
电场的能量和能量密度
这说明当 q1 和 q2 相距 r 时，它们的相互作用能为 q1q2 W (10.8.1) 4 0 r 那么这一能量从何而来呢？设想：如果再把 q2 从 无限远处移到与 q1相距 r 的位置，显然，在这个 过程中外力要克服电场力做功 r q1 W q2 E1 dl r q2 E1 dl q2 4 0 r