第四章 一元函数微积分的应用
数学分析(一)：一元微积分 南京大学 4 第四章微积分基本公式 (4.1.1) 导数和高阶导数
速度和曲率
问题 1 我们坐高铁的时候车厢前的屏幕上会显示速度. 在数学上如何定义速度, 如何计算速 度?
问题 2 如何从数学上刻画曲线的弯曲程度? 质点做匀速直线运动和曲线运动的差别是由什 么因素引起的?
注1 我们用导数来刻画这些量. 速度是位移的导数, 加速度是速度的导数, 因此是二阶导 数; 曲率也用二阶导数来刻画. Einstein: 时空的弯曲等价于引力!
导数
定义 1 (导数)
设函数 f
在 x0
附近有定义,
如果极限 lim
x →x0
f (x) − f (x0) x − x0
存在且有限,
则称 f
在 x0
处
可导, 此极限称为 f 在 x0 处的导数, 记为 f (x0).
导数
定义 1 (导数)
设函数 f
在 x0
附近有定义,
如果极限 lim
x →x0
f (x) − f (x0) x − x0
三角函数的导数
例1 (sin x) = cos x, (cos x) = − sin x.
证明.
设 x0
∈ R, 利用 lim
x →0
sin x x
=1
可得
lim
x →x0
sin x x
− sin x0 − x0
=
lim
x →x0
sin[(x
− x0)/2] cos[(x (x − x0)/2
+ x0)/2]
导数
定义 1 (导数)
设函数 f
在 x0
附近有定义,
如果极限 lim
x →x0
f (x) − f (x0) x − x0
存在且有限,
一元函数微积分在经济学中的应用
一元函数微积分在经济学中的应用
一元函数微积分可以让经济学研究者快速研究出经济系统所处时间
点下的收益、成本、利润等曲线，从而为当前的产品价格、总需求量、分配比例、效率水平等给出科学的、依据性的数字分析。
例如，在產業經濟學中，經常用一元函数微积分方法，對產業中的勞動、物料、能源等原料的利用、生產成本及其最低限度分析起非常重
要的作用。
基於一元函數微積分，我們也可以有效地探討各種經濟模
型和決策理論。
在金融領域，微积分可以用來模擬市場中股票、債券投資等行為。
一
元函數微積分技術能夠有效地提供未來投資策略的模擬和分析，以提
供給投資者未來的投資結果的預測。
因此，微积分是经济学的重要研究手段。
它的应用不僅能夠更加准确
地提出判断经济模型，而且还可以为经济研究者更有效地开展研究，
使他们能够做出更准确、更有效的经济研究。
大学数学基础教程：一元函数微积分
大学数学基础教程：一元函数微积分一、函数微积分的主要课题在于研究变量的变化形态。
这个说法很抽象。
说的直白一点，就是研究一个量的变化过程。
这个量可以是速度，可以是加速度，可以是生产率等等。
这些是变化的，我们称之为变量。
中学时，已经学过，描述变量的数学模型是函数。
因此从函数开始说起。
函数是中学数学的主要内容，概念这里就不重复了。
对函数概念的的理解需要重点把握定义域和对应法则，有了定义域和对应法则就确定一个函数，换句话说，确定两个函数是否相同，定义域和对应法则缺一不可。
这里有一些考题，容易因为忽视了定义域而出现错误。
函数的表示形式有多种，运用数形结合的思想，在坐标系中画函数图像，可以探索函数的性质（如单调性、周期性、奇偶性）。
研究函数的性质，有时可以在积分运算过程中简化运算。
掌握了研究方法后，复合函数、反函数和初等函数都可以自己来研究。
二、无穷小量极限方法的本质就是无穷小量的分析。
因此首先学习无穷小量。
定义设有数列{εn},如果对于任意给定的正数η>0，都能取到正整数N，使得当n>N时成立|εn|<η,则称n→∞时，{εn}是无穷小量，记作εn=ο（1）,n→∞.由定义可以看出，无穷小量的本质是可以任意小的变量。
这个需要好好理解。
掌握了该定义后，无穷小量的运算和无穷大量的定义都可以自己给出。
无穷小量之间的关系有高阶、低阶、同阶、等价。
这些概念要熟记。
三、极限极限是刻画变量变化趋势的重要工具。
好多教材中数列的极限、函数的极限、单侧极限的概念是分别给出的。
对比这些概念，给出的方法都相同，即ε-δ（N）语言。
通用模型是这样的：对于任意ε，存在δ，使得当****时成立，|f（x）-A|<ε,则称f（x）在x→**时以A为极限，记作或称f（x）收敛于A。
数列是定义域为整数集的特殊函数，函数极限的概念也可以用数列极限的形式来表述。
这里有许多题型，主要题型是：证明这类题目的一般解法是解不等式，用ε表示δ。
高等数学 一 微积分》讲义
2
11/69
（ 2 ） 因 为 ex2 − 1 ~ x2 ，
sin 3x
~
3x
，1−
cos 2x
~
1 2
(2
x
)2
=
2x2
，
ln(1 + x) ~ x
( ) 所以
e x2 − 1 sin 3 x lim x→0 (1 − cos 2 x)ln(1 +
x)
= lim x→0
x2 ⋅(3x) (2x2)⋅ x
3n+2
=
lim
1 5
−
1 52
( 4 )n−1 5
n→∞ 1 + 3( 3 )n+1
5
=
1− 5
1 52
lim( 4 )n−1 n→∞ 5
=
1
1 + 3lim( 3 )n+1 5
n→∞ 5
（2）
lim
x − cos x
=
lim
1−
cos x x
=1
x→+∞ x − sin x x→+∞ 1 − sin x
=
⎛
1⎜
2
lim
x→0
⎜ ⎜
sin x 2
x
⎞2 ⎟ ⎟ ⎟
=
1 2
2
⎝2⎠
π
(4)lim(nsin π ) =
n→∞
n
limπ
n→∞
sin
⋅
n
π
=π
π
lim(nsin )
n→∞
n
n
10/69
注意：等价无穷小
x → 0时， x ~ sin x, x ~ tan x, x ~ arcsin x ， 1 − cos x ~ x2 2
一元微积分主要内容
一元微积分主要内容
一元微积分主要涉及以下内容：
1.函数的极限和连续性：了解函数的极限和连续性的概念和性质，能够求解和应用有限极限和无限极限。
2.导数和微分：了解导数和微分的概念和定义，掌握求解各种函数的导数和微分，并能应用它们解决实际问题。
3.函数的应用：掌握各种函数的性质和应用，包括最大值和最小值、凹凸性和拐点、平均值、导数的应用等。
4.积分和不定积分：了解积分和不定积分概念和性质，掌握各种求解方法，包括换元积分法、分部积分法等。
5.积分的应用：掌握积分的应用，包括定积分求解区域面积、定积分求解曲线长度、定积分求解物理量等。
总之，一元微积分是数学中的重要分支，在物理、经济、工程、社会科学等领域都有广泛的应用。
它的主要内容包括函数的极限和连续性、导数和微分、函数的应用、积分和不定积分以及积分的应用等。
电子教案-高等数学(工科类)(魏寒柏 骈俊生)ppt-第四章一元函数积分学及其应用-电子课件
计
算
A
1 x2dx
0
1x3 3
1 0
1 3
0
1 3
例 计算下列定积分
41
第 二
(1)
1
dx x
(2) 2 cosxdx 0
节
解：先运用相应的积分公式求出原函数，再
定 积
利用牛顿-莱布尼兹公式计算它在上、下限处
分 的
函数值的差。
计 算
(1)
4 1
1 dx 2 x
x
4 1
4
2
2
(2)
2
2 cosxdx sin x 1 0 1
第
点x1 x2 , , xn1 ，如果记x0 a, xn b，这样就把区
一 节
间[a,b] 任意分成了n 个小区间[xi1, xi ], i 1,2, , n，其长
度对应记为xi xi xi1 ，且将所有小区间长度的最
定 积 分 的 概
大值记为 max{ xi}。在每个小区间[xi1, xi ]上任取一
一 节
“取极限”四个步骤.
定
(1) “分割”
积 分
在区间[0,1]内均匀地插入n 1个分点：
的 概 念
x1
1 n , x2
2 , n
, xn1
n 1 n
得到n个等分小区间，记
小区间对应的小曲边形
面积为si (i 1,2, , n) ，于
是有：A
n
si
i 1
(2) “近似”
第 一 节
以 点每xi 个ni 处小的区函间数的值长度f (xi)x作i 1n高作，底就，可区得间到的n右个端小 矩形，如果把它们的面积分别记作Ai ,(i 1,2, ,n)
一元函数微分学内容概要总结
一元函数微分学内容概要总结
一元函数微分学是微积分的重要内容之一，主要研究函数的变化率、斜率、极值、凹凸性等性质。
以下是一元函数微分学的内容概要总结：
1. 导数与微分，导数是函数在某一点的变化率，表示函数曲线在该点的切线斜率，常用符号表示为f'(x)或者dy/dx。
微分是函数在某一点附近的线性近似，常用符号表示为dy。
2. 函数的求导，通过求导可以得到函数在某一点的导数，可以通过极限的定义或者导数的运算法则进行求导。
3. 导数的应用，导数可以用来求函数的极值，判断函数的增减性和凹凸性，求曲线的渐近线，解决最优化问题等。
4. 微分方程，微分方程是关于未知函数及其导数的方程，是自然科学和工程技术中描述变化规律的重要数学工具。
5. 泰勒公式，泰勒公式是函数在某点附近的多项式逼近公式，可以用来近似计算函数的值。
6. 函数的高阶导数，除了一阶导数外，函数还可以有二阶导数、三阶导数等高阶导数，可以描述函数的曲率、加速度等性质。
7. 微分学与积分学的关系，微分学和积分学是微积分的两大分支，它们之间通过微积分基本定理建立了联系，即导数与原函数的
关系。
以上是一元函数微分学的内容概要总结，涵盖了导数与微分、
函数的求导、导数的应用、微分方程、泰勒公式、高阶导数以及微
分学与积分学的关系等内容。
希望能对你有所帮助。
《车身工程应用数学基础》(课程代码：01891)课程考试大纲
广东省高等教育自学考试《车身工程应用数学基础》（课程代码：01891）课程考试大纲目录一、课程性质与设置目的二、考试内容与考核目标第一章函数极限与连续第一节函数的概念与基本性质第二节数列的极限第三节函数的极限第四节无穷大量与无穷小量第五节极限的运算法则第六节极限存在准则与两个重要极限第七节无穷小量的比较第八节函数的连续性第二章一元函数的导数与微分第一节导数的概念第二节求导法则页脚内容1第三节函数的微分第四节高阶导数第五节微分中值定理第六节洛必达法则第三章一元函数微分学的应用第一节函数的单调性与极值第二节函数的最大（小）值及其应用第三节曲线的凹凸性、拐点第四节微分学在经济学中的应用举例第四章一元函数的积分第一节定积分的概念第二节原函数与微积分学基本定理第三节不定积分与原函数求法第四节积分表的使用第五节定积分的计算第六节广义积分第五章定积分的应用页脚内容2第一节微分元素法第二节平面图形的面积第三节几何体的体积第四节定积分在经济学中的应用第六章常微分方程第一节常微分方程的基本概念第二节一阶微分方程及其解法第三节微分方程的降阶法第四节线性微分方程解的结构第五节二阶常系数线性微分方程第六节n阶常系数线性微分方程第七章行列式第一节行列式的定义第二节行列式的性质与计算第三节克拉默法则第八章矩阵及其运算第一节矩阵的定义页脚内容3第二节矩阵的运算第三节矩阵的逆第四节矩阵的分块第九章向量组与矩阵的秩第一节n维向量第二节线性相关与线性无关第三节向量组的秩与矩阵的秩第四节矩阵的初等变换第五节初等矩阵与求矩阵的逆第六节向量空间第十章线性方程组第一节消元法第二节线性方程组有解判别定理第三节线性方程组解的结构第十一章向量组与矩阵的秩第一节向量的内积第二节方阵的特征值和特征向量页脚内容4第三节相似矩阵第十二章概率论的基本概念第一节样本空间、随机事件第二节概率、古典概型第三节条件概率、全概率公式第四节独立性第十三章随机变量第一节随机变量及其分布函数第二节离散型随机变量及其分布第三节连续型随机变量及其分布第四节随机变量函数的分布第十四章随机变量的数字特征第一节数学期望第二节方差第十五章大数定律与中心极限定理第一节大数定律第二节中心极限定理页脚内容5三、关于大纲的说明与考核实施要求【附录】题型举例页脚内容6一、课程性质与设置目的（一）课程性质与特点《车身工程应用数学基础》是机械制造及自动化专业的理论基础课程，内容包括函数、极限与连续、一元函数微分学、一元函数积分学、常微分方程、线性代数及概率论基础等，是学习本专业其他课程的基础。
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第四章一元函数微积分的应用内容提要：一元函数微分学的应用很广：导数与切线的关系直接从导数的定义上就可以得到，它也进一步反应了微分学的基本思想：“以曲代直”；导数与单调性的关系是中值定理的推论，它不但可以帮助我们很方便地计算函数的单调区间，还是我们证明很多不等式的重要思路；函数的极值点与拐点是重要的考点，考生需要理解并掌握它们的定义和判别定理，它们也都可以通过函数的单调性来理解。
一元函数微分学的应用在考试中出现的频率很高，但总体难度不大，只要记住相应的定理和计算公式即可。
定积分的应用分为几何应用和物理应用两部分。
几何应用包括通过定积分计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积和侧面积；物理应用主要是通过定积分计算一些物理量：变力做的功，液体的静压力，平面图形的质心或形心等。
定积分的应用的理论基础是定积分的定义，它的基本思想是微元法，微元法可以概括为分割、近似、求和、取极限，其中近分割和近似是这四步的关键。
考生复习时应该掌握常见的几何量和物理量的计算公式，同时还要深入理解微元法的思想，对主要公式要掌握其推导过程。
第一节导数的应用Ⅰ考点精讲1.导数与切线设函数可导，则曲线在任意一点的切线斜率等于该点的导数值。
也就是说，曲线在处的切线方程可表示为，该点的法线方程可表示为。
2.单调性定理：设函数在上连续，在上可导。
（1）如果在上有，那么函数在上单调递增。
（2）如果在上有，那么函数在上单调递减。
（单调性定理也是中值定理的推论，考生可以尝试自行推导）3.函数极值点及其判定方法1）.极值点设函数在点的某领域内有定义，如果对任意的，有，则称是函数的一个极大值（或极小值）。
2）.极值点的判别定理a.(必要条件)设函数在处可导，并在处取得极值，那么。
（罗尔定理的推论）b.(第一充分条件)设函数在处连续，并在的某去心邻域内可导。
ⅰ）若时，而时，则在处取得极大值；ⅱ）若时，而时，则在处取得极小值；ⅲ）若时，符号保持不变，则则在处没有极值；c.(第二充分条件)设函数在处存在二阶导数且，那么ⅰ）若则在处取得极小值；ⅱ）若则在处取得极大值。
4.函数的凹凸性1）凹函数与凸函数的定义设函数在区间上连续，如果对上任意两点恒有，则称是上的凹函数；如果对上任意两点恒有，则称是上的凸函数。
2）凹凸性与二阶导数的关系设函数在闭区间上连续，在开区间上具有一阶和二阶导数，那么：（1）如果在上有，那么函数在上是凹函数；（2）如果在上有，那么函数在上是凸函数。
3）函数的拐点：函数凹凸性的分界点称之为拐点。
4）拐点的判别：拐点判别定理Ⅰ：若在点处，且在点两侧函数二阶导数的符号不一样，则点为拐点。
拐点判别定理Ⅱ：若在点处，且有，则点为拐点。
5.函数的渐近线1）.垂直渐近线()如果函数在处的左右极限中至少有一个等于或，则称为函数的垂直渐近线。
2）.水平渐近线()如果有或，则称为函数的水平渐近线。
3）.斜渐近线()如果有或，则称为函数的斜渐近线。
求函数斜渐近线的方法：ⅰ）.计算；ⅱ）.再计算6．曲线曲率1）曲率：曲线在点处的曲率为；对于参数方程，相应的公式为2）曲率半径：。
3）曲率圆：在点的法线上取曲线凹的一侧的一点，使得，则以点为圆心，为半径的圆称之为曲线在点处的曲率圆。
经计算可得，曲率圆的方程为，其中，。
2核心题型与思路总结题型一导数与切线【例1】：曲线上与直线垂直的切线方程为：分析：曲线的切线与已知直线垂直等价的告诉了切线的斜率，我们只要把切点的坐标求出来就可以写出切线的方程。
【解】：已知直线的斜率为，那么根据垂直直线之间的斜率成负倒数关系，那么切线的斜率为，，，令，可得，所以切线的方程为。
【例2】：若在点处的切线与轴的交点为，则分析：计算极限，我们可以直接把的表达式写出来，然后直接计算极限。
是切线和轴的交点的横坐标，所以我们应先求出切线方程。
【解】：，，那么曲线在处的切线方程为，切线与轴的交点为，即，因此。
【例3】：设周期函数在内可导，周期为。
又，则曲线在点处的切线斜率为（）分析：函数在某点的导数值几何上对应函数曲线在该点的切线的斜率，因此求切线的斜率归结为求导数，对于没有确定表达式的函数求函数在某点的导数可以利用已知条件通过定义来求。
具体到这个题目还会用到周期函数的性质。
【解】：由已知条件在内可导且周期为，即，两侧对求导得，故。
由于，即，即切线的斜率为。
【例4】：已知函数是周期为的可导周期函数，它在的某邻域内满足，试求曲线在点处的切线方程。
分析：此题与上题类似。
函数在某点的导数值几何上对应函数曲线在该点的切线的斜率，因此求切线的斜率归结为求导数，对于没有确定表达式的函数求函数在某点的导数可以利用已知条件通过定义来求。
这个题目也会用到周期函数的性质。
【解】：由已知条件在内可导且周期为，即，两侧对求导得，故。
由于在的某邻域内满足，令可得，即，。
又，令，则所以，，所以切线方程为。
题型二函数单调性与极值（或最值）解题思路：（1）在函数可导的前提下，导数是判断函数增减性最有力的工具；（2）极值点与驻点的关系：极值点不一定是驻点，因为极值点处的导数不易定存在；驻点不易定是极值点，因为该点左右两边的增减性可能一样；（3）判断极值点的两个充分条件中，第一充分条件更本质，适用范围更广，第二充分条件也可以在它的基础上进行理解记忆，但在实际解题时，第二充分条件运用起来更方便；（4）计算函数最值的方法：找出所有导数等于0的点以及端点和不可导点；计算所有这些点的函数值；通过比较，这些值中最大的就是最大值，最小的就是最小值；（5）在很多实际问题中，可以采取这样的思路寻找最值：首先根据问题的实际背景说明问题的最大或最小值必然是存在的；再说明这样的最大或最小值不会在端点出现，也就是说要寻找的最值点也是极值点；最后，再通过计算导数寻找极值点（很多时候，导数等于0的点只有一个，则这个点就是我们要寻找的最值点，而无需再检验极值的充分条件）。
【例5】：设是恒大于零的函数，且。
则当时有（）A. B.C. D.分析：观察可以发现等价于，即，由此我们可以判断哪个不等式成立。
【解】：由可得，即，因此在定义域中是单调递减的函数，那么当时有，变形与选项对照可以发现只有A成立。
【例6】：设为连续正值函数，试证明：在上单调增加。
分析：函数单调递增意味着导函数大于零，因此我们只需证明即可。
【解】：，且为连续正值函数，则当，，所以在上单调增加。
【例7】：设函数在内连续，其导函数的图形如图所示，则有（）（A）一个极小值点和两个极大值点（B）两个极小值点和一个极大值点（C）两个极小值点和两个极大值点（D）三个极小值点和一个极大值点分析：由图像可以观察出导函数的变化规律，按照判断极值点的充分条件就可以得到极值点的个数以及类型。
另外我们也可以根据导函数的图像画出原函数的图像，利用图像判断函数的极值情况。
【解】：根据导函数的图像以及函数在内连续，我们可以画出函数草图，如下从图像可以看出函数有两个极小值、两个极大值。
【例8】：设的导数在处连续，又，则A. 是的极大值点B. 是的极小值点C. 是曲线的拐点D. 不是是的极值点，也不是曲线的拐点分析：我们可以利用考点精讲提供的判断极值点、拐点的判定定理直接判断，需要注意定理的条件，并注重挖掘已知条件中的隐含信息。
【解】：由极限可知，当时，当，，当，，于是时是的极大值点【例9】：设f(x)在[－π, +π]上连续, 当a为何值时, 的值为极小值.(a) (b)(c) (d)【解】：为a的二次式.所以当a =, F(a)有极小值.【例10】：设有二阶导数，满足求证：时，为极小值分析：已知，并且函数有二阶导数，根据考点精讲提供的判断极值的充分条件，我们只需证明，由于，因此需要讨论的取值。
【证明】：（1）情形。
故为极小值（2）情形这时方程条件用代入下行，无法得出上面的公式由于存在可知连续，（用洛必达法则）=（再用洛必达法则）=因此是极小值【例11】：在抛物线上求一点，使得该点的切线与直线所围成的三角形面积最大。
分析：先写出三角形面积与的函数关系式，再求该函数在所给区间上的最大值。
【解】：过抛物线上一点的切线斜率为，于是切线方程为。
将代入直线方程得直线与交点的横坐标，类似得到直线与交点的纵坐标。
于是三角形面积。
先找极值点。
解得，代入得再找端点。
于是使得三角形面积最大的点为【例12】：求函数的最大值与最小值.【解】：, 解得x = 0, x =, , =1所以, 最大值, 最小值.题型三判断函数的凹凸性及拐点解题思路：（1）导数的正负性决定函数的单调性，二阶导数的的正负性决定函数的凹凸性；极值点是函数单调性的分界点，左右两侧导数的符号不一样；拐点是函数凹凸性的分界点，左右两侧二阶导数的符号不一样。
（2）拐点的两个判别定理和极值点的两个判别定理对应，可以结合起来进行理解记忆。
【例13】：曲线的拐点坐标为：分析：判断曲线的拐点可以根据拐点判定定理直接判断，但一定要注意定理的条件。
【解】：，，，令，得，且在两侧变号，那么为原曲线的拐点。
当，不存在，所以也可能为原曲线的拐点，但是在两侧不变号，所以不为原曲线的拐点。
【例14】：设函数由参数方程所确定，则曲线向上凸的的取值范围是：分析：为确定参数方程所确定的曲线向上凸的范围，首先要利用参数方程求导法则求出然后再确定使的的范围，进而确定出的范围。
【解】：由参数方程的求导法则可得，，令，则。
为了确定时的范围，先求，则在时为增函数，又时，，则当时，。
【例15】：已知函数对一切满足，且，则（）A. 是的极大值B. 是的极小值C. 是曲线的拐点D. 不是的极值，也不是曲线的拐点分析：若在中令得，此时不能判断四个选项中哪一个正确，这时应借助于处的高阶导数，由于原式的右端可导，则左端可导，又因为可导，所以可导，即三阶导数存在。
【解】：在中令得，原式两端对求导得，令得，二阶导数值为零，三阶导数值不为零，故是曲线的拐点。
【例16】：设函数，则（）A. 是的极值点，但不是曲线的拐点B. 不是的极值点，但是曲线的拐点C. 是的极值点，且是曲线的拐点D. 不是的极值点，且不是曲线的拐点分析：函数实际上是一分段函数，可以写开，这样我们再判断处的信息就容易的多，直接按照极值点和拐点的性质判断就可以。
【解】：由知，而在的去心邻域内，因而在处取得极小值；又，所以，即在两侧变号，所以是曲线的拐点，答案为C。
题型四计算函数的渐近线解题思路：（1）求渐近线最大的难度在于不重不漏地计算出所有的渐近线。
具体解题步骤如下：首先检查函数所有的间断点，如果在某一间断点处函数的左右极限中至少有一个为无穷，那么该点处就是一条垂直渐近线；找出所有的垂直渐近线后，再分别检验函数在或是否有斜渐近线或水平渐近线。
以的情况为例：计算极限，如果该极限值存在，则；在计算极限，如果该极限存在，则。