广东2020高考理科数学试题评析
2020年高考理科数学及答案解析(全国Ⅲ卷)
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（含答案解析）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,2【答案】A 【难度】容易 【点评】本题考查集合之间的运算关系，即包含关系.在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算.在高考精品班数学（理）强化提高班中有对集合相关知识的总结讲解. 2．若(1i)2i z +=，则z = A ．1i -- B ．1+i -C ．1i -D ．1+i【答案】D 【难度】容易【点评】本题考查复数的计算。
在高二数学（理）强化提高班下学期，第四章《复数》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。
在高考精品班数学（理）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。
3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A ．0.5B ．0.6C ．0.7D ．0.8【答案】C 【难度】容易【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十四章《概率》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
广东省高考数学(理科)
2020年广东省高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）（2010•广东）若集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|0＜x＜2}，则集合A∩B=（）A ．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|﹣2＜x＜1}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|0＜x＜1}2．（5分）（2010•广东）若复数z1=1+i，z2=3﹣i，则z1•z2=（）A．4+2i B．2+i C．2+2i D．33．（5分）（2010•广东）若函数f（x）=3x+3﹣x与g（x）=3x﹣3﹣x的定义域均为R，则（）A．f（x）与g（x）均为偶函数B．f（x）为奇函数，g（x）为偶函数C．f（x）与g（x）均为奇函数D．f（x）为偶函数，g（x）为奇函数4．（5分）（2010•广东）已知数列{a n}为等比数列，S n是它的前n项和，若a2•a3=2a1且a4与2a7的等差中项为，则S5=（）A．35 B．33 C．31 D．295．（5分）（2010•广东）“”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的（）A．充分非必要条件B．充分必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件6．（5分）（2010•广东）如图，△ABC为三角形，AA′∥BB′∥CC′，CC′⊥平面ABC 且3AA′=BB′=CC′=AB，则多面体△ABC﹣A′B′C′的正视图（也称主视图）是（）A．B．C．D．7．（5分）（2010•广东）sin7°cos37°﹣sin83°cos53°的值为（）A．﹣B．C．D．﹣8．（5分）（2010•广东）为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定．每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是（）A1205秒B1200秒C1195秒D1190秒．．．．二、填空题（共7小题，满分30分）9．（5分）（2011•上海）函数f（x）=lg（x﹣2）的定义域是_________．10．（5分）（2010•广东）若向量，，，满足条件，则x=_________．11．（5分）（2010•广东）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=，A+C=2B，则sinC=_________．12．（5分）（2010•广东）若圆心在x轴上、半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O的方程是_________．13．（5分）（2010•广东）某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为x1，…，x4（单位：吨）．根据如图所示的程序框图，若分别为1，1.5，1.5，2，则输出的结果s为_________．14．（5分）（2010•广东）如图，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，他们相交于AB的中点P，，∠OAP=30°，则CP=_________．15．（2010•广东）在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=﹣1的交点的极坐标为_________．三、解答题（共6小题，满分80分）16．（14分）（2010•广东）已知函数f（x）=Asin（3x+ρ）（A＞0，x∈（﹣∞，+∞），0＜ρ＜π）在时取得最大值4．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的解析式；（3）若，求sinα．17．（12分）（2010•广东）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为（490，495]，（495，500]，…，（510，515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列．（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率．18．（14分）（2010•广东）如图，是半径为a的半圆，AC为直径，点E为的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足，．（1）证明：EB⊥FD；（2）已知点Q，R为线段FE，FB上的点，，，求平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值．19．（12分）（2010•广东）某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C．另外，该儿童这两餐需要的营状中至少含64个单位的碳水化合物和42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C．如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？20．（14分）（2010•广东）已知双曲线的左、右顶点分别为A1，A2，点P（x1，y1），Q（x1，﹣y1）是双曲线上不同的两个动点．（1）求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；（2）若过点H（0，h）（h＞1）的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1⊥l2，求h的值．21．（14分）（2010•广东）设A（x1，y1），B（x2，y2）是平面直角坐标系xOy上的两点，现定义由点A到点B的一种折线距离ρ（A，B）为ρ（A，B）=|x2﹣x1|+|y2﹣y1|对于平面xOy上给定的不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），（1）若点C（x，y）是平面xOy上的点，试证明ρ（A，C）+ρ（C，B）≥ρ（A，B）；（2）在平面xOy上是否存在点C（x，y），同时满足①ρ（A，C）+ρ（C，B）=ρ（A，B）②ρ（A，C）=ρ（C，B）若存在，请求出所有符合条件的点，请予以证明．参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．D 2．A3．D 4. C5. 解：由x2+x+m=0知，⇔．（或由△≥0得1﹣4m≥0，∴．），反之“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”必有，未必有，因此“”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的充分非必要条件．故选A．6. 解：△ABC为三角形，AA′∥BB′∥CC′，CC′⊥平面ABC，且3AA′=BB′=CC′=AB，则多面体△ABC﹣A′B′C′的正视图中，CC′必为虚线，排除B，C，3AA′=BB′说明右侧高于左侧，排除A．故选D7. 解：sin7°cos37°﹣sin83°cos53°=cos83°cos37°﹣sin83°sin37°=cos（83°+37°）=cos120°=﹣，8. 解：由题意知共有5！=120个不同的闪烁，每个闪烁时间为5秒，共5×120=600秒；每两个闪烁之间的间隔为5秒，共5×（120﹣1）=595秒．那么需要的时间至少是600+595=1195秒．故选C二、填空题（共7小题，满分30分）9．（2，+∞10．211. 1．12．（x+2）2+y2=213. 解：程序运行过程中，各变量值变化情况如下表：第一（i=1）步：s1=s1+x i=0+1=1第二（i=2）步：s1=s1+x i=1+1.5=2.5第三（i=3）步：s1=s1+x i=2.5+1.5=4第四（i=4）步：s1=s1+x i=4+2=6，s=×6=第五（i=5）步：i=5＞4，输出s=故答案为：14. 解：因为点P是AB的中点，由垂径定理知，OP⊥AB．在Rt△OPA中，．由相交弦定理知，BP•AP=CP•DP，即，所以．故填：15. 解：两条曲线的普通方程分别为x2+y2=2y，x=﹣1．解得由得点（﹣1，1），极坐标为．故填：三、解答题（共6小题，满分80分）16．解：（1）由周期计算公式，可得T=（2）由f（x）的最大值是4知，A=4，即sin（）=1∵0＜ρ＜π，∴∴，∴∴f（x）=4sin（3x+）（3）f（）=4sin[3（）+]=，即sin[3（）+]=，，，，17. 解：（1）重量超过505克的产品数量是40×（0.05×5+0.01×5）=12件；（2）Y的所有可能取值为0，1，2；，，，Y的分布列为（3）从流水线上任取5件产品，恰有2件产品合格的重量超过505克的概率服从二项分布∴从流水线上任取5件产品，恰有2件产品合格的重量超过505克的概率为=18. 1）证明：连接CF，因为是半径为a的半圆，AC为直径，点E为的中点，所以EB⊥AC．在RT△BCE中，．在△BDF中，，△BDF为等腰三角形，且点C是底边BD的中点，故CF⊥BD．在△CEF中，，所以△CEF为Rt△，且CF⊥EC．因为CF⊥BD，CF⊥EC，且CE∩BD=C，所以CF⊥平面BED，而EB⊂平面BED，∴CF⊥EB．因为EB⊥AC，EB⊥CF，且AC∩CF=C，所以EB⊥平面BDF，而FD⊂平面BDF，∴EB⊥FD．（2）解：设平面BED与平面RQD的交线为DG．由，，知QR∥EB．而EB⊂平面BDE，∴QR∥平面BDE，而平面BDE∩平面RQD=DG，∴QR∥DG∥EB．由（1）知，BE⊥平面BDF，∴DG⊥平面BDF，而DR，DB⊂平面BDF，∴DG⊥DR，DG⊥DB，∴∠RDB是平面BED与平面RQD所成二面角的平面角．在Rt△BCF中，，，．在△BDR中，由知，，由余弦定理得，=由正弦定理得，，即，．故平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值为．19. 解：设为该儿童分别预订x个单位的午餐和y个单位的晚餐，设费用为F，则F=2.5x+4y，由题意知约束条件为：画出可行域如下图：变换目标函数：20. 解：（1）由A1，A2为双曲线的左右顶点知，，则，，两式相乘得，因为点P（x1，y1）在双曲线上，所以，即，所以，即，故直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程为．（x≠，x≠0）（2）设l1：y=kx+h（k＞0），则由l1⊥l2知，．将l1：y=kx+h代入得，即（1+2k2）x2+4khx+2h2﹣2=0，若l1与椭圆相切，则△=16k2h2﹣4（1+2k2）（2h2﹣2）=0，即1+2k2=h2；同理若l2与椭圆相切，则．由l1与l2与轨迹E都只有一个交点包含以下四种情况：[1]直线l1与l2都与椭圆相切，即1+2k2=h2，且，消去h2得，即k2=1，从而h2=1+2k2=3，即；[2]直线l1过点，而l2与椭圆相切，此时，，解得；[3]直线l2过点，而l1与椭圆相切，此时，1+2k2=h2，解得；[4]直线l 1过点，而直线l2过点，此时，，∴．综上所述，h的值为．21. （1）证明：由绝对值不等式知，ρ（A，C）+ρ（C，B）=|x﹣x1|+|x2﹣x|+|y﹣y1|+|y2﹣y≥|（x﹣x1）+（x2﹣x）|+|（y﹣y1）+（y2﹣y）|=|x2﹣x1|+|y2﹣y1|=ρ（A，B）当且仅当（x﹣x1）•（x2﹣x）≥0，且（y﹣y1）•（y2﹣y）≥0时等号成立．（2）解：由ρ（A，C）+ρ（C，B）=ρ（A，B）得（x﹣x1）•（x2﹣x）≥0且（y﹣y1）•（y2﹣y）≥0 （Ⅰ）由ρ（A，C）=ρ（C，B）得|x﹣x1|+|y﹣y1|=|x2﹣x|+|y2﹣y|（Ⅱ）因为A（x1，y1），B（x2，y2）是不同的两点，则：1°若x1=x2且y1≠y2，不妨设y1＜y2，由（Ⅰ）得x=x1=x2，且y1≤y≤y2，由（Ⅱ）得，此时，点C是线段AB的中点，即只有点满足条件；2°若x1≠x2且y1=y2，同理可得：只有AB的中点满足条件；3°若x1≠x2且y1≠y2，不妨设x1＜x2且y1＜y2，由（Ⅰ）得x1≤x≤x2且y1≤y≤y2，由（Ⅱ）得，此时，所有符合条件的点C的轨迹是一条线段，即：过AB的中点，斜率为﹣1的直线夹在矩形AA1BB1之间的部分，其中A（x1，y1），A1（x2，y1），B（x2，y2），B1（x1，y2）．。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(广东卷,解析版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（广东卷，解析版）本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时．请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的．答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式V =13sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合A={x|-2＜x ＜1},B=A={x|0＜x ＜2},则集合A ∩B=A.{x|-1＜x ＜1}B.{x|-2＜x ＜1}C.{x|-2＜x ＜2}D.{x|0＜x ＜1} 1． 答案：D【命题意图】本题考查了集合的运算，考查了学生的计算能力。
【解析】本题考查了集合的运算。
结合数轴易得}10|{<<=x x B A I ．2.若复数z 1=1+i,z 2=3-i,则z1`z1= A.4+2i B.2+i C.2+2i D.3+i 2．答案：A【命题意图】本题考查复数的乘法运算，考查了学生的计算能力。
【解析】本题考查复数的乘法运算，考查了学生的计算能力。
计算得212(1)(3)3342z z i i i i i i •=+•-=-+-=+．3.若函数f(x)=3x+3x-与g(x)=33xx--的定义域均为R ，则 A ．f(x)与g(x)均为偶函数 B ．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数 C ．f(x)与g(x)均为奇函数 D ．f(x)为偶函数．g(x)为奇函数3．答案：B4．已知数列{n a }为等比数列，ns 5是它的前n 项和,若2a *3a =2a ．，且4a 与27a 的等差中项为54，则5s = A ．35 B ．33 C ．3l D ．29 4．答案：C5. “14m <”是“一元二次方程20x x m ++=有实数解”的 A.充分非必要条件 B.充分必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件 5．答案：A 【命题意图】本题是在知识的文汇处命题，考查了充要条件的相关知识及一元二次方程有解的条件【解析】本题考查充要条件的相关知识及一元二次方程有解的条件。
2020年广东高考理科数学解答题分析与预测——三角函数
2020年广东高考理科数学解答题分析与预测——三角函数1．（本小题满分12分）已知函数)0,0)(sin()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 为偶函数,其图象上相邻的两个最高点之间的距离为π2．（Ⅰ）求()f x 的解析式 ；（Ⅱ）若 f 31)3(),2,3(=+-∈παππα，求 )352sin(πα+ 的值．2．（本小题满分12分）已知函数()tan 34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． （1）求9f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； （2）设3,2απ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，若234f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求cos 4απ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．3.（本小题满分12分）设函数()sin 23f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（x R ∈）的图象过点7,212P π⎛⎫- ⎪⎝⎭． （Ⅰ）求()f x 的解析式； （Ⅱ）已知1021213f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，02πα-<<，求3cos 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.4.(本小题满分12分)已知 .471217,53)4(cos πππ<<=+x x (1) 求x 2sin 的值.(2)求 xx x tan 1sin 22sin 2-+的值5.已知函数)0,0)(4sin()(πϕϕ<<>+=A x A x f 在16x π=时取得最大值2. （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 的解析式；（3）若,02πα⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，164165f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求sin 24πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.6.函数()2sin()ωϕ=+f x x (0,0)2ωϕπ><<的部分图象如下图所示,该图象与y 轴交于点(0,1)F ,与x 轴交于点,B C ,M 为最高点,且三角形MBC 的面积为π.(Ⅰ)求函数()f x 的解析式; (Ⅱ)若25()(0,)62f ααππ-=∈,求cos(2)4απ+的值.7.已知向量sin ,cos ,cos ,sin 3366x x A A ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b ,函数()f x =g a b (0,A x R >∈),且 (2)2f π=.(1)求函数()y f x =的表达式;(2)设,[0,]2παβ∈, 16(3),5f απ+=5203213f πβ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭;求cos()αβ+的值3解：（Ⅰ）Θ图象上相邻的两个最高点之间的距离为π2, π2=∴T , 则12==Tπω. )sin()(ϕ+=∴x x f . ………2分 )(x f Θ是偶函数, )(2Z k k ∈+=∴ππϕ, 又πϕ≤≤0，2πϕ=∴．则 x x f cos )(=． ………5分 （Ⅱ）由已知得)2,3(,31)3cos(ππαπα-∈=+Θ ，)65,0(3ππα∈+∴． 则 322)3sin(=+πα． ………8分 ∴924)3cos()3sin(2)322sin()352sin(-=++-=+-=+παπαπαπα． ………12 【答案】（1）解：9f π⎛⎫ ⎪⎝⎭tan 34ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭………………………………………………1分 tantan 341tan tan 34ππ+=ππ-………………………………………………3分2==-4分 （2）解：因为3tan 3444f ααπππ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………………………………5分 ()tan α=+π……………………………………………………6分 tan 2α==．…………………………………………………7分 所以sin 2cos αα=，即sin 2cos αα=． ① 因为22sin cos 1αα+=， ② 由①、②解得21cos 5α=．……………………………………………………9分 因为3,2απ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，所以cos 5α=-，sin 5α=-．………………………10分 所以cos 4απ⎛⎫- ⎪⎝⎭cos cos sin sin 44ααππ=+ ……………………………………11分52252310525210⎛⎫=-⨯+-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭．…………………12分 【答案】解（Ⅰ）∵()f x 的图象过点7,212P π⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴773sin 2sin 2121232f A A ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴2A = (3分)故()f x 的解析式为()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ （5分） (Ⅱ) ∵102sin 22sin 2cos 2122123213f απαπππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦即5cos 13α=, (7分) ∵02πα-<<，∴22512sin 1cos 11313αα⎛⎫=--=--=- ⎪⎝⎭ （9分） ∴333cos cos cos sin sin 444πππααα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭5212217213213226⎛⎫=⨯--⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭（12分）解：（1）()f x 的最小正周期为242T ππ== （2）由()f x 的最大值是2知，2A =， 又()2sin 421616max f x f ππϕ⎛⎫⎛⎫==⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即sin 14πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∵0ϕπ<<，∴5444πππϕ<+<， ∴42ππϕ+=，∴4πϕ= ∴()2sin(4)4f x x π=+ （3）由（2）得1162sin 441641645f πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 即3sin()25πα+=，∴3cos 5α=，∵,02πα⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴4sin 5α===- ∴4324sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯-⨯=- ⎪⎝⎭ 2237cos 22cos 121525αα⎛⎫=-=⨯-=- ⎪⎝⎭ ∴sin 2sin 2cos cos 2sin 444πππααα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭2472525=-+=【答案】【答案】解析:(1)依题意得()sin cos cos sin 3636x x f x A A ππ=+sin 36x A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭又(2)2f π=得2sin 236A ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,即 5sin 26A π=,∴4A = ∴()4sin 36x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)由16(3)5f απ+=得1164sin (3)365παπ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦,即164sin 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ∴4cos 5α=, 又∵[0,]2πα∈,∴3sin 5α=, 由5203213f πβ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭得15204sin (3)32613ππβ⎡⎤++=-⎢⎥⎣⎦,即5sin()13βπ+=- ∴5sin 13β=, 又∵[0,]2πβ∈,∴12cos 13β= 4123533cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ+=-=⨯-⨯=。
2020高考全国二卷理科数学试题分析解析解读
2020高考全国二卷理科数学试题分析解析解读2020年高考数学试题重点考查了数学学科主干的内容，聚焦关键能力和数学素养的考查，注重数学应用价值和创新意识培养，以及数学建模。
试题体现了考主干知识、考基本能力、考核心素养，重视思维、关注应用、鼓励创新的指导思想，很好的体现了高考评价体系“一核、四层、四翼”的内涵和要求。
相较于2018年、2019年的试题，2020年理科数学试题总体结构变化很大，难度也明显加大，题目文字阅读量增多。
主观题在内容布局和考查难度上进行了较大的改变，解析几何解答题位置提前到19题，难度下降，放弃了直线和曲线位置关系的考察。
今年试题突显了数学学科素养的导向，注重基本能力的考查，全面覆盖了基础知识，增强了综合性及应用性，以社会生活中真实情境作为问题的载体，贴近实际，联系社会生活，在数学教育和评价中真正的落实了“立德树人”的根本任务。
2020年高考数学Ⅱ卷试题聚焦主干知识，突出核心素养，注重对高中基础内容的全面考查。
集合、三角、概率、数列、解析几何、立体几何、函数、平面向量、排列组合、复数等内容在选择题和填空题中得到了有效的考查。
试卷强调对主干内容的重点考查，体现了全面性、基础性和综合性的考查要求。
在解答题中重点考查了解三角形、概率统计、圆锥曲线、立体几何、函数与导数等主干内容。
其中解答题18题考察了相关系数，为了实现平稳过渡，对于相关系数的考察并不难。
试卷联系生活实际，建立数学模型，突显了数学应用价值和创新意识培养的重要性。
填空压轴题为复合命题真值判断和立体几何结合问题，这也是首次把简易逻辑放到压轴题位置。
总体来说，2020年高考数学试题体现了考核主干知识、基本能力和核心素养，注重思维、应用和创新的指导思想，符合高考评价体系“一核、四层、四翼”的内涵和要求。
2020年数学高考试题设计了真实的问题情境，与实际紧密联系，具有鲜明的时代特色。
例如，高考理科Ⅱ卷客观题的第（3）题以新冠肺炎疫情为问题背景，以志愿服务为问题情境设计题目，旨在宣传引领舆论导向，服务发展大局，传播正能量，对高中生进行爱国主义教育。
教育部考试中心权威评析：2020年高考数学全国卷试题评析
教育部考试中心权威评析：2020年高考数学全国卷试题评析2020年高考数学全国卷试题评析（考试中心权威解析）2020年高考数学试题落实立德树人根本任务，贯彻德智体美劳全面发展教育方针，坚持素养导向、能力为重的命题原则，体现了高考数学的科学选拔和育人导向作用。
试题重视数学本质，突出理性思维、数学应用、数学探究、数学文化的引领作用，突出对关键能力的考查。
试题展现了我国社会主义建设成就与科学防疫的成果，紧密联系社会实际，设计真实的问题情境，具有鲜明的时代特色。
试卷体现了基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求，难度设计科学合理，很好把握了稳定与创新、稳定与改革的关系，对协同推进高考综合改革、引导中学数学教学都将起到积极的作用。
1发挥学科特色，“战疫”科学入题一是揭示病毒传播规律，体现科学防控。
用数学模型揭示病毒传播规律，如新高考Ⅰ卷（供山东省使用）第6题，基于新冠肺炎疫情初始阶段累计感染病例数的数学模型的研究成果，考查相关的数学知识和从资料中提取信息的能力，突出数学和数学模型的应用；全国Ⅲ卷文、理科第4题以新冠肺炎疫情传播的动态研究为背景，选择适合学生知识水平的Logistic模型作为试题命制的基础，考查学生对指数函数基本知识的理解和掌握，以及使用数学模型解决实际问题的能力。
二是展现中国抗疫成果。
全国疫情防控进入常态化后，各地有序推进复工复产复学。
新高考Ⅱ卷（供海南省使用）第9题以各地有序推动复工复产为背景，取材于某地的复工复产指数数据，考查学生解读统计图以及提取信息的能力。
三是体现志愿精神。
如全国Ⅱ卷理科第3题（文科第4题）是以志愿者参加某超市配货工作为背景设计的数学问题，考查学生对基本知识的掌握程度及运用所学知识解决实际问题的能力。
2突出理性思维，考查关键能力理性思维在数学素养中起着最本质、最核心的作用。
数学科高考突出理性思维，将数学关键能力与“理性思维、数学应用、数学探究、数学文化”的学科素养统一在理性思维的主线上，在数学应用、数学探究等方面突出体现了理性思维和关键能力的考查。
2020年广东省深圳市高三年级第一次调研考试理科数学参考答案及评分
又 b2 = c2 − a2 ， 4ac − 4a2 = a2 ， 4c = 5a ，
双曲线的离心率 e = c = 5 ，故应填 5 .
a4
4
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分 12 分）
函数 f (x) (sin x cos x)2 3cos(2x π) .
（1）求函数 f (x) 的最小正周期；
……（1）
又
曲线
y
=
f
(x) 关于直线 x
=
−1 4
对称，
−1 4
+
=
k2
π+
π 2
，（k2
Z)
……（2）
由（1）、（2）可得 = 2(k1 − k2 ) −1π ，即 = (2n −1)π (nZ) ……（3）
f (x) 在 1,2 上有且仅有 3 个零点， 2π 2 −1 4π ( 0) ，
（2）已知△ ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若 f ( A) 2
且 a 2 ，求△ ABC 的面积.
1, sin C
2sin B ，
解：（1） f (x) (sin x cos x)2 3 cos(π 2x)
sin2 x cos2 x 2sin x cos x 3 cos 2x
平面 ABC ， BC1 C1C .
（1）求证： A1B 平面 AB1C1 ；
（2）求二面角 A1 AC1 B1 的余弦值.
解：（1）证明：设直线 AB1 与直线 BA1 交于点 G ，连接 C1G ，
四边形 ABB1A1 为菱形， A1B AB1 ， …………………………………2 分
2020年高考数学试题分项版解析专题14 复数、推理与证明(学生版) 理
2020年高考试题分项版解析数学（理科）专题14 复数、推理与证明（学生版）一、选择题:1.(2020年高考广东卷理科1)设i 为虚数单位，则复数56ii-=（ ） A 6+5i B 6-5i C -6+5i D -6-5i2．(2020年高考北京卷理科3)设a ，b ∈R,“a=0”是“复数a+bi 是纯虚数”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3．(2020年高考浙江卷理科2)已知i 是虚数单位，则3+i1i-＝（ ） A ．1－2i B ．2－i C ．2＋i D ．1＋2i 4 . (2020年高考山东卷理科1)若复数x 满足z(2-i)=11+7i(i 为虚数单位)，则z 为（ ） A 3+5i B 3-5i C -3+5i D -3-5i 5.(2020年高考福建卷理科1)若复数z 满足i zi -=1，则z 等于（ ）A ．i --1B ．i -1C ．i +-1D ．i +1 6.(2020年高考辽宁卷理科2)复数22ii-=+（ ） (A)3455i - (B)3455i + (C) 415i - (D) 315i +8.(2020年高考天津卷理科1)i 是虚数单位，复数7=3iz i-+=（ ） （A ）2i + （Ｂ）2i - （Ｃ）2i -+ （Ｄ）2i -- 9．(2020年高考江西卷理科6)观察下列各式：221,3,a b a b +=+=3344554,7,11,a b a b a b +=+=+=L 则1010a b +=（ ）A ．28B ．76C ．123D ．19910.(2020年高考安徽卷理科1)复数z 满足：()(2)5z i i --=；则z =（ ）()A 22i -- ()B 22i -+()C i 2-2 ()D i 2+211. (2020年高考湖北卷理科1)方程 2x +6x +13 =0的一个根是( ) A -3+2i B 3+2i C -2 + 3i D 2 + 3i 12．(2020年高考上海卷理科15)若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则（ ）A ．3,2==c bB ．3,2=-=c bC ．1,2-=-=c bD ．1,2-==c b14. (2020年高考陕西卷理科3)设,a b R ∈，i 是虚数单位，则“0ab =”是“复数b a i+为纯虚数”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ） 必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ） 既不充分也不必要条件15. (2020年高考四川卷理科2)复数2(1)2i i-=（ ） A 、1 B 、1- C 、i D 、i - 16.(2020年高考全国卷理科1)复数131ii-+=+（ ） A ．2i + B ．2i - C ．12i + D ．12i -二、填空题:1. （2012年高考江苏卷3）设a b ∈R ，，117ii 12ia b -+=-（i 为虚数单位），则a b +的值为 ．2.(2020年高考上海卷理科1)计算：3-i=1+i（i 为虚数单位）.4. (2020年高考福建卷理科14)数列}{n a 的通项公式12cos +=πn n a n ，前n 项和为n S ，则=2012S ___________。
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xx2020高考理科数学试题评析
xx2018高考理科数学试题评析
2018年全国I卷理科数学试题，注重考试内容的基础性、全面性、综合性、应用性，坚持能力立意的原则，重点考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力以及综合运用数学知识解决问题的能力，考查考生的数学素养和探究意识。
具体来说，今年全国I卷理科试题有如下几个特点：
一是保持安定，主要体现在全面考查基础，突出考查主干，如多数试题都是以学生最熟悉的知识和问题呈现，只要对所涉及的知识和方法有基本的认知就可正确作答，这类试题有利于安定考生的心态，有利于考生正常发挥。
此外，试题注重对高中所学内容的全面考查，如集合、复数、函数、数列、线性规划、平面向量、计数原理、极坐标与参数方程、不等式等内容都得到了有用的考查。
在此基础上，试卷还强调对主干内容的重点考查，如在解答题中考查了函数与导数、解三角形、概率统计、立体几何、圆锥曲线等主干内容，这体现了试卷对数学知识考查的基础性、全面性和综合性。
试卷在强调通性通法的同时，还坚持能力立意，试卷往往以一道题为载体，呈现给考生的是解决一类问题的通用方法。
如第18题考查了证明面面垂直和求线面角的大凡方法，重点考查考生的逻辑推理和空间想象能力;第19题考查了解决圆锥曲线定值问题的大凡方法，重点考查考生的运算求解能力;特别是第21题考查了化归与转化的思想方法，揭示了如何构造辅助函数证明不等式的方法，重点考查考生分析问题和解决问题的能力。
二是坚持创新，主要体现在注重题型设计创新，综合考查数学素养，试题设问新奇。
如第10题以古希腊数学家研究的几何图形为情境，设计了一个几何概型及几何概率计算的问题;第16题关于三角函数的最值问题，体现导数工具在研究函数最值问题中的大凡性应用;第20题将函数与概率综合，设问新奇，体现了考生运用数学知识解决数学问题的能力和素养。
三是注重应用，试题贴近生产生活实际，体现数学应用价值。
如第3题以新农村建设为背景，试题情境丰盛，贴近生活，具有深刻的时代气息，设计的
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问题自然却不乏新奇;再如第20题以产品质量检查为背景，设计的问题有很强的现实意义，如何根据期望进行科学合理决策，不仅考查考生对概率统计知识的理解，更是考查概率统计知识在数学和生活中的应用，使考生体会到数学知识与现实生活息息相关。
总的来说，今年全国I卷理科数学试题全面覆盖中学数学的主干内容，坚持通俗问题考查真功夫，没有偏题怪题，非常有利于高校科学选拔，也对高中教学有很好的导向作用。
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