考研数学-专题11 平面域的面积与旋转体的体积
_______ .
[ 3 − ln 2] 2
∫x
【例 2】设 f (x) = t t d t, 则曲线 y = f (x) 与 x 轴所围成封闭图形的面积 −1 为 _________ . x
∫ 【解】 由于 t t 为奇函数，则 f (x) = t t d t 为偶函数， −1 而 f ′(x) = x x < 0, (x < 0), f (−1) = 0,
0
0
D y≥0
∫ = 2π π (1+ cosθ )3 sinθdθ = 8π
30
3
【例
10】已知曲线
L
:
⎧x
⎨ ⎩
y
= =
f (t), (0
cos t
≤
t
<
π) 2
，其中函数
f
(t) 具有连续导数，且
f (0) = 0, f ′(t) > 0(0 < t < π ). 若曲线 L 的切线与 x 轴的交点到切点的距离恒为 1. 2
∫ = 4π
2
[(x −1) +1]
1− (x −1)2 dx
0
∫ = 4π 2 1− (x −1)2 dx 0
= 4π ⋅ π 2
(奇偶性平移) (定积分几何意义)
= 2π 2
方法二 Vy = 2π ∫∫ r(x, y)dσ = 2π ∫∫ xdσ
D
D
3
= 2π ∫∫[(x −1) +1]dσ D
(B)
【例 4】 设平面图形 A 由 x 2 + y 2 ≤ 2x 所确定,试求
(Ⅰ)图形 A 绕 y 旋转一周所得旋转体的体积;
(Ⅱ)图形 A 绕 x = 3 旋转一周所得旋转体的体积.
(Ⅲ)图形 A 绕 y = 2 旋转一周所得旋转体的体积.
∫ 【解】(Ⅰ)方法一
Vy = 4π
2
x
0
2x − x2 dx
体体积为（ ）.
∫ （A） bπ[2m − f (x) + g(x)][ f (x) − g(x)]d x a
∫ （B） bπ[2m − f (x) − g(x)][ f (x) − g(x)]d x a
∫ （C） bπ[m − f (x) + g(x)][ f (x) − g(x)]d x a
∫ （D） bπ[m − f (x) + g(x)][ f (x) − g(x)]d x a
∫∫ ∫ ∫ ∫ S =
1dσ =
b
f (x)
dx 1dy =
b
[ f (x) − g(x)]dx
a
g(x)
a
D
2）若平面域 D 由曲线曲 ρ = ρ(θ ) ，θ = α ,θ = β (α < β )
所围成（如右图），则其面积为
∫∫ ∫ ∫ ∫ S = 1dσ = β dθ ρ(θ ) ρdρ = 1 βρ 2(θ )dθ.
2
∫ f (x) = x (−t2)dt = − 1 (x3 +1)
−1
3
∫ S = 2 0 1(x3 +1)dx = 1
−1 3
2
(x ≤ 0)
【例 3】(1996 年 3)设 f (x) ，g(x) 在区间[a,b] 上连续，且 g(x) < f (x) < m（ m 为常数），
则曲线 y = g(x) ， y = f (x) ， x = a 及 x = b 所围平面图形绕直线 y = m 旋转而成的旋转
2）求区域 D 分别绕 x = 2 和 y = 2 旋转所得旋转的体积.
∫∫ ∫ ∫ 【解】
1）Vx = 2π
D
ydσ
= 2π
2
dy
1
y 1 y
ydx
=
8π 3
∫∫ ∫ ∫ Vy = 2π xdσ D
= 2π
2
dy
1
y 1 yБайду номын сангаас
xdx
=
11 6
π
2）区域 D 绕 x = 2 旋转所得旋转的体积为
∫∫ ∫ ∫ V
= 2π (2 − x)dσ
D
= 2π
2
dy
1
y 1 y
(2
−
x)dx
=
π
(
25 6
−
4
ln
2)
区域 D 绕 y = 2 旋转所得旋转的体积为
∫∫ ∫ ∫ V
= 2π (2 − y)dσ
D
= 2π
2
dy
1
y 1 y
(2
−
y)dx
=
4π
(5 6
−
ln
2)
【例 8】求曲线 y = x2 与直线 y = x 所围区域为 D 绕直线 y = x 旋转一周所得旋转体的体积.
2 cos2 t ⋅ f ′(t)dt
0
∫ = π
π 2
sin 2
t
cos tdt
=
π
0
3
【例 11】设曲线 y = sin x (0 ≤ x ≤ nπ , n = 1,2L) 和 x 轴所围成的区域为 A,区域 A 绕 y
轴旋转所得旋转体体积为 Sn .
(Ⅰ) 求 Sn;
（Ⅱ）求极限
lim[
n→∞
4
∩
(0 ≤ x ≤ 1) ， BC 的方程为 y = 4 − x2 (1 ≤ x ≤ 2) .
设旋转体在区间[0,1] 上体积为V1 ，在区间[1,2]上的
体积为V2 ，则它们的体积元素分别为
dV1 = π{32 − [3 − (x2 + 2)]2}d x = π[8 + 2x2 − x4 ]d x,
（1）区域 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为
∫∫ ∫ ∫ ∫ Vx = 2π
y dσ =2π
b
dx
f (x) ydy = π
b f 2(x)d x
a
0
a
D
（2）区域 D 绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积为
∫∫ ∫ ∫ ∫ Vy = 2π
x dσ =2π
b
dx
f (x) xdy = 2π
b
xf (x)d x
a
0
a
D
【注】 平面域 D 绕直线 L : ax + by + c = 0 （该直线不穿过区域 D) 旋转所得旋转体
∫∫ 体积直接用二重积分V = 2π r(x, y)dσ 计算，然后选择计算二重积分的方法（直角坐标、 D
极坐标、奇偶性、对称性）.用这个方法比用一元的元素法简单的多.
【例 1】设 D 是由曲线 xy + 1 = 0 与直线 y + x = 0 及 y = 2 围成的有界区域，则 D 的面积为
= 2π ∫∫dσ D
(奇偶性平移)
= 2π 2
（Ⅱ）Vx=3 = 2π ∫∫ r(x, y)dσ = 2π ∫∫(3 − x)dσ
D
D
= 2π ∫∫[2 − (x −1)]dσ D
= 2π ∫∫2dσ D
(奇偶性平移)
= 4π 2
（Ⅲ）Vy=2 = 2π ∫∫ r(x, y)dσ = 2π ∫∫(2 − y)dσ
∫∫ ∫ ∫ ∫ 【解】1）解 S = 1 dσ = 2 π dθ 1+cosθ ρdρ = π (1+ cosθ )2dθ = 3π
0
0
0
D
2
2） 由于 D 在极轴上方和下方两部分绕极轴旋转产生的旋转体重合，则
∫∫ ∫ ∫ Vx = 2π
ydσ = 2π π dθ 1+cosθ ρ 2 sinθdρ
α
0
D
2α
∫∫ 【注】 平面域 D 的面积直接用二重积分 S = 1dσ 计算，然后根据积分域 D 选择计算二
D
重积分的方法（直角坐标、极坐标、奇偶性、对称性）.
（二）旋转体的体积 旋转体的体积的一般的问题是平面域 D 绕直线
L : ax + by + c = 0 （该直线不穿过区域 D, 如右图）
1
3
= π (x ln2 x − 2x ln x + 2x) e2 − 4π (e2 −1) = 2π (e2 −1).
13
3
【例 6】求曲线 y = 3− | x2 − 1| 与 x 轴围成的封闭图形绕直线 y = 3 旋转所得的旋转体体积.
∩
【解 1】 作出图形. AB 的方程为 y = x2 + 2
S1 n3 +
13
+
S2 n3 + 23
+L+
n3
Sn +
n3
].
∫ 【解】(Ⅰ)
Sn = 2π
nπ
x sin xdx
0
(令 x = nπ − t )
∫ ∫ = 2π
nπ (nπ
0
− t) sin t dt
= 2nπ 2
nπ 0
sin t dt − Sn
∫ ∫ Sn
= nπ 2
nπ 0
sin t dt
1) 求函数 f (t) 的表达式;
2）求以曲线 L 及 x 轴和 y 轴为边界的区域的面积及绕 x 轴旋转所得旋转体体积.
【解】1) 曲线 L 的切线斜率 k = yt′ = − sin t ，切线方程为 xt′ f ′(t)
y
− cost
=
−
sin t f ′(t)
(x
−
f
(t)).
令
y
旋转体体积面积乘周长
旋转体体积面积乘周长旋转体是数学中的一个重要概念，它具有独特的几何特征和性质。
而计算旋转体的体积和表面积是数学中的常见问题之一。
本文将围绕旋转体的体积和表面积展开讨论，并探讨如何通过乘以周长来计算。
一、旋转体的体积旋转体的体积是指由某一曲线绕某一轴旋转一周所形成的空间区域的体积。
具体来说，就是将该曲线上的每一点都绕轴旋转，形成一个立体图形，然后计算这个立体图形的体积。
计算旋转体的体积有多种方法，其中一种常见的方法是使用定积分。
假设我们有一个曲线y=f(x)，将其绕x轴旋转一周，形成一个旋转体。
在x=a和x=b之间的一个微小区间Δx上，该旋转体的体积可以近似地表示为一个柱体的体积，即ΔV=π(f(x))^2Δx。
将所有微小区间上的柱体体积相加，并取极限，得到旋转体的体积公式：V=∫[a,b]π(f(x))^2dx这里的∫[a,b]表示对x从a到b的积分运算。
通过计算该定积分，我们可以得到旋转体的精确体积。
二、旋转体的表面积旋转体的表面积是指由某一曲线绕某一轴旋转一周所形成的表面的总面积。
与计算体积类似，计算旋转体的表面积也可以使用定积分的方法。
假设我们有一个曲线y=f(x)，将其绕x轴旋转一周，形成一个旋转体。
在x=a和x=b之间的一个微小区间Δx上，该旋转体的表面积可以近似地表示为一个圆环的面积，即ΔS=2πf(x)Δs。
将所有微小区间上的圆环面积相加，并取极限，得到旋转体的表面积公式：S=∫[a,b]2πf(x)ds这里的ds表示曲线在该点的弧长元素。
通过计算该定积分，我们可以得到旋转体的精确表面积。
三、体积面积乘周长的意义旋转体的体积和表面积是旋转体的两个重要属性，它们分别描述了旋转体的大小和形状。
而将体积和表面积相乘，再乘以周长，可以得到一个更加综合的指标，可以用来比较不同旋转体之间的差异。
具体来说，体积面积乘周长可以表示旋转体的容量和覆盖程度。
体积面积较大的旋转体，意味着它的容量较大；而周长较长的旋转体，意味着它的表面覆盖范围较广。
大学高等数学2平面图形的面积 旋转体的体积计算
为所求量U的元素。 应用定积分的元素法解决问题时，关键在于确定积分元素
f(x)dx 和积分区间[a ,b]。
◆直角坐标系下的平面图形的面积（演示）
1、 由x=a ， x= b ,y=0 及 y= f (x) 所围成的平面图形的面积为
◆定积分的元素法
复习曲边梯形的面积计算方法（演示）
定积分的元素法分析（演示）
定积分的元素法（演示） 一般地：若所求量U与变量的变化区间[a , b]有关，且关于
[a , b]具有可加性，在[a , b]中的任意一个小区间[x , x+dx]上 找出部分量的近似值dU=f(x)dx,得所求量的定积分表达式
4
t
cos2
t
dt
3a2
2 sin2 2t sin2 t dt
0
3a2
2
2 1 cos 4t 1 cos t dt
40
偶次方化倍角
3a2
2 1 cos 4t
cos t
cos 4t cos t dt
...
3a2
40
8
◆旋转体的体积
旋转体的概念——平面图形绕同一平面上某一定直线（旋转轴） 旋转一周所得的立体（演示）。
一周而成的立体的体积。
解 如图所示
Vy V1 V2
1 0
x12dy
1
0
x2
2
dy
1
ydy
1 y4dy 3
0
0
10
V1
V2
返回
◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式
1 y x3, x 1, y 0
旋转体的体积ppt课件
的曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的旋转体的体
d
积为
d
V yc
x2d yd c
g(y)2d y
c
x=g (y)
◆旋转体的体积计算公式
例2 连接坐标原点 O 及点 P( h , r) 的直线，
直线 x=h及 x轴围成一个直角三角形，将它绕
x轴旋转构成一个底半径为 r，高为 h的圆锥，
计算圆锥的体积。
2 .若 f ( x ) x n f ' ( x ) n x n -1 ( n R )
3 .若 f ( x ) s in x f ' ( x ) c o s x
4 .若 f ( x ) c o s x f ' ( x ) - s in x
5 .若 f ( x ) a x f ' ( x ) a x ln a
（演示）。
◆旋转体的体积计算公式
1、旋转轴为 x 轴（演示） 由x=a , x= b ，y=0, y=f (x) （f (x)>0)所围成
的曲边梯形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的
体积为
b
V xa
y2d xb a
f(x)2d x
y=f (x)
2、旋转轴为 y 轴（演示）
由y= c , y= d , x=0, x=g (y) （ g (y)>0)所a 围成b
10
V1
V2
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返7 回
◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式
1 y x 3 , x 1 , y 0
绕x轴旋转一周
Vx
1
x6dx
0
1 7
2 y x 3 , y 1 , x 0
1
绕x轴旋转一周
直角坐标系下平面图形的面积和旋转体的体积共40页
所围成的图形称为曲边扇形。
其中部分量可由阴影部分（扇形）面积近似计算，即：
dA 1r2 d （扇形面积近似替换）
2
由定积分的元素法，得曲边扇形面积的定积分表达式为
A
1
2
r2
d
◆极坐标系下的平面图形的面积计算例题
例6 求双纽线 2a2cos2 (a0)所围平面图形的面积。
3a2
2
21cos4t1costdt
40
偶次方化倍角
3 a 2
21 co s4 t co stco s4 tco std t
...
3a 2
40
8
◆极坐标系下的平面图形的面积（演示） r r( )
如果平面曲线由极坐标给出，如右图：
由 , , rr
0
0
10
V1
V2
返回
◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式
1 yx3 , x 1 , y 0
绕x轴旋转一周
Vx
1
x6dx
0
1 7
2 yx3 , y 1 , x 0 1
绕x轴旋转一周
Vx
1dx
0
1x6dx
0
6 7
y=x3 x1
y=x3
x
1
◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式
U b f (x)dx, 这种方法叫做定积分的元素法。 dU=f(x)dx称 a
为所求量U的元素。 应用定积分的元素法解决问题时，关键在于确定积分元素
f(x)dx 和积分区间[a ,b]。
◆直角坐标系下的平面图形的面积（演示）
高数定积分旋转体体积
在高数中，旋转体是一种三维图形，可以用旋转某个二维图形围成。
旋转体的体积可以用定积分来求解。
具体来说，假设有一个二维图形 F，它位于平面 xy 上，其旋转轴为 y 轴。
如果将这个图形绕 y 轴旋转 360°得到的体积称为 V。
那么，V 可以表示为：
V = ∫F(x,y) dx
其中，F(x,y) 是围成旋转体的二维图形的面积函数。
举个例子，假设有一个圆柱体，其底面半径为 r，高为 h。
那么，这个圆柱体的体积 V 可以表示为：
V = ∫πr^2 dx = πr^2 ∫ dx
积分的上下界分别为 -h/2 和 h/2，因此：
V = πr^2 (h/2-(-h/2)) = πr^2 h
也就是说，圆柱体的体积等于底面积乘以高。
总之，旋转体的体积可以用定积分来求解，具体方法是将围成旋转体的二维图形的面积函数积分即可。
旋转体的表面积与体积
S圆柱侧面积 2r下l
S圆锥侧面积 r下l
S上 S下 V圆台 13（S上 S上S下 S下）h S上0
V圆柱 Sh
V圆锥
1 Sh 3
球的表面积和体积
S球表面积 4R 2
V球
1 R 3
3
思考：圆柱的底面直径与高都等于球的直径： ① 球的体积等于圆柱体积的2/3； ② 球的表面积等于圆柱的侧面积.
V圆台 13（S上 S上S下 S下）h
圆台的表面积和体积
S圆台表面积 r上2 r下2 (r上l r下l)
V圆台 13（S上 S上S下 S下）h
O’
O
思考：已知如图所示圆台的 三视图，求其表面积和体积。
圆柱、圆台、圆锥的侧面积和体积的内在联系
r上 r下 S圆台侧面积 (r上l r下l) r 上0
圆柱的表面积和体积
r O
圆柱的侧面展开图是矩形
O
S圆柱表面积 S上 S下 S侧
2r2 2rl 2r(r l)
V圆柱 Sh r 2h
思考：边长为1的正方形以其一边所在直线旋转 一周，所得几何体的表面积和体积？
圆锥的表面积和体积
圆锥的侧面展开图是扇形
S圆锥表面积 S底 S侧
r 2 rl r(r l)
V圆锥
1 Sh 3
1 r 2h
3
O
思考：边长为2的正方形以其一对角线所在直 线旋转一周，所得几何体的表面积和体积？
圆台的表面积和体积
参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧 面展开图是什么 ．
圆台的侧面展开图是扇环
O’
S圆台表面积
S上 S下 S侧
Oห้องสมุดไป่ตู้
r上2 r下2 (r上l r下l)
7-1 平面图形的面积与旋转体的体积(1)
1 = 0, t = . 2 2 A(1) = 3
上的一条切线， 例2 求曲线 y = x 在 (0,2)上的一条切线，使 该曲线与切线、 该曲线与切线、直线 x = 0, x = 2 所围成的 图形面积最小 最小. 图形面积最小 解 设切点横坐标为 1 x ∈ (0,2), 则 y′ =
0
x0
切线方程为
积分得
2
y = cx ,
2
9 因为 y = f ( x ) 曲线过点 ( 2,3) ⇒ c = 2
9 ∴ y = x, 2
因为 f ( x ) 为单调函数
3 所以所求曲线为 y = 2 x . 2
练 习 题
一、填空题： 填空题： 1 、由曲线 y = e x , y = e 及 y 轴所围成平面区域的面积 是______________ . 2 、由曲线 y = 3 − x 2 及直线 y = 2 x 所围成平面区域的 面积是_____ 面积是_____ . 3 、由曲线 y = x 1 − x 2 , y = 1 , x = −1 , x = 1 所围成 平面区域的面积是_______ 平面区域的面积是_______ . 所围的区域面积时， 4、计算 y 2 = 2 x 与 y = x − 4 所围的区域面积时，选用 ____作变量较为简捷 ____作变量较为简捷 . 5、由曲线 y = e x , y = e − x 与直线 x = 1 所围成平面区 域的面积是_________ 域的面积是_________ .
−2 t
它也是最小值. 它也是最小值
思考题
设曲线 y = f ( x ) 过原点及点 ( 2,3)，且为 单调函数,并具有连续导数 并具有连续导数,今在曲线上 单调函数 并具有连续导数 今在曲线上f ( x ) 任取一点作两坐标轴的平行线， 任取一点作两坐标轴的平行线，其中一条 平行线与 x 轴和曲线 y = f ( x ) 围成的面积 是另一条平行线与 y 轴和曲线 y = f ( x ) 围 成的面积的两倍，求曲线方程. 成的面积的两倍，求曲线方程
2011考研数学中的4大物理应用功、引力、压力、质心
2011考研数学中的4大物理应用--功、引力、压力、质心智轩考研数学培训中心物理应用=几何应用+物理定理，几何应用包括：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积和函数的平均值；物理应用包括：功、引力、压力和质心。
一压力或浮力问题【物理定理】在水深为h 处的压强p h r =，r 为液体的比重，如果有一个面积为S 的平板水平地放置在深h 处，则该平板的一侧受液体的压力为P pS hS r ==，一般地，果有一个面积为S 的平板垂直地放置某液体中，则该平板的一侧受液体的压力为()baP x f x dx r =××ò。
对于数学一的考生还会以浮力形式考察三重积分， F dV tr =òòò液体或气体浮力 【题型题法】【例1】一底为8Cm ，高为6Cm 的等腰三角形片，沿直地沉没在水中，顶在上，底在下，且与水面平行，而顶离水面3Cm ，试求它每面所受的压力。
〖解〗以水面为原点，向右为x 正方向，向下为y 正方向。
画三角型图：顶点为()0, 3A ，底左端点为()4, 9B -，底右端点为()4, 9C 。
AC 直线方程为：()623343y x x y -=Þ=-。
则所求压力为：()()()934423316833dP ydS y xdy y y dy P y y dy g r r r ==×=-Þ=-=ò。
【例2】边长为(),,a b a b >的矩形薄板，与液面成a 角，斜沉入液体内，长边平行于液面而位于深h 处，液体密度为g ，求薄板每面收到的压力。
〖解〗()()()0sin sin 2sin 2bdP g h adx P g h adx abg h b gg a g a a =+Þ=×+×=+ò。
【例3】一横放着的圆柱形水桶，内盛半桶水，设水桶的半径为R ，水的相对密度为g ，求桶的一个端面所受压力。
考研数学复习重点定积分几何应用知识点总结
2018考研数学复习重点：定积分几何应
用知识点总结
2015年考研数学二考查了曲线绕x轴、y轴旋转的旋转体的体积，下面老师帮大家总结一下此知识点的内容和重要公式，希望对2018考研的同学有帮助。
定积分的几何应用主要是求平面图形的面积和旋转体的体积，以下主要从这两方面展开。
定积分的几何应用是考研数学高频考点，尤其是求面积和旋转体的体积，希望同学们在复习时首先理解微元法推导各公式的过程，在此基础上多做题强化训练，不要只死记硬背公式、不求甚解。
旋转体体积计算方法
旋转体体积计算方法引言在几何学中，旋转体是一种由某一曲线沿着一条直线旋转而形成的三维物体。
计算旋转体的体积是几何学中的一个重要问题。
本文将介绍两种常用的方法来计算旋转体的体积，分别是「圆盘法」和「壳体法」。
圆盘法圆盘法是计算旋转体体积的一种直观方法。
它的基本思想是将旋转体分割成许多细小的圆盘，然后累加每个圆盘的体积以得到总体积。
以下是圆盘法的详细步骤：1.确定旋转体的底面曲线方程，记作\[y = f(x)\]，其中\[x\]和\[y\]分别表示平面上的横坐标和纵坐标。
2.确定旋转体的旋转范围，通常是\[x\]从\[a\]到\[b\]的区间。
3.将旋转范围\[x\]分割成\[n\]个小区间，每个小区间的宽度为\[dx =\frac{b-a}{n}\]。
4.对于每个小区间的中点\[x_i\]，计算对应的\[y_i = f(x_i)\]，并计算以\[y_i\]为底面半径、\[dx\]为高度的圆盘的体积\[V_i = \pi \cdot y_i^2 \cdotdx\]。
5.将所有圆盘的体积累加求和，即得到旋转体的总体积\[V =\sum_{i=1}^{n}{V_i}\]。
壳体法壳体法是计算旋转体体积的另一种常用方法。
它的基本思想是将旋转体分割成许多细小的柱壳，然后累加每个柱壳的体积以得到总体积。
以下是壳体法的详细步骤：1.确定旋转体的底面曲线方程，记作\[y = f(x)\]，其中\[x\]和\[y\]分别表示平面上的横坐标和纵坐标。
2.确定旋转体的旋转范围，通常是\[x\]从\[a\]到\[b\]的区间。
3.将旋转范围\[x\]分割成\[n\]个小区间，每个小区间的宽度为\[dx =\frac{b-a}{n}\]。
4.对于每个小区间的中点\[x_i\]，计算对应的\[y_i = f(x_i)\]和\[y_{i+1}= f(x_{i+1})\]，然后计算以\[x_i\]和\[x_{i+1}\]为半径、\[y_i - y_{i+1}\]为高度的柱壳的体积\[V_i = \pi \cdot (y_i^2 - y_{i+1}^2) \cdot dx\]。