八年级下册数学正方形的性质和判定
八年级正方形的性质和判定
正方形的性质和判定1、互动探索正方形是我们熟悉的几何图形，它的四条边都相等，四个角都是直角，因此它既是矩形又是菱形，那么今天我们看下面图形来研究下它的性质和判定方法。
知识点一（正方形的性质和判定）【知识梳理】1、定义：有一组邻边并且有一角是的形叫做正方形。
2、性质：①正方形的四个角都是，四条边都。
②正方形的两条对角线，并且互相，每条对角线。
3、判定：①的矩形是正方形。
②的菱形是正方形。
③两条对角线，且互相垂直平分的四边形是正方形。
④两条对角线相等，且互相垂直的平行四边形是正方形。
4.面积：①正方形面积=边长的平方 S=a×a(S表示正方形的面积，a表示正方形的边长)②对角线乘积的一半5.周长：正方形周长=边长×4 用“a”表示正方形的边长，“C”表示正方形的周长，则C=4a【例题精讲】例1.1、如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边重点连线EF为边的正方形EFGH的周长为。
（第1题）（第2题）2、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，正方形ABCD的边长为3，则△ECF的周长为。
3、如图，正方形ABCD的边长为7，点E、F分别在AB、BC上，AE=3，CF=1，P是对角线AC上的个动点，则PE+PF的最小值。
（第3题）（第4题）4、如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为。
【课堂练习】1、如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是。
2、如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则∠BCP度数是。
（第1题）（第2题）（第3题）3、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为。
八年级下学期正方形的性质和判定讲义
正方形知识精讲一、正方形的定义有一组邻边相等、一个内角是的平行四边形叫做正方形。
二。
正方形的性质１、正方形的四条边都相等,四个角都是直角;2、正方形既是矩形,又是菱形,它既有矩形的性质,又有菱形的性质、3、正方形是轴对称图形,对称轴有４条、三、正方形的判定1、有一组邻边相等的矩形是正方形;2、有一个角是直角的菱形是正方形;3、对角线互相垂直的矩形是正方形;4、对角线相等的菱形是正方形;５、对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形;６、四条边相等且四个角是直角的四边形是正方形、四、弦图模型如图１,Ｒｔ△ＤＣＥ≌Rt△CAF;如图２,Rt△ＢAE≌Rｔ△ＣBF、三点剖析一、考点:１。
正方形的性质;２、正方形的判定;３、弦图模型二、重难点:正方形性质的应用和判定;弦图模型、三。
易错点:正方形、矩形、菱形性质与判定的区别、例题讲解一:性质例2、1、1如图,在正方形ABCD中,点F为ＣＤ上一点,BF与AC交于点E、若∠CBF=20°,则∠AＥD等于度、【答案】65【解析】∵正方形ABCD,∴AB=AＤ,∠BAE=∠DAＥ,在△ABE与△ＡDＥ中,∴△ABE≌△ADE(SAS),∴∠AEB=∠ＡED,∠AＢE=∠ＡＤE,∵∠CBF＝2０°,∴∠ABＥ=7０°,∴∠AED＝∠AEB=１80°﹣45°﹣7０°=6５°,例2。
1、2如图,正方形ABＣＤ的对角线ＡC与ＢＤ相交于点O,∠ACB的角平分线分别交AB、BＤ于M、N两点,若AM=2,则正方形的边长为( )A、4B、3C、２+D、【答案】Ｃ【解析】过点M作MF⊥AＣ于点Ｆ,如图所示、∵ＭＣ平分∠ACB,四边形ABＣD为正方形,∴∠ＣAB=45°,FM=BＭ。
在Rt△AFM中,∠AＦM=90°,∠FAＭ=45°,AM＝２,∴FM=AM•sin∠FＡM=、AB＝ＡM+MＢ=2+、例2、1。
正方形的性质及判定-人教版八年级数学下册教案
正方形的性质及判定-人教版八年级数学下册教案
一、教学目标
1.了解正方形的定义及性质；
2.判定一个四边形是否为正方形；
3.运用正方形的性质解决实际问题。
二、教学重难点
1.判断四边形是否为正方形的方法；
2.运用正方形的性质解决实际问题。
三、教学内容及步骤
（一）导入（5分钟）
1.通过观察物体，引出正方形的含义；
2.介绍本节课的学习目标。
（二）正片（30分钟）
1. 正方形的定义
1.学生回顾并回答正方形的定义；
2.老师引导学生深入理解正方形的定义，并与长方形、菱形等进行比较。
2. 正方形的性质
1.学生回顾并回答正方形的性质；
2.老师引导学生深入理解正方形的性质，包括等边、等角、对角线互相垂直、对角线相等等。
3. 判定正方形的方法
1.老师通过例题引导学生掌握判定正方形的方法；
2.学生进行练习，巩固判定正方形的方法。
4. 运用正方形的性质解决实际问题
1.通过例题引导学生运用正方形的性质解决实际问题；
2.学生进行练习，巩固运用正方形的性质解决实际问题。
（三）小结（5分钟）
1.回顾本节课所学内容；
2.强调正方形的定义及性质在实际生活中的应用。
（四）作业布置（5分钟）
1.完成课堂练习；
2.完成课后作业。
四、教学反思
本节课通过例题引导学生掌握了正方形的定义及性质，并且通过练习巩固了判定正方形的方法和运用正方形的性质解决实际问题的能力。
同时，课堂中老师与学生的互动也让学生参与性更强，思维更加开放。
八年级数学下册《正方形的性质及判定》教案、教学设计
2.注重启发式教学：针对正方形性质和判定的学习，教师应采用问ห้องสมุดไป่ตู้驱动、实例分析等方法，引导学生主动思考、探索，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.小组合作，共同解决以下问题：
a.证明正方形的对角线互相垂直平分。
b.证明正方形的四条边都相等。
c.探讨正方形的内角和与外角和的关系。
4.完成以下拓展练习：
a.画出一个正方形，并标出其周长和面积。
b.画出一个正方形，并将其分割成四个大小相等的小正方形。
c.画出一个正方形，并找出其内切圆和外接圆，计算它们的半径。
五、作业布置
为了巩固本节课所学知识，提高学生的应用能力，特布置以下作业：
1.请同学们完成课本第35页的练习题，包括以下内容：
a.判断下列四边形是否为正方形，并说明理由。
b.计算给定正方形的周长和面积。
c.探索正方形与矩形、菱形之间的联系与区别。
2.结合生活实际，找一找身边的正方形物体，并描述它们的特点。例如，正方形瓷砖、桌面、窗户等。
3.教师引导学生观察正方形的特点，如四条边相等、四个角相等等，为新课的学习做好铺垫。
（二）讲授新知
1.教师引导学生探究正方形的性质，通过观察、猜想、验证等方法，发现正方形的性质，如四条边相等、四个角相等、对角线互相垂直平分等。
2.教师结合实例，讲解正方形性质的应用，如计算正方形的周长、面积等。
3.教师讲授正方形的判定方法，如邻边相等、对角线互相垂直平分、四条边都相等等，并通过实例进行解释和说明。
（三）学生小组讨论
卓越八年级下册数学19-4正方形的性质和判定
正方形定义：有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形叫正方形。
正方形性质：1、正方形四个角都是直角； 2、正方形四条边都相等；3、正方形对角线垂直相等，每一条对角线平分一组对边。
正方形判定：1、有一个角是直角的菱形是正方形； 2、有－组邻边相等的矩形是正方形； 3、既是矩形又是菱形的四边形是正方形。
例 已知：如图，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE ＝CG ，连接BG 并延长交DE 于F ．（1）求证：△BCG ≌△DCE ；（2）将△DCE 绕点D 顺时针旋转90°得到△DAE ′，判断四边形E ′BGD 是什么特殊四边形？并说明理由．ABCDEF EG分析：（1）由正方形ABCD 知，DC=BC ，∠DCB=90°，又由∠DCB=90°得∠DCE=90°，所以，根据SAS 得到△BCG ≌△DCE ；（2）四边形E ′BGD 是平行四边形。
理由： ∵ 四边形ABCD 是正方形∴ AB//CD,AB=CD ∵ CG=CE=A E ′ ∴ BE//DG,BE=DG∴ 四边形 E ′BGD 是平行四边形第四部分：典型例题例1、有一块面积为1的正方形ABCD ，M 、N 分别为AD 、BC 边上的中点，将C 点折至MN 上，落在P 点位置，折痕为BQ ，连结PQ. 求MP 的长.【变式练习】1. 四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，能判别这个四边形是正方形的条件是（ ） A.OA =OB =OC =OD ，AC ⊥BD B.AB ∥CD ，AC =BDC.AD ∥BC ，∠A =∠CD.OA =OC ，OB =OD ，AB =BC2. 在正方形ABCD 中，AB =12 cm ，对角线AC 、BD 相交于O ，则△ABO 的周长是（ ） A.12+122B.12+62C.12+2D.24+623. 已知四边形ABCD 是菱形，当满足条件_________时，它成为正方形(填上你认为正确的一个条件即可).4. 下列命题中的假命题是( )．A ．一组邻边相等的平行四边形是菱形B ．一组邻边相等的矩形是正方形c 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D ．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 5. 正方形的一条边长是3，那么它的对角线长是_______.例2、如图1，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、CD 的中点，AF 、DE 相交于点G ，则可得得结论：①DE AF =；②DE AF ⊥。
青岛版数学八年级下册《正方形的性质和判定定理》说课稿1
青岛版数学八年级下册《正方形的性质和判定定理》说课稿1一. 教材分析《正方形的性质和判定定理》是青岛版数学八年级下册的一章内容。
本章主要介绍了正方形的性质和判定定理。
内容包括正方形的定义、性质、对角线、四边相等、对角线互相垂直平分等。
通过本章的学习，使学生能够理解和掌握正方形的性质和判定定理，并能够运用到实际问题中。
二. 学情分析在进入本章学习之前，学生已经学习了矩形、菱形等图形的性质，对图形的性质有一定的了解。
但正方形的性质和判定定理较为复杂，需要学生进行进一步的学习和理解。
在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对学生的掌握情况，进行针对性的教学。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解正方形的性质和判定定理，并能够运用到实际问题中。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、推理等方法，学生能够探索正方形的性质和判定定理。
3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与课堂学习，培养对数学的兴趣和好奇心。
四. 说教学重难点1.教学重点：正方形的性质和判定定理的理解和运用。
2.教学难点：正方形性质和判定定理的推理和证明。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作学习法、引导发现法等教学方法，引导学生主动探究正方形的性质和判定定理。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、几何画板等教学手段，直观展示正方形的性质和判定定理，帮助学生理解和掌握。
六. 说教学过程1.引入新课：通过展示正方形的图片，引导学生观察正方形的特点，引发学生对正方形性质的思考。
2.探索性质：学生分组讨论，每组探究正方形的一个性质，如对角线互相垂直平分等，引导学生通过操作、观察、推理等方法，总结出正方形的性质。
3.讲解判定定理：教师引导学生思考如何判定一个四边形是正方形，引导学生通过推理和证明，得出正方形的判定定理。
4.巩固练习：学生进行课堂练习，教师及时给予指导和反馈。
5.拓展与应用：学生分组讨论，运用正方形的性质和判定定理解决实际问题，如正方形面积的计算等。
八年级数学正方形的性质与判定学案
鲁教版（五四制）八年级下册数学第六单元第三节正方形的性质与判定第二课时学案一、学习目标1.掌握正方形的判定方法。
2.综合运用平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质定理和判定定理探究中点四边形问题。
3.让学生经历观察、实验、猜想、证明的过程，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，让其逻辑推理能力有进一步的提升。
二、教学重点与难点重点：正方形的判定方法。
难点：合理恰当地利用特殊四边形的性质和判定进行有关的论证和推理三、动手实验你能否利用手中的矩形纸片折出一个正方形呢？你能说说理由吗？四、探究学习探究1有一个角是直角的菱形是正方形符号语言探究2对角线相等的菱形是正方形符号语言探究3对角线互相垂直的矩形是正方形符号语言五、矩形、菱形与正方形之间的关系五、当堂测试（1）判断1.四个角都相等的四边形是正方形. ( )2.四条边都相等的四边形是正方形. ( )3.对角线垂直且相等的四边形是正方形. ( )4.四条边相等且有一个角是直角的四边形是正方形.( )（2）选择在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（）A．AC=BD，AB∥CD，AB=CDB．AD∥BC，∠A=∠CC．AO=BO=CO=DO，AC⊥BDD．AO=CO，BO=DO，AB=BC（3）例题精讲已知:矩形ABCD中, BE平分∠ABC, CE平分∠DCB,BF∥CE,CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形.六、探究中点四边形自我总结：中点四边形的形状与原图形的有关七、课堂小结谈谈你的收获八、课后作业必做题1.必做1：已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．求证：四边形CFDE是正方形．选做题2.选做：在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.1)试说明:DE=DF2)只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形.并说明理由。
人教版八年级数学下册18.2.3正方形的性质及判定教案
最后，今天的总结回顾环节，同学们能够较好地概括出正方形的性质和判定方法，说明他们对本节课的知识点有了较好的掌握。但在提问环节，我发现有些同学对自己的疑问表达得不够清晰，可能是他们对自己的问题认识不够准确。在以后的教学中，我会更加关注学生的疑问，引导他们准确地表达自己的问题，并给予耐心解答。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调正方形的性质和判定方法这两个重点。对于难点部分，如对角线垂直平分性质和判定方法的应用，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与正方形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用直尺和量角器测量正方形的对角线，验证其互相垂直平分的性质。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“正方形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
人教版八年级数学下册18.2.3正方形的性质及判定教案
一、教学内容
人教版八年级数学下册18.2.3正方形的性质及判定：
1.正方形的定义及性质：准确理解正方形的定义，掌握正方形的四条边相等、四个角都是直角、对角线互相垂直平分等性质。
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例题1:四边形ABCD是正方形,两条对角线
相交于点O,(1)求∠AOB,∠OAB的度数。
解：∵四边形ABCD是正方形 A F D
∴AC⊥BD ∠AOB=900 ∠BAC=∠DAC
O
∴∠OAB=450
BEC
(2)若AC=4，则正方形边长 2√2 ; 正方
形的面积是 8
(3)正方形的面积64cm2，则对角线交点
到正方形一边的距离 4㎝
例2求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的 等腰直角三角形。
已知：四边形ABCD是正方形，对角 A
D
线AC、BD相交于点O
求证：⊿ABO、 ⊿ BCO 、 ⊿ CDO、
O
⊿ DAO是全等的等腰直角三角形 B
C
证明：∵四边形ABCD是正方形
∴AC＝BD，AC⊥BD，AO ＝ CO ＝ BO ＝ DO ﹙正方形的对角线相等，并且互相垂直平分﹚
有一个角是直角且有一组邻边相等的
3、
的平
行四边形是正方形。
2、正方形的对性边质平行
正 方
边 四边相等
形 角 四个角相等且都是直角
性 质
对角线相等
对角线 互相垂直平分
每条对角线平分一
组对角 正方形具有平行四边形、矩形、菱
形的一切性质。
二、正方形的性质
正方形的性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都
复习
思考：1、在第四章中我们已经学习了 哪些特殊的四边形？
平行四边形、矩形、菱形。
思考：2、分别叙述这三种四边形的定义。
矩
两组对边
形
四边形
平行四边形
分别平行
菱
形
矩形
邻边 相等
？
菱 形
有一个角
？
是直角
正 方 形
想一想：正方形是怎样的矩形？
正方矩形形
邻边相 等的矩
形
想一想：正方形是怎样的菱形？
正菱方形形 一个角是直角的菱形
自矩主学形习、正方形（2）
1、在下列性质中，平行四边形具有的是_______， 矩形具有的是_________，菱形具有的是_______， 正方形具有的是_______________。
或面积S 1 AC2 1 42 8cm2
2
2
1、正方形的面积等于边长的平方。
2、正方形的面积等于等于对角线的平方的一半。
3、正方形的周长等于边长的4倍。
练习3、已知：在正方形ABCD中，E、F分别在BC、DC
上，且BE ＝ DF，AC与BC相交于O点，EF
与AC相交于P点 求证：EF ⊥ AC，EF ∥ BD
练习 2、已知：正方形的一条对角线长为4cm
求: 它的边长和面积。
A
D
解：∵四边形ABCD是正方形
∴AB ＝ BC，∠ABC＝90°
﹙正方形的四个角都是直角，四条边都相等﹚
在Rt⊿ABC中， AB2 BC2 AC2 B
C
边长AB 2 AC 2 4 2 2cm
2
2
面积S AB2 （2 2）2 8cm2
的周长、对角线长和正方形的面积。
解：∵四边形ABCD是正方形
A
D
∴AB＝ BC ＝ 2cm，∠ABC ＝ 90°
﹙正方形的四个角都是直角，四条边都相等﹚
在RtABC中， AC AB2 BC2
B
C
对角线AC 22 22 2 2cm
∵边长AB＝2cm ∴周长C＝4AB＝8cm
面积S 4cm2
自我检测
1、下列说法对吗？
1）一组邻边相等,一个角是直角的四边形是正方形。
2）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。
2、周长为20cm的正方形,边长是 5㎝ 对角线长是5√2 cm 面积是 25cm2 。
3、如图，有 8 个等
腰直角三角形
A
D
O
B
C练习 1ຫໍສະໝຸດ 已知：正方形的一条边长为2cm，求这个正方形
∴⊿ABO、 ⊿ BCO 、 ⊿ CDO、 ⊿ DAO 都是等腰直角三 角形，并且⊿ABO ≌⊿ BCO ≌ ⊿ CDO ≌ ⊿ DAO
由于正方形的面积等于⊿ABO 面积的4倍，所 以正方形的面积等于对角线的平方的一半。
做一做
现在请大家做一做这样一个 实验：将一张长方形纸对折 两次，然后剪下一个角，打 开，怎样剪才能剪出一个正 方形？
A
证明： ∵四边形ABCD是正方形
D
∴BC ＝ CD
OP F
﹙ 正方形的四条边都相等﹚ ∵BE ＝ DF
BEC
∴EC ＝ FC ∵AC平分∠BCD
﹙ 正方形的每条对角线平分一组对角﹚
∴EF⊥ AC
∵AC ⊥BD （正方形的对角线互相垂直）
∴ EF ∥ BD
矩形、正方形（2）
快速反应
4、判断。 （1）正方形一定是矩形。（ ） （2）正方形一定是菱形。（ ） （3）菱形一定是正方形。（ ） （4）矩形一定是正方形。（ ） （5）正方形、矩形、菱形都是平行四边形。 （）
对角线互相垂直
有
有
对角线相等
有
有
每条对角线平分一组 对角
有
有
请用这四种图形填空
A表示： 平行四边形 B表示： 矩形（菱形） C表示： 菱形（矩形） D表示： 正方形
有一组邻边相等且有 一个角是直角
正方形、矩形、菱形及平 行四边形四者之间的关系
3、正方形的判定:
1.定义法 2.先判定是矩形,再判定是菱形，或
∴AC平分∠BAD和∠BCD
∴BD平分 ∠ ABD和∠ADC
对称轴
思考：1、平行四边形、矩形、菱形、正方形分别 有哪些性质？这些性质可以从哪几个角度概括？
图形 平行四 矩 菱 正方
性质
边形 形 形 形
对边平行且相等
有
有有
有
四条边都相等
有
有
对角相等
有 有有
有
四个角都是直角
有
有
对角线互相平分
有
有有
有
先判定是菱形,再判定是矩形。
①、对角线相等的菱形是正方形
吗？为什么？
②、对角线互相垂直的矩形是正
动 方形吗？为什么？
脑 想
③、对角线互相垂直且相等的四
一 边形是正方形吗？为什么？如果
想 不是，应该加上什么条件？
④、能说“四条边都相等的四边
形是正方形吗？”为什么？
⑤、能说“四个角都相等的四边
形是正方形吗？”为什么？
1.正方形定义:
有一组邻边相等的矩形叫做正方形。
有一组邻边相等并且有一个角是直 角的平行四边形
两层 含义
⑴有一组邻边相等的平行 四边形（菱形） ⑵并且有一个角是直角的
正 方 形
平行四边形（矩形）
快速反应
1、_有__一__组__邻__边__相__等__的___的矩形叫做正方形。
2、 有一个角是直角的 的菱形是正方形。
相等且对边平行。 正方形的性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相
三段论形式：垂直 平分，每条对角线平分一组对角。
A
D
∵四边形ABCD是正方形
∴∠DAB＝∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDA＝90°
O
∴AB＝BC＝CD＝DA ∴AD∥BC，AB∥CD
B
C
∴AC ＝BD，AC⊥BD，AO ＝ CO ＝ BO ＝ DO