人教版八年级数学下册 18.2.3正方形
人教版八年级下册第十八章：18.2.3正方形
第十八章平行四边形§18.2.3 正方形（一）教学目标：1．理解正方形的概念，通过由一般到特殊的研究方法，分析平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念及性质之间的区别与联系．并形成文本信息与图形信息相互转化的能力．2．在观察、操作、推理、归纳等探索明正方形的性质定理过程中，发展合情推理能力，进一步培养自己的说理习惯与能力3．培养学生勇于探索、团结协作交流的精神．激发学生学习的积极性与主动性．教学重、难点：重点：理解正方形的定义和性质．难点：正方形的性质及其应用．教学工具：直尺，三角板，PPT课件，几何画板，A4纸等教学过程：一、正方形的定义师：同学们，上节课我们学习了特殊的平行四边形矩形和菱形，在现实生活中有没有其它的特殊的平行四边形呢？生：有，正方形。
师：对，小学我们已经学习了正方形。
什么是正方形呢？学生回答正方形的定义：四条边相等，四个角都是直角的四边形是正方形.二、情境引入，实践探究探究一：矩形与正方形的关系师：在现实生活中存在很多正方形，也有很多正方形的实际应用。
比如折纸，大家还记得小时候折的青蛙、飞机吗？折它们的第一步常常是把矩形纸折成什么图形？生：折成正方形。
师：你能将我们的A4纸折成正方形吗？生：能。
（学生折纸，并叫一个学生示范）学生在动手中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．师：为什么这样折出的是正方形？你能说出理由吗？生：因为折了一个等腰直角三角形，它们的两条直角（邻边）边相等。
教师用几何画板动态演示矩形变成正方形学生探究并得出结论：结论1：正方形是一组邻边相等的矩形. 即正方形是特殊的矩形.设计意图：从学生的生活实际出发，创设情境，提出问题，激发学生强烈的好奇心和求知欲．学生经历了将实际问题抽象为数学问题的建模过程．探究二：菱形与正方形的关系师：同学们，生活中除了矩形可以变成正方形外，还可由其它图形能变成正方形吗？你能举出生活中的实例吗？生：菱形，如菱形衣架、伸缩门等。
18.2.3正方形 说课稿 2022-2023学年人教版数学八年级下册
18.2.3正方形说课稿 2022-2023学年人教版数学八年级下册一、教材分析本节课是2022-2023学年人教版数学八年级下册的第18单元第2章第3节，重点讲解正方形的性质和计算。
本节课是学生在之前学习平行四边形的基础上进一步学习正方形，通过对正方形的讨论和练习，帮助学生掌握正方形的定义和性质，培养学生分析和解决问题的能力。
根据教材内容和学生的认知水平，本节课的教学目标具体如下：1.理解正方形的定义，并能够正确地判断一个图形是否是正方形；2.掌握正方形的性质，包括边长相等、对角线相等、对角线垂直等；3.能够运用正方形的性质解决实际问题；4.培养学生的观察、分析和解决问题的能力。
二、教学准备为了顺利进行教学，我准备了以下教学资源：1.教材：2022-2023学年人教版数学八年级下册；2.教学工具：黑板、彩色粉笔、电脑、投影仪；3.学生练习册。
三、教学过程1. 导入新知让学生回顾并讨论平行四边形的性质，引出正方形的概念。
通过问答的方式，引导学生认识到正方形是一种特殊的平行四边形，它具有哪些特点。
2. 学习新知步骤一：定义正方形首先，我会通过展示图片和实物，引导学生感知正方形的形状和特点。
然后，我会给出正方形的准确定义：四边相等、四个角都是直角的四边形是正方形。
步骤二：讨论正方形的性质我会以问题的形式呈现正方形的性质，让学生通过观察和思考回答问题。
例如：•正方形的四条边长度是否相等？为什么？•正方形的对角线长度是否相等？为什么？•正方形的两条对角线是否垂直？为什么？通过师生互动和学生间的小组讨论，引导学生发现正方形的性质，并引导他们解释和证明。
步骤三：运用正方形的性质解决问题让学生通过练习和解决具体问题，巩固和运用正方形的性质。
例如，给出一幅图形，让学生判断它是否是正方形，并解释理由。
或者给出一些具体数据，要求学生计算正方形的面积和周长。
3. 拓展延伸在学生掌握了正方形的基本性质后，拓展延伸部分会引导学生找出正方形在生活中的应用，并通过讨论和实例展示正方形在建筑、设计等领域的重要性。
新人教版数学初中八年级下册18.2.3《正方形》公开课优质课课件
且
的四边形是正方形； 的四边形是
且有三个角是
三、应用新知 解决问 题：
相交于点O，
例1 已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD
求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三
角形.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO. ∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO都是等腰直 角三角形， △ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
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第十八章 · 平行四边
18.2.3 正方 形
形
一、创设情境 引入新知：
活动1：把一张长方形的纸片(如图)中，如何通过折纸的方法， 截出正方形纸片，你有几种方法？ 如果是长方形木板，又怎样从中截出面积最大的 正方形木板呢？
一、创设情境 引入新知：
活动2：如图，某一拉门在完全关闭时，其相应的菱形变成正 方形．请说说图中∠1的变化过程．
一、创设情境 引入新知：
小结：正方形既是矩形， 又是菱形. 有一组邻边相等的矩形是 正方形；
有一个角是直角的菱形是 正方形.
二、回顾思考 梳理关系：
1.通过前面的探究，我们知道正方形既是矩形，又是菱形，还是 平行四边形，它们之间的关系如图：
二、回顾思考 梳理关系：
2.理解上面的关系图，填写下面的表格： 图形 平行四 边形 矩形 菱形 对边 平行、相等 平行、相等 平行、 四条边 都相等 平行、 四条边 都相等 对角 相等 四个角 都是直 角 相等 对角线 互相平分 对称性
不是轴对称图形
正方形
轴对称图 互相平分且相等 形,有两条对 互相垂直且 称轴 轴对称图形, 平分,每条对 有两条对称 角线平分一 轴 组对角 互相垂直、 四个角都 轴对称图形, 平分且相等, 是直角 有四条对称轴 每条对角线 平分一组对
人教版八年级数学 下册 第十八章 18.2.3 正方形 课时练(含答案)
第十八章平行四边形18.2.3 正方形一、选择题1、正方形具有而矩形不一定具有的特征是( )A．四个角都是直角B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．对角线相等2、四边形ABCD的对角线AC = BD，且AC⊥BD，分别过A、B、C、D作对角线的平行线，则所构成的四边形是（）.A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形3、下列命题中是假命题的是（）A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形C．一组邻边相等的平行四边形是菱形D．一组邻边相等的矩形是正方形4、如图,在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中,阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是( )A.3：4B.5：8C.9：16D.1：25、如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF∠AB，垂足为F，则EF的长为（）A.1B.C. D.二、填空题6、如图，ABCD是正方形，E是CF上一点，若DBEF是菱形，则∠EBC=________．第6题图第7题图7、如图，已知正方形ABCD的边长为10，点P是对角线BD上的一个动点，M、N分别是BC、CD边上的中点，则PM＋PN的最小值是___________．8、如图，边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形BEFG排放在一起，O1和O2分别是两个正方形的中心，则阴影部分的面积为，线段O1O2的长为．9、正方形边长为a，若以此正方形的对角线为一边作正方形，则所作正方形的对角线长为.10、如图，在Rt△ABC中，△C=90°，DE垂直平分AC，DF△BC，当△ABC满足条件AC=BC时，四边形DECF是正方形．（要求：①不再添加任何辅助线，②只需填一个符合要求的条件）三、解答题11、如图，E是正方形ABCD外一点，AE＝AD，∠ADE＝75°，求∠AEB的度数。
12、如右图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．（1）求证：DE=DF．（2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形，•请你至少写出两种不同的添加方法．（不另外添加辅助线，无需证明）13、已知：如图，△ABC中，△ABC=90°，BD是△ABC的平分线，DE△AB于点E，DF△BC于点F．求证：四边形DEBF是正方形．14、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD、BE．（1）求证：CE=AD；（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）若D 为AB 中点，则当∠A 的大小满足什么条件时，四边形BECD 是正方形？请说明你的理由．15、如右图，要把边长为1的正方形ABCD 的四个角（阴影部分）剪掉，得一四边形A 1B 1C 1D 1，试问怎样剪，才能使剩下的图形仍为正方形，且剩下图形的面积为原正方形面积的59，请说明理由.16、如图，正方形ABCO 的边OA 、OC 在坐标轴上，点B 坐标为（8，8），将正方形ABCO绕点C 逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF ，ED 交线段AB 于点G ，ED 的延长线交线段OA 于点H ，连CH 、CG ．（1）求证：∠CBG∠∠CDG ；（2）求∠HCG 的度数；判断线段HG 、OH 、BG 的数量关系，并说明理由； （3）连结BD 、DA 、AE 、EB 得到四边形AEBD ，在旋转过程中，四边形AEBD 能否为矩形？如果能，请求出点H 的坐标；如果不能，请说明理由．参考答案：一、1、C 2、D 3、B 4、B 5、C 二、6、7、10、 8、1ab 49、2a10、考点： 正方形的判定． 专题： 计算题；开放型．分析：由已知可得四边形的四个角都为直角，因此再有四边相等即是正方形添加条件．此题可从四边形DECF 是正方形推出．解答：解：设AC=BC ，即△ABC 为等腰直角三角形，△△C=90°，DE 垂直平分AC ，DF △BC ， △△C=△CED=△EDF=△DFC=90°， DF=AC=CE ，DE=BC=CF ，11A1A 图3-21△DF=CE=DE=CF，△四边形DECF是正方形，故答案为：AC=BC．点评：此题考查的知识点是正方形的判定，解题的关键是可从四边形DECF是正方形推出△ABC满足的条件．三、11、∵△ADE中，AE＝AD，∠ADE＝75°，∴∠AED＝75°（等边对等角）∴∠EAD＝180°－75°×2＝30°又∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∴△ABE中，AB＝AE，∠BAE＝120°∴∠AEB＝°°°12、（1）提示：证△DEB≌△DFC，（2）∠A=900167，四边形AFDE是平行四边形等（方法很多）13、考点：正方形的判定．专题：证明题．分析：由DE△AB，DF△BC，△ABC=90°，先证明四边形DEBF是矩形，再由BD是△ABC 的平分线，DE△AB于点E，DF△BC于点F得出DE=DF判定四边形DEBF是正方形．解答：解：△DE△AB，DF△BC，△△DEB=△DFB=90°，又△△ABC=90°，△四边形BEDF为矩形，△BD是△ABC的平分线，且DE△AB，DF△BC，△DE=DF，△矩形BEDF为正方形．点评：本题考查正方形的判定、角平分线的性质和矩形的判定．要注意判定一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形．14、（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE=AD；（2）解：四边形BECD是菱形，理由是：∵D为AB中点，∴AD=BD，∵CE=AD，∴BD=CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB=90°，D为AB中点，∴CD=BD，∴▱四边形BECD是菱形；（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由是：解：∵∠ACB=90°，∠A=45°，∴∠ABC=∠A=45°，∴AC=BC，∵D为BA中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∵四边形BECD是菱形，∴菱形BECD是正方形，即当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．15、提示：AA1 = BB1 = CC1 = DD1 =13（或=23）.16、（1）∠正方形ABCO绕点C旋转得到正方形CDEF，∠CD=CB，∠CDG=∠CBG=90°．在Rt∠CDG和Rt∠CBG中，，∠∠CDG∠∠CBG（HL）1 (180 2120-)30=（2）解：∠∠CDG∠∠CBG，∠∠DCG=∠BCG，DG=BG．在Rt∠CHO和Rt∠CHD中，∠ ，∠∠CHO∠∠CHD（HL），∠∠OCH=∠DCH，OH=DH，∠∠HCG=∠HCD+∠GCD= ∠OCD+ ∠DCB= ∠OCB=45°，∠HG=HD+DG=HO+BG（3）解：四边形AEBD可为矩形．如图，连接BD、DA、AE、EB，四边形AEBD若为矩形，则需先为平行四边形，即要对角线互相平分，合适的点只有G为AB 中点的时候．∠DG=BG，∠DG=AG=EG=BG，即平行四边形AEBD对角线相等，则其为矩形，∠当G点为AB中点时，四边形AEBD为矩形．∠四边形DAEB为矩形，∠AG=EG=BG=DG．∠AB=6，∠AG=BG=3．设H点的坐标为（x，0），则HO=x∠OH=DH，BG=DG，∠HD=x，DG=3．在Rt∠HGA中，∠HG=x+3，GA=3，HA=6﹣x，∠（x+3）2=32+（6﹣x）2，解得x=2．∠H点的坐标为（2，0）．。
2014新人教版八年级下18.2.3正方形教案
18.2.3 正方形一、教学目的1．掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力．二、重点、难点1．教学重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．2．教学难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用．三、例题的意图分析本节课安排了三个例题，例1是教材P111的例4，例2与例3都是补充的题目．其中例1与例2是正方形性质的应用，在讲解时，应注意引导学生能正确的运用其性质．例3是正方形判定的应用，它是先判定一个四边形是矩形，再证明一组邻边，从而可以判定这个四边形是正方形．随后可以再做一组判断题，进行练习巩固（参看随堂练习1），为了活跃学生的思维，也可以将判断题改为下列问题让学生思考：①对角线相等的菱形是正方形吗？为什么？②对角线互相垂直的矩形是正方形吗？为什么？③对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？为什么？如果不是，应该加上什么条件？④能说“四条边都相等的四边形是正方形”吗？为什么？⑤说“四个角相等的四边形是正方形”对吗？四、课堂引入1．做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形．学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．问题：什么样的四边形是正方形？正方形定义：有一组邻边相等．．．．．叫做正方形．．．．．．．并且有一个角是直角．．．．．．．的平行四边形指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意：（1）有一组邻边相等的平行四边形（菱形）（2）有一个角是直角的平行四边形（矩形）2．【问题】正方形有什么性质？由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．五、例习题分析例1（教材P111的例4）求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O（如图）．求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC=BD，AC⊥BD，AO=CO=BO=DO（正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）．∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO ≌△BCO≌△CDO≌△DAO．例2 （补充）已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．求证：OE=OF．分析：要证明OE=OF，只需证明△AEO≌△DFO，由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等）．又DG⊥AE，∴∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°．∴∠EAO=∠FDO．∴△AEO ≌△DFO．∴OE=OF．例3 （补充）已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．求证：四边形PQMN是正方形．分析：由已知可以证出四边形PQMN是矩形，再证△ABM≌△DAN，证出AM=DN，用同样的方法证AN=DP．即可证出MN=NP．从而得出结论．证明：∵PN⊥l1，QM⊥l1，∴PN∥QM，∠PNM=90°．∵PQ∥NM，∴四边形PQMN是矩形．∵四边形ABCD是正方形∴ ∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=DC （正方形的四条边都相等，四个角都是直角）．∴ ∠1+∠2=90°．又 ∠3+∠2=90°， ∴ ∠1=∠3．∴ △ABM ≌△DAN ．∴ AM=DN ． 同理 AN=DP ．∴ AM+AN=DN+DP即 MN=PN ．∴ 四边形PQMN 是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．六、随堂练习1．正方形的四条边____ __，四个角___ ____，两条对角线____ ____．2．下列说法是否正确，并说明理由．①对角线相等的菱形是正方形；（ ）②对角线互相垂直的矩形是正方形；（ ）③对角线垂直且相等的四边形是正方形；（ ）④四条边都相等的四边形是正方形；（ ）⑤四个角相等的四边形是正方形．（ ）1． 已知：如图，四边形ABCD 为正方形，E 、F 分别为CD 、CB 延长线上的点，且DE ＝BF ．求证：∠AFE ＝∠AEF ．4．如图，E 为正方形ABCD 内一点，且△EBC 是等边三角形，求∠EAD 与∠ECD 的度数．七、课后练习1．已知：如图，点E 是正方形ABCD 的边CD 上一点，点F 是CB 的延长线上一点，且DE=BF ． 求证：EA ⊥AF ．2．已知：如图，△ABC 中，∠C=90°，CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC 于E ，DF ⊥AC 于F ．求证：四边形CFDEA BCD E F是正方形．3．已知：如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，AF平分∠DAE交CD于F，求证：AE=BE+DF．。
18.2.3正方形 正方形的判定(教学课件)-人教版数学八年级下册
探究点
正方形的判定
归纳总结：
（1）四条边相等、四个角都是直角的四边形是正方形 从四边形出发
（2）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 （1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边 从平行四边形 形是正方形 出发 （2）对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 从矩形出发 对角线互相垂直的矩形是正方形 从菱形出发 对角线相等的菱形是正方形
A
D
∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠C,∠B=∠D.
又∠A=90°,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
C
∴易得∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∴四边形ABCD是正方形.
归纳总结：有一个角是直角的菱形是正方形
探究点
正方形的判定
在上面的证明过程中,是分别从矩形、菱形出 发,添加边或角的条件后得到正方形,那么还有没 有通过添加边、角、对角线的条件可以得到其他 判定正方形的方法呢? 大家想一想．
课堂总结
知识结构
四边形
平行四边形
正 矩形 方 菱形
形
课堂总结
知识结构
课堂总结
1. 教材P62习题18.2第13题.
课后作业
1. 如图，E,F,M,N 分别是正方形ABCD四条边上的
点，且AE=BF=CM=DN,试判断四边形EFMN是什么
图形，并证明你的结论. 【选自教材P62，习题18.2第13题】
把能活动的菱形木框的一个角变为直角(如图),
能否得到正方形?
探究点
正方形的判定
2. 有一个角是直角的菱形是正方形
正方形
可以看到,这个变化过程中只要改变菱形的一 个角,就能得到正方形．
下面我们进行证明:
探究点
人教版八年级下册数学第1课时 正方形的性质教案
18.2.3正方形第1课时正方形的性质教学设计课题正方形的性质授课人素养目标1.理解正方形的概念，体会特殊平行四边形之间的关系．2.通过观察、比较、动手操作探究正方形边、角、对角线、对称的性质，培养学生的归纳探究能力和数学表达能力．3.利用正方形的性质定理进行计算或证明，培养学生分析问题和解决问题的能力.教学重点正方形性质的理解及其应用．教学难点正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别与联系.教学活动教学步骤师生活动活动一：创设情境，导入新课设计意图通过图片展示，引导学生思考正方形的概念及性质.【情境导入】仔细观察下列实际生活中的图片，你会发现这些都是正方形的形象．正方形是我们熟悉的图形，你还能列举出正方形在生活中应用的其他例子吗？结合已有经验，类比菱形与矩形，正方形的概念是怎样的呢？教师总结：正方形可以定义为有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形．下面我们一起来探讨一下正方形的性质吧！【教学建议】让学生根据生活经验及图片思考正方形的概念，学生从矩形和菱形的角度回答正方形的概念也可以，正确即可.活动二：动手操作，探究新知设计意图通过回忆体会正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别与联系.探究点正方形的性质1．边、角、对角线的性质探究(1)我们回忆一下小学学过的正方形，它有什么性质？答：正方形的四条边都相等，四个角都是直角．(2)上面正方形的概念中提到有一组邻边相等的平行四边形是什么图形？答：菱形．(3)上面正方形的概念中提到有一个角是直角的平行四边形是什么图形？答：矩形．事实上，如果把矩形、菱形各添加一个条件，平行四边形添加两个条件均可得到正方形，可以用下面结构图直观呈现这种关系：归纳总结：正方形既是矩形，又是菱形，它既有矩形的性质，又有菱形的性质．我们根据前边的学习，除了边和角，还可以研究一下正方形的对角线，那么它的对角线就是互相平分、相等且垂直．【教学建议】让学生回忆并类比平行四边形、矩形、菱形的性质来研究正方形的性质，引导学生从正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形入手，分别从边、角、对角线、对称性等几个方面进行归纳总结．设计意图引导学生发现直角三角形斜边上的中线的性质.正方形的对角线除了上述基本性质外，还有无其他性质呢？事实上，它可以将正方形分成四个全等的等腰直角三角形．我们可以试着证明：(教材P58例5)求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.已知：如图，四边形ABCD 是正方形，对角线AC ，BD 相交于点O.求证：△ABO ，△BCO ，△CDO ，△DAO 是全等的等腰直角三角形.证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ＝BD ，AC ⊥BD ，AO ＝BO ＝CO ＝DO.∴△ABO ，△BCO ，△CDO ，△DAO 都是等腰直角三角形，并且△ABO ≌△BCO ≌△CDO ≌△DAO.2.正方形的对称性我们再想一想：正方形是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？答：如图，取一张正方形纸片，将它沿过对边中点的直线和对角线折叠，折叠后的两部分均能重合.归纳总结：正方形是轴对称图形，它的对称轴有四条，分别是对边中点的连线以及两条对角线所在的直线.【对应训练】1．正方形的一条边长是3，那么它的对角线长是322.如图，在正方形ABCD 中，点E 在BD 上，且BE ＝CD ，则∠BEC 的度数为67.5°.3.如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，BC 边上，AE ＝BF ，连接AF ，DE.求证：△ADE ≌△BAF.证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴AD ＝BA ，∠DAE ＝∠ABF ＝90°.在△ADE 和△BAF 中，AD ＝BA ，∠DAE ＝∠ABF ，AE ＝BF ，∴△ADE ≌△BAF(SAS).活动三：综合运用，巩固提升设计意图强化学生对正方形性质的掌握.例如图，在正方形ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在CD 的延长线上，且BE ＝DF.(1)求证：AE ＝AF ，AE ⊥AF ；(2)若BD 与EF 相交于点M ，连接AM ，试判断AM 与EF 的数量关系和位置关系，并说明理由.(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴∠ABE ＝∠BAD ＝∠ADC ＝∠ADF ＝90°，AB ＝AD.又BE ＝DF ，∴△ABE ≌△ADF(SAS)，∴AE ＝AF ，∠BAE ＝∠DAF.∴∠DAF ＋∠EAD ＝∠BAE ＋∠EAD ，即∠EAF ＝∠BAD ＝90°，∴AE ⊥AF.【教学建议】提醒学生：(1)与正方形性质相关的证明题往往是利用正方形边、角、对角线的性质，将其转化为证明三角形全等的条件；(2)正方形两条对角线将正方形分割为四个全等的等(2)解：AM ＝12EF ，AM ⊥EF.理由如下：如图，过点E 作EN ∥CD ，交BD 于点N ，∴∠MNE ＝∠MDF ，∠MEN ＝∠MFD ，∠NEB=∠C ＝90°.∵四边形ABCD 为正方形，∴∠NBE ＝45°，∴∠BNE ＝90°－∠NBE ＝45°，∴∠NBE ＝∠BNE ，∴BE ＝NE.又BE ＝DF ，∴NE ＝DF ，∴△MNE ≌△MDF(ASA)，∴EM ＝FM.∵AE ＝AF ，∠EAF ＝90°，∴AM ＝12EF ，AM ⊥EF.【对应训练】1.如图，AC 是正方形ABCD 的对角线，若以AD 为边向正方形内部作等边三角形ADE ，边DE 交AC 于点F ，则∠EFC ＝75°.2.如图，E ，F 是正方形ABCD 的对角线AC 上的两点，AC ＝8，AE ＝CF ＝2，则四边形BEDF 的周长是85.3.教材P59练习第2题．腰直角三角形，可得到45°角.活动四：随堂训练，课堂总结【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：正方形的概念是什么？正方形有哪些性质？正方形与平行四边形、矩形、菱形有怎样的区别和联系？【知识结构】【作业布置】1.教材P 61习题18.2第7，12，15，17题.2．相应课时训练．板书设计18.2.3正方形第1课时正方形的性质一、正方形的概念二、正方形的性质1.边.2.角.3.对角线.4.对称性.教学反思正方形性质的探究内容依旧集中在边、角、对角线三个方面，教学中注意引导学生思索平行四边形、矩形、菱形和正方形的区别与联系，使其形成完整的四边形知识网络.的应用，可以培养学生的应用意识从本节课的授课过程来看，灵活运用了多种教学方法，既有与现实生活的联系，又有动手操作，调动了学生学习的积极性，充分发挥了学生的主体作用.解题方法：如何区分平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质？①从边的角度来看：平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有对边平行且相等的性质，而菱形和正方形还具有四条边都相等的性质．②从角的角度来看：平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有对角相等且邻角互补的性质，而矩形和正方形还具有四个角都是直角的性质．③从对角线的角度来看：平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有对角线互相平分的性质，而矩形和正方形还具有对角线相等的性质，菱形和正方形还具有对角线互相垂直的性质．例1如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD 为正方形，点G 在对角线BD 上，GE ⊥CD ，GF ⊥BC ，AD ＝1500m ，小敏行走的路线为B→A→G→E ，小聪行走的路线为B→A→D→E→F.若小敏行走的路程为3100m ，则小聪行走的路程为4600m .解析：如图，连接GC.∵四边形ABCD 为正方形，∴∠BCD ＝90°，AD ＝CD ，∠ADB ＝∠CDB ＝45°.又GE ⊥CD ，∴△DEG 是等腰直角三角形．∴DE ＝GE.在△AGD 和△CGD AD ＝CD ，∠ADG ＝∠CDG ，DG ＝DG ，∴△AGD ≌△CGD(SAS )，∴AG ＝CG.∵GE ⊥CD ，GF ⊥BC ，∴∠GEC ＝∠ECF ＝∠GFC ＝90°，∴四边形GECF 是矩形．∴EF ＝CG ，∴EF ＝AG.∴BA ＋AD ＋DE ＋EF －BA －AG －GE ＝AD ＝1500m .∵小敏共走了3100m ，即BA ＋AG ＋GE ＝3100m ，∴小聪行走的路程为BA ＋AD ＋DE ＋EF ＝3100＋1500＝4600(m )．例2如图，在边长为6的正方形ABCD 中，M 为对角线BD 上一点，连接AM 并延长，交CD 于点P.若PM ＝PC ，求AM 的长．解：∵四边形ABCD 是边长为6的正方形，∴AD ＝CD ＝6，∠ADC ＝90°，∠ADM ＝∠CDM ＝45°.在△ADM 和△CDM DM ＝DM ，∠ADM ＝∠CDM ，AD ＝CD ，∴△ADM ≌△CDM(SAS )，∴∠DAM ＝∠DCM.∵PM ＝PC ，∴∠CMP ＝∠DCM ，∴∠APD ＝∠CMP ＋∠DCM ＝2∠DCM ＝2∠DAM.∵∠APD ＋∠DAM ＝180°－∠ADC ＝90°，∴∠DAM ＝30°.设PD ＝x ，则AP ＝2PD ＝2x ，PM ＝PC ＝CD －PD ＝6－x ，∴AD ＝AP 2－PD 2＝3x ＝6，解得x ＝2 3.∴PM ＝6－x ＝6－23，AP ＝2x ＝43，∴AM ＝AP －PM ＝43－(6－23)＝63－6.例1如图，正方形ABCD 的边长为4，E ，F 分别是BC ，CD 上一动点，且BE ＝CF ，连接AE ，BF 交于点P ，连接CP ，则CP 的最小值是(A )A ．25－2B ．32－2C ．22D .2＋2解析：在正方形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠BCD ＝90°.在△ABE 和△BCF ＝BC ，ABE ＝∠BCF ，＝CF ，∴△ABE ≌△BCF(SAS )，∴∠BAE ＝∠CBF.∵∠CBF ＋∠ABF ＝90°，∴∠BAE ＋∠ABF ＝90°，∴∠APB ＝90°.如图，设AB 的中点为G ，连接GP ，GC ，则GP ＝GB ＝12AB ＝12×4＝2.∵GP ＋CP≤GC ，∴当点C ，P ，G 在同一条直线上时，CP 有最小值GC －GP.∵BC ＝4，BG ＝2，∴GC ＝BC 2＋BG 2＝42＋22＝2 5.∴CP 的最小值是25－2.故选A .例2如图，正方形OABC 的边OA ，OC 在坐标轴上，点B 的坐标为(－4，4)．点P从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向点O 运动；同时，点Q 从点O 出发，以相同的速度沿x 轴的正方向运动，规定点P 到达点O 时，点Q 也停止运动．连接BP ，过点P 作BP 的垂线，与经过点Q 且平行于y 轴的直线l 相交于点D.BD 与y 轴交于点E ，连接PE.设点P 运动的时间为t s .(1)∠PBD 的度数为45°，点D 的坐标为(t ，t)(用含t 的代数式表示)．(2)当t 为何值时，△PBE 为等腰三角形？(3)探索△POE 的周长是否随时间t 的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．解：(1)解析：由题意可得AP ＝OQ ＝1×t ＝t ，∴易得AO ＝PQ.∵四边形OABC 是正方形，∴AO ＝AB ＝BC ＝OC ，∠BAO ＝∠AOC ＝∠OCB ＝∠ABC ＝90°.∵DQ ∥OC ，∴∠PQD ＝∠AOC ＝90°.∵DP ⊥BP ，∴∠BPD ＝90°.∴∠BPA ＝90°－∠DPQ ＝∠PDQ.∵AO ＝PQ ，AO ＝AB ，∴AB ＝QP.在△BAP 和△PQD BAP ＝∠PQD ，BPA ＝∠PDQ ，＝QP ，∴△BAP ≌△PQD(AAS )．∴AP ＝QD ，BP＝PD.∵∠BPD ＝90°，BP ＝PD ，∴∠PBD ＝∠PDB ＝45°.∵AP ＝t ，∴QD ＝t.∴点D 的坐标为(t ，t)．(2)①若PB ＝PE ，由△BAP ≌△PQD 得PB ＝PD ，显然PB≠PE ，∴这种情况不存在，应舍去．②若EB ＝EP ，则∠BPE ＝∠PBE ＝45°.∴∠BEP ＝90°.∴∠PEO ＝90°－∠BEC ＝∠EBC.在△POE 和△ECB PEO ＝∠EBC ，POE ＝∠ECB ，＝BE ，∴△POE ≌△ECB(AAS )．∴OE ＝CB ＝OC.∴点E 与点C 重合．∴点P 与点O 重合．∴AP ＝AO ＝t.∵B(－4，4)，∴AO ＝CO ＝4.此时t ＝4.③若BP ＝BE ，在Rt △BAP 和Rt △BCE ＝BE ，＝BC ，∴Rt △BAP ≌Rt △BCE(HL )．∴AP＝CE.∵AP＝t，∴CE＝t.∴PO＝EO＝4－t.∵∠POE＝90°，∴EP＝PO2＋EO2＝2(4－t)．如图，延长OA到点F，使得AF＝CE，连接BF.在△FAB和△ECB＝CB，BAF＝∠BCE＝90°，＝CE，∴△FAB≌△ECB(SAS)．∴FB＝EB，∠FBA＝∠EBC.∵∠EBP＝45°，∠ABC＝90°，∴∠ABP＋∠EBC＝45°.∴∠FBP＝∠ABP＋∠FBA＝∠ABP＋∠EBC＝45°.∴∠FBP＝∠EBP.在△FBP和△EBP ＝BE，FBP＝∠EBP，＝BP，∴△FBP≌△EBP(SAS)．∴FP＝EP.∴EP＝FP＝FA＋AP＝CE＋AP.∴EP＝t＋t＝2t.∴2(4－t)＝2t.解得t＝42－4.综上所述，当t为4或42－4时，△PBE为等腰三角形．(3)△POE的周长不随时间t的变化而变化．由(2)可得EP＝CE＋AP，∴OP＋PE＋OE＝OP＋AP＋CE＋OE＝AO＋CO＝4＋4＝8.∴△POE的周长是定值，这个定值为8.。
人教版八年级数学下册18.2.3正方形的性质及判定教案
最后，今天的总结回顾环节，同学们能够较好地概括出正方形的性质和判定方法，说明他们对本节课的知识点有了较好的掌握。但在提问环节，我发现有些同学对自己的疑问表达得不够清晰，可能是他们对自己的问题认识不够准确。在以后的教学中，我会更加关注学生的疑问，引导他们准确地表达自己的问题，并给予耐心解答。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调正方形的性质和判定方法这两个重点。对于难点部分，如对角线垂直平分性质和判定方法的应用，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与正方形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用直尺和量角器测量正方形的对角线，验证其互相垂直平分的性质。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“正方形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
人教版八年级数学下册18.2.3正方形的性质及判定教案
一、教学内容
人教版八年级数学下册18.2.3正方形的性质及判定：
1.正方形的定义及性质：准确理解正方形的定义，掌握正方形的四条边相等、四个角都是直角、对角线互相垂直平分等性质。
人教版数学八年级下册18.2.3《正方形的性质》(第1课时)教案
人教版数学八年级下册18.2.3《正方形的性质》（第1课时）教案一. 教材分析《正方形的性质》是人教版数学八年级下册第18章的一部分，主要让学生掌握正方形的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
本节课的内容包括正方形的四条边相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分且相等，以及正方形的判定方法。
这些内容是学生进一步学习矩形、菱形和正六边形等图形的基础。
二. 学情分析学生在八年级上学期已经学习了矩形的性质，对图形的性质有一定的了解。
但正方形作为一个特殊的矩形，其性质更为特殊，需要学生进一步理解和掌握。
在导入部分，可以利用学生已知的矩形性质，引导学生发现正方形的特殊性质。
三. 教学目标1.了解正方形的性质，能够运用正方形的性质解决实际问题。
2.培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。
3.激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。
四. 教学重难点1.正方形的性质的理解和运用。
2.正方形性质的证明和推导。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法和引导发现法进行教学。
通过提出问题，引导学生发现正方形的性质；通过合作学习，让学生共同探讨和解决问题；通过引导发现，让学生自主探究正方形的性质。
六. 教学准备1.正方形和矩形的模型或图片。
2.直尺、量角器等测量工具。
3.教学PPT或黑板。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用学生已知的矩形性质，提出问题：“矩形的四个角都是直角，那么正方形的四个角是什么角？”让学生回答，并引导学生发现正方形的特殊性质。
2.呈现（10分钟）展示正方形和矩形的模型或图片，让学生观察并比较它们的性质。
引导学生发现正方形的四条边相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分且相等。
3.操练（15分钟）让学生分组合作，利用直尺、量角器等测量工具，测量和记录正方形和矩形的边长、角度和对角线的长度。
通过实际操作，让学生加深对正方形性质的理解。
4.巩固（10分钟）给出一些实际问题，让学生运用正方形的性质解决。
人教版八年级数学下册18.2.3正方形的判定优秀教学案例
三、教学策略
（一）情景创设
2.能够运用正方形的性质和判定方法解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
3.学会用图形软件绘制ຫໍສະໝຸດ 方形，培养学生的信息技术素养。在教学过程中，我将以生活情境为导入，引导学生观察和分析正方形的特殊性质。通过对比矩形、菱形等其他四边形，让学生直观地感受正方形的独特性。在讲解过程中，我将用多媒体课件动态演示正方形的性质，帮助学生加深理解。同时，我还会设计丰富的课堂练习，让学生在实践中运用所学知识，巩固正方形的判定方法。
1.利用生活情境导入，激发学生兴趣。
2.设计有趣的数学问题，引发学生思考。
3.利用多媒体课件辅助教学，提高学生的直观感知能力。
在教学过程中，我将以生活情境为导入，如红领巾、骰子等，引导学生发现正方形的特殊性质。通过这些熟悉的事物，激发学生的兴趣，使他们愿意主动参与到课堂学习中。在讲解过程中，我将设计有趣的数学问题，如正方形与其他四边形的对比，引发学生思考，提高他们的逻辑思维能力。
此外，我还将教授学生如何运用图形软件绘制正方形，提高他们的信息技术素养。通过这一系列的教学活动，我相信学生能够充分理解正方形的定义、性质和判定方法，提高他们的数学素养。
（二）过程与方法
1.培养学生的观察能力，提高他们从生活中发现数学问题的能力。
2.培养学生的逻辑思维能力，提高他们分析问题和解决问题的能力。
3.培养学生的合作意识，提高他们的团队协作能力。
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正方形
【总结解题方法提升解题能力】
【知识汇总】
1.正方形：既是特殊的矩形，也是特殊的菱形，所以它既具有矩形的性质，又有菱形的性质.
2.正方形的性质: ①正方形四个角都是90°，四条边相等；
②对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.
3.正方形的判定：①一组邻边相等的矩形是正方形；
②对角线互相垂直的矩形是正方形；
③有一个角是直角的菱形是正方形；
④对角线相等的菱形是正方形.
考点一：正方形的性质
【基础夯实】
1.下列四边形：①正方形、②矩形、③菱形，对角线一定相等的是（）
A．①②③B．①②C．①③D．②③
2.平行四边形，菱形，矩形，正方形都具有的性质是（）
A．对角线相等且互相平分B．对角线相等且互相垂直平分
C．对角线互相平分D．四条边相等，四个角相等
3.正方形面积为36，则对角线的长为（）
A．6 B．C．9 D．
4.正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是（）
A．8 B．4C．8D．16
5.如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则∠ACP度数是（）
A．45°B．22.5°C．67.5°D．75°
6.如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，
则∠BFC为（）
A．75°B．60°C．55°D．45°
7.如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，
使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（）
A．B．C．D．
8.如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，
折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（）
A．3 B．4 C．5 D．6
9.如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是（）
A．B．
C．D．
10.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，
F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为（）
A．3 B．4
C．D．
11.如图，在正方形ABCD中，AB＝2，延长AB至点E，使得BE＝1，EF⊥AE，EF＝AE．分别连接AF，CF，M为CF的中点，则AM的长为（）
A．2B．3
C．D．
12.如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），
则点C的坐标为．
13.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3，P是AC上一动点，
则PB+PE的最小值是．
14.有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2=．
15.如图，将边长都为2cm的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、…、A n分别
是正方形的中心，则2019个这样的正方形重叠部分的面积和为．
考点二：正方形的判定
16.小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了题目，从下列四个条件：
①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD
中选两个作为补充条件，使□ABCD为正方形（如图所示），
现有如下四种选法，你认为其中错误的是（）
A．①②B．①③C．②③D．②④
17.（2015•黑龙江）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，不添加任何辅助线，
请添加一个条件，使四边形ABCD是正方形（填一个即可）．
考点三：正方形的性质与判定
18.如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF=3，△EFC的周长为12，则EC的长为．
19.如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则
DP的长是．
20.（2018•湘潭）如图，在正方形ABCD中，AF＝BE，AE与DF相交于点O．
（1）求证：△DAF≌△ABE；
（2）求∠AOD的度数．
21.（2018•遵义）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，
OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．
（1）求证：OM＝ON．
（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．
22.如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上
移动，另一边交DC于Q．
（1）如图1，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系；并加以证明；
（2）如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想．
23.如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE．交
射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．。