平面向量的数量积课件
2.4.1《平面向量数量积 的物理背景及其含义》
教学目标
• • • • • • 1.掌握平面向量的数量积及其几何意义； 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律； 3.平面向量的数量积简单应用； 4.掌握向量垂直的条件. 教学重点：平面向量的数量积定义 教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的 理解和平面向量数量积的应用
一 探究？
问题1: 我们研究了向量的哪些运算？这些 运算的结果是什么？ 问题2:我们是怎样引入向量的加法运算的？ 我们又是按照怎样的顺序研究这种运算的？
问题3:如图所示，一物体在力F的作用下产 生位移S， （１）力F所做的功W= 。
（２）请同学们分析这个公式的特点： W（功）是 量， F（力）是 量， S（位移）是 量 θ是 。
（2）比较 a b 与a b
的大小，你有什
么结论？
2、数量积的性质
设向量 a 与 b 都是非零向量，则 a ·b =0 （1） a⊥ b a ·b=|a|| b| （2）当 a 与 b 同向时， a ·b =-|a || 当 a 与 b 反向时， b| 2 a = a 或︱︱ a =︱︱ a · 特别地， aa b | （3）︱a ·b︱≤ |a ||
拓展与提高： 已知 a与 b 都是非零向量，且 与 a 3 b 7 a 5 b 垂直，a 4b与7a 2b 垂直，求 a 与 b 的夹角。
四、教学媒体设计
１、高效实用的电脑多媒体课件
２、科学合理的板书设计
平面向量数量积的物理背景及其含义
F
S
探究数量积的含义
功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；
结果是两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。
二、平面向量的数量积
已知非零向量 a 与 b ，我们把数量 | a || b | cos 叫作 a 与 b 的 数量积（或内积），记作 a b ，即规定
1、定义
一、数量积的概念 １、概念： ２、概念强调：（1）记法 二、数量积的性质 四、应用与提高 例1： 例2：
（2）“规定” 三、数量积的运算律
3、几何意义： 4、物理意义：
例3：
3、性质的证明
探究数量积的运算律
1、运算律的发现
问题９: 我们学过了实数乘法的那些运算律？
这些 运算律对向量是否也适用？ 学生可能的回答:
① a·b= b·a ②（a·b）c= a (b·c) ③（a + b）·c=a·c +b ·c
2、运算律
(1) a b b a (2)a b a b a b (3) a b c a c b c
b
θ O B1
| OB1 || b | cos
a
A
2、数量积的定义 （1）定义 ：a b a b cos
（2）定义的简单说明： 问题５：向量的数量积运算与线性运算的结果有什 么不同？影响数量积大小的因素有哪些？并完成下表：
夹角 的范围 0 90
学生练习
1、判断下列各命题是否 正确，并说明理由 (1)若a 0，则对任一非零向量 b ，有 a b 0 (2)若a 0，a b a c , 则b c
2、已知 ABC中， AB a , AC b ,当a b 0 或a b 0时，试判断 ABC的形状。
例3、已知 a 3， b 4，a与b 不共线，k为何值时， 向量a kb 与a kb 互相垂直？
三、例题赏析： 例2 已知|a|=6， |b|=4， a与b的夹角为60o求(a+2b)·(a-3b). 例3 已知|a|=3， |b|=4， 且a与b不共线，k为何值时， 向量a+kb与a-kb互相垂直. 例4 判断正误，并简要说明理由. ①ａ·0＝0；②0·ａ＝０； ③0－ AB ＝ BA ④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜； ⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０； ⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0； ⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ· ｂ) · c= ａ· (ｂ · c) ⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２.
①、在水平面上位移为10米；
G
S
W 0
②、竖直下降10米；
S
G S
WGS
③、竖直向上提升10米；
G
W G S
④、沿倾角为30°的斜面向上运动10米；
S
G
W G S cos( 180 30)
探究数量积的运算性质
1、性质的发现
问题８：
（1）将问题①②③的结论推广到一般向量， 你能得到哪些结论？
a b 的正负
90
90 180
３、研究数量积的几何意义
（1）给出向量投影的概念
（2）问题６：数量积的几何意义是什么？
4、研究数量积的物理意义
问题７:（1）功的数学本质是什么？ （2）尝试练习
一物体质量是10千克，分别做以下运动，求重力做功 的大小。 ①、在水平面上位移为10米； ②、竖直下降10米；； ③、竖直向上提升10米 ④、沿倾角为30度的斜面向上运动10米；
活动六、课堂小结与布置作业
1、本节课我们学习的主要内容是什么？
2、平面向量数量积的两个基本应用是什么？
3、我们是按照怎样的思维模式进行概念的归 纳 和性质的探究？在运算律的探究过程中， 渗透了哪些数学思想？ 4、类比向量的线性运算，我们还应该怎样研 究数量积？
返回
作业: 课本P121习题2.4A组1、2、3。
其中θ 是 a 与 b 的夹角，| b | cos (| a | cos ) 叫做向量 b 在 a 方向上（ a 在 b 方向上）的投影.并且规定，零向量与任一向量 的数量积为零，即 a 0 0 。
B
a b | a || b | cos
已知向量 a, b , c 和实数λ，则：
3、运算律的证明
应用与提高
例1 已知|a|=5， |b|=4， a与b的夹角θ=120o，求a· b.
例2、已知a 6， b 4，a与b 的夹角为 60，求 a 2b a 3b . ？
教学目标
• • • • • • 1.掌握平面向量的数量积及其几何意义； 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律； 3.平面向量的数量积简单应用； 4.掌握向量垂直的条件. 教学重点：平面向量的数量积定义 教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的 理解和平面向量数量积的应用
一 探究？
问题1: 我们研究了向量的哪些运算？这些 运算的结果是什么？ 问题2:我们是怎样引入向量的加法运算的？ 我们又是按照怎样的顺序研究这种运算的？
问题3:如图所示，一物体在力F的作用下产 生位移S， （１）力F所做的功W= 。
（２）请同学们分析这个公式的特点： W（功）是 量， F（力）是 量， S（位移）是 量 θ是 。
（2）比较 a b 与a b
的大小，你有什
么结论？
2、数量积的性质
设向量 a 与 b 都是非零向量，则 a ·b =0 （1） a⊥ b a ·b=|a|| b| （2）当 a 与 b 同向时， a ·b =-|a || 当 a 与 b 反向时， b| 2 a = a 或︱︱ a =︱︱ a · 特别地， aa b | （3）︱a ·b︱≤ |a ||
拓展与提高： 已知 a与 b 都是非零向量，且 与 a 3 b 7 a 5 b 垂直，a 4b与7a 2b 垂直，求 a 与 b 的夹角。
四、教学媒体设计
１、高效实用的电脑多媒体课件
２、科学合理的板书设计
平面向量数量积的物理背景及其含义
F
S
探究数量积的含义
功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；
结果是两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。
二、平面向量的数量积
已知非零向量 a 与 b ，我们把数量 | a || b | cos 叫作 a 与 b 的 数量积（或内积），记作 a b ，即规定
1、定义
一、数量积的概念 １、概念： ２、概念强调：（1）记法 二、数量积的性质 四、应用与提高 例1： 例2：
（2）“规定” 三、数量积的运算律
3、几何意义： 4、物理意义：
例3：
3、性质的证明
探究数量积的运算律
1、运算律的发现
问题９: 我们学过了实数乘法的那些运算律？
这些 运算律对向量是否也适用？ 学生可能的回答:
① a·b= b·a ②（a·b）c= a (b·c) ③（a + b）·c=a·c +b ·c
2、运算律
(1) a b b a (2)a b a b a b (3) a b c a c b c
b
θ O B1
| OB1 || b | cos
a
A
2、数量积的定义 （1）定义 ：a b a b cos
（2）定义的简单说明： 问题５：向量的数量积运算与线性运算的结果有什 么不同？影响数量积大小的因素有哪些？并完成下表：
夹角 的范围 0 90
学生练习
1、判断下列各命题是否 正确，并说明理由 (1)若a 0，则对任一非零向量 b ，有 a b 0 (2)若a 0，a b a c , 则b c
2、已知 ABC中， AB a , AC b ,当a b 0 或a b 0时，试判断 ABC的形状。
例3、已知 a 3， b 4，a与b 不共线，k为何值时， 向量a kb 与a kb 互相垂直？
三、例题赏析： 例2 已知|a|=6， |b|=4， a与b的夹角为60o求(a+2b)·(a-3b). 例3 已知|a|=3， |b|=4， 且a与b不共线，k为何值时， 向量a+kb与a-kb互相垂直. 例4 判断正误，并简要说明理由. ①ａ·0＝0；②0·ａ＝０； ③0－ AB ＝ BA ④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜； ⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０； ⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0； ⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ· ｂ) · c= ａ· (ｂ · c) ⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２.
①、在水平面上位移为10米；
G
S
W 0
②、竖直下降10米；
S
G S
WGS
③、竖直向上提升10米；
G
W G S
④、沿倾角为30°的斜面向上运动10米；
S
G
W G S cos( 180 30)
探究数量积的运算性质
1、性质的发现
问题８：
（1）将问题①②③的结论推广到一般向量， 你能得到哪些结论？
a b 的正负
90
90 180
３、研究数量积的几何意义
（1）给出向量投影的概念
（2）问题６：数量积的几何意义是什么？
4、研究数量积的物理意义
问题７:（1）功的数学本质是什么？ （2）尝试练习
一物体质量是10千克，分别做以下运动，求重力做功 的大小。 ①、在水平面上位移为10米； ②、竖直下降10米；； ③、竖直向上提升10米 ④、沿倾角为30度的斜面向上运动10米；
活动六、课堂小结与布置作业
1、本节课我们学习的主要内容是什么？
2、平面向量数量积的两个基本应用是什么？
3、我们是按照怎样的思维模式进行概念的归 纳 和性质的探究？在运算律的探究过程中， 渗透了哪些数学思想？ 4、类比向量的线性运算，我们还应该怎样研 究数量积？
返回
作业: 课本P121习题2.4A组1、2、3。
其中θ 是 a 与 b 的夹角，| b | cos (| a | cos ) 叫做向量 b 在 a 方向上（ a 在 b 方向上）的投影.并且规定，零向量与任一向量 的数量积为零，即 a 0 0 。
B
a b | a || b | cos
已知向量 a, b , c 和实数λ，则：
3、运算律的证明
应用与提高
例1 已知|a|=5， |b|=4， a与b的夹角θ=120o，求a· b.
例2、已知a 6， b 4，a与b 的夹角为 60，求 a 2b a 3b . ？
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高中数学课件 平面向量的数量积(2)
解： ab = (3, 1) (1, 2)=3+2=5.
|a|= |b|=
a a 32 (1) 2 10
2 2
b b 1 (2) 5 a b 5 2 cos <a, b>= | a ||b | 2 10 5
所以 <a, b>=45°
例2.已知A(1, 2)，B(2, 3)，C(2, 5)， 求证：△ABC是直角三角形
4 x 2 y 0 2 2 x y 1
5 2 5 5 2 5 所求向量为 ( , )或( , ) 5 5 5 5
例6. 已知a=(1, 0)，b=(2, 1)，当k为何实数时，
向量ka－b与a+3b （1）平行；（2）垂直。 解：ka－b=(k－2, －1), a+3b=(7, 3), （1）由向量平行条件得3(k－2)+7=0, 1 所以k= 3 （2）由向量垂直条件得7(k－2) －3=0,
o
2
2
练习2：已知|a|=1，|b|= 2 ，
(1)若a∥b，求a· b；
2
2
(2)若a、b的夹角为60°，求|a+b|； 3
(3)若a－b与a垂直，求a与b的夹角. 45°
练习2：设i，j为正交单位向量，则 ① i· 1 i=_______ ② j· 1 j=________ ③ i· 0 j=________
所以 | a b | 37
(2) |2a－3b|2=4|a|2－12a· b+9|b|2=108,
所以 | 2a 3b | 6 3
练习1： 已知|a|=3，|b|=4，<a, b>=60° ,求
（1）|a+b|；（2）|2a－3b|.
高三数学课件：第四章 第三节 平面向量的数量积
提示：不一定相等，∵a· b,b· c均为实数，∴(a· b)c∥c，
a(b· c)∥a,所以(a· b)c与a(b· c)不一定相等.
(2)若非零向量a，b满足|a|=|b|，(2a+b)²b=0，则a与b的夹
角为_________.
【解析】设a,b的夹角为θ，
∵(2a+b)²b=0，∴2a· b+b2=0，
1 1 ∴ AD AB AC , BE AE AB AC AB， 2 2 1 1 ∴ AD BE (AB AC) ( AC AB) 2 2 1 2 1 2 1 AC AB AB AC 4 2 4 1 1 1 3 1 1 cos60 . 4 2 4 8
1 1 3 3 ( x)( x) ( y)( y) 0 2 2 2 从而有： 2 , ( 1 x) 2 ( 3 y) 2 ( 1 x) 2 ( 3 y) 2 2 2 2 2
3 3 x x 2 2 . 解得 或 y 1 y 1 2 2
(2)由题设知： OC =(－2,－1)，
AB tOC =(3+2t,5+t). 由( AB tOC )⊥ OC 得( AB tOC )²OC =0，
【变式训练】在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1,－2)、 B(2,3)、C(－2,－1). (1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数t满足 AB tOC OC，求t的值.
【解析】(1)由题设知 AB =(3,5), AC =(-1,1),
a(b· c)∥a,所以(a· b)c与a(b· c)不一定相等.
(2)若非零向量a，b满足|a|=|b|，(2a+b)²b=0，则a与b的夹
角为_________.
【解析】设a,b的夹角为θ，
∵(2a+b)²b=0，∴2a· b+b2=0，
1 1 ∴ AD AB AC , BE AE AB AC AB， 2 2 1 1 ∴ AD BE (AB AC) ( AC AB) 2 2 1 2 1 2 1 AC AB AB AC 4 2 4 1 1 1 3 1 1 cos60 . 4 2 4 8
1 1 3 3 ( x)( x) ( y)( y) 0 2 2 2 从而有： 2 , ( 1 x) 2 ( 3 y) 2 ( 1 x) 2 ( 3 y) 2 2 2 2 2
3 3 x x 2 2 . 解得 或 y 1 y 1 2 2
(2)由题设知： OC =(－2,－1)，
AB tOC =(3+2t,5+t). 由( AB tOC )⊥ OC 得( AB tOC )²OC =0，
【变式训练】在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1,－2)、 B(2,3)、C(－2,－1). (1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数t满足 AB tOC OC，求t的值.
【解析】(1)由题设知 AB =(3,5), AC =(-1,1),
平面向量的数量积与运算律公开课课件
平面向量的数量积及运算律 复习 新课 例题 练习
例、求证：
2 2 2 (1)( a b ) a 2a b b 2 2 2(a b ) (a b ) a b
问:
(a b ) (a b ) ? (a b )
平面向量的数量积及运算律
小 结
总结:
掌握平面向量数量积的运算 律,体会平面向量数量积运算与数 与式运算的区别与联系；
理解利用性质求长度、角度、 证垂直的方法与手段。
平面向量的数量积及运算律 复习 新课 例题 练习
练习2 向量a与b 夹角是3 则 | a 源自 b | | a b | _____
， | a | 2,| b | 1,
平面向量的数量积及运算律 复习 新课 例题 练习
作业：
1、若 | a || b | 1, a b 且2a 3b 与 ka 4b 也互相垂直，求k的值。 2、设a是非零向量，且b c , 求证： a b a c a (b c )
平面向量的数量积及运算律 复习 新课 例题 练习
平面向量的数量积及运算律 复习 新课 例题 练习
1、数量积的定义：
a b | a || b | cos
2、数量积的几何意义：
a b 等于 a 的长度 | a |与 b 在a方向上的投影
| b | cos 的乘积。
所以 | a b | cos | a | cos 1 | b | cos 2
0
A
a
1
A1
2 b
B C
c A2
| a b || c | cos | a || c | cos1 | b || c | cos2
平面向量的数量积PPT课件
运算律
向量与标量乘法结合律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$kmathbf{a} cdot mathbf{b} = (kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$。
向量与标量乘法交换律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$mathbf{a} cdot kmathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}) = (kmathbf{b}) cdot mathbf{a}$。
向量数量积的性质
向量数量积满足交换律和结合 律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足分配律，即 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足正弦律，即 a·b=|a||b|sinθ，其中θ为向量a 和b之间的夹角。
02 平面向量的数量积的运算
计算公式
定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是向量 $mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
交换律
平面向量的数量积满足交换律，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
平面向量的数量积满足分配律，即$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。
高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积(1)课件新人教A版必修4
解析(jiě xī)： A中若a⊥b，则有a·b＝0，不一定有a＝0或b＝0. C中当|a|＝|b|时，a2＝b2，此时不一定有a＝b或a＝－b. D中当a＝0时，a·b＝a·c，不一定有b＝c. 答案： B
第十页，共35页。
3．已知向量a，b满足(mǎnzú)|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为 ________．
第十六页，共35页。
解析： (1)a·b＝|a||b|cos 120°＝3×4×－12＝－6. (2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝32－42＝－7.
(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a||b|·cos 120°－3|b|2＝2×32＋
5×3×4×－12－3×42＝－60.
第三十一页，共35页。
[拓展练]☆ 3．(1)已知向量 a，b 满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则 a 与 b 的夹角为________； (2)已知非零向量 a，b 满足 a＋3b 与 7a－5b 互相垂直，a－4b 与 7a－2b 互 相垂直，求 a 与 b 的夹角．
第六页，共35页。
2．数量积的几何意义及数量积的符号
(1)按照投影的定义，非零向量 b 在 a 方向上的投影为|b|cos θ，其具体情况，
我们也可以借助下面图形分析：
θ 的范围
θ＝0° 0°<θ<90° θ＝90° 90°<θ<180° θ＝180°
图形
b 在 a 上的 投影的正负
正数
正数
0
第七页，共35页。
|2a＋b|2＝(2a＋b)(2a＋b)＝4|a|2＋|b|2＋4a·b＝4|a|2＋|b|2＋4|a||b|cos 60°＝175. ∴|2a＋b|＝5 7.
第十页，共35页。
3．已知向量a，b满足(mǎnzú)|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为 ________．
第十六页，共35页。
解析： (1)a·b＝|a||b|cos 120°＝3×4×－12＝－6. (2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝32－42＝－7.
(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a||b|·cos 120°－3|b|2＝2×32＋
5×3×4×－12－3×42＝－60.
第三十一页，共35页。
[拓展练]☆ 3．(1)已知向量 a，b 满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则 a 与 b 的夹角为________； (2)已知非零向量 a，b 满足 a＋3b 与 7a－5b 互相垂直，a－4b 与 7a－2b 互 相垂直，求 a 与 b 的夹角．
第六页，共35页。
2．数量积的几何意义及数量积的符号
(1)按照投影的定义，非零向量 b 在 a 方向上的投影为|b|cos θ，其具体情况，
我们也可以借助下面图形分析：
θ 的范围
θ＝0° 0°<θ<90° θ＝90° 90°<θ<180° θ＝180°
图形
b 在 a 上的 投影的正负
正数
正数
0
第七页，共35页。
|2a＋b|2＝(2a＋b)(2a＋b)＝4|a|2＋|b|2＋4a·b＝4|a|2＋|b|2＋4|a||b|cos 60°＝175. ∴|2a＋b|＝5 7.
第三节第1课时平面向量的数量积课件共42张PPT
(3)a·c＝a·( 7a＋ 2b)＝ 7a2＋ 2a·b＝ 7；
|c|＝ （ 7a＋ 2b）2 ＝ 7a2＋2b2＋2 14a·b ＝
7＋2＝3；
所以cos〈a，c〉＝
a·c |a||c|
＝
7 1×3
＝
7 3
；所以sin〈a，
c〉＝ 32.故选B. 答案：(1)B (2)B (3)B
1．根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向
CD，CD＝2，∠BAD＝
π 4
，若
→ AB
→ ·AC
＝2
→ AB
→ ·AD
，则
A→D·A→C＝________．
解析：法一(几何法) 因为A→B·A→C＝2A→B·A→D， 所以A→B·A→C－A→B·A→D＝A→B·A→D， 所以A→B·D→C＝A→B·A→D.
因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝π4， 所以2|A→B|＝|A→B|·|A→D|cos π4，化简得|A→D|＝2 2. 故A→D·A→C＝A→D·(A→D＋D→C)＝|A→D|2＋A→D·D→C＝(2 2)2＋ 2 2×2cos π4＝12. 法二(坐标法) 如图，建立平面直角坐标系xAy.依 题意，可设点D(m，m)，C(m＋2， m)，B(n，0)，其中m>0，n>0，
求非零向量a，b的数量积的三种方法
方法 定义法
基底法
适用范围
已知或可求两个向量的模和夹角
直接利用定义法求数量积不可行时，可选取合适 的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量 积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的 运算律和定义求解
①已知或可求两个向量的坐标； 坐标法 ②已知条件中有(或隐含)正交基底，优先考虑建
1 2
数学人教A版(2019)必修第二册6.2.4平面向量数量积(共15张ppt)
，求
∙ .
设 =12， =9， ∙ =-54 ，求与的夹角
向量的数量积的几何意义是什么？
B
a
A
b
C A1
B2
D
两个非零向量、，他们的夹角为，
探究向量在上的投影向量的情况.
两个非零向量、，他们的夹角为，是与方向相同的单位
向量.
（1） ∙ = , = .（求向量长度的工具）
如何规定向量的乘法.
向量的乘法的结果是什么量？这个值由那些量决定？符号
由什，我们把数量
cos量叫做、的数量积，记作 ∙
即 ∙ = cos
规定零向量与任一非零向量的数量积为0.
已知 = , = , 与的夹角 =
6.2.4向量的数量积
学习目标
1、向量数量积的运算.
2、向量投影及投影向量的概念
重点、难点 向量数量积的概念与运算律.
向量的概念源自哪一门学科？我们已经研究了向量的哪些
运算？这些向量的运算表运算结果是什么？
前面学习了向量的加，减，数乘（线性运算）.
其运算结果是向量.
向量能否相乘？如何规定向量的乘法？我们该怎样研究？
（2） ⊥ ⟺ ∙ =0.（直线垂直的重要条件）
（3） ∙ = ∙ = cos.
已知 = , = , 与的夹角 = °，求 ∙ ，
（ + ）2 ， + .
1、本节课学习了哪些知识和内容.
2、结合实例说明向量数量积的几何意义.
感谢聆听！
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示(课件)
3、 cos
x1x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22
4、 a // b x1y2 x2 y1 0
5、 a b x1x2 y1y2 0
6、已知:A（x1,x2),B(x1,x2)则
AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2 ,
向量的模的公式： a
x12 y12 , b
x22 y22 .
（2）若设A(x1,y1),B(x2,y2)，则如何计算向量AB
的模？
两点间的距离公式：AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2 ,
小组合作探究活动 （3）如何推导出向量夹角公式的坐标表示式？
向量的夹角的公式：
已知两个非零向量a=(x 1, y1) ， b=(x2 , y2)， 则
又 α＋β∈(0，π)，所以 α＋β＝34π.
变式练习
已知向量 a＝ sin α＋π6 ，3 ，b＝(1,4cosα)，α∈(0，π)． (1) 若 a⊥b，求 tanα的值； (2) 若 a∥b，求α的值．
分析
(1) a b x1x2 y1y2 0
(2) a // b x1y2 x2 y1 0
变式练习
解：(1)
因为
a⊥b，所以
sin
α＋π 6
＋12cosα＝0，
即 23sinα＋12cosα＋12cosα＝0，即 23sinα＋225cosα＝0.
又 cosα≠0，所以 tanα＝－25 3. 3
(2) 若 a∥b，则 4cosαsinα＋π6＝3，
即 4cosα 23sinα＋12cosα＝3，所以 3sin2α＋cos2α＝2，所以 sin2α＋π6＝1. 因为 α∈(0，π)，
若平行，需 sinαcosα＋2＝0，即 sin2α＝－4，
平面向量的数量积教学设计(一)课件
平面向量的数量积
设计问题 创设情境
平面向量的数量积
学生探索 尝试解决
信息交流 揭示规律
运用规律 解决问题
变式演练 深化提高
反思小结 观点提炼
设计问题 创设情境
平面向量的数量积
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运用规律 解决问题
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反思小结 观点提炼
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信息交流 运用规律
变式演练
揭示规律 解决问题
深化提高
反思小结 观点提炼
设计问题 创设情境
⑶掌握两个平面向量的夹角的坐标公式； ⑷能用平面向量数量积的坐标公式判断
两个平面向量的垂直关系；
[作业精选，巩固提高]
• P108习题2.4 A组：9，10，11.
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信息交流 揭示规律
运用规律 解决问题
变式演练 深化提高
反思小结 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ点提炼
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反思小结 观点提炼
问题3：如何用坐标表示向量的模， 垂直的条件以及夹角的余弦
设计问题 创设情境
学生探索 尝试解决
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平面向量的数量积
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⑶掌握两个平面向量的夹角的坐标公式； ⑷能用平面向量数量积的坐标公式判断
两个平面向量的垂直关系；
[作业精选，巩固提高]
• P108习题2.4 A组：9，10，11.
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问题3：如何用坐标表示向量的模， 垂直的条件以及夹角的余弦
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学生探索 尝试解决
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平面向量的数量积
平面向量的数量积课件
5)若a b a b , 则 a ∥b
6 )若a b a b , 则 a ∥b
四.数学运用
a 2, b 3, 例1: 已知向量a与b的夹角为， 分别在下列条件下求 a b
(1) 1350
( 2)a ∥ b
3a b
解：（ 1 ） a b a b cos 2 3 cos1350 3 2 (2)当a b时，则 00 或1800 若 00， a b a b 6 若 1800， a b a b 6 (3)当a b时， a b 0
思考：对于任意向量 a, b, c和实数而言，有没有类似的运 算律呢？
(1)a b b a
(3)a b c a c b c
(1) a b b a
(2) a b a b a b a b
解: (1)
(Байду номын сангаас)
a a b a a b a a b
2 2
a 2b a 3b a
2
36 12 48
2
a b 6b
2
2
a a b cos 6 b
36 6 4 cos600 6 16 72
即a b a b cos
我们规定：零向量与任 一向量的数量积为 0
即0 a 0
(0 a 0)
向 量 的 夹 角
两个非零向量a, b, 作OA a, OB b, 则AOB 叫做向量a和b的夹角。
B
0 ,180
0 0
注意:求两向量的夹角, 两向量必须共起点 B