山西省朔州市怀仁县怀仁一中云东校区2019-2020学年高一数学下学期期中试题文[含答案]

山西省朔州市怀仁县怀仁一中云东校区2019-2020学年高一数学下

学期期中试题 文

一 选择题（每小题5分，共60分）

1. 在△ABC 中，a ＝33，b ＝3，A ＝π

3

，则C 为( )

A.

2π3 B.π2 C.π4 D.π6

2. 在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A ·tan B ，则C 等于( ) A.

π3 B.2π3 C.π6 D.π4

3.已知(,),(,)M N ---3251，且=u u u v

u u u

v MP MN

12，则点P 的坐标是（ ） A ．

-(,-)312 B ．(,)-142 C ．(-,)

312 D ．(,)-81 4 . 在半径为15cm 的圆上，一扇形所对的圆心角为3π

，则此扇形的面积为（ ）

A. 5

B. 5π

C. 52

D. 752π

5 已知

51

cos sin =α+α，且π<α≤0，那么αtan 等于（ ）

A ． 34

-

B ． 43-

C ．43

D ．34

6 已知1sin()33πα-=，则cos()6πα+=

（ ）

A ．13

B ．23-

C ．23

D ． 1

3-

7 已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c 等于( ) A.? ????1，83 B.? ????－133，83 C.? ????133，43 D.? ????－13

3，－43

8. 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π

2

的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向右平移

π

6

个单位后，得到的图象对应的函数解析式为

( )．

A ．y ＝sin 2x

B ．y ＝cos 2x

C ．y ＝sin ? ????2x －π6 D.y ＝sin ? ????2x ＋2π3

9．已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与向量a ＋2b 的夹角等于( )

A ．150° B．90° C．60° D．30°

10 函数y=--sin(2x+π

6

)的图象可看成是把函数y=--sin2x 的图象做以下平移得到（ ）

A. 向左平移π6 B 向右平移π6 C.向左平移 π12 D. 向右平移 π

12

11 函数y=sin(π

4

-2x)的单调增区间是（ ）

A. [kπ-3π8 , kπ+3π8 ] (k ∈Z)

B. [kπ+3π8 , kπ+7π

8 ] (k ∈Z)

C [kπ-π8 , kπ+3π8 ] (k ∈Z) D. [kπ+π8 , kπ+5π

8

] (k ∈Z)

12. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2

＋6，C ＝π3

，则△

ABC 的面积是( )

A ．3 B.932 C.33

2 D ．

3 3

二 填空题（每题5分，共20分。）

13 .已知向量a ，b 均为单位向量，若它们的夹角是60°，则|a －3b |等于________． 14 函数f (x )＝3sin ? ????2x －π6在区间[0，π2]上的值域为 15 函数y ＝

32

sin 2x ＋cos 2

x 的最小正周期为________． 16 已知在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是 三、解答题（本大题共6道题，共70分。） 17（10分）求值： （1）若

sin α＋cos αsin α－cos α＝1

2

，求tan 2α 的值.

（2）求 2sin 2

35°－1

cos 10°－3sin 10°

的值.

18（ 12分）已知函数f (x )＝sin ? ??

??π2－x sin x －3cos 2

x .

(1)求f (x )的最小正周期和最大值；

(2)求f (x )在??????π6

，2π3上的单调区间

19（2分）设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，已知.11,2,cos 4

===

a b C (1) 求△ABC 的周长； (2)求cos(A —C.)

20（ 12分） 设两个非零向量a 与b 不共线，

(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →

＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．

21 （ 12分） 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .

已知4sin

2

A －B

2

＋4sin A sin B ＝2＋ 2.

(1)求角C 的大小；

(2)已知b ＝4，△ABC 的面积为6，求边长c 的值．

22 （ 12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，

n ＝(cos B ，－sin B )，且m ·n ＝－35

.

(1)求sin A 的值；

(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →

方向上的投影．

数学文科答案

选做题（1—12） BAADA DDCDC BC

填空题 13. 7 , 14. ??????－32，3., 15. π , 16.2＜x ＜2 2 17(10分）（1）由sin α＋cos αsin α－cos α＝1

2

，等式左边分子、分母同除cos α得，

tan α＋1tan α－1＝12， 解得tan α＝－3， 则tan 2α＝2tan α1－tan 2

α＝3

4. 5分

（2）解析 原式＝

2sin 2

35°－1

2? ??

?

?

12cos 10°－32sin 10°＝

－cos 70°2sin 20°＝－1

2

.

10分

18（12分） (1)f (x )＝sin ? ??

??π2－x sin x －3cos 2

x

＝cos x sin x －

32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ?

????2x －π3－32，[4分]

因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－3

2.[6分]

(2)当x ∈??????π6

，2π3时，0≤2x －π3≤π， [7分]

从而当0≤2x －π3≤π2， 即π6≤x ≤5π

12时，f (x )单调递增，[9分]

当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π

3

时，f (x )单调递减．[11分] 综上可知，f (x )在??????π6，5π12上单调递增；在??????5π12

，2π3上单调递减．[12分] 19 （12分） （1）∵2221

2cos 1444,4

c a b ab C =+-=+-?

=∴2c =. ∴△ABC 的周长为a+b+c =1+2+2=5. 4分

（2）∵1

cos ,4

C = ∴sin C =

∵sin 4sin ,2a C A c ===∵,a c A C <∴<，故A 为锐角.

∴7

cos .8

A ===

∴7111

cos()cos cos sin sin .8416

A C A C A C -=+=?= 12分

20（12分）（1） 证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →

＝3(a －b )，

∴BD →＝BC →＋CD →

＝2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →

.

∴AB →、BD →

共线，又∵它们有公共点B ， ∴A 、B 、D 三点共线． 6

分

(2)解 ∵k a ＋b 和a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，

即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b . ∵a 、b 是两个不共线的非零向量，

∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2

－1＝0.∴k ＝±1. 12分 21（12分） 解 (1)由已知得 2[1－cos(A －B )]＋4sin A sin B ＝2＋2，

化简得－2cos A cos B ＋2sin A sin B ＝2，

故cos(A ＋B )＝－

22， 所以A ＋B ＝3π4，从而C ＝π

4

. 6分 (2)因为S △ABC ＝12ab sin C ， 由S △ABC ＝6，b ＝4，C ＝π

4，得a ＝3 2.

由余弦定理c 2

＝a 2

＋b 2

－2ab cos C ，得c ＝10. 12分

22（12分）解 (1)由m ·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－3

5

，

所以cos A ＝－35

. 因为0＜A ＜π，所以sin A ＝1－cos 2

A ＝

1－? ????－352＝4

5

. (2)由正弦定理得a sin A ＝b sin B 则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝2

2

，因为a ＞b ，所以A ＞

B ，则B ＝π

4

.

由余弦定理得(42)2＝52＋c 2

－2×5c ×? ??

??－35， 解得c ＝1，

故向量BA →在BC →方向上的投影为 |BA →

|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22