微积分在生活中的应用Word版
微积分在生活中的应用
微积分在生活中的应用一、前言微积分是我进入大学学习的第一本和数学有关的书籍。
我喜欢这种逻辑性很强的东西，所以从小对数学就有一种痴迷，当我学到了把微积分的知识应用到实际生活中的时候那种精确与巧妙魅让我深深的折服。
特别是它在经济生活中的应用真正做到了把知识化为财富的目的。
二、摘要牛顿、莱布尼兹发明微积分以后，人们才有能力把握运动和过程。
有了微积分，就有了工业革命，就有了大工业生产，也就有了现代化的社会。
航天飞机、宇宙飞船等现代化交通工具都是在微积分的帮助下制造出来的。
微积分在人类社会从农业文明跨入工业文明的过程中起到了决定性的作用。
微积分是为了解决变量的瞬时变化率而存在的。
从数学的角度讲，是研究变量在函数中的作用。
从物理的角度讲，是为了解决长期困扰人们的关于速度与加速度的定义的问题。
变这个字是微积分最大的奥义。
因此，了解微积分在生活中的应用对于我们解决实际问题有很大的帮助。
关键词：物理，经济，应用。
三、在生活中的运用一，在物理中的应用1，研究物体做匀变速直线运动位移问题时；对于匀速直线运动，位移和速度之间的关系我们都清楚,x=vt，但如果物体的速度大小时刻发生变化，那么物体的位移如何求解呢？此时，微积分就成了我们有利工具。
我们可以把物体运动的时间无限细分。
在每一份时间内，速度的变化量非常小，可以忽略这种微小变化，认为物体在做匀速直线运动，因此根据已有知识位移可求；接下来把所有时间内的位移相加，即“无限求和”，则总的位移可以知道。
现在我们明白，物体在变速直线运动时候的位移等于速度时间图像与时间轴所围图形的面积；2，研究匀速圆周向心加速度的方向问题时；根据牛顿第二定律，我们可以知道匀速圆周运动加速度的方向指向圆心；同时利用极限思想，也可以加速度的方向。
当圆周上的两个点无限靠近时，速度变化量也无限的小，因此由VAVB△V围成的等腰三角形的底角接近90，因此速度变化量和速度垂直，而速度又和半径垂直，因此，匀变速圆周运动中，加速度的方向始终指向圆心。
生活中的微积分
生活中的“微积分”
我知道我微积分学的不好，但抒发感悟的能力还是有的……
大学初到，我便接触了微积分，还是初等的单变量微积分。
这是一种很精妙的计算方法，通过把曲线分割成无数的直线，可以求出曲线的长度，它也可以计算出任何形状的曲面，而计算的精度取决于曲线被分割的密度。
当然，我们要预先知道曲线的坐标方程。
如果把我们的生命看作是一条曲线的话，她的弧度和长度因每个人而不同：有的人一生一帆风顺，他的生命线近似直线；有的人生命中有很多曲折，碰了很壁，他的生命线可以用一条弧度很大的曲线来表示。
假如我们的生命位移相似，也就是说，起点和终点的位置一样，那么，曲线的人生代表了更丰富的生命价值；而从微积分的观点来看，我们遇到越多的挫折，曲线被分的越细，那么，我们的这条生命曲线会越完美。
生命只有一次，而她的长度也是一定的，你的生命线又是什么样的呢？
以上就是我这学期的数学学习感悟了……
——BY 韦俊PB08207029。
微积分在现实生活中的应用
微积分在现实生活中的应用微积分是数学中一门重要的分支，它是研究变化以及连续函数的研究。
无论是物理学、化学还是工程学，它都有着很重要的应用。
在现实生活中，微积分也有许多重要的应用。
首先，在运动学中，微积分有着重要的应用。
运动的一些精髓如加速度、办法和延伸等都可以通过微积分来求解。
由于它们之间有着紧密的联系，可以依靠微积分来算出它们之间的关系，并且可以用来研究物体运动的过程，计算物体在一定时间内运动的位置以及速度。
其次，在热力学中，微积分也有重要的应用。
热力学是研究物体内热能变化的原理，可以计算热能以及温度的变化。
热力学使用微积分来研究它们之间的联系，可以计算出温度随时间的变化。
此外，在电磁学中，微积分也有着重要的应用。
电磁学是研究电磁场的力和电磁波的传播原理，可以用来研究电流、电压以及电势等物理量之间的联系。
电磁学使用微积分来计算电场与磁场之间的关系，从而可以研究电场如何在各种不同情况下传播。
另外，在经济学中，微积分也有着重要的应用。
经济学是研究经济活动的学科，可以用来研究一个国家经济活动的规律。
经济学使用微积分来研究经济决策的最优化。
用微积分可以计算出一个经济参数如物价指数、失业率等随时间的变化，从而为决策者提供参考依据。
最后，微积分也可以用于其他学科，比如气候学、流体力学等。
由于微积分可以描述变量之间的关系，可以计算出某种变量随着其他变量变化产生的影响。
因此，它还可以用于预测大气环境变化，用来研究流体在各种不同情况下的运动，从而为科学研究提供依据。
总之，微积分可以广泛的应用于现实生活中的各个领域，它可以描述复杂的变量之间的关系，更好地研究和解释它们之间的联系。
微积分在经济生活中的应用
微积分在经济生活中的应用人们面对着规模越来越大的经济和商业活动，逐渐转向用数学方法来帮助自己进行分析和决策，而且正越来越广泛地应用数学理论进行经济理论研究．在经济生活中经常涉及成本、收入、利润等问题，解决这些问题与微积分有着紧密联系．1 导数及微分的应用导数及微分在经济生活中的应用主要有边际分析与弹性分析等． 1.1 边际问题[1](37)P - 1.1.1 边际成本边际成本是指在一定产量水平下，增加或减少一个单位产量所引起成本总额的变动数． 设成本函数为()C C x =，产量从x 改变到x x +∆时，成本相应改变()()C C x x C x ∆=+∆-成本的平均变化率为()()C C x x C x x x∆+∆-=∆∆ 若当0x ∆→时，0limx Cx∆→∆∆存在，则这个极限值就可反映出产量有微小变化时，成本的变化情况．因此，产品在产量x 时的边际成本就是：00()()()lim limx x dC C C x x C x C x dx x x∆→∆→∆+∆-'===∆∆ 如果生产某种产品100个单位时，总成本为5000元，单位产品成本为50元．若生产101个时，其总成本5040元，则所增加一个产品的成本为40元，即边际成本为40元．在经营决策分析中，边际成本可以用来判断产量的增减在经济上是否合算．当企业的生产能力有剩余时，只要增加产量的销售单位高于单位边际成本，也会使得企业利润增加或亏损减少．或者说，只要边际成本低于平均成本，也可降低单位成本．由上面知当产量100x =时，这时候有(100)40C '=(100)50100C = 即边际成本低于平均成本，此时提高产量，有利降低单位成本．1.1.2 边际收入边际收入是指在某一水平增加或减少销售一个单位商品的收入增加或减少的量．实际上就是收入函数的瞬时变化率．而从数学的角度来看，它是一个导数问题．设收入函数为()R R x =，则边际收入函数就是0()()()limx dR R x x R x R x dx x∆→+∆-'==∆ 如(15)14R '=，其经济含义是，在产量为15这一水平上再增加或减少销售一个单位，其收入增加或减少14．1.1.3 边际利润由于利润函数是收入函数与成本函数的差，即()()()P x R x C x =-，因此边际利润函数为()()()P x R x C x '''=-由上面的分析我们可以得出：边际成本函数就是总成本函数对产量的导数；边际收入函数就是总收入函数对销量的导数；边际利润函数就是总利润函数对销量的导数．例1 某企业每月生产的总成本C (千元)是产量x (吨)的函数2()1020C x x x =-+如果每吨产品销售价格2万元，求每月生产10吨、15吨、20吨时的边际利润．解 因为利润函数为总收入减去总成本． 即22()()()20(1020)3020P x R x C x x x x x x =-=--+=-+-所以边际利润为()230P x x '=-+于是(10)2103010P =-⨯+=（千元/吨） (15)215300P '=-⨯+=（千元/吨）(20)2203010P '=-⨯+=-（千元/吨）上述结果表明，当月产量为15吨时，边际利润为0，如果再增加产量，利润不会增加反而减少，所以该企业不能单独依靠增加产量来提高利润．1.2 弹性问题[2](3437)P -弹性原是物理学上的概念，意指某一物体对外界力量的反应力．经济活动中的弹性是指当经济变量存在函数关系时，因变量对自变量变动的反应程度．若两个经济变量之间的函数关系为()y f x =，设函数()y f x =在点0x 处可导，以,x y ∆∆分别表示变量,x y 的变动量，则把'000000000/limlim ()/()x x y y x x y f x x x x y f x →→∆∆=⋅=∆∆ ⑴称为函数()y f x =在点0x 处的弹性,记作x x EyEx= 或()x x Ef x Ex =若()f x 可导，则它在任意点处的弹性为：()()()Ef x xf x Ex f x '= ⑵ ⑴式为点弹性，⑵式为弧弹性．弹性的本质是相对变化率，表现因变量对自变量的相对变化所做出的反应即灵敏度．弹性的经济意义为：当自变量变化为1%时,函数变化为()[]%Ef x Ex. 设x x Ey a Ex==，即0000000//lim//x y y x dy y dy a x x dx y dx x ∆→∆=⋅==∆若0/1%x x ∆=，即0/1%dx x =，则0/1%dy y a =⨯，而dy y ≈∆，故0/%y y a ∆≈，这就是说当x 在0x 处变化（上升或下降）1%时，y 变化（上升或下降）%a ．所以弹性是()f x 对x 变化反应的灵敏度．例2 设某种商品的需求量Q 与价格x 之间的函数关系为(83)Q x x =-试求在149x =、169、2（元）的价格水平时，需求量对价格的弹性（简称需求价格弹性）． 解86(86)(83)83EQ x x x Q x Ex Q x x x-'=⋅=-⋅=-- 故149148690.414839x EQ Ex=-⨯==--⨯，表明在149元的价格水平时，价格上涨1%则需求量下降0.4%．1691x EQ Ex==-，表明在169元的价格水平时，价格上涨1%，则需求量下降1%．22x EQ Ex==-,表明在2元的价格水平时，价格上涨1%，则需求量下降2%．在一般情况下，商品的需求量和价格是成反方向变动的，即需求价格弹性0EQEx<，故当1EQ Ex <-时，称需求是弹性的，当10EQ Ex -<<时称需求是低弹性的，当1EQEx=-时，称需求是有单位弹性的．利用需求价格弹性分析有助于作出正确的定价决策，当需求是弹性时，总收入将因价格的下调而增加;当需求是低弹性时，总收入将因价格的上调而增加；当需求是有单位弹性时，总收入取得最大值．设某商品的需求函数为()Q f x =，则总收入函数为()R Q x xf x =⋅=，因为[]()()()1()()1()()dR x f x xf x f x f x f x e x dx f x ⎡⎤''=+=+=+⎢⎥⎣⎦又()0f x ≥，所以当1EQ Ex >-时0dR dx >，即当需求是低弹性时，总收入随价格增加而增加，故此时可上调价格而使收入增加．当1EQ Ex <-时0dRdx <，即当需求是弹性的时候，总收入随价格增加而减少，故此时可下调价格而使收入增加．当1EQ Ex =-时0dRdx=，即当需求有单位弹性时，价格水平是收入函数的驻点，故R 取得最大值．例3 在上例中当149x =、169、2（元）时，应如何调整价格,才能使收入增加？调整价格后收入变化幅度有多大？解 当149x =时，因为()0.4e x =-，即需求是低弹性的，应该上调价格，此时由于[]()()()ER Exf x xxf x Ex Ex xf x '== 1()()xf x f x '=+ 110.40.6EQEx=+=-= 即价格上调1%后收入增加0.6%；当169x =时，1EQ Ex=-，此时收入最大，应该维持原价； 当2x =时，2EQEx=-，即需求是弹性的，此时应该下调价格，因为1121ER EQ Ex Ex=+=-=-故价格下调1%时，收入增加1%．1.3 偏弹性在经济函数中，影响一个经济量的因素是多种多样的，例如，商品的需求量受到商品价格、消费者的爱好、每个人的收入等因素的影响．也就是说，商品的需求量是一个多元函数．又如，产出量与投入的劳力、资本、土地、能源等因素有关，或者说产出是诸多元素的多元函数．与一元函数的导数类似，多元函数的偏导数在经济学中表示边际经济量．边际经济量的经济含义是：当其中一个的经济量变化一个微小单位时，（其他经济量需保持不变），总经济量的变化量．我们以生产函数(,)G f K L =（其中K 表示资本，L 表示劳力）为例引入偏弹性的概念．称比值GK G K∂∂为产出G 对资本K 的偏弹性．它的经济意义是：当资本K 增加001时，产品增加的百分数；称比值GL G L∂∂为产出G 对劳力L 的偏弹性，它的经济意义是：当劳力L 增加001时，产品增加的百分数．例4 证明D C -生产函数中的参数α是产出G 对劳力L 的偏弹性，参数β是产出G 对资本K 的偏弹性①．证明 由D C -生产函数G AL K αβ=得11;G GA L K A L K L Kαβαβαβ--∂∂==∂∂． 于是，产出G 对劳力L 的偏弹性为1GA L KL L G AL K L αβαβαα-∂∂=⋅=， 产出G 对资本K 的偏弹性为1GA L K K K G AL K Kαβαβββ-∂∂=⋅=． 1.4 最大利润与最小成本[3](5056)P -利润取得最大值的必要条件是：()0P x '=充分条件是：()0P x ''<如果生产原料有两种，总利润为(,)P x y ，其中,x y 分别表示两种原料的数量．则取得最大值的必要条件是：00P P x y∂∂==∂∂且 充分条件是：设00000022222(,)(,)(,),,x y x y x y PP P A B C xx yy∂∂∂===∂∂∂∂满足20A C B ⋅->．例5 设某企业生产q 个单位产品的总成本函数是: 32()1050C q q q q =-+，求使得平均成本()C q 为最小的产量;并计算出最小平均成本解 3221050()1050q q qC q q q q-+==-+， 那么()210C q q '=-， 令()0C q '=， 5q =， 又(5)20C ''=>， 所以()C q 在5q =取得极小值点， 所以理论上()C q 的最小值是存在的，5q =时平均成本()C q 为最小．最小平均成本2min (5)51055025C =-⨯+=．例6 某公司在生产中使用I 和II 两种原料，已知I 和II 两种原料分别使用x 单位和y 单位可生产u 单位的产品，且有：22(,)8324046u x y xy x y x y =++--，并且第一种原料每单位的价值为10美元，第二种原料每单位的价值为4美元，产品每单位的售价为40美元啊，求该公司的最大利润？解 生产(,)u x y 单位的产品的总成本为104x y +，总收入为40(,)u x y ，从而利润函数为22(,)40(,)10432012701596160240P x y u x y x y xy x y x y =--=++--，再由32012703200P y x x ∂=+-=∂，32015964800Px y y∂=+-=∂ 解得驻点为：00(,)(21.9,17.9)P x y =，又00000022222(,)(,)(,)320,320,480x y x y x y P PP x x yy∂∂∂=-==-∂∂∂∂，2512000A C B ⋅-=>．故P 在此点达到最大值，即该公司的最大利润为(21.9,17.6)28189()P ≈美元．2 连续复利——e 的应用[4](159164)P -利息是银行对储蓄（或借款）所支付（或收取）除本金以外的货币．银行支付（或收取）利息的多少，以利率的高低来表示：单位时间的利率=单位时间的利息/存入本金 例如，存入1000元，年利息是80元，则年利率为8%． 一般地，单位时间取年或月． 2.1 单利设本金为0A （可指投资、存款等），年利率是r ，所谓单利是指仅按本金来计算利息．例如0A 的投资时间为t 年，那么t 年后可得单利0I A rt =本利和是0000(1)A A I A A rt A rt =+=+=+例7 1000元投资5年，年利率6%，于是5年后共得单利10000.065300I =⨯⨯=（元）本利和是10003001300A =+=（元）2.2 复利所谓复利是指经过一年时间，将所生成利息加入本金再生利息，逐期滚算．假定本金为0A 元，年利率为r ，那么一年后的利息是0A r ，此时本金就成了000A A r A r +=（1+）．再经过一年又得复利[]0r A t （1+），本金成了 2000A r rA r A r （1+）+（1+）=（1+）以此类推，t 年后本金()A t 就成了0()tA t A r =（1+）例8 如果例7按年计算复利，那么5年后本金就成了5(5)10001000 1.338231338.23(A ⨯=⨯==（1+0.06）元）利息是338.23元．设年利率为r ，如果一年计算m 次复利(m 是正整数)，那么t 年就计算tm 次，每次的利率算作r m． 设本金为0A 元，年利率为r ，每年计算m 次，那么t 年后本金为0()mtr A t A m=（1+） 例9 如果例7每年计算复利4次，那么5年后本金是45200.06(5)10001000 1.0151000 1.346861346.86()4A ⨯=⨯=⨯==（1+）元 利息是346.86元． 2.3 连续复利从上面例子可以看出，计算复利的次数越多，既周期越短，利息就越高，我们自然会问，如果利息按连续复利计算，既计算复利的次数m 趋于无穷大时，t 年后本金（既本利和）是多少？此时可按如下公式计算000()lim lim rtmmt rt rm m r r A t A A A e m m →∞→∞⎡⎤==⎢⎥⎣⎦=（1+）（1+） 这种计利方法称为连续复利．例10 如果例7按连续复利计算，那么5年后本金是0.0650.3(5)100010001349.86A e e ⋅=⋅=⋅=（元）连续复利的计算公式在其他许多问题中也常有应用．例如细胞分裂、树木生长等问题．3 定积分的应用[5](2327)P -3.1 由经济函数的边际，求经济函数在区间上的增量根据边际收入，边际成本，边际利润以及产量x 的变动区间[,]a b 上的改变量（增量）就等于它们各自边际在区间[,]a b 上的定积分：()()()baR b R a R x dx '-=⎰ (1)()()()baC b C a C x dx '-=⎰ (2)()()()baP b P a P x dx '-=⎰ (3)例11 已知某商品边际收入为0.0825x -+（万元/吨），边际成本为5（万元/吨），求产量x 从250吨增加到300吨时销售收入()R x ，总成本()C x ，利润()P x 的改变量（增量）．解 首先求边际利润()()()0.082550.0820P x R x C x x x '''=-=-+-=-+所以根据式(1)、式(2)、式(3)，依次求出：300250(300)(250)()R R R x dx '-=⎰300250(0.0825)x dx =-+⎰150=（万元） 300300250250(300)(250)()5C C C x dx dx '-==⎰⎰250=（万元）300300250250(300)(250)()(0.0820)P P P x dx x dx '-==-+⎰⎰100=-（万元）3.2 由经济函数的变化率，求经济函数在区间上的平均变化率 设某经济函数的变化率为()f t ，则称2121()t t f t dtt t -⎰为该经济函数在时间间隔21[,]t t 内的平均变化率．例12 某银行的利息连续计算，利息率是时间t （单位：年）的函数：()0.08r t =+求它在开始2年，即时间间隔[]0,2内的平均利息率．解 由于22()(0.08r t dt dt =+⎰⎰0.160.010.16=+=+所以开始2年的平均利息率为2()0.0820r t dtr ==+-⎰ 0.094≈（年）．例13 某公司运行t （年）所获利润为()P t（元）利润的年变化率为()310P t '=⨯/年）求利润从第4年初到第8年末，即时间间隔[]3,8内年平均变化率．解 由于3885852333()310210(1)3810P t dt t '=⨯=⨯⋅+=⨯⎰⎰（元/年）所以从第4年初到第8年末，利润的年平均变化率为853()7.61083P t dt '=⨯-⎰（元/年）即在这5年内公司平均每年平均获利57.610⨯元．4 条件极值[6](58)P -如果在极值问题中自变量x 与y 之间还要满足一定的约束条件(,)g x y c =，这种在(,)g x y c =条件下函数(,)f x y 的极值称为条件极值．求条件极值的问题需用到拉格朗日乘数法．例14 某工厂集资ω元，拟建一个长方体无盖水池，已知侧面的单位面积造价为a 元，底面的单位面积造价为b 元，如何选择水池的尺寸，能使水池的容积最大？解 设水池的长、宽、高分别为,,x y z 依题意就是求函数 V xyz = (0,0,0)x y z >>>在条件约束(22)a xy yz b xy ω=⋅++⋅下的条件极值． 根据拉格朗日乘数法，作辅助函数()()bxy ayz axz xyz z y x F ---+=22,,,ωλλ由 ()02=--+='by az yz F x λ ①()02=--+='bx az xz F y λ ②()022=--+='ay ax xy F z λ ③ 022=---='bxy ayz axz F ωλ ④①÷② (先移项) 得 y x = ①÷③ (先移项) 得 bx az =2 将它们代入④式，得 bx 3ω=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=舍去b x 3ω又有 by 3ω=，ωb az 361=根据具体问题本身知道，水池容积的最大值是存在的，且最小值为零．所以，当水池的长、宽、高分别为 ωb b x 331=，ωb b y 331=，ωb az 361=时，水池的容积最大，最大容积为ωωb ab318．由上例可以看出，求解条件极值的关键是通过拉格朗日乘数法作辅助函数()λ,,,z y x F ，条件极值存在的必要条件就是函数()λ,,,z y x F 取得极值的必要条件．5 级数的应用[7](1115)P -随着住房的私有化，个人住房抵押贷款成了人们生活中的一项重要的经济生活．下面用级数的知识来讨论个人住房贷款中人们常选择的按月还款方式的月还款额．设贷款额为0B ，月还款为m ，贷款后第k 个月时欠款余额为k B ，则由第k 个月到第1k +个月中，除月还款m 外还有什么因素参与？无疑是月息，设月利率为r ，则有：1(1)k k B r B m +=+-， 0,1,2,3,k =⋅⋅⋅ ⑴ 即：1(1)k k B r B m -=+-， 1,2,3,k =⋅⋅⋅ ⑵ 由⑴式减去⑵式，得递推公式：11(1)()k k k k B B r B B +--=+- 1,2,3,k =⋅⋅⋅ ⑶ 令 1()k k k A B B -=-， 1,2,3,k =⋅⋅⋅ ⑷ 则⑶式变为：1(1)k k A r A +=+， 1,2,3,k =⋅⋅⋅ ⑸于是有 11(1)k k A r A -=+， 1,2,3,k =⋅⋅⋅ ⑹由⑷式和⑹式可知：012k k B B A A A -=++⋅⋅⋅+111(1)(1)k A r r -⎡⎤=+++⋅⋅⋅++⎣⎦10(1)1()k r B B r+-=- 0(1)1()k r rB m r+-=- 00(1)(1)1k k m B r B r r⎡⎤=+--+-⎣⎦，1,2,3,k =⋅⋅⋅ 从而得到 0(1)(1)1k k k m B B r r r ⎡⎤=+-+-⎣⎦，1,2,3,k =⋅⋅⋅ ⑺ 设第个n 月已还清贷款，则0n B =，代入⑺式得0(1)(1)1nn rB r m r +=+- ⑻ 因此，若某人贷款0B ，月利率为r ，共贷款n 个月，则每月需还贷款公式为⑻式．此式也适用于购车贷款等的按月还款．下面举例说明⑻式的应用．例15 某人贷款8万元用于购买汽车，设贷款月利率为0.402%，贷款期限为10年，试计算此人每月还款额是多少？解 1012120n =⨯=，由公式⑻得：1201200.402%80,000(10.00402)520.4748672841.66(10.00402)10.618392m ⨯⨯+===+-（元） 这说明此人每月需还款841.66（元）．通过上面的论述，我们会发现微积分已经广泛的应用于经济生活中，而且随着金融市场和现代企业制度的建立，微积分越来越多地渗透到会计、审计、财务管理、市场营销、财政、税务、金融、工商管理等各个经济领域．经济定货量模型、经济生产量模型、敏感分析等都是应用微积分解决经济问题的一些典范，微积分在经济生活中的地位越来越重要．注释：①D C -生产函数是数学家柯布和经济学家道格拉斯于20世纪30年代提出来的，被认为是一种很有用的生产函数．一般形式为：G A L K αβ=⋅⋅，G 为产量，L 和K 分别为劳动和资本投入量，A 、α和β为3个参数， 0,1αβ<<．当1αβ+=时，α和β分别表示劳动和资本在生产过程中的相对重要性，α为劳动所得在总产量中所占的份额，β为资本所得在总产量中所占的份额．若1αβ+>，则为规模报酬递增；若1αβ+=，则为规模报酬不变；若1αβ+<，则为规模报酬递减．。
微积分在实际中的应用
微积分的综合应用微积分的综合应用表此刻：1）微分在近似计算中能够较快的求得近似值，一般偏差不大，能够节俭时间和精力；2）定积分在物理学中的应用：变力做功问题常常是用微积分来求功；3）设计桥拱也是微积分利用的一个例子，利用微积分知识能够计算桥墩的受压状况以及整座桥的抗压抗风能力，进而设计出既轻又坚固的桥身；4）天气预告也常常用到微积分例子，将众多的外界要素当成多元函数，进行概括剖析；城市规划、建筑设计等用到了空间分析几何；5）设计元件、容器等节俭资料又保证质量的问题，需要运用微积分计算不规则物体的表面积、体积、质量等有关数据；6）微积分能够用于在天文学上当算引力做功，轨道及运动状况；此外，微积分在经济学还有特别宽泛的作用，在计算盈余状况，投资风险，希望值，回报率，保险行业等都要用到微积分知识。
综上，不论是在科学研究仍是实质生活中，微积分作为一种数学工具的作用是非比寻常的。
站在我们学生的角度，能够掌握微积分的基础知识并在现实中灵巧运用，才算是真实地理解了这门课程的精华。
下边用以详细模型来说明方法及过程。
对于火箭升空原理的商讨火箭是一种靠发动机发射物质产生的反作使劲、向前推动的飞翔器，是实现卫星上天和航天飞翔的运载工具，故称运载火箭。
火箭技术就是要解决火箭的制造和发射等问题。
没有火箭技术的发展，就没有空间科学蓬勃发展的今日——火箭技术为人类翻开了探究宇宙的大门。
本文主要议论微积分在发射过程中的应用。
一、火箭升空过程中的主要原理设 t 时辰主体的质量为m，速度为v。
dt 时间内有质量为dm、速率为u 的流动物加到主体上。
t+dt 时辰主体的质量变成m+dm、速度变成 v+dv ，t 时辰质点系的动量为mv+udm ，t+dt 时辰质点系的动量为（m+dm ）（v+dv ）。
下列图为质量流动的质点系。
若主体受外力下，流动物质受外力F ’，则依据质点系动量定理的微分形式，有dp( m dm)(v dv) (mvudm)F F 'dtdt在这一类问题中，流动物体所受外力常常远小于主体所受外力，故 F ’能够忽视。
微积分在现代生活中的应用分析
微积分在现代生活中的应用分析
随着科技的快速发展，微积分在现代生活中变得越来越重要。
微积分是一种用来解决微分
方程，研究函数性质，求解极限，求解积分，解决复杂动力学问题等其他数学问题的数学
理论。
它是数学中最基础也是最重要的部分，相当重要。
可以说，它已成为多种自然科学领域中不可或缺的重要科学工具。
在金融学中，由于微积分的数学原理，我们可以克服市场变化的影响，有效地识别资产价
格的变化，改善标准分析方法，捕捉隐藏的价值和机会。
它帮助预测投资风险，并对投资
者提供有效的投资收益。
在工程学上，有微积分，我们可以以更新的方式设计和建造机器，精确测量速度和加速度，了解运动物体的力学行为。
它也可以帮助我们解决流体动力学和气体动力学等相关问题，为制作特种轻量结构提供详细的指导和帮助。
在医学领域，微积分的技术可以帮助我们迅速识别复杂的病毒和细菌，从而帮助我们快速
控制和抑制疾。
同时，通过研究不同领域中病理状况如何变化，我们可以更好地了解健康
状况和提供一系列有效的药物疗法。
综上所述，微积分对日常生活中几乎所有领域都有着重要的影响。
它可以应用于工程学，金融学，医学等。
因此，学习和掌握微积分是十分必要的。
它的重要性将随着科技的发展
而不断增强。
微积分的实际用途
微积分的实际用途嘿，朋友们！咱今儿来聊聊微积分这玩意儿，可别小瞧它，它的用处那可老大了！你想想看，生活中好多事儿不就跟微积分似的嘛。
比如说咱开车，速度不是一成不变的吧，一会儿快一会儿慢的，这就像微积分里的变化率呀。
你得根据路况随时调整速度，这就跟微积分计算变化多像啊！再说说盖房子，建筑师得考虑各种力的作用吧，怎么让房子稳稳当当的，这里头就有微积分的功劳呢。
就好像搭积木，你得知道怎么摆才不会倒，这就是在计算那些微妙的平衡呢。
还有咱平时减肥，体重也不是一下子就掉下去或者涨上来的呀，那也是一点一点变化的。
这不就跟微积分里研究微小的变化一个道理嘛！你说大自然里那些奇妙的现象，像什么四季更替啦，月亮的阴晴圆缺啦，不也都是在变化嘛。
微积分就能帮我们更好地理解这些变化的规律。
咱去购物的时候也能用到微积分呢！怎么在有限的预算里买到最值的东西，这也是一种计算呀。
你看那些科学家们研究宇宙，研究各种神奇的现象，微积分就是他们的得力工具。
就好像我们有把趁手的工具，才能更好地干活儿不是？好比我们走路，一步一步地往前，每一步的距离可能都不一样，但加起来就是我们走的路程。
微积分不就是在研究这样的一点点的变化和积累嘛。
那企业生产东西，得考虑成本和利润吧，怎么让利润最大化，这里头微积分的作用可不小呢。
甚至咱平时听音乐，那旋律的起伏变化，不也有点像微积分的感觉嘛。
所以说呀，微积分可不是什么高高在上只在书本里的东西，它就在我们生活的方方面面呢。
它就像一个神奇的钥匙，能打开好多我们以前不明白的门。
咱可别觉得它难就不去学，一旦你掌握了它，就好像掌握了一种超能力。
你能看到别人看不到的东西，能解决别人解决不了的问题。
朋友们，好好去感受微积分的魅力吧，它会给你带来意想不到的收获和乐趣呢！别再把它当成枯燥的数学知识啦，它是能让我们生活变得更精彩的宝贝呀！原创不易，请尊重原创，谢谢!。
高等数学小论文—微分在生活中的应用
微分在生活中的应用1.计算利率和复利：在金融领域，微分可以用来计算利率和复利。
在实际应用中，微分被用于计算连续复利。
假设本金为P，年利率为r，投资时间为t年，那么根据微分的思想，t年后本金和利息之和可以表示为P(1+rt)。
这个公式可以方便快捷地计算出投资在一段时间后的增长倍数，为我们进行投资决策提供了依据。
2.预测未来走势：在经济学中，微分被用来描述变量之间的关系，如价格和需求量之间的关系、成本和产量之间的关系等。
这种关系通常被表达为微分方程或差分方程。
通过求解这些方程，我们可以得到变量随时间变化的规律，从而预测未来的走势。
例如，在商品市场中，价格和需求量之间的关系可以通过微分方程来表示。
通过对这个方程的求解，我们可以预测在未来一段时间内，价格会如何变化，需求量会如何变化，从而制定出更加合理的经济政策。
3.优化生产过程：在工业生产中，微分可以帮助我们优化生产过程。
具体来说，通过对生产过程中的各种变量进行微分分析，可以找出哪些变量对生产效率有影响。
然后，我们可以通过调整这些变量的参数来优化生产过程，提高生产效率。
例如，在生产汽车零部件时，通过对生产过程的微分分析，可以找出对生产效率影响较大的环节，如刀具磨损、模具寿命等，并采取措施来优化这些环节，从而提高生产效率。
4.医学成像：在医学领域，微分也被广泛应用于医学成像。
例如，在CT扫描中，微分被用来重建图像。
具体来说，CT扫描是通过测量人体不同部位在不同时间点的辐射量来重建图像的。
而微分则可以用来分析和处理这些测量数据，以重建出更准确的图像。
在这个过程中，微分可以帮助我们更好地理解图像的形成过程和人体内部的结构特征，为医生的诊断和治疗提供依据。
5.计算机科学：在计算机科学中，微分被广泛应用于机器学习和人工智能领域。
例如，深度学习模型中的反向传播算法就使用了微分。
通过微分，我们可以计算出模型参数的更新量，从而优化模型的性能。
6.自然科学研究：在自然科学领域，微分被广泛应用于物理、化学、生物学等学科的研究。
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微积分在生活中的应用
（何杰东陈新亮连冠才施楠信工一班北二830）
一.摘要
牛顿、莱布尼兹发明微积分以后，人们才有能力把握运动和过程。
有了微积分，就有了工业革命，就有了大工业生产，也就有了现代化的社会。
航天飞机、宇宙飞船等现代化交通工具都是在微积分的帮助下制造出来的。
微积分在人类社会从农业文明跨入工业文明的过程中起到了决定性的作用。
微积分是为了解决变量的瞬时变化率而存在的。
从数学的角度讲，是研究变量在函数中的作用。
从物理的角度讲，是为了解决长期困扰人们的关于速度与加速度的定义的问题。
“变”这个字是微积分最大的奥义。
因此，了解微积分在生活中的应用对于我们解决实际问题有很大的帮助。
二．关键词：物理，经济，应用。
三．引言：通过研究微积分在物理，经济等方面的具体应用，得到微积分在现实生活中的重要意义，从而能够利用微积分这一数学工具科学地解决问题。
获取资料的途径主要是互联网。
四（一）在物理中的应用
例1，研究物体做匀变速直线运动位移问题时；
对于匀速直线运动，位移和速度之间的关系我们都清楚,x=vt，但如果物体的速度大小时刻发生变化，那么物体的位移如何求解呢？此时，微积分就成了我们有利工具。
我们可以把物体运动的时间无限细分。
在每一份时间内，速度的变化量非常小，可以忽略这种微小变化，认为物体在做匀速直线运动，因此根据已有知识位移可求；接下来把所有时间内的位移相加，即“无限求和”，则总的位移可以知道。
现在我们明白，物体在变速直线运动时候的位移等于速度时间图像与时间轴所围图形的面积；
例2，研究匀速圆周向心加速度的方向问题时；
根据牛顿第二定律，我们可以知道匀速圆周运动加速度的方向指向圆心；同时利用极限思想，也可以加速度的方向。
当圆周上的两个点无限靠近时，速度变化量也无限的小，因此由VAVB△V围成的等腰三角形的底角接近90，因此速度变化量和速度垂直，而速度又和半径垂直，因此，匀变速圆周运动中，加速度的方向始终指向圆心。
例3.研究变力做功问题时；
对于恒力做功，我们可以利用公式直接求出；但对于变力，我们不能利用公式；这种情况下，我们要借助于微积分，我们可以把位移无限细分，在每一个小位移上，力的变化很小，可以看作是恒力，根据公式算出力所作的功；然后把每一个小位移上的功无限求和，那么就可以求出变力做的总功是多少。
（二）在经济上的应用
1.1 边际分析在经济分析中的的应用
1.1.1 边际需求与边际供给
设需求函数Q=f（p）在点p处可导（其中Q为需求量，P为商品价格），
则其边际函数Q
’=f’(p)称为边际需求函数，简称边际需求。
类似地，若供给函数Q=Q(P)可导（其中Q为供给量，P为商品价格），则其边际函数Q=Q(p)称为边际供给函数，简称边际供给。
1.1.2 边际成本函数
总成本函数C=C(Q)=C0+C1(Q)；平均成本函数=(Q)=C(Q)Q；边际成本函数C’=C’(Q)．C’(Q0)称为当产量为Q0时的边际成本，其经济意义为：当产量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则成本将相应增减C’’(Q0)个单位。
1.1.3 边际收益函数
总收益函数R=R(Q)；平均收益函数=(Q)；边际收益函数R’=R’(Q)．
R’(Q0)称为当商品销售量为Q0时的边际收益。
其经济意义为：当销售量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则收益将相应地增减R’(Q
0)个单位。
1.1.4 边际利润函数
利润函数L=L(Q)=R(Q)-C(Q);平均利润函数;=(Q)边际利润函数L’=L’(Q)=R’(Q)-C’(Q).L’(Q0)称为当产量为Q0时的边际利润，其经济意义是：当产量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则利润将相应增减L’(Q
0)个单位。
例1 某企业每月生产Q（吨）产品的总成本C（千元）是产量Q的函数，C(Q)=Q2-10Q+20。
如果每吨产品销售价格2万元，求每月生产10吨、15吨、20吨时的边际利润。
解：每月生产Q吨产品的总收入函数为：
R（Q）=20Q
L（Q）=R（Q）-C（Q）=20Q-（Q2-1Q+20）
=-Q2+30Q-20
L’(Q)=(-Q2+30Q-20)’=-2Q+30
则每月生产10吨、15吨、20吨的边际利润分别为
L’(10)=-2×10+30=10（千元/吨）；
L’(15)=-2×15+30=0（千元/吨）；
L’(20)=-2×20+30=-10（千元/吨）；
以上结果表明：当月产量为10吨时，再增产1吨，利润将增加1万元；当月产量为15吨时，再增产1吨，利润则不会增加；当月产量为20吨时，再增产1吨，利润反而减少1万元。
显然，企业不能完全靠增加产量来提高利润，那么保持怎样的产量才能使企业获得最大利润呢？
1.2 弹性在经济分析中的应用
1.2.1 弹性函数
设函数y=f(x)在点x处可导，函数的相对改变量Δyy=f(x+Δx)-f(x)y 与自变量的相对改变量Δxx之比，当Δx→0时的极限称为函数y=f(x)在点x处的相对变化率，或称为弹性函数。
记为EyEx•EyEx=limδx→0
ΔyyΔxx=limδx→0ΔyΔx．xy=f’(x)xf(x) 在点x=x0处，弹性函数值Ef(x0)Ex=f’(x0)xf(x0)称为f（x）在点x=x0处的弹性值，简称弹性。
EE xf(x0)%表示在点x=x
0处，当x产生1%的改变时，f（x）近似地改变EE
xf(x0)%。
1.2.2 需求弹性
经济学中，把需求量对价格的相对变化率称为需求弹性。
对于需求函数Q=f（P）(或P=P（Q）)，由于价格上涨时，商品的需求函数Q=f(p)（或P=P(Q)）为单调减少函数，ΔP与ΔQ异号，所以特殊地定义，需求对价格的弹性函数为η(p)=-f’(p)pf(p)
例 2 设某商品的需求函数为Q=e-p5，求(1)需求弹性函数；
(2)P=3,P=5,P=6时的需求弹性。
解：(1)η(p)=-f’(p)pf(p)=-(-15)e-p5.pe-p5=p5；
(2)η(3)=35=0.6;η(5)=55=1;η(6)=65=1.2
η(3)=0.6<1，说明当P=3时，价格上涨1%，需求只减少0.6%，需求变动的幅度小于价格变动的幅度。
η(5)=1，说明当P=5时，价格上涨1%，需求也减少1%，价格与需求变动的幅度相同。
五．结论
从以上的例题解决的实际问题中，我们可以看到：微积分在我们现实生活中具有重要意义，利用好微积分能帮助我们得到问题的最优化解决。
我们应当好好学习微积分这一有用的数学工具，并把它用于实际当中。
六．致谢：感谢同学，老师的支持，网络资源的提供者，没有他们的帮助就没有这篇论文的诞生！
七．参考文献：网络资源
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