圆与圆的位置关系(初三复习)
圆与圆的位置关系
解法一： 把圆 C1 的方程化为标准方程，得 x 1 y 4 25 ,
2 2
圆 C1 的圆心是点 C1（-1，-4） ，半径长 r1=5 把圆 C2 的方程化为标准方程，得 x 2 y 2 10 ,
x
2
y 2 2 x 8 y 8 x2 y 2 4 x 4 y 2 0 ，
即 6x+12y-6=0. 至于公共弦长，下面可用垂径定理解决.
解：
由 x y 2x 8 y 8 x y 4x 4 y 2 0 ，
2 2 2 2
A
y
C2(2,2) M O
x
B
（III）分析：类比过两直线公 C (-1,-4) 共点的直线系方程的设法， 可得过两圆公共点的圆 P 的方程可设为：
1
x
2
y 2 x 8 y 8 x y 4 x 4 y 2 0 ，
2 2 2
再代入点 M（1,1）即可得圆 P 方程
解法二：圆 C1 与圆 C2 的方程联立，得到方程组
x2 y 2 2x 8 y 8 0 2 2 x y 4x 4 y 2 0
（1）-（2） ，化简得
1 2
x+2y-1=0 （3）
1 x 再整理得 y 2
把（3）代入（1） ，并整理得
y
C2(2,2)
A
O
M
x
B
C1(-1,-4)
一.复习回顾
下面我们先回顾一下初中的学习内容 圆与圆的位置关系有哪些？
外离
九年级数学《点、直线、圆和圆的位置关系》复习题 人教新课标版
《点、直线、圆和圆的位置关系》复习题一、填空题1．已知直线l 与⊙O 相切，若圆心O 到直线l 的距离是5，则⊙O 的半径是． 【答案】52．已知⊙O 的半径为3cm ，圆心O 到直线l 的距离是4cm ，则直线l 与⊙O 的位置关是． 【答案】相离3．P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，∠APB=50°，点C 为⊙O 上一点（不与A 、B ）重合，则∠ACB 的度数为。
【答案】︒︒11565或4．若两圆相切，圆心距是7，其中一圆的半径为10，则另一个圆的半径为__________． 【答案】3或175．如图，以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 是小圆的切线，C 为切点，若两圆的半径分别为3cm 和5cm ，则AB 的长为cm 。
【答案】86．如图，AB 切⊙O 于点A ，BO 交⊙O 于点C ，点D 是A Cm 异于点C 、A 的一点，若∠ABO=032,则∠ADC 的度数是.【答案】29°7．如图，⊙O 的直径为20cm ，弦cm AB 16=,AB OD ⊥，垂足为D 。
则AB 沿射线OD 方向平移cm时可与⊙O相切.【答案】48⨯的网格图（每个小正方形的边长均为1个单位长度）中，⊙A的半径为2个8．如图在6单位长度，⊙B的半径为1个单位长度，要使运动的⊙B与静止的⊙A内切，应将⊙B 由图示位置向左平移个单位长度．【答案】4或69．如图，小圆的圆心在原点，半径为3，大圆的心坐标为（a，0）半径为5．如果两圆内含，那么a的取值X围是______________.【答案】-2<a<2 在数轴上数形结合的分析即可，注意原点左、右侧.10．如图, 已知△ABC,6∠90C．O是AB的中点，=AC，︒=BC=⊙O与AC，BC分别相切于点D与点E．点F是⊙O与AB的一个交点，连DF并延长交CB的延长线于点G. 则CG=.【答案】332二、选择题11．若两圆的半径分别为2和3，圆心距为5，则两圆的位置关系为【答案】B12．已知两圆的半径分别是4和6，圆心距为7，则这两圆的位置关系是（）（A）相交（B）外切（C）外离（D）内含【答案】A13．如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为A．2 B．3 C．3 D．23【答案】D14．如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠B = 30°，BC = 4 cm，以点C为圆心，以2 cm 的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（）．A．相离B．相切C．相交D．相切或相交【答案】B15．如图，在AABC 中，AB=BC=2，以AB 为直径的⊙0与BC 相切于点B ，则AC 等于( ) A ．2 B ．3 c ．22 D ．23OCBA【答案】C16．如图，PA 、PB 是O 的切线，切点分别是A 、B ，如果∠P ＝60°, 那么∠AOB 等于（ ）A.60°B.90°C.120°D.150°【答案】 D17．在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心、3为半径的圆，一定（ ）x 轴相切，与yx 轴相切，与y 轴相 x 轴相交，与yx 轴相交，与y 轴相【答案】C18．已知⊙O 1与⊙O 2相切，⊙O 1的半径为3 cm ，⊙O 2的半径为2 cm ，则O 1O 2的长是（ ） A ．1 cm B ．5 cmC ．1 cm 或5 cmD ．或BC A【答案】C19．已知⊙O 1、⊙O 2的半径分别是12r =、24r =，若两圆相交，则圆心距O 1O 2可能取的值是（ ）．A 、2B 、4C 、6D 、8 【答案】B ．20．已知两圆的半径R 、r 分别为方程0652=+-x x 的两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系是A ．外离B ．内切C ．相交D ．外切 【答案】B21．如图，已知⊙O 是以数轴的原点O 为圆心，半径为1的圆，45AOB ∠=︒,点P 在数轴上运动，若过点P 且与OA 平行的直线与⊙O 有公共点, 设x OP =，则x 的取值X 围是A ．－1≤x ≤1B ．2-≤x ≤2C ．0≤x ≤2D ．x ＞2 【答案】C22．如图，两圆相交于A ，B 两点，小圆经过大圆的圆心O ，点C ，D 分别在两圆上，若100ADB ∠=︒，则ACB ∠的度数为A ．35︒B ．40︒C ．50︒D ．80︒【答案】B23．如图，直线l 1∥l 2，⊙O 与l 1和l 2分别相切于点A 和点B ．点M 和点N 分别是l 1和l 2上的动点，MN 沿l 1和l 2平移．⊙O 的半径为1，∠1＝60°．下列结论错误．．的是（ ）．（A）433 MN=（B）若MN与⊙O相切，则3AM=（C）若∠MON＝90°，则MN与⊙O相切（D）l1和l2的距离为2【答案】B24．如图，已知A、B两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C的圆心坐标为(－1，0)，半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是A．2 B．1 C．222- D．22-【答案】：C25．如图,点B是线段AC的中点,过点C的直线l与AC成60°的角,在直线l上取一点P,使∠APB=30°，则满足条件的点有几个 ( )PCBAl60°三、解答题 如图，以线段AB 为 三、解答题26．如图,AB 是半圆的直径,O 为圆心,AD 、BD 是半圆的弦，且PDA PBD ∠=∠.(1)判断直线PD 是否为O 的切线，并说明理由；(2)如果60BDE ∠=，3PD =，求PA 的长。
初三数学圆相关复习重点及试题(二)
初三数学圆相关知识点及试题七．切线长定理考点速览： 考点1切线长概念：经过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． 切线长和切线的区别切线是直线，不可度量；而切线长是切线上一条线段的长，而圆外一已知点到切点之间的距离，可以度量． 考点2 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．要注意：此定理包含两个结论，如图，PA 、PB 切⊙O 于A 、B 两点，①PA=PB ②PO 平分APB ∠． 考点3 两个结论：圆的外切四边形对边和相等；圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长． 经典例题：例1 已知PA 、PB 、DE 分别切⊙O 于A 、B 、C 三点，若PO=13㎝，PED ∆的周长为24㎝， 求：①⊙O 的半径；②若40APB ∠=︒，EOD ∠的度数．例2 如图，⊙O 分别切ABC ∆的三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，若,,BC a AC b AB c ===． （1）求AD 、BE 、CF 的长；（2）当90C ∠=︒，求内切圆半径r ．例3．如图，一圆内切四边形ABCD ，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为？例4 如图甲，直线343+-=x y 与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，点C ()n m ,是第二象限内任意一点，以点C 为圆心与圆与x 轴相切于点E ，与直线AB 相切于点F.（1）当四边形OBCE 是矩形时，求点C 的坐标；（2）如图乙，若⊙C 与y 轴相切于点D ，求⊙C 的半径r ； （3）求m 与n 之间的函数关系式；（4）在⊙C 的移动过程中，能否使OEF ∆是等边三角形（只回答“能”或“不能”）？· FDOAB· EFDCOAB考点速练1：1．如图，⊙O 是ABC ∆的内切圆，D 、E 、F 为切点，::4:3:2A B C ∠∠∠=，则DEF ∠= ． FEC ∠= ．2．直角三角形的两条直角边为5㎝、12㎝，则此直角三角形的外接圆半径为 ㎝，内切圆半径为 ㎝．3．如图，直线AB 、BC 、CD 分别与⊙O 相切于点E 、F 、G ，且AB ∥CD ，若OB=6㎝，OC=8㎝，则BOC ∠= ，⊙O 的半径= ㎝，BE+CG= ㎝．4．如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，AB 交OP 于点M ，若2,OM cm AB PB ==，则⊙O 的半径是 ㎝．·A O CDBEF· AO C D B E FG· AOPBM考点速练（2）1．如图，在Rt ABC ∆中，90,3,4C AC BC ∠=︒==，以BC 边上一点O 为圆心作⊙O 与AB 相切于E ，与AC 相切于C ，又⊙O 与BC 的另一个交点D ，则线段BD 的长 ． 2．如图，ABC ∆内接于⊙O ，AB 为⊙O 直径，过C 点的切线交直径AB 的延长线于P ，25BAC ∠=︒，则P ∠= ．4、（广西）PA 、PB 是⊙O 切线，A 、B 切点，∠APB ＝780，点C 是⊙O 上异于A 、B 任一点，那么∠ACB ＝＿＿＿＿＿。
圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系
【2020中考数学专项复习】：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系【考纲要求】1. 圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但不会有太复杂的大题出现；2.中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．【知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念及性质1．圆的有关概念圆、圆心、半径、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧；三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角．要点诠释：等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．2．圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性．3．圆的确定不在同一直线上的三个点确定一个圆．要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．4．垂直于弦的直径垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．要点诠释：在图中(1)直径CD ，(2)CD ⊥AB ，(3)AM ＝MB ，(4)C C A B =，(5)AD BD =．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三． 注意：(1)(3)作条件时，应限制AB 不能为直径．5．圆心角、弧、弦之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等． 6．圆周角圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论1 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中． 7.圆内接四边形（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．考点二、与圆有关的位置关系1．点和圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．要点诠释：圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．②过两点A、B的圆有无数个，如图所示．③经过在同一直线上的三点不能作圆．④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．2．直线和圆的位置关系（1）切线的判定切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(会过圆上一点画圆的切线)（2）切线的性质切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径．（3）切线长和切线长定理切线长经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．要点诠释：直线l是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过⊙O上的一点A；②OA⊥l．（4）三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.（5）三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).(3) 三角形的外心与内心的区别：(1)离相等，即外心不一定在三角形内部(1)(2)OABAC心在三角形内部3．圆和圆的位置关系(1)基本概念两圆相离、相切、外离、外切、相交、内切、内含的定义．(2)请看下表：要点诠释：①相切包括内切和外切，相离包括外离和内含．其中相切和相交是重点．②同心圆是内含的特殊情况．③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解．④“R-r”时，要特别注意，R＞r．考点三、与圆有关的规律探究1．和圆有关的最长线段和最短线段了解和圆有关的最长线段与最短线段，对有关圆的性质的了解极为重要，下面对有关问题进行简单论述． (1)圆中最长的弦是直径．如图①，AB是⊙O的直径，CD为非直径的弦，则AB＞CD，即直径AB是最长的弦．过圆内一点最短的弦，是与过该点的直径垂直的弦，如图②，P是⊙O内任意一点，过点P作⊙O的直径AB，过P作弦CD⊥AB于P，则CD是过点P的最短的弦．(2)圆外一点与圆上一点的连线中，最长的线段与最短的线段都在过圆心的直线上．如图所示，P 在⊙O 外，连接PO 交⊙O 于A ，延长PO 交⊙O 于B ，则在点P 与⊙O 上各点连接的线段中，PB 最长，PA 最短．(3)圆内一点与圆上一点的连线中，最长的线段与最短的线段也都在过圆心的直线上．如图所示，P 为⊙O 内一点，直径过点P ，交⊙O 于A 、B 两点，则PB 最长、PA 最短． 2．与三角形内心有关的角(1)如图所示，I 是△ABC 的内心，则∠BIC=90°+A ∠21．(2)如图所示，E 是△ABC 的两外角平分线的交点，A BEC ∠21-°90=∠．(3)如图所示，E 是△ABC 内角与外角的平分线的交点，∠E=A ∠21．(4) 如图所示，⊙O 是△ABC 的内切圆，D 、E 、F 分别为切点，则∠DOE ＝180°－∠A ．(5)如图所示，⊙O 是△ABC 的内切圆，D 、E 、F 为切点，A DFE ∠21-°90=∠．(5) 如图所示，⊙O 是△ABC 的内切圆，D 、E 、F 为切点，P 为DE 上一点，则A DPE ∠21+=°90=∠．【典型例题】类型一、圆的性质及垂径定理的应用1．已知：如图所示，⊙O 中，半径OA ＝4，弦BC 经过半径OA 的中点P ，∠OPC ＝60°，求弦BC 的长．【总结升华】圆的半径、弦长的一半、弦心距三条线段组成一个直角三角形，其中一个锐角为弦所对圆心角的一半，可充分利用它们的关系解决有关垂径定理的计算问题．2．如图所示，在⊙O 中，弦AB 与CD 相交于点M ，AD BC =，连接AC ． (1)求证：△MAC 是等腰三角形；(2)若AC 为⊙O 直径，求证：AC 2＝2AM ·AB ． 【总结升华】本题考查的是圆周角定理，涉及到全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理，涉及面较广，难度适中． 举一反三：【变式】如图所示，在⊙O 中，AB ＝2CD ，则( )A ．2AB CD > B ．2AB CD <C ．2AB CD = D ．AB 与2CD 的大小关系无法确定3．已知：如图所示，△ABC内接于⊙O，BD⊥半径AO于D．(1)求证：∠C＝∠ABD；(2)若BD＝4.8，sinC＝45，求⊙O的半径．【总结升华】解决圆周角的问题中常用的方法有两种：一是把圆周角转化为同弧所对圆心角的一半的角；二是将圆周角的顶点移动到使其一边经过圆心．类型二、圆的切线判定与性质的应用4．已知：如图所示，AB是⊙O的直径，∠BAC＝30°，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，且∠ECF＝∠E．(1)求证：CF是⊙O的切线；(2)设⊙O的半径为1，且AC＝CE，求MO的长．【总结升华】有关切线的判定，主要有两种类型，若题目已经给出了直线与圆有公共点，可采用“连半径证垂直”的方法(此题就如此)；若要判定的直线与已知圆的公共点没有给出，可采用“过圆心作垂线，证垂线段等于半径”的方法，简称“作垂直证半径”．举一反三：【变式】如图所示，△ABC中，AB＝C，BC＝a，CA＝b，面积为S．⊙O是△ABC的内切圆，求内切圆半径r．类型三、切线的性质与等腰三角形、勾股定理综合运用5．如图所示，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AB为直径，∠ABC＝30°，CD是⊙O的切线，ED⊥AB于F．(1)判断△DCE的形状；(2)设⊙O的半径为1，且21-3=OF，求证△DCE≌△OCB．【总结升华】本题考查了切线的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定、勾股定理、全等三角形的判定和性质．解题的关键是证明△AOC是正三角形．举一反三：【变式】如图所示，PQ＝3，以PQ为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P，正方形ABCD的顶点A、B在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD切于点Q，则AB＝________．6．如图所示，⊙O的直径AB＝4，点P是AB延长线上的一点，PC切⊙O于点C，连接AC．PM平分∠APC交AC于M．(1)若∠CPA＝30°，求CP的长及∠CMP的度数；(2)若点P在AB的延长线上运动，你认为∠CMP的大小是否发生变化？若变化，说明理由；若不变化，请求出∠CMP的度数；(3)若点P在直径BA的延长线上，PC切⊙O于点C，则∠CMP的大小是否变化？【总结升华】解第(2)小题时，引用“设∠CPA＝α”这一方法，用代数方法计算得出结论，降低了解题的难度．举一反三：【变式】如图所示，AB是⊙O的直径，C是EA的中点，CD⊥AB于D，CD与AE相交于F．(1)求证：AC2＝AF·AE；(2)求证：AF＝CF．中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系—巩固练习（提高）【巩固练习】 一、选择题1. 已知两圆的直径分别是2厘米与4厘米，圆心距是3厘米，则这两个圆的位置关系是 （ ）A.相交B.外切C.外离D.内含2．如图，AB 为⊙ O 的直径，CD 为弦，AB⊥CD ，如果∠BOC=70°，那么∠A 的度数为 （ ）A. 70°B.35°C. 30°D. 20°3．已知AB 是⊙O 的直径，点P 是AB 延长线上的一个动点，过P 作⊙O 的切线，切点为C ，∠APC 的平分线交AC 于点D ，则∠CDP 等于 （ ）A.30°B.60°C.45°D.50°第2题 第3题 第4题 第5题4．如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点,则线段OM 长的最小值为（ ）A. 5B. 4C. 3D. 25．如图所示，四边形ABCD 中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2．则BD 的长为 （ ）A.B.C.D.6. 如图，O为原点，点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4），⊙D过A、B、O三点，点C为上一点（不与O、A两点重合），则cosC的值为（）A． B． C．D．二、填空题7．已知⊙O的半径为1，圆心O到直线l的距离为2，过l上任一点A作⊙O的切线，切点为B，则线段AB长度的最小值为 .8．如图，AD，AC分别是⊙O的直径和弦．且∠CAD=30°．OB⊥AD，交AC于点B．若OB=5，则BC的长等于 .9．如图所示，已知⊙O中，直径MN＝10，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM、OP以及⊙O上，并且∠POM＝45°，则AB的长为________．第8题第9题第10 题10．如图所示，在边长为3 cm的正方形中，与相外切，且分别与边相切，分别与边相切，则圆心距= cm．11．如图所示，是的两条切线，是切点，是上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°那么∠A的度数是 .12．在圆的内接等腰三角形ABC（三角形ABC三个顶点均在圆周上）中，圆心到底边BC的距离为3cm，圆的半径为7cm，则腰AB的长为 .AB34354345ABCD1O2O1O,DA DC 2O,BA BC12O O,EB EC O,B C,A D O三、解答题13．如图所示，AC 为⊙O 的直径且PA⊥AC，BC 是⊙O 的一条弦，直线PB 交直线AC 于点D ，32==DO DC DP DB ． （1）求证：直线PB 是⊙O 的切线；（2）求cos∠BCA 的值．14．如图所示，点A 、B 在直线MN 上，AB ＝11厘米，⊙A 、⊙B 的半径均为1厘米．⊙A 以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B 的半径也不断增大，其半径r(厘米)与时间t(秒)之间的关系式为r ＝1+t(t ≥0)．(1)试写出点A 、B 之间的距离d(厘米)与时间t(秒)之间的函数关系式；(2)问点A 出发后多少秒两圆相切?15. 如图所示，半径为2.5的⊙O 中，直径AB 的不同侧有定点C 和动点P ．已知BC:CA ＝4:3，点P 在AB 上运动，过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点Q ．(1)当点P 运动到与点C 关于AB 对称时，求CQ 的长；(2)当点P 运动到AB 的中点时，求CQ 的长；(3)当点P 运动到什么位置时，CQ 取到最大值，并求此时CQ 的长．16. 如图1至图4中，两平行线AB 、CD 间的距离均为6，点M 为AB 上一定点．思考如图1，圆心为0的半圆形纸片在AB ，CD 之间（包括AB ，CD ），其直径MN 在AB 上，MN=8，点P 为半圆上一点，设∠MOP=α．当α= 度时，点P 到CD 的距离最小，最小值为 ．探究一在图1的基础上，以点M 为旋转中心，在AB ，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图2，得到最大旋转角∠BMO= 度，此时点N 到CD 的距离是 ．探究二将如图1中的扇形纸片NOP 按下面对α的要求剪掉，使扇形纸片MOP 绕点M 在AB ，CD 之间顺时针旋转．（1）如图3，当α=60°时，求在旋转过程中，点P 到CD 的最小距离，并请指出旋转角∠BMO 的最大值；（2）如图4，在扇形纸片MOP 旋转过程中，要保证点P 能落在直线CD 上，请确定α的取值范围． （参考数椐：sin49°=，cos41°=，tan37°=．）343434。
九年级数学专题复习圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系
总复习圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系【考纲要求】1. 圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现；2.中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．【知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念及性质 1．圆的有关概念圆、圆心、半径、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧；三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角． 要点进阶：等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 2．圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴； 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形； 圆具有旋转不变性． 3．圆的确定不在同一直线上的三个点确定一个圆．要点进阶：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小． 4．垂直于弦的直径垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．要点进阶：在图中(1)直径CD ，(2)CD ⊥AB ，(3)AM ＝MB ，(4)C C A B =，(5)AD BD =．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三．注意：(1)(3)作条件时，应限制AB不能为直径．5．圆心角、弧、弦之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等．6．圆周角圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论1 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．要点进阶：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中．7.圆内接四边形（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．考点二、与圆有关的位置关系1．点和圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．要点进阶：圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．②过两点A、B的圆有无数个，如图所示．③经过在同一直线上的三点不能作圆．④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．2．直线和圆的位置关系（1）切线的判定切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(会过圆上一点画圆的切线)（2）切线的性质切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径．（3）切线长和切线长定理切线长经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．要点进阶：直线l是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过⊙O上的一点A；②OA⊥l．（4）三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.（5）三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等.要点进阶：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).(3) 三角形的外心与内心的区别：名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点(1)到三角形三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部.3．圆和圆的位置关系(1)基本概念两圆相离、相切、外离、外切、相交、内切、内含的定义．(2)请看下表：要点进阶：①相切包括内切和外切，相离包括外离和内含．其中相切和相交是重点．②同心圆是内含的特殊情况．③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解．④“R-r”时，要特别注意，R＞r．考点三、与圆有关的规律探究1．和圆有关的最长线段和最短线段了解和圆有关的最长线段与最短线段，对有关圆的性质的了解极为重要，下面对有关问题进行简单论述．(1)圆中最长的弦是直径．如图①，AB是⊙O的直径，CD为非直径的弦，则AB＞CD，即直径AB是最长的弦．过圆内一点最短的弦，是与过该点的直径垂直的弦，如图②，P是⊙O内任意一点，过点P作⊙O的直径AB，过P作弦CD⊥AB于P，则CD是过点P的最短的弦．(2)圆外一点与圆上一点的连线中，最长的线段与最短的线段都在过圆心的直线上．如图所示，P在⊙O外，连接PO交⊙O于A，延长PO交⊙O于B，则在点P与⊙O上各点连接的线段中，PB最长，PA最短．(3)圆内一点与圆上一点的连线中，最长的线段与最短的线段也都在过圆心的直线上．如图所示，P为⊙O内一点，直径过点P，交⊙O于A、B两点，则PB最长、PA最短．2．与三角形内心有关的角(1)如图所示，I是△ABC的内心，则∠BIC1902A =+∠°．(2)如图所示，E是△ABC的两外角平分线的交点，1902BEC A ∠=-∠°．(3)如图所示，E是△ABC内角与外角的平分线的交点，12E A ∠=∠．(4)如图所示，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F分别为切点，则∠DOE＝180°－∠A．(5)如图所示，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F为切点，1902DFE A ∠=-∠°．(6)如图所示，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F为切点，P为DE上一点，则1902 DPE A ∠=+∠°．【典型例题】类型一、圆的性质及垂径定理的应用例1．已知：如图所示，⊙O中，半径OA＝4，弦BC经过半径OA的中点P，∠OPC＝60°，求弦BC的长．例2．如图所示，在⊙O 中，弦AB 与CD 相交于点M ，AD BC =，连接AC ． (1)求证：△MAC 是等腰三角形；(2)若AC 为⊙O 直径，求证：AC 2＝2AM ·AB ．举一反三：【变式】如图所示，在⊙O 中，AB ＝2CD ，则( )A ．2AB CD > B ．2AB CD <C ．2AB CD = D ．AB 与2CD 的大小关系无法确定例3．已知：如图所示，△ABC 内接于⊙O ，BD ⊥半径AO 于D ．(1)求证：∠C ＝∠ABD ；(2)若BD ＝4.8，sinC ＝45，求⊙O 的半径．类型二、圆的切线判定与性质的应用例4．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB 的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）求证：△PCF是等腰三角形；（3）若AC=8，BC=6，求线段BE的长．举一反三：【变式】如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC=FC．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知圆的半径R=5，EF=3，求DF的长．类型三、切线的性质与等腰三角形、勾股定理综合运用例5．如图所示，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AB为直径，∠ABC＝30°，CD是⊙O的切线，ED⊥AB于F．(1)判断△DCE的形状；(2)设⊙O的半径为1，且312OF-=，求证△DCE≌△OCB．举一反三：【变式】如图所示，PQ＝3，以PQ为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P，正方形ABCD的顶点A、B在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD切于点Q，则AB＝________．例6．如图所示，⊙O的直径AB＝4，点P是AB延长线上的一点，PC切⊙O于点C，连接AC．PM平分∠APC交AC于M．(1)若∠CPA＝30°，求CP的长及∠CMP的度数；(2)若点P在AB的延长线上运动，你认为∠CMP的大小是否发生变化？若变化，说明理由；若不变化，请求出∠CMP的度数；(3)若点P在直径BA的延长线上，PC切⊙O于点C，那么∠CMP的大小是否变化？请直接写出你的结论．举一反三：A的中点，CD⊥AB于D，CD与AE相交于F．【变式】如图所示，AB是⊙O的直径，C是E(1)求证：AC2＝AF·AE；(2)求证：AF＝CF．【巩固练习】一、选择题1. 在△ABC中，，∠C=45°，AB=8，以点B为圆心4为半径的⊙B与以点C为圆心的⊙C相离，则⊙C的半径不可能为（）A．5 B．6 C．7 D．152．如图，AB为⊙ O 的直径，CD 为弦，AB⊥CD，如果∠BOC=70°，那么∠A的度数为（）A. 70°B.35°C. 30°D. 20°3．已知AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一个动点，过P作⊙O的切线，切点为C，∠APC的平分线交AC于点D，则∠CDP等于（）A.30°B.60°C.45°D.50°第2题第3题第4题第5题4．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB 上的动点,则线段OM长的最小值为（）A. 5B. 4C. 3D. 25．如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2．则BD的长为（）A. 14B. 15C. 32D. 236. 如图，O 为原点，点A 的坐标为（3，0），点B 的坐标为（0，4），⊙D 过A 、B 、O 三点，点C 为0AB 上一点（不与O 、A 两点重合），则cosC 的值为（ ）A ．34B ．35 C ．43D ．45二、填空题7．已知⊙O 的半径为1，圆心O 到直线l 的距离为2，过l 上任一点A 作⊙O 的切线，切点为B ，则线段AB 长度的最小值为 .8．如图，AD ，AC 分别是⊙O 的直径和弦．且∠CAD=30°．O B⊥AD，交AC 于点B ．若OB=5，则BC 的长等于 .9．如图所示，已知⊙O 中，直径MN ＝10，正方形ABCD 的四个顶点分别在半径OM 、OP 以及⊙O 上，并且∠POM ＝45°，则AB 的长为________．第8题 第9题 第10 题10．如图所示，在边长为3 cm 的正方形ABCD 中，1O 与2O 相外切，且1O 分别与,DA DC 边相切，2O 分别与,BA BC 边相切，则圆心距12O O = cm ．11．如图所示，,EB EC 是O 的两条切线，,B C 是切点，,A D 是O 上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°那么∠A 的度数是 .12．如图，在⊙O 中，AB 是直径，点D 是⊙O 上一点，点C 是的中点，CE⊥AB 于点E ，过点D 的切线交EC 的延长线于点G ，连接AD ，分别交CE 、CB 于点P 、Q ，连接AC ，关于下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P 是∠ACQ 的外心，其中正确结论是 （只需填写序号）．三、解答题13．如图所示，AC 为⊙O 的直径且PA⊥AC，BC 是⊙O 的一条弦，直线PB 交直线AC 于点D ，DB DC 2DP DO 3==．（1）求证：直线PB 是⊙O 的切线； （2）求cos∠BCA 的值．14．如图所示，点A、B在直线MN上，AB＝11厘米，⊙A、⊙B的半径均为1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r(厘米)与时间t(秒)之间的关系式为r ＝1+t(t≥0)．(1)试写出点A、B之间的距离d(厘米)与时间t(秒)之间的函数关系式；(2)问点A出发后多少秒两圆相切?15.已知⊙O的直径AB=10，弦BC=6，点D在⊙O上（与点C在AB两侧），过D作⊙O的切线PD．（1）如图①，PD与AB的延长线交于点P，连接PC，若PC与⊙O相切，求弦AD的长；（2）如图②，若PD∥AB，①求证：CD平分∠ACB；②求弦AD的长．16. 如图1至图4中，两平行线AB、CD间的距离均为6，点M为AB上一定点．思考如图1，圆心为0的半圆形纸片在AB，CD之间（包括AB，CD），其直径MN在AB上，MN=8，点P 为半圆上一点，设∠MOP=α．当α=度时，点P到CD的距离最小，最小值为．探究一在图1的基础上，以点M为旋转中心，在AB，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图2，得到最大旋转角∠BMO=度，此时点N到CD的距离是．探究二将如图1中的扇形纸片NOP按下面对α的要求剪掉，使扇形纸片MOP绕点M在AB，CD之间顺时针旋转．（1）如图3，当α=60°时，求在旋转过程中，点P到CD的最小距离，并请指出旋转角∠BMO的最大值；（2）如图4，在扇形纸片MOP旋转过程中，要保证点P能落在直线CD上，请确定α的取值范围．（参考数椐：sin49°=34，cos41°=34，tan37°=34．）。
九年级数学 圆与圆的位置关系知识精讲 人教实验版五四制
【本讲教育信息】一. 教学内容：圆与圆的位置关系二. 重点、难点重点：圆与圆的五种位置关系难点：根据圆心距和两圆的半径的和、差之间的关系判定两圆的位置关系三. 具体内容1. 圆与圆的五种位置关系如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，其中包括外离（如图1）和内含（如图2、3）两种情况。
如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，其中包括外切（如图4）和内切（如图5）两种情况。
如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交（如图6）（图1） （图2） （图3）（图4） （图5） （图6）2. 两圆位置关系的判定及性质设两圆的半径分别为r 1和r 2（r 1<r 2），圆心距为d ，则① 外离21r r d +>⇔ ② 外切21r r d +=⇔ ③ 相交2112r r d r r +<<-⇔ ④ 内切12r r d -=⇔ ⑤ 内含120r r d -<≤⇔【典型例题】[例1] 填空1. 两个圆的半径分别为7cm 和Rcm ，圆心距为10cm ，若这两个圆相切，则R 的值是 。
2. 两圆半径之比为2:3，若两圆内切时，圆心距为3cm ，则两圆外切时圆心距是 。
3. 两圆半径分别为R 、r （R>r ），其圆心距为d ，且Rd r d R 2222=-+，则两圆的位置关系为 。
4. 当两圆外切时，圆心距为7cm ，内切时圆心距是3cm ，则两圆半径分别为 。
解：1. 由已知107=+R 或107=-R ∴ R=3 或 R=172. 设两圆半径为x 2、x 3 由已知323=-x x ∴ 3=x∴ 两圆半径分别为6cm 和9cm ∴ 外切时圆心距为cm 1596=+3. 由已知 Rd r d R 2222=-+ ∴ 2222r d Rd R =+- ∴ 22)(r d R =- ∴ r d R =-或r d R -=- ∴ r R d -=或r R d +=∴ 两圆外切或内切4. 设两圆半径分别为R 、r （R>r ）则⎩⎨⎧=-=+37r R r R ∴ ⎩⎨⎧==25r R[例2] 三角形三边的长分别为5cm 、12cm 、13cm ，以三角形的三个顶点为圆心的三个圆两两外切，求这三个圆的半径。
圆的总复习-圆、与圆有关的位置关系复习
点在圆内
如果一个点位于圆的内部， 则该点称为圆内的点。
点在圆外
如果一个点位于圆的外部， 则该点称为圆外的点。
圆与直线的位置关系
相交
如果一条直线与圆有两个不同的 交点，则该直线称为圆的相交线。
相切
如果一条直线与圆只有一个交点， 则该直线称为圆的切线。
平行
如果一条直线与圆没有交点，则该 直线称为圆的平行线。
圆的面积与周长
圆的面积公式
A = πr^2，其中A表示面积，r表示半径。
圆的周长公式
C = 2πr，其中C表示周长，r表示半径。
圆的面积与周长的关系
周长是半径的函数，随着半径的增加而增加；面积是半径的二次函 数，随着半径的增加而快速增加。
02
与圆有关的位置关系
圆与点的位置关系
点在圆上
如果一个点位于圆的边界 上，则该点称为圆上的点。
圆的总复习-圆、与圆有 关的位置关系复习
• 圆的基本性质 • 与圆有关的位置关系 • 圆的定理与性质 • 圆的综合应用
01
圆的基本性质
圆的定义与基本性质
圆的定义
圆的度量
平面上所有与给定点（圆心）的距离 等于给定长度（半径）的点组成的图 形。
圆的周长和面积都是无限大，但常用 的度量单位是弧度。
圆的基本性质
圆与圆的位置关系
外离
如果两个圆没有交点并 且不相切，则它们是外
离的。
内含
如果一个圆完全位于另 一个圆的内部，则称该
圆为内含的。
相交
如果两个圆有两个公共 的交点，则它们是相交
的。
相切
如果两个圆有一个公共 的交点，则它们是相切
的。
03
圆的定理与性质
初中数学知识点精讲精析 圆和圆的位置关系
3·6圆和圆的位置关系1.圆与圆的五种位置关系：(1)外离：两个圆没有公共点，并且每一个圆上的点都在另一个圆的外部；(2)外切：两个圆有唯一公共点，除公共点外一个圆上的点都在另一个圆的外部；(3)相交：两个圆有两个公共点，一个圆上的点有的在另一个圆的外部，有的在另一个圆的内部；(4)内切：两个圆有一个公共点，除公共点外，⊙O2上的点在⊙O1的内部；(5)内含：两个圆没有公共点，⊙O2上的点都在⊙O1的内部．外离和内含都没有公共点；外切和内切都有一个公共点，相交有两个公共点．因此只从公共点的个数来考虑，可分为相离、相切、相交三种．(2)相交2.两圆相内切或外切时，两圆的连心线一定经过切点，都是轴对称图形，对称轴是它们的连心线．3.在图(1)中，两圆相外切，切点是A．因为切点A在连心线O1O2上，所以O1O2＝O1A+O2A ＝R+r，即d=R+r：反之，当d＝R+r时，说明圆心距等于两圆半径之和，O1、A、O2在一条直线上，所以⊙O1与⊙O2只有一个交点A，即⊙O1与⊙O2外切．在图(2)中，⊙O1与⊙O2相内切，切点是B.因为切点B在连心线O1O2，所以O1O2＝O1B-O2B，即d＝R-r：反之，当d＝R-r时，圆心距等于两半径之差，即O1O2=O1B-O2B，说明O1、O2、B在一条直线上，B既在⊙O1上，又在⊙O2上，所以⊙O1与⊙O2内切．当两圆相外切时，有d=R+r，反过来，当d=R+r时，两圆相外切，即两圆相外切 d＝R+r当两圆相内切时，有d=R-r，反过来，当d＝R-r时，两圆相内切，即两圆相内切d ＝R-r．设两圆半径分别为R和r，圆心矩为d，那么(1)两圆外离d＞R+r(2)两圆外切d=R+r(3)两圆相交R-r＜d＜R=r(R≥r)(4)两圆内切d=R-r(R＞r)(5)两圆内含d＜R-r(R＞r)同心圆d=04.定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦．1.两个同样大小的肥皂泡黏(点O，O′是圆心)，分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求∠TPN的大小．分析：因为两个圆大小相同，所以半径OP=O′P＝OO′，又TP、NP分别为两圆的切线，所以PT⊥OP，PN⊥O′P，即∠OPT＝∠O′PN=90°，所以∠TPN等于360°减去∠OPT+∠O′PN+∠OPO°即可．【解析】∵OP ＝OO′＝PO′，∴△PO′O是一个等边三角形．∴∠OPO′=60°．又∵TP与NP分别为两圆的切线，∴∠TPO=∠NPO′=90°．∴∠TPN=360°-2× 90°-60°=120°．2．如图⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外一点，OP=8cm．求：(1)以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆⊙P的半径是多少？(2)以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P的半径是多少？【解析】(1)设⊙O与⊙P外切于点A．∴ PA=OP-OA=8-5，∴ PA=3cm．(2)设⊙O与⊙p内切于点B．∴ PB=OP+OB=8+5，∴ PB=13cm．（3)如图7-101，⊙O2与以O1为圆心的同心圆相交于A、B、C、D．3．求证：四边形ABCD是等腰梯形．分析：欲证明四边形ABCD是等腰梯形，只需证明AB∥CD，AD=BC且AB≠CD即可．【解析】证明：连结O1O2，∵⊙O2与以O1为圆心的圆相交于A、B、C、D，∴ AB⊥O1O2，DC⊥O1O2．∴ AB∥CD．在⊙O2中，∵AB∥CD，又∵ AB≠CD，∴四边形ABCD是等腰梯形．4.已知：如图7-102，A是⊙O1、⊙O2的一个交点，点P是O1O2的中点．如果过A的直线MN垂直于PA，交⊙O1于M，交⊙O2于N．那么AM与AN有什么关系呢？是O1O2中点，由平行线等分线段定理可得AC=AD，而得结论．【解析】证明：过点O1、O2分别作O1C⊥MN，O2D⊥MN，垂足为C、D，又∵ PA⊥MN，∴ PA∥O1C∥O2D，∵O1P=O2P，∴ AC=AD．∴ AM=AN．。
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考点聚焦
归类探究
回归教材
中考预测
解
(3)方案二装运钢管最多． 即： 按题图③的方式排 放钢管，放置根数最多．根据题意，第一层排放 31 根，第二层排放 30 根，…，设钢管的放置层数为 n， 3 可得 (n－1)× 0.1＋0.1≤3.1，解得 n≤35.7. 2 ∵ n 为正整数， ∴n＝35. ∴ 钢 管 放 置 的 最 多 根 数 为 31× ＋ 30× ＝ 18 17 1068(根)．
回归教材
中考预测
在判断圆和圆的位置关系的时候，可以根据两圆的 公共点的个数确定，也可以结合圆心距和半径的关系 来判定．
考点聚焦
归类探究
回归教材
中考预测
探究二
和相交两圆有关的计算
命题角度： 和勾股定理有关的计算． 例2 [2013²娄底] 如图30－2，⊙O1，⊙O2相交于A， B两点，两圆的半径分别为6 cm和8 cm，两圆的连心线 O1O2的长为10 cm，则弦AB的长为( ) B
考点聚焦 归类探究 回归教材 中考预测
解
析
应分两个圆相内切和相外切两种情况进行讨论，
求得P到O的距离，即可得到a的值．当两个圆外切时，
圆心距d＝1＋2＝3，即P到O的距离是3，则a＝±3.
当两圆相内切时，圆心距d＝2－1＝1，即P到O的距离 是1，则a＝±1.故a＝±1或±3. 故选D.
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解
析
设O1C＝x，则O2C＝10－x，
∴62－x2＝82－(10－x)2，
解得x＝3.6，
∴AC2＝62－x2＝36－3.62＝23.04， ∴AC＝4.8 cm， ∴弦AB的长为9.6 cm. 故选B.
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探究三
和相切两圆有关的计算
A．4.8 cm
C．5.6 cm
B．9.6 cm
D．9.4 cm
图30－2
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解 析 如图，连接 AO1，AO2，设 AB 与 O1O2 交于点 C.
∵⊙O1， 2 相交于 A， 两点， ⊙O B 两圆半径分别为 6 cm 和 8 cm，两圆的连心线 O1O2 的长为 10 cm， ∴O1O2⊥AB， 1 ∴AC＝ AB. 2
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解
(1)∵⊙O1 ，⊙O2 ，⊙O3 两两外切， ∴O1 O2 ＝O2 O3 ＝O1 O3 ＝a. 又∵O2 A＝ O3 A， ∴O1 A⊥O2 O3 ， 1 2 3 2 ∴O1 A＝ a － a ＝ a. 4 2 3 (2)hn＝na，h′n＝ (n－1)a＋a. 2
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中 考 预 测
已知图30－5中各圆两两相切，⊙O的半径为2R，⊙O1、 ⊙O2的半径为R，求⊙O3的半径r.
图30－5
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解
连接 O2O3、OO3， 则∠O2OO3＝90° ，OO3＝2R－r，O2O3＝R＋r， OO2＝R. ∴(R＋r)2＝(2R－r)2＋R2. 2 ∴r＝ R. 3
圆与圆的位置关系
考 点 聚 焦
考点1 圆和圆的位置关系 d>R＋r 外离⇔________
设⊙O1，⊙O2的半径 分别为R，r(R>r)，圆 心之间的距离为d，那 么⊙O1和⊙O2
d＝R＋r 外切⇔________ R－r<d<R＋r 相交⇔________ d＝R－r 内切⇔________ 两圆内含⇔________ d<R－r
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考点3
相切两圆的性质
如果两圆相切，那么两圆的连心线 切点 经过________ 相切两 圆的性 质
两圆相切时的图形是轴对称图形， 通过两圆圆心的连线(连心线)是它 的对称轴
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探究一 圆和圆的位置关系的判别
命题角度： 1. 根据两圆的公共点的个数确定； 2. 根据两圆的圆心距与半径的数量关系确定． 例1 [2012· 南充] 如图30－1，平面直角坐标系中，⊙O半径长 为1，点P(a，0)，⊙P的半径长为2，把⊙P向左平移，当⊙P 与⊙O相切时，a的值为( D ) A．3 B．1 C．1，3 D．±1，±3 图30－1
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考点2
相交两圆的性质 (1)相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 (2)两圆相交时的图形是轴对称图形
性质
点拨
解有关两圆相交问题时，常常要作出连心线， 公共弦，或者连接交点与圆心，从而把两圆的 半径，公共弦长的一半，圆心距等集中在同一 个三角形中，利用三角形的知识加以解决
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①
图 30－3 (3)应用：现有长方体集装箱，其内空长为 5 米，宽为 3.1 米，高为 3.1 米．用这样的集装箱装运长为 5 米，底面直径(横 截面的外圆直径)为 0.1 米的圆柱形钢管， 你认为采用(2)中的哪 种方案在该集装箱中装运钢管数最多？并求出一个这样的集 装箱最多能装运多少根钢管．( 3≈1.73)
题角度： 两圆相切的简单命应用． 例3 (1)计算：如图30－3①，直径为a的三等圆⊙O1 ， ⊙O2 ，⊙O3 两两外切，切点分别为A，B，C ，求O1 A的 长(用含a的代数式表示)； (2)探索：若干个直径为a的圆圈分别按如图30－3②所示的方 案一和如图30－3③所示的方案二的方式排放，探索并求出这 两种方案中n层圆圈的高度hn和h′n(用含n，a的代数式表示)；
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等圆中的角度问题
北师大版九下P133例题 两个同样大小的肥皂泡粘在一起，其剖面如图30－4所示(点O， O′是圆心)，分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP，NP分 别为两圆的切线，求∠TPN的大小．
图30－4
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解：∵PO＝OO′＝PO′， ∴△PO′O是一个等边三角形． ∴∠OPO′＝60°. 又∵TP与NP分别为两圆的切线， ∴∠TPO＝90°，∠NPO′＝90°. ∴∠TPN＝360°－2³90°－60°＝120°.