高考理科数学专题：直线与圆、圆与圆的位置关系(含答案和解析)

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高考数学直线、圆、直线与圆的位置关系题目及答案

直线、圆、直线与圆的位置关系题目及答案1.等腰三角形两腰所在直线的方程分别为20x y +-=与x -7y -4=0, 原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（）.A ．3B ．2C ．13-D ．12-答案 A解析 1,02:11-==-+k y x l ，71,047:22==--k y x l ，设底边为kx y l =:3 由题意，3l 到1l 所成的角等于2l 到3l 所成的角于是有371711112211+-=-+⇒+-=+-k k k k k k k k k k k再将A 、B 、C 、D 代入验证得正确答案是A 。

2．（广东省中山市2013届高三上学期期末统一考试数学（理）试题）直线2(1)10x a y +++=的倾斜角的取值范围是（） A ．[0,]4πB ．3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．[0,](,)42πππU D ．3,,424ππππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭U 【答案】B3.（2016安徽文）（4）过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（A ）x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 （D ）x+2y-1=0 【答案】A【解析】设直线方程为20x y c -+=，又经过(1,0)，故1c =-，所求方程为210x y --=. 【方法技巧】因为所求直线与与直线x-2y-2=0平行，所以设平行直线系方程为20x y c -+=，代入此直线所过的点的坐标，得参数值，进而得直线方程.也可以用验证法，判断四个选项中方程哪一个过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行.4．（2016届北京市延庆县一模数学理）已知直线01)1(:1=+++y a ax l ，02:2=++ay x l ，则“2-=a ”是“21l l ⊥” （）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A5.（2015年全国Ⅱ文3）原点到直线052=-+y x 的距离为（）A ．1B ．3C ．2D ．5答案 D 解析 52152=+-=d 。

直线与圆、圆与圆的位置关系高考数学真题详细解析高考数学真题复习

9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1．已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为( )．A．4 B．3 C．2 D．1解析法一(直接法)集合A表示圆，集合B表示一条直线，又圆心(0,0)到直线x＋y＝1的距离d＝12＝22＜1＝r，所以直线与圆相交，故选C.法二(数形结合法)画图可得，故选C.答案 C【点评】本题法二采用数形结合法求解与法一比较显得更容易、更直观. 2．过圆x2＋y2＝1上一点作圆的切线与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，则|AB|的最小值为( )A. 2B. 3C．2 D．3解析设圆上的点为(x0，y0)，其中x0>0，y0>0，则切线方程为x0x＋y0y＝1.分别令x＝0，y＝0得A(1x，0)，B(0，1y)，∴|AB|＝1x2＋1y2＝1xy≥1x2＋y202＝2.答案 C3．若直线2x－y＋a＝0与圆(x－1)2＋y2＝1有公共点，则实数a的取值范围( )．A ．－2－5＜a ＜－2＋ 5B ．－2－5≤a ≤－2＋ 5C ．－5≤a ≤ 5D ．－5＜a ＜ 5解析若直线与圆有公共点，即直线与圆相交或相切，故有|a ＋2|5≤1，解得－2－5≤a ≤－2＋ 5. 答案 B4．设两圆C 1、C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C 1C 2|＝( )．A ．4B ．4 2C ．8D ．8 2解析设与两坐标轴都相切的圆的方程为(x －a )2＋(y －a )2＝a 2，将点(4,1)代入得a 2－10a ＋17＝0，解得a ＝5±22，设C 1(5－22，5－22)，则C 2(5＋22，5＋22)，则|C 1C 2|＝32＋32＝8. 答案 C5．直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M 、N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )． A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33C.[]－3，3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，0 解析如图，若|MN |＝23，则由圆与直线的位置关系可知圆心到直线的距离满足d 2＝22－(3)2＝1.∵ 直线方程为y ＝kx ＋3，∴d ＝|k ·2－3＋3|1＋k 2＝1，解得k ＝±33.若|MN |≥23，则－33≤k ≤33. 答案 B6．若圆(x －a )2＋(y －b )2＝b 2＋1始终平分圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的周长，则a ，b 满足的关系是( ) A ．a 2＋2a ＋2b －3＝0 B ．a 2＋b 2＋2a ＋2b ＋5＝0 C ．a 2＋2a ＋2b ＋5＝0 D ．a 2－2a －2b ＋5＝0解析即两圆的公共弦必过(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的圆心，两圆相减得相交弦的方程为－2(a ＋1)x －2(b ＋1)y ＋a 2＋1＝0，将圆心坐标(－1，－1)代入可得a 2＋2a ＋2b ＋5＝0. 答案 C7.直线3y kx =+与圆22(2)(3)4x y -+-=相交于,M N 两点，若MN ≥则k 的取值范围是（）A ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．⎡⎣D ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦答案 B 二、填空题8．已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为________．解析由题可知，设圆心的坐标为(a,0)，a>0，则圆C的半径为|a－1|，圆心到直线l的距离为|a－1|2，根据勾股定理可得，(|a－1|2)2＋(2)2＝|a－1|2，解得a＝3或a＝－1(舍去)，所以圆C的圆心坐标为(3,0)，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为x＋y－3＝0.答案x＋y－3＝09．过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为2，则直线l的斜率为________．解析将圆的方程化成标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，其圆心为(1,1)，半径r＝1.由弦长为2得弦心距为22.设直线方程为y＋2＝k(x＋1)，即kx－y＋k－2＝0，∴|2k－3|k2＋1＝22，化简得7k2－24k＋17＝0，∴k＝1或k＝177.答案1或17 710．已知直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝2交于不同的两点A、B，O是坐标原点，|OA→＋OB→|≥|AB→|，那么实数m的取值范围是________．解析方法1：将直线方程代入圆的方程得2x2＋2mx＋m2－2＝0，Δ＝4m2－8(m2－2)>0得m2<4，即－2<m<2.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－m，x1x2＝m2－2 2，|OA→＋OB→|≥|AB→|即|OA→＋OB→|≥|OB→－OA→|，平方得OA→·OB→≥0，即x1x2＋y1y2≥0，即x1x2＋(m＋x1)(m＋x2)≥0，即2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2≥0，即2×m2－22＋m(－m)＋m 2≥0，即m 2≥2，即m ≥2或m ≤－ 2.综合知－2<m ≤－2或2≤m <2. 方法2：根据向量加减法的几何意义|OA →＋OB →|≥|AB →|等价于向量OA →，OB →的夹角为锐角或者直角，由于点A ，B 是直线x ＋y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝2的交点，故只要圆心到直线的距离大于或者等于1即可，也即m 满足1≤|m |2<2，即－2<m ≤－2或者2≤m <2.答案 (－2，－2]∪[2，2)11．从原点向圆x 2＋y 2－12y ＋27＝0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为________．解析 (数形结合法)如图，圆x 2＋y 2－12y ＋27＝0 可化为x 2＋(y －6)2＝9，圆心坐标为(0,6)，半径为3. 在Rt △OBC 中可得：∠OCB ＝π3，∴∠ACB ＝2π3， ∴所求劣弧长为2π. 答案 2 π【点评】数形结合法是把题中的“数”与“形”有效结合，相辅相助，解题方便、直观，在圆的有关问题中较为常见.12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．解析画图可知，圆上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，该圆半径为2即圆心O (0,0)到直线12x －5y ＋c ＝0的距离d ＜1，即0＜|c |13＜1，∴－13＜c ＜13.答案 (－13,13) 三、解答题13．已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且AB ＝22时，求直线l 的方程．解析将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2.解得a ＝－34.(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧|CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝ 2.解得a ＝－7或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.14．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，是否存在斜率为1的直线l ，使以l 被圆截得的弦AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解析假设存在斜率为1的直线l ，满足题意，则OA ⊥OB . 设直线l 的方程是y ＝x ＋b ，其与圆C 的交点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则y 1x 1·y 2x 2＝－1，即x 1x 2＋y 1y 2＝0① 由⎩⎨⎧y ＝x ＋b ，x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0消去y 得：2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0，∴x 1＋x 2＝－(b ＋1)，x 1x 2＝12(b 2＋4b －4)，②y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2 ＝12(b 2＋4b －4)－b 2－b ＋b 2＝12(b 2＋2b －4)．③ 把②③式代入①式，得b 2＋3b －4＝0，解得b ＝1或b ＝－4，且b ＝1或b ＝－4都使得Δ＝4(b ＋1)2－8(b 2＋4b －4)＞0成立．故存在直线l 满足题意，其方程为y ＝x ＋1或y ＝x －4.15．已知与圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切的直线l 交x 轴，y 轴于A ，B 两点，|OA |＝a ，|OB |＝b (a >2，b >2)． (1)求证：(a －2)(b －2)＝2； (2)求线段AB 中点的轨迹方程； (3)求△AOB 面积的最小值．解析 (1)证明：圆的标准方程是(x －1)2＋(y －1)2＝1，设直线方程为x a ＋yb＝1，即bx ＋ay －ab ＝0，圆心到该直线的距离d ＝|a ＋b －ab |a 2＋b2＝1，即a 2＋b 2＋a 2b 2＋2ab －2a 2b －2ab 2＝a 2＋b 2，即a 2b 2＋2ab －2a 2b －2ab 2＝0，即ab ＋2－2a －2b ＝0，即(a －2)(b －2)＝2.(2)设AB 中点M (x ，y )，则a ＝2x ，b ＝2y ，代入(a －2)(b －2)＝2，得(x －1)(y －1)＝12(x >1，y >1)．(3)由(a－2)(b－2)＝2得ab＋2＝2(a＋b)≥4ab，解得ab≥2＋2(舍去ab≤2－2)，当且仅当a＝b时，ab取最小值6＋42，所以△AOB面积的最小值是3＋2 2.16．已知圆C的方程为x2＋y2＝4.(1)求过点P(1,2)且与圆C相切的直线l的方程；(2)直线l过点P(1,2)，且与圆C交于A、B两点，若|AB|＝23，求直线l的方程；(3)圆C上有一动点M(x0，y0)，ON→＝(0，y0)，若向量OQ→＝OM→＋ON→，求动点Q的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线．解析(1)显然直线l的斜率存在，设切线方程为y－2＝k(x－1)，则由|2－k|k2＋1＝2，得k1＝0，k2＝－43，从而所求的切线方程为y＝2和4x＋3y－10＝0.(2)当直线l垂直于x轴时，此时直线方程为x＝1，l与圆的两个交点坐标为(1，3)和(1，－3)，这两点的距离为23，满足题意；当直线l不垂直于x轴时，设其方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0，设圆心到此直线的距离为d(d＞0)，则23＝24－d2，得d＝1，从而1＝|－k＋2|k2＋1，得k＝34，此时直线方程为3x－4y＋5＝0，综上所述，所求直线方程为3x－4y＋5＝0或x＝1.(3)设Q 点的坐标为(x ，y )，M 点坐标是(x 0，y 0)，ON →＝(0，y 0)， ∵OQ →＝OM →＋ON →，∴(x ，y )＝(x 0,2y 0)⇒x ＝x 0，y ＝2y 0.∵x 2＋y 20＝4，∴x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝4，即x 24＋y 216＝1.∴Q 点的轨迹方程是x 24＋y 216＝1，轨迹是一个焦点在y 轴上的椭圆．。

高考数学专题《直线与圆的位置关系》习题含答案解析

专题9.2 直线与圆的位置关系1．（福建高考真题（理））直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“OAB ∆的面积为12”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】由1k =时,圆心到直线:1l y x =+的距离d =..所以1122OAB S ∆==.所以充分性成立,由图形的对成性当1k =-时,OAB ∆的面积为12.所以不要性不成立.故选A.2.（2018·北京高考真题（理））在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离，当θ、m 变化时，d 的最大值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】22cos sin 1θθ+=∴Q ，P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ，所以d 的最大值为1213OA +=+=，选C.3．（2021·全国高二单元测试）已知直线l 与直线1y x =+垂直，且与圆221x y +=相切，切点位于第一象限，则直线l 的方程是（）．A．0x y +=B ．10x y ++=C ．10x y +-=D．0x y +=【答案】A 【分析】根据垂直关系，设设直线l 的方程为()00x y c c ++=<，利用直线与圆相切得到参数值即可.【详解】由题意，设直线l 的方程为()00x y c c ++=<．练基础圆心()0,0到直线0x y c ++=1，得c =c =，故直线l 的方程为0x y +=．故选：A4．（2020·北京高考真题）已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（）．A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A 【分析】求出圆心C 的轨迹方程后，根据圆心M 到原点O 的距离减去半径1可得答案.【详解】设圆心(),C x y 1=，化简得()()22341x y -+-=，所以圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心，1为半径的圆，所以||1||OC OM +≥5==，所以||514OC ≥-=，当且仅当C 在线段OM 上时取得等号，故选：A.5.【多选题】（2021·吉林白城市·白城一中高二月考）若直线0x y m ++=上存在点P ，过点P 可作圆O ：221x y +=的两条切线PA ，PB ，切点为A ，B ，且60APB ∠=︒，则实数m 的取值可以为（）A ．3B ．C ．1D ．-【答案】BCD 【分析】先由题意判断点P 在圆224x y +=上，再联立直线方程使判别式0∆≥解得参数范围，即得结果.【详解】点P 在直线0x y m ++=上，60APB ∠=︒，则30APO OPB ∠=∠=︒，由图可知，Rt OPB V 中，22OP OB ==，即点P 在圆224x y +=上，故联立方程224x y x y m ⎧+=⎨++=⎩，得222240x mx m ++-=，有判别式0∆≥，即()2244240m m -⨯-≥，解得m -≤≤A 错误，BCD 正确.故选：BCD.6．（2022·江苏高三专题练习）已知大圆1O 与小圆2O 相交于(2,1)A ，(1,2)B 两点，且两圆都与两坐标轴相切，则12O O =____【答案】【分析】由题意可知大圆1O 与小圆2O 都在第一象限，进而设圆的圆心为(,)(0)a a a >，待定系数得5a =或1a =，再结合两点间的距离求解即可.【详解】由题知，大圆1O 与小圆2O 都在第一象限，设与两坐标轴都相切的圆的圆心为(,)(0)a a a >，其方程为222()()x a y a a -+-=，将点(1,2)或(2,1)代入，解得5a =或1a =，所以221:(5)(5)25O x y -+-=，222:(1)(1)1O x y -+-=，可得1(5,5)O ，2(1,1)O ，所以12||O O ==故答案为：7．（江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值为__________．【答案】43【解析】∵圆C 的方程为x 2+y 2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y 2=1，即圆C 是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴只需圆C ′：（x-4）2+y 2=4与直线y=kx-2有公共点即可．设圆心C （4，0）到直线y=kx-2的距离为d，2d 即3k 2≤4k，∴0≤k≤43，故可知参数k 的最大值为43.8.（2018·全国高考真题（文））直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________．【答案】【解析】根据题意，圆的方程可化为22(1)4x y ++=，所以圆的圆心为(0,1)-，且半径是2，根据点到直线的距离公式可以求得d ==，结合圆中的特殊三角形，可知AB ==，故答案为.9．（2021·湖南高考真题）过圆2240x y x +-=的圆心且与直线20x y +=垂直的直线方程为___________【答案】220x y --=【分析】根据圆的方程求出圆心坐标，再根据两直线垂直斜率乘积为1-求出所求直线的斜率，再由点斜式即可得所求直线的方程.【详解】由2240x y x +-=可得()2224x y -+=，所以圆心为()2,0，由20x y +=可得2y x =-，所以直线20x y +=的斜率为2-，所以与直线20x y +=垂直的直线的斜率为12，所以所求直线的方程为：()1022y x -=-，即220x y --=，故答案为：220x y --=.10.（2020·浙江省高考真题）设直线:(0)l y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22(4)1x y -+=均相切，则k =_______；b =______．【解析】设221:1C x y +=，222:(4)1C x y -+=，由题意，12,C C到直线的距离等于半径，即1=1=，所以||4b k b =+，所以0k =（舍）或者2b k =-，解得k b ==.1．（2020·全国高考真题（理））若直线l 与曲线y和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（）A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +12【答案】D 【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.【详解】设直线l在曲线y =(0x ，则00x >，函数y =y '=l的斜率k =，设直线l的方程为)0y x x =-，即00x x -+=，由于直线l 与圆2215x y +==两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍），则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+.练提升故选：D.2.【多选题】（2021·全国高考真题）已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（）A ．点P 到直线AB 的距离小于10B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当PBA ∠最小时，PB =D ．当PBA ∠最大时，PB =【答案】ACD 【分析】计算出圆心到直线AB 的距离，可得出点P 到直线AB 的距离的取值范围，可判断AB 选项的正误；分析可知，当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，利用勾股定理可判断CD 选项的正误.【详解】圆()()225516x y -+-=的圆心为()5,5M ，半径为4，直线AB 的方程为142xy+=，即240x y +-=，圆心M 到直线AB 4=>，所以，点P 到直线AB 42-<，410<，A 选项正确，B 选项错误；如下图所示：当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，连接MP 、BM ，可知PM PB ⊥，=，4MP =CD 选项正确.故选：ACD.3．【多选题】（2021·肥城市教学研究中心高三月考）已知圆22:230A x y x +--=，则下列说法正确的是（）A ．圆A 的半径为4B ．圆A 截y 轴所得的弦长为C ．圆A 上的点到直线34120x y -+=的最小距离为1D ．圆A 与圆22:88230B x y x y +--+=相离【答案】BC 【分析】将圆的一般方程转化为标准方程即可得半径可判断A ；利用几何法求出弦长可判断B ；求出圆心A 到直线的距离再减去半径可判断C ；求出圆B 的圆心和半径，比较圆心距与半径之和的大小可判断D ，进而可得正确选项.【详解】对于A ：由22230x y x +--=可得()2214x y -+=，所以A 的半径为2r =，故选项A 不正确；对于B ：圆心为()1,0到y 轴的距离为1d =，所以圆A 截y 轴所得的弦长为==B 正确；对于C ：圆心()1,0到直线34120x y -+=3，所以圆A 上的点到直线34120x y -+=的最小距离为3321r -=-=，故选项C 正确；对于D ：由2288230x y x y +--+=可得()()22449x y -+-=，所以圆心()4,4B ，半径3R =，因为5AB r R ===+，所以两圆相外切，故选项D 不正确；故选：BC.4．（2021·全国高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的取值范围是_______.【答案】403k ≤≤【分析】求出圆C 的圆心和半径，由题意可得圆心到直线的距离小于或等于两圆的半径之和即可求解.【详解】由228150x y x +-+=可得22(4)1x y -+=，因此圆C 的圆心为(4,0)C ，半径为1，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，只需点(4,0)C 到直线2y kx =-的距离112d =≤+=，即22(21)1k k -≤+，所以2340k k -≤，解得403k ≤≤，所以k 的取值范围是403k ≤≤，故答案为：403k ≤≤.5．（2021·富川瑶族自治县高级中学高一期中（理））直线()20y kx k =+>被圆224x y +=截得的弦长为________．【答案】60 【分析】由已知求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求得k ，然后利用斜率等于倾斜角的正切值求解．【详解】直线()20y kx k =+>被圆224x y +=截得的弦长为所以，圆心()0,0O 到直线20kx y -+=的距离1d ==，1=，解得)0k k =>．设直线的倾斜角为()0180θθ≤<，则tan θ=，则60θ= ．因此，直线()20y kx k =+>的倾斜角为60 ．故答案为：60 ．6．（2021·昆明市·云南师大附中高三月考（文））已知圆O : x 2+y 2=4，以A (1,为切点作圆O 的切线l 1，点B 是直线l 1上异于点A 的一个动点，过点B 作直线l 1的垂线l 2，若l 2与圆O 交于D ， E 两点，则V AED 面积的最大值为_______.【答案】2【分析】由切线性质得2//OA l ，O 到直线2l 的距离等于A 到2l 的距离，因此ADEODE S S =!!，设O 到2l 距离为d ，把面积用d 表示，然后利用导数可得最大值．【详解】根据题意可得图，1OA l ⊥，所以2//OA l ，因此O 到直线2l 的距离等于A 到2l 的距离，ADEODE S S =!!，过点(00)O ，作直线2l 的垂线，垂足为F ，记||(20)OF d d =>>，则弦||DE =角形ADE 的面积为S ，所以12S d =g g ，将S 视为d 的函数，则S '=+ 1(2)2d d -当0d <<时，0S '>，函数()S d 2d <<时，0S '<，函数()S d 单调递减，所以函数()S d 有最大值，当d =max ()2S d =，故AED V 面积的最大值为2．故答案为：2．7．（2021·全国高三专题练习）已知ABC V 的三个顶点的坐标满足如下条件：向量(2,0)OB →=，(2,2)OC →=，,CA α→=)α，则AOB ∠的取值范围是________【答案】5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】先求出点A 的轨迹是以(2,2)C . 过原点O 作此圆的切线，切点分别为M 、N ，如图所示，连接CM ，CN ，得到MOB NOB θ∠∠…….所以15BOM ∠=︒，75BON ∠=︒，即得解.【详解】由题得||CA →=所以点A 的轨迹是以(2,2)C .过原点O 作此圆的切线，切点分别为M 、N ，如图所示，连接CM ，CN ，则向量OA →与OB →的夹角θ的范围是MOB NOB θ∠∠…….由图可知45COB ∠=︒.∵||OC →=1||||||2CM CN OC →→→==知30COM CON ∠=∠=︒，∴453015BOM ∠=︒-︒=︒，453075BON ∠=︒+︒=︒.∴1575θ︒︒…….故AOB ∠的取值范围为{}1575θθ︒≤≤︒丨.故答案为：{}π5π15751212θθ⎡⎤︒≤≤︒⎢⎥⎣⎦丨或，8．（2021·全国高三专题练习）已知x 、y R ∈，2223x x y -+=时，求x y +的最大值与最小值．【答案】最小值是1，最大值是1+【分析】根据2223x x y -+=表示圆()2214x y -+=，设x y b +=表示关于原点、x 轴、y 轴均对称的正方形，然后由直线与圆的位置关系求解.【详解】2223x x y -+=的图形是圆()2214x y -+=，既是轴对称图形，又是中心对称图形．设x y b +=，由式子x y +的对称性得知x y b +=的图形是关于原点、x 轴、y 轴均对称的正方形．如图所示：当b 变化时，图形是一个正方形系，每个正方形四个顶点均在坐标轴上，问题转化为正方形系中的正方形与圆有公共点时，求b 的最值问题．当1b <时，正方形与圆没有公共点；当1b =时，正方形与圆相交于点()1,0-，若令直线y x b =-+与圆()2214x y -+=相切，2，解得1b =±所以当1b =+当1b >+故x y +的最小值是1，最大值是1+．9．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中）已知ABC V 的内切圆的圆心M 在y 轴正半轴上，半径为1，直线210x y +-=截圆M （1）求圆M 方程；（2）若点C 的坐标为()2,4，求直线AC 和BC 的斜率；（3）若A ，B 两点在x 轴上移动，且AB 4=，求ABC V 面积的最小值.【答案】（1）22(1)1y x +-=；（2）2；（3）163.【分析】（1）设ABC V 的内切圆的圆心()0,M b ，先求得圆心到直线210x y +-=的距离，再根据直线截圆M （2）当直线AC 和BC 的斜率不存在时，设直线方程为2x =，易知不成立；当直线AC 和BC 的斜率存在时，设直线方程为()42y k x -=-，然后由圆心到直线的距离等于半径求解；（3）根据AB 4=，设()()(),0,4,040A t B t t +-<<，进而得到直线AC 和直线 BC 的斜率，写出直线AC 和BC 的方程，联立求得点C 的坐标，进而得到坐标系的最小值求解.【详解】（1）设ABC V 的内切圆的圆心()0,,0M b b >，圆心到直线210x y +-=的距离为d又因为直线截圆M21+=，解得1b =，所以圆M 方程()2211x y +-=；（2）当直线AC 和BC 的斜率不存在时，设直线方程为2x =，则圆心到直线的距离 0221d r =-=≠=，不成立，当直线AC 和BC 的斜率存在时，设直线方程为()42y k x -=-，即 240kx y k --+=，圆心到直线的距离d ，解得2k =（3）因为AB 4=，设()()(),0,4,040A t B t t +-<<，所以直线AC 的斜率为：2222tan 2111ACt t k MAO t t-=∠==---，同理直线BC 的斜率为： ()()222241411BCt t k t t --+==+-- ，所以直线AC 的方程为：()221ty x t t =---，直线BC 的方程为：()()()224441t y x t t -+=--+- ，由()()()()222124441t y x t t t y x t t ⎧=--⎪-⎪⎨-+⎪=--⎪+-⎩，解得 22224412841t x t t t t y t t +⎧=⎪⎪++⎨+⎪=⎪++⎩，即2222428,4141t t t C t t t t ⎛⎫++ ⎪++++⎝⎭，又 ()2222282222414123t t y t t t t t +==-=-+++++-，当2t =-时，点C 的纵坐标取得最小值83，所以ABC V 面积的最小值.18164233ABC S =⨯⨯=V .10．（2021·新疆乌鲁木齐市·乌市八中高二期末（文））已知直线l ：43100x y ++=，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的上方（1）求圆C 的方程；（2）过点()1,0M 的直线与圆C 交于A ，B 两点（A 在x 轴上方），问在x 轴正半轴上是否存在点N ，使得x 轴平分ANB ∠？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）224x y +=；（2）存在，()4,0N .【分析】（1）设出圆心坐标(),0C a ，根据直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于半径，由此求解出a 的值（注意范围），则圆C 的方程可求；（2）当直线AB 的斜率不存在时，直接根据位置关系分析即可，当直线AB 的斜率存在时，设出直线方程并联立圆的方程，由此可得,A B 坐标的韦达定理形式，根据AN BN k k =-结合韦达定理可求点N 的坐标.【详解】解：（1）设圆心(),0C a ，∵圆心C 在l 的上方，∴4100a +>，即52a >-，∵直线l ：43100x y ++=，半径为2的圆C 与l 相切，∴d r =，即41025a +=，解得：0a =或5a =-（舍去），则圆C 方程为224x y +=；（2）当直线AB x ⊥轴，则x 轴平分ANB ∠，当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为()1y k x =-，(),0N t ，()11,A x y ，()22,B x y ，由224(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩得，()22221240k x k x k +-+-=，所以212221k x x k +=+，212241k x x k -=+若x 轴平分ANB ∠，则AN BN k k =-，即()()1212110k x k x x tx t--+=--，整理得：()()12122120x x t x x t -+++=，即()()222224212011k k t t k k -+-+=++，解得：4t =，当点()4,0N ，能使得ANM BNM ∠=∠总成立．1．（2021·山东高考真题）“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的（）A ．充分没必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要条件【答案】C 【分析】由直线与圆相切的等价条件，易判断【详解】由于“圆心到直线的距离等于圆的半径”⇒“直线与圆相切”，因此充分性成立；“直线与圆相切”⇒“圆心到直线的距离等于圆的半径”，故必要性成立；可得“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的充要条件故选：C2．（2021·北京高考真题）已知直线y kx m =+（m 为常数）与圆224x y +=交于点M N ，，当k 变化时，若||MN 的最小值为2，则m = A ．±1B．C．D ．2±【答案】C 【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出m 【详解】由题可得圆心为()0,0，半径为2，则圆心到直线的距离d =则弦长为||MN =则当0k =时，弦长|MN取得最小值为2=，解得m =故选：C.3.（2020·全国高考真题（理））已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（）练真题A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=【答案】D 【解析】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点M 到直线l的距离为2d >，所以直线l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以14442PAM PM AB S PA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=V，而PA =，当直线MP l ⊥时，min MP =，min 1PA =，此时PM AB ⋅最小．∴()1:112MP y x -=-即1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得，10x y =-⎧⎨=⎩．所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即2210x y y +--=，两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程．故选：D.4．【多选题】（2021·全国高考真题）已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(,)A a b ，则下列说法正确的是（）A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切【答案】ABD 【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为222,a b r +的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.【详解】圆心()0,0C 到直线l的距离d =若点(),A a b 在圆C 上，则222a b r +=，所以d =则直线l 与圆C 相切，故A 正确；若点(),A a b 在圆C 内，则222a b r +<，所以d =则直线l 与圆C 相离，故B 正确；若点(),A a b 在圆C 外，则222a b r +>，所以d =则直线l 与圆C 相交，故C 错误；若点(),A a b 在直线l 上，则2220a b r +-=即222=a b r +，所以d =l 与圆C 相切，故D 正确.故选：ABD.5.（2021·山东高考真题）已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆22670x my m +--=的圆心重合，长轴长等于圆的直径，那么短轴长等于______．【答案】【分析】由于22670x my m +--=是圆，可得1m =，通过圆心和半径计算,,a b c ，即得解【详解】由于22670x my m +--=是圆，1m ∴=即：圆22670x y x +--=其中圆心为()3,0，半径为4那么椭圆的长轴长为8，即3c =，4a =，b ==那么短轴长为故答案为：6．（2019·北京高考真题（文））设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．【答案】(x -1)2+y 2=4.【解析】抛物线y 2=4x 中，2p =4，p =2，焦点F （1,0），准线l 的方程为x =-1，以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 (x -1)2+y 2=22,即为(x -1)2+y 2=4.。

高中数学高考总复习直线与圆圆与圆的位置关系及空间坐标系习题及详解

高中数学高考总复习直线与圆圆与圆的位置关系及空间坐标系习题及详解一、选择题1．(文)(2010·黑龙江哈三中)直线x ＋y ＝1与圆x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)没有公共点，则a 的取值范围是( )A ．(0，2－1)B ．(2－1，2＋1)C ．(－2－1，2＋1)D ．(0，2＋1)[答案] A[解析] 圆的方程x 2＋(y －a )2＝a 2，由题意知圆心(0，a )到直线x ＋y －1＝0距离大于a ，即|a －1|2>a ，解得－1－2<a <－1＋2，∵a >0，∴0<a <2－1.(理)(2010·宁德一中)直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是( )A ．－3<m <1B ．－4<m <2C ．0<m <1D ．m <1 [答案] C[解析] 根据直线与圆有两个不同的交点，可知圆心到直线的距离d 小于半径．∵圆x 2＋y 2－2x －1＝0的圆心是(1,0)，半径是2，∴d ＝|1－0＋m |2<2，∴|m ＋1|<2，∴－3<m <1，故所求的m 的取值集合应是(－3,1)的一个真子集，故选C. 2．直线l ：2x sin α＋2y cos α＋1＝0，圆C ：x 2＋y 2＋2x sin α＋2y cos α＝0，l 与C 的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定[答案] A[解析] 圆心C (－sin α，－cos α)到直线l 的距离为 d ＝|－2sin 2α－2cos 2α＋1|(2sin α)2＋(2cos α)2＝12，圆半径r ＝1， ∵d <r ，∴直线l 与⊙C 相交．3．(文)(2010·青岛市质检)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是( )A ．2B ．1＋ 2C ．2＋22D ．1＋2 2[答案] B[解析] 圆心C (1,1)到直线x －y －2＝0距离d ＝2，∴所求最大值为d ＋r ＝2＋1. (理)(2010·山东肥城联考)若圆x 2＋y 2－6x －2y ＋6＝0上有且仅有三个点到直线ax －y ＋1＝0(a 是实数)的距离为1，则a 等于( )A ．±1B ．±24C ．±2D ．±32[答案] B[解析] 圆(x －3)2＋(y －1)2＝4，半径为2，由题意圆心(3,1)到直线的距离是1， ∴|3a |a 2＋1＝1，∴a ＝±24.4．(2010·深圳中学)过点(－4,0)作直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y －20＝0交于A 、B 两点，如果|AB |＝8，则( )A ．l 的方程为5x ＋12y ＋20＝0或x ＋4＝0B ．l 的方程为5x －12y ＋20＝0或x ＋4＝0C ．l 的方程为5x －12y ＋20＝0D ．l 的方程为5x ＋12y ＋20＝0 [答案] A[解析] 圆x 2＋y 2＋2x －4y －20＝0化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝25，圆心C (－1,2)，半径r ＝5，点在圆内，设l 斜率为k ，方程为y ＝k (x ＋4)，即kx －y ＋4k ＝0，∵|AB |＝8，∴圆心到直线距离为52－42＝3， ∴|－k －2＋4k |k 2＋1＝3，∴k ＝－512，当斜率不存在时，直线x ＝－4也满足．故选A.5．设直线x ＋ky －1＝0被圆O ：x 2＋y 2＝2所截弦的中点的轨迹为M ，则曲线M 与直线x －y －1＝0的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定[答案] C[解析] ∵直线x ＋ky －1＝0过定点N (1,0)，且点N (1,0)在圆x 2＋y 2＝2的内部，∴直线被圆所截弦的中点的轨迹M 是以ON 为直径的圆，圆心为P ⎝⎛⎭⎫12，0，半径为12，∵点P ⎝⎛⎭⎫12，0到直线x －y －1＝0的距离为24<12， ∴曲线M 与直线x －y －1＝0相交，故选C.6．已知直线ax ＋by －1＝0(a ，b 不全为0)与圆x 2＋y 2＝50有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线共有( )A ．66条B ．72条C ．74条D ．78条[答案] B[解析] 因为在圆x 2＋y 2＝50上，横坐标、纵坐标都为整数的点一共有12个，即：(1，±7)，(5，±5)，(7，±1)，(－1，±7)，(－5，±5)，(－7，±1)，经过其中任意两点的割线有12×(12×11)＝66条，过每一点的切线共有12条，可知与该圆有公共点且公共点的横坐标、纵坐标都为整数的直线共有66＋12＝78条，而方程ax ＋by －1＝0表示的直线不过原点，上述78条直线中过原点的直线有6条，故符合条件的直线共有78－6＝72条．故选B.7．(2010·温州十校)在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的一条切线(切点为T )交双曲线的右支于点P ，若M 为FP 的中点，则|OM |－|MT |等于( )A ．b －aB ．a －b C.a ＋b2D ．a ＋b[答案] A[解析] 如图，F ′是双曲线的右焦点，由双曲线的定义得，|PF |－|PF ′|＝2a .又M 为PF 的中点，∴|MF |－|OM |＝a ，即|OM |＝|MF |－a .又直线PF 与圆相切， ∴|FT |＝OF 2－OT 2＝b ，∴|OM |－|MT |＝|MF |－a －(|MF |－|FT |)＝|FT |－a ＝b －a ，故选A.8．(文)(2010·广东茂名)圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，14 B.⎝⎛⎦⎤0，14 C.⎝⎛⎭⎫－14，0D.⎝⎛⎭⎫－∞，14 [答案] A[解析] 由题可知直线2ax －by ＋2＝0过圆心(－1,2)，故可得a ＋b ＝1，又因ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14，故选A. (理)(2010·泰安质检)如果直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线x ＋y ＝0对称，则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋1≥0kx －my ≤0y ≥0表示的平面区域的面积是( )A.14B.12 C ．1D ．2[答案] A[解析] ∵直线y ＝kx ＋1与圆的两交点M 、N 关于直线x ＋y ＝0对称，∴圆心在直线x ＋y ＝0上，且两直线y ＝kx ＋1与x ＋y ＝0垂直，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1－k 2＋⎝⎛⎭⎫－m 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1m ＝－1，∴不等式组化为⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0x ＋y ≤0y ≥0，表示的平面区域如图，故其面积S ＝12|OA |·y B ＝14.9．(文)若动圆C 与圆C 1：(x ＋2)2＋y 2＝1外切，与圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4内切，则动圆C 的圆心的轨迹是( )A ．两个椭圆B ．一个椭圆及双曲线的一支C ．两双曲线的各一支D ．双曲线的一支 [答案] D[解析] 设动圆C 的半径为r ，圆心为C ，依题意得 |C 1C |＝r ＋1，|C 2C |＝r －2， ∴|C 1C |－|C 2C |＝3，故C 点的轨迹为双曲线的一支．(理)台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为( )A ．0.5小时B ．1小时C ．1.5小时D ．2小时[答案] B[解析] 以A 为原点，正东方向为x 轴，正北方向为y 轴，建立直角坐标系，则A (102t,102t )，B (40,0)．当满足下列条件时，B 城市处于危险区内，即(102t －40)2＋(102t )2≤302，解得2－12≤t ≤2＋12，故选B.10．(2010·山东聊城模考)若在区间(－1,1)内任取实数a ，在区间(0,1)内任取实数b ，则直线ax －by ＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝1相交的概率为( )A.38 B.516 C.58D.316[答案] B[解析] 由题意知，圆心C (1,2)到直线ax －by ＝0距离d <1，∴|a －2b |a 2＋b 2<1，化简得3b －4a <0，如图，满足直线与圆相交的点(a ，b )落在图中阴影部分，E ⎝⎛⎭⎫34，1，∵S 矩形ABCD ＝2，S 梯形OABE ＝⎝⎛⎭⎫14＋1×12＝58，由几何概型知，所求概率P ＝582＝516.二、填空题11．(2010·四川广元市质检)已知直线l ：x －2y －5＝0与圆O ：x 2＋y 2＝50相交于A 、B 两点，则△AOB 的面积为______．[答案] 15[解析] 圆心(0,0)到直线l 距离d ＝5，圆半径R ＝52，∴弦长|AB |＝2(52)2－(5)2＝65，∴S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×65×5＝15.12．(文)(2010·天津南开区模拟)过原点O 作圆x 2＋y 2－6x －8y ＋20＝0的两条切线OA 、OB ，A 、B 为切点，则线段AB 的长为________．[答案] 4[解析] 圆(x －3)2＋(y －4)2＝5的圆心C (3,4)，半径为r ＝5，|CO |＝5，∴切线长|OA |＝25，由12|OA |·|CA |＝12|OC |·d ，得d ＝2， ∴弦长|AB |＝2d ＝4.(理)(2010·甘肃质检)若直线2x －y ＋c ＝0按向量a ＝(1，－1)平移后与圆x 2＋y 2＝5相切，则c 的值为________．[答案] 8或－2[解析] 设直线2x －y ＋c ＝0上点P (x 0，y 0)，按a 平移后移到点P ′(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋1y ＝y 0－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x －1y 0＝y ＋1代入直线2x －y ＋c ＝0中得2x －y －3＋c ＝0，此时直线与圆x 2＋y 2＝5相切， ∴|－3＋c |5＝5，∴c ＝8或－2. 13．(2010·湖南文)若不同两点P ，Q 的坐标分别为(a ，b )，(3－b,3－a )，则线段PQ 的垂直平分线l 的斜率为________；圆(x －2)2＋(y －3)2＝1关于直线l 对称的圆的方程为________．[答案] －1 x 2＋(y －1)2＝1[解析] 过P 、Q 两点的直线的斜率k PQ ＝b －(3－a )a －(3－b )＝a ＋b －3a ＋b －3＝1，∴线段PQ 的垂直平分线l 的斜率为－1，线段PQ 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫a －b ＋32，b －a ＋32，∴PQ 的垂直平分线l 的方程为y －b －a ＋32＝－⎝⎛⎭⎫x －a －b ＋32，即y ＝－x ＋3，设圆心(2,3)关于直线l ：y ＝－x ＋3的对称点为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋32＝－a ＋22＋3b －3a －2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝1，故所求的圆的方程为x 2＋(y －1)2＝1.14．(2010·江苏，9)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且仅有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．[答案] (－13,13)[解析] 由题意知，圆心O (0,0)到直线12x －5y ＋c ＝0的距离d <1，∴|c |13<1，∴－13<c <13.三、解答题15．(2010·广东湛江)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.(1)若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程．(2)从圆C 外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求使得|PM |取得最小值的点P 的坐标．[解析] (1)将圆C 配方得(x ＋1)2＋(y －2)2＝2.①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得|－k －2|k 2＋1＝2，即k ＝2±6，从而切线方程为y ＝(2±6)x .②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x ＋y －a ＝0，由直线与圆相切得x ＋y ＋1＝0，或x ＋y －3＝0. ∴所求切线的方程为y ＝(2±6)x x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0(2)由|PO |＝|PM |得，x 12＋y 12＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2－2⇒2x 1－4y 1＋3＝0. 即点P 在直线l ：2x －4y ＋3＝0上，|PM |取最小值时即 |OP |取得最小值，直线OP ⊥l ， ∴直线OP 的方程为2x ＋y ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝02x －4y ＋3＝0得P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－310，35. 16．(文)(2010·北京延庆县模考)已知长方形ABCD ，AB ＝22，BC ＝1，以AB 的中点O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系xOy .(1)求以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的标准方程；(2)过点P (0,2)的直线l 交(1)中椭圆于M 、N 两点，判断是否存在直线l ，使得以弦MN 为直径的圆恰好过原点，并说明理由．[解析] (1)由题意可得点A ，B ，C 的坐标分别为(－2，0)，(2，0)，(2，1)．设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则有2a ＝|AC |＋|BC |＝(－2－2)2＋(0－1)2＋(2－2)2＋(0－1)2＝4>22， ∴a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－2＝2，椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)假设满足条件的直线l 存在，由条件可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：y ＝kx ＋2(k ≠0)，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝4y ＝kx ＋2，消去y 并整理得(1＋2k 2)x 2＋8kx ＋4＝0∴x 1＋x 2＝－8k 1＋2k 2，x 1x 2＝41＋2k 2若以弦MN 为直径的圆恰好过原点，则OM →⊥ON →， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝0， ∴4(1＋k 2)1＋2k 2－16k 21＋2k 2＋4＝0，即8－4k 21＋2k 2＝0，解得k ＝±2检验知k 值满足判别式Δ>0∴直线l 的方程为y ＝2x ＋2或y ＝－2x ＋2. (理)(2010·哈三中)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝16.(1)由动点P 引圆C 的两条切线P A 、PB ，若直线P A 、PB 的斜率分别为k 1、k 2，且满足k 1＋k 2＋k 1·k 2＝－1，求动点P 的轨迹方程；(2)另作直线l ：kx －y －k ＝0，若直线l 与圆C 交于Q 、R 两点，且直线l 与直线l 1：x ＋2y ＋4＝0的交点为M ，线段QR 的中点为N ，若A (1,0)，求证：|AM |·|AN |为定值．[解析] (1)由k 1＋k 2＋k 1·k 2＝－1得，(k 1＋1)(k 2＋1)＝0，∴k 1＝－1或k 2＝－1.设切线方程为x ＋y ＝m ，则由圆心到直线距离公式得：m ＝－7±42，∴P 点轨迹方程为：x ＋y －7±42＝0；(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)x ＋2y ＋4＝0得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －42k ＋1，－5k 2k ＋1 由⎩⎪⎨⎪⎧(x －3)2＋(y －4)2＝16y ＝k (x －1)消去y 得(k 2＋1)x 2－(2k 2＋8k ＋6)x ＋k 2＋8k ＋9＝0此方程两根即Q 、R 两点的横坐标，由根与系数的关系及中点坐标公式可得x N ＝k 2＋4k ＋3k 2＋1，代入y ＝k (x－1)得y N ＝4k 2＋2kk 2＋1，即N ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋3k 2＋1，4k 2＋2k k 2＋1，又A (1,0)则由两点间距离公式可得： |AM |·|AN |＝10为定值．17．(文)已知定直线l ：x ＝－1，定点F (1,0)，⊙P 经过 F 且与l 相切. (1)求P 点的轨迹C 的方程.(2)是否存在定点M ，使经过该点的直线与曲线C 交于A 、B 两点，并且以AB 为直径的圆都经过原点；若有，请求出M 点的坐标；若没有，请说明理由.[解析] (1)由题设知点P 到点F 的距离与点P 到直线l 的距离相等． ∴点P 的轨迹C 是以F 为焦点，l 为准线的抛物线 ∴点P 的轨迹C 的方程为：y 2＝4x(2)设AB 的方程为x ＝my ＋n ，代入抛物线方程整理得：y 2－4my －4n ＝0设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4m y 1y 2＝－4n.∵以AB 为直径的圆过原点，∴OA ⊥OB ， ∴y 1y 2＋x 1x 2＝0.即y 1y 2＋y 124·y 224＝0.∴y 1y 2＝－16，∴－4n ＝－16，n ＝4. ∴直线AB ：x ＝my ＋4恒过存在M (4,0)点．(理)设点F ⎝⎛⎭⎫0，32，动圆P 经过点F 且和直线y ＝－32相切，记动圆的圆心P 的轨迹为曲线w .(1)求曲线w 的方程；(2)过点F 作互相垂直的直线l 1、l 2，分别交曲线w 于A 、C 和B 、D 两个点，求四边形ABCD 面积的最小值．[解析] (1)由抛物线的定义知点P 的轨迹为以F 为焦点的抛物线，p 2＝32，即p ＝3，∴w ：x 2＝6y .(2)设AC ：y ＝kx ＋32，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋32(k ≠0)x 2＝6y ⇒x 2－6kx －9＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，易求|AC |＝6(k 2＋1)， ∵l 1与l 2互相垂直，∴以－1k 换k 得|BD |＝6⎝⎛⎭⎫1k 2＋1， S ABCD ＝12|AC ||BD |＝12×6(k 2＋1)×6⎝⎛⎭⎫1k 2＋1 ＝18⎝⎛⎭⎫2＋k 2＋1k 2≥18(2＋2)＝72，当k ＝±1时取等号，∴四边形ABCD 面积的最小值为72.。

2020届高考数学(理)一轮必刷题专题49 直线与圆、圆与圆的位置关系(解析版)

考点49 直线与圆、圆与圆的位置关系1．（重庆南开中学2019届高三第四次教学检测考试数学理）若直线1y mx =+与圆22:220C x y x y +++=相交于A ，B 两点，且AC BC ⊥，则m =( )A ．34B ．1-C ．12-D ．32【答案】A 【解析】圆C:()()22112x y +++= ,∵ AC BC ⊥∴圆心C 到直线的距离为11= ，解m=34故选：A ．2．（山东省日照市2019届高三5月校际联合考试数学理）过点()1,1P 的直线l 将圆形区域{}22(,)|4x y xy +≤分为两部分，其面积分别为12,S S ，当12S S -最大时，直线l 的方程是（）A ．20x y +-=B ．20x y ++=C ．20x y --=D ．10x y +-=【答案】A 【解析】因为点P 坐标满足224x y +≤，所以点P 在圆224x y +=内，因此，当OP 与过点P 的直线垂直时，12S S -最大，此时直线OP 的斜率为10110OP k -==-，所以直线l 的斜率为1k =-，因此，直线l 的方程是1(1)y x -=--，整理得20x y +-=. 故选A ．3．（福建省厦门第一中学2019届高三5月市二检模拟考试数学理）圆221x y +=的一条切线与圆224x y +=相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，O 为坐标原点，则1212x x y y +=（）A．-B ．2-C ．2D．【答案】B切线与圆221x y +=切于点E ，由题干知圆心均为O 点，则根据向量点积坐标公式得到：1212OA OB x x y y ⋅=+||||cos OA OB OA OB AOB ⋅=∠，2,1OA OB OE ===12,cos 2AOB AOE AOE ∠=∠∠=21cos 2cos 1.2AOB AOE ∠=∠-=-故得到：||||cos 2.OA OB OA OB AOB ⋅=∠=- 故答案为：B.4．（2019年辽宁省大连市高三5月双基考试数学理）已知直线y=x+m 和圆x 2+y 2=1交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若3AO AB 2⋅=，则实数m=（）A ．1±B ．C ．D ．12±【答案】C 【解析】联立221y x mx y =+⎧⎨+=⎩ ，得2x 2+2mx+m 2-1=0， ∵直线y=x+m 和圆x 2+y 2=1交于A 、B 两点，O 为坐标原点，∴△=4m 2+8m 2-8=12m 2-8＞0，解得m ＞3或m ＜-3，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=-m ，21212m x x -= ， y 1y 2=（x 1+m ）（x 2+m ）=x 1x 2+m （x 1+x 2）+m 2，AO =（-x 1，-y 1），AB =（x 2-x 1，y 2-y 1），∵21123,2AO AB AO AB x x x ⋅=∴⋅=-+y 12-y 1y 2=1221122m m ----+m 2-m 2=2-m 2=32，解得m=±5．（2017届福建省宁德市高三第一次（3月)质量检查数学理）已知圆22:240C x y x y +-+=关于直线3110x ay --=对称，则圆C 中以,44a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭为中点的弦长为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】依题意可知直线过圆心()1,2-，即32110,4a a +-==.故(),1,144a a ⎛⎫-=-⎪⎝⎭.圆方程配方得()()22125x y -++=， ()1,1-与圆心距离为1，故弦长为4=.6．（河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评数学理）已知椭圆C ：()222210,0x y a b a b +=>>的右焦点为F ，过点F 作圆222x y b +=的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C 的离心率为（）A ．12B ．2C ．3D 【答案】D 【解析】如图，c =，则2b 2＝c 2，即2（a 2﹣c 2）＝c 2，则2a 2＝3c 2，∴2223c a =，即e c a ==．7．（贵州省遵义航天高级中学2019届高三第十一模）直线:2l x ay +=被圆224x y +=所截得的弦长为l 的斜率为（）A B ．C D ．±【答案】D 【解析】解：可得圆心（0，0）到直线:2l x ay +=的距离，由直线与圆相交可得，2232d +=，可得d=1，即=1，可得a=±y=33x ±+故斜率为故选D.8．（四川省峨眉山市2019届高三高考适应性考试数学理）在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（）A ．12B ．13C ．4D ．3【答案】C 【解析】因为圆心(0,0)，半径1r =，直线与圆相交，所以1d =≤，解得44k -≤≤所以相交的概率22P ==,故选C.9．（辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试理）经过点(3,0)M 作圆222430x y x y +---=的切线l ，则l 的方程为（） A ．30x y +-= B ．30x y +-=或3x = C ．30x y --= D ．30x y --=或3x =【答案】C 【解析】22222430(1)(2)8x y x y x y +---=⇒-+-=，圆心坐标坐标为(1,2)，半径为12x x ，当过点()3,0M 的切线存在斜率k ，切线方程为(3)30y k x kx y k =-⇒--=，圆心到它的距离为12x x，所以有1k ==，当过点()3,0M 的切线不存在斜率时，即3x =，显然圆心到它的距离为2≠3x =不是圆的切线；因此切线方程为30x y --=,故本题选C ．10．（辽宁省沈阳市2019届高三教学质量监测三）“k =是“直线:(2)l y k x =+与圆221x y +=相切”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】因为直线:(2)l y k x =+与圆221x y +=相切，1,k =∴=. 所以“k =是“直线:(2)l y k x =+与圆221x y +=相切”的充分不必要条件. 故选：A ．11．（吉林省吉林大学附属中学2017届高三第七次模拟考试数学理）已知圆C ： (()2211x y +-=和两点()0A t -，， ()0(0)B t t >，，若圆C 上存在点P ，使得·0PA PB =，则t 的最小值为（）A ．3B ．2CD ．1【答案】D【解析】由题意可得点P 的轨迹方程是以AB 位直径的圆，当两圆外切时有：min min 11t t =+⇒=，即t 的最小值为1. 本题选择D 选项.12．（四川省绵阳市2019届高三下学期第三次诊断性考试数学理）已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，若在以线段AB 为直径的圆上存在两点M 、N ，在直线l ：x+y+a=0上存在一点Q ，使得∠MQN=90°，则实数a 的取值范围为（） A ．[]13,3- B ．[]3,1-C ．[]3.13-D ．[]13.13-【答案】A 【解析】过点F （1，0）且斜率为1的直线方程为：1y x =-．联立2216104y x x x y x=-⎧⇒-+=⎨=⎩ ∴AB 的中点坐标为（3，2），|AB |=x 1+x 2+p=8，所以以线段AB 为直径的圆圆D ：22(3)(2)16x y -+-=，圆心D 为：（3，2），半径为r=4， ∵在圆C 上存在两点M ，N ，在直线l 上存在一点Q ，使得∠MQN =90°，∴在直线l 上存在一点Q ，使得Q 到C （3，2=，∴只需C （3，2）到直线l 的距离小于或等于133a ≤⇒-≤≤ 故选：A ．13．（天津市北辰区2019届高考模拟考试数学理）已知双曲线：的焦距为，直线与双曲线的一条斜率为负值的渐近线垂直且在轴上的截距为，以双曲线的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆与直线交于，两点，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．3【答案】D【解析】双曲线斜率为负值的渐近线方程为：则直线方程为：，即由题意可知：圆的圆心，半径则圆心到直线的距离：整理可得：，即解得：或双曲线离心率本题正确选项：14．（四川省百校2019年高三模拟冲刺卷理）在平面直角坐标系中，两动圆均过定点，它们的圆心分别为，且与轴正半轴分别交于.若，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由题圆方程为两动圆均过定点故,得同理又即（）（）=1整理得,故故选：C ．15．（吉林省长春市2019届高三质量监测（四)数学理）圆：被直线截得的线段长为（） A ．2 B ．C ．1D ．【答案】C 【解析】解：圆：的圆心为，半径为1圆心到直线的距离为，弦长为，故选C ．16．（安徽省濉溪二中2018-2019学年高二下学期4月联考）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2222:1y x C a b-=(0,0)a b >>的一条渐近线与圆22(2)(1)1x y -+-=相切，则b a =（）A ．43B ．34C ．169D ．916【答案】B 【解析】双曲线C 的渐近线方程为0by ax ±=，与圆相切的只可能是0by ax -=，所以圆心到直线的距离1r ==，得34a b =，所以34b a =，故选B ． 17．（内蒙古呼和浩特市2019年高三年级第二次质量普查调研考试理）过坐标轴上一点()0M x ,0作圆221C :x y 12⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的两条切线，切点分别为A 、B .若||AB ≥0x 的取值范围是（）A．,,22⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭B．(),-∞⋃+∞C．,22⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭D ．][(),22,-∞-⋃+∞【答案】C 【解析】根据题意，画出图形，如图所示，由圆221:()12C x y +-=，可得圆心坐标1(0,)2C ，半径1R =，过点M 作圆C 的两条切线MA 和MB ，切点分别为A 和B ，分别连接CA 、CB 、CM 、AB ，根据圆的性质可得,,CA AM CB BM CM AB ⊥⊥⊥，当||AB =因为1CA CB ==，所以ABC ∆为等腰直角三角形，所以22CN AN BN ===, 又由ANC AMN ∆∆，所以1AN CN MN AN ==，所以MN AN ==，所以CM CN NM =+=要使得||AB ≥CM ≥≥整理得274x ≥，解得0x ≤0x ≥0x的取值范围是,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭，故选C.18．（广西壮族自治区南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学理）设过点()20P －，的直线l 与圆22:4210C x y x y +--+=的两个交点为A B ，，若85PA AB =，则AB =（）A B C ．5D 【答案】A 【解析】由题意，设()()1122A x y B x y ，，，，直线AB 的方程为2x my =-，由2242102x y x y x my ⎧+--+=⎨=-⎩得()()22182130m y m y +-++=，则121222821311m y y y y m m ++==++，，又85PA AB =，所以()()112121825x y x x y y +=--，，，故()12185y y y =-，即21135y y =，代入122131y y m =+得：21251y m =+，故2221695251y m =⨯+，又()22122821m y y m +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，即222121222219452682225111m y y y y m m m +⎛⎫++=⨯+= ⎪+++⎝⎭，整理得：240760m m -+=，解得2m =或38m =，又AB ==当2m =时，5AB =；当38m =时，AB =；综上AB =. 故选A19．（湖南省益阳市2019届高三4月模拟考试数学理）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与圆22(2)1x y -+=相切，且过双曲线的右焦点2F 与x 轴垂直的直线l 与双曲线交于点A ，B ，OAB ∆的面积为） A ．18 B．C．D．【答案】C 【解析】设双曲线的渐近线为y kx =，1=，所以k =，渐近线为y x =，将x c =代入双曲线方程得2b y a =±，所以22b AB a =，2122OAB b S c a ∆=⋅⋅=b a =a =，b =所以双曲线实轴长为2a =故选C.20．（江西省新八校2019届高三第二次联考理）已知,x y 满足约束条件20220x y x y x y +-≤⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，若20x y k ++≥恒成立，则直线20x y k ++=被圆()()221125x y +++=截得的弦长的最大值为______．【答案】【解析】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：若20x y k ++≥恒成立，则()min 20x y k ++≥平移直线20x y +=可知，当直线过B 点时，2x y k ++最小由202x y x y -=⎧⎨-=-⎩得：()4,2B --即440k --+≥ 8k ∴≥则圆心()1,1--到直线20x y k ++=的距离为：d =≥=∴弦长≤=本题正确结果：21．（天津市河东区2019届高三二模数学理）已知直线l 的参数方程为34x ty t m =⎧⎨=+⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=若直线l 与圆C ，则m 的值为________________. 【来源】)试题【答案】12m =-或136m =-. 【解析】由参数方程可得：3344x t y m t ==-, 整理可得直线l 的直角坐标方程为4330x y m -+=，圆C 的极坐标方程即222222cos ,2,(1)1x y x x y ρρθ=+=-+=, 设圆心到直线的距离为d ，由弦长公式可得：=解得：12d =，结合点到直线距离公式可得：403152m -+=,解得：12m =-或136m =-. 22．（天津市部分区2019届高三联考一模数学理）已知直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），若l 与圆22430x y x +-+=交于A, B 两点，且AB =，则直线l 的斜率为_________.【答案】【解析】由x tcos y tsin αα=⎧⎨=⎩，得tan y x α=，设tan k α=，得直线y kx =，由22430x y x +-+=，得()2221x y -+=圆心为()2,0，半径为1，∴圆心到直线y kx =12==，得k =±故答案为15±. 23．（广东省肇庆市2019届高中毕业班第三次统一检测数学理）已知椭圆C ：2212x y +=，直线l ：1y x =-与椭圆C 交于A ，B 两点，则过点A ，B 且与直线m ：43x =相切的圆的方程为______．【答案】2211639x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭．【解析】解：椭圆C ：2212x y +=，直线l ：1y x =-与椭圆C 交于A ，B 两点，联立可得：22121x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 可得，2225848y xy x xy x +--+，解得0x =或43x =，可得(0,1)A -，41(,)33B ，过点A ，B 且与直线m ：43x =相切的圆切点为B ，圆的圆心1(0,)3，半径为：43．所求圆的方程为：2211639x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭．故答案为：2211639x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭． 24．（黑龙江省大庆第一中学2019届高三第三次模拟考试）已知点()1,2P 和圆222:20C x y kx y k ++++=，过点P 作圆C 的切线有两条，则实数k 的取值范围是______【答案】( 【解析】因为222:20C x y kx y k ++++=为圆，所以22440k k +->，解得k <<, 又过点P 作圆C 的切线有两条，所以点P 在圆的外部，故21440k k ++++>，解得k ∈R ,综上可知33k -<<.故k 的取值范围是(33-.25．（天津市和平区2018-2019学年第二学期高三年级第二次质量调查数学理）若直线2y x =-+与曲线1222x cos y sin θθ=-+⎧⎨=+⎩(θ为参数)交于两点,A B ，则AB =_________.【解析】曲线12(22x cos y sin θθθ=-+⎧⎨=+⎩为参数)消去参数θ可得：()()22124x y ++-=，表示圆心为()1,2-，半径为2r =的圆，圆心到直线20x y +-=的距离：2d ==，由弦长公式可得弦长为：2==26．（河北省武邑中学2019届高三下学期第三次模拟考试数学理）如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线22y x =-围成的平面区域的直径为_____．【答案】4 【解析】曲线22y x =-围成的平面区域如下图所示：该平面区域与y 轴的交点为()0,2A ，()0,2B -，4AB =，平面区域内的任意一个点都在以原点为圆心，半径为2的圆上或圆内，所以平面区域内任意两点间的距离都小于等于4，因此，该平面区域的直径为4.。

【助力高考】2019年高考数学专题复习第51讲《直线与圆、圆与圆的位置关系》(含详细答案和教师用书)

♦♦♦学生用书（后跟详细参考答案和教师用书）♦♦♦把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造高考高分！【助力高考】2019年高考备战数学专题复习精品资料第九章平面解析几何第51讲直线与圆、圆与圆的位置关系★★★核心知识回顾★★★知识点一、判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系． ⇔相交； ⇔相切； ⇔相离． (2)代数法：――――→判别式Δ＝b 2－4ac⎩⎪⎨⎪⎧>0⇔相交；＝0⇔相切；<0⇔相离.知识点二、圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)，圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0).★★★高考典例剖析★★★考点一、直线与圆的位置关系例1：圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0与直线2tx －y －2－2t ＝0(t ∈R )的位置关系为( ) A ．相离 B ．相切C ．相交D ．以上都有可能解：直线2tx －y －2－2t ＝0恒过点(1，－2)， ∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0， ∴点(1，－2)在圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0内，直线2tx －y －2－2t ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0相交，故选C.1．已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交 C ．相离D ．不确定考点二、圆与圆的位置关系例2：已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1外切，则ab 的最大值为( ) A.62 B.32 C.94D ．2 3♦♦♦跟踪训练♦♦♦2．已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1内切，求ab 的最大值． 3．已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1相交，求公共弦所在的直线方程．4． (2017·重庆调研)如果圆C ：x 2＋y 2－2ax －2ay ＋2a 2－4＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4总相交，那么实数a 的取值范围是______________________．考点三、直线与圆的综合问题命题点1 求弦长问题例3： (2016·全国Ⅲ)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别做l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若|AB |＝23，则|CD |＝________. 解：设AB 的中点为M ，由题意知，圆的半径R ＝23， |AB |＝23，所以|OM |＝3，由|OM |＝|3m －3|m 2＋1＝3，解得m ＝－33，所以直线l ：x －3y ＋6＝0.由⎩⎨⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12，解得A (－3，3)，B (0，23)，则AC 的直线方程为y －3＝－3(x ＋3)， BD 的直线方程为y －23＝－3x ，令y ＝0，解得C (－2,0)，D (2,0)，所以|CD |＝4. 命题点2 直线与圆相交求参数范围例4：已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 解 (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1，因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1. 解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得 (1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2. OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝4k (1＋k )1＋k 2＋8.由题设可得4k (1＋k )1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在l 上，所以|MN |＝2. 命题点3 直线与圆相切的问题例5：已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程． (1)与直线l 1：x ＋y －4＝0平行； (2)与直线l 2：x －2y ＋4＝0垂直； (3)过切点A (4，－1)．解 (1)设切线方程为x ＋y ＋b ＝0，则|1－2＋b |2＝10，∴b ＝1±25，∴切线方程为x ＋y ＋1±25＝0. (2)设切线方程为2x ＋y ＋m ＝0，则|2－2＋m |5＝10，∴m ＝±52，∴切线方程为2x ＋y ±52＝0. (3)∵k AC ＝－2＋11－4＝13，∴过切点A (4，－1)的切线斜率为－3，∴过切点A (4，－1)的切线方程为y ＋1＝－3(x －4)，即3x ＋y －11＝0.5．过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．6．过点P (2,4)引圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为__________________． 7．已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|P A →＋PB →＋PC →|的最大值为( ) A ．6 B ．7 C ．8D ．98．过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( ) A.33B ．－33C ．±33D ．－ 3考点四、直线与圆的综合问题例6：在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( ) A.45π B.34π C ．(6－25)πD.54π 解： ∵∠AOB ＝90°，∴点O 在圆C 上．设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离，∴点C 在以O 为焦点，以直线2x ＋y －4＝0为准线的抛物线上， ∴当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为|OD |. 又|OD |＝|2×0＋0－4|5＝45，∴圆C 的最小半径为25， ∴圆C 面积的最小值为π⎝⎛⎭⎫252＝45π. 故选A 。

高三数学直线与圆的位置关系试题答案及解析

高三数学直线与圆的位置关系试题答案及解析1.已知直线（其中为非零实数）与圆相交于两点，O为坐标原点，且为直角三角形，则的最小值为 .【答案】4【解析】∵直线（其中为非零实数）与圆相交于两点，O为坐标原点，且为直角三角形，∴，∴圆心O（0,0）到直线的距离，化为，∴，当且仅当取等号，∴的最小值为4.【考点】基本不等式.2.已知直线，若曲线上存在两点P、Q关于直线对称，则的值为A．B．C．D．【答案】D【解析】因为已知直线，若曲线上存在两点P、Q关于直线对称，所以直线必过圆的圆心(-1,3),从而有,故选D.【考点】1.圆的一般方程;2.圆的对称性.3.直线与圆相交于两点，则是“的面积为”的（）充分而不必要条件必要而不充分条件充分必要条件既不充分又不必要条件【答案】A【解析】由时,圆心到直线的距离.所以弦长为.所以.所以充分性成立,由图形的对成性当时, 的面积为.所以不要性不成立.故选A.【考点】1.直线与圆的位置关系.2.充要条件.4.直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，则 .【答案】2【解析】依题意，设与单位圆相交于两点，则∠°.如图，当时满足题意，所以.【考点】直线与圆相交，相等弧的概念，容易题.5.已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．10B．C．D．【答案】B【解析】可知点(3,5)在圆内,所以最长弦AC 为圆的直径.设AC 与BD 的交点为M(3,5) x 2+y 2-6x-8y=0(x-3)2+(y-4)2="25" AC=10,圆心O(3,4) ∵BD 为最短弦∴AC 与BD 相垂直,垂足为M,所以OM==1 ∴BD=2BM=2=4∵S 四边形ABCD =S △ABD +S △BDC =×BD×MA+×BD×MC=×BD×(MA+MC) =×BD×AC ∴S 四边形ABCD =×4×10=20.6. 已知圆C 的方程为：x 2＋y 2－2mx －2y ＋4m －4＝0(m ∈R)． (1)试求m 的值，使圆C 的面积最小；(2)求与满足(1)中条件的圆C 相切，且过点(1，－2)的直线方程．【答案】（1）当m ＝2时，圆的半径有最小值1，此时圆的面积最小．（2）x ＝1或4x －3y －10＝0.【解析】圆C 的方程：(x －m)2＋(y －1)2＝(m －2)2＋1.(1)当m ＝2时，圆的半径有最小值1，此时圆的面积最小． (2)当m ＝2时，圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1，设所求的直线方程为y ＋2＝k(x －1)，即kx －y －k －2＝0，由直线与圆相切，得＝1，k ＝，所以切线方程为y ＋2＝(x －1)，即4x －3y －10＝0，又因为过点(1，－2)且与x 轴垂直的直线x ＝1与圆也相切，所以所求的切线方程为x ＝1或4x －3y －10＝0.7. 设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．[1－，1＋]B ．(－∞，1－]∪[1＋，＋∞)C ．[2－2，2＋2]D ．(－∞，2－2]∪[2＋2，＋∞)【答案】D【解析】圆心(1,1)到直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0的距离为＝1，所以m ＋n ＋1＝mn≤(m ＋n)2，所以m ＋n≥2＋2或m ＋n≤2－2.8. 在平面直角坐标系中，直线（为参数）与圆（为参数）相切，切点在第一象限，则实数的值为 . 【答案】. 【解析】直线的一般式方程为，圆的圆心坐标为，半径长为，则有，解得或，由于切点在第一象限，则直线必过第一象限，则，因此.【考点】1.参数方程与普通方程间的转化；2.直线与圆的位置关系9.已知，则直线与圆：的位置关系是( )．A．相交B．相切C．相离D．不能确定【答案】B【解析】方程组只有一解，即题设中直线与圆只有一个公共点，因此它们相切，选B.【考点】直线和圆的位置关系.10.已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4，直线l1过定点A(1，0)．(1)若l1与圆相切，求l1的方程；(2)若l1与圆相交于P、Q两点，线段PQ的中点为M，又l1与l2：x＋2y＋2＝0的交点为N，判断AM·AN是否为定值？若是，则求出定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）x＝1或3x－4y－3＝0（2）6【解析】(1)①若直线l1的斜率不存在，即直线是x＝1，符合题意．②若直线l1斜率存在，设直线l1为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.由题意知，圆心(3，4)到已知直线l1的距离等于半径2，即＝2，解得k＝. ∴所求直线方程是x＝1或3x－4y－3＝0.(2)(解法1)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx－y－k＝0.由得N.又直线CM与l1垂直，由得M.∴AM·AN＝·＝＝6为定值．故AM·AN是定值，且为6.(解法2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx－y－k＝0.由得N.再由得(1＋k2)x2－(2k2＋8k＋6)x＋k2＋8k＋21＝0.∴x1＋x2＝，得M.以下同解法1. (解法3)用几何法连结CA并延长交l2于点B，kAC＝2，kl2＝－，∴CB⊥l.如图所示，△AMC∽△ABN，则，2可得AM·AN＝AC·AB＝2·＝6，是定值11.已知t∈R，圆C：x2＋y2－2tx－2t2y＋4t－4＝0.(1)若圆C的圆心在直线x－y＋2＝0上，求圆C的方程；(2)圆C是否过定点？如果过定点，求出定点的坐标；如果不过定点，说明理由．【答案】（1）x2＋y2＋2x－2y－8＝0或x2＋y2－4x－8y＋4＝0（2）过定点(2，0)．【解析】(1)配方得(x－t)2＋(y－t2)2＝t4＋t2－4t＋4，其圆心C(t，t2)．依题意t－t2＋2＝0t＝－1或2.即x2＋y2＋2x－2y－8＝0或x2＋y2－4x－8y＋4＝0为所求方程．(2)整理圆C的方程为(x2＋y2－4)＋(－2x＋4)t＋(－2y)·t2＝0，令故圆C过定点(2，0)．12.已知圆C的圆心与点P(－2，1)关于直线y＝x＋1对称，直线3x＋4y－11＝0与圆C相交于A、B两点，且＝6，求圆C的方程．【答案】x2＋(y＋1)2＝18.【解析】设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，则圆心C(a，b)，由题意得解得故C(0，－1)到直线3x＋4y－11＝0的距离d＝＝3.∵AB＝6，∴r2＝d2＋＝18，∴圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝18.13.已知圆C经过点A(－2,0)，B(0,2)，且圆心C在直线y＝x上，又直线l：y＝kx＋1与圆C相交于P、Q两点．(1)求圆C的方程；(2)若·＝－2，求实数k的值．【答案】（1）x2＋y2＝4（2）k＝0.【解析】(1)设圆心C(a，a)，半径为r.因为圆C经过点A(－2,0)，B(0,2)，所以|AC|＝|BC|＝r，易得a＝0，r＝2，所以圆C的方程是x2＋y2＝4.(2)因为·＝2×2×cos〈，〉＝－2，且与的夹角为∠POQ，所以cos∠POQ＝－，∠POQ＝120°，所以圆心C到直线l：kx－y＋1＝0的距离d＝1，又d＝，所以k＝0.14.在平面直角坐标系xOy中，设点P为圆C：(x－1)2＋y2＝4上的任意一点，点Q(2a，a－3)(a∈R)，则线段PQ长度的最小值为________．【答案】－2【解析】点Q在直线x－2y－6＝0上，圆心(1，0)到该直线的距离为d＝＝，因此线段PQ长度的最小值为－2.15.如图，∠PAQ是直角，圆O与AP相切于点T，与AQ相交于两点B，C.求证：BT平分∠OBA.【答案】见解析【解析】证明连接OT，因为AT是切线，所以OT⊥AP.又因为∠PAQ是直角，即AQ⊥AP，所以AB∥OT，所以∠TBA＝∠BTO.又OT＝OB，所以∠OTB＝∠OBT，所以∠OBT＝∠TBA，即BT平分∠OBA.16.已知圆O：x2＋y2＝5，直线l：x cos θ＋y sin θ＝1.设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则k＝________.【答案】4【解析】圆心O到直线l的距离d＝＝1，又圆O半径为，∴圆O上到l的距离等于1的点有4个．17.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的参数方程为为参数），圆的极坐标方程为.（1）若圆关于直线对称，求的值；（2）若圆与直线相切，求的值.【答案】（1）2；（2）或【解析】（1）因为要求圆关于直线对称的圆，首先将直线的参数方程化为普通方程，同样的要将圆的极坐标方程化为普通方程，由于圆关于直线对称，所以直线经过圆的圆心.所以将圆心的坐标代入直线方程即可求出结论.（2）若圆与直线相切，则圆心到直线的距离为半径的长，由（1）可得的直线方程和圆的方程可得相应的量，从而可求出结论.试题解析：（1）直线;圆,圆心为,半径.由题设知,直线过圆心,所以,所以；（2）点到直线的距离为因此整理得,所以或【考点】1.直线的参数方程.2.圆的极坐标方程.3.直线与圆的位置关系.18.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx＋2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是()．A．－B．－C．－D．－【答案】A【解析】因为圆C的方程可化为：(x－4)2＋y2＝1，所以圆C的圆心为(4,0)，半径为1.依题意知直线y＝kx＋2上至少存在一点A(x0，kx＋2)，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，所以存在x0∈R，使得|AC|≤1＋1成立，即|AC|min≤2.因为|AC|min即为点C到直线y＝kx＋2的距离.所以≤2，解得－≤k≤0，所以k的最小值为－.19.已知椭圆的离心率为，且经过点，圆的直径为的长轴.如图，是椭圆短轴端点，动直线过点且与圆交于两点，垂直于交椭圆于点.（1）求椭圆的方程；（2）求面积的最大值，并求此时直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】（1）已知椭圆的离心率为即可得到与的关系式,再结合椭圆过点,代入椭圆方程组成方程组可求解得到椭圆方程; （2）要求面积可先求两个弦长度,是一直线与圆相交得到的弦长,可采用圆的弦长公式,而是椭圆的弦长,使用公式求解,把面积表示成变量的函数, 求其最值时可用换元法求解.对当斜率为0时要单独讨论.试题解析：（1）由已知得到,所以,即.又椭圆经过点,故,解得,所以椭圆的方程是（2）因为直线且都过点①当斜率存在且不为0时,设直线,直线,即,所以圆心到直线的距离为,所以直线被圆所截弦由得,所以所以.令,则,当,即时,等号成立,故面积的最大值为,此时直线的方程为②当斜率为0时,即,此时当的斜率不存在时,不合题意;综上, 面积的最大值为,此时直线的方程为.【考点】直线与圆的位置关系,弦长公式,换元法求函数最值.20.已知的三个顶点，，，其外接圆为．(1)若直线过点，且被截得的弦长为2，求直线的方程；(2)对于线段上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点，使得点是线段的中点，求的半径的取值范围．【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）求的外接圆方程可用待定系数法或利用两边垂直平分线的交点先求出圆心，再利用两点之间距离公式求出半径，求出圆的方程后再利用待定系数法求出直线的方程，此时要注意分直线斜率存在和不存在两种情况讨论；（2）可设出点的坐标，再把点的坐标用其表示，把点的坐标代入圆的方程，利用方程组恒有解去考察半径的取值范围，但要注意三点不能重合，即圆和线段无公共点.试题解析：(1)线段的垂直平分线方程为，线段的垂直平分线方程为，所以外接圆圆心，半径，的方程为． 4分设圆心到直线的距离为，因为直线被截得的弦长为2，所以．当直线垂直于轴时，显然符合题意，即为所求； 6分当直线不垂直于轴时，设直线方程为，则，解得，综上，直线的方程为或． 8分(2) 直线的方程为，设，因为点是点，的中点，所以，又都在半径为的上，所以即 10分因为该关于的方程组有解，即以为圆心为半径的圆与以为圆心为半径的圆有公共点，所以， 12分又，所以对]成立．而在[0，1]上的值域为[，10]，故且． 15分又线段与圆无公共点，所以对成立，即.故的半径的取值范围为． 16分【考点】圆的方程，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系.21.已知圆的方程为，直线l的方程为，若圆与直线相切，则实数m= .【答案】2或－8【解析】因为直线与圆相切，所以.【考点】直线与圆的位置关系.22.若点在曲线（为参数，）上，则的取值范围是 .【答案】.【解析】曲线（为参数，）表示的是以点为圆心，以为半径长的圆，令，即，即点既在直线上，也在圆上，则圆心到直线的距离，解得，即的取值范围是.【考点】1.圆的参数方程；2.直线与圆的位置关系23.过点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为（）A．2x+y-3=0B．2x-y-3="0"C．4x-y-3=0D．4x+y-3=0【答案】A【解析】因为过点作圆的两条切线，切点分别为，所以圆的一条切线方程为，切点之一为，显然B、D选项不过，B、D不满足题意；另一个切点的坐标在的右侧，所以切线的斜率为负，选项C不满足，A满足．故选A．【考点】圆的切线方程，直线的一般方程．24.直线与圆有两个不同交点,则满足（）．A．B．C．D．【答案】Ａ【解析】直线与圆有两个不同交点，则圆心到直线距离小于半径，即，解得．【考点】直线与圆的位置关系．25.如图，已知半径为的⊙与轴交于、两点，为⊙的切线，切点为，且在第一象限，圆心的坐标为，二次函数的图象经过、两点.（1）求二次函数的解析式；（2）求切线的函数解析式；（3）线段上是否存在一点，使得以、、为顶点的三角形与相似．若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）二次函数的解析式为；（2）切线的函数解析式为；（3）点的坐标为或.【解析】（1）先求出圆的方程，并求出圆与轴的交点和的坐标，然后将点和的坐标代入二次函数中解出和的值，从而确定二次函数的解析式；（2）由于切线过原点，可设切线的函数解析式为，利用直线与圆求出值，结合点的位置确定切线的函数解析式；（3）对或进行分类讨论，充分利用几何性质，从而确定点的坐标.试题解析：（1）由题意知，圆的方程为，令，解得或，故点的坐标为，点的坐标为，由于二次函数经过、两点，则有，解得，故二次函数的解析式为；（2）设直线所对应的函数解析式为，由于点在第一象限，则，由于直线与圆相切，则，解得，故切线的函数解析式为；（3）由图形知，在中，，，，在中，，由于，因为，则必有或，联立，解得，故点的坐标为，当时，直线的方程为，联立，于是点的坐标为；当时，，由于点为线段的中点，故点为线段的中点，此时点的坐标为.综上所述，当点的坐标为或时，.【考点】1.二次函数的解析式；2.直线与圆的位置关系；3.相似三角形26.设，，直线：，圆：．若圆既与线段又与直线有公共点，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】圆：，圆心，圆与直线相交，则，；当圆过时，圆心，从该位置圆向左平移至与相切时，取负值，直线为：，相切时有：，即（），所以，则.所以.【考点】1.点到直线的距离公式；2.圆与直线的位置关系.27.过点作圆的两条切线,切点分别为,,则直线的方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为过点作圆的两条切线，切点分别为、，所以，圆的一条切线方程为，切点之一为，显然、选项直线不过，、不符合题意；另一个切点的坐标在的右侧，所以切线的斜率为负，选项不满足，满足．故选．【考点】直线与圆的位置关系28.若，则直线被圆所截得的弦长为 ( )A．B．1C．D．【答案】D【解析】因为，所以设弦长为，则，即.【考点】本小题主要考查直线与圆的位置关系——相交.29.若直线经过点，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知直线经过点，而点在圆上，所以直线与圆有交点，所以圆心到直线的距离小于或等于半径：．【考点】点与圆、直线与圆的位置关系．30.在极坐标系中，直线与圆的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定【答案】C【解析】直线方程为，圆的方程为，圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离.【考点】极坐标方程、直线与圆的位置关系.31.直线y= x+1被圆x2-2x +y2-3 =0所截得的弦长为_____【答案】【解析】圆的标准方程为，圆心，半径．圆心到直线的距离，所以弦长．【考点】直线与圆的位置关系．32.若直线与圆的两个交点关于直线对称，则的值分别为A．B．C．D．【答案】A【解析】因为直线y=kx与圆（x-2）2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称，直线2x+y+b=0的斜率为-2，所以k=，并且直线经过圆的圆心，所以圆心（2，0）在直线2x+y+b=0上，所以4+0+b=0，b=-4．故选A．【考点】直线与圆的位置关系；关于点、直线对称的圆的方程．点评：本题考查直线与圆的位置关系，对称直线方程的应用，考查分析问题解决问题与计算能力. 33.直线与圆相交于M,N两点，若，则k的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】若，则根据圆心到直线的距离、圆半径和半弦长组成一个直角三角形可以得到，圆心到直线的距离等于1，若，则圆心到直线的距离小于等于1，根据点到直线的距离公式可知，解得k的取值范围是.【考点】本小题主要考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式的应用.点评：遇到直线与圆相交的题目，常常用到圆心到直线的距离、圆半径和半弦长组成一个直角三角形，进而用点到直线的距离公式或数形结合解决问题.34.直线R与圆的交点个数是( )A．0B．1C．2D．无数个【答案】C【解析】判断直线与圆的位置关系经常利用圆的几何性质来解决，即当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交，故本题应先求圆心（2，0）到直线x+ay-1=0的距离，再证明此距离小于半径，即可判断交点个数。

21年高考数学直线与圆、圆与圆的位置关系

21年高考数学直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系(半径为r，圆心到直线的距离为d)相离相切相交图形量化方程观点Δ＜0Δ＝0Δ＞0 几何观点d＞r d＝r d＜r2．圆与圆的位置关系设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为R，r(R＞r)，则位置关系外离外切相交内切内含公共点个数01210d，R，r的关系d＞R＋rd＝R＋rR－r＜d＜R＋rd＝R－rd＜R－r公切线条数43210判断圆与圆位置关系的注意点对于圆与圆的位置关系，从交点的个数，也就是方程组的解的个数来判断，有时得不到确切的结论．如当Δ＜0时，需要再根据图形判断两圆是外离，还是内含；当Δ＝0时，还需要判断两圆是外切，还是内切．[熟记常用结论]1．圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.2．圆系方程(1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中a，b是定值，r是参数；(2)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；(3)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x ＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解)．[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．()(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．()(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．()(4)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√二、选填题1．直线l ：x ＋3y －4＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4的位置关系是( ) A ．相交过圆心 B ．相交不过圆心 C ．相切D ．相离解析：选C 圆心坐标为(0,0)，圆心到直线l 的距离d ＝|－4|2＝2＝r ，所以直线l 与圆C 相切．故选C.2．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是( )A ．外离 B.相交 C ．外切D ．内切解析：选B 圆O 1：(x －1)2＋y 2＝1，圆O 2：x 2＋(y －2)2＝4， ∵|O 1O 2|＝(1－0)2＋(0－2)2＝5，∴|2－1|＜|O 1O 2|＜2＋1，∴两圆相交．故选B.3．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，－1] B.[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析：选C 由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2，所以|a －0＋1|12＋(－1)2≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1，故选C.4．已知直线l ：y ＝k (x ＋3)和圆C ：x 2＋(y －1)2＝1，若直线l 与圆C 相切，则k ＝________.解析：因为直线l 与圆C 相切，所以圆心C 到直线l 的距离d ＝|－1＋3k |1＋k2＝1，解得k ＝0或k ＝ 3.答案：0或 35．直线l ：3x －y －6＝0与圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析：由x 2＋y 2－2x －4y ＝0，得(x －1)2＋(y －2)2＝5，所以该圆的圆心坐标为(1,2)，半径r ＝5，又圆心(1,2)到直线3x －y －6＝0的距离为d ＝|3－2－6|32＋(－1)2＝102，由⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝r 2－d 2，得|AB |2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫5－52＝10，即|AB |＝10. 答案：10考点一直线与圆的位置关系的判断 [师生共研过关][典例精析](1)直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定(2)直线y ＝－33x ＋m 与圆x 2＋y 2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m 的取值范围是( )A ．(3，2)B.(3，3)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫33，233 D.⎝⎛⎭⎪⎫1，233 (3)若圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)上恒有4个点到直线x －y －2＝0的距离为1，则实数r 的取值范围是( )A ．(2＋1，＋∞) B.(2－1，2＋1) C ．(0，2－1) D ．(0，2＋1)[解析](1)法一：(代数法)由⎩⎨⎧mx －y ＋1－m ＝0，x 2＋(y －1)2＝5，消去y ，整理得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0，因为Δ＝16m 2＋20＞0，所以直线l 与圆相交．法二：(几何法)由题意知，圆心(0,1)到直线l 的距离 d ＝|－m |m 2＋1＜1＜5，故直线l 与圆相交．法三：易得直线l 过定点(1,1)．把点(1,1)代入圆的方程有1＋0＜5，∴点(1,1)在圆的内部，故直线l 与圆C 相交．(2)当直线经过点(0,1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时m ＝1；当直线与圆相切时，圆心到直线的距离d ＝|m |⎝ ⎛⎭⎪⎫332＋1＝1，解得m ＝233(切点在第一象限)，所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，则1＜m＜233.(3)计算得圆心到直线l的距离为22＝2＞1，如图，直线l：x－y－2＝0与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离2＋1.[答案](1)A(2)D(3)A[解题技法]判断直线与圆的位置关系的一般方法几何法圆心到直线的距离与圆半径比较大小，即可判断直线与圆的位置关系．这种方法的特点是计算量较小代数法将直线方程与圆方程联立方程组，再将二次方程组转化为一元二次方程，该方程解的情况即对应直线与圆的位置关系．这种方法具有一般性，适合于判断直线与圆锥曲线的位置关系[过关训练]1．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切 B.相交C．相离D．不确定解析：选B因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2＞1，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝1a2＋b2＜1.所以直线与圆相交．2．(2019·杭州模拟)若无论实数a取何值时，直线ax＋y＋a＋1＝0与圆x2＋y2－2x－2y＋b＝0都相交，则实数b的取值范围为() A．(－∞，2) B.(2，＋∞)C．(－∞，－6) D．(－6，＋∞)解析：选C∵x2＋y2－2x－2y＋b＝0表示圆，∴8－4b＞0，即b ＜2.∵直线ax＋y＋a＋1＝0过定点(－1，－1)，∴点(－1，－1)在圆x2＋y2－2x－2y＋b＝0的内部，∴6＋b＜0，解得b＜－6，∴b的取值范围是(－∞，－6)．故选C.3．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点的个数为()A．1 B.2C．3 D．4解析：选C由圆的方程知圆心坐标为(3,3)，半径为3，如图所示，因为圆心到直线的距离为|9＋12－11|5＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，故圆上到直线的距离为1的点有3个．考点二圆与圆的位置关系及应用[师生共研过关][典例精析]已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1外切，则ab的最大值为()A.62 B.32C.94D ．2 3[解析] 由圆C 1与圆C 2外切，可得(a ＋b )2＋(－2＋2)2＝2＋1＝3，即(a ＋b )2＝9.根据基本不等式可知ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 22＝94，当且仅当a＝b 时等号成立，ab 的最大值为94.[答案] C[解题技法]圆与圆位置关系问题的解题策略(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2，y 2项得到．[过关训练]1．如果圆C ：x 2＋y 2－2ax －2ay ＋2a 2－4＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4总相交，那么实数a 的取值范围是_________________．解析：圆C 的标准方程为(x －a )2＋(y －a )2＝4，圆心坐标为(a ，a )，半径为2. 依题意得0＜a 2＋a 2＜4，∴0＜|a |＜2 2.∴a ∈(－22，0)∪(0,22)．答案：(－22，0)∪(0,22)2．已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0，x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0. (1)m 取何值时两圆外切？(2)m 取何值时两圆内切？(3)当m ＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．解：因为两圆的标准方程分别为(x －1)2＋(y －3)2＝11， (x －5)2＋(y －6)2＝61－m ，所以两圆的圆心分别为(1,3)，(5,6)，半径分别为11，61－m ， (1)当两圆外切时，由(5－1)2＋(6－3)2＝11＋61－m ，得m＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因为定圆半径11小于两圆圆心之间的距离5，所以61－m －11＝5，解得m ＝25－1011.(3)由(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0，得两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0.故两圆的公共弦的长为2 (11)2－⎝⎛⎭⎪⎫|4＋3×3－23|42＋322＝27.考点三圆的弦长问题 [师生共研过关][典例精析](1)(2019·太原模拟)若3a 2＋3b 2－4c 2＝0，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆O ：x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( )A.23 B ．1 C.12D.34(2)(2019·成都模拟)已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则OA ―→·OB―→的值是( ) A ．－12B.12 C ．－43D ．0[解析] (1)因为a 2＋b 2＝43c 2，所以圆心O (0,0)到直线ax ＋by ＋c＝0的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝32，所以直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为212－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝2×12＝1，选B.(2)在△OAB 中，|OA |＝|OB |＝1，|AB |＝3，可得∠AOB ＝120°，所以OA ―→·OB ―→＝1×1×cos 120°＝－12. [答案] (1)B (2)A[解题技法]有关弦长问题的2种求法[过关训练]1．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2截y 轴所得线段与截直线y ＝2x ＋b 所得线段的长度相等，则b ＝( )A ．－ 6 B.±6 C ．－ 5 D ．±5解析：选D 记圆C 与y 轴的两个交点分别是A ，B ，由圆心C 到y 轴的距离为1，|CA |＝|CB |＝2可知，圆心C (1,2)到直线2x －y＋b ＝0的距离也等于1才符合题意，于是|2×1－2＋b |5＝1，解得b ＝±5.2．在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)．当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．解：(1)不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1，x 2是方程x 2＋mx －2＝0的两根，所以x 1x 2＝－2，又点C 的坐标为(0,1)，则AC ―→·BC ―→＝(－x 1,1)·(－x 2,1)＝x 1x 2＋1＝－2＋1＝－1≠0，所以不能出现AC ⊥BC 的情况．(2)证明：设过A ，B ，C 三点的圆与y 轴的另一个交点为D ，由x 1x 2＝－2可知原点O 在圆内，则由相交弦定理可得|OC |·|OD |＝|OA |·|OB |＝|x 1|·|x 2|＝2.又|OC |＝1，所以|OD |＝2，所以过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为|OC |＋|OD |＝3，为定值．考点四圆的切线问题 [师生共研过关][典例精析]已知点P (2＋1,2－2)，点M (3,1)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4.(1)求过点P 的圆C 的切线方程；(2)求过点M 的圆C 的切线方程，并求出切线长．[解] 由题意得圆心C (1,2)，半径r ＝2.(1)∵(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4，∴点P 在圆C 上．又k PC ＝2－2－22＋1－1＝－1， ∴切线的斜率k ＝－1k PC＝1. ∴过点P 的圆C 的切线方程是y －(2－2)＝x －(2＋1)，即x －y ＋1－22＝0.(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4，∴点M 在圆C 外部．当过点M 的直线斜率不存在时，直线方程为x ＝3，即x －3＝0.又点C (1,2)到直线x －3＝0的距离d ＝3－1＝2＝r ，即此时满足题意，所以直线x ＝3是圆的切线．当切线的斜率存在时，设切线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0，则圆心C 到切线的距离d ＝|k －2＋1－3k |k 2＋1＝r ＝2，解得k ＝34. ∴切线方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0. 综上可得，过点M 的圆C 的切线方程为x －3＝0或3x －4y －5＝0.∵|MC |＝(3－1)2＋(1－2)2＝ 5，∴过点M 的圆C 的切线长为|MC |2－r 2＝5－4＝1. [解题技法]1．求过圆上的一点(x 0，y 0)的切线方程的方法先求切点与圆心连线的斜率k ，若k 不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y ＝y 0；若k ＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x ＝x 0；若k 存在且k ≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－1k ，由点斜式可写出切线方程．2．求过圆外一点(x 0，y 0)的圆的切线方程的2种方法出[提醒]当点(x0，y0)在圆外时，一定要注意斜率不存在的情况．[过关训练]1．(2019·杭州模拟)由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为()A．1B．2C.7 D．3解析：选C切线长的最小值是当直线y＝x＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为d＝|3－0＋1|2＝22，故切线长的最小值为d2－r2＝7.2．(2018·湖北四地七校联考)若圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：(x＋m)2＋y2＝20相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是()A．3 B.4C．2 3 D．8解析：选B连接O1A，O2A，由于⊙O1与⊙O2在点A处的切线互相垂直，因此O1A⊥O2A，所以|O1O2|2＝|O1A|2＋|O2A|2，即m2＝5＋20＝25，设AB交x轴于点C.在Rt△O1AO2中，sin∠AO2O1＝55，∴在Rt△ACO2中，|AC|＝|AO2|·sin∠AO2O1＝25×55＝2，∴|AB |＝2|AC |＝4.故选B. 考点五直线与圆的综合问题[师生共研过关][典例精析]已知直线l ：4x ＋ay －5＝0与直线l ′：x －2y ＝0相互垂直，圆C 的圆心与点(2,1)关于直线l 对称，且圆C 过点M (－1，－1)．(1)求直线l 与圆C 的方程．(2)过点M 作两条直线分别与圆C 交于P ，Q 两点，若直线MP ，MQ 的斜率满足k MP ＋k MQ ＝0，求证：直线PQ 的斜率为1.[解] (1)∵直线l ：4x ＋ay －5＝0与直线l ′：x －2y ＝0相互垂直， ∴4－2a ＝0，解得a ＝2.∴直线l 的方程为4x ＋2y －5＝0.设圆C 的圆心C 的坐标为(m ，n )．∵圆心C (m ，n )与点(2,1)关于直线l 对称，∴⎩⎪⎨⎪⎧ n －1m －2·(－2)＝－1，4×m ＋22＋2×n ＋12－5＝0，解得⎩⎨⎧ m ＝0，n ＝0，∴C (0,0)．∴圆C 的半径r ＝|CM |＝ 2.∴圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)证明：设P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，过点M 的直线MP 的斜率为k ，则过点M 的直线MQ 的斜率为－k ，直线MP 的方程为y ＋1＝k (x＋1)．∵直线MP 与圆C 相交，∴联立⎩⎨⎧ y ＋1＝k (x ＋1)，x 2＋y 2＝2.消去y 并整理，得(1＋k 2)x 2＋2k (k －1)x ＋k 2－2k －1＝0.∵圆C 过点M (－1，－1)，∴x P ·(－1)＝k 2－2k －11＋k 2，∴x P ＝2k ＋1－k 21＋k 2. 同理，将k 替换成－k ，可得x Q ＝－k 2－2k ＋11＋k 2. ∴k PQ ＝y Q －y P x Q －x P ＝－k (x Q ＋1)－1－k (x P ＋1)＋1x Q －x P ＝－k (x Q ＋x P )－2k x Q －x P＝1.[解题技法]直线与圆的综合问题的求解策略(1)利用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决．(2)直线与圆和平面几何联系十分紧密，可充分考虑平面几何知识的运用，如在直线与圆相交的有关线段长度计算中，要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长度放到一起综合考虑．[过关训练]已知A (2,0)，直线4x ＋3y ＋1＝0被圆C ：(x ＋3)2＋(y －m )2＝13(m ＜3)所截得的弦长为43，且P 为圆C 上任意一点．(1)求|PA |的最大值与最小值；(2)圆C 与坐标轴相交于三点，求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径．解：(1)∵直线4x ＋3y ＋1＝0被圆C ：(x ＋3)2＋(y －m )2＝13(m ＜3)所截得的弦长为43，∴圆心到直线的距离d ＝|－12＋3m ＋1|5＝(13)2－(23)2＝1.∵m ＜3，∴m ＝2，∴|AC |＝(－3－2)2＋(2－0)2＝29，∴|PA |的最大值与最小值分别为29＋13，29－13.(2)由(1)可得圆C 的方程为(x ＋3)2＋(y －2)2＝13，令x ＝0，得y ＝0或4；令y ＝0，得x ＝0或－6，∴圆C 与坐标轴相交于三点M (0,4)，O (0,0)，N (－6,0)，∴△MON 为直角三角形，斜边|MN |＝213，∴△MON 内切圆的半径为4＋6－2132＝5－13. [课时跟踪检测]一、题点全面练1．圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0与直线2tx －y －2－2t ＝0(t ∈R )的位置关系为( )A．相离B．相切C．相交D．以上都有可能解析：选C直线2tx－y－2－2t＝0恒过点(1，－2)，∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5＜0，∴点(1，－2)在圆x2＋y2－2x＋4y＝0内部，直线2tx－y－2－2t＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＝0相交．2．(2018·河南八市质检)过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为()A．2x＋y－5＝0 B.2x＋y－7＝0C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0解析：选B由题意，过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则点(3,1)在圆上，代入可得r2＝5，圆的方程为(x－1)2＋y2＝5，则过点(3,1)的切线方程为(x－1)·(3－1)＋y(1－0)＝5，即2x＋y－7＝0.3．(2019·六安模拟)已知过原点的直线l与圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B，且线段AB的中点坐标为D(2，2)，则弦长为()A．2 B.3C．4 D．5解析：选A将圆C：x2＋y2－6x＋5＝0，整理，得其标准方程为(x－3)2＋y2＝4，∴圆C的圆心坐标为(3,0)，半径为2.∵线段AB的中点坐标为D(2，2)，∴|CD|＝1＋2＝3，∴|AB|＝24－3＝2.故选A.4．已知圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝6，圆O 2的圆心坐标为(2,1)．若两圆相交于A ，B 两点，且|AB |＝4，则圆O 2的方程为( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝6B ．(x －2)2＋(y －1)2＝22C ．(x －2)2＋(y －1)2＝6或(x －2)2＋(y －1)2＝22D ．(x －2)2＋(y －1)2＝36或(x －2)2＋(y －1)2＝32解析：选C 设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 2(r ＞0)．因为圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝6，所以直线AB 的方程为4x ＋4y ＋r 2－10＝0.圆心O 1到直线AB 的距离d ＝|r 2－14|42，由d 2＋22＝6，得(r 2－14)232＝2，所以r 2－14＝±8，r 2＝6或22.故圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝6或(x －2)2＋(y －1)2＝22.5．(2018·全国卷Ⅲ)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )A ．[2,6]B.[4,8] C ．[2，32] D ．[22，32]解析：选A 设圆(x －2)2＋y 2＝2的圆心为C ，半径为r ，点P 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ，则圆心C (2,0)，r ＝2，所以圆心C到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|2＋2|2＝22，可得d max ＝22＋r ＝32，d min ＝22－r ＝ 2.由已知条件可得|AB |＝22，所以△ABP 面积的最大值为12|AB |·d max ＝6， △ABP 面积的最小值为12|AB |·d min ＝2. 综上，△ABP 面积的取值范围是[2,6]．6．若直线l ：y ＝kx ＋1被圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0截得的弦最短，则直线l 的方程是__________________．解析：依题意，直线l ：y ＝kx ＋1过定点P (0,1)．圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0化为标准方程为(x －1)2＋y 2＝4.故圆心为C (1,0)，半径为r ＝2.则易知定点P (0,1)在圆内．由圆的性质可知当PC ⊥l 时，直线l ：y ＝kx ＋1被圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0截得的弦最短．因为k PC ＝1－00－1＝－1，所以直线l 的斜率k ＝1，即直线l 的方程是x －y ＋1＝0.答案：x －y ＋1＝07．已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为________________．解析：由题意，设所求的直线方程为x ＋y ＋m ＝0，圆心坐标为(a,0)(a ＞0)，则由题意知⎝⎛⎭⎪⎪⎫|a －1|22＋2＝(a －1)2，解得a ＝3或－1(舍去)，故圆心坐标为(3,0)，因为圆心(3,0)在所求的直线上，所以3＋0＋m ＝0，解得m ＝－3，故所求的直线方程为x ＋y －3＝0.答案：x ＋y －3＝08．已知直线x －y ＋a ＝0与圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为________．解析：由x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0得(x ＋1)2＋(y －2)2＝9，所以圆C 的圆心坐标为C (－1,2)，半径为3，由AC ⊥BC ，可知△ABC 是直角边长为3的等腰直角三角形，故可得圆心C 到直线x －y ＋a ＝0的距离为322，由点到直线的距离公式可得|－1－2＋a |2＝322，解得a ＝0或a ＝6.答案：0或69．已知圆C 经过点A (2，－1)，与直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上．(1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程．解：(1)设圆心的坐标为C (a ，－2a )，则(a －2)2＋(－2a ＋1)2＝|a －2a －1|2. 化简，得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1.∴C (1，－2)，半径r ＝|AC |＝(1－2)2＋(－2＋1)2＝ 2.∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件．②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ，由题意得|k ＋2|1＋k 2＝1，解得k ＝－34， ∴直线l 的方程为y ＝－34x ，即3x ＋4y ＝0. 综上所述，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y ＝0.10．已知以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，2t 为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为坐标原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程．解：(1)证明：由题意知圆C 过原点O ，∴半径r ＝|OC |.∵|OC |2＝t 2＋4t 2， ∴设圆C 的方程为(x －t )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2.令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ，则A (2t,0)．令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t ，则B ⎝⎛⎭⎪⎫0，4t . ∴S △OAB ＝12|OA |·|OB |＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ×|2t |＝4，即△OAB 的面积为定值．(2)∵|OM |＝|ON |，|CM |＝|CN |，∴OC 垂直平分线段MN .∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12，∴直线OC 的方程为y ＝12x . ∴2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2. 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，r ＝|OC |＝5，此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15＜5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，r ＝|OC |＝5，此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95＞5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交．∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．设圆C 1，C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C 1C 2|等于( )A．4 B.4 2C．8 D．8 2解析：选C因为圆C1，C2和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，所以两圆都在第一象限内，设圆心坐标为(a，a)，则|a|＝(a－4)2＋(a－1)2，解得a＝5＋22或a＝5－22，可取C1(5＋22，5＋22)，C2(5－22，5－22)，故|C1C2|＝(42)2＋(42)2＝8，故选C.2．已知圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1和两点A(－t,0)，B(t,0)(t＞0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则实数t的最小值为()A．4 B.3C．2 D．1解析：选D由∠APB＝90°得，点P在圆x2＋y2＝t2上，因此由两圆有交点得|t－1|≤|OC|≤t＋1⇒|t－1|≤2≤t＋1⇒1≤t≤3，即t的最小值为1.3．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－2,3)，B(－2，－1)，C(6，－1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为()A．x2＋y2＝1 B.x2＋y2＝4C．x2＋y2＝165D．x2＋y2＝1或x2＋y2＝37解析：选D如图所示，∵A(－2,3)，B(－2，－1)，C(6，－1)．∴过A，C的直线方程为y＋13＋1＝x－6－2－6，化为一般式为x＋2y－4＝0.点O到直线x＋2y－4＝0的距离d＝|－4|5＝455＞1，又|OA|＝(－2)2＋32＝13，|OB|＝(－2)2＋(－1)2＝5，|OC|＝62＋(－1)2＝37.∴以原点为圆心的圆若与△ABC有唯一的公共点，则公共点为(0，－1)或(6，－1)，∴圆的半径分别为1或37，则圆的方程为x2＋y2＝1或x2＋y2＝37.4．过点A(3,5)作圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为_____________．解析：圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圆心为(1,2)，∵|CA|＝(3－1)2＋(5－2)2＝13＞2，∴点A(3,5)在圆外．显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x－3＝0，当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0.又圆心为(1,2)，半径r＝2，而圆心到切线的距离d＝|3－2k|k2＋1＝2，即|3－2k|＝2k2＋1，∴k＝512，故所求切线方程为5x－12y＋45＝0或x－3＝0.答案：5x－12y＋45＝0或x－3＝05．已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l：x＋y－6＝0，A为直线l 上一点，若圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，则点A 的横坐标的取值范围为________．解析：由题意知，过点A 的两直线与圆M 相切时，夹角最大，当∠BAC ＝60°时，|MA |＝|MB |sin ∠BAM＝2sin 30°＝4.设A (x ，6－x )，所以(x －1)2＋(6－x －1)2＝16，解得x ＝1或x ＝5，因此点A 的横坐标的取值范围为[1,5]．答案：[1,5](二)难点专练——适情自主选6．已知圆H 被直线x －y －1＝0，x ＋y －3＝0分成面积相等的四部分，且截x 轴所得线段的长为2.(1)求圆H 的方程；(2)若存在过点P (a,0)的直线与圆H 相交于M ，N 两点，且|PM |＝|MN |，求实数a 的取值范围．解：(1)设圆H 的方程为(x －m )2＋(y －n )2＝r 2(r ＞0)，因为圆H 被直线x －y －1＝0，x ＋y －3＝0分成面积相等的四部分，所以圆心H (m ，n )一定是两互相垂直的直线x －y －1＝0，x ＋y －3＝0的交点，易得交点坐标为(2,1)，所以m ＝2，n ＝1.又圆H 截x 轴所得线段的长为2，所以r 2＝12＋n 2＝2.所以圆H 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝2.(2)设N (x 0，y 0)，由题意易知点M 是PN 的中点，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 0＋a 2，y 02. 因为M ，N 两点均在圆H 上，所以(x 0－2)2＋(y 0－1)2＝2，① ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 0＋a 2－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 02－12＝2，即(x 0＋a －4)2＋(y 0－2)2＝8，②设圆I ：(x ＋a －4)2＋(y －2)2＝8，由①②知圆H 与圆I 有公共点，从而22－2≤|HI |≤22＋2，即2≤(a －2)2＋(1－2)2≤32，整理可得2≤a 2－4a ＋5≤18，解得2－17≤a ≤1或3≤a ≤2＋17，所以实数a 的取值范围是[2－17，1]∪[3,2＋17]．7．已知圆C 经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫74，174，B ⎝⎛⎭⎪⎫－318，338，直线x ＝0平分圆C ，直线l 与圆C 相切，与圆C 1：x 2＋y 2＝1相交于P ，Q 两点，且满足OP ⊥O Q .(1)求圆C 的方程；(2)求直线l 的方程．解：(1)依题意知圆心C 在y 轴上，可设圆心C 的坐标为(0，b )，圆C 的方程为x 2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)．因为圆C 经过A ，B 两点，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫742＋⎝ ⎛⎭⎪⎫174－b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3182＋⎝ ⎛⎭⎪⎫338－b 2，即716＋28916－172b ＋b 2＝3164＋1 08964－334b ＋b 2，解得b ＝4. 则r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫742＋⎝ ⎛⎭⎪⎫174－42＝12，所以圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝12. (2)当直线l 的斜率不存在时，由l 与C 相切得l 的方程为x ＝±22，此时直线l 与C 1交于P ，Q 两点，不妨设P 点在Q 点的上方，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22或P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，Q ⎝⎛⎭⎪⎫－22，－22，则OP ―→·O Q ―→＝0，所以OP ⊥O Q ，满足题意．当直线l 的斜率存在时，易知其斜率不为0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线l 的方程与圆C 1的方程联立，得⎩⎨⎧ y ＝kx ＋m ，x 2＋y 2＝1，消去y ，整理得(1＋k 2)x 2＋2kmx ＋m 2－1＝0，则Δ＝4k 2m 2－4(1＋k 2)(m 2－1)＝4(k 2－m 2＋1)＞0，即1＋k 2＞m 2，则x 1＋x 2＝－2km 1＋k 2，x 1x 2＝m 2－11＋k 2，所以y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝k 2(m 2－1)1＋k 2－2k 2m 21＋k 2＋m 2＝m 2－k 21＋k 2，又OP ⊥O Q ，所以OP ―→·O Q ―→＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－11＋k 2＋m 2－k 21＋k 2＝0，故2m 2＝1＋k 2，满足Δ＞0，符合题意．因为直线l ：y ＝kx ＋m 与圆C ：x 2＋(y －4)2＝12相切，所以圆心C (0,4)到直线l 的距离d ＝|m －4|1＋k2＝22，即m 2－8m ＋16＝1＋k 22，故m 2－8m ＋16＝m 2，得m ＝2，故1＋k 2＝8，得k ＝±7.故直线l 的方程为y ＝±7x ＋2.综上，直线l 的方程为x ＝±22或y ＝±7x ＋2.。

数学新高考二轮复习：直线与圆、圆与圆的位置关系(解析版)

直线与圆、圆与圆的位置关系【名师预测】在江苏高考中，直线与圆是C级考点，是必考考点。

主要考查以直线与圆、圆与圆的位置关系为载体，考查学生的探究与计算能力。

考查中，大多以动圆、动直线及隐圆为模型，考查定点、定值、取值范围等问题，解决此类问题，要充分利用数形结合、等价转化、函数与方程的思想来解题，体现能力和知识的综合，填空题与解答题均会出现，且难度较大。

【知识精讲】一、直线与圆的三种位置关系（1）直线与圆相离，没有公共点；（2）直线与圆相切，只有一个公共点；（3）直线与圆相交，有两个公共点．二、直线与圆的位置关系的判断方法三、圆与圆的位置关系四、圆与圆位置关系的判断圆与圆的位置关系的判断方法有两种：（1）几何法：由两圆的圆心距d 与半径长R ，r 的关系来判断（如下图，其中R r >）．（2）代数法：设圆C 1：x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0 ①，圆C 2：x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0 ②，联立①②，如果该方程组没有实数解，那么两圆相离；如果该方程组有两组相同的实数解，那么两圆相切；如果该方程组有两组不同的实数解，那么两圆相交．五、两圆相交时公共弦所在直线的方程设圆C 1：x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0 ①，圆C 2：x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0 ②，若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得（D 1－D 2）x +（E 1－E 2）y +F 1－F 2=0 ③．方程③表示圆C 1与圆C 2的公共弦所在直线的方程．【典例精练】考点一直线与圆的位置关系例1．直线(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a ∈R)与圆x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0的位置关系是________．【解析】由(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a ∈R)整理得x －y ＋a (x ＋y ＋2)＝0，则由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＋2＝0，解得x ＝－1，y ＝－1，即直线(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a ∈R)过定点(－1，－1)，又(－1)2＋(－1)2－2×(－1)＋2×(－1)－7＝－5＜0，则点(－1，－1)在圆x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0的内部，故直线(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a ∈R)与圆x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0相交．故答案为：相交.例2．在平面直角坐标系xOy 中，若直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝16相交于A ，B 两点，且△ABC 为直角三角形，则实数a 的值是________．【解析】因为△ABC 为直角三角形，所以BC ＝AC ＝r ＝4，所以圆心C 到直线AB 的距离为22，从而有|a ＋a －2|a 2＋1＝22，解得a ＝－1. 故答案为：－1.例3．已知点A (1,0)和点B (0,1)，若圆x 2＋y 2－4x －2y ＋t ＝0上仅有两个不同的点P ，使得△PAB 的面积为12，则实数t 的取值范围是________．【解析】由题可得AB ＝2，若△PAB 的面积为12，则点P 到直线AB 的距离为22. 圆x 2＋y 2－4x －2y ＋t ＝0的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5－t ，圆心到直线AB 的距离为 2.∴5－t －22＜2＜5－t ＋22，解得12＜t ＜92. 故答案为：⎝⎛⎭⎫12，92.【方法点睛】判断直线与圆的位置关系的两种方法（1）几何法：圆心到直线的距离与圆半径比较大小，即可判断直线与圆的位置关系．这种方法的特点是计算量较小；（2）代数法：将直线方程与圆方程联立方程组，再将二次方程组转化为一元二次方程，该方程解的情况即对应直线与圆的位置关系．这种方法具有一般性，适合于判断直线与圆锥曲线的位置关系，但是计算量较大，能用几何法，尽量不用代数法．考点二切线、弦长问题例4．已知圆的方程为x 2＋y 2＝1，则在y 轴上截距为2的切线方程为________________．【解析】在y 轴上截距为2且斜率不存在的直线显然不是切线，故设切线方程为y ＝kx ＋ 2. ∴|2|k 2＋1＝1，即k ＝±1，故所求切线方程为y ＝x ＋2或y ＝－x ＋ 2. 故答案为：y ＝x ＋2或y ＝－x ＋ 2. 例5．过原点且与直线6x －3y ＋1＝0平行的直线l 被圆x 2＋(y －3)2＝7所截得的弦长为________．【解析】由题意可得l 的方程为2x －y ＝0，∵ 圆心(0，3)到l 的距离d ＝33＝1， ∴ 所求弦长l ＝2R 2－d 2＝27－1＝2 6.故答案为：2 6.例6．已知点A (1，a )，圆x 2＋y 2＝4.（1）若过点A 的圆的切线只有一条，求a 的值及切线方程；（2）若过点A 且在两坐标轴上截距相等的直线与圆相切，求a 的值及切线方程．【解析】（1）由于过点A 的圆的切线只有一条，则点A 在圆上，故12＋a 2＝4，得a ＝±3. 当a ＝3，即A (1，3)时，切线的斜率为－33.。

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1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系．
d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离．
(2)代数法：――→判别式Δ＝b 2－4ac ⎩⎪⎨⎪⎧ >0⇔相交；＝0⇔相切；<0⇔相离.
2．圆与圆的位置关系
设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)，
圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0).
【知识拓展】
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.
(2)过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.
(3)过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.
2．圆与圆的位置关系的常用结论
(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．
(2)当两圆相交时，两圆方程(x 2，y 2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( × )
(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( × )
(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( × )
(4)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( √ )
(5)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则O ，P ，A ，B 四点共圆且直线AB 的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( √ )
1．(教材改编)圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝6与直线2x ＋y －5＝0的位置关系是( )
A ．相切
B ．相交但直线不过圆心
C ．相交过圆心
D ．相离
答案 B
解析由题意知圆心(1，－2)到直线2x ＋y －5＝0的距离d ＝|2×1－2－5|22＋1
＝5<6且2×1＋(－2)－5≠0，
所以直线与圆相交但不过圆心．
2．(2016·全国甲卷)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a 等于( )
A ．－43
B ．－34
C. 3 D ．2 答案 A
解析由圆的方程x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0，得圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得d ＝|1×a ＋4－1|1＋a 2＝1，解之得a ＝－43. 3．(2016·西安模拟)若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是
( )
A ．[－3，－1]
B ．[－1,3]
C ．[－3,1]
D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
答案 C
解析由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2， ∴|a －0＋1|12＋(－1)2≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1. 4．(2016·黑龙江大庆实验中学检测)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )
A ．6－2 2
B ．52－4 C.17－1
D.17 答案 B
解析圆C 1关于x 轴对称的圆C 1′的圆心为C 1′(2，－3)，半径不变，圆C 2的圆心为(3,4)，半径r ＝3，|PM |＋|PN |的最小值为圆C 1′和圆C 2的圆心距减去两圆的半径，所以|PM |＋|PN |。