2013年全国高考理科数学试题分类汇编8：直线与圆

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2013高考备考各地试题解析分类汇编(二)理科数学9直线与圆

各地解析分类汇编（二）系列: 直线与圆1.【天津市新华中学2013届高三第三次月考理】倾斜角为135︒，在y 轴上的截距为1-的直线方程是（）A. 01=+-y xB. 01=--y xC. 01=-+y xD. 01=++y x【答案】D【解析】直线的斜率为tan1351k ==-，所以满足条件的直线方程为1y x =--，即10x y ++=，选D.2.【山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理】在直角坐标系中，直线30y +-=的倾斜角是A ．6πB ．3πC ．65π D ．32π 【答案】D【解析】直线的斜截式方程为3y =+，即直线的斜率tan k α==所以23πα=，选D.3.【天津市新华中学2013届高三第三次月考理】若直线1l ：280ax y +-=与直线2l ：(1)40x a y +++=平行，则a 的值为（）A. 1B. 1或2C. -2D. 1或-2【答案】A【解析】直线1l 的方程为42ay x =-+，若1a =-，则两直线不平行，所以1a ≠-，要使两直线平行，则有282114a a -=≠=-+，由211a a =+，解得1a =或2a =-。

当2a =-时，21a=-，所以不满足条件，所以1a =，选A.4.【北京市朝阳区2013届高三上学期期末理】“1k =”是“直线0x y k -+=与圆221x y += 相交”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】要使直线0x y k -+=与圆221x y += 相交，则有圆心到直线的距离1d 。

即k ≤所以k ≤≤，所以“1k =”是“直线0x y k -+=与圆221x y += 相交”的充分不必要条件，选A.5.【云南省玉溪一中20131by +=与圆221x y +=相交于A,B 两点(其中a,b 是实数),且△AOB 是直角三角形(O 是坐标原点),则点P(a,b)与点(0,1)之间距离的最大值为 ( )A.1+B.21-【答案】A【解析】因为△AOB=2222a b +=。

2013年高考试题分项版解析数学(文) 专题08 直线与圆(Word精析版)(2)

一．基础题组1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）文科】抛物线28y x =的焦点到直线0x -=的距离是（）（A ）（B ）2（C （D ）12.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）文科】垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是（）A ．0x y +-=B ．10x y ++=C ．10x y +-=D ．0x y ++=3.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷) 文科】已知点(,)M a b 在圆221:O x y +=外, 则直线1ax by +=与圆O 的位置关系是（）(A) 相切(B) 相交 (C) 相离 (D) 不确定4.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科】若圆C 经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C 的方程是 .5.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科】过点(3，1)作圆22(2)(2)4x y -+-=的弦，其中最短的弦长为__________.6.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）文科】直线23y x =+被圆22680x y x y +--=所截得的弦长等于__________.二．能力题组7.【2013年全国高考统一考试天津数学（文）卷】已知过点P (2,2) 的直线与圆225(1)x y +=-相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a =（）(A) 12- (B) 1 (C) 2 (D) 128.【2013年高考新课标Ⅱ数学（文）卷】设抛物线C:y 2=4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A, B 两点.若|AF|=3|BF|，则l 的方程为（）（A ） y=x-1或y=-x+1 （B ）X-1）或y=（x-1）（C ）y=x-1）或y=x-1）（D ）x-1）或y=（x-1）【答案】C（A ）1 （B ）2三．拔高题组10.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）文科】在平面直角坐标系内，到点(1,2)A ，(1,5)B ，(3,6)C ，(7,1)D -的距离之和最小的点的坐标是_______.11.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）文科】已知圆O ：225x y +=，直线l ： cos sin 1x y θθ+=（π02θ<<）.设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k = .12.【2013年普通高等学校统一考试江苏卷】在平面直角坐标系xoy 中，设定点(,)A a a ，P 是函数1(0)y x x=>图象上一动点. 若点P ，A 之间的最短距离为，则满足条件的实数a 的所有值为 .质、二次函数的最值. 较难题.13.【2013年普通高等学校统一考试江苏卷】如图，在平面直角坐标系xoy 中，点(0,3)A ，直线:24l y x =-，设圆C 的半径为1，圆心在l 上.（1）若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线方程；（2）若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）文科】已知圆C 的方程为22(4)4x y +-=，点O 是坐标原点.直线:l y kx =与圆C 交于M 、N 两点.（Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）设(,)Q m n 是线段MN 上的点，且222211||||||OQ OM ON =+.请将n 表示为m 的函数.。

2013江苏高考数学考点8-直线与圆-典型易错题会诊-命题角度-圆的方程复习资料

命题角度4 圆的方程1(典型例题)从原点向圆x 2+y 2-12y+27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为( )ππππ6.4.2..D C B A[考场错解]由半径为3，圆心与原点距离为6，可知两切线间的夹角为60。

，故所相应的圆心角为120，故所求劣弧为圆弧长的C 故选为.4323232ππ=⨯⨯.[专家把脉]没有理解清楚优弧，劣弧的概念，劣弧应为相对较短的一段弧。

[对症下药]所求劣弧是整个圆弧的ππ2313231=⨯⨯故所求弧长为.2.(典型例题) △ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H.),(OC OB OA m OH ++=则实数m=______.[考场错解]选取特殊三角形，取△ABC 为等边三角形，则,0||,0||=++=OC OB OA OH 故m 可取任意实数。

[专家把脉]情况太特殊，若所取三角形为等腰三角形(非等边三角形)此时0||,0||≠++≠OC OB OA OH 此时与m 为任意实数相矛盾。

[对症下药].1,.,.90,,.1.=∴++=-===<=m OC OB OA OH OC OB OA OH A ABC m 故或利用直角三角形意义又可求由向量的加减法的几何3．(典型例题)圆心在直线2x-y-7=0上的圆C 与y 轴交于两点A(0,-4),B(0,-2),则圆C 的方程为_____.[考场错解]设圆的方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---+=-∙-=----=-++∙-==-+-.072)2()4(224,24,02,0.)()(00220200220200222020y x r y x x r y x x x x y r y y x x 故分别为方程的两根令解得x 0=-3,y 0=-13,r=168.故所求圆的方程为(x+3)2+(y+13)2=168.[专家把脉]应是令x=0,而不是令y=0，故后面的结果均错。

[对症下药] 法一:∵AB 的中垂线,3-=y 必过圆心故解⎩⎨⎧=---=0723y x y 得圆心坐标为=-'|'|),3,2(0A O ∴.5所求圆的方程为.5)3()2(22=++-y x法二:设圆C 的方程:22020)()(r y y x x =-+-圆心在直线072=--y x 上07200=--∴y x ①又圆过A (0, -4) B (0, -2)22020)4(r y x =--+∴ ②22020)2(r y x =--+ ③ 由①②③解得⎪⎩⎪⎨⎧=∴-==53200r y x 圆的方程++-y x ()2(2 2)3专家会诊1.求圆的方程应注意根据所给的条件,恰当选择方方程的形式,用待定系数法求解.2讨论点、直线、圆与圆的位置关系时，一般可从代数特征（方程组解的个数）或几何特征去考虑，其中几何特征数更为简捷实用。

2013年高考真题理科数学分类汇编：考点39 圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系含解析

考点39 圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1.（2013·重庆高考文科·Ｔ4）设P是圆22-++=上的动点，(3)(1)4x yx=-上的动点，则PQ的最小值为( )Q是直线3A. 6 B。

4 C. 3 D. 2【解题指南】PQ的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径。

【解析】选B。

PQ的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径.圆心)1,3(-到直线3-=x的距离为6,半径为2，所以PQ的最小值为6=-。

242.(2013·天津高考文科·T5)已知过点P(2，2)的直线与圆（x—1)2+y2=5相切，且与直线ax-y+1=0垂直,则a= ( ）A. 1- B. 1 C。

2 D。

122【解题指南】根据圆的切线的性质确定切线的斜率，再由两直线垂直求a的值.【解析】选C.因为点P(2,2）为圆（x-1）2+y2=5上的点，由圆的切线性质可知,圆心（1,0)与点P（2,2)的连线与过点P（2，2)的切线垂直.因为圆心（1,0)与点P（2,2）的连线的斜率k=2，故过点P,所以直线ax-y+1=0的斜率为2，因此（2，2)的切线斜率为—12a=2。

A.1 B 。

2 C 。

4 D 。

【解题指南】由圆的半径、圆心距、半弦长组成直角三角形，利用勾股定理即可求得半弦长。

【解析】选C.由22(1)(2)5x y 得圆心（1，2），半径5r,圆心到直线x+2y-5+的距离|1455|15d，在半径、圆心距、半弦长组成的直角三角形中，弦长222244lr d 。

4。

（2013·重庆高考理科·Ｔ7）已知圆1C :22(2)(3)1x y -+-=,圆2C ：22(3)(4)9x y -+-=，M、N 分别是圆1C 、2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值为 ( ) A 。

425- B.117-C.226-D.17【解题指南】根据圆的定义可知421-+=+PC PCPN PM ,然后利用对称性求解.【解析】选A.由题意知，圆1C ：22(2)(3)1x y -+-=，圆2C :22(3)(4)9x y -+-=的圆心分别为)4,3(),3,2(21C C ，且421-+=+PC PCPN PM ，点)3,2(1C 关于x 轴的对称点为)3,2(-C ,所以252221=≥+=+CC PC PC PC PC ，即425421-≥-+=+PC PCPN PM .5.(2013·广东高考文科·Ｔ7)垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是( )A ．0x y +=B ．10x y ++=C ．10x y +-= D ．0x y +=【解析】选A. 由题意知直线方程可设为0x y c +-=（0c >），则圆心到直线的距离等于半径1，即1=，c =所求方程为0x y +=。

2013届名校试题精选分类汇编8：直线与圆

2013届名校解析试题精选分类汇编8：直线与圆一、选择题 1 ．（山东省青岛一中2013届高三1月调研考试文科数学）已知A ．B 两点分别在两条互相垂直的直线20x y -=和0x ay +=上,且AB 线段的中点为P 10(0,)a,则线段AB 的长为（）A ．11B ．10C ．9D ．8【答案】B 直线20x y -=的斜率为2,0x ay +=的斜率为1a -.因为两直线垂直,所以112a-=-,所以2a =.所以直线方程20x y +=,中点(0,5)P .则5OP =,在直角三角形中斜边的长度22510AB OP ==⨯=,所以线段AB 的长为10,选B ．2 ．（山东省济南市2013届高三3月高考模拟文科数学）已知两条直线012)1(:1=++-y x a l ,03:2=++ay x l 平行,则=a（） A ．-1B ．2C ．0或-2D ．-1或2【答案】D 若0a =,两直线方程为210x y -++=和3x =-,此时两直线相交,不平行.所以0a ≠.当0a ≠时,两直线若平行,则有12113a a -=≠,解得1a =-或2a =,选 D ．3 ．（山东省青岛即墨市2013届高三上学期期末考试数学（文）试题）已知0≠a 直线04)2(=+++y b ax 与直线03)2(=--+y b ax 互相垂直,则ab 的最大值等于（）A ．0B ．2C ．4D ．2【答案】B 解:若2b =,两直线方程为14a y x =--和3x a=,此时两直线相交.若2b =-,两直线方程为4x a =-和344a y x =-,此时两直线相交.所以当2b ≠±时,两直线方程为422a y x b b =--++和322a y x b b =-+--,此时两直线的斜率分别为,22a a b b --+-,由()122a ab b -⋅-=-+-得224a b +=.因为2242a b ab +=≥,所以2ab ≤,即ab 的最大值等2,当且仅当a b ==时取等号.所以选 B ．4 ．（山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试数学（文）试题）已知倾斜角为α的直线l 与直线x -2y十2=0平行,则tan 2α的值（）A ．45B ．43C ．34D ．23【答案】B 直线的斜率为12,即直线l 的斜率为1tan 2k α==,所以22122tan 142tan 2131tan 31()24ααα⨯====--,选 B ．5 ．（山东省威海市2013届高三上学期期末考试文科数学）若直线y kx =与圆22(2)1x y -+=的两个交点关于直线20x y b ++=对称,则,k b 的值分别为（）A ．1,42k b ==- B ．1,42k b =-= C ．1,42k b == D ．1,42k b =-=-【答案】【答案】A 因为直线y kx =与圆22(2)1x y -+=的两个交点关于直线20x y b ++=对称,则y kx =与直线20x y b ++=垂直,且20x y b ++=过圆心,所以解得1,42k b ==-,选A ．6 ．（山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试文科数学）在平面直角坐标系xOy 中,直线0543=-+y x 与圆422=+y x 相交于（） A ．B 两点,则弦AB 的长等于（）A ．33B ．32C ．3D．1【答案】B圆心到直线的距离1d ==,所以222()2AB R d -=,即2224()4(41)12AB R d =-=-=,所以AB ==,选 B ．7 ．（山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（文）试题）在平面直角坐标系xoy 中,圆C 的方程为228150x y x +-+=,若直线2y kx =+上至少存在一点,使得以该点为圆心,半径为1的圆与圆C 有公共点,则k 的最小值是（）A ．43-B ．54-C ．35-D ．53-【答案】A 因为圆C 的方程可化为:()2241x y -+=,所以圆C 的圆心为(4,0),半径为1.因为由题意,直线2y kx =+上至少存在一点00(,2)A x kx +,以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点;所以存在0x R ∈,使得11AC ≤+成立,即min 2AC≤.因为min AC 即为点C 到直线2y kx =+2,解得403k -≤≤.所以k 的最小值是43-,选A ．8 ．（山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试文科数学）已知两条直线2-=ax y 和01)2(3=++-y a x 互相平行,则a 等于（）A ．1或-3B ．-1或3C ．1或3D ．-1或3【答案】A 因为直线2-=ax y 的斜率存在且为a ,所以(2)0a -+≠,所以01)2(3=++-y a x 的斜截式方程为3122y x a a =+++,因为两直线平行,所以32a a =+且122a ≠-+,解得1a =-或3a =,选（）A ．9 ．（山东省德州市2013届高三3月模拟检测文科数学）直线y x m =+与圆221x y +=在第一象限内有两个不同的交点,则m 取值范围是（）A2m <<B3m <<Cm <<D．1m << 【答案】D 当直线经过点(0,1)时,直线与圆有两个不同的交点,此时1m =.当直线与圆相切时有圆心到直线的距离1d ==,解得m =,所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点,则1m <<选 D ． 10．（山东省滨州市2013届高三第一次（3月）模拟考试数学（文）试题）已知圆C 经过(5,2),(1,4)A B -两点,圆心在x 轴上,则圆C 的方程是（）A ．22(2)13x y -+= B ．22(2)17x y ++= C ．22(1)40x y ++=D ．22(1)20x y -+=【答案】D 设圆心坐标为(,0)C a ,则AC BC =,=解得1a =,所以半径r ===所以圆C 的方程是22(1)20x y -+=,选D ．11．（山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测数学（文）试题）直线()2110x a y +++=的倾斜角的取值范围是（）A ．0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．3[,)4ππ C ．0,,42πππ⎡⎤⎛⎫⋃ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭D ．3,,424ππππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【答案】B 直线的斜截式方程为221111y x a a =--++,所以斜率为211k a =-+,即21tan 1a α=-+,所以1tan 0α-≤<,解得34παπ≤<,即倾斜角的取值范围是3[,)4ππ,选 B ．12．（山东省德州市2013届高三上学期期末校际联考数学（文））已知P 是直线:34110l x y -+=上的动点,P（）A ．PB 是圆222210x y x y +--+=的两条切线,C 是圆心,那么四边形PACB 面积的最小值是（）AB ．C D ．【答案】C 解:圆的标准方程为22(1)(1)1x y -+-=,圆心为(1,1)C ,半径为1r =.根据对称性可知四边形PACB 面积等于22APC S ∆=要使四边形PACB 面积的最小值,则只需PC 最小,此时最小值为圆心到直线:34110l x y -+=的距离1025d =,所以四边形PACB 面积的最小值为2APC S ∆==,选C,13．（山东省烟台市2013届高三上学期期末考试数学（文）试题）已知直线22(0,0)ax by a b -=＞＞过圆224210x y x y +-++=的圆心,ab 的最大值为_______________【答案】14圆的标准方程为22(2)(1)4x y -++=,所以圆心为(2,1)-,因为直线过圆心,所以222a b +=,即1a b +=.又1a b +≥=,所以14ab ≤,当且仅当12a b ==时取等号,所以ab 的最大值为14.14．（山东省青岛一中2013届高三1月调研考试文科数学）如图所示, C 是半圆弧x 2+y 2=1(y≥0)上一点, 连接AC 并延长至D, 使|CD|=|CB|, 则当C 点在半圆弧上从B 点移动至A 点时,D 点的轨迹是_______的一部分,D 点所经过的路程为______.【答案】圆解:设点(,)D x y (其中D 点不与A 、B 两点重合),连接BD,设直线BD 的倾斜角为α,直线AD 的倾斜角为β.由题意得,tan ,tan 11AD BD y yk k x x αβ====+-.因为|CD|=|CB|,所以45ADB ∠=,则有45αβ=+ ,即45αβ-=,即tan tan tan()tan 4511tan tan αβαβαβ--===+由此化简得22(1)2x y +-=(其中D 点不与A 、B 两点重合). 又因为D 点在A 、B 点时也符合题意,因此点D 的轨迹是以点(0,1)为圆心为半径的半圆, 点D.15．（【解析】山东省临沂市2013届高三5月高考模拟文科数学）已知圆C :2218x y +=,直线l :4325,x y +=则圆C 上任一点到直线l 的距离小于2的概率为_____________.【答案】14圆的半径为OC =圆心到直线的距离2555d ===,要使圆C 上任一点到直线l 的距离小于2,则此时圆心到直线BC 的距离为 3.此时圆上的点位于弧BC 上.因为3OE =,OC =所以4OCE π∠=,所以2BOC π∠=.所以弧BC的长度为2π⨯=,所以由几何概型得所求概率为14P ==.16．（山东省济南市2013届高三上学期期末考试文科数学）圆心在原点,并与直线34100x y --=相切的圆的方程为_______________.【答案】224x y +=解:圆心到直线的距离1025d ===,即圆的半径为2,所以圆的标准方程为224x y +=.。

全国高考数学试题分类汇编8直线与圆

全国高考理科数学试题分类汇编8：直线与圆一、选择题1 ．（上海市春季高考数学试卷(含答案)）直线2310x y -+=的一个方向向量是（）A ．(2 3)-，B ．(2 3)，C ．(3 2)-，D ． (3 2)，【答案】D 2 ．（普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））已知点(1,0),(1,0),(0,1)A B C -,直线(0)y ax b a =+>将△ABC 分割为面积相等的两部分,则b 的取值范围是（）A ．(0,1) B．1(1)2( C) 1(1]3 D ． 11[,)32【答案】B3 ．（普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））过点(3,1)作圆22(1)1x y -+=的两条切线,切点分别为A ,B ,则直线AB 的方程为（）A ．230x y +-=B ．230x y --=C ．430x y --=D ．430x y +-=【答案】A4 ．（普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知点()()()30,0,0,,,.ABC ,O A b B a a ∆若为直角三角形则必有（）A ．3b a =B ．31b a a=+C ．()3310b a b a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭D ．3310b a b a a-+--= 【答案】C5 ．（高考江西卷（理））如图,半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线,12,l l 之间l //1l ,l 与半圆相交于F,G 两点,与三角形ABC 两边相交于E,D 两点,设弧»FG的长为(0)x x π<<,y EB BC CD =++,若l 从1l 平行移动到2l ,则函数()y f x =的图像大致是【答案】D6 ．（高考湖南卷（理））在等腰三角形ABC 中,=4AB AC =，点P 是边AB 上异于,A B 的一点,光线从点P 出发,经,BC CA 发射后又回到原点P (如图1).若光线QR 经过ABC ∆的中心,则AP 等（）A ．2B ．1C ．83D ．43【答案】D 二、解答题 7 ．（普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分14分.如图,在平面直角坐标系xOy 中,点)3,0(A ,直线42:-=x y l ,设圆C 的半径为1,圆心在l 上.(1)若圆心C 也在直线1-=x y 上,过点A 作圆C 的切线,求切线的方程; (2)若圆C 上存在点M ,使MO MA 2=,求圆心C 的横坐标a 的取值范围.【答案】解:(1)由⎩⎨⎧-=-=142x y x y 得圆心C 为(3,2),∵圆C 的半径为1∴圆C 的方程为:1)2()3(22=-+-y x显然切线的斜率一定存在,设所求圆C 的切线方程为3+=kx y ,即03=+-y kx∴113232=++-k k ∴1132+=+k k ∴0)34(2=+k k ∴0=k 或者43-=k∴所求圆C 的切线方程为:3=y 或者343+-=x y 即3=y 或者01243=-+y x (2)解:∵圆C 的圆心在在直线42:-=x y l 上,所以,设圆心C 为(a,2a-4) 则圆C 的方程为:[]1)42()(22=--+-a y a x又∵MO MA 2=∴设M 为(x,y)则22222)3(y x y x +=-+整理得:4)1(22=++y x 设为圆D∴点M 应该既在圆C 上又在圆D 上即:圆C 和圆D 有交点∴[]12)1()42(1222+≤---+≤-a a由08852≥+-a a 得R x ∈ 由01252≤-aa 得5120≤≤x 终上所述,a 的取值范围为:⎥⎦⎤⎢⎣⎡512,0。

江苏省各地市2013年高考数学最新联考试题分类汇编(9) 直线与圆

x2 y2 3 为的椭圆 T： 2 2 1 （ a b 0 ）相切于点 M (0,1) 。 2 a b
1
⑴求椭圆 T 与圆 O 的方程； ⑵过点 M 引两条互相垂直的两直线 l1 、 l 2 与两曲线分别交于点 A、C 与点 B、D（均不重合）。 ①若 P 为椭圆上任一点，记点 P 到两直线的距离分别
2 为 d1 、 d 2 ，求 d12 d 2 的最大值；
②若 3MA MC 4MB MD ，求 l1 与 l 2 的方程。
把
A, C
中
的
k
置
换
成

1 k
可
得
B(
2k k 2 1 , ) k 2 1 k 2 1
，
D(
8k k 2 4 , ) „„„„„„„„„„„„12 分 k2 4 k2 4 2k 2k 2 8k 8k 2 , ) MC ( , ) ， k 2 1 1 k 2 4k 2 1 1 4 k 2
2 2 2
M 为 l 上一动点，A1，A2 为圆 C 与 x 轴的两个交点，直线 MA1，MA2 与圆 C 的另一个交点
分别为 P、Q．（1）若 r＝2，M 点的坐标为(4，2)，求直线 PQ 方程；（2）求证：直线 PQ 过定点，并求定点的坐标．
x 2 y 2 r 2， r (a r )2 rt 2 2tr (a r ) ，解得P ．„„„„„„„„10 分 2 2 t ( a r ) t ( a r )2 t 2 y (x r) ar
2at ， a －t2－r2
2
3
直线 PQ 的方程为 y 分
2tr (a r ) r (a r ) 2 rt 2 2at x ． „„„„„„14 (a r )2 t 2 a 2 t 2 r 2 (a r ) 2 t 2

2013-2017年高考数学(理)分类汇编：第9章-直线与圆的方程(含答案解析)

第九章直线与圆的方程第1节直线的方程与两条直线的位置关系1．（2017浙江11）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积6S ，6S = . 1.解析正六边形的面积为6个正三角形的面积和，所以61=611sin 602S 创创=o . 题型102 倾斜角与斜率的计算——暂无1.（2013江西理9）过点引直线l与曲线y =A ，B 两点，O 为坐标原点，当AOB △的面积取最大值时，直线l 的斜率等于（）. AB． C． D．2．（2015山东理9）一条光线从点()23--，射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-= 相切，则反射光线所在直线的斜率为( ).A ．53-或35-B ．32-或23-C ．54-或45-D ．43-或34- 2.解析由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点()2,3-．设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为()32y k x +=-，即230kx y k ---=．由题意，圆心()3,2-到此直线的距离等于圆的半径1，1=，所以21225120k k ++=，解得43k =-或34k =-．故选D ．题型103 直线的方程——暂无1.（2013山东理9）过点()3,1作圆()2211x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（）.A. 230x y +-=B. 230x y --=C. 430x y --=D. 430x y +-=2.（2013江苏17）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l .设圆C 的半径为1，圆心在l 上.（1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；（2）若圆C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.3．（2015广东理5）平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是（）. A ．250x y ++=或250x y +-=B ．20x y +=或20x y += C ．250x y -+=或250x y --=D ．20x y -=或20x y -= 3.解析设所求切线方程为20x y c ++==5c =±，所以所求切线的方程为20x y +=或20x y +=．故选A ．题型104 两直线位置关系的判定——暂无1．（2015广东理5）平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是（）. A ．250x y ++=或250x y +-=B ．20x y +=或20x y += C ．250x y -+=或250x y --=D ．20x y -=或20x y -= 1.解析设所求切线方程为20x y c ++==5c =±，所以所求切线的方程为20x y +=或20x y +=．故选A ．题型105 有关距离的计算1.（2014 重庆理 13）已知直线20ax y +-=与圆心为C 的圆()()2214x y a -+-=相交于,A B 两点，且ABC △为等边三角形，则实数a =_________.2.（2014 新课标2理16）设点()0,1M x ，若在圆O ：221x y +=上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是 .3.（2014 新课标1理 6）如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数()f x ，则()y f x =在[]0,π上的图像大致为（）.4.（2014 福建理 6）直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“OAB △的面积为12”的（）. A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件5．（2015广东理5）平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是（）. A ．250x y ++=或250x y +-= B．20x y +=或20x y += C ．250x y -+=或250x y --= D．20x y -=或20x y -= 5.解析设所求切线方程为20x y c ++==5c =±，所以所求切线的方程为20x y +=或20x y +=．故选A ．6．（2015江苏理10）在平面直角坐标系xOy 中，以点()1,0为圆心且与直线210mx y m ---=()m ∈R 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．6.解析解法一（几何意义）：动直线210mx y m ---=整理得()()210m x y --+=，则l 经过定点()2,1M -，故满足题意的圆与l 切于M 时，半径最大，A.B.C.D.从而r ==()2212x y -+=．解法二（代数法——基本不等式）：由题意r d======…1m =时，取“=”．故标准方程为()2212x y -+=．解法三（代数法——∆判别式）：由题意r d===设22211m m t m ++=+，则()21210t m m t --+-=，因为m ∈R ，所以()()222410t ∆=---…，解得02t 剟，即d7．（2015湖北理14）如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的上方），且2AB =． (1)圆C 的标准．．方程为； (2)过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论： ①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=；③NB MA NAMB+=其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）7.解析（1）由条件可设圆C 的标准．．方程为2(1)()22x-+y -r r =(r 为半径)，因为2AB =，所以r =C 的标准．．方程为(1)(222x +y -=. （2）在(1)(222x +y -=中令0x =得1),1)A B ,因为N 在圆22:1O x y +=上，所以由三角函数的定义可设(cos ,sin ),N θθ从而NA NB=1==.同理1MA MB=，故NA MA NBMB=，1)2NB MA NAMB-=-=，1)NB MA NAMB+=+=8．（2015全国II 理7）过三点()1,3A ，()4,2B ，()1,7C -的圆交于y 轴于,M N 两点，则MN =（）．A.26B. 8C. 46D. 10 8. 解析由题意得321143AB k -==--，27341CB k +==--，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC △为直角三角形，则外接圆的圆心为AC 的中点(1,2)-，半径为5，所以外接圆方程为22(1)(2)25x y -++=，令0x =，则有2y =±，所以MN =C ．9．（2015广东理20）已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A ，B .(1) 求圆1C 的圆心坐标；(2) 求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3) 是否存在实数k ,使得直线:(4)l y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.9. 解析（1）由22650x y x +-+=得()2234x y -+=，所以圆1C 的圆心坐标为()3,0；（2）设(),M x y ．因为点M 为弦AB 中点，即1C M AB ⊥，所以11C M AB k k =-，即13y y x x =--，所以线段AB 的中点M 的轨迹的方程为223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…；（3）由（2）知点M 的轨迹是以3,02C ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，32r =为半径的部分圆弧EF （不包括两端点），且53E ⎛ ⎝⎭，5,3F ⎛⎝⎭．又直线():4l y k x =-过定点()4,0D ，当直线l 与圆C32=得34k =±．又05743DEDFkk ⎛- ⎝⎭=-=-=-3325,,44k ⎡⎧⎫∈--⎨⎬⎢⎩⎭⎣⎦时，直线():4l y k x =-与曲线C 只有一个交点．10．（2015四川理10）设直线l 与抛物线24y x =相交于,A B 两点，与圆C ：()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（）.A. ()1,3B. ()1,4C. ()2,3D. ()2,410. 解析设直线l 的方程为x ty m =+，代入抛物线方程得2440y ty m --=，则216160t m ∆=+>.又中点()22,2Mtm t +，则1MC l k k ⋅=-，即232m t =-.代入21616t m∆=+，可得230t ->，即203t <<. 又由圆心到直线的距离等于半径，可得2d r ====由203t <<，可得()2,4r ∈.故选D.11.（2015重庆理8）已知直线()10l x ay a +-=∈R ：是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点()4,A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB =（）. A. 2 B.C.6D.11. 解析易知圆的标准方程()()22:214C x y -+-=，圆心O 为()2,1.又因为直线01:=-+ay x l 是圆的对称轴，则该直线一定经过圆心，得知1a =-，(4,1)A --．又因为AB 直线与圆相切，则OAB △为直角三角形,OA ==2=OB ,622=-=OB OA AB ．12.（2016全国甲理4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（）. A.43-B.34-D.2 12.A 解析将圆2228130x y x y +--+=化为标准方程为：()()22144x y -+-=，故圆心为()14，，所以1d ==，解得43a =-.故选A ．13.（2016上海理3）1:210l x y +-=，2:210l x y ++=，则1l ，2l 的距离为．13.5 解析由题意d==．故填514.（2016全国丙理16）已知直线:30l mx y m ++=与圆2212x y +=交于A ，B 两点，过A ，B 分别做l 的垂线与x 轴交于C，D 两点，若AB =，则CD =__________________.14.4 解析解法一：根据直线与圆相交弦长公式有AB ==223r d -=，又212r=，得3d =.因此圆心()0,0O 到直线l ：30mx y m ++=的距离3d==，解得3m =-因此直线l的方程为3y x =+所以直线l 的倾斜角为30.如图所示，过点C 作CE BD ⊥于点E ，则4cos30cos303CE AB CD ====.解法二：直线l：30mx y m ++=，知直线l过定点(A ，又AB r =，所以OAB△为等边三角形,因为(A ，所以30AOC ∠=，又知60AOB ∠=,所以点B 在y 轴上（直线l 的斜率存在）.所以得直线l 的倾斜角为30，则4cos30cos303CE AB CD ====. 第2节圆的方程题型106 求圆的方程——暂无1.（2014 陕西理 12）若圆C 的半径为1，其圆心与点()1,0关于直线x y =对称，则圆C 的标准方程为_______.2．（2015江苏理10）在平面直角坐标系xOy 中，以点()1,0为圆心且与直线210mx y m ---=()m ∈R 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．2.解析解法一（几何意义）：动直线210mx y m ---=整理得()()210m x y --+=，则l 经过定点()2,1M -，故满足题意的圆与l 切于M 时，半径最大，从而r ==()2212x y -+=．解法二（代数法——基本不等式）：由题意r d ======…1m =时，取“=”．故标准方程为()2212x y -+=．解法三（代数法——∆判别式）：由题意r d ===设22211m m t m ++=+，则()21210t m m t --+-=，因为m ∈R ，所以()()222410t ∆=---…，解得02t 剟，即d3．（2015湖北理14）如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的上方），且2AB =． (1)圆C 的标准．．方程为； (2)过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论： ①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=；③NB MA NAMB+=其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）3.解析（1）由条件可设圆C 的标准．．方程为2(1)()22x-+y -r r =(r 为半径)，因为2AB =，所以r =C 的标准．．方程为(1)(222x +y -=.（2）在(1)(222x +y -=中令0x =得1),1)A B ,因为N 在圆22:1O x y +=上，所以由三角函数的定义可设(cos ,sin ),N θθ从而NA NB=1==.同理1MA MB=，故NA MA NBMB=，1)2NB MA NAMB-=-=，1)NB MA NAMB+=+=4．（2015全国II 理7）过三点()1,3A ，()4,2B ，()1,7C -的圆交于y 轴于,M N 两点，则MN =（）．A.26B. 8C. 46D. 10 4. 解析由题意得321143AB k -==--，27341CB k +==--，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC △为直角三角形，则外接圆的圆心为AC 的中点(1,2)-，半径为5，所以外接圆方程为22(1)(2)25x y -++=，令0x =，则有2y =±，所以MN =C ．题型107 与圆有关的轨迹问题——暂无1．（2015广东理20）已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A ，B .（1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ,使得直线:(4)l y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.1. 解析（1）由22650x y x +-+=得()2234x y -+=，所以圆1C 的圆心坐标为()3,0；（2）设(),M x y ．因为点M 为弦AB 中点，即1C M AB ⊥，所以11C M AB k k =-，即13y y x x =--，所以线段AB 的中点M 的轨迹的方程为223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…；（3）由（2）知点M 的轨迹是以3,02C ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，32r =为半径的部分圆弧EF（不包括两端点），且53E ⎛⎝⎭，5,3F ⎛⎝⎭．又直线():4l y k x =-过定点()4,0D ，当直线l 与圆C32=得34k =±．又05743DEDFkk ⎛- ⎝⎭=-=-=-3325,,44k ⎡⎧⎫∈--⎨⎬⎢⎩⎭⎣⎦时，直线():4l y k x =-与曲线C 只有一个交点．题型115 与圆有关的最值或取值范围问题1．（2015四川理10）设直线l 与抛物线24y x =相交于,A B 两点，与圆C ：()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（）.A. ()1,3B. ()1,4C. ()2,3D. ()2,41. 解析设直线l 的方程为x ty m =+，代入抛物线方程得2440y ty m --=，则216160t m ∆=+>.又中点()22,2Mtm t +，则1MC l k k ⋅=-，即232m t =-.代入21616t m∆=+，可得230t ->，即203t <<. 又由圆心到直线的距离等于半径，可得2d r ====由203t <<，可得()2,4r ∈.故选D.第3节直线与圆、圆与圆的位置关系题型108 直线与圆的位置关系1.（2014 湖北理 12）直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b +=________.2.（2014 江西理 9）在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（）.A.45π B.34π C.(6-π D.54π3.（2014 福建理 6）直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“OAB △的面积为12”的（）. A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件4.（2014 大纲理 15）直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为()1,3，则1l 与2l 的夹角的正切值等于 .5．（2015山东理9）一条光线从点()23--，射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-= 相切，则反射光线所在直线的斜率为( ). A ．53-或35-B ．32-或23-C ．54-或45-D ．43-或34- 5.解析由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点()2,3-．设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为()32y k x +=-，即230kx y k ---=．由题意，圆心()3,2-到此直线的距离等于圆的半径1，1=，所以21225120k k ++=，解得43k =-或34k =-．故选D ．6．（2015广东理5）平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是（）. A ．250x y ++=或250x y +-= B．20x y +=或20x y += C ．250x y -+=或250x y --= D．20x y -=或20x y -= 6.解析设所求切线方程为20x y c ++==5c =±，所以所求切线的方程为20x y +=或20x y +=．故选A ． 7．（2015江苏理10）在平面直角坐标系xOy 中，以点()1,0为圆心且与直线210mx y m ---=()m ∈R 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．7.解析解法一（几何意义）：动直线210mx y m ---=整理得()()210m x y --+=，则l 经过定点()2,1M -，故满足题意的圆与l 切于M 时，半径最大，从而r ==()2212x y -+=．解法二（代数法——基本不等式）：由题意r d======…1m =时，取“=”．故标准方程为()2212x y -+=．解法三（代数法——∆判别式）：由题意r d===设22211m m t m ++=+，则()21210t m m t --+-=，因为m ∈R ，所以()()222410t ∆=---…，解得02t 剟，即d8．（2015湖北理14）如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的上方），且2AB =． (1)圆C 的标准．．方程为； (2)过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论： ①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=；③NB MA NAMB+=其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）8.解析（1）由条件可设圆C 的标准．．方程为2(1)()22x-+y -r r =(r 为半径)，因为2AB =，所以r =C 的标准．．方程为(1)(222x +y -=. （2）在(1)(222x +y -=中令0x =得1),1)A B ,因为N 在圆22:1O x y +=上，所以由三角函数的定义可设(cos ,sin ),N θθ从而NA NB=1==.同理1MA MB=，故NA MA NBMB=，1)2NB MA NAMB-=-=，1)NB MA NAMB+=+=9．（2015全国II 理7）过三点()1,3A ，()4,2B ，()1,7C -的圆交于y 轴于,M N 两点，则MN =（）．A.26B. 8C. 46D. 10 9. 解析由题意得321143AB k -==--，27341CB k +==--，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC △为直角三角形，则外接圆的圆心为AC 的中点(1,2)-，半径为5，所以外接圆方程为22(1)(2)25x y -++=，令0x =，则有2y =±，所以MN =C ．10．（2015广东理20）已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A ，B .（1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ,使得直线:(4)l y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.10. 解析（1）由22650x y x +-+=得()2234x y -+=，所以圆1C 的圆心坐标为()3,0；（2）设(),M x y ．因为点M 为弦AB 中点，即1C M AB ⊥，所以11C M AB k k =-，即13y y x x =--，所以线段AB 的中点M 的轨迹的方程为223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…；（3）由（2）知点M 的轨迹是以3,02C ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，32r =为半径的部分圆弧EF （不包括两端点），且53E ⎛ ⎝⎭，5,3F ⎛⎝⎭．又直线():4l y k x =-过定点()4,0D ，当直线l 与圆C32=得34k =±．又05743DEDFkk ⎛- ⎝⎭=-=-=-3325,,44k ⎡⎧⎫∈--⎨⎬⎢⎩⎭⎣⎦时，直线():4l y k x =-与曲线C 只有一个交点．11．（2015四川理10）设直线l 与抛物线24y x =相交于,A B 两点，与圆C ：()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（）.A. ()1,3B. ()1,4C. ()2,3D. ()2,411. 解析设直线l 的方程为x ty m =+，代入抛物线方程得2440y ty m --=，则216160t m ∆=+>.又中点()22,2Mtm t +，则1MC l k k ⋅=-，即232m t =-.代入21616tm ∆=+，可得230t ->，即203t <<. 又由圆心到直线的距离等于半径，可得2d r ====由203t <<，可得()2,4r ∈.故选D.12.（2015重庆理8）已知直线()10l x ay a +-=∈R ：是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点()4,A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB =（）. A. 2 B.C.6D. 12. 解析易知圆的标准方程()()22:214C x y -+-=，圆心O 为()2,1.又因为直线01:=-+ay x l 是圆的对称轴，则该直线一定经过圆心，得知1a =-，(4,1)A --．又因为AB 直线与圆相切，则OAB △为直角三角形,OA ==2=OB ,622=-=OB OA AB ．13.（2016全国甲理4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =( ). A.43-B.34-D.2 13.A 解析将圆2228130x y x y +--+=化为标准方程为：()()22144x y -+-=，故圆心为()14，，所以1d ==，解得43a =-.故选A ．题型109 直线与圆的相交关系及其应用1.（2013江西理9）过点引直线l 与曲线y =A ，B 两点，O 为坐标原点，当AOB △的面积取最大值时，直线l 的斜率等于（）.AB ．C ．D ．2.（2014 重庆理 13）已知直线20ax y +-=与圆心为C 的圆()()2214x y a -+-=相交于,A B 两点，且ABC △为等边三角形，则实数a =_________.3.（2014 江苏理 9）在平面直角坐标系xOy 中，直线230x y +-=被圆()()22214x y -++=截得的弦长为．4.（2016北京理11）在极坐标系中，直线cos sin 10ρθθ-=与圆2cos ρθ=交于,A B 两点，则 AB =_______.4.2解析解法一：在平面直角坐标系中，题中的直线圆的方程分别是10x -=，222x y x +=.可得,A B 两点的坐标(,)x y ，即为方程组221(1)1x x y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩的解，用代入法可求得,A B两点的坐标分别为111,12222⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以由两点的距离公式可求得2AB =.解法二：直线的直角坐标方程为10x -=，圆的直角坐标方程为22(1)1x y -+=.圆心()1,0在直线上，因此AB 为圆的直径，所以2AB =.5.（2016全国丙理14）在[1,1]-上随机地取一个数k ，则事件”直线y kx =与圆22(5)9x y -+=相交”发生的概率为 .5.34解析首先k 的取值空间的长度为2，由直线kx y =与圆22(5)9x y -+=相交，所以3<，解得3344k -剟，所以得事件发生时k 的取值空间为33,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，其长度为23，利用几何概型可知，所求概率为43=223. 6.（2016全国丙理16）已知直线:30l mx y m ++=与圆2212x y +=交于A ，B 两点，过A ，B 分别做l 的垂线与x 轴交于C ，D两点，若AB =，则CD =__________.6.4 解析解法一：根据直线与圆相交弦长公式有AB =得223r d -=，又212r =，得3d =.因此圆心()0,0O 到直线l：30mx y m ++=的距离3d ==，解得m = 因此直线l的方程为y x =+所以直线l 的倾斜角为30.如图所示，过点C 作CE BD ⊥于点E ，则4cos30cos303CE AB CD ====. 解法二：直线l ：30mxy m ++=，知直线l过定点(A ，又ABr =，所以OAB△为等边三角形,因为(A ，所以30AOC ∠=,又知60AOB ∠=,所以点B在y 轴上（直线l 的斜率存在）.所以得直线l 的倾斜角为30，则4cos30cos303CE AB CD ====. 题型110 直线与圆相切、相离关系及其应用——暂无1. （2013山东理9）过点()3,1作圆()2211x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（）.A. 230x y +-=B. 230x y --=C. 430x y --=D. 430x y +-=2.（2013江苏17）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l .设圆C 的半径为1，圆心在l 上.（1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；（2）若圆C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.3.（2014 江西理 9）在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（）. A.45πB.34πC.(6-πD.54π 4.（2014 大纲理 15）直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为()1,3，则1l 与2l 的夹角的正切值等于 .题型111 直线与圆的综合1.（2014 新课标2理16）设点()0,1M x ，若在圆O ：221x y +=上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是 .2.（2014 湖北理 12）直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b +=________.3．（2016江苏18）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆22:1214600M x y x y +--+=及其上一点()2,4A .（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x=上，求圆N 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =，求直线l 的方程；（3）设点(),0T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA TP TQ +=，求实数t 的取值范围．3.解析（1）因为N 在直线6x =上，设()6,N n ，因为与x 轴相切，则圆N 为()()2226x y n n -+-=，0n >.又圆N 与圆M 外切，圆()()22:6725M x y -+-=，则75n n -=+，解得1n =，即圆N 的标准方程为()()22611x y -+-=.（2）由题意得OA =2OA k =，设:2l y x b =+，则圆心M 到直线l的距离d =，则BC ===5b =或15b =-，即:25l y x =+或215y x =-.（3）解法一：不妨设()11,P x y ，()22,Q x y ，又因为()2,4A ，(),0T t ，由TA TP TQ +=，所以212124x x ty y =+-⎧⎨=+⎩，因为点Q 在圆M 上，因此满足()()22226725x y -+-=，故有()()22114325x t y --+-=，又点P 在圆M 上，故点P 既在圆()()224325x t y --+-=上，也在圆()()226725x y -+-=上，所以只需两圆有公共点即可，所以5555-+，解得22t -+t 的取值范围为2⎡-+⎣．评注对于第（3）问，尝试将向量进行组合运算可以得到．解法二：TA TP TQ +=，即TA TQ TP PQ =-=.则有必要条件TA PQ =.因为(TAt =，又10PQ …10，解得2t ⎡∈-+⎣.下论证充分性，即存在两点可使TA PQ =.对于任意2t ⎡∈-+⎣，欲使TA PQ =，此时10TA …，只需要作直线TA 2TA ，必然与圆交于,P Q 两点，此时TA PQ =，且有TA PQ =，因此对于任意2t ⎡∈-+⎣，均满足题意，综上实数t 的取值范围为2⎡-+⎣.4.（2017江苏13）在平面直角坐标系xOy 中，点()12,0A -，()0,6B ，点P 在圆22:50O x y +=上．若20PA PB ⋅…，则点P 的横坐标的取值范围是．4.解析不妨设()00,P x y ，则220050x y +=，且易知0x ⎡∈-⎣．因为PA PB AP BP =⋅⋅()()000012,,6x y x y =+⋅-=220000126x x y y ++-005012620x y =+-…，故00250x y -+…．所以点()00,P x y 在圆22:50O x y +=上，且在直线250x y -+=的左上方（含直线）.联立2250250x y x y ⎧+=⎨-+=⎩，得15x =-，21x =，如图所示，结合图形知0x ⎡⎤∈-⎣⎦．故填⎡⎤-⎣⎦．2评注也可以理解为点P 在圆22000012620x y x y +=+-的内部来解决，与解析中的方法一致． 5．（2107全国3卷理科20）已知抛物线22C y x =：，过点()20，的直线l 交C 与A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．（1）求证：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点()42P -，，求直线l 与圆M 的方程． 5．解析（1）显然当直线斜率为0时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．设:2l x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立222y x x my ⎧=⎨=+⎩，得2240y my --=， 2416m ∆=+恒大于0，122y y m +=，124y y =-．1212OA OB x x y y ⋅=+u u r u u u r 1212(2)(2)my my y y =+++21212(1)2()4m y y m y y =++++=24(1)2240m m m -++⋅+=，所以OA OB ⊥uu r uu u r ，即点O 在圆M 上．（2）若圆M 过点P ，则0AP BP ⋅=uu u r uu r ，即1212(4)(4)(2)(2)0x x y y --+++=，即1212(2)(2)(2)(2)0my my y y --+++=，即21212(1)(22)()80m y y m y y +--++=，化简得2210m m --=，解得12m =-或1. ①当12m =-时，:240l x y +-=，设圆心为00(,)Q x y ，则120122y y y +==-，0019224x y =-+=，半径||r OQ ==，则圆229185:4216M x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ②当1m =时，:20l x y --=，设圆心为00(,)Q x y ，12012y y y +==，0023x y =+=，半径r OQ =22:(3)(1)10M x y -+-=.题型112 圆与圆的位置关系及其应用——暂无 1. (2013重庆理7）已知圆()()221:231C x y -+-=，圆()()222:349C x y -+-=， M N ，分别是圆12C C ，上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值为（）.A. 4B. 1C. 6-D.。

三年高考2013_2015高考数学试题分项版专题08直线与圆理(含解析)

第八章直线与圆一、选择题1. 【2015高考广东，理5】平行于直线012=++y x 且与圆522=+y x 相切的直线的方程是（）A ．052=+-y x 或052=--y x B. 052=++y x 或052=-+y x C. 052=+-y x 或052=--y x D. 052=++y x 或052=-+y x 【答案】D ．【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，利用点到直线距离求直线的方程及转化与化归思想的应用和运算求解能力，根据题意可设所求直线方程为20x y c ++=，然后可用代数方法即联立直线与圆的方程有且只有一解求得，也可以利用几何法转化为圆心与直线的距离等于半径求得，属于容易题．2. 【 2013湖南8】在等腰三角形ABC 中，=4AB AC =，点P 是边AB 上异于,A B 的一点，光线从点P 出发，经,BC CA 发射后又回到原点P （如图1）.若光线QR 经过ABC ∆的中心，则AP 等于（） A ．2 B ．1 C ．83 D ．43【答案】 D【解析】使用解析法。

).34,34(32).2,2(),0,(O O ABC D BC x P ∴∆处，在中线的的重心的中点设))1(3)12(4,)1(3)2(4()),1(34,0(34)34(,++++-⇒+-=k k k k Q k R x k y k RQ 则其方程为的斜率为设直线,0)1)(12(1,0,)1(3)2(4)12(4,3)1(4=--⇒=⋅=++-++=-=k k k k k k k x k k k k k QP RP QP RP 由题知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==⇒3421(01x k x k ，舍）选D【考点定位】直线与方程【名师点睛】本题考查直线与点的对称问题，涉及直线方程的求解以及光的反射原理的应用，解决问题的关键是根据光的反射原理正确计算对称点坐标，利用对称性得到直线斜率之间的关系解决问题即可.3. 【2013山东，理9】过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )．A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0 【答案】：A【名师点睛】本题考查直线与圆的位置关系、直线方程.此类问题的基本解法有 “几何法”和 “代数法”，涉及切线问题，往往利用圆心到直线的距离等于圆的半径建方程求解. 本题是一道能力题，在考查查直线与圆的位置关系、直线方程等基础知识的同时，考查考生的计算能力、逻辑思维能力及数形结合思想.是一道常见题型，故考生易于正确解答. 4. 【2015高考山东，理9】一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（）（A ）53-或35- （B ）32- 或23- （C ）54-或45- （D ）43-或34-【答案】D【解析】由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点()2,3- ，设反射光线所在直线的斜率为k ，则反身光线所在直线方程为：()32y k x +=- ，即：230kx y k ---=. 又因为光线与圆相切，()()22321x y ++-=1= ,整理：21225120k k ++= ，解得：43k =-，或34k =- ,故选D ．【考点定位】1、圆的标准方程；2、直线的方程；3、直线与圆的位置关系.【名师点睛】本题考查了圆与直线的方程的基础知识，重点考查利用对称性解决直线方程的有关问题以及直线与圆的位置关系的判断，意在考查学生对直线与直线、直线与圆的位置关系的理解与把握以及学生的运算求解能力.5.【2015高考新课标2，理7】过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =( )A ．26B ．8C ．46D ．10 【答案】C【名师点睛】本题考查三角形的外接圆方程，要注意边之间斜率的关系，得出ABC ∆是直角三角形，可以简洁快速地求出外接圆方程，进而求弦MN 的长，属于中档题． 6. 【2013高考重庆理第7题】已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )． A．4 B1C．6-【答案】A【名师点睛】本题考查了圆的对称圆的方程的求法，两个圆的位置关系，两点距离公式的应用，考查转化思想与计算能力，属于中档题．7. 【2015高考重庆，理8】已知直线l ：x +ay -1=0（a ∈R ）是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴.过点A （-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |= （） A 、2 B、、6 D、【答案】C【名师点晴】首先圆是一个对称图形，它关于圆心成中心对称，关于每一条直径所在直线都是它的对称轴，当然其对称轴一定过圆心，其次直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系，判断方法可用几何与代数两种方法研究，圆的切线长我们用勾股定理求解，设圆外一点P 到圆的距离为d ，圆的半径为r ，则由点P所作切线的长l =8. 【2013，安徽理8】函数=()y f x 的图像如图所示，在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥个不同的数12,...,,n x x x 使得1212()()()==,n nf x f x f x x x x 则n 的取值范围是（）A ．{}3,4B ．{}2,3,4C ． {}3,4,5D ．{}2,3【答案】B ．【易错警示】不理解代数式的几何意义，不能对问题进行等价转化是常见错误．【名师点睛】数形结合思想在高考中经常用到，常分为“以形助数”和“以数助形”，本题主要用到“以形助数”的思想，通过数与形之间的对应关系（()f x x的几何意义是曲线上点()(),x f x 与原点连线的斜率），通过把数转化为形，通过对形的研究解决数的问题、或获得解决数的问题解决思路去解决数学问题的思想.9.【2013天津，理5】已知双曲线2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p＞0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 则p ＝( )． A ．1 B ．32C ．2D ．3 【答案】C【名师点睛】本题考查抛物线与双曲线的几何性质，重点考查双曲线的渐近线方程及抛物线的准线方程，本题属于基础题，正确利用双曲线线的渐进线与抛物线的准线相交，求出交点的坐标，利用面积公式列方程求出P ，这样的题目在高考试题中很常见，要灵活应用圆锥曲线的几何性质解题.10. 【2014天津，理5】已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（）（A ）221520x y -= （B ）221205x y -= （C ）2233125100x y -= （D ）2233110025x y -=【答案】A ．【解析】【名师点睛】本题考查抛物线与双曲线的几何性质，重点考查待定系数法求双曲线的方程，本题属于基础题，正确利用双曲线线的渐进线与直线l 平行，斜率相等，列出,a b 的一个关系式，直线l 与x 轴交点为双曲线的一个焦点，求出c ，借助222a b c +=，联立方程组，求出,a b ，即可.待定系数法求双曲线的标准方程时，注意利用题目的已知条件，布列关于,,a b c 的方程，还要借助22a b +2c =，正确解出,a b 的值.11. 【2015高考天津，理6】已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>> 的一条渐近线过点(，且双曲线的一个焦点在抛物线2y= 的准线上，则双曲线的方程为( )（A ）2212128x y -= （B ）2212821x y -=（C ）22134x y -=（D ）22143x y -= 【答案】D【名师点睛】本题主要考查双曲线的定义、标准方程及几何性质，同时也学生的考查运算能.把双曲线的几何性质与抛物线的几何性质相结合，找出双曲线中,,a b c 的关系，求出双曲线方程，体现圆锥曲线的统一性.是中档.12. 【2014福建,理6】直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“OAB ∆的面积为12”的（） .A 充分而不必要条件 .B 必要而不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分又不必要条件【答案】A【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、三角形的面积及充分条件与必要条件等基础知识，意在考查转化划归能力及运算能力，充分条件与必要条件多以客观题形式出现.相关结论是：若p q ⇒ ,则p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件.13. 【2014福建,理9】设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是（）A.25B.246+C.27+D.26 【答案】D【名师点睛】本题主要考查圆与椭圆的基础知识，及划归思想.本题解法的关键是把两点间的最大距离转化为圆心到椭圆上的点的最大距离再加上圆的半径，注意与圆锥曲线有关的试题，一般运算量比较大，要注意运算的准确性. 二、填空题1.【2014江苏，理9】在平面直角坐标系xoy 中，直线230x y +-=被22(2)(1)4x y -++=圆截得的弦长为 .【名师点晴】求圆的弦长的常用方法(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＝r 2－d 2.(2)代数方法：运用韦达定理及弦长公式：|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋k 2[ x 1＋x 2 2－4x 1x 2].注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题．2. 【2015江苏高考，10】在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为【答案】22(1) 2.x y -+=【名师点晴】利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题．当半径表示为关于m 的函数后，利用基本不等式求最值，需注意一正二定三相等的条件. 3. 【2015高考陕西，理15】设曲线xy e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为．【答案】()1,1【考点定位】1、导数的几何意义；2、两条直线的位置关系．【名师点晴】本题主要考查的是导数的几何意义和两条直线的位置关系，属于容易题．解题时一定要注意考虑直线的斜率是否存在，否则很容易出现错误．解导数的几何意义问题时一定要抓住切点的三重作用：①切点在曲线上；②切点在切线上；③切点处的导数值等于切线的斜率．4. 【2014高考陕西版文第12题】若圆C 的半径为1，其圆心与点)0,1(关于直线x y =对称，则圆C 的标准方程为_______. 【答案】22(1)1x y +-=【名师点晴】本题主要考查的是圆的标准方程，点关于直线的对称，，属于容易题．解题时利用对称性求出圆心坐标，就可以写出圆的标准方程．5. 【2014新课标，理16】设点M （0x ,1），若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得∠OMN=45°，则0x 的取值范围是________. 【答案】[1,1]-【解析】由题意知：直线MN 与圆O 有公共点即可，即圆心O 到直线MN 的距离小于等于1即可，如图，过OA ⊥MN ，垂足为A ，在R t O M ∆中，因为∠OMN=45，所以||||sin 45OA OM =o =||12OM ≤，解得||OM ≤因为点M （0x ,1），所以||OM =≤解得011x -≤≤，故0x 的取值范围是[1,1]-.【考点定位】直线与圆的位置关系【名师点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．6. 【2014四川，理14】设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB ⋅的最大值是 .【答案】【考点定位】1、直线与圆；2、重要不等式.【名师点睛】利用基本不等式求最值时，要注意“一正，二定，三相等”.7.【2014高考重庆理第13题】已知直线02=-+y ax 与圆心为C 的圆()()4122=-+-a y x 相交于B A ，两点，且ABC ∆为等边三角形，则实数=a _________.【答案】4【解析】试题分析：由题设圆心到直线20ax y --==解得：4a =所以答案应填：4.考点：1、直线与圆的位置关系；2、点到直线的距离公式.【名师点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，等边三角形的性质，本题属于基础题，注意仔细分析题目条件，将等边三角形这一条件等价转化为圆心到直线的距离是非常关键的.8.【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷12】直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b += .【答案】2【名师点睛】本题考查直线与圆的位置关系，夯实基础，注重基础知识的运用，充分体现了数形结合的数学思想在数学问题中的应用，能较好的考查学生动手作图能力、基本知识的识记能力和灵活运用能力，锻炼学生的严密地逻辑推理能力.9. 【2015高考湖北，理14】如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的上方），且2AB =．（Ⅰ）圆C 的标准．．方程为；（Ⅱ）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论：①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=； ③NB MA NAMB+=其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）【答案】（Ⅰ）22(1)(2x y -+=；（Ⅱ）①②③【考点定位】圆的标准方程，直线与圆的位置关系.【名师点睛】用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略. 常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．三、解答题1. 【2015高考广东，理20】已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ．（1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ，使得直线:(4)L y k x =-与曲线C 只有一个交点：若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）()3,0；（2）223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）33,44k ⎡⎧⎫∈-⎨⎬⎢⎩⎭⎣⎦ ．（3）由（2）知点M 的轨迹是以3,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心32r =为半径的部分圆弧EF （如下图所示，不包括两端点），且5,33E ⎛ ⎝⎭，5,33F ⎛- ⎝⎭，又直线L ：()4y k x =-过定点()4,0D ，当直线L 与圆C 相切时，由32=得34k =±，又043DE DFk k ⎛- ⎝⎭=-=-=-，结合上图可知当33,44k ⎡⎧⎫∈-⎨⎬⎢⎩⎭⎣⎦ 时，直线L ：()4y k x =-与曲线C 只有一个交点．【考点定位】圆的标准方程、轨迹方程、直线斜率等知识与数形结合思想等应用．【名师点睛】本题主要考查圆的普通方程化为标准方程、轨迹方程、直线斜率等知识，转化与化归，数形结合思想和运算求解能力，属于中高档题，本题（1）（2）问相对简单，但第（2）问需注意取值范围（533x <≤），对于第（3）问如果能运用数形结合把曲线C 与直线L 的图形画出求解则可轻易突破难点．2. 【2013江苏，理17】如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上.(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围. 【答案】(1) y ＝3或3x ＋4y －12＝0.；(2) 120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以点C 的横坐标a 的取值范围为120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【考点定位】本小题主要考查直线与圆的方程，考查直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系，等基础知识，考查运用数形结合、待定系数法等数学思想方法分析解决问题的能力. 【名师点晴】1．圆的切线问题(1)过圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2；(2)过圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外一点M (x 0，y 0)引切线，有两条，求方程的方法是待定系数法，圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题． 2．两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．3. 【2013课标全国Ⅰ，理20】(本小题满分12分)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C . (1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.当k y x =22=143x y +，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝47-±.所以|AB |2118|7x x -=.当4k =时，由图形的对称性可知|AB |＝187.综上，|AB |＝|AB |＝187. 【名师点睛】本题考查椭圆的定义、弦长公式、直线的方程，考查考生的运算能力、化简能力以及数形结合的能力.4.【2013天津，理18】设椭圆2222=1x y a b +(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，离心率为3，过点F且与x (1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若AC ·DB ＋AD ·CB＝8，求k 的值．【答案】（Ⅰ）22=132x y +；（Ⅱ）(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1,0)得直线CD 的方程为y ＝k(x ＋1)，由方程组221,132y k x x y =(+)⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x ＋3k2－6＝0.求解可得x1＋x2＝22623k k -+，x1x2＝223623k k-+. 因为A(0)，0)，所以AC ·DB ＋AD ·CB＝(x1x2，－y2)＋(x2x1，－y1) ＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1) ＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2＝22212623k k+++. 由已知得22212623k k +++＝8，解得k＝考点定位：本题考点为直线与圆锥曲线相关知识【名师点睛】本题考查待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆有关知识，属于中偏难题目，解决直线与圆锥曲线问题，首先要求学生要学会设而不求的解题思想，先设出直线方程，设出直线与椭圆的交点，把直线方程和椭圆方程联立方程组，消元后，借助一元二次方程的根与系数关系，通过12121212,,,x x x x y y y y ++的关系及题目的要求解题.直线与圆锥曲线问题为每年高考必考问题，也是备考重点.5. 【2014天津，理18】设椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点为12,F F ，右顶点为A ，上顶点为B．已知12AB F =．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点1F ，经过原点O 的直线l 与该圆相切，求直线l 的斜率．【答案】（Ⅰ）e =；（Ⅱ）直线l的斜率为4+或4-．【解析】由①和②可得200340x cx +=．而点P 不是椭圆的顶点，故043c x =-，代入①得03cy =，即点P 的坐标为4,33c c 骣÷ç-÷ç÷ç桫．设圆的圆心为()11,T x y ，则142323c x c -+==-，12323c cy c +==，进而圆的半径r ==．设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y kx =．由l r ，即，整理得2810k k -+=，解得4k =?．∴直线l的斜率为4+或4-考点：1．椭圆的标准方程和几何性质；2．直线和圆的方程；3．直线和圆的位置关系．【名师点睛】本题考查求离心率和待定系数法求椭圆方程，属于中偏难题目，解决直线与圆锥曲线问题，首先求离心率就是根据题目所给条件列出一个关于,,a b c 的等式，就能求出离心率;其次解决直线与圆锥曲线问题，要求学生要学会设而不求的解题思想，先设出直线方程，设出直线与椭圆的交点，把直线方程和椭圆方程联立方程组，消元后，简单方程直接求解，而大多借助一元二次方程的根与系数关系，通过12121212,,,x x x x y y y y ++的关系及题目的要求解题.直线与圆锥曲线问题为每年高考必考问题，也是备考重点.6. 【2015高考天津，理19】（本小题满分14分）已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b>>的左焦点为(,0)F c -,M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆422+4b x y =截得的线段的长为c，|FM|=3. (I)求直线FM 的斜率； (II)求椭圆的方程；(III)设动点P 在椭圆上，若直线FPOP （O 为原点）的斜率的取值范围.【答案】(I) 3； (II) 22132x y += ；(III) ,333⎛⎛-∞- ⎝⎭⎝⎭ .(III)设点P 的坐标为(,)x y ，直线FP 的斜率为t ，得1y t x =+，即(1)y t x =+(1)x ≠-,与椭圆方程联立22(1)132y t x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得22223(1)6x t x ++=，又由已知，得t => 312x -<<-或10x -<<，设直线OP 的斜率为m ，得y m x =，即(0)y mx x =≠，与椭圆方程联立，整理可得22223m x =-. ①当3,12x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，有(1)0y t x =+<，因此0m >，于是m =m ∈⎝⎭ ②当()1,0x ∈-时，有(1)0y t x =+>，因此0m <，于是m =,m ⎛∈-∞ ⎝⎭综上，直线OP 的斜率的取值范围是,⎛-∞ ⎝⎭⎝⎭【考点定位】1.椭圆的标准方程和几何性质；2.直线和圆的位置关系；3.一元二次不等式.【名师点睛】本题主要考查椭圆的定义、标准方程及几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系.由勾股定理求圆的弦长，体现数学数形结合的重要数学思想；用数字来刻画几何图形的特征，是解析几何的精髓，联立方程组，求出椭圆中参数的关系，进一步得到椭圆方程；构造函数求斜率取值范围，体现函数在解决实际问题中的重要作用，是拨高题.。

北京市各地市2013年高考数学最新联考试题分类汇编(9)直线与圆

北京市各地市2013年高考数学最新联考试题分类汇编（9）直线与圆一、选择题:（5）(北京市朝阳区2013年4月高三第一次综合练习文)若直线y x m =+与圆22420x y x +++=有两个不同的公共点，则实数m 的取值范围是A ．(22,22B ．()4,0-C ．(22,22--- D . ()0,4【答案】D（2）(北京市东城区2013年4月高三综合练习一文）“1a =”是“直线20x y +=与直线(1)40x a y +++=平行”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】C8．（北京市丰台区2013年高三第二学期统一练习一理）动圆C 经过点F(1,0)，并且与直线x=-1相切，若动圆C 与直线221y x =+总有公共点，则圆C 的面积(A) 有最大值8π (B) 有最小值2π (C) 有最小值3π (D) 有最小值4π 【答案】D（2）（北京市昌平区2013年1月高三期末考试理）“2a =”是“直线214ay ax y x =-+=-与垂直”的A. 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若直线214a y ax y x =-+=-与垂直，则有=14aa -⨯-，即24a =，所以2a =±。

所以“2a =”是 “直线214ay ax y x =-+=-与垂直”的充分不必要条件，选A.二、填空题:（14）(北京市朝阳区2013年4月高三第一次综合练习文理)在平面直角坐标系xOy 中，点A 是半圆2240x x y -+=（2≤x ≤4）上的一个动点，点C 在线段OA 的延长线上．当20OA OC ⋅=u u u r u u u r时，则点C 的纵坐标的取值范围是．【答案】[]5,5-11.（北京市丰台区2013年高三第二学期统一练习一文）直线x-3y+2=0被圆224x y +=截得的弦长为_________。

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2013年全国高考理科数学试题分类汇编8：直线与圆
一、选择题
1 ．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）直线2310x y -+=的一个方向向量是（）
A ．(2 3)-，
B ．(2 3)，
C ．(3 2)-，
D ． (3 2)，
【答案】D 2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））已知点
(1,0),(1,0),(0,1)A B C -,直线(0)y ax b a =+>将△ABC 分割为面积相等的两部分,则b 的取值范围是
（） A ．(0,1)
B
．1(1)2
( C) 1(1]3 D ． 11[,)32
【答案】B
3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））过点(3,1)作圆22(1)1x y -+=的两条切线,切点分别为A ,B ,则直线AB 的方程为
（）
A ．230x y +-=
B ．230x y --=
C ．430x y --=
D ．430x y +-=
【答案】A
4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知点
()()()30,0,0,,,.ABC ,O A b B a a ∆若为直角三角形则必有
（） A ．3b a =
B ．31b a a =+
C ．()3310b a b a a ⎛⎫---
= ⎪⎝⎭ D ．3310b a b a a
-+--= 【答案】C
5 ．（2013年高考江西卷（理））如图,半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线,12,l l 之间//1l ,与
半圆相交于F,G 两点,与三角形ABC 两边相交于E,D 两点,设弧FG 的长为(0)x x π<<,y EB BC CD =++,若从1l 平行移动到2l ,则函数()y f x =的图像大致是
【答案】D
6 ．（2013年高考湖南卷（理））在等腰三角形ABC 中,=4AB AC =，点P 是边AB 上异于,A B 的一点,光
线从点P 出发,经,BC CA 发射后又回到原点P (如图).若光线QR 经过ABC ∆的中心,则AP 等
（） A ．2
B ．
C ．83
D ．43
【答案】D
二、解答题 7 ．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分
14分.如图,在平面直角坐标系xOy 中,点)3,0(A ,直线42:-=x y l ,设圆C 的半径为,圆心在上.
(1)若圆心C 也在直线1-=x y 上,过点A 作圆C 的切线,求切线的方程;
(2)若圆C 上存在点M ,使MO MA 2=,求圆心C 的横坐标a 的取值范围.
【答案】解:(1)由⎩⎨⎧-=-=1
42x y x y 得圆心C 为(3,2),∵圆C 的半径为
∴圆C 的方程为:1)2()3(22=-+-y x
显然切线的斜率一定存在,设所求圆C 的切线方程为3+=kx y ,即03=+-y kx ∴11
3232=++-k k ∴1132+=+k k ∴0)34(2=+k k ∴0=k 或者43-=k ∴所求圆C 的切线方程为:3=y 或者343+-
=x y 即3=y 或者01243=-+y x (2)解:∵圆C 的圆心在在直线42:-=x y l 上,所以,设圆心C 为(a,2a-4)
则圆C 的方程为:[]1)42()(2
2=--+-a y a x 又∵MO MA 2=∴设M 为(x,y)则22222)3(y x y x +=-+整理得:4)1(22=++y x 设为圆D ∴点M 应该既在圆C 上又在圆D 上即:圆C 和圆D 有交点
∴[]12)1()42(122
2+≤---+≤-a a 由08852≥+-a a 得R x ∈
由01252≤-a a 得5
120≤≤x 终上所述,
a 的取值范围为:⎥⎦
⎤⎢⎣⎡512,。