2013年全国高考理科数学试题分类汇编8：直线与圆

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2013高考备考各地试题解析分类汇编(二)理科数学9直线与圆

各地解析分类汇编（二）系列: 直线与圆1.【天津市新华中学2013届高三第三次月考理】倾斜角为135︒，在y 轴上的截距为1-的直线方程是（）A. 01=+-y xB. 01=--y xC. 01=-+y xD. 01=++y x【答案】D【解析】直线的斜率为tan1351k ==-，所以满足条件的直线方程为1y x =--，即10x y ++=，选D.2.【山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理】在直角坐标系中，直线30y +-=的倾斜角是A ．6πB ．3πC ．65π D ．32π 【答案】D【解析】直线的斜截式方程为3y =+，即直线的斜率tan k α==所以23πα=，选D.3.【天津市新华中学2013届高三第三次月考理】若直线1l ：280ax y +-=与直线2l ：(1)40x a y +++=平行，则a 的值为（）A. 1B. 1或2C. -2D. 1或-2【答案】A【解析】直线1l 的方程为42ay x =-+，若1a =-，则两直线不平行，所以1a ≠-，要使两直线平行，则有282114a a -=≠=-+，由211a a =+，解得1a =或2a =-。

当2a =-时，21a=-，所以不满足条件，所以1a =，选A.4.【北京市朝阳区2013届高三上学期期末理】“1k =”是“直线0x y k -+=与圆221x y += 相交”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】要使直线0x y k -+=与圆221x y += 相交，则有圆心到直线的距离1d 。

即k ≤所以k ≤≤，所以“1k =”是“直线0x y k -+=与圆221x y += 相交”的充分不必要条件，选A.5.【云南省玉溪一中20131by +=与圆221x y +=相交于A,B 两点(其中a,b 是实数),且△AOB 是直角三角形(O 是坐标原点),则点P(a,b)与点(0,1)之间距离的最大值为 ( )A.1+B.21-【答案】A【解析】因为△AOB=2222a b +=。

2013年高考试题分项版解析数学(文) 专题08 直线与圆(Word精析版)(2)

一．基础题组1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）文科】抛物线28y x =的焦点到直线0x -=的距离是（）（A ）（B ）2（C （D ）12.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）文科】垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是（）A ．0x y +-=B ．10x y ++=C ．10x y +-=D ．0x y ++=3.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷) 文科】已知点(,)M a b 在圆221:O x y +=外, 则直线1ax by +=与圆O 的位置关系是（）(A) 相切(B) 相交 (C) 相离 (D) 不确定4.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科】若圆C 经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C 的方程是 .5.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科】过点(3，1)作圆22(2)(2)4x y -+-=的弦，其中最短的弦长为__________.6.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）文科】直线23y x =+被圆22680x y x y +--=所截得的弦长等于__________.二．能力题组7.【2013年全国高考统一考试天津数学（文）卷】已知过点P (2,2) 的直线与圆225(1)x y +=-相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a =（）(A) 12- (B) 1 (C) 2 (D) 128.【2013年高考新课标Ⅱ数学（文）卷】设抛物线C:y 2=4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A, B 两点.若|AF|=3|BF|，则l 的方程为（）（A ） y=x-1或y=-x+1 （B ）X-1）或y=（x-1）（C ）y=x-1）或y=x-1）（D ）x-1）或y=（x-1）【答案】C（A ）1 （B ）2三．拔高题组10.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）文科】在平面直角坐标系内，到点(1,2)A ，(1,5)B ，(3,6)C ，(7,1)D -的距离之和最小的点的坐标是_______.11.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）文科】已知圆O ：225x y +=，直线l ： cos sin 1x y θθ+=（π02θ<<）.设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k = .12.【2013年普通高等学校统一考试江苏卷】在平面直角坐标系xoy 中，设定点(,)A a a ，P 是函数1(0)y x x=>图象上一动点. 若点P ，A 之间的最短距离为，则满足条件的实数a 的所有值为 .质、二次函数的最值. 较难题.13.【2013年普通高等学校统一考试江苏卷】如图，在平面直角坐标系xoy 中，点(0,3)A ，直线:24l y x =-，设圆C 的半径为1，圆心在l 上.（1）若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线方程；（2）若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）文科】已知圆C 的方程为22(4)4x y +-=，点O 是坐标原点.直线:l y kx =与圆C 交于M 、N 两点.（Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）设(,)Q m n 是线段MN 上的点，且222211||||||OQ OM ON =+.请将n 表示为m 的函数.。

2013江苏高考数学考点8-直线与圆-典型易错题会诊-命题角度-圆的方程复习资料

命题角度4 圆的方程1(典型例题)从原点向圆x 2+y 2-12y+27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为( )ππππ6.4.2..D C B A[考场错解]由半径为3，圆心与原点距离为6，可知两切线间的夹角为60。

，故所相应的圆心角为120，故所求劣弧为圆弧长的C 故选为.4323232ππ=⨯⨯.[专家把脉]没有理解清楚优弧，劣弧的概念，劣弧应为相对较短的一段弧。

[对症下药]所求劣弧是整个圆弧的ππ2313231=⨯⨯故所求弧长为.2.(典型例题) △ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H.),(OC OB OA m OH ++=则实数m=______.[考场错解]选取特殊三角形，取△ABC 为等边三角形，则,0||,0||=++=OC OB OA OH 故m 可取任意实数。

[专家把脉]情况太特殊，若所取三角形为等腰三角形(非等边三角形)此时0||,0||≠++≠OC OB OA OH 此时与m 为任意实数相矛盾。

[对症下药].1,.,.90,,.1.=∴++=-===<=m OC OB OA OH OC OB OA OH A ABC m 故或利用直角三角形意义又可求由向量的加减法的几何3．(典型例题)圆心在直线2x-y-7=0上的圆C 与y 轴交于两点A(0,-4),B(0,-2),则圆C 的方程为_____.[考场错解]设圆的方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---+=-∙-=----=-++∙-==-+-.072)2()4(224,24,02,0.)()(00220200220200222020y x r y x x r y x x x x y r y y x x 故分别为方程的两根令解得x 0=-3,y 0=-13,r=168.故所求圆的方程为(x+3)2+(y+13)2=168.[专家把脉]应是令x=0,而不是令y=0，故后面的结果均错。

[对症下药] 法一:∵AB 的中垂线,3-=y 必过圆心故解⎩⎨⎧=---=0723y x y 得圆心坐标为=-'|'|),3,2(0A O ∴.5所求圆的方程为.5)3()2(22=++-y x法二:设圆C 的方程:22020)()(r y y x x =-+-圆心在直线072=--y x 上07200=--∴y x ①又圆过A (0, -4) B (0, -2)22020)4(r y x =--+∴ ②22020)2(r y x =--+ ③ 由①②③解得⎪⎩⎪⎨⎧=∴-==53200r y x 圆的方程++-y x ()2(2 2)3专家会诊1.求圆的方程应注意根据所给的条件,恰当选择方方程的形式,用待定系数法求解.2讨论点、直线、圆与圆的位置关系时，一般可从代数特征（方程组解的个数）或几何特征去考虑，其中几何特征数更为简捷实用。

2013年高考真题理科数学分类汇编：考点39 圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系含解析

考点39 圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1.（2013·重庆高考文科·Ｔ4）设P是圆22-++=上的动点，(3)(1)4x yx=-上的动点，则PQ的最小值为( )Q是直线3A. 6 B。

4 C. 3 D. 2【解题指南】PQ的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径。

【解析】选B。

PQ的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径.圆心)1,3(-到直线3-=x的距离为6,半径为2，所以PQ的最小值为6=-。

242.(2013·天津高考文科·T5)已知过点P(2，2)的直线与圆（x—1)2+y2=5相切，且与直线ax-y+1=0垂直,则a= ( ）A. 1- B. 1 C。

2 D。

122【解题指南】根据圆的切线的性质确定切线的斜率，再由两直线垂直求a的值.【解析】选C.因为点P(2,2）为圆（x-1）2+y2=5上的点，由圆的切线性质可知,圆心（1,0)与点P（2,2)的连线与过点P（2，2)的切线垂直.因为圆心（1,0)与点P（2,2）的连线的斜率k=2，故过点P,所以直线ax-y+1=0的斜率为2，因此（2，2)的切线斜率为—12a=2。

A.1 B 。

2 C 。

4 D 。

【解题指南】由圆的半径、圆心距、半弦长组成直角三角形，利用勾股定理即可求得半弦长。

【解析】选C.由22(1)(2)5x y 得圆心（1，2），半径5r,圆心到直线x+2y-5+的距离|1455|15d，在半径、圆心距、半弦长组成的直角三角形中，弦长222244lr d 。

4。

（2013·重庆高考理科·Ｔ7）已知圆1C :22(2)(3)1x y -+-=,圆2C ：22(3)(4)9x y -+-=，M、N 分别是圆1C 、2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值为 ( ) A 。

425- B.117-C.226-D.17【解题指南】根据圆的定义可知421-+=+PC PCPN PM ,然后利用对称性求解.【解析】选A.由题意知，圆1C ：22(2)(3)1x y -+-=，圆2C :22(3)(4)9x y -+-=的圆心分别为)4,3(),3,2(21C C ，且421-+=+PC PCPN PM ，点)3,2(1C 关于x 轴的对称点为)3,2(-C ,所以252221=≥+=+CC PC PC PC PC ，即425421-≥-+=+PC PCPN PM .5.(2013·广东高考文科·Ｔ7)垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是( )A ．0x y +=B ．10x y ++=C ．10x y +-= D ．0x y +=【解析】选A. 由题意知直线方程可设为0x y c +-=（0c >），则圆心到直线的距离等于半径1，即1=，c =所求方程为0x y +=。

2013届名校试题精选分类汇编8：直线与圆

2013届名校解析试题精选分类汇编8：直线与圆一、选择题 1 ．（山东省青岛一中2013届高三1月调研考试文科数学）已知A ．B 两点分别在两条互相垂直的直线20x y -=和0x ay +=上,且AB 线段的中点为P 10(0,)a,则线段AB 的长为（）A ．11B ．10C ．9D ．8【答案】B 直线20x y -=的斜率为2,0x ay +=的斜率为1a -.因为两直线垂直,所以112a-=-,所以2a =.所以直线方程20x y +=,中点(0,5)P .则5OP =,在直角三角形中斜边的长度22510AB OP ==⨯=,所以线段AB 的长为10,选B ．2 ．（山东省济南市2013届高三3月高考模拟文科数学）已知两条直线012)1(:1=++-y x a l ,03:2=++ay x l 平行,则=a（） A ．-1B ．2C ．0或-2D ．-1或2【答案】D 若0a =,两直线方程为210x y -++=和3x =-,此时两直线相交,不平行.所以0a ≠.当0a ≠时,两直线若平行,则有12113a a -=≠,解得1a =-或2a =,选 D ．3 ．（山东省青岛即墨市2013届高三上学期期末考试数学（文）试题）已知0≠a 直线04)2(=+++y b ax 与直线03)2(=--+y b ax 互相垂直,则ab 的最大值等于（）A ．0B ．2C ．4D ．2【答案】B 解:若2b =,两直线方程为14a y x =--和3x a=,此时两直线相交.若2b =-,两直线方程为4x a =-和344a y x =-,此时两直线相交.所以当2b ≠±时,两直线方程为422a y x b b =--++和322a y x b b =-+--,此时两直线的斜率分别为,22a a b b --+-,由()122a ab b -⋅-=-+-得224a b +=.因为2242a b ab +=≥,所以2ab ≤,即ab 的最大值等2,当且仅当a b ==时取等号.所以选 B ．4 ．（山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试数学（文）试题）已知倾斜角为α的直线l 与直线x -2y十2=0平行,则tan 2α的值（）A ．45B ．43C ．34D ．23【答案】B 直线的斜率为12,即直线l 的斜率为1tan 2k α==,所以22122tan 142tan 2131tan 31()24ααα⨯====--,选 B ．5 ．（山东省威海市2013届高三上学期期末考试文科数学）若直线y kx =与圆22(2)1x y -+=的两个交点关于直线20x y b ++=对称,则,k b 的值分别为（）A ．1,42k b ==- B ．1,42k b =-= C ．1,42k b == D ．1,42k b =-=-【答案】【答案】A 因为直线y kx =与圆22(2)1x y -+=的两个交点关于直线20x y b ++=对称,则y kx =与直线20x y b ++=垂直,且20x y b ++=过圆心,所以解得1,42k b ==-,选A ．6 ．（山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试文科数学）在平面直角坐标系xOy 中,直线0543=-+y x 与圆422=+y x 相交于（） A ．B 两点,则弦AB 的长等于（）A ．33B ．32C ．3D．1【答案】B圆心到直线的距离1d ==,所以222()2AB R d -=,即2224()4(41)12AB R d =-=-=,所以AB ==,选 B ．7 ．（山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（文）试题）在平面直角坐标系xoy 中,圆C 的方程为228150x y x +-+=,若直线2y kx =+上至少存在一点,使得以该点为圆心,半径为1的圆与圆C 有公共点,则k 的最小值是（）A ．43-B ．54-C ．35-D ．53-【答案】A 因为圆C 的方程可化为:()2241x y -+=,所以圆C 的圆心为(4,0),半径为1.因为由题意,直线2y kx =+上至少存在一点00(,2)A x kx +,以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点;所以存在0x R ∈,使得11AC ≤+成立,即min 2AC≤.因为min AC 即为点C 到直线2y kx =+2,解得403k -≤≤.所以k 的最小值是43-,选A ．8 ．（山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试文科数学）已知两条直线2-=ax y 和01)2(3=++-y a x 互相平行,则a 等于（）A ．1或-3B ．-1或3C ．1或3D ．-1或3【答案】A 因为直线2-=ax y 的斜率存在且为a ,所以(2)0a -+≠,所以01)2(3=++-y a x 的斜截式方程为3122y x a a =+++,因为两直线平行,所以32a a =+且122a ≠-+,解得1a =-或3a =,选（）A ．9 ．（山东省德州市2013届高三3月模拟检测文科数学）直线y x m =+与圆221x y +=在第一象限内有两个不同的交点,则m 取值范围是（）A2m <<B3m <<Cm <<D．1m << 【答案】D 当直线经过点(0,1)时,直线与圆有两个不同的交点,此时1m =.当直线与圆相切时有圆心到直线的距离1d ==,解得m =,所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点,则1m <<选 D ． 10．（山东省滨州市2013届高三第一次（3月）模拟考试数学（文）试题）已知圆C 经过(5,2),(1,4)A B -两点,圆心在x 轴上,则圆C 的方程是（）A ．22(2)13x y -+= B ．22(2)17x y ++= C ．22(1)40x y ++=D ．22(1)20x y -+=【答案】D 设圆心坐标为(,0)C a ,则AC BC =,=解得1a =,所以半径r ===所以圆C 的方程是22(1)20x y -+=,选D ．11．（山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测数学（文）试题）直线()2110x a y +++=的倾斜角的取值范围是（）A ．0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．3[,)4ππ C ．0,,42πππ⎡⎤⎛⎫⋃ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭D ．3,,424ππππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【答案】B 直线的斜截式方程为221111y x a a =--++,所以斜率为211k a =-+,即21tan 1a α=-+,所以1tan 0α-≤<,解得34παπ≤<,即倾斜角的取值范围是3[,)4ππ,选 B ．12．（山东省德州市2013届高三上学期期末校际联考数学（文））已知P 是直线:34110l x y -+=上的动点,P（）A ．PB 是圆222210x y x y +--+=的两条切线,C 是圆心,那么四边形PACB 面积的最小值是（）AB ．C D ．【答案】C 解:圆的标准方程为22(1)(1)1x y -+-=,圆心为(1,1)C ,半径为1r =.根据对称性可知四边形PACB 面积等于22APC S ∆=要使四边形PACB 面积的最小值,则只需PC 最小,此时最小值为圆心到直线:34110l x y -+=的距离1025d =,所以四边形PACB 面积的最小值为2APC S ∆==,选C,13．（山东省烟台市2013届高三上学期期末考试数学（文）试题）已知直线22(0,0)ax by a b -=＞＞过圆224210x y x y +-++=的圆心,ab 的最大值为_______________【答案】14圆的标准方程为22(2)(1)4x y -++=,所以圆心为(2,1)-,因为直线过圆心,所以222a b +=,即1a b +=.又1a b +≥=,所以14ab ≤,当且仅当12a b ==时取等号,所以ab 的最大值为14.14．（山东省青岛一中2013届高三1月调研考试文科数学）如图所示, C 是半圆弧x 2+y 2=1(y≥0)上一点, 连接AC 并延长至D, 使|CD|=|CB|, 则当C 点在半圆弧上从B 点移动至A 点时,D 点的轨迹是_______的一部分,D 点所经过的路程为______.【答案】圆解:设点(,)D x y (其中D 点不与A 、B 两点重合),连接BD,设直线BD 的倾斜角为α,直线AD 的倾斜角为β.由题意得,tan ,tan 11AD BD y yk k x x αβ====+-.因为|CD|=|CB|,所以45ADB ∠=,则有45αβ=+ ,即45αβ-=,即tan tan tan()tan 4511tan tan αβαβαβ--===+由此化简得22(1)2x y +-=(其中D 点不与A 、B 两点重合). 又因为D 点在A 、B 点时也符合题意,因此点D 的轨迹是以点(0,1)为圆心为半径的半圆, 点D.15．（【解析】山东省临沂市2013届高三5月高考模拟文科数学）已知圆C :2218x y +=,直线l :4325,x y +=则圆C 上任一点到直线l 的距离小于2的概率为_____________.【答案】14圆的半径为OC =圆心到直线的距离2555d ===,要使圆C 上任一点到直线l 的距离小于2,则此时圆心到直线BC 的距离为 3.此时圆上的点位于弧BC 上.因为3OE =,OC =所以4OCE π∠=,所以2BOC π∠=.所以弧BC的长度为2π⨯=,所以由几何概型得所求概率为14P ==.16．（山东省济南市2013届高三上学期期末考试文科数学）圆心在原点,并与直线34100x y --=相切的圆的方程为_______________.【答案】224x y +=解:圆心到直线的距离1025d ===,即圆的半径为2,所以圆的标准方程为224x y +=.。

全国高考数学试题分类汇编8直线与圆

全国高考理科数学试题分类汇编8：直线与圆一、选择题1 ．（上海市春季高考数学试卷(含答案)）直线2310x y -+=的一个方向向量是（）A ．(2 3)-，B ．(2 3)，C ．(3 2)-，D ． (3 2)，【答案】D 2 ．（普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））已知点(1,0),(1,0),(0,1)A B C -,直线(0)y ax b a =+>将△ABC 分割为面积相等的两部分,则b 的取值范围是（）A ．(0,1) B．1(1)2( C) 1(1]3 D ． 11[,)32【答案】B3 ．（普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））过点(3,1)作圆22(1)1x y -+=的两条切线,切点分别为A ,B ,则直线AB 的方程为（）A ．230x y +-=B ．230x y --=C ．430x y --=D ．430x y +-=【答案】A4 ．（普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知点()()()30,0,0,,,.ABC ,O A b B a a ∆若为直角三角形则必有（）A ．3b a =B ．31b a a=+C ．()3310b a b a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭D ．3310b a b a a-+--= 【答案】C5 ．（高考江西卷（理））如图,半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线,12,l l 之间l //1l ,l 与半圆相交于F,G 两点,与三角形ABC 两边相交于E,D 两点,设弧»FG的长为(0)x x π<<,y EB BC CD =++,若l 从1l 平行移动到2l ,则函数()y f x =的图像大致是【答案】D6 ．（高考湖南卷（理））在等腰三角形ABC 中,=4AB AC =，点P 是边AB 上异于,A B 的一点,光线从点P 出发,经,BC CA 发射后又回到原点P (如图1).若光线QR 经过ABC ∆的中心,则AP 等（）A ．2B ．1C ．83D ．43【答案】D 二、解答题 7 ．（普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分14分.如图,在平面直角坐标系xOy 中,点)3,0(A ,直线42:-=x y l ,设圆C 的半径为1,圆心在l 上.(1)若圆心C 也在直线1-=x y 上,过点A 作圆C 的切线,求切线的方程; (2)若圆C 上存在点M ,使MO MA 2=,求圆心C 的横坐标a 的取值范围.【答案】解:(1)由⎩⎨⎧-=-=142x y x y 得圆心C 为(3,2),∵圆C 的半径为1∴圆C 的方程为:1)2()3(22=-+-y x显然切线的斜率一定存在,设所求圆C 的切线方程为3+=kx y ,即03=+-y kx∴113232=++-k k ∴1132+=+k k ∴0)34(2=+k k ∴0=k 或者43-=k∴所求圆C 的切线方程为:3=y 或者343+-=x y 即3=y 或者01243=-+y x (2)解:∵圆C 的圆心在在直线42:-=x y l 上,所以,设圆心C 为(a,2a-4) 则圆C 的方程为:[]1)42()(22=--+-a y a x又∵MO MA 2=∴设M 为(x,y)则22222)3(y x y x +=-+整理得:4)1(22=++y x 设为圆D∴点M 应该既在圆C 上又在圆D 上即:圆C 和圆D 有交点∴[]12)1()42(1222+≤---+≤-a a由08852≥+-a a 得R x ∈ 由01252≤-aa 得5120≤≤x 终上所述,a 的取值范围为:⎥⎦⎤⎢⎣⎡512,0。

江苏省各地市2013年高考数学最新联考试题分类汇编(9) 直线与圆

x2 y2 3 为的椭圆 T： 2 2 1 （ a b 0 ）相切于点 M (0,1) 。 2 a b
1
⑴求椭圆 T 与圆 O 的方程； ⑵过点 M 引两条互相垂直的两直线 l1 、 l 2 与两曲线分别交于点 A、C 与点 B、D（均不重合）。 ①若 P 为椭圆上任一点，记点 P 到两直线的距离分别
2 为 d1 、 d 2 ，求 d12 d 2 的最大值；
②若 3MA MC 4MB MD ，求 l1 与 l 2 的方程。
把
A, C
中
的
k
置
换
成

1 k
可
得
B(
2k k 2 1 , ) k 2 1 k 2 1
，
D(
8k k 2 4 , ) „„„„„„„„„„„„12 分 k2 4 k2 4 2k 2k 2 8k 8k 2 , ) MC ( , ) ， k 2 1 1 k 2 4k 2 1 1 4 k 2
2 2 2
M 为 l 上一动点，A1，A2 为圆 C 与 x 轴的两个交点，直线 MA1，MA2 与圆 C 的另一个交点
分别为 P、Q．（1）若 r＝2，M 点的坐标为(4，2)，求直线 PQ 方程；（2）求证：直线 PQ 过定点，并求定点的坐标．
x 2 y 2 r 2， r (a r )2 rt 2 2tr (a r ) ，解得P ．„„„„„„„„10 分 2 2 t ( a r ) t ( a r )2 t 2 y (x r) ar
2at ， a －t2－r2
2
3
直线 PQ 的方程为 y 分
2tr (a r ) r (a r ) 2 rt 2 2at x ． „„„„„„14 (a r )2 t 2 a 2 t 2 r 2 (a r ) 2 t 2

2013-2017年高考数学(理)分类汇编：第9章-直线与圆的方程(含答案解析)

第九章直线与圆的方程第1节直线的方程与两条直线的位置关系1．（2017浙江11）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积6S ，6S = . 1.解析正六边形的面积为6个正三角形的面积和，所以61=611sin 602S 创创=o . 题型102 倾斜角与斜率的计算——暂无1.（2013江西理9）过点引直线l与曲线y =A ，B 两点，O 为坐标原点，当AOB △的面积取最大值时，直线l 的斜率等于（）. AB． C． D．2．（2015山东理9）一条光线从点()23--，射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-= 相切，则反射光线所在直线的斜率为( ).A ．53-或35-B ．32-或23-C ．54-或45-D ．43-或34- 2.解析由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点()2,3-．设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为()32y k x +=-，即230kx y k ---=．由题意，圆心()3,2-到此直线的距离等于圆的半径1，1=，所以21225120k k ++=，解得43k =-或34k =-．故选D ．题型103 直线的方程——暂无1.（2013山东理9）过点()3,1作圆()2211x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（）.A. 230x y +-=B. 230x y --=C. 430x y --=D. 430x y +-=2.（2013江苏17）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l .设圆C 的半径为1，圆心在l 上.（1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；（2）若圆C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.3．（2015广东理5）平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是（）. A ．250x y ++=或250x y +-=B ．20x y +=或20x y += C ．250x y -+=或250x y --=D ．20x y -=或20x y -= 3.解析设所求切线方程为20x y c ++==5c =±，所以所求切线的方程为20x y +=或20x y +=．故选A ．题型104 两直线位置关系的判定——暂无1．（2015广东理5）平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是（）. A ．250x y ++=或250x y +-=B ．20x y +=或20x y += C ．250x y -+=或250x y --=D ．20x y -=或20x y -= 1.解析设所求切线方程为20x y c ++==5c =±，所以所求切线的方程为20x y +=或20x y +=．故选A ．题型105 有关距离的计算1.（2014 重庆理 13）已知直线20ax y +-=与圆心为C 的圆()()2214x y a -+-=相交于,A B 两点，且ABC △为等边三角形，则实数a =_________.2.（2014 新课标2理16）设点()0,1M x ，若在圆O ：221x y +=上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是 .3.（2014 新课标1理 6）如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数()f x ，则()y f x =在[]0,π上的图像大致为（）.4.（2014 福建理 6）直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“OAB △的面积为12”的（）. A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件5．（2015广东理5）平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是（）. A ．250x y ++=或250x y +-= B．20x y +=或20x y += C ．250x y -+=或250x y --= D．20x y -=或20x y -= 5.解析设所求切线方程为20x y c ++==5c =±，所以所求切线的方程为20x y +=或20x y +=．故选A ．6．（2015江苏理10）在平面直角坐标系xOy 中，以点()1,0为圆心且与直线210mx y m ---=()m ∈R 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．6.解析解法一（几何意义）：动直线210mx y m ---=整理得()()210m x y --+=，则l 经过定点()2,1M -，故满足题意的圆与l 切于M 时，半径最大，A.B.C.D.从而r ==()2212x y -+=．解法二（代数法——基本不等式）：由题意r d======…1m =时，取“=”．故标准方程为()2212x y -+=．解法三（代数法——∆判别式）：由题意r d===设22211m m t m ++=+，则()21210t m m t --+-=，因为m ∈R ，所以()()222410t ∆=---…，解得02t 剟，即d7．（2015湖北理14）如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的上方），且2AB =． (1)圆C 的标准．．方程为； (2)过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论： ①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=；③NB MA NAMB+=其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）7.解析（1）由条件可设圆C 的标准．．方程为2(1)()22x-+y -r r =(r 为半径)，因为2AB =，所以r =C 的标准．．方程为(1)(222x +y -=. （2）在(1)(222x +y -=中令0x =得1),1)A B ,因为N 在圆22:1O x y +=上，所以由三角函数的定义可设(cos ,sin ),N θθ从而NA NB=1==.同理1MA MB=，故NA MA NBMB=，1)2NB MA NAMB-=-=，1)NB MA NAMB+=+=8．（2015全国II 理7）过三点()1,3A ，()4,2B ，()1,7C -的圆交于y 轴于,M N 两点，则MN =（）．A.26B. 8C. 46D. 10 8. 解析由题意得321143AB k -==--，27341CB k +==--，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC △为直角三角形，则外接圆的圆心为AC 的中点(1,2)-，半径为5，所以外接圆方程为22(1)(2)25x y -++=，令0x =，则有2y =±，所以MN =C ．9．（2015广东理20）已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A ，B .(1) 求圆1C 的圆心坐标；(2) 求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3) 是否存在实数k ,使得直线:(4)l y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.9. 解析（1）由22650x y x +-+=得()2234x y -+=，所以圆1C 的圆心坐标为()3,0；（2）设(),M x y ．因为点M 为弦AB 中点，即1C M AB ⊥，所以11C M AB k k =-，即13y y x x =--，所以线段AB 的中点M 的轨迹的方程为223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…；（3）由（2）知点M 的轨迹是以3,02C ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，32r =为半径的部分圆弧EF （不包括两端点），且53E ⎛ ⎝⎭，5,3F ⎛⎝⎭．又直线():4l y k x =-过定点()4,0D ，当直线l 与圆C32=得34k =±．又05743DEDFkk ⎛- ⎝⎭=-=-=-3325,,44k ⎡⎧⎫∈--⎨⎬⎢⎩⎭⎣⎦时，直线():4l y k x =-与曲线C 只有一个交点．10．（2015四川理10）设直线l 与抛物线24y x =相交于,A B 两点，与圆C ：()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（）.A. ()1,3B. ()1,4C. ()2,3D. ()2,410. 解析设直线l 的方程为x ty m =+，代入抛物线方程得2440y ty m --=，则216160t m ∆=+>.又中点()22,2Mtm t +，则1MC l k k ⋅=-，即232m t =-.代入21616t m∆=+，可得230t ->，即203t <<. 又由圆心到直线的距离等于半径，可得2d r ====由203t <<，可得()2,4r ∈.故选D.11.（2015重庆理8）已知直线()10l x ay a +-=∈R ：是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点()4,A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB =（）. A. 2 B.C.6D.11. 解析易知圆的标准方程()()22:214C x y -+-=，圆心O 为()2,1.又因为直线01:=-+ay x l 是圆的对称轴，则该直线一定经过圆心，得知1a =-，(4,1)A --．又因为AB 直线与圆相切，则OAB △为直角三角形,OA ==2=OB ,622=-=OB OA AB ．12.（2016全国甲理4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（）. A.43-B.34-D.2 12.A 解析将圆2228130x y x y +--+=化为标准方程为：()()22144x y -+-=，故圆心为()14，，所以1d ==，解得43a =-.故选A ．13.（2016上海理3）1:210l x y +-=，2:210l x y ++=，则1l ，2l 的距离为．13.5 解析由题意d==．故填514.（2016全国丙理16）已知直线:30l mx y m ++=与圆2212x y +=交于A ，B 两点，过A ，B 分别做l 的垂线与x 轴交于C，D 两点，若AB =，则CD =__________________.14.4 解析解法一：根据直线与圆相交弦长公式有AB ==223r d -=，又212r=，得3d =.因此圆心()0,0O 到直线l ：30mx y m ++=的距离3d==，解得3m =-因此直线l的方程为3y x =+所以直线l 的倾斜角为30.如图所示，过点C 作CE BD ⊥于点E ，则4cos30cos303CE AB CD ====.解法二：直线l：30mx y m ++=，知直线l过定点(A ，又AB r =，所以OAB△为等边三角形,因为(A ，所以30AOC ∠=，又知60AOB ∠=,所以点B 在y 轴上（直线l 的斜率存在）.所以得直线l 的倾斜角为30，则4cos30cos303CE AB CD ====. 第2节圆的方程题型106 求圆的方程——暂无1.（2014 陕西理 12）若圆C 的半径为1，其圆心与点()1,0关于直线x y =对称，则圆C 的标准方程为_______.2．（2015江苏理10）在平面直角坐标系xOy 中，以点()1,0为圆心且与直线210mx y m ---=()m ∈R 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．2.解析解法一（几何意义）：动直线210mx y m ---=整理得()()210m x y --+=，则l 经过定点()2,1M -，故满足题意的圆与l 切于M 时，半径最大，从而r ==()2212x y -+=．解法二（代数法——基本不等式）：由题意r d ======…1m =时，取“=”．故标准方程为()2212x y -+=．解法三（代数法——∆判别式）：由题意r d ===设22211m m t m ++=+，则()21210t m m t --+-=，因为m ∈R ，所以()()222410t ∆=---…，解得02t 剟，即d3．（2015湖北理14）如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的上方），且2AB =． (1)圆C 的标准．．方程为； (2)过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论： ①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=；③NB MA NAMB+=其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）3.解析（1）由条件可设圆C 的标准．．方程为2(1)()22x-+y -r r =(r 为半径)，因为2AB =，所以r =C 的标准．．方程为(1)(222x +y -=.（2）在(1)(222x +y -=中令0x =得1),1)A B ,因为N 在圆22:1O x y +=上，所以由三角函数的定义可设(cos ,sin ),N θθ从而NA NB=1==.同理1MA MB=，故NA MA NBMB=，1)2NB MA NAMB-=-=，1)NB MA NAMB+=+=4．（2015全国II 理7）过三点()1,3A ，()4,2B ，()1,7C -的圆交于y 轴于,M N 两点，则MN =（）．A.26B. 8C. 46D. 10 4. 解析由题意得321143AB k -==--，27341CB k +==--，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC △为直角三角形，则外接圆的圆心为AC 的中点(1,2)-，半径为5，所以外接圆方程为22(1)(2)25x y -++=，令0x =，则有2y =±，所以MN =C ．题型107 与圆有关的轨迹问题——暂无1．（2015广东理20）已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A ，B .（1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ,使得直线:(4)l y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.1. 解析（1）由22650x y x +-+=得()2234x y -+=，所以圆1C 的圆心坐标为()3,0；（2）设(),M x y ．因为点M 为弦AB 中点，即1C M AB ⊥，所以11C M AB k k =-，即13y y x x =--，所以线段AB 的中点M 的轨迹的方程为223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…；（3）由（2）知点M 的轨迹是以3,02C ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，32r =为半径的部分圆弧EF（不包括两端点），且53E ⎛⎝⎭，5,3F ⎛⎝⎭．又直线():4l y k x =-过定点()4,0D ，当直线l 与圆C32=得34k =±．又05743DEDFkk ⎛- ⎝⎭=-=-=-3325,,44k ⎡⎧⎫∈--⎨⎬⎢⎩⎭⎣⎦时，直线():4l y k x =-与曲线C 只有一个交点．题型115 与圆有关的最值或取值范围问题1．（2015四川理10）设直线l 与抛物线24y x =相交于,A B 两点，与圆C ：()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（）.A. ()1,3B. ()1,4C. ()2,3D. ()2,41. 解析设直线l 的方程为x ty m =+，代入抛物线方程得2440y ty m --=，则216160t m ∆=+>.又中点()22,2Mtm t +，则1MC l k k ⋅=-，即232m t =-.代入21616t m∆=+，可得230t ->，即203t <<. 又由圆心到直线的距离等于半径，可得2d r ====由203t <<，可得()2,4r ∈.故选D.第3节直线与圆、圆与圆的位置关系题型108 直线与圆的位置关系1.（2014 湖北理 12）直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b +=________.2.（2014 江西理 9）在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（）.A.45π B.34π C.(6-π D.54π3.（2014 福建理 6）直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“OAB △的面积为12”的（）. A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件4.（2014 大纲理 15）直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为()1,3，则1l 与2l 的夹角的正切值等于 .5．（2015山东理9）一条光线从点()23--，射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-= 相切，则反射光线所在直线的斜率为( ). A ．53-或35-B ．32-或23-C ．54-或45-D ．43-或34- 5.解析由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点()2,3-．设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为()32y k x +=-，即230kx y k ---=．由题意，圆心()3,2-到此直线的距离等于圆的半径1，1=，所以21225120k k ++=，解得43k =-或34k =-．故选D ．6．（2015广东理5）平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是（）. A ．250x y ++=或250x y +-= B．20x y +=或20x y += C ．250x y -+=或250x y --= D．20x y -=或20x y -= 6.解析设所求切线方程为20x y c ++==5c =±，所以所求切线的方程为20x y +=或20x y +=．故选A ． 7．（2015江苏理10）在平面直角坐标系xOy 中，以点()1,0为圆心且与直线210mx y m ---=()m ∈R 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．7.解析解法一（几何意义）：动直线210mx y m ---=整理得()()210m x y --+=，则l 经过定点()2,1M -，故满足题意的圆与l 切于M 时，半径最大，从而r ==()2212x y -+=．解法二（代数法——基本不等式）：由题意r d======…1m =时，取“=”．故标准方程为()2212x y -+=．解法三（代数法——∆判别式）：由题意r d===设22211m m t m ++=+，则()21210t m m t --+-=，因为m ∈R ，所以()()222410t ∆=---…，解得02t 剟，即d8．（2015湖北理14）如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的上方），且2AB =． (1)圆C 的标准．．方程为； (2)过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论： ①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=；③NB MA NAMB+=其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）8.解析（1）由条件可设圆C 的标准．．方程为2(1)()22x-+y -r r =(r 为半径)，因为2AB =，所以r =C 的标准．．方程为(1)(222x +y -=. （2）在(1)(222x +y -=中令0x =得1),1)A B ,因为N 在圆22:1O x y +=上，所以由三角函数的定义可设(cos ,sin ),N θθ从而NA NB=1==.同理1MA MB=，故NA MA NBMB=，1)2NB MA NAMB-=-=，1)NB MA NAMB+=+=9．（2015全国II 理7）过三点()1,3A ，()4,2B ，()1,7C -的圆交于y 轴于,M N 两点，则MN =（）．A.26B. 8C. 46D. 10 9. 解析由题意得321143AB k -==--，27341CB k +==--，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC △为直角三角形，则外接圆的圆心为AC 的中点(1,2)-，半径为5，所以外接圆方程为22(1)(2)25x y -++=，令0x =，则有2y =±，所以MN =C ．10．（2015广东理20）已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A ，B .（1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ,使得直线:(4)l y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.10. 解析（1）由22650x y x +-+=得()2234x y -+=，所以圆1C 的圆心坐标为()3,0；（2）设(),M x y ．因为点M 为弦AB 中点，即1C M AB ⊥，所以11C M AB k k =-，即13y y x x =--，所以线段AB 的中点M 的轨迹的方程为223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…；（3）由（2）知点M 的轨迹是以3,02C ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，32r =为半径的部分圆弧EF （不包括两端点），且53E ⎛ ⎝⎭，5,3F ⎛⎝⎭．又直线():4l y k x =-过定点()4,0D ，当直线l 与圆C32=得34k =±．又05743DEDFkk ⎛- ⎝⎭=-=-=-3325,,44k ⎡⎧⎫∈--⎨⎬⎢⎩⎭⎣⎦时，直线():4l y k x =-与曲线C 只有一个交点．11．（2015四川理10）设直线l 与抛物线24y x =相交于,A B 两点，与圆C ：()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（）.A. ()1,3B. ()1,4C. ()2,3D. ()2,411. 解析设直线l 的方程为x ty m =+，代入抛物线方程得2440y ty m --=，则216160t m ∆=+>.又中点()22,2Mtm t +，则1MC l k k ⋅=-，即232m t =-.代入21616tm ∆=+，可得230t ->，即203t <<. 又由圆心到直线的距离等于半径，可得2d r ====由203t <<，可得()2,4r ∈.故选D.12.（2015重庆理8）已知直线()10l x ay a +-=∈R ：是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点()4,A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB =（）. A. 2 B.C.6D. 12. 解析易知圆的标准方程()()22:214C x y -+-=，圆心O 为()2,1.又因为直线01:=-+ay x l 是圆的对称轴，则该直线一定经过圆心，得知1a =-，(4,1)A --．又因为AB 直线与圆相切，则OAB △为直角三角形,OA ==2=OB ,622=-=OB OA AB ．13.（2016全国甲理4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =( ). A.43-B.34-D.2 13.A 解析将圆2228130x y x y +--+=化为标准方程为：()()22144x y -+-=，故圆心为()14，，所以1d ==，解得43a =-.故选A ．题型109 直线与圆的相交关系及其应用1.（2013江西理9）过点引直线l 与曲线y =A ，B 两点，O 为坐标原点，当AOB △的面积取最大值时，直线l 的斜率等于（）.AB ．C ．D ．2.（2014 重庆理 13）已知直线20ax y +-=与圆心为C 的圆()()2214x y a -+-=相交于,A B 两点，且ABC △为等边三角形，则实数a =_________.3.（2014 江苏理 9）在平面直角坐标系xOy 中，直线230x y +-=被圆()()22214x y -++=截得的弦长为．4.（2016北京理11）在极坐标系中，直线cos sin 10ρθθ-=与圆2cos ρθ=交于,A B 两点，则 AB =_______.4.2解析解法一：在平面直角坐标系中，题中的直线圆的方程分别是10x -=，222x y x +=.可得,A B 两点的坐标(,)x y ，即为方程组221(1)1x x y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩的解，用代入法可求得,A B两点的坐标分别为111,12222⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以由两点的距离公式可求得2AB =.解法二：直线的直角坐标方程为10x -=，圆的直角坐标方程为22(1)1x y -+=.圆心()1,0在直线上，因此AB 为圆的直径，所以2AB =.5.（2016全国丙理14）在[1,1]-上随机地取一个数k ，则事件”直线y kx =与圆22(5)9x y -+=相交”发生的概率为 .5.34解析首先k 的取值空间的长度为2，由直线kx y =与圆22(5)9x y -+=相交，所以3<，解得3344k -剟，所以得事件发生时k 的取值空间为33,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，其长度为23，利用几何概型可知，所求概率为43=223. 6.（2016全国丙理16）已知直线:30l mx y m ++=与圆2212x y +=交于A ，B 两点，过A ，B 分别做l 的垂线与x 轴交于C ，D两点，若AB =，则CD =__________.6.4 解析解法一：根据直线与圆相交弦长公式有AB =得223r d -=，又212r =，得3d =.因此圆心()0,0O 到直线l：30mx y m ++=的距离3d ==，解得m = 因此直线l的方程为y x =+所以直线l 的倾斜角为30.如图所示，过点C 作CE BD ⊥于点E ，则4cos30cos303CE AB CD ====. 解法二：直线l ：30mxy m ++=，知直线l过定点(A ，又ABr =，所以OAB△为等边三角形,因为(A ，所以30AOC ∠=,又知60AOB ∠=,所以点B在y 轴上（直线l 的斜率存在）.所以得直线l 的倾斜角为30，则4cos30cos303CE AB CD ====. 题型110 直线与圆相切、相离关系及其应用——暂无1. （2013山东理9）过点()3,1作圆()2211x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（）.A. 230x y +-=B. 230x y --=C. 430x y --=D. 430x y +-=2.（2013江苏17）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l .设圆C 的半径为1，圆心在l 上.（1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；（2）若圆C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.3.（2014 江西理 9）在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（）. A.45πB.34πC.(6-πD.54π 4.（2014 大纲理 15）直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为()1,3，则1l 与2l 的夹角的正切值等于 .题型111 直线与圆的综合1.（2014 新课标2理16）设点()0,1M x ，若在圆O ：221x y +=上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是 .2.（2014 湖北理 12）直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b +=________.3．（2016江苏18）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆22:1214600M x y x y +--+=及其上一点()2,4A .（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x=上，求圆N 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =，求直线l 的方程；（3）设点(),0T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA TP TQ +=，求实数t 的取值范围．3.解析（1）因为N 在直线6x =上，设()6,N n ，因为与x 轴相切，则圆N 为()()2226x y n n -+-=，0n >.又圆N 与圆M 外切，圆()()22:6725M x y -+-=，则75n n -=+，解得1n =，即圆N 的标准方程为()()22611x y -+-=.（2）由题意得OA =2OA k =，设:2l y x b =+，则圆心M 到直线l的距离d =，则BC ===5b =或15b =-，即:25l y x =+或215y x =-.（3）解法一：不妨设()11,P x y ，()22,Q x y ，又因为()2,4A ，(),0T t ，由TA TP TQ +=，所以212124x x ty y =+-⎧⎨=+⎩，因为点Q 在圆M 上，因此满足()()22226725x y -+-=，故有()()22114325x t y --+-=，又点P 在圆M 上，故点P 既在圆()()224325x t y --+-=上，也在圆()()226725x y -+-=上，所以只需两圆有公共点即可，所以5555-+，解得22t -+t 的取值范围为2⎡-+⎣．评注对于第（3）问，尝试将向量进行组合运算可以得到．解法二：TA TP TQ +=，即TA TQ TP PQ =-=.则有必要条件TA PQ =.因为(TAt =，又10PQ …10，解得2t ⎡∈-+⎣.下论证充分性，即存在两点可使TA PQ =.对于任意2t ⎡∈-+⎣，欲使TA PQ =，此时10TA …，只需要作直线TA 2TA ，必然与圆交于,P Q 两点，此时TA PQ =，且有TA PQ =，因此对于任意2t ⎡∈-+⎣，均满足题意，综上实数t 的取值范围为2⎡-+⎣.4.（2017江苏13）在平面直角坐标系xOy 中，点()12,0A -，()0,6B ，点P 在圆22:50O x y +=上．若20PA PB ⋅…，则点P 的横坐标的取值范围是．4.解析不妨设()00,P x y ，则220050x y +=，且易知0x ⎡∈-⎣．因为PA PB AP BP =⋅⋅()()000012,,6x y x y =+⋅-=220000126x x y y ++-005012620x y =+-…，故00250x y -+…．所以点()00,P x y 在圆22:50O x y +=上，且在直线250x y -+=的左上方（含直线）.联立2250250x y x y ⎧+=⎨-+=⎩，得15x =-，21x =，如图所示，结合图形知0x ⎡⎤∈-⎣⎦．故填⎡⎤-⎣⎦．2评注也可以理解为点P 在圆22000012620x y x y +=+-的内部来解决，与解析中的方法一致． 5．（2107全国3卷理科20）已知抛物线22C y x =：，过点()20，的直线l 交C 与A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．（1）求证：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点()42P -，，求直线l 与圆M 的方程． 5．解析（1）显然当直线斜率为0时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．设:2l x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立222y x x my ⎧=⎨=+⎩，得2240y my --=， 2416m ∆=+恒大于0，122y y m +=，124y y =-．1212OA OB x x y y ⋅=+u u r u u u r 1212(2)(2)my my y y =+++21212(1)2()4m y y m y y =++++=24(1)2240m m m -++⋅+=，所以OA OB ⊥uu r uu u r ，即点O 在圆M 上．（2）若圆M 过点P ，则0AP BP ⋅=uu u r uu r ，即1212(4)(4)(2)(2)0x x y y --+++=，即1212(2)(2)(2)(2)0my my y y --+++=，即21212(1)(22)()80m y y m y y +--++=，化简得2210m m --=，解得12m =-或1. ①当12m =-时，:240l x y +-=，设圆心为00(,)Q x y ，则120122y y y +==-，0019224x y =-+=，半径||r OQ ==，则圆229185:4216M x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ②当1m =时，:20l x y --=，设圆心为00(,)Q x y ，12012y y y +==，0023x y =+=，半径r OQ =22:(3)(1)10M x y -+-=.题型112 圆与圆的位置关系及其应用——暂无 1. (2013重庆理7）已知圆()()221:231C x y -+-=，圆()()222:349C x y -+-=， M N ，分别是圆12C C ，上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值为（）.A. 4B. 1C. 6-D.。

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2013年全国高考理科数学试题分类汇编8：直线与圆
一、选择题
1 ．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）直线2310x y -+=的一个方向向量是（）
A ．(2 3)-，
B ．(2 3)，
C ．(3 2)-，
D ． (3 2)，
【答案】D 2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））已知点
(1,0),(1,0),(0,1)A B C -,直线(0)y ax b a =+>将△ABC 分割为面积相等的两部分,则b 的取值范围是
（） A ．(0,1)
B
．1(1)2
( C) 1(1]3 D ． 11[,)32
【答案】B
3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））过点(3,1)作圆22(1)1x y -+=的两条切线,切点分别为A ,B ,则直线AB 的方程为
（）
A ．230x y +-=
B ．230x y --=
C ．430x y --=
D ．430x y +-=
【答案】A
4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知点
()()()30,0,0,,,.ABC ,O A b B a a ∆若为直角三角形则必有
（） A ．3b a =
B ．31b a a =+
C ．()3310b a b a a ⎛⎫---
= ⎪⎝⎭ D ．3310b a b a a
-+--= 【答案】C
5 ．（2013年高考江西卷（理））如图,半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线,12,l l 之间//1l ,与
半圆相交于F,G 两点,与三角形ABC 两边相交于E,D 两点,设弧FG 的长为(0)x x π<<,y EB BC CD =++,若从1l 平行移动到2l ,则函数()y f x =的图像大致是
【答案】D
6 ．（2013年高考湖南卷（理））在等腰三角形ABC 中,=4AB AC =，点P 是边AB 上异于,A B 的一点,光
线从点P 出发,经,BC CA 发射后又回到原点P (如图).若光线QR 经过ABC ∆的中心,则AP 等
（） A ．2
B ．
C ．83
D ．43
【答案】D
二、解答题 7 ．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分
14分.如图,在平面直角坐标系xOy 中,点)3,0(A ,直线42:-=x y l ,设圆C 的半径为,圆心在上.
(1)若圆心C 也在直线1-=x y 上,过点A 作圆C 的切线,求切线的方程;
(2)若圆C 上存在点M ,使MO MA 2=,求圆心C 的横坐标a 的取值范围.
【答案】解:(1)由⎩⎨⎧-=-=1
42x y x y 得圆心C 为(3,2),∵圆C 的半径为
∴圆C 的方程为:1)2()3(22=-+-y x
显然切线的斜率一定存在,设所求圆C 的切线方程为3+=kx y ,即03=+-y kx ∴11
3232=++-k k ∴1132+=+k k ∴0)34(2=+k k ∴0=k 或者43-=k ∴所求圆C 的切线方程为:3=y 或者343+-
=x y 即3=y 或者01243=-+y x (2)解:∵圆C 的圆心在在直线42:-=x y l 上,所以,设圆心C 为(a,2a-4)
则圆C 的方程为:[]1)42()(2
2=--+-a y a x 又∵MO MA 2=∴设M 为(x,y)则22222)3(y x y x +=-+整理得:4)1(22=++y x 设为圆D ∴点M 应该既在圆C 上又在圆D 上即:圆C 和圆D 有交点
∴[]12)1()42(122
2+≤---+≤-a a 由08852≥+-a a 得R x ∈
由01252≤-a a 得5
120≤≤x 终上所述,
a 的取值范围为:⎥⎦
⎤⎢⎣⎡512,。