2020年高考理科数学易错题《直线与圆》题型归纳与训练

2020年高考理科数学《直线与圆》题型归纳与训练

【题型归纳】

题型一直线方程、两直线的位置关系

例1已知两直线1:80l mx y n ++=和2:210l x my +-=.试确定m 、n 的值，使： (1)1l 与2l 相交于点(),1P m -； (2)1l ∥2l ；

(3)1l ⊥2l ，且1l 在y 轴上的截距为－1. 【答案】（1）1m =，7n =.

（2）4m =，2n ≠-时或4m =-，2n ≠时，1l ∥2l . （3）0m =，8n =

【解析】(1)由题意得280210

m n m n ?-+=?--=?，解得1m =，7n =.

(2)当0m =时，显然1l 不平行于2l ；

当0m ≠时，由

821m n

m =-≠-，得??

?-≠=????≠--?=?-?240)1(8028n m nm m m 或???≠-=2

4n m . 即4m =，2n ≠-时或4m =-，2n ≠时，1l ∥2l .

(3)当且仅当280m m +=，即0m =时，1l ⊥2l .又18

-=-，∴8n =.

即0m =，8n =时，1l ⊥2l ，且1l 在y 轴上的截距为－1.

【易错点】忽略对0m =的情况的讨论

【思维点拨】遇到直线类题型，首先要注意特殊情况如斜率不存在时或0k =时，并且对于直线平行和垂直时与12A A 和12B B 间的关系要熟练记忆。

例2如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l 1：x ＋2y －1＝0，l 2：x ＋2y －3＝0所截的线段的中点在直线l 3：x －y －1＝0上，求其方程．

【答案】2750x y +-=.

【解析】与1l 、2l 平行且距离相等的直线方程为220x y +-=.

设所求直线方程为()()2210x y x y λ+-+--=，即()()1220x y λλλ++---=.又直线过

()1,1A -，∴()()()112120λλλ+-+-?--=.解1

λ=-.∴所求直线方程为2750x y +-=.

【易错点】求错与1l 、2l 平行且距离相等的直线方程

【思维点拨】本题的关键在于求到1l 、2l 平行且距离相等的直线方程，再利用这条直线求出和第三条支线的交点，从而求解本题.

题型二圆的方程（对称问题、圆的几何性质运用）例1已知实数x 、y 满足方程2

410x y x +-+=.

(1)求

的最大值和最小值； (2)求y x -的最大值和最小值．

【答案】（1）y

（2）y x -

的最大值为2-+

，最小值为2-.

【解析】(1)原方程化为()2

223x y -+=，表示以点()2,0为圆心，

为半径的圆．设

k x

=，

即y kx =，当直线y kx =与圆相切时，斜率k

k =.故y

x 的最大值

(2)设y x b -=，即y x b =+，当y x b =+与圆相切时，纵截距b

取得最大值和最小值，此时=

2b =-.故y x -

的最大值为2-

，最小值为2--. 【易错点】理解错给定要求结果的含义

【思维点拨】正确理解给定结果的含义，在利用题中的条件解决问题。

例2已知点()10,0P ，Q 为圆2

16x y +=上一动点，当点Q 在圆上运动时，PQ 的中点M 的轨迹方程

是 .

【答案】()2

254x y -+=.

【解析】设点(),M x y 为所求轨迹上任意一点，()00,Q x y .

因为M 为PQ 的中点，所以即又因为点Q 在圆2

16x y +=上，所以()()2

2210216x y -+=，

00102

02x x y y +?

=???+?=??

，，00

2-102.x x y y =??

=?，

故所求的轨迹方程为()22

54 x y

-+=

【易错点】中点的错误应用

【思维点拨】求出中点横纵坐标的方程及求出所求的直线

题型三直线与圆、圆与圆的位置关系

例1在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+(y-3)2=2，点A是x轴上的一个动点，AP，AQ分别切圆C于P，Q 两点，则线段PQ长的取值范围是.

【答案】PQ∈.

【解析】设∠PCA=θ，所以PQ=

sin θ.

又cos

θ=，AC∈[3，+∞)

，所以cos θ∈，

所以cos2θ∈，sin2θ=1-cos2θ∈，

所以sin θ∈，所以PQ∈.

【易错点】直接去求线段的长度

【思维点拨】转化思想，把要求的线段长度转化为角度的关系，从而解决问题.

例2已知圆.0

C：

(1)

若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；

(2)从圆C外一点)

P（向该圆引一条切线，切点为O

M,为坐标原点，且有,

PM=求使得PM取得最小值时点P的坐标．

【答案】（1）10

x y

++=，或-30

x y

+=.

（2）

105

，

【解析】(1)将圆C配方得()22

1(2)2

x y

++-=.

当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y kx

=，

，解得2

k=±(2

y x

当直线在两坐标轴上的截距不为零时，

，

???，

??3

设直线方程为0x y a +-=

=1a =-，3a =.

∴直线方程为10x y ++=，或-30x y +=.

(2)由PO PM =,得2222

1111(1)(2)2x y x y +=++--，

即点P 在直线:2430l x y -+=上．

当PM 取最小值时，即OP 取得最小值，直线OP l ⊥， ∴直线OP 的方程为20x y +=. 得点P 的坐标为33-105??

???

，. 【易错点】没有分类讨论

【思维点拨】考查用点斜式、斜截式求直线的方法，利用分类讨论思想来解决问题题型四定点定值轨迹问题

例1已知t ∈R ，圆C ：x 2+y 2-2tx -2t 2y+4t -4=0.

(1)若圆C 的圆心在直线x -y+2=0上，求圆C 的方程.

(2)圆C 是否过定点?如果过定点，求出定点的坐标；如果不过定点，请说明理由. 【答案】（1）圆C 的方程为x 2+y 2+2x -2y -8=0或x 2+y 2-4x -8y+4=0. （2）过定点，定点坐标为()2,0

【解析】(1)由原方程配方得(x -t )2+(y -t 2)2=t 4+t 2-4t+4，其圆心为C (t ，t 2).

依题意知t -t 2+2=0，所以t=-1或2.

即圆C 的方程为x 2+y 2+2x -2y -8=0或x 2+y 2-4x -8y+4=0. (2)整理圆C 的方程为(x 2+y 2-4)+(-2x+4)t+(-2y )·t 2=0，

令所以圆C 过定点(2，0). 【易错点】漏解

【思维点拨】判定圆是否过定点，或是求圆所过定点坐标的问题，可以在方程形式上转化为关于某个参量的方程，结合恒等式的关系，再构造关于x ，y 的方程组求该点的坐标.若方程组有解，则说明圆过定点，否则圆不过定点.

22-40-240-20

x y x y ?+=?

+=??=?

，

，?20x y =??

=?，，

例2如图，已知圆C ：x 2+(y -3)2=4，一动直线l 过点A (-1，0)与圆C 相交于P ，Q 两点，M 是PQ 的中点，l 与直线m ：x+3y+6=0相交于点N.

(1)求证：当l 与m 垂直时，l 必过圆心C. (2)当PQ=

时，求直线l 的方程.

(3)探索·是否与直线l

的倾斜角有关?若无关，请求出其值；若有关，请说明理由.

【答案】（1）见解析

（2）x=-1或4x -3y+4=0.

（3）

·与直线l 的倾斜角无关，且·=-

【解析】(1)因为l

与m 垂直，且k m =-，所以k l =3.又k AC =3，所以当l 与m 垂直时，l 的方程为y=3(x+1)，l 必过圆心C.

(2)①当直线l 与x 轴垂直时，易知x=-1，符合题意. ②当直线l 与x 轴不垂直时，

设直线l 的方程为y=k (x+1)，即kx -y+k=0. 因为PQ=2

，所以1，

则由=1，得k=

，所以直线l ：4x -3y+4=0，

从而所求的直线l 的方程为x=-1或4x -3y+4=0. (3) 因为CM ⊥MN ，所以

·=(+)·=·+·=·.

①当l 与x 轴垂直时，易得N ， AM u u u u r AN uuu

r AM u u u u r AN uuu r AM u u u u r AN uuu

r 1

AM u u u u r AN uuu

r AC uuu r CM u u u u r AN uuu r AC uuu r AN uuu r CM u u u u r AN uuu r AC uuu r AN uuu r 51,3??--

???

则=.又=(1，3)，所以·=·=-5；

②当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y=k (x+1)，则由得N ，则=，所以·=·=

+=-5. 综上，·与直线l 的倾斜角无关，且·=-5.

【易错点】忽略对斜率不存在情况的讨论

【思维点拨】一般地，涉及到圆的切线或考虑其弦长问题时，若需要求直线的方程，则务必要全面考虑问题，即要考虑直线的斜率存在与不存在两种情况.

【巩固训练】

题型一直线方程、两直线的位置关系

1.已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0. (1)试判断l 1与l 2是否平行； (2)l 1⊥l 2时，求a 的值．

【答案】（1）当a ＝－1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行（2）a ＝23

【解析】（1）由A 1B 2－A 2B 1＝0，得a (a －1)－1×2＝0，由A 1C 2－A 2C 1≠0，得a (a 2－1)－1×6≠0，

∴l 1∥l 2???

?-=?≠?--=?--1

061)1(0

21)1(2

a a a a a ，

故当a ＝－1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行．

（2）由A 1A 2＋B 1B 2＝0得a ＋2(a －1)＝0?a ＝2

2.已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，在坐标平面内求一点P ，使P A ＝PB ，且点P 到直线l 的距离为2.

AN uuu r 50-3?? ???

，

AC uuu r

AM u u u u r AN uuu r AC uuu r AN uuu r

(1)360y k x x y =+??

++=?，，-3-6-51313k k k k ??

?++?

?，AN uuu r -5-51313k k k ??

?++??

，AM u u u u r AN uuu r AC uuu r AN uuu r -513k +-1513k k

+AM u u u u r AN uuu r AM u u u u r AN uuu

【答案】P 的坐标为()1,4-或278,77??

? 【解析】设点P 的坐标为(a ，b )，∵A (4，－3)，B (2，－1)，

∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)，

∴线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3，即x －y －5＝0. ∵点P (a ，b )在上述直线上，∴a －b －5＝0.①

又P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2，∴|4a ＋3b －2|

＝2，即4a ＋3b －2＝±10，②

联立①②可得?????

a ＝1

b ＝－4或?

a ＝277

b ＝－87

.∴所求点P 的坐标为()1,4-或278,77??-

???. 3.如图，已知A (4,0)、B (0,4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是________．

【答案】CD ＝210

【解析】由题意知点P 关于直线AB 的对称点为D (4,2)，关于y 轴的对称点为C (－2,0)，则光线所经过的路程PMN 的长为CD

＝210.

题型二圆的方程（对称问题、圆的几何性质运用） 1.根据下列条件，求圆的方程：

(1)经过P (－2,4)、Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6； (2)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)．【答案】（1）x 2＋y 2－2x －4y －8＝0，或x 2＋y 2－6x －8y ＝0

（2）(x －1)2＋(y ＋4)2＝8

【解析】(1)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，

将P 、Q 点的坐标分别代入得?

?? 2D －4E －F ＝20，

3D －E ＋F ＝－10.

①②

又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.③

设x 1，x 2是方程③的两根，由|x 1－x 2|＝6有D 2－4F ＝36，④

由①、②、④解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8，或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0，或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.

(2) 如图，设圆心(x 0，－4x 0)，依题意得4x 0－2

3－x 0＝1，

∴x 0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r ＝22，故圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.

2.在平面直角坐标系xOy 中，二次函数f (x )=x 2+2x+b (x ∈R )与两坐标轴有三个交点.记过三个交点

的圆为圆C. (1)求圆C 的方程；

(2)圆C 是否经过定点(与b 的取值无关)?证明你的结论.

【答案】（1）x 2+y 2+2x -(b+1)y+b=0. （2）圆C 必过定点(0，1)，(-2，1)

【解析】(1)设所求圆的一般方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，令y=0，得x 2+Dx+F=0，这与x 2+2x+b=0

是同一个方程，故D=2，F=b ；令x=0，得y 2+Ey+b=0，此方程有一个根为b ，代入得E=-b -1，所以圆C 的方程为x 2+y 2+2x -(b+1)y+b=0. (2)圆C 必过定点(0，1)，(-2，1).

证明如下：原方程转化为(x 2+y 2+2x -y )+b (1-y )=0，即解得或. 3.点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是___________．

【答案】(x －2)2＋(y ＋1)2＝1

【解析】设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )，

则????? 2x ＝x 0＋42y ＝y 0－2??

????

x 0＝2x －4y 0＝2y ＋2，代入x 20＋y 20＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 题型三直线与圆、圆与圆的位置关系

1.若过点P (1，1)的直线将圆形区域{(x ，y )|x 2+y 2≤4}分为两部分，且使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为 . 【答案】x+y -2=0

【解析】当圆心与点P 的连线和过点P 的直线垂直时，符合条件.圆心O 与点P 连线的斜率k=1，所以所求直线的斜率为-1，故所求直线方程为x+y -2=0.

2-01-0x y x y y ?++=?=?

，，01x y =??=?，-21.x y =??

=?，

2. 直线3+=kx y 与圆

4)3()3x 22=-+-y （相交于,M N

两点，若MN ≥，则k 的取值范围是________．【答案】0.k 4

≤≤ 【解析】

设圆心为C ，弦MN 的中点为A ，当32MN =时，

134MA -MC AC 22=-==.∴当32MN ≥时，圆心C 到直线3+=kx y 的距离1d ≤.

∴

k 32-3k 2≤++.∴()1k 1k 322

+≤+，∴0.k 4

≤≤ 3.若圆O ：x 2+y 2=5与圆O 1：(x -m )2+y 2=20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长是 . 【答案】4AB =

【解析】依题意得OO 1

5，且△OO 1A 是直角三角形，=

··OO 1=·OA ·AO 1，因此AB===4.

题型四

定点定值轨迹问题

1. 如图，

在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(

x+1)2+y 2=1，圆C 2：(x -3)2+(y -4)2=1.设动圆C 同时平分圆C 1、圆C 2的周长.

(1)求证：动圆圆心C 在一条定直线上运动.

(2)动圆C 是否经过定点?若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由.

【答案】（1）动圆圆心C 在定直线x+y -3=0上运动

1OO A S V 122AB 1

112OA AO OO ??25

（2）动圆C 过定点，定点的坐标为和. 【解析】(1)设圆心C (x ，y )，由题意，得CC 1=CC 2，

化简得x+y -3=0，

即动圆圆心C

在定直线x+y -3=0上运动. (2)

圆C 过定点.

设C (m ，3-m )，则动圆C 的半径为

于是动圆C 的方程为(x -m )2+(y -3+m )2=

1+(m+1)2+

(3-m )2，整理，得x 2+y 2-6y -2-2m (x -y+1)=0

，

联立方程组解得或

所以动圆C 过定点，定点的坐标为和. 2. 已知圆C ：(x -3)2+(y -4)2=4，直线l 1

过定点A (1，0).

(1)若l 1与圆相切，求直线l 1的方程.

(2)若l 1与圆相交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为

M ，又l 1与l

2：x+2y+2=0的交点为N ，判断AM ·AN 是否为定值?若是，则求出定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1）x=1

或3x -4y -3=0. （2）AM·AN 是定值且为6.

【解析】(1)①若直线l 1的斜率不存在，即直线为x=1，符合题意.

②若直线l 1斜率存在，设直线l 1的方程为y=k (x -1)，即kx -y -k=0. 由题意知，圆心(3，4)到已知直线l 1的距离等于半径22，解得k=

， 1-

2-22? ??1+2+22? ??

-10-6-20x y x y y +=??+=?，

，1222x y ?=+????=+??1-2

2-2x y ?=???

?=??

，1-

2-22? ?

?1+2+22? ??3

所以所求直线方程为x=1或3x-4y-3=0.

(2)方法一：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx-y-k=0.由得N.

又因为直线CM与l1垂直，

由得M，

所以AM·

6为定值.故AM·AN是定值且为6.方法二：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx-y-k=0.

由得N.

再由

得(1+k2)x2-(2k2+8k+6)x+k2+8k+21=0，

所以x1+x2=，得M.

以下同方法一.

方法三：(几何法)

(变式)

连接CA并延长交l2于点B，由题知k AC=2，=-，

220

--0

x y

kx y k

++=

，

2-23

2121

k k

，

-4-(-3)

y kx k

y x

，

4342

k k k k

k k

+++

，

220

--0

x y

kx y k

++=

，

2-23

2121

k k

，

(-3)(-4)4

y kx k

x y

，

286

k k

4342

k k k k

k k

+++

，

所以CB⊥l2.

如图，△AMC∽△ABN，所以=，

可得AM·AN=AC·AB=

6，是定值.

3.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y=2x

-4，设圆C的半径为1，圆心在直线l上.

(1)若圆心C也在直线

y=x-1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；

(2)若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围.

【答案】（1）y=3或3x+4y-12=0.

(2)

∈??

【解析】(1)由得圆心C为(3，2)，

因为圆C的半径为1，

所以圆C的方程为(x-3)2+(y-2)2=1.

由题知切线的斜率一定存在，

设所求圆C的切线方程为y=kx+3，即kx-y+3=0，

=1，所以|3k+1

所以2k(4k+3)=0，所以k=0或k=-.

所以所求圆C的切线方程为y=3或y=-x+3，

即y=3或3x+4y-12=0.

(2)因为圆C的圆心在直线l：y=2x-4上，

所以设圆心C为(a，2a-4)，

则圆C的方程为(x-a)2+[y-(2a-4)]2=1.

2-4

-1

y x

，

又因为MA=2MO ，所以设点M (x ，y )，

，整理得 x 2+(y+1)

2=4，设为圆D.

所以点M 应该既在圆C 上又在圆D 上，即圆C 和圆D 有交点，所以|2-1||2+1|，由5a 2-12a+8≥0得a ∈R ；由5a 2-12a ≤0，得0≤a ≤

. 终上所述，实数a 的取值范围为120,5??

????

125

高考数学数列大题训练答案版

高考数学数列大题训练 1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且1,641≠=q a 公比（Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设n n a b 2log =，求数列.|}{|n n T n b 项和的前解析： (1)设该等差数列为{}n c ，则25a c =，33a c =，42a c =Q 533222()c c d c c -==- ∴2334()2()a a a a -=-即：223111122a q a q a q a q -=- ∴12(1)q q q -=-，Q 1q ≠， ∴121, 2q q ==，∴1164()2n a -=g (2)121log [64()]6(1)72n n b n n -==--=-g ，{}n b 的前n 项和(13)2n n n S -= ∴当17n ≤≤时，0n b ≥，∴(13)2 n n n n T S -== （8分）当8n ≥时，0n b <，12789n n T b b b b b b =+++----L L 789777()()2n n n S b b b S S S S S =-+++=--=-L (13)422 n n -=- ∴(13)(17,)2(13)42(8,)2 n n n n n T n n n n -?≤≤∈??=?-?-≥∈??**N N 2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中.154=a （Ⅰ）求321,,a a a ；（Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S 解：（1）由151241=+=-a a a n n 及知,1234+=a a 解得：,73=a 同理得.1,312==a a （2）由121+=-n n a a 知2211+=+-n n a a

2020年高考理科数学模拟试题及答案(解析版) (14)

高三理科数学模拟试卷一．选择题（每小题5分，满分60分） 1.“4n =”是1n x x ? ?+ ?? ?的二项展开式中存在常数项”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】计算二项展开式中存在常数项的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．【详解】二项式 1n x x +（）的通项为2110r r n r r r n r n n T C x C x r n x --+==≤≤（）（） 1n x x +（）的二项展开式中存在常数项2n r n ?=?为正偶数 4n n =?Q 为正偶数， n 为正偶数推不出4n = ∴4n =是 1n x x +（）的二项展开式中存在常数项的充分不必要条件．故选A ．【点睛】以简易逻辑为载体，考查了二项式定理，属基础题． 2.关于函数()23 2 f x x = -的下列判断，其中正确的是（） A. 函数的图像是轴对称图形 B. 函数的图像是中心对称图形 C. 函数有最大值 D. 当0x >时，()y f x =是减函数【答案】A 【解析】【分析】判断函数为偶函数得到A 正确，B 错误，取特殊值，排除C 和D 得到答案. 【详解】()2 32f x x = -定义域为：{x x ，( )23 ()2 f x f x x -==- 函数为偶函数，故A 正确，B 错误

当x 且x 时，( )f x →+∞ ，C 错误 3 (1)3,(2)2 f f =-= ，不满足()y f x =是减函数，D 错误故选A 【点睛】本题考查了函数的性质，意在考查学生对于函数性质的灵活运用. 3.已知向量a v 和b v 的夹角为3 π，且 2,3a b ==v v ，则(2)(2)aba b -+=v v v v （） A. 10- B. 7- C. 4- D. 1- 【答案】D 【解析】【分析】根据数量积的运算律直接展开 ()() 22a b a b -?+v v v v ，将向量的夹角与模代入数据，得到结果．【详解】()() 22a b a b -?+=v v v v 2223?2a a b b +-v v v v ＝8+3cos 3a b πv v －18＝8+3×2×3×12 －18＝－1，故选D. 【点睛】本题考查数量积的运算，属于基础题． 4.魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π：4.若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为( ) A. 16 B. C. 163 D. 128 3 【答案】C 【解析】【分析】由已知求出正方体内切球的体积，再由已知体积比求得“牟合方盖”的体积．【详解】正方体的棱长为2，则其内切球的半径r 1=， ∴正方体的内切球的体积3 44V π1π33 =?=球，又由已知 V πV 4= 球牟合方盖，4416V ππ33 ∴=?=牟合方盖．故选C ．【点睛】本题考查球的体积的求法，理解题意是关键，是基础题．

2020高考理科数学冲刺—压轴大题高分练一

1．(本小题满分12分)(2019陕西咸阳一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 ＝1(a >1)的上顶点为B , 右顶点为A ,直线AB 与圆M ：(x －2)2＋(y －1)2 ＝1相切． (1)求椭圆C 的方程． (2)过点N (0,－1 2 )且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于P ,Q 两点,求证：BP ⊥BQ . 1．(1)解：由题意知,A (a ,0),B (0,1),则直线AB 的方程为x ＋ay －a ＝0. 由直线AB 与圆M ：(x －2)2＋(y －1)2＝1相切,得圆心M 到直线AB 的距离d ＝2 1＋a 2 ＝1,求得a ＝3, 故椭圆C 的方程为x 23 ＋y 2 ＝1. (2)证明：直线l 的方程为y ＝kx －1 2 ,P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2), 联立? ??y ＝kx －1 2 ， x 23 ＋y 2＝1，消去y 整理得(4＋12k 2)x 2－12kx －9＝0. ∴x 1＋x 2＝12k 4＋12k 2,x 1x 2 ＝－9 4＋12k 2 . 又BP →＝(x 1,y 1－1),BQ → ＝(x 2,y 2－1), ∴BP →·BQ → ＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)＝x 1x 2＋(kx 1－32)·(kx 2－32)＝(1＋k 2)x 1x 2－32k (x 1＋x 2)＋94 ＝－9（1＋k 2）4＋12k 2－18k 24＋12k 2 ＋94＝0,∴BP ⊥BQ . 2．(本小题满分12分)(2019内蒙古一模)已知函数f (x )＝2ax ＋bx －1－2ln x (a ∈R )． (1)当b ＝0时,确定函数f (x )的单调区间． (2)当x >y >e －1时,求证：e x ln(y ＋1)>e y ln(x ＋1)． 2．(1)解：当b ＝0时,f ′(x )＝2a －2x ＝2（ax －1） x (x ＞0)．当a ≤0时,f ′(x )＜0在(0,＋∞)上恒成立． ∴函数f (x )在(0,＋∞)上单调递减．

高考数学前三道大题练习

1 A B C D S E F N B 高考数学试题（整理三大题）（一） 17.已知0αβπ<<4，为()cos 2f x x π? ?=+ ?8??的最小正周期，1tan 14αβ????=+- ? ????? ，， a (cos 2)α=， b ，且?a b m =．求 2 2cos sin 2() cos sin ααβαα ++-的值． 18. 在一次由三人参加的围棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛按以下规则进行；第一局：甲对乙；第二局：第一局胜者对丙；第三局：第二局胜者对第一局败者；第四局：第三局胜者对第二局败者，求：（1）乙连胜四局的概率；（2）丙连胜三局的概率． 19.四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD 。已知∠ABC ＝45°，AB ＝2，BC=22，SA ＝SB ＝3。 (Ⅰ)证明：SA ⊥BC ； (Ⅱ)求直线SD 与平面SAB 所成角的大小；（二） 17.在ABC △中，1tan 4A =，3 tan 5 B =．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若ABC △ 18. 每次抛掷一枚骰子（六个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6). （I ）连续抛掷2次，求向上的数不同的概率；（II ）连续抛掷2次，求向上的数之和为6的概率；（III ）连续抛掷5次，求向上的数为奇数恰好出现3次的概率。 19. 如图，在四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD ，E 、F 分别是 AB 、SC 的中点。求证：EF ∥平面SAD ；（三） 17.已知ABC △的面积为3，且满足06AB AC ≤≤，设AB 和AC 的夹角为θ．（I ）求θ的取值范围；（II ）求函数2()2sin 24f θθθ?? =+ ??? π的最大值与最小值． 18. 某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球获得二得奖；摸出两个红球获得一等奖．现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次．求（1）甲、乙两人都没有中奖的概率；（2）甲、两人中至少有一人获二等奖的概率． 19. 在Rt AOB △中，π 6 OAB ∠= ，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --是直二面角．动点D 的斜边AB 上．（I ）求证：平面COD ⊥平面AOB ；（II ）当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角的大小；（III ）求CD 与平面 AOB 所成角的最大值（四） 17.已知函数2 π()2sin 24f x x x ??=+ ???，ππ42x ??∈???? ，．（I ）求()f x 的最大值和最小值；（II ）若不等式()2f x m -<在ππ42 x ??∈???? ，上恒成立，求实数m 的取值范围． 18. 甲、乙两班各派2名同学参加年级数学竞赛，参赛同学成绩及格的概率都为0.6，且参赛同学的成绩相互之间没有影响，求：（1）甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩及格的概率；（2）甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率． 19. 如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形， 4 ABC π ∠= , OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点。（Ⅰ）证明：直线MN OCD 平面‖；（Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小；（Ⅲ）求点B 到平面OCD 的距离。 O C A D B E

2020年高考理科数学易错题《排列组合》题型归纳与训练

2020年高考理科数学《排列组合》题型归纳与训练【题型归纳】题型一计数原理的基本应用例1 某校开设A 类选修课2门，B 类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 A ．3种 B ．6种 C ．9种 D ．18种【答案】 C . 【解析】可分以下2种情况：①A 类选修课选1门，B 类选修课选2门，有 62312=?C C 种不同的选法；②A 类选修课选2门，B 类选修课选1门，有31322=?C C 种不同的选法．所以根据分类计数原理知不同的选法共有6+3=9种．故要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有9种．故选：C 【易错点】注意先分类再分步【思维点拨】两类课程中各至少选一门，包含两种情况：A 类选修课选1门，B 类选修课选2门；A 类选修课选2门，B 类选修课选1门，写出组合数，根据分类计数原理得到结果. 题型二特殊元素以及特殊位置例 1 将F E D C B A ,,,,,六个字母排成一排，且B A ,均在C 的同侧，则不同的排法有（）种.（用数字作答）【答案】 480 【解析】考虑到C B A ,,要求有顺序地排列，所以将这三个字母当作特殊元素对待。先排F E D ,,三个字母，有12036 =A 种排法；再考虑C B A ,,的情况：C 在最左端有2种排法，最右端也是2种排法，所以答案是4804120=?种. 【易错点】注意特殊元素的考虑【思维点拨】对于特殊元素与特殊位置的考量，需要瞻前顾后，分析清楚情况，做到“不重复不遗漏”；如果情况过于复杂，可以考虑列举法，虽然形式上更细碎一些，但是情况分的越多越细微，每种情况越简单，准确度就越高. 题型三捆绑型问题以及不相邻问题例1 由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3都不与5相邻的六位偶数的个数是（）个.

高考理科数学试题汇编(含答案)数列大题

（重庆）22．（本小题满分12分，（1）小问4分，（2）小问8分）在数列{}n a 中，()2 1113,0n n n n a a a a a n N λμ+++=++=∈ （1）若0,2,λμ==-求数列{}n a 的通项公式；（2）若()0 001,2,1,k N k k λμ+= ∈≥=-证明：01 0011 223121 k a k k ++<<+++ 【答案】（1）132n n a -=?；（2）证明见解析. 试题分析：(1)由02λμ==-，,有212,(n N )n n n a a a ++=∈

若存在某个0n N +∈，使得0n 0a =，则由上述递推公式易得0n 10a +=，重复上述过程可得 10a =，此与13a =矛盾，所以对任意N n +∈,0n a ≠. 从而12n n a a +=()N n +∈，即{}n a 是一个公比q 2=的等比数列. 故11132n n n a a q --==?. (2)由0 1 1k λμ= =-，，数列{}n a 的递推关系式变为 21101 0,n n n n a a a a k +++ -=变形为2101n n n a a a k +??+= ?? ?()N n +∈. 由上式及13a =，归纳可得 12130n n a a a a +=>>>>>>L L 因为22220010000 11111 1 11n n n n n n n a a k k a a k k k a a a k k +-+= = =-+? ++ +，所以对01,2n k =L 求和得() () 00011211k k k a a a a a a ++=+-++-L 01000010200000011111 111111112231313131 k a k k k k a k a k a k k k k k ??=-?+?+++ ? ?+++????>+?+++=+ ? ++++??L L 另一方面，由上已证的不等式知001212k k a a a a +>>>>>L 得 00110000102011111 111k k a a k k k k a k a k a +??=-?+?+++ ? ?+++?? L 0000011111 2221212121 k k k k k ??<+ ?+++=+ ?++++??L 综上：01001 12231 21 k a k k ++ <<+ ++ 考点：等比数列的通项公式，数列的递推公式，不等式的证明，放缩法.

2017年高考理科数学试题及答案

2017年普通高等学校招生全国统一考试（xx卷）数学（理科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2017年xx，理1，5分】设函数的定义域为，函数的定义域为，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】D 【解析】由得，由得，，故选D．（2）【2017年xx，理2，5分】已知，是虚数单位，若，，则（）（A）1或（B）或（C）（D）【答案】A 【解析】由得，所以，故选A．（3）【2017年xx，理3，5分】已知命题：，；命题：若，则，下列命题为真命题的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】B 【解析】由时有意义，知是真命题，由可知是假命题，即，均是真命题，故选B．（4）【2017年xx，理4，5分】已知、满足约束条件，则的最大值是（）（A）0（B）2（C）5（D）6 【答案】C 【解析】由画出可行域及直线如图所示，平移发现，

当其经过直线与的交点时，最大为，故选C．（5）【2017年xx，理5，5分】为了研究某班学生的脚长（单位：厘米）和身高（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为，已知，，，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（）（A）160（B）163（C）166（D）170 【答案】C 【解析】，故选C．（6）【2017年xx，理6，5分】执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的值为7，第二次输入的值为9，则第一次、第二次输出的值分别为（）（A）0，0（B）1，1（C）0，1（D）1，0 【答案】D 【解析】第一次；第二次，故选D．（7）【2017年xx，理7，5分】若，且，则下列不等式成立的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】B 【解析】，故选B．（8）【2017年xx，理8，5分】从分别标有1，2，…，9的9xx卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1xx，则抽到在2xx卡片上的数奇偶性不同的概率是（）（A）（B）（C）（D）

高考数学大题练习

高考数学大题 1．（12分）已知向量a =（sin θ，cos θ-2sin θ），b =（1，2）（1）若a ⊥b ，求tan θ的值；（2）若a ∥b ，且θ为第Ⅲ象限角，求sin θ和cos θ的值。 2．(12分)在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，且AC=BC=BD=2AE ，M 是AB 的中点. (I)求证：CM ⊥EM： (Ⅱ)求DE 与平面EMC 所成角的正切值. 3．（13分）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响. (Ⅰ)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率； (Ⅱ)任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培训的概率. 4．（12分）在△ABC 中，∠A ．∠B ．∠C 所对的边分别为a ．b ．c 。若B A cos cos =a b 且sinC=cosA （1）求角A ．B ．C 的大小；（2）设函数f(x)=sin （2x+A ）+cos （2x- 2C ）,求函数f(x)的单调递增区间，并指出它相邻两对称轴间的距离。 5．（13分）已知函数f(x)=x+x a 的定义域为（0，+∞）且f(2)=2+22，设点P 是函数图象上的任意一点，过点P 分别作直线y=x 和y 轴的垂线，垂足分别为M ，N. （1）求a 的值；（2）问：|PM|·|PN|是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，则说明理由：（3）设O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值。 6．（13分）设函数f(x)=p(x-x 1)-2lnx,g(x)=x e 2(p 是实数，e 为自然对数的底数) （1）若f(x)在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围；（2）若直线l 与函数f(x),g(x)的图象都相切，且与函数f(x)的图象相切于点（1，0），求p 的值；（3）若在[1，e]上至少存在一点x 0，使得f(x 0)＞g(x 0)成立，求p 的取值范围.

2020-2021人教版数学五年级下册易错题

一、选择 1．从正面看，看到的图形是( )。 A. B. C. D. 2．下面( )组图形通过旋转可以得到图形A 。 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④ 3．要使15x 是假分数，16 x 是真分数，x 是( )。 A ．1 B ．15 C ．16 D ．17 4．把3个相同的小长方体拼成1个15 cm 高的大长方体，表面积减少了48cm 2，那么原来1个小长方体的体积是( )cm 3。 A ．180 B ．120 C ．60 D ．36 5．分数单位是a 1（a 是大于或等于2的自然数）的最小假分数与最大真分数的差是 ( )。

A.0 B.1 C. a 1 D.a 2 6．一个正方体的木块，每个面上分别写着A 、B 、C 、D 、E 、F ，从不同方向观察如下，以下结论正确的是( )。 A. C 与D 相对 B ．A 与E 相对 C ．B 与F 相对 D ．以上说法都对 7．暑假期间，芳芳和明明去图书馆，芳芳每4天去一次，明明每5天去一次，8月2日两人在图书馆相遇， ( )他们再次相遇。 A.8月18日 B.8月20日 C.8月22日 D.8月24日 8．一杯纯苹果汁，林老师喝了2 1杯后，觉得有些浓，然后加满水，又喝了半杯，再兑满水直至全部喝完。林老师一共喝了( )杯纯苹果汁。 A ． 41 B ．21 C ．4 3 D ．1 9．五(1)班共有45位学生。暑假期间有一个紧急通知，王老师需要尽快通知到每一位学生。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，那么至少要花( )分钟才能全部通知到。 A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 10.下面有( )道算式的结果一定不是奇数。 ①a+4 ②6a ③3a ④a 2 ⑤a+a A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

高考文科数学数列经典大题训练(附答案)

1.（本题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34-=n n a S (1,2,)n =，（1）证明:数列{}n a 是等比数列；（2）若数列{}n b 满足1(1,2,)n n n b a b n +=+=，12b =，求数列{}n b 的通项公式． 2.（本小题满分12分）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== 1.求数列{}n a 的通项公式. 2.设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?? ???? 的前项和. 3.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n b na =，求数列的前n 项和n S

4.已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（4﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n． 5.已知数列{a n}满足，，n∈N×．（1）令b n=a n+1﹣a n，证明：{b n}是等比数列；（2）求{a n}的通项公式．

1.解：（1）证：因为34-=n n a S (1,2,)n =，则3411-=--n n a S (2,3,)n =，所以当2n ≥时，1144n n n n n a S S a a --=-=-，整理得14 3 n n a a -= ． 5分由34-=n n a S ，令1n =，得3411-=a a ，解得11=a ．所以{}n a 是首项为1，公比为4 3 的等比数列． 7分（2）解：因为14 ()3 n n a -=，由1(1,2,)n n n b a b n +=+=，得114 ()3 n n n b b -+-=． 9分由累加得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b ＝1)34(33 41)34(1211 -=--+--n n ，（2≥n ），当n=1时也满足，所以1)3 4 (31-=-n n b ． 2.解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由23269a a a =得32 34 9a a =所以21 9 q =。有条件可知a>0,故13 q =。由12231a a +=得12231a a q +=，所以113 a =。故数列{a n }的通项式为a n =1 3n 。（Ⅱ ）111111log log ...log n b a a a =+++ (12...) (1) 2 n n n =-++++=- 故 12112()(1)1 n b n n n n =-=--++ 12111111112...2((1)()...())22311 n n b b b n n n +++=--+-++-=-++

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《计数原理与概率统计》难题汇编附答案解析

新数学《计数原理与概率统计》复习知识点一、选择题 1．如图所示，线段BD 是正方形ABCD 的一条对角线，现以BD 为一条边，作正方形 BEFD ，记正方形ABCD 与BEFD 的公共部分为Ω（如图中阴影部分所示），则往五边形ABEFD 中投掷一点，该点落在Ω内的概率为（） A ． 16 B ． 15 C ． 14 D ． 13 【答案】B 【解析】【分析】五边形ABEFD 的面积5 2S =，阴影Ω的面积为12 ，得到概率. 【详解】不妨设1AB =，故五边形ABEFD 的面积15222 S = +=，阴影Ω的面积为1 2，故所求概率为112 1 5 22 P = = +，故选：B ．【点睛】本题考查了几何概型，意在考查学生的计算能力和应用能力. 2．下列四个结论中正确的个数是（1）对于命题0:p x R ?∈使得2 010x -≤，则:p x R ??∈都有210x ->；（2）已知2 (2,)X N σ:，则 (2)0.5P X >= （3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为 ?23y x =-；（4）“1x ≥”是“1 2x x +≥”的充分不必要条件. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C 【解析】

【分析】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定．【详解】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题0:p x R ?∈使得 2010x -≤，则:p x R ??∈都有210x ->，是错误的；（2）中，已知( )2 2,X N σ ~，正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为2x =，所以 (2)0.5P X >=是正确的；（3）中，回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，可得回归直线方程为?23y x =-是正确；（4）中，当1x ≥时，可得12x x +≥=成立，当12x x +≥时，只需满足0x >，所以“1x ≥”是“1 2x x +≥”成立的充分不必要条件．【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 3．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()(D X = ) A ． 85 B ． 65 C ． 45 D ． 25 【答案】B 【解析】【分析】由题意知，3~(5, )3X B m +，由3 533EX m =? =+，知3~(5,)5 X B ，由此能求出()D X ．【详解】由题意知，3 ~(5, )3 X B m +， 3 533 EX m ∴=? =+，解得2m =， 3 ~(5,)5 X B ∴，

高考数学理科大题公式(最全版)

高考数学１７题(1)：解三角形 1.正弦定理：______________________ 2.余弦定理：______________________ ______________________ ______________________ 3.三角形面积公式：Ｓ＝____________________________ ４.三角形中基本关系：A+B+C=_____ sin(A+B)=___________ cos(A+B)=___________ tan(A+B)=___________ 注：基本不等式：若________，则______________ 重要不等式：若________，则______________

高考数学１７题(2)：数列 1.知S n 求a n:( 这个关系式对任意数列均成立) a n= _________________ ２．等差数列的有关概念 (1)定义：___________(n∈N*，d为常数)． (2)等差中项：_____________， (3)通项公式：a n＝_____________=______________ (4)前n项和公式：S n＝____________＝_______________ (5)等差数列性质:若_____________，则__________________３．等比数列的有关概念 (1)定义：___________(n∈N*，q为常数)． (2)等比中项：_____________， (3)通项公式：a n＝_____________=______________ (4)前n项和公式：S n＝____________＝_______________ (5)等比数列性质:若_____________，则__________________

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《计数原理与概率统计》真题汇编

【最新】《计数原理与概率统计》专题解析一、选择题 1．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程???y bx a =+中的?b 约等于9，据此模型预报广告费用为6 万元时，销售额为（） A ．54万元 B ．55万元 C ．56万元 D ．57万元【答案】D 【解析】试题分析：由表格可算出1(1245)34x = +++=,1 (10263549)304y =+++=,根据点(),x y 在回归直线???y bx a =+上,?9b =,代入算出?3a =,所以?93y x =+,当6x =时,?57y =,故选D. 考点：回归直线恒过样本点的中心(),x y . 2．设某中学的女生体重y （kg ）与身高x （cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数 (),i i x y ()1,2,3,,i n =L L ，用最小二乘法建立的线性回归直线方程为 ?0.8585.71y x =-，给出下列结论，则错误的是（） A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．若该中学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0．85kg C ．回归直线至少经过样本数据(),i i x y ()1,2,3,,i n =L L 中的一个 D ．回归直线一定过样本点的中心点(),x y 【答案】C 【解析】【分析】根据回归直线方程的性质和相关概念，对选项进行逐一分析即可. 【详解】因为0.850k =>，所以y 与x 具有正的线性相关关系，故A 正确；该中学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0．85kg ，故B 正确；回归直线一定过样本点的中心点(),x y ，回归直线有可能不经过样本数据，

高考数学理科导数大题目专项训练及答案

高一兴趣导数大题目专项训练班级姓名 1.已知函数()f x 是定义在[,0)(0,]e e - 上的奇函数，当(0,]x e ∈时，有()ln f x ax x =+（其中e 为自然对数的底，a ∈R ）．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）试问：是否存在实数0a <，使得当[,0)x e ∈-，()f x 的最小值是3？如果存在，求出实数a 的值；如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）设ln ||()||x g x x =（[,0)(0,]x e e ∈- ），求证：当1a =-时，1 |()|()2 f x g x >+； 2. 若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足： ()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”．已知 2()h x x =，()2ln x e x ?=（其中e 为自然对数的底数）． (1)求()()()F x h x x ?=-的极值； (2) 函数()h x 和()x ?是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．

3. 设关于x 的方程012 =--mx x 有两个实根α、β，且βα<。定义函数.1 2)(2+-= x m x x f （I ）求)(ααf 的值；（II ）判断),()(βα在区间x f 上单调性，并加以证明；（III ）若μλ,为正实数，①试比较)(),( ),(βμ λμβ λααf f f ++的大小； ②证明.|||)()(|βαμ λλβ μαμλμβλα-<++-++f f 4. 若函数22()()()x f x x ax b e x R -=++∈在1x =处取得极值. （I ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调区间；（II ）是否存在实数m ，使得对任意(0,1)a ∈及12,[0,2]x x ∈总有12|()()|f x f x -< 21[(2)]1m a m e -+++恒成立，若存在，求出m 的范围；若不存在，请说明理由． 5．若函数()()2 ln ,f x x g x x x ==- （1）求函数()()()()x g x kf x k R ?=+∈的单调区间；（2）若对所有的[),x e ∈+∞都有()xf x ax a ≥-成立，求实数a 的取值范围.

高考数学大题训练及解析

高考数学大题训练及解析 1.三角知识(命题意图：在三角形中，考查三角恒等变换、正余弦定理及面积公式的应用) (本小题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知 sin C 2＝104. (1)求cos C 的值； (2)若△ABC 的面积为3154，且sin 2A ＋sin 2 B ＝1316sin 2 C ，求a ，b 及c 的值. 解 (1)因为sin C 2＝10 4，所以cos C ＝1－2sin 2C 2＝－1 4. (2)因为sin 2 A ＋sin 2 B ＝1316sin 2 C ，由正弦定理得 a 2＋ b 2＝13 16c 2，① 由余弦定理得a 2 ＋b 2 ＝c 2 ＋2ab cos C ，将cos C ＝－14代入，得ab ＝38c 2 ， ② 由S △ABC ＝3154及sin C ＝1－cos 2C ＝15 4，得ab ＝6，③ 由①②③得?????a ＝2，b ＝3，c ＝4，或???? ?a ＝3，b ＝2，c ＝4.

经检验，满足题意. 所以a ＝2，b ＝3，c ＝4或a ＝3，b ＝2，c ＝4. 2.数列(命题意图：考查数列基本量的求取，数列前n 项和的求取，以及利用放缩法解决数列不等式问题等.) (本小题满分12分)已知数列{a n }中，a 1＝1，其前n 项的和为S n ，且满足a n ＝2S 2n 2S n －1 (n ≥2). (1)求证：数列???? ?? 1S n 是等差数列； (2)证明：当n ≥2时，S 1＋12S 2＋13S 3＋…＋1n S n ＜3 2. 证明 (1)当n ≥2时，S n －S n －1＝2S 2n 2S n －1 ， S n －1－S n ＝2S n S n －1，1S n －1 S n －1＝2，从而???? ?? 1S n 构成以1为首项，2为公差的等差数列. (2)由(1)可知，1S n ＝1 S 1 ＋(n －1)×2＝2n －1， ∴S n ＝1 2n －1 ， ∴当n ≥2时，1n S n ＝1n （2n －1）＜1 n （2n －2）＝12·1n （n －1）＝12? ????1n －1－1n 从而S 1＋12S 2＋13S 3＋…＋1n S n

专题13 概率-2019年高考理科数学易错题训练

专题13 概率 1．（我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A ．1 12 B ． 114 C ．1 15 D ．118 【答案】C 【名师点睛】先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.古典概型中基本事件数的探求方法： (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目. 2．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为 A ．0.3 B ．0.4 C ．0.6 D ．0.7 【答案】B 【解析】设事件A 为只用现金支付，事件B 为只用非现金支付，事件C 为既用现金支付也用非现金支付. 则()()()()P A B C P A P B P C =++.因为()()0.45,0.15P A P C ==，所以()0.4P B =. 故选B. 【名师点睛】本题主要考查事件的基本关系和概率的计算，属于基础题.由公式

()()()() P A B C P A P B P C =++计算可得. 3．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为A．0.6B．0.5 C．0.4D．0.3 【答案】D 【名师点睛】分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能个数及事件“选中的2人都是女同学”的总可能个数，代入概率公式可求得概率.应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件A；第二步，分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；第三步，利用公式()m P A n =求出事件A的概率. 4．“上医医国”出自《国语?晋语八》，比喻高贤能治理好国家．现把这四个字分别写在四张卡片上，其中“上”字已经排好，某幼童把剩余的三张卡片进行排列，则该幼童能将这句话排列正确的概率是 A．1 3 B． 1 6 C．1 4 D． 1 12 【答案】A 【解析】幼童把这三张卡片进行随机排列，基本事件总数n=2 3 C=3， ∴该幼童能将这句话排列正确的概率p=1 3 ．故选A. 【名师点睛】先排好医字，共有2 3 C种排法，再排国字，只有一种方法.有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数.

高考数学大题突破训练理科(9-12)难度较大

高考数学大题突破训练（九） 1、已知函数()4cos sin()16 f x x x π =+-。（Ⅰ）求()f x 的最小正周期：（Ⅱ）求()f x 在区间,64ππ?? - ??? ?上的最大值和最小值。 2、某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量（件） 0 1 2 3 频数 1 5 9 5 试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充．．至3件，否则不进货．．．，将频率视为概率。 (Ⅰ）求当天商品不进货．．．的概率；（Ⅱ）记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列和数学期望。 3、如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2,60AB BAD =∠=o . (Ⅰ)求证：BD ⊥平面;PAC （Ⅱ）若,PA AB =求PB 与AC 所成角的余弦值；（Ⅲ）当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求PA 的长.

4、已知函数21 (),()32 f x x h x x = += (I)设函数()()()F x f x h x =-，求()F x 的单调区间与极值； (Ⅱ)设a R ∈，解关于x 的方程42233 log [(1)]log ()log (4)24 f x h a x x --=--- (Ⅲ)试比较100 1 (100)(100)()k f h h k =-∑与16的大小. 5、如图7，椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3，x 轴被曲线2 2:C y x b =- 截得的线段长等于1C 的长半轴长。（Ⅰ）求1C ，2C 的方程；（Ⅱ）设2C 与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与 2C 相交于点A,B,直线MA,MB 分别与1C 相交与D,E. （i ）证明：MD ME ⊥； (ii)记△MAB,△MDE 的面积分别是12,S S .问：是否存在直线l , 使得21S S =32 17 ?请说明理由。 6、设d 为非零实数，12211*1(2(1)]()n n n n n n n n n a C d C d n C d nC d n N n --= +++-+∈L (1)写出123,,a a a 并判断{}n a 是否为等比数列。若是，给出证明；若不是，说明理由； (II)设* ()n n b nda n N =∈，求数列{}n b 的前n 项和n S ．