2020年全国高考理科数学试题分类汇编8：直线与圆
高考数学真题分类汇编专题直线与圆理科及答案
题
八
直
线
与
圆
1. 【 2015 高考重庆，理 8】已知直线 l ： x+ay-1=0 （ a R）是圆 C： x2 y2 4x 2 y 1 0
的对称轴 . 过点 A（ -4 ， a）作圆 C的一条切线，切点为 B，则 | AB|=
（）
A、 2
B
、4 2
C
、6
D
、 2 10
【答案】 C
【解析】圆 C 标准方程为 ( x 2) 2 ( y 1)2 4 ，圆心为 C(2,1) ，半径为 r 2 ，因此
2 a 1 1 0 ，a 1 ，即 A( 4, 1) ， AB
2
AC
r2
( 4 2)2 ( 1 1)2 4 6 .
选 C. 【考点定位】直线与圆的位置关系 . 【名师点晴】首先圆是一个对称图形，它关于圆心成中心对称，关于每一条直径所在直线都 是它的对称轴，当然其对称轴一定过圆心，其次直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系， 判断方法可用几何与代数两种方法研究，圆的切线长我们用勾股定理求解，设圆外一点
2
2
x3
y 2 1 相切，则反射光线所在直线的斜率为（
）
（ A）
5
或
3
35
3
4
【答案】 D
3
2
（ B）
或
2
3
54
（ C） 或
45
4
（ D） 或
3
整理： 12 k2 25k 12 0 ，解得： k
4 ，或 k
3
3
, 故选 D．
4
【考点定位】 1、圆的标准方程； 2、直线的方程； 3、直线与圆的位置关系 .
2020年高考数学文模拟试卷分类汇编：专题08直线与圆版含解析(52020高考)
【答案】
【解析】由点 在以坐标原点为圆心的圆上知此圆的方程为： ,所以该圆在点P处的切线方程为 即 ,故填： .
【考点定位】圆的切线.
【名师点睛】此题考查复数的概念和运算,采用分母实数化和利用共轭复数的概念进行化解求解.
1.【2021高|考北京 ,文2】圆心为 且过原点的圆的方程是 ( )
A． B．
C． D．
【答ห้องสมุดไป่ตู้】D
【解析】由题意可得圆的半径为 ,那么圆的标准方程为 ,应选D.
【考点定位】圆的标准方程.
【名师点晴】此题主要考查的是圆的标准方程 ,属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼 "过原点〞 ,否那么很容易出现错误．解此题需要掌握的知识点是圆的标准方程 ,即圆心 ,半径为 的圆的标准方程是 ．
径 .又因为 ,所以 ,即 ,所以圆 的标准方程为 ,
令 得： .设圆 在点 处的切线方程为 ,那么圆心 到其距离为：
,解之得 .即圆 在点 处的切线方程为 ,于是令 可得
,即圆 在点 处的切线在 轴上的截距为 ,故应填 和 .
【考点定位】此题考查圆的标准方程和圆的切线问题,属中高档题.
点 的横坐标.
【解析】
试题分析： (1 )将圆 的方程化为标准方程可得圆 的圆心坐标；(2)先设线段 的中点 的坐标和直线 的方程,再由圆的性质可得点 满足的方程,进而利用动直线 与圆 相交可得 的取值范围,即可得线段 的中点 的轨迹 的方程；(3)先说明直线 的方程和曲线 的方程表示的图形,再利用图形可得当直线 与曲线 只有一个交点时, 的取值范围,进而可得存在实数 ,使得直线 与曲线 只有一个交点．
2020年高考试题分类汇编（解析几何）
2020年高考试题分类汇编（解析几何）年高考试题分类汇编（解析几何）考点1直线、圆1.1.（（20202020·北京卷）已知半径为·北京卷）已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为小值为A ．4B ．5C ．6D ．7 1.1.（（20202020·全国卷Ⅰ·理科）已知·全国卷Ⅰ·理科）已知M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=.P 为直线l 上的动点，过P 作M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，当PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为的方程为A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++= 1.1.（（20202020·全国卷Ⅰ·文科）已知圆·全国卷Ⅰ·文科）已知圆2260x y x +-=，过点(1,2)的直线被圆所截得的弦的长度最小值为得的弦的长度最小值为A ．1B ．2C ．3D ．4 1.1.（（20202020·全国卷Ⅱ·文理科）若过点·全国卷Ⅱ·文理科）若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为的距离为 A ．55B ．255C ．355D ．4551.（20202020·全国卷Ⅲ·理科）·全国卷Ⅲ·理科）若直线l 与y x =和圆2215x y +=都相切，则l 的方程为程为A ．21y x =+B ．122y x =+ C ．112y x =+ D ．1122y x =+考点2椭圆1.1.（（20202020·北京卷）已知椭圆·北京卷）已知椭圆C ：22221x y a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：的方程：（Ⅱ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点M ,N ，直线MA ，NA 分别交直线4x =-于点P ，Q ．求PB BQ的值．的值．1.1.（（20202020·海南卷）已知椭圆·海南卷）已知椭圆C ：22221x ya b+=（0a b >>）的过点(2,3)M ，A 为其左顶点，且AM 的斜率为12. （Ⅰ）求C 的方程：的方程：（Ⅱ）点N 为椭圆上任意一点，求AMN ∆的面积的最大值的面积的最大值. .1.1.（（20202020·全国卷Ⅰ·文理科）已知·全国卷Ⅰ·文理科）已知A ，B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（1a >）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=P 为直线6x =上的动点，PA 与E 的另一个交点为C ，PB 与E 的另一个交点为D . （Ⅰ）求E 的方程；的方程；（Ⅱ）证明：直线CD 过定点过定点. .1.1.（（20202020·全国卷Ⅱ·理科）已知椭圆·全国卷Ⅱ·理科）已知椭圆1C ：22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点为F 与抛物线2C 的焦点重合，1C 的中心与2C 的顶点重合，过F 且与x 轴垂直的直线交1C 于A ，B 两点，交2C 于C ，D 两点，且43CD AB =. （Ⅰ）求1C 的离心率；的离心率；（Ⅱ）设M 是1C 与2C 的公共点，若5MF =，求1C 与2C 的标准方程的标准方程. . 1.1.（（20202020·全国卷Ⅱ·文科）已知椭圆·全国卷Ⅱ·文科）已知椭圆1C ：22221x y a b+=（0a b >>）的由焦点为F 与抛物线2C 的焦点重合，1C 的中心与2C 的顶点重合，过F 且与x 轴垂直的直线交1C 于A ，B 两点，交2C 于C ，D 两点，且43CD AB =.（Ⅰ）求1C 的离心率；的离心率；（Ⅱ）若1C 的四个顶点到2C 的准线的距离之和为12，求1C 与2C 的标准方程的标准方程. . 1.1.（（20202020·全国卷Ⅲ·理科）已知椭圆·全国卷Ⅲ·理科）已知椭圆C ：222125x y m +=（05m <<）的离心率为154，A ，B 分别为C 的左、右顶点的左、右顶点. .（Ⅰ）求C 的方程；的方程；（Ⅱ）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ ∆的面积的面积. .考点3 抛物线1.1.（（20202020·北京卷）设抛物线的顶点为·北京卷）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线的垂直平分线 A.A.经过点经过点O B.经过点P C.C.平行于直线平行于直线OP D.垂直于直线OP 1.1.（（20202020·海南卷）斜率为·海南卷）斜率为3的直线过抛物线C ：24y x =的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB = ．1.1.（（20202020·全国卷Ⅰ·理科）已知·全国卷Ⅰ·理科）已知A 为抛物线C ：22y px =（0p >）上的一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =A ．2B ．3C ．6D ．9 1.1.（（20202020·全国卷Ⅲ·理科）设·全国卷Ⅲ·理科）设O 为坐标原点，直线2x =与抛物C ：22y px =（0p >）交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为的焦点坐标为A ．1(,0)4B ．1(,0)2 C ．(1,0) D ．(2,0)考点4 双曲线1.（20202020·北京卷）·北京卷）已知双曲线C ：22163x y -=，则C 的右焦点的坐标为的右焦点的坐标为 ；C 的焦点到其渐近线的距离是的焦点到其渐近线的距离是 . .1.1.（（20202020·海南卷）已知曲线·海南卷）已知曲线C ：221mx ny += A ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上轴上 B ．若0m n =>，则C 是圆，其半径为nC ．若0mn <，则C 是双曲线，其渐近线方程为m y x n =±-D ．若0m =，0n >，则C 是两条直线是两条直线1.1.（（20202020·全国卷Ⅰ·理科）已知·全国卷Ⅰ·理科）已知F 为双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴，若AB 的斜率为3，则C 的离心率为的离心率为 . .1.1.（（20202020·全国卷Ⅰ·文科）设·全国卷Ⅰ·文科）设1F ，2F 为双曲线C ：2213y x -=的两个焦点，O为坐标原点，点P 在C 上且2OP =，则12PF F ∆的面积为的面积为A ．72B ．3C ．52D ．2 1.1.（（20202020·全国卷Ⅱ·文理科）设·全国卷Ⅱ·文理科）设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的两条渐近线分别交于D ，E 两点，若ODE ∆的面积为8，则C 的焦距的最小值为的焦距的最小值为A ．4B ．8C ．16D ．32 1.1.（（20202020·全国卷Ⅲ·理科）设双曲线·全国卷Ⅲ·理科）设双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点为1F ，2F ，离心率为5，P 是C 上一点，且12F P F P ⊥，若12PF F ∆的面积为4，则a =A ．1B ．2C ．4D ．8。
2020年全国统一高考数学理科试卷(附答案解析)
依圆的知识可知，四点 四点共圆，且 ，所以 ，而 ，
A. 2B. 3C. 6D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】
利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.
【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知 ，即 ，解得 .
故选：C.
【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.
5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 得到下面的散点图：
【答案】C
【解析】
【分析】
求得 展开式的通项公式为 （ 且 ），即可求得 与 展开式的乘积为 或 形式，对 分别赋值为3，1即可求得 的系数，问题得解.
【详解】 展开式的通项公式为 （ 且 ）
所以 与 展开式的乘积可表示为：
或
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为 ，
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为
由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据散点图的分布可选择合适的函数模型.
【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，
因此，最适合作为发芽率 和温度 的回归方程类型的是 .
【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题
7.设函数 在 的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
2020全国高考数学考点题型分类与解析11 直线与圆
2
22
y= 1x+1 22
2x + y + 2 = 0
x = −1 y =0
所以以 MP 为直径的圆的方程为( x −1)( x +1) + y ( y −1) = 0 ，即 x2 + y2 − y −1 = 0 ，
两圆的方程相减可得：2x + y +1 = 0 ，即为直线 AB 的方程． 故选：D.
22 +12
1/4
共 圆 ， 且 ， 所 以 ， 而 AB ⊥ MP
PM
⋅
AB
= 4S
PAM
= 4 × 1 × PA × 2
AM
= 4 PA
， PA = MP 2 − 4
当直线 MP ⊥ l 时， MP = min
5 ， PA =1，此时 PM ⋅ AB 最小． min
∴ 即 ，由 解得， ． MP : y −1 = 1 ( x −1) y = 1 x + 1
的距离均为
； d1
=
2×1−1− 3 5
=
25
圆心 到直线
的距离均为 d2
=
2×5−5−3 5
=
25 5
圆心到直线 2x − y − 3 = 0 的距离均为 d = −2 = 2 5 ；所以，圆心到直线 2x − y − 3 = 0 的 55
2/4
距离为 2 5 . 5
故选：B.
4（. 2020•江苏卷）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 P(
可得 r2 − d 2
6=2
r2 − 42 ，解得 r = 5 ．故答案为：5 ．
（ •浙江卷）设直线 ，圆 ， ， 6. 2020
专题3：直线和圆高考真题赏析
专题3：直线和圆高考真题赏析一、单选题1．2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（ ）A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=2．2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A ．5B ．25C ．35D ．453．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷） 圆的圆心到直线的距离为1，则（ ）A ．B ．C ．D ．24．2018年全国卷Ⅲ理数高考试题直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是 A ．[]26，B ．[]48，C ．232D ．2232⎡⎣5．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ）已知三点A (1,0)，B (03)，C (23，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A ．53 B 21C 25D ．43二、填空题6．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷）设点M （0x ,1），若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得∠OMN=45°，则0x 的取值范围是________.7．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷）设直线2y x a =+与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ，B 两点，若23AB =，则圆C 的面积为________8．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷）已知直线l ：360x y -+=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点.则CD =_________.9．已知圆C ：22(1)(4)10x y -+-=上存在两点A ，B ，P 为直线x ＝5上的一个动点，且满足AP ⊥BP ，则点P 的纵坐标取值范围是_______． 10．2015年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷） 在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 11．2020年江苏省高考数学试卷 在平面直角坐标系xOy 中，已知3(0)P ，A ，B 是圆C ：221()362x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则△P AB 面积的最大值是__________． 12．2017年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷精）在平面直角坐标系xOy 中，A （-12,0），B （0,6），点P 在圆O ：x 2+y 2=50上，若PA ·PB ≤20，则点P 的横坐标的取值范围是_________三、双空题13．2020年浙江省高考数学试卷设直线:(0)l y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22(4)1x y -+=均相切，则k =_______；b =______．参考答案1．D 【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,,,A P B M 共圆，且AB MP ⊥，根据 44PAMPM AB SPA ⋅==可知，当直线MP l ⊥时，PM AB ⋅最小，求出以 MP为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB 的方程． 【详解】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点 M 到直线l的距离为2d ==>，所以直线 l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以14442PAMPM AB SPA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=，而PA =当直线MP l ⊥时，min MP ， min 1PA =，此时PM AB ⋅最小．∴()1:112MP y x -=-即 1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得，1x y =-⎧⎨=⎩． 所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即 2210x y y +--=， 两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程． 故选：D. 【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题． 2．B 【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为(),,0a a a >，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点()2,1在圆上，求得实数a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230x y --=的距离.【详解】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=. 由题意可得()()22221a a a -+-=， 可得2650a a -+=，解得1a =或5a =， 所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心到直线的距离均为121132555d ⨯--==； 圆心到直线的距离均为225532555d ⨯--== 圆心到直线230x y --=的距离均为22555d -==； 所以，圆心到直线230x y --=的距离为25. 故选：B. 【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题. 3．A 【解析】 试题分析：由配方得，所以圆心为，因为圆的圆心到直线的距离为1，所以，解得，故选A.【考点】 圆的方程，点到直线的距离公式【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离. 已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围． 4．A 【解析】分析：先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线距离，得到点P 到直线距离范围，由面积公式计算即可详解： 直线x y 20++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点()()A 2,0,B 0,2∴--,则AB 22=点P 在圆22x 22y -+=（）上 ∴圆心为（2，0），则圆心到直线距离1202222d ++==故点P 到直线x y 20++=的距离2d 的范围为2,32⎡⎤⎣⎦则[]22122,62ABPSAB d d ==∈ 故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题． 5．B 【详解】选B.考点：圆心坐标6．[1,1]- 【解析】由题意知：直线MN 与圆O 有公共点即可，即圆心O 到直线MN 的距离小于等于1即可，如图，过OA ⊥MN ，垂足为A ，在Rt OMA ∆中，因为∠OMN=45，所以sin 45OA OM =212OM ≤，解得2OM M （0x ,1），所以2012OM x =+≤011x -≤≤，故0x 的取值范围是[1,1]-.考点：本小题主要考查考查直线与圆的位置关系，考查数形结合能力和逻辑思维能力，考查同学们分析问题和解决问题的能力，有一定的区分度. 7．4π 【解析】因为圆心坐标与半径分别为2(0,),2=+C a r a ，所以圆心到直线的距离222a a a d -==22322a a +=+，解之得22a =，所以圆的面积2(22)4πππ==+=S r ，应填答案4π．8．4 【解析】试题分析：由60x +=，得6x =-，代入圆的方程，整理得260y -+=，解得12y y ==120,3x x ==-，所以AB ==l 的倾斜角为30︒，由平面几何知识知在梯形ABDC 中，4cos30AB CD ==︒．【考点】直线与圆的位置关系【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系的非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．9．[2，6] 【解析】 【分析】由题分析可得∠CPA 最大为45°，即sin ∠，解不等式CA CP即得解.【详解】要使AP ⊥BP ，即∠APB 的最大值要大于或等于90°， 显然当PA 切圆C 于点A ，PB 切圆C 于点B 时，∠APB 最大， 此时∠CPA 最大为45°，则sin ∠， 即CA CP≥2， 设点P(5，0y )， 解得2≤0y ≤6． 故答案为：[2，6] 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.10．22(1) 2.x y -+= 【解析】==≤≤，当且仅当1m =时取等号，所以半径最大为r =22(1) 2.x y -+=考点：直线与圆位置关系 11．【分析】根据条件得PC AB ⊥,再用圆心到直线距离表示三角形PAB 面积，最后利用导数求最大值. 【详解】PA PB PC AB =∴⊥设圆心C 到直线AB 距离为d，则||1AB PC ==所以11)2PABSd ≤⋅+=令222(36)(1)(06)2(1)(236)04y d d d y d d d d '=-+≤<∴=+--+=∴=（负值舍去） 当04d ≤<时，0y '>；当46d ≤<时，0y '≤，因此当4d =时，y 取最大值，即PABS取最大值为故答案为：【点睛】本题考查垂径定理、利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题. 12．[- 【解析】设(,)P x y ，由20PA PB ⋅≤，易得250x y -+≤，由2225050x y x y -+=⎧⎨+=⎩，可得5:5x A y =-⎧⎨=-⎩或1:7x B y =⎧⎨=⎩，由250x y -+≤得P 点在圆左边弧AB 上，结合限制条件x -≤≤P 横坐标的取值范围为[-．点睛:对于线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数的最值或取值范围．13．3 3- 【分析】由直线与两圆相切建立关于k ，b 的方程组，解方程组即可. 【详解】设221:1C x y +=，222:(4)1C x y -+=，由题意，12,C C 到直线的距离等于半径，即1=1=，所以||4b k b =+，所以0k =（舍）或者2b k =-，解得33k b ==-.【点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.。
2020-2024高考汇编--直线与圆的方程
直线与圆的方程0562020‑2024高考汇编1.（2024北京卷）求圆x2+y2−2x+6y=0的圆心到x−y+2=0的距离（）A.2√3B.2C.3√2D.√62.（2022北京卷）若直线2x+y−1=0是圆(x−a)2+y2=1的一条对称轴，则a=（）A.12B.−12C.1D.−13.（2020北京卷）已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（）A.4B.5C.6D.74.（2023新课标I卷数学）过(0,−2)与圆x2+y2−4x−1=0相切的两条直线的夹角为α，则sinα=（）A.1B.√154C.√104D.√645.（2021北京卷）已知圆C∶x2+y2=4，直线l∶y=kx+m，当k的值发生变化时，直线l被圆C所截得的弦长的最小值为2，则m的取值为（）A.±2B.±√2C.±√3D.±36.（2021新高考Ⅱ）（多选）已知直线l：ax+by−r2=0与圆C：x2+y2=r2，点A(a,b)，则下列说法正确的是（）A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切7.（2021新高考Ⅰ）（多选）已知点P在圆C∶(x−5)2+(y−5)2=16上，点A(4,0)，B(0,2)，则（）A.点P到直线AB的距离小于10B.点P到直线AB的距离大于2C.当∠PBA最小时，|PB|=3√2D.当∠PBA最大时，|PB|=3√28.（2020天津卷）已知直线x−√3y+8=0和圆x2+y2=r2（r>0）相交于A，B两点，若|AB|=6，则r的值为．9.（2022天津卷）若直线x−y+m=0(m>0)与圆(x−1)2+(y−1)2=3相交所得的弦长为m，则．10.（2023新课标II卷数学）已知直线x−my+1=0与⊙C：(x−1)2+y2=4交于A，B两点，写出满足“△ABC的面积为85”的m的一个值为．11.（2021天津卷）若斜率为√3的直线与y轴交于点A，与圆x2+(y−1)2=1相切于点B，则|AB|=．12.（2022新高考Ⅰ）写出与圆x2+y2=1和(x−3)2+(y−4)2=16都相切的一条直线的方程．13.（2022新高考Ⅱ）设点A(−2,3)，B(0,a)，直线AB关于直线y=a的对称直线为l，已知l与圆C：(x+3)2+(y+2)2=1有公共点，则a的取值范围为．14.（2020新高考Ⅰ卷）已知直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°，以D1为球心，√5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为．1.解题思路：由题意得x2+y2−2x+6y=0，即(x−1)2+(y+3)2=10，则其圆心坐标为(1,−3)，则圆心到直线x−y+2=0的距离为|1+3+2|√12+12=3√2，故本题正确答案为：C．正确答案：C2.解题思路：本题主要考查圆与方程．因为直线2x+y−1=0是圆的一条对称轴，所以该直线经过圆心.又由圆方程(x−a)2+y2=1可得：圆心坐标为(a,0)，代入直线，得到2a−1=0，所以a=12．故本题正确答案为A．正确答案：A3.解题思路：本题主要考查圆与方程．如图所示，设A(3,4)，连接OA，可知圆心轨迹C是以点A为圆心，半径为1的圆，由勾股定理可得，OA=√32+42=5，所以圆心到原点的距离的最小值为5−1=4．1862020‑2024高考汇编故本题正确答案为A．正确答案：A4.解题思路：圆x2+y2−4x−1=0可化为(x−2)2+y2=5，则圆心C(2,0)，半径为r=√5；设P(0,−2)，切线为PA、PB，则PC=√22+22=2√2，△PAC中，sin α2=√52√2，所以cosα2=√1−58=√32√2，所以sinα=2sin α2cosα2=2×√52√2×√32√2=√154．故本题正确答案为：B．正确答案：B5.解题思路：本题主要考查圆的综合应用．根据题意可得，m为直线l在y轴上的截距，所以m=±√22−1=±√3．故本题正确答案为C．正确答案：C6.解题思路：本题主要考查圆与方程．A项，因为点A在圆C上，所以a2+b2=r2，圆心C(0,0)到直线l的距离d= r2√a2+b2=r，所以直线l与圆C相切．故A项正确．B项，因为点A在圆C内，所以a2+b2<r2，圆心C(0,0)到直线l的距离d= r2√a2+b2>r，所以直线l与圆C相离．故B项正确．C项，因为点A在圆C外，所以a2+b2>r2，圆心C(0,0)到直线l的距离d= r2√a2+b2<r，所以直线l与圆C相交．故C项错误．D项，因为点A在直线l上，所以a2+b2=r2，圆心C(0,0)到直线l的距离d=r2√a2+b2=r，所以直线l与圆C相切．故D项正确．故本题正确答案为ABD．正确答案：ABD7.解题思路：本题主要考查圆与方程．A项，直线AB的方程为x4+y2=1，即x+2y−4=0．圆心C(5,5)，半径为4，圆心C到直线AB的距离d=11√5=11√55，所以点P到直线AB距离的最大值为11√55+4，比较11√55+4与10的大小，即比较11√55和6的大小．即比较11与6√5的大小，因为11<6√5，所以11√55+4<10．故A项正确．B项，点P到直线AB距离的最小值为11√55−4，比较11√55−4与2的大小，即比较11√55与6的大小．因为11√55<6，所以11√55−4<2．故B项错误．C项，过点B作圆C的切线，当点P为靠近线段AB的切点时，∠PBA最小，此时|PB|=√|BC|2−r2=√(5−2)2+52−16=3√2．故C项正确．D项，同理，过点B作圆C的切线，当点P为远离线段AB的切点时，∠PBA最大，此时|PB|=3√2．故D项正确．1882020‑2024高考汇编故本题正确答案为ACD ．正确答案：ACD8.解题思路：本题主要考查直线与圆的位置关系．设圆x 2+y 2=r 2（r >0）的圆心为O ，AB 中点为C ，则根据题意有O(0,0)，OC ⊥AB ，且|AC|=12|AB|=3．因为圆心O 到直线x −√3y +8=0的距离为d =|0−0+8|√12+(−√3)2=82=4，即|OC|=4，所以根据勾股定理可得半径r =√|OC|2+|AC|2=√42+32=5．故本题正确答案为5．正确答案：59.解题思路：因为圆心C(1,1)到直线x −y +m =0(m >0)的距离d =m √2，又直线与圆相交所得的弦长为m ，所以m =2√r 2−d 2，所以m 2=4(3−m 22)，解得m =2．故本题正确答案为2．正确答案：210.解题思路：由圆C ∶(x −1)2+y 2=4，可得圆心坐标为C(1,0)，半径为r =2，因为△ABC 的面积为85，可得S △ABC =12×2×2×sin ∠ACB =85，解得sin ∠ACB =45，设12∠ACB =θ所以∴2sin θcos θ=45，可得2sin θcos θsin 2θ+cos 2θ=45，∴2tan θtan 2θ+1=45，∴tan θ=12或tan θ=2，∴cosθ=2√5或cosθ=1√5，∴圆心眼到直线x−my+1=0的距离d=4√5或2√5，∴2√1+m2=4√5或2√1+m2=2√5，解得m=±12或m=±2．故本题正确答案为：2（或−2或12或−12）．正确答案：±2或±12（任写一个）11.解题思路：因为圆的方程为x2+(y−1)2=1，所以r=1，圆心为(0,1)，因为直线的斜率为√3，所以A2B2=A1B1=1×√3=√3．故本题正确答案为√3．正确答案：√312.解题思路：本题主要考查圆与方程．如图，由题意可知两圆相切，则两圆根轴即为一条公切线，将两个圆的标准方程相减消去二次项得到3x+4y−5=0，此即为根轴的方程．故本题正确答案为3x+4y−5=0．正确答案：3x+4y−5=0(x=−1或7x−24y−25=0也正确)1902020‑2024高考汇编13.解题思路：本题主要考查直线与方程和圆与方程．记点A关于直线y=a的对称点为A′，则直线AB关于直线y=a的对称直线为A′B．因为A(−2,3)，所以A′(−2,2a−3)，所以kA′B =3−a2所以直线A′B的方程为y=3−a2x+a即(3−a)x−2y+2a=0．又因为直线A′B与圆有公共点，所以圆心到直线A′B的距离d=|3(a−3)+4+2a|√4+(3−a)2⩽r=1，解得13⩽a⩽32．故本题正确答案为[13,32]．正确答案：[13,32]14.解题思路：以C1为原点，C1B1，C1C所在直线分别为x轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz，y轴是平面A1B1C1D1内与C1B1垂直的直线，即D1(1,−√3,0)，设交线上的点的坐标是(x,0,z)，根据题意可得(x−1)2+3+z2=5，化简得(x−1)2+z2=2，所以球面与侧面BCC1B1的交线平面如图2所示，即交线长l=14⋅2√2π=√2π2．故本题正确答案为√2π2．。
【备战2020】(四川版)高考数学分项汇编 专题8 直线与圆(含解析)理
第八章 直线与圆一．基础题组1.【2007四川，理15】已知⊙O 的方程是x 2+y 2-2=0, ⊙O ’的方程是x 2+y 2-8x +10=0,由动点P 向⊙O 和⊙O ’所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是.2.【2010四川，理14】直线250x y -+=与圆228x y +=相交于A 、B 两点，则AB∣∣=.二．能力题组1.【2007四川，理11】如图，l 1、l 2、l 3是同一平面内的三条平行直线，l 1与l 2间的距离是1， l 2与l 3间的距离是2，正三角形ABC 的三顶点分别在l 1、l 2、l 3上，则△ABC 的边长是( ) （A ）32 （B ）364 （C ）4173 （D ）3212 【答案】DED2.【2008四川，理4】直线3y x =绕原点逆时针旋转090，再向右平移１个单位，所得到的直线为( ) （Ａ）1133y x =-+ （Ｂ）113y x =-+ （Ｃ）33y x =- （Ｄ）113y x =+【点评】：此题重点考察互相垂直的直线关系，以及直线平移问题；【突破】：熟悉互相垂直的直线斜率互为负倒数，过原点的直线无常数项；重视平移方法：“左加右减”； 3.【2008四川，理14】已知直线:40l x y -+=与圆()()22:112C x y -+-=，则C 上各点到l 的距离的最小值为_______.【点评】：此题重点考察圆的标准方程和点到直线的距离；【突破】：数形结合，使用点C 到直线l 的距离距离公式.4.【2009四川，理9】已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点p 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ ） （A ）2 （B ）3 （C ）115 （D ）3716【考点定位】本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，综合题.5.【2009四川，理14】若⊙221:5O x y +=与⊙222:()20()O x m y m R -+=∈相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是6.【2014四川，理14】设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB 的最大值是 .。
2020最新题库大全2020年高考数学 试题分项专题09 直线与圆 理
2020最新题库大全2020年数学（理）高考试题分项专题09 直线与圆 2020年高考数学选择试题分类汇编——直线与圆 一、选择题:(2020年高考江西卷理科7)在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则222PA PBPC +=（ ）A ．2B ．4C ．5D ．10(2020年高考浙江卷理科3)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2020年高考天津卷理科8)设m ，n R ∈，若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，则+m n 的取值范围是( )（A ）[13,1+3]- （Ｂ）(,13][1+3,+)-∞∞U（Ｃ）[222,2+22]- （Ｄ）(,222][2+22,+)-∞-∞U(2020年高考重庆卷理科3)对任意的实数k ，直线y=kx+1与圆222=+y x 的位置关系一定是( )A.相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心【答案】C【解析】直线1y kx =+过圆内内一定点(0,1).(2020年高考陕西卷理科4)已知圆22:40C x y x +-=，l 过点(3,0)P 的直线，则（ ） （A ）l 与C 相交 （B ） l 与C 相切 （C ）l 与C 相离 （D ） 以上三个选项均有可能二、填空题:(2020年高考浙江卷理科16)定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于C 2：x 2＋(y ＋4) 2＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝______________．（2020年高考江苏卷12）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 ． 【答案】34 【解析】根据题意228150x y x +-+=将此化成标准形式为：()1422=+-y x ，得到，该圆的圆心为M ()0,4半径为1 ，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，只需要圆心M ()0,4到直线2y kx =-的距离11+≤d ，即可，所以有21242≤+-=k k d ，化简得0)43(≤-k k 解得340≤≤k ，所以k 的最大值是34 . 【考点定位】本题主要考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、圆的一般式方程和标准方程的互化，考查知识较综合，考查转化思想在求解参数范围中的运用.本题的解题关键就是对若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，这句话的理解，只需要圆心M ()0,4到直线2y kx =-的距离11+≤d 即可，从而将问题得以转化.本题属于中档题，难度适中.(2020年高考上海卷理科4)若)1,2(-=是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.三、解答题: (2020年高考新课标全国卷理科20)（本小题满分12分）设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A C ∈，已知以F 为圆心， FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点；（1）若090=∠BFD ，ABD ∆的面积为24；求p 的值及圆F 的方程；（2）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到,m n 距离的比值.(2012年高考辽宁卷理科20) (本小题满分12分)如图，椭圆()22022:+=1>b>0,a,b x y C a a b为常数，动圆222111:+=,<<C x y t b t a .点12,A A 分别为0C 的左、右顶点，1C 与0C 相交于,,,A B C D 四点（1）求直线1AA 与直线2A B 交点M 的轨迹方程；（2）设动圆22222:+=C x y t 与0C 相交于',',','A B C D 四点，其中2<<b t a ，12t t ≠.若矩形ABCD 与矩形''''ABCD 的面积相等，证明：2212+t t 为定值2020年高考数学选择试题分类汇编——直线与圆一、选择题:1．(2020年高考江西卷理科9)若曲线1C ：2220x y x +-=与曲线2C ：()0y y mx m --=有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是A ．(33)B ．(30)∪(03 c ．[33] D ．(-∞，3-3，+∞)解析：选 B ，由题意，AC 为直径，设圆心为F ，则FE BD ⊥,圆的标准方程为()()221310x y -+-=，故()1,3F ，由此，易得：210AC =，又31210EF k -==-，所以直线BD 的方程为112y x =-+，F 到BD 的距离为113255-+-=，由此得，25BD =所以四边形ABCD 的面积为112521010222AC BD =⨯⨯=g 二、填空题:1.(2020年高考安徽卷理科15)在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）.①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点②如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点④直线y kx b =+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数⑤存在恰经过一个整点的直线2.(2020年高考重庆卷理科15)设圆C 位于抛物线22y x =与直线3x =所组成的封闭区域（包含边界）内，则圆C 的半径能取到的最大值为 解析：61-。
高考数学最新真题专题解析—直线与圆(新高考卷)
高考数学最新真题专题解析—直线与圆（新高考卷）【母题来源】2022年新高考I卷【母题题文】写出与圆x2+y2=1和(x−3)2+(y−4)2=16都相切的一条直线的方程【答案】x+1=07x−24y−25=03x+4y−5=0(填一条即可)【分析】本题考查了圆与圆的公切线问题，涉及圆与圆的位置关系、点到直线的距离等知识，属较难题．【解答】解：方法1:显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为x+by+c=0，于是√1+b2=1，√1+b2=4．故c2=1+b2 ①，|3+4b+c|=|4c|.于是3+4b+c=4c或3+4b+c=−4c，再结合 ①解得{b=0c=1或{b=−247c=−257或{b=43c=−53，所以直线方程有三条，分别为x+1=0，7x−24y−25=0，3x+4y−5=0．(填一条即可)方法2:设圆x2+y2=1的圆心O(0,0)，半径为r1=1，圆(x−3)2+ (y−4)2=16的圆心C(3,4)，半径r2=4，则|OC|=5=r1+r2，因此两圆外切，由图像可知，共有三条直线符合条件，显然 x +1=0 符合题意； 又由方程 (x −3)2+(y −4)2=16 和 x 2+y 2=1 相减可得方程 3x +4y −5=0 ，即为过两圆公共切点的切线方程，又易知两圆圆心所在直线 OC 的方程为 4x −3y =0 ，直线 OC 与直线 x +1=0 的交点为 (−1,−43) ，设过该点的直线为 y +43=k(x +1) ，则|k−43|√k 2+1=1 ，解得 k =724 ，从而该切线的方程为 7x −24y −25=0.( 填一条即可 ) 【母题来源】2022年新高考II 卷【母题题文】设点A(−2,3)，B(0,a)，直线AB 关于直线y =a 的对称直线为l ，已知l 与圆C:(x +3)2+(y +2)2=1有公共点，则a 的取值范围为 ． 【答案】[13,32] 【分析】本题考查直线关于直线对称的直线求法，直线与圆的位置关系的应用，属于中档题． 【解答】解：因为k AB=a−32，所以AB关于直线y=a的对称直线为(3−a)x−2y+2a=0，所以√4+(3−a)2⩽1，整理可得6a2−11a+3⩽0,解得13≤a≤32．【命题意图】考察直线倾斜角与斜率，考察直线方程，考察直线平行与垂直，考察直线交点坐标，点到直线距离公式。
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2020年全国高考理科数学试题分类汇编8：直线与圆
一、选择题
1 ．（2020年上海市春季高考数学试卷(含答案)）直线2310x y -+=的一个方向
向量是
（ ） A ．(2 3)-，
B ．(2 3)，
C ．(3 2)-，
D ． (3 2)，
【答案】D 2 ．（2020年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含
答案））已知点(1,0),(1,0),(0,1)A B C -,直线(0)y ax b a =+>将△ABC 分割为面积相等的两部分,则b 的取值范围是
（ ） A ．(0,1)
B ．21(1,)22- ( C) 21(1,]23-
D ． 11[,)32
【答案】B 3 ．（2020年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））过点(3,1)
作圆
22(1)1x y -+=的两条切线,切点分别为A ,B ,则直线AB 的方程为
（ ）
A ．230x y +-=
B ．230x y --=
C ．430x y --=
D ．430x y +-=
【答案】A
4 ．（2020年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已
知点()()()30,0,0,,,.ABC ,O A b B a a ∆若为直角三角形则必有 （ ）
A ．3b a =
B ．31b a a =+
C ．()3310b a b a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭
D ．3310b a b a a
-+--= 【答案】C
5 ．（2020年高考江西卷（理））如图,半径为1的半圆O 与等边三角形ABC
夹在两平行线,12,l l 之间//1l ,与半圆相交于F,G 两点,与三角形ABC
两边相交于E,D 两点,设弧»FG 的长为(0)x x π<<,y EB BC CD =++,若从1
l 平行移动到2l ,则函数()y f x =的图像大致是
【答案】D
6 ．（2020年高考湖南卷（理））在等腰三角形ABC 中,=4AB AC =，点P 是边AB
上异于,A B 的一点,光线从点P 出发,经,BC CA 发射后又回到原点P (如图).若光线QR 经过ABC ∆的中心,则AP 等
（ ） A ．2
B ．
C ．83
D ．43
【答案】D
二、解答题 7 ．（2020年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯
WORD 版含附加题））本小题满分14分.如图,在平面直角坐标系xOy 中,点)3,0(A ,直线42:-=x y l ,设圆C 的半径为,圆心在上.
(1)若圆心C 也在直线1-=x y 上,过点A 作圆C 的切线,求切线的方程;
(2)若圆C 上存在点M ,使MO MA 2=,求圆心C 的横坐标a 的取值范围.
【答案】解:(1)由⎩⎨⎧-=-=142x y x y 得圆心C 为(3,2),∵圆C 的半径为
∴圆C 的方程为:1)2()3(22=-+-y x
显然切线的斜率一定存在,设所求圆C 的切线方程为3+=kx y ,即03=+-y kx ∴113232=++-k k ∴1132+=+k k ∴0)34(2=+k k ∴0=k 或者43-=k
x
y
A
l O
∴所求圆C 的切线方程为:3=y 或者34
3+-=x y 即3=y 或者01243=-+y x (2)解:∵圆C 的圆心在在直线42:-=x y l 上,所以,设圆心C 为(a,2a-4) 则圆C 的方程为:[]1)42()(22=--+-a y a x
又∵MO MA 2=∴设M 为(x,y)则22222)3(y x y x +=-+整理得:4)1(22=++y x 设为圆D
∴点M 应该既在圆C 上又在圆D 上 即:圆C 和圆D 有交点 ∴[]12)1()42(1222+≤---+≤-a a
由08852≥+-a a 得R x ∈
由01252≤-a a 得5
120≤≤x 终上所述,a 的取值范围为:⎥⎦
⎤⎢⎣⎡512,0。