圆的方程与专题复习(直线与圆、圆与圆的位置关系、轨迹问题)
高考数学专题复习：直线与圆、圆与圆的位置关系
高考数学专题复习：直线与圆、圆与圆的位置关系一、单选题1．已知圆22:2440A x y x y +---=，圆22:2220B x y x y +++-=，则两圆的公切线的条数是（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条2．已知点(,)P x y 是直线l ：40kx y -+=(0k >)上的动点，过点P 作圆C ：2220x y y =++的切线PA ，A 为切点，若||PA 最小为2时，圆M ：220x y my +-=与圆C 外切，且与直线l 相切，则m 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．4D 23．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是（ ） A ．23-B ．13C ．43D ．24．已知直线10x my m -+-=被圆O ：224x y +=所截得的弦长为m =（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．5．已知直线():10l mx y m R +-=∈是圆22:4210C x y x y +-++=的对称轴，过点()2,A m -作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB 等于（ ）A ．4B ．C ．D ．36．设a ，b 为正数，若圆224210x y x y ++-+=关于直线10ax by -+=对称，则2a bab+的最小值为（ ） A ．9B ．8C ．6D ．107．已知圆221:4240C x y x y ++--=，2223311:222C x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则这两圆的公共弦长为（ ）A ．2B ．C ．2D ．18．设0r >，圆()()22213x y r -++=与圆2216x y +=的位置关系不可能是（ ） A ．相切B ．相交C ．内切或内含D ．外切或相离9．已知圆C ：()()22cos sin 3x y θθ-+-=交直线1y =-于A ，B 两点，则对于θ∈R ，线段AB 长度的最小值为（ ）A ．1B C D ．210．在同一平面直角坐标系下，直线ax by ab +=和圆222()()x a y b r -+-=（0ab ≠，0r >）的图象可能是（ ）．A ．B ．C ．D ．11．圆1C ：221x y +=与圆2C ：()224310x y k x y +++-=（k ∈R ，0k ≠）的位置关系为（ ）A ．相交B ．相离C ．相切D ．无法确定12．若直线:1l y kx =-与圆()()22:212C x y -+-=相切，则直线l 与圆()22:23D x y -+=的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定二、填空题13．圆22230x y y ++-=被直线0x y k +-=分成两段圆弧，且较短弧长与较长弧长之比为1：3，则k =________.14．过原点且倾斜角为60︒的直线与圆2240x y y +-=相交，则直线被圆截得的弦长为_____.15．过点()2,0与圆22 A: 230x y x +--+=相切的直线方程为__________.16．若直线mx ＋2ny －4＝0（m ，n ∈R ）始终平分圆22420x y x y +--=的周长，则mn 的取值范围是________． 三、解答题17．已知以点()1,1A 为圆心的圆与直线1:220l x y ++=相切，过点()2,0B 的动直线l 与圆A 相交于M ､N 两点. （1）求圆A 的方程；（2）当4MN =时，求直线l 的方程.18．已知圆C ：222430x y x y ++-+=．（1）若直线l 过点(2,0)-且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程；（2）从圆C 外一点P 向圆C 引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且PM PO =，求PM 的最小值．19．直线l ：y x =与圆C ：()()221316x y -+-=相交于A 、B 两点．（1）求平行于l 且与圆C 相切的直线方程； （2）求ABC 面积．20．已知圆C 过点()2,0R 、()4,2S -，且圆心C 在直线280x y --=上． （1）求圆C 的方程；（2）若点P 在圆C 上，O 为原点，()(),00A t t >，求tan POA ∠的最大值．21．已知圆C 的方程为226440x y x y ++-+=.（1）若直线:10l x y -+=与圆C 相交于M 、N 两点，求||MN 的长; （2）已知点()1,5P ，点Q 为圆C 上的动点，求||PQ 的最大值和最小值.22．已知直线:20l mx y m -+-=，C 的方程为22240x y x y +--=. （1）求证：l 与C 相交；（2）若l 与C 的交点为A 、B 两点，求OAB 的面积最大值.（O 为坐标原点）参考答案1．B 【分析】分别求得两圆的圆心坐标和半径，结合两圆的位置关系的判定方法，求得两圆的位置关系，即可求解. 【详解】由圆22:2440A x y x y +---=可化为22(1)(2)9x y -+-=， 可得圆心坐标为(1,2)A ，半径为3R =，由圆22:2220B x y x y +++-=可化为22(1)(1)4x y +++=， 可得圆心坐标为(1,1)B --，半径为2r，则圆心距为d AB == 又由5,1R r R r +=-=，所以R r AB R r -<<+， 可得圆A 与圆B 相交，所以两圆公共切线的条数为2条. 故选：B. 2．B 【分析】根据题意当CP 与l 垂直时，||PA 的值最小，进而可得2k =，再根据圆M 与圆C 外切可得0m >，根据圆M 与直线l 相切，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，即可求出. m 的值.【详解】圆C 的圆心为(0,1)C -，半径为1，当CP 与l 垂直时，||PA 的值最小，此时点C 到直线l 的距离为d =，由勾股定理得22212+=，又0k >，解得2k =， 圆M 的圆心为(0,)2mM ，半径为||2m ， ∵圆M 与圆C 外切，∴||1|(1)|22m m+=--，∴0m >，∵圆M 与直线l 相切，∴|4|2m m -+=2m =， 故选:B 3．C 【分析】根据直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式建立不等式，解之可得选项. 【详解】圆C 的标准方程为22(4)1x y -+=，半径1r =，当圆心(4,0)到直线2y kx =-的距离1d r ≤+时，满足题意，圆心在直线上的射影点即满足题意，故有2d =≤，解得403k ≤≤，即k 的最大值为43， 故选：C. 4．A 【分析】由于直线过定点(1,1)--P，而||OP =OP 垂直，从而由斜率的关系列方程可求出m 【详解】∵直线10x my m -+-=过定点(1,1)--P ，连接OP，则||OP ∴直线10x my m -+-=与OP 垂直，11m=-， ∴1m =-， 故选：A. 5．A 【分析】根据直线():10l mx y m R +-=∈是圆22:4210C x y x y +-++=的对称轴，则圆心在直线l 上，求得m ，由过点()2,A m -作圆C 的一条切线，切点为B ，利用勾股定理即可求得AB . 【详解】由方程224210x y x y +-++=得()()22214x y -++=，圆心为()2,1C -，因为直线l 是圆C 的对称轴，所以圆心在直线l 上，所以1m =，所以A 点坐标为()2,1-，则AC =4AB =.故选：A ． 6．A 【分析】求出圆的圆心坐标，得到,a b 的关系，然后利用基本不等式求解不等式的最值即可． 【详解】解：圆224210x y x y ++-+=，即()()22214x y ++-=，所以圆心为(2,1)-， 所以210a b --+=，即21a b +=，因为0a >、0b >，则2222(2)(2)2252229a b a b a b a b ab a ab ab abab+++++⋅===，当且仅当13b a ==时，取等号． 故选：A ． 7．C 【分析】先求出两圆的公共弦所在直线的方程，用垂径定理求弦长. 【详解】由题意知221:4240C x y x y ++--=，222:3310C x y x y ++--=，将两圆的方程相减，得30x y +-=，所以两圆的公共弦所在直线的方程为30x y +-=.又因为圆1C 的圆心为(2,1)-，半径3r =，所以圆1C 的圆心到直线30x y +-=的距离d ==所以这两圆的公共弦的弦长为222223222d .故选：C. 8．D 【分析】计算出两圆圆心距d ，并与两圆半径和作大小比较，由此可得出结论. 【详解】两圆的圆心距d 4r +，4r +，所以两圆不可能外切或相离．9．C 【分析】由题意圆C 的圆心C 在单位圆上，求出点C到直线1y =-的距离的最大值，根据圆的弦长AB =. 【详解】解：由圆C ：()()22cos sin 3x y θθ-+-=，知该圆的半径r =()cos ,sin C θθ在单位圆221x y +=上，∵原点O到直线1y =-12=，则点C 到直线1y =-的距离d 的最大值为13122+=，由AB =d 取最大值32时，线段AB故选：C ．10．D 【分析】根据直线的位置及圆心所在的象限判断参数a 、b 的符号，进而确定正确选项. 【详解】直线ax by ab +=在x ，y 轴上的截距分别为b 和a ，圆心横坐标为a ，纵坐标为b ． A ：由直线位置可得0b <，而由圆的位置可得0b >，不正确． B ：由直线位置可得0a >，而由圆的位置可得0a <，不正确． C ：由直线位置可得0a >，而由圆的位置可得0a <，不正确．D ：由直线位置可得0a >，0b <，而由圆的位置可得0a >，0b <，正确.11．A 【分析】求出两圆的圆心和半径，再求出两圆的圆心距，与两圆的半径和差比较可得结论 【详解】解：圆1C ：221x y +=的圆心1(0,0)C ，半径为11r =，由()224310x y k x y +++-=，得222325(2)()124x k y k k +++=+，所以圆2C 的圆心为23(2,)2C k k --，半径2r所以12121C C r r +=1>0k ≠）1，所以1221C C r r >-所以两圆相交． 故选：A 12．A 【分析】由直线l 与圆C 相切可构造方程求得k；分别在2k =2k =过比较圆心到直线距离与圆的半径之间大小关系可得位置关系. 【详解】由圆C 方程知其圆心()2,1C直线l 与圆C相切，=2k =由圆D 方程知其圆心()2,0D，半径r =∴圆心D 到直线l距离d =当2k =(()222233021d r+-=-=<+，即d r <，此时圆D 与直线l 相交；当2k =(()222233021d r --=-=<+，即d r <，此时圆D 与直线l 相交； 综上所述：圆D 与直线l 相交. 故选：A. 13．1或3- 【分析】由题意可知较短弧所对圆心角是90︒，此时圆心到直线0x y k +-==，再由点到直线的距离公式求解即可 【详解】由题意知，圆的标准方程为()2214x y ++=，较短弧所对圆心角是90︒，所以圆心()0,1-到直线0x y k +-==1k =或3k =-.故答案为：1或3- 14．【分析】由已知求出直线方程，将圆方程化为标准方程求出圆心和半径，然后求出圆心到直线的距离，再利用弦长、弦心距和半径的关系求出弦长 【详解】解：由题意得直线方程为tan60y x =︒0y -=， 由2240x y y +-=，得22(2)4x y +-=，则圆心为(0,2)，半径为2， 所以圆心(0,2)0y -=的距离为1d ==，所以所求弦长为=故答案为：15．x =2或)2y x =-. 【分析】 分斜率不存在和斜率存在两种情况讨论：斜率不存在时，直线l ：x =2与圆相切；斜率存在时，设其为k ，则直线l ：()2y k x =-，利用圆心到直线的距离等于半径，列方程求出k ，即可求出直线方程.【详解】圆22 A: 230x y x +--+=化为标准方程：()(22 11x y -+=，所以当过点()2,0的直线斜率不存在时，直线l ：x =2与圆相切；过点()2,0的直线斜率存在时，设其为k ，则直线l ：()2y k x =-，因为l 与圆A 相切，所以圆心到直线的距离等于半径，1=，解得：k =，此时l：)2y x =-. 故答案为：x =2或)2y x =-. 16．(,1]-∞【分析】 由题意得直线过圆心，进而得到2240m n +-=，所以mn 可转化为()2n n -，结合二次函数的值域即可求解.【详解】因为直线mx ＋2ny －4＝0（m ，n ∈R ）始终平分圆22420x y x y +--=的周长，所以直线经过圆心，又因为圆心为()2,1，则2240m n +-=，即2m n +=，因此2m n =-，所以()()2222111mn n n n n n =-=-+=--+≤，所以mn 的取值范围是(,1]-∞，故答案为：(,1]-∞.17．（1）()()22115x y -+-=；（2）2x =或0y =.【分析】（1）利用圆心到直线的距离求半径，即可得圆的方程；（2）首先考查直线斜率不存在的直线，判断是否满足4MN =，当直线的斜率存在时，设直线20kx y k --=，利用弦长公式求得斜率k ，即可得直线方程.【详解】解：（1）由题意可知，点A 到直线1l 的距离d =因为圆A 与直线1l 相切，则圆A 的半径r d ==所以，圆A 的标准方程为()()22115x y -+-=（2）①当直线l 的斜率不存在时因为直线l 的方程为2x =.所以圆心A 到直线l 的距离11d =.由（1）知圆的半径为r 4MN ==. 故2x =是符合题意的一条直线.②当直线l 的斜率存在时设直线l 的斜率为k ，则直线20kx y k --=圆心A 到直线l 的距离1d =因为22212MN d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以245+=，即()2211k k +=+，解得0k = 因此，直线l 的方程为0y =综上所述，直线l 的方程为2x =或0y =.18．（1）2x =-或3460x y -+=；（2． 【分析】（1）根据题意，由圆的方程分析圆的圆心与半径，分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，求出直线的方程，综合即可得答案；（2）根据题意，连接MC ，PC ，分析可得PMC △为直角三角形，即222||||||PM PC MC =-，设(,)P x y ，分析可得||MC ||||PM PO =，分析可得2222(1)(2)2x y x y ++--=+，变形可得P 的轨迹方程，据此结合直线与圆的方程分析可得答案．【详解】解：（1）222430x y x y ++-+=可化为22(1)(2)2x y ++-=．当直线l 的斜率不存在时，其方程为2x =-，易求得直线l 与圆C 的交点为(2,1)A -，()23B -，，2AB =，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设其方程为(2)y k x =+，即20kx y k -+=，则圆心C 到直线l 的距离1d ，解得34k =． 所以直线l 的方程为3460x y -+=，综上，直线l 的方程为2x =-或3460x y -+=．（2）如图，PM 为圆C 的切线，连接MC ，PC ，则CM PM ⊥．所以PMC △为直角三角形．所以222PM PC MC =-．设点P 为(,)x y ，由（1）知点C 为(1,2)-，MC =PM PO =，P 的轨迹方程为2430x y -+=． 求PM 的最小值，即求PO 的最小值，也即求原点O 到直线2430x y -+=的距离，代入点到直线的距离公式可求得PM 的最小值d =19．（1）20x y -++或20x y -+-=；（2）【分析】（1）设切线方程为y x b =+，由切线定义求得b ，进而求得结果；（2）作CD AB ⊥，由点到直线距离公式求得CD ，再由弦长公式求得AB ，进而求得面积.【详解】（1）设切线方程为y x b =+，则圆心(1,3)C 到切线的距离4d r ==，解得2b =±所以切线方程为20x y -++或20x y -+-=；（2）作CD AB ⊥，垂足为D ，CD ==，∴AB ==∴1122ABC S AB CD =⋅=⨯△20．（1）()2244x y -+=；（2 【分析】 （1）根据垂径定理的逆定理可得弦RS 的垂直平分线过原点，又圆心C 在直线280x y --=上，联立直线方程即可得解；（2）根据题意知当OP 与圆相切时，tan POA ∠值最大，计算即可得解.【详解】（1）由20142RS k --==--，线段RS 中点坐标为(3,1)-， 所以线段RS 的垂直平分线为4y x =-，即40x y --=，由28040x y x y --=⎧⎨--=⎩可得圆C 的圆心为(4,0)，易得半径2r ，所以圆C 的方程为22(4)4x y -+=；（2）由圆心在x 轴正半轴上，由()(),00A t t >，所以OA 在正半轴上，由090POA <∠<，故当OP 和圆相切时，即P 为切点时POA ∠最大，此时tan POA ∠最大，tanPOA ∠=. 21．（1）2；（2）最大值为8，最小值为3.【分析】（1）先将圆的方程化为标准方程，得出圆心坐标和半径，求出圆心到直线l 的距离，由勾股定理可得答案.（2）先求出PC 的长度，由圆的性质可得PC r PQ PC r -≤≤+，从而得到答案.【详解】解：（1）圆C 的一般式方程为()()22329x y ++-=，即圆心()C 3,2-，半径3r =，所以圆心C 到直线l ：10x y -+=的距离d ==所以弦长 2MN ==；（2）5PC ，又3r =，所以max 8PQ PC r =+=，min 2PQ PC r =-=，即PQ 的最大值为8，最小值为3.22．（1）证明见解析；（2）5【分析】 （1）由题知直线l 过定点1,2，且为C 的圆心，故l 与C 相交；（2）由题知2AB r ==l 与直线OC 垂直时，O 到直线l 的距离最大，最大值为OC =.【详解】解：（1）由题知直线():21l y m x -=-，C 的标准方程为()()22125x y -+-=， 所以直线l 过定点1,2，为圆的圆心，所以直线过C 的圆心，故l 与C 相交；（2）由（1）知直线:20l mx y m -+-=过圆C 的圆心，C 的半径为r =所以2AB r ==所以当O 到直线l 的距离最大时，OAB 的面积取最大值，故当直线l 与直线OC 垂直时，O 到直线l 的距离最大，最大值为OC =所以OAB 的面积最大值为11522AB OC =。
【教案】2.5.2圆与圆的位置关系 教学设计-高中数学人教版(2019)选择性必修一
2.5.2圆与圆的位置关系一、内容和内容解析1.内容圆与圆的位置关系.2.内容解析图形之间的位置关系，既可以直观定性描述，也可以严格定量刻画.定量刻画的方法既可以完全运用代数方法，通过运算求解，得到图形的性质；也可以综合使用几何方法、代数方法，得到图形的性质.本课时教学中，应引导学生根据初中学习图形与几何的经验，类比直线和圆的位置关系，研究圆与圆的位置关系．结合以上分析，确定本节课的教学重点：运用圆的方程，判断圆与圆的位置关系.二、目标和目标解析1.目标（1）会用圆的方程判定两圆的位置关系；（2）能利用坐标法解决简单的平面几何问题．2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）会将两个圆的方程联立方程组，并通过降次和消元得到一个一元二次方程，通过判断方程判别式大于0，等于0，小于0分别得出两圆相交，相切，相离.能通过圆的方程得到圆心坐标和半径长，比较圆心距和两半径和差大小来判断两圆相交、外切、内切、外离、内含的关系．（2）知道两圆相交时，两个圆的方程消去二次项后得到的二元一次方程的几何意义，能表示出经过两圆的交点的所有圆的方程．三、教学问题诊断分析在上一节课，我们研究了如何利用直线和圆的方程，判断它们的位置关系.学生容易类比地得到判断圆与圆位置关系的方法.因此教学重点应让学生注意两个圆的方程消元后得到的一元二次方程的判别式小于0或等于0，只能判断出两圆相离或相切，无法具体判断两圆是外离（外切）还是内含（内切）.这就很自然地引出用圆心距和半径和差来具体判断.同时，应理解教材例5选取对两圆相交的判断，用意在于让学生知道解二元二次方程组的一般流程，还有当两圆相交时，公共弦所在直线方程的求法，求两圆的交点坐标也是方法二所不能做到的.本节课的例6是探求满足某种几何条件的动点的轨迹问题，是对前面介绍的坐标法解决平面几何问题的“三步曲”的再应用，教师要引导学生建立坐标系，把几何条件代数化，最后再将代数方程翻译为几何轨迹.这个问题的解决是为下一章圆锥曲线方程的推导做准备．本节课的教学难点是应用代数方法解决几何问题．四、教学过程设计（一）复习引入1.已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，如何求线段AB 的长？设计意图：在计算两圆圆心距时要用到两点间的距离公式.2.已知圆的方程为()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->，如何确定圆心和半径？设计意图：回顾圆的一般方程和标准方程的互化，以及利用圆的方程求出圆心坐标和半径长，对本节课的学习是有帮助的.3.已知直线和圆的方程，如何判断直线和圆的位置关系？师生活动：设计意图：为后面学生类比直线和圆的位置关系的判定得出判断圆与圆的位置关系的方法作准备.（二）探究新知问题1：按照两个圆的公共点个数来划分，两个圆之间有哪些位置关系？师生活动：两圆有两个公共点，它们相交；两圆只有一个公共点，它们相切，包括外切和内切；两圆没有公共点，它们相离，包括外离和内含.设计意图：让学生初步体会用公共点个数只能判断两圆相交、相切或相离，对于只有一个公共点（没有公共点）的情况无法具体判定外切还是内切（外离还是内含）．照应方法一利用方程组解的个数判断位置关系时的局限性.问题2：类比运用直线和圆的方程，研究直线与圆的位置关系的方法，如何利用圆的方程，判断它们之间的位置关系？师生活动：方法1通过两个圆的方程组成的方程组的解的个数来判断；方法2通过比较两个圆的连心线的长与两半径的和或两半径的差的绝对值的大小来判断.例5 已知圆C 1：222880x y x y +++-=，圆C 2：224420x y x y +---=，试判断圆C 1与圆C 2的位置关系.解法1：将圆C 1与圆C 2的方程联立，得到方程组222228804420x y x y x y x y ⎧+++-=⎪⎨+---=⎪⎩ ①－②，得 210x y +-= ③ 由③，得12x y -=. 把上式代入①，并整理，得2230x x --=.④方程④的根的判别式()()224130∆=--⨯⨯->，所以方程有两个不相等的实数根x 1，x 2.把x 1，x 2分别代入方程③，得到y 1，y 2. 因此圆C 1与圆C 2有两个公共点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），这两个圆相交.问题3：画出圆C 1与圆C 2以及方程③表示的直线，你发现了什么？你能说明为什么吗? 师生活动：方程③表示的直线经过圆C 1与圆C 2的交点，因为圆C 1与圆C 2的交点A 、B 的坐标既满足圆C 1的方程，又满足圆C 2的方程，方程③是两圆方程作差得到的，A 、B的坐标满足方程③.今后求相交两圆的公共弦所在直线方程时，可以用两圆的一般方程作差得到.问题4：你能求出圆C 1与圆C 2的交点坐标吗？设计意图：体会使用解法一的必要性，判断方程解的个数不需要解方程，但要求出交点坐标需要解方程.问题5：如果两圆方程联立消元后得到的方程的0∆=，它说明什么？你能据此确定两圆是内切还是外切吗？如何判断两圆是内切还是外切呢？如果0∆=，则两圆相切，此时无法判定是内切还是外切，还要根据两圆的半径与连心线的长作进一步判断.下面总结一下用连心线的长d 与两半径r 1，r 2的关系判断圆与圆的位置关系.设计意图：引出例5的解法2.解法2：把圆C 1的方程化为标准方程，得()()221425x y +++=，圆心为（－1，－4），半径15r =.把圆C 1的方程化为标准方程，得()()222210x y -+-=，圆心为（2，2），半径2r =圆C 1与圆C 2的连心线的长d =因为55<<1212r r d r r -<<+，所以圆C 1与圆C 2相交.（三）巩固提升例6 已知圆O 的直径AB=4，动点M 与点A 的距离是它与点B .试探究点M 的轨迹，并判断该轨迹与圆O 的位置关系.师生活动：本题是探究满足某种几何条件的动点的轨迹问题，我们通常采用“坐标法”，前面我们介绍了坐标法解决平面几何问题的“三步曲”，先来回顾一下：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论.问题6：回到本例，如何建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示题中的几何要素？如何把几何问题转化为代数问题？解：如图，以线段AB 的中点O 为原点，AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线 为y 轴，建立平面直角坐标系.由AB =4，得A （－2，0），B （2，0）.设点M 的坐标为（x ，y ），由MA MB =，=221240x y x +-+=.所以点M 的轨迹是以点P （6，0）为圆心，半径为.因为两圆的圆心距为|PO |=6，两圆的半径为12r =，2r =又2112r r PO r r -<<+，所以点M 的轨迹与圆O 相交.设计意图：熟练用坐标法解决动点轨迹问题，为后续推导椭圆标准方程时建立坐标系作准备，同时复习本节课圆与圆位置关系的判断方法．问题7：如果把例6中的改为“k （k ＞0）倍”，你能分析并解决这个问题吗？ 师生活动：设点M 的坐标为（x ，y ），由MA k MB =，得= ()()()()2222221411410k x k x k y k -+++-+-=.当k =1时，方程为x =0，可知点M 的轨迹是线段AB 的垂直平分线；当k ＞0且k ≠1时，方程可化为()()2222222211611k k x y k k ⎡⎤+⎢⎥-+=-⎢⎥-⎣⎦，点M 的轨迹是以2222,01k k ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭为圆心，半径为241k k -的圆. 设计意图：进一步拓展学生思维，体会从特殊到一般的研究方法.（三）归纳总结、布置作业与判断直线与圆的位置关系一样，判断圆与圆的位置关系也有两种思路：一种是根据两个圆的公共点个数判断两圆相交、相切、相离，即利用两个圆的方程组成的方程组解的情况来判断的方法；另一种是利用圆的方程求出圆心和半径，比较连心线的长和两圆半径和差的大小关系来判断的方法.本节课还探究了满足某种几何条件的动点的轨迹问题，用的是坐标法.这种方法建立了几何与代数之间的联系，体现了数形结合思想.设计意图：从知识内容和研究方法两个方面对本节课进行小结．布置作业：教科书98页 练习 第1题，第2题.习题2.5 第7题，第9题.五、目标检测设计1．求圆心在直线40x y --=上，并且经过圆22640x y x ++-=与圆226280x y y ++-=的交点的圆的方程.设计意图：会求圆与圆的交点坐标，公共弦的垂直平分线的直线方程，能类比直线系方程利用圆系方程解题．2．已知点P （－2，－3）和以点Q 为圆心的圆()()22429x y -+-=.（1）画出以PQ为直径的圆，设这个圆的圆心为C，求圆C的方程；（2）圆C与圆Q相交于A、B两点，直线P A、PB是圆Q的切线吗？为什么？（3）求直线AB的方程.设计意图：巩固圆的方程的知识，能利用初中平面几何知识解决问题，会求相交两圆公共弦所在直线方程．。
高中数学圆的方程专题复习.doc
高一数学辅导资料内容：圆与方程本章考试耍求—*、圆的方程【知识要点】1 •圆心为C(a,b),半径为r的圆的标准方程为:(x-a)2 +(y-b)2 = r (r > 0) a = b = 0Wi f圆心在原点的圆的方程为：x2 +y2 = r2.（n Jn2 + F2 -4F2.圆的一般方程x2+ 2+/）X +£ F = o,圆心为点—乂，—土 ,半径Q八匕 "I 2 2 丿 2其屮£）2+E2-4F>0・3 .圆系方程:过圆C] : x2 + y2 + D}x + E}y +=0 与圆C?: x2 + y2 + D2x + E2y+ F2=0交点的圆系方程是x2 + / + D,x+ E,y + F； + >1（.? + / + D2X+ E2y + F2） = 0 （不含圆C2）, 当A = -l时圆系方程变为两圆公共弦所在直线方程.【互动探究】考点一求圆的方程问题1.求满足下列各条件圆的方程：(1)以两点人(-3,-1), 3(5,5)为直径端点的圆的方程是______________________________(2)求经过A(5,2), B(3,-2)两点，圆心在宜线2兀-)，=3上的圆的方程;⑶过点4(4,1)的圆C与直线x-y-\ = 0相切于点B(2,l),则圆C的方程是?考点二圆的标准方程与一般方程问题2.方程F+丿2+Q兀+ 2砒，+ 2夕+Q_] = 0表示圆，则Q的取值范围是考点三轨迹问题问题3.点P(4,-2)与圆X2+/=4上任一点连线的中点轨迹方程是问题4.设两点A(-3,0), 5(3,0),动点P 到点A 的距离与到点3的距离的比为2,求P 点的轨迹.【知识要点】1・直线与圆的位置关系将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别 %△,圆的半径为”圆心C 到直线/的距离为〃，则直线 圆的位置关系满足以下关系： 2.直线截圆所得弦长的计算方法：利用垂径定理和勾股定理：\AB\ = 2y/r 2-d 2 (其中厂为圆的半径，d 直线到圆心的距离).3.圆与圆的位置关系：①设两圆的半径分别为/?和厂，圆心距为则两圆的位置关系满足关系:②设两圆C l :x 24-/ + D 1x+E 1^4-fi=0, C 2:x 2 + r 4-O 2x+E 2y + F>=0,若两圆相交，则两圆的公共弦所在的直线方程是 4.相切问题的解法：① 利用圆心到切线的距离等于半径列方程求解② 利用鬪心、切点连线的斜率与切线的斜率的乘积为-1 (或一条直线存在斜率，另一条不存在)③ 利用直线与圆的方程联立的方程组的解只有一个，即△ = ()來求解.特殊地，已知切点P(x 0,y 0)，圆兀2 +尸=斥的切线方程为 _______________________ .IM1 (兀—Q )2 +(〉，_防=r 2的切线方程为 _____________________________________【互动探究】 考点一 直线与圆的位置关系问题1:(1)已知圆C ：/ + y2_4x = 0, /过点P(3,0)的直线，贝I 」A. Z 与C 相交 B /与C 相切 C. /与C 相离 D.以上三个选项均有可能(2)直线/： nu-y + \-m 与圆C ： x 2 +(y-l)2 = 1的位置关系是4相离 B.相切 C.相交 D 无法确定，与加的取值有关.⑶过点P (l,3)引圆兀2 +),2 _4兀_4〉，-10 = 0的弦，则所作的弦屮最短的弦长为A 2A /2B.4C.8D. 4V2(4)求圆心为(1,2) Ji 与直线5x-l2y-7 = 0相切的圆 _____________________________________考点二 直线与圆相切的有关问题问题2・(1)圆x 2 + /-4.r = 0在点P(1,V3)处的切线方程为 _________________________(2)过点P (2,3)的圆X 2 + /=4的切线方程是 _____________________________________ 二、直线和圆、的位置关系⑶过直线x+y-2^2=0±点P作圆x2 + y2=l的两条切线，若两条切线的夹角是60。
2025高考数学总复习直线与圆、圆与圆的位置关系
所以求S四边形PACB的最小值就是求|PC|的最小值， 而|PC|的最小值就是圆心到直线3x＋4y＋8＝0的距离d，
即 d＝|3＋324＋＋482|＝3， 即四边形 PACB 面积的最小值为 9－1＝2 2.
8x－6y＋16＝0的位置关系是
√A.外切
B.相交
C.外离
D.内切
圆C1的圆心C1(0,0)，半径r1＝2， 圆C2可化为(x－4)2＋(y－3)2＝9， ∴圆心C2(4,3)，半径r2＝3， ∴|C1C2|＝ 4－02＋3－02＝5＝r1＋r2，故两圆外切.
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第二部分
探究核心题型
题型一 直线与圆的位置关系
自主诊断
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两圆没有公共点，则两圆一定外离.( × ) (2)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.( × )
(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有且只有一组实数解，则直线
与圆相切.( √ ) (4)在圆中最长的弦是直径.( √ )
(2)直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为
A.相交、相切或相离
B.相交或相切
√C.相交
D.相切
方法一 直线kx－y＋2－k＝0的方程可化为k(x－1)－(y－2)＝0，该 直线恒过定点(1,2). 因为12＋22－2×1－8<0， 所以点(1,2)在圆x2＋y2－2x－8＝0的内部， 所以直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0相交.
_d_＝__|r_1_－__r_2|_
知识梳理 内含
高三数学第一轮复习：圆的方程及直线与圆的位置关系知识精讲
高三数学第一轮复习：圆的方程及直线与圆的位置关系知识精讲【本讲主要内容】圆的方程及直线与圆的位置关系圆的标准方程、圆的一般方程、圆的参数方程、直线和圆的位置关系【知识掌握】 【知识点精析】1. 圆的标准方程：()()222x a y b r -+-=，方程表示圆心为(),C a b ，半径为r 的圆。
2. 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x⑴当0422>-+F E D 时，表示圆心为,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，的圆； ⑵当2240D E F +-=时，表示一个点,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭； ⑶当0422<-+F E D 时，它不表示任何图形。
3. 圆的标准方程与一般方程的比较：圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，而一般方程突出了方程形式上的特点：①2x 和2y 的系数相同，都不等于０；②没有xy 这样的二次项。
二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的充要条件是：①2x 和2y 的系数相等且不为零，即0A C =≠；②没有xy 项，即0B =；③0422>-+F E D ，其中①、②是二元二次方程表示圆的必要条件，但不是充分条件。
说明：圆的标准方程和一般方程均含有三个参变量，因此必须有三个独立条件才能确定一个圆；求圆的方程的主要方法为待定系数法。
4. 圆的参数方程：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数，即()()x f t y g t =⎧⎪⎨=⎪⎩()*，并且对于t 的每一个允许值，由方程组()*所确定的点(),M x y 都在这条曲线上，那么方程组()*就叫做这条曲线的参数方程，联系,x y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数。
cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩()θ为参数表示圆心为()a ，b ，半径为r 的圆。
5. 直线与圆的位置关系： ⑴点与圆的位置关系：若圆()()222x a y b r -+-=，那么点()000,P x y 在⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+-⇔<-+-⇔=-+-⇔220202202022020)()()()()()(r b y a x r b y a x r b y a x 圆外圆内圆上⑵直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交。
高二数学复习考点知识与题型专题讲解13---圆与圆的位置关系
高二数学复习考点知识与题型专题讲解2.5.2 圆与圆的位置关系【考点梳理】考点一：两圆的位置关系及其判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r 1，r 2，两圆连心线的长为d ，则两圆的位置关系如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d 与r 1，r 2的关系 d >r 1＋r 2 d ＝r 1＋r 2|r 1－r 2|< d <r 1＋r 2d ＝|r 1－r 2|d <|r 1－r 2|(2)代数法：设两圆的一般方程为C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0(D 21＋E 21－4F 1>0)，C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0(D 22＋E 22－4F 2>0)，联立方程得⎩⎨⎧x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0，则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个2个1个0个【题型归纳】题型一：判断圆与圆的位置关系1．（2022·全国·高二课时练习）已知圆221:210()C x y x my m +-++=∈R 的面积被直线210x y ++=平分，圆222:(2)(3)25C x y ++-=，则圆1C 与圆2C 的位置关系是（ ）A ．外离B ．相交C ．内切D ．外切2．（2022·江苏·高二课时练习）已知圆221:()()4C x a y b -+-=（a ，b 为常数）与222:20C x y x +-=．若圆心1C 与圆心2C 关于直线0x y -=对称，则圆1C 与2C 的位置关系是（ ）A ．内含B ．相交C ．内切D ．相离3．（2022·天津市第九十五中学益中学校高二期末）圆222830x y x y +++-=与圆()()22225x y -+-=的位置关系为（）A ．外切B ．内切C ．相交D ．相离题型二：求圆的交点坐标4．（2021·全国·高二课时练习）圆心在直线x ﹣y ﹣4＝0上，且经过两圆x 2+y 2﹣4x ﹣3＝0，x 2+y 2﹣4y ﹣3＝0的交点的圆的方程为（ ） A ．x 2+y 2﹣6x +2y ﹣3＝0B ．x 2+y 2+6x +2y ﹣3＝0C ．x 2+y 2﹣6x ﹣2y ﹣3＝0D ．x 2+y 2+6x ﹣2y ﹣3＝05．（2021·江苏·高二专题练习）若圆C 的圆心在直线40x y --=上，且经过两圆22460x y x +--=和22460x y y +--=的交点，则圆C 的圆心到直线3450x y ++=的距离为（ ） A ．0B ．85C ．2D ．1856．（2022·山西·运城市景胜中学高二阶段练习（文））设点(1,0)A ，(4,0)B ，动点P 满足2||||PA PB =，设点P 的轨迹为1C ，圆2C ：22((3)4x y +-=，1C 与2C 交于点,M N ，Q 为直线2OC 上一点（O 为坐标原点），则MN MQ ⋅=（ ）A ．4B ．C ．2D题型三：圆与圆的位置关系求参数范围7．（2022·全国·高二课时练习）已知圆()()()22:140C x y m m ++-=>和两点()2,0A -，()10B ,，若圆C 上存在点P ，使得2PA PB =，则m 的取值范围是（ ）A ．[8，64]B ．[9，64]C ．[8，49]D ．[9，49]8．（2022·全国·高二课时练习）若圆()()2221:10C x y r r +-=>上存在点P ，且点P 关于直线y ＝x 的对称点Q 在圆()()222:211C x y -+-=上，则r 的取值范围是（ ）A ．1⎤⎦B ．C ．⎡⎣D ．(]0,19．（2022·江苏·高二课时练习）已知圆1O ：2216x y +=和圆2O ：22268240x y mx my m +--+=有且仅有4条公切线，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()(),11,-∞-⋃+∞B ．()1,1-C ．()(),23,-∞-⋃+∞D ．()2,3- 题型四：圆与圆的位置求圆的方程10．（2022·全国·高二单元测试）若圆22210x y ax y +-++=与圆221x y +=关于直线1y x =-对称，过点(,)C a a -的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程是（）A ．24480y x y -++=B ．22220y x y +-+=C ．24480y x y +-+=D ．2210y x y ---=11．（2022·全国·高二课时练习）已知圆221:64120C x y x y +-++=与圆222:1420C x y x y a +--+=，若圆1C 与圆2C 有且仅有一个公共点，则实数a 等于A ．14B ．34C ．14或45D ．34或1412．（2019·安徽马鞍山·高二期中）已知半径为1的动圆与圆C ：()()225316x y +++=相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）A ．()()225325x y +++=B ．()()225325x y -+-=或()()22539x y -+-= C ．()()22539x y -+-=D ．()()225325x y +++=或()()22539x y +++=题型五：圆的公共弦长问题（参数、弦长问题）13．（2022·全国·高二专题练习）已知圆221:420C x y x y +-+=与圆222:240C x y y +--=相交于A ､B 两点，则圆()()22:331C x y ++-=上的动点P 到直线AB 距离的最大值为（ ）A1B ．1C ．12+D 1 14．（2022·四川资阳·高二期末（理））已知圆221:20C x y x ++=，圆222:60C x y y +-=相交于P ，Q 两点，其中1C ，2C 分别为圆1C 和圆2C 的圆心.则四边形12PC QC 的面积为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．15．（2021·广东·人大附中深圳学校高二期中）若圆221:4C x y +=与圆()222:2600C x y ay a ++-=>的公共弦长为=a （ ）A ．1B ．1.5C ．2D ．2.5题型六：圆的共切线问题16．（2022·全国·高二专题练习）已知圆()()22:211M x y -+-=，圆()()22:211N x y +++=，则下列不是M ，N 两圆公切线的直线方程为（ ） A ．0y =B ．430x y -=C ．20x y -=D ．20x y +17．（2022·江苏·高二课时练习）若直线l 与圆()221:11C x y ++=，圆()222:14C x y -+=都相切，切点分别为A 、B ，则AB =（ ）A ．1B．18．（2022·江苏·高二课时练习）在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：222660x y x y ++-+=与圆2C ：224240x y x y +-++=，则两圆的公切线的条数是（ ） A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条题型七：圆与圆位置关系的综合类问题19．（2022·陕西·武功县普集高级中学高二阶段练习（理））已知圆C ：22240x y x y m +--+=．(1)若圆C 与圆D ：22(2)(2)1x y +++=有三条外公切线，求m 的值；(2)若圆C 与直线20x y +-=交于两点M ，N ，且OM ON ⊥（O 为坐标原点），求m 的值．20．（2022·全国·高二单元测试）已知圆1C ：²²4230x y x y +---=，圆2:?²20C x y x m +-+=，其中51m -<<.（1）若1m =-，判断圆1C 与2C 的位置关系，并求两圆公切线方程（2）设圆1C 与圆2C 的公共弦所在直线为l ，且圆2C 的圆心到直线l 的距离为2，求直线l 的方程以及公共弦长21．（2021·江苏·高二专题练习）已知圆221:(1)1C x y -+=与圆222:80C x y x m +-+=．（1）若圆1C 与圆2C 恰有3条公切线，求实数m 的值；（2）在（1）的条件下，若直线0x n +=被圆2C 所截得的弦长为2，求实数n 的值．【双基达标】一、单选题22．（2021·黑龙江·勃利县高级中学高二期中）两圆224210x y x y +-++=与224410x y x y ++--=的公切线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条23．（2019·江西省大余县新城中学高二阶段练习）圆221:430C x y x +-+=与圆222:(1)(4)C x y a ++-=恰有三条公切线，则实数a 的值是（ ）A ．4B ．6C ．16D ．3624．（2022·全国·高二课时练习）圆1O 的方程为()()22231x y ++-=，圆2O 的圆心为()21,7O ．(1)若圆2O 与圆1O 外切，求圆2O 的方程；(2)若圆2O 与圆1O 交于A 、B 两点，且AB =2O 的方程．25．（2022·全国·）已知圆1C 与y 轴相切于点(03)，，圆心在经过点(21)，与点(23)--，的直线l 上． (1)求圆1C 的方程；(2)若圆1C 与圆222:6350C x y x y +--+=相交于M ，N 两点，求两圆的公共弦长．【高分突破】一：单选题26．（2021·黑龙江·双鸭山一中高二阶段练习）以下四个命表述正确的是（ ）个①若点()1,2A ，圆的一般方程为222410x y x y ++-+=，则点A 在圆外 ②圆C ：2228130+--+=x y x y 的圆心到直线4330x y -+=的距离为2 ③圆1C ：2220x y x ++=与圆2C ：224840x y x y +--+=恰有三条公切线④两圆22440x y x y ++-=与222120x y x ++-=的公共弦所在的线方程为：260x y ++= A ．1B ．2C ．3D ．427．（2021·江苏·高二专题练习）已知圆()221:24C x a y ++=与圆()22:1C x y b +-=有且仅有1条公切线，则2211a b +的最小值为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．928．（2017·江西南昌·高二阶段练习（文））与圆222212:26260,:4240C x y x y C x y x y ++--=+-++=都相切的直线有A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条29．（2022·全国·高二课时练习）已知Rt PAB 的直角顶点P 在圆(()22:11C x y +-=上，若点(),0A t -，()(),00B t t >，则t 的取值范围为（ ） A ．(]0,2B ．[]1,2C ．[]2,3D ．[]1,330．（2022·全国·高二）已知半径为1的动圆与圆()()225716x y -++=相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ） A ．()()225725x y -++=B ．()()225717x y -+-=或()()225715x y -++=C ．()()22579x y -+-=D ．()()225725x y -++=或()()22579x y -++=二、多选题31．（2022·江苏·南京市中华中学高二开学考试）已知圆()()221:1311C x y -+-=与圆2222:2230C x y x my m ++-+-=，则下列说法正确的是（ ）A ．若圆2C 与x 轴相切，则2m =B ．若3m =-，则圆C 1与圆C 2相离C ．若圆C 1与圆C 2有公共弦，则公共弦所在的直线方程为()246220x m y m +-++=D ．直线210kx y k --+=与圆C 1始终有两个交点32．（2022·全国·高二专题练习）圆221:20+-=Q x y x 和圆222:240++-=Q x y x y 的交点为A ，B ，则（ ）A ．公共弦AB 所在直线的方程为0x y -= B ．线段AB 中垂线方程为10x y +-=C ．公共弦AB 的长为2D ．P 为圆1Q 上一动点，则P 到直线AB 1+ 33．（2022·江苏·高二单元测试）设有一组圆()()()22:4R k C x k y k k -+-=∈，下列命题正确的是（ ）A ．不论k 如何变化，圆心k C 始终在一条直线上B ．存在圆kC 经过点（3，0） C ．存在定直线始终与圆k C 相切D ．若圆k C 上总存在两点到原点的距离为1，则k ⎛∈⋃ ⎝⎭⎝⎭34．（2022·重庆市实验中学高二期末）已知直线l ：10kx y k --+=与圆C ：()()222216x y -++=相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，下列说法正确的是（ ）A ．AB 的最小值为．若圆C 关于直线l 对称，则3k =C ．若2ACB CAB ∠=∠，则1k =或17k =-D ．若A ，B ，C ，O 四点共圆，则13k =-35．（2022·江苏南通·高二期末）已知圆1O ：225x y +=和圆2O ：22(4)13x y -+=相交于A ，B 两点，且点A 在x 轴上方，则（ ） A ．||4AB =B ．过2O 作圆1O 的切线，切线长为C ．过点A 且与圆2O 相切的直线方程为3210x y -+=D ．圆1O 的弦AC 交圆2O 于点D ，D 为AC 的中点，则AC 的斜率为7236．（2022·广东·高二阶段练习）已知点(),P x y 是圆()22:14C x y -+=上的任意一点，直线()):1130l m x y m ++-=，则下列结论正确的是（ ） A ．直线l 与圆C 的位置关系只有相交和相切两种 B ．圆C 的圆心到直线l C ．点P 到直线43160++=x y 距离的最小值为2D ．点P 可能在圆221x y +=上37．（2022·河北石家庄·高二期末）设m R ∈，直线310mx y m --+=与直线310x my m +--=相交于点(,)P x y ，线段AB 是圆22:(2)(1)9C x y +++=的一条动弦，Q 为弦AB 的中点，||AB = ）A ．点P 在定圆22(2)(2)8x y -+-=上B ．点P 在圆C 外C ．线段PQ 长的最大值为6D ．PA PB ⋅的最小值为15-38．（2022·浙江省杭州学军中学高二期中）过点(A 作圆221:4C x y +=的切线l ，P是圆222:40C x y x +-=上的动点，则下列说法中正确的是（ ）A ．切线l 40y -+=B ．圆1C 与圆2C 的公共弦所在直线方程为1x = C ．点P 到直线l 的距离的最小值为1D ．点O 为坐标原点，则AO OP ⋅的最大值为4 三、填空题39．（2022·江苏·徐州华顿学校高二阶段练习）设两圆22110C x y +-=：与圆222240C x y x y +-+=：的公共弦所在的直线方程为_______40．（2022·全国·高二课时练习）已知两圆O ：224x y +=，C ：22224510x ax y ay a -+-+-=，当两圆相交时，实数a 的取值范围是______.41．（2022·江苏·高二课时练习）已知圆221:(1)(2)4C x y -+-=和圆222:(2)(1)2C x y -+-=交于,A B 两点，直线l 与直线AB 平行，且与圆2C 相切，与圆1C 交于点,M N ，则MN =__________．42．（2022·全国·高二课时练习）已知圆1C 的标准方程是()()224425x y -+-=，圆222:430C x y x my +-++=关于直线10x +=对称，则圆1C 与圆2C 的位置关系为______．43．（2022·北京房山·高二期末）心脏线，也称心形线，是一个圆上的固定一点在该圆绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周滚动时所形成的轨迹，因其形状像心形而得名.心脏线的平面直角坐标方程可以表示为22x y ay ++=0a >，则关于这条曲线的下列说法： ①曲线关于x 轴对称；②当1a =时，曲线上有4个整点（横纵坐标均为整数的点）； ③a 越大，曲线围成的封闭图形的面积越大； ④与圆()222x a y a ++=始终有两个交点. 其中，所有正确结论的序号是___________.四、解答题44．（2022·全国·高二单元测试）已知圆()222:0O x y r r +=>，直线:40l kx y k --=，当k =l 与圆O 恰好相切． (1)求圆O 的方程；(2)若直线l 上存在距离为2的两点M ，N ，在圆O 上存在一点P ，使得0PM PN ⋅=，求实数k 的取值范围．45．（2022·江苏·高二阶段练习）已知圆22:(1)4C x y -+=. (1)若直线l 经过点(1,3)A -，且与圆C 相切，求直线l 的方程；(2)若圆2221:2280C x y mx y m +--+-=与圆C 相切，求实数m 的值.46．（2022·上海市行知中学高二期中）已知圆()()22:10C x y a a ++=>，定点()(),0,0,A m B n ，其中,m n 为正实数，(1)当9a =时，若对于圆C 上任意一点P 均有PA PO λ=成立（O 为坐标原点），求实数,m λ的值；(2)当2,4m n ==时，对于线段AB 上的任意一点P ，若在圆C 上都存在不同的两点,M N ，使得点M 是线段PN 的中点，求实数a 的取值范围47．（2022·江苏·高二课时练习）若圆221:C x y m +=与圆222:68160C x y x y +--+=相外切．(1)求m 的值；(2)若圆1C 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的正半轴交于点B ，P 为第三象限内一点且在圆1C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．48．（2022·江苏·高二单元测试）已知圆()22:24M x y -+=，点()()1,R P t t -∈.(1)若1t =，半径为1的圆N 过点P ，且与圆M 相外切，求圆N 的方程；(2)若过点P 的两条直线被圆M 截得的弦长均为且与y 轴分别交于点S 、T ，34ST =，求t .49．（2022·广东揭阳·高二期末）过点()3,1P 作圆()22:11C x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ；(1)求直线AB 的方程；(2)若M 为圆上的一点，求MAB △面积的最大值．【答案详解】1．B【分析】由圆1C 的面积被直线210x y ++=平分，可得圆心在直线上，求出m ，进而利用圆心距与半径和以及半径差的关系可得圆1C 与圆2C 的位置关系．【详解】因为圆1C 的面积被直线210x y ++=平分，所以圆1C 的圆心1,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭在直线210x y ++=上，所以12102m ⎛⎫+⨯-+= ⎪⎝⎭，解得2m =，所以圆1C 的圆心为(1,1)-，半径为1．因为圆2C 的圆心为(2,3)-，半径为5，所以125C C ==， 故125151C C -<<+，所以圆1C 与圆2C 的位置关系是相交． 故选：B ． 2．B【分析】由对称求出,a b ，再由圆心距与半径关系得圆与圆的位置关系．【详解】222:(1)1C x y -+=，2(1,0)C ，半径为1r =，2(1,0)C 关于直线0x y -=的对称点为(0,1)，即(,)1C 01，所以0,1a b ==，圆1C 半径为2R =，12C C =13R r R r -=<<=+，所以两圆相交． 故选：B ． 3．A【分析】根据两圆半径和、差、圆心距之间的大小关系进行判断即可. 【详解】由22222830(1)(4)20x y x y x y +++-=⇒+++=，该圆的圆心为(1,4)--，半径为圆()()22225x y -+-=的圆心为(2,2)= 所以两圆的半径和等于两圆的圆心距，因此两圆相外切， 故选：A 4．A【分析】求出两个圆的交点，再求出中垂线方程，然后求出圆心坐标，求出半径，即可得到圆的方程．【详解】由2222430,430x y x x y y +--=+--=解得两圆交点为M ⎝⎭与N ⎝⎭因为1MN k =，所以线段MN 的垂直平分线斜率21k =-；MN 中点P 坐标为（1，1） 所以垂直平分线为y ＝﹣x +2 由240y x x y =-+⎧⎨--=⎩解得x ＝3，y ＝﹣1，所以圆心O 点坐标为（3，﹣1）所以r 所以所求圆的方程为（x ﹣3）2+（y +1）2＝13即：x 2+y 2﹣6x +2y ﹣3＝0 故选：A 5．C【解析】求出过AB 两点的垂直平分线方程，再联立直线40x y --=，求得圆心，结合点到直线距离公式即可求解【详解】设两圆交点为,A B ，联立2222460460x y x x y y ⎧+--=⎨+--=⎩得1111x y =-⎧⎨=-⎩或2233x y =⎧⎨=⎩，1AB k =，则AB 中点为()1,1，过AB 两点的垂直平分线方程为()112y x x =--+=-+， 联立240y x x y =-+⎧⎨--=⎩得31x y =⎧⎨=-⎩，故圆心为()3,1-，由点到直线距离公式得334525d ⨯-+==故选：C【点睛】本题考查线段垂直平分线方程的求解，点到直线距离公式的应用，属于中档题 6．C【分析】由题意先求动点P 的轨迹1C 的方程,联立1C 和2C 求出M,N 的坐标,如图由平面几何知识和向量数量积的运算规则可求得MN MQ ⋅.【详解】设点P(,x y ),由()()A 1,0,B 4,0,2PA PB =可得()()2222214x y x y -+-+化简得动点P 的轨迹1C 的方程为:224x y +=,联立(()22224334x y x y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩解得:()()M 3,1,N 0,2-,如图所示,有平面几何知识可得:()1cos 2MQ QMN MN ∠=,向量数量积的运算规则可得:()1cos 2MN MQ MN MQ QMN MN MN ⋅=⋅∠=⋅()(()22211021222MN ⎡⎤==+-=⎢⎥⎣⎦. 故选:C.【点睛】本题考查了由已知条件求动点轨迹的问题,考查了求两圆交点坐标的运算,借助于平面几何知识求向量的数量积的问题,考查了综合运算能力,属于中档题. 7．D【分析】设P 的坐标为(),x y ，由2PA PB =可得P 的轨迹为()2224x y -+=，又因为点P在圆C 上，所以两圆有公共点，从而求解即可.【详解】解：设P 的坐标为(),x y ，因为2PA PB =，()2,0A -，()10B ,，=()2224x y -+=，又因为点P 在圆()()()22:140C x y m m ++-=>上， 所以圆()2224x y -+=与圆C 有公共点，22≤且0m >， 解得949m ≤≤， 故选：D ． 8．A【分析】利用对称圆，把问题转化为两圆的位置关系问题进行处理.【详解】根据题意，圆1C 的圆心坐标为（0，1），半径为r ，其关于直线y ＝x 的对称圆3C 的方程为()2221x y r -+=，根据题意，圆3C 与圆2C 有交点，既可以是外切，也可以是相交，也可以是内切．又圆()()222:211C x y -+-=，所以圆3C 与圆2C 的圆心距为23||C C =以只需11r r -+，解得1r ⎤∈⎦．故B ，C ，D 错误.故选：A. 9．A【分析】根据题意圆1O 、2O 相离，则1212O O r r >+，分别求圆心和半径代入计算． 【详解】圆1O ：2216x y +=的圆心()10,0O ，半径14r =，圆2O ：22268240x y mx my m +--+=的圆心()23,4O m m ，半径1r m =根据题意可得，圆1O 、2O 相离，则1212O O r r >+，即54m m >+ ∴,11,m故选：A ． 10．C【分析】由圆与圆的对称性可得a ，再利用几何关系，求点P 的轨迹方程.【详解】由圆22210x y ax y +-++=与圆221x y +=关于直线1y x =-对称，可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线1y x =-上，可得2a =，即点C 的坐标为(2,2)-，所以圆P 的圆心的轨迹方程为222(2)(2)x y x ++-=，整理得24480y x y +-+=. 故选：C. 11．D【分析】先将两个圆的方程化为圆的标准方程，写出两个圆的圆心坐标和半径，然后计算两个圆的圆心之间的距离，圆心距等于两个圆的半径差的绝对值、和，得到关于a 的方程，即可解得a 的值.【详解】设圆1C ､圆2C 的半径分别为1r ､2r .圆1C 的方程可化为22(3)(2)1x y -++=，圆2C 的方程可化为22(7)(1)50x y a -+-=-. 由两圆相切得，1212C C r r =+或1212C C r r =-，∵125C C =，∴215r +=或22154r r -=⇒=或26=r 或24r =-(舍去). 因此，5016a -= 解得a =34 或5036a -= 解得14a = 故选:D.【点睛】本题考查了利用两个圆相切求解参数值的问题，属于中档题目，解题时需要准确将圆的一般方程化为圆的标准方程，利用圆心距与半径的关系建立关于参数的方程. 12．D【分析】根据动圆与圆C 相内切、相外切分类讨论进行求解即可.【详解】设动圆圆心为O ，圆C ：()()225316x y +++=的圆心坐标为：(5,3)C --，半径为4.动圆与圆C 相内切时，413OC =-=，所以动圆圆心的轨迹方程()()22539x y +++=； 动圆与圆C 相外切时，415OC =+=，所以动圆圆心的轨迹方程()()225325x y +++=. 故选：D【点睛】本题考查了圆与圆的相切关系，考查了圆的定义，考查了圆的标准方程，属于基础题. 13．A【分析】判断圆1C 与2C 的位置并求出直线AB 方程，再求圆心C 到直线AB 距离即可计算作答.【详解】圆221:(2)(1)5C x y -++=的圆心1(2,1)C -，半径1r =222:(1)5C x y +-=的圆心2(0,1)C ，半径2r =，12||C C =121212||||||r r C C r r -<<+，即圆1C 与2C 相交，直线AB 方程为：10x y --=，圆()()22:331C x y ++-=的圆心(3,3)C -，半径1r =，点C 到直线AB 距离的距离2d ==，所以圆C 上的动点P 到直线AB 1. 故选：A 14．A【分析】求得12,C C PQ ，由此求得四边形12PC QC 的面积. 【详解】圆1C 的圆心为()1,0-，半径11r =； 圆2C 的圆心为()0,3，所以12C C =由2220x y x ++=、2260x y y +-=两式相减并化简得30x y +=， 即直线PQ 的方程为30x y +=，()1,0-到直线PQ，所以PQ ==，所以四边形12PC QC 的面积为1211322C C PQ ⨯⨯==. 故选：A15．A【分析】先求得公共弦所在直线方程，代入224x y +=，运算即得解【详解】由题意，圆221:4C x y +=的圆心11(0,0),2C r =；圆()222222:2600()6C x y ay a x y a a ++-=>⇔++=+，圆心22(0,),C a r -设圆心距为12C C d ，故12C C d a =由于两圆相交，故122112C C r r d r r -<<+2a <，解得12a >两圆方程作差得公共弦所在直线方程为1y a =，代入224x y +=，解得x == 解得1a =（负根舍去），满足12a > 故选：A 16．D【分析】计算两圆的圆心和半径，可得两圆相离，有四条公切线，两圆心坐标关于原点O 对称，则有两条切线过原点O ，另两条切线与直线MN 平行且相距为1，数形结合可计算四条切线方程，结合选项，即得解【详解】由题意，圆()()22:211M x y -+-=的圆心坐标为()2,1M ，半径为11r =圆()()22:211N x y +++=的圆心坐标为()2,1N --，半径为21r =如图所示，两圆相离，有四条公切线.两圆心坐标关于原点O 对称，则有两条切线过原点O ， 设切线:l y kx =22111k k -=+，解得0k =或43k =， 另两条切线与直线MN 平行且相距为1，又由1:2MN l y x =，设切线1:2l y x b =+1114b=+，解得5b = 结合选项，可得D 不正确. 故选：D 17．C【分析】设直线l 交x 轴于点M ，推导出1C 为2MC 的中点，A 为BM 的中点，利用勾股定理可求得AB .【详解】如下图所示，设直线l 交x 轴于点M ，由于直线l 与圆()221:11C x y ++=，圆()222:14C x y -+=都相切，切点分别为A 、B ， 则1AC l ⊥，2BC l ⊥，12//AC BC ∴，2122BC AC ==，1C ∴为2MC 的中点，A ∴为BM 的中点，1122MC C C ∴==，由勾股定理可得22113AB MA MC AC ==-故选：C.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于推导出A 为M B 的中点，并利用勾股定理进行计算，此外，在直线与圆相切的问题时，要注意利用圆心与切点的连线与切线垂直这一几何性质. 18．A【分析】根据给定条件，求出两圆圆心距，再判断两圆位置关系即可作答. 【详解】圆1C ：22(1)(3)4x y ++-=的圆心1(1,3)C -，半径12r =， 圆2C ：22(2)(1)1x y -++=的圆心2(2,1)C -，半径21r =，2212||(12)[3(1)]5C C =--+--，显然1212||C C r r >+，即圆1C 与圆2C 外离，所以两圆的公切线的条数是4. 故选：A19．(1)11m =- (2)2m =【分析】（1）两圆有三条公切线，说明两圆外切，根据两圆外切可以求出参数的值 （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，则OM ON ⊥等价于12120x x y y +=，直线与圆联立方程，根据韦达定理，得到关于m 的等式，即可求解m 的值 (1)由2222240(1)(2)5x y x y m x y m +--+=⇒-+-=-，知圆C 的圆心(1,2)C由圆D ：22(2)(2)1x y +++=，有圆心()2,2D --，半径为1，依题意有圆C 与圆D 相外切，故||1511CD m ==⇒=-； (2)设()11,M x y ，()22,N x y ，有112x y =-，222x y =-， 由OM ON ⊥，有()()121212120220x x y y y y y y +=⇒--+=， 整理得12122y y y y +=+………①由2222402602x y x y m y y m x y⎧+--+=⇒-+=⎨=-⎩，3680m ∆=->得：92m <，易知1y ，2y 是方程的根，故有123y y +=，122m y y =代入①，得3222mm =+⇒=，满足要求，故2m =20．（1）两圆内切，10x y ++=；（2）直线l 的方程为0x y +=【分析】（1）由1m =-，分别得到圆1C 和圆2C 的圆心，半径，然后利用圆圆的位置关系判断，再由两圆方程相减得到公切线；（2）先得到两圆公共弦所在直线l 的方程，再利用弦长公式求解. 【详解】（1）当1m =-时，圆1C 的圆心()12,1C ，半径1r =圆2C 的圆心()21,0C ，半径2r圆心距1212C C r r ==-，所以两圆内切； 因为两圆内切，所以公切线只有一条，两圆的公切线方程可由两圆方程相减得到：10x y ++=； （2）两圆公共弦所在直线l 的方程为：2230x y m +++=，圆2C 的圆心()21,0C 到直线l 2=， 于是52m +=，3m =-或7(-舍)， 所以直线l 的方程为0x y +=；因为圆2C 半径22r =，弦心距d ==21．（1）12m =；（2）1n =-或7n =-．【分析】（1）由公切线条数知两圆外切，从而可得m 值；（2）求出圆2C 圆心坐标和半径，求得圆心到直线的距离，用勾股定理求得圆心到直线的距离从而得参数值．【详解】解：（1）圆221:(1)1C x y -+=，圆心1(1,0)C ，半径11r =；圆222:(4)16C x y m -+=-，圆心2(4,0)C ，半径2r因为圆1C 与圆2C 有3条公切线，所以圆1C 与圆2C 相外切，所以1212C C r r =+，即31=12m =．（2）由（1）可知，圆222:(4)4C x y -+=，圆心2(4,0)C ，半径22r =．因为直线0x n +=与圆2C 相交，弦长是2，所以圆心2C 到直线0x n ++=的距离d ===，解得1n =-或7n =-． 【点睛】结论点睛：本题实质考查圆与圆的位置关系，圆与圆的位置关系与公切线条数： 两圆圆心距离为d ，半径分别为,r R ，则相离d R r ⇔>+，公切线有4条；外切d R r ⇔=+，公切线有3条；相交R r d R r ⇔-<<+，公切线有2条；内切d R r ⇔=-，公切线有1条；内含d R r ⇔<-，无公切线． 22．C【详解】由题意，得两圆的标准方程分别为22(2)(1)4x y -++=和22(2)(2)9x y ++-=，则两圆的圆心距523d =+，即两圆外切，所以两圆有3条公切线；故选C ．【点睛】本题考查圆与圆的位置关系和两圆公切线的判定；在处理两圆的公切线条数时，要把问题转化为两圆位置关系的判定：当两圆相离时，两圆有四条公切线；当两圆外切时，两圆有三条公切线；当两圆相交时，两圆有两条公切线；当两圆内切时，两圆有一条公切线；当两圆内含时，两圆没有公切线. 23．C【分析】两圆外切时，有三条公切线．【详解】圆1C 标准方程为22(2)1x y -+=， ∵两圆有三条公切线，∴两圆外切，116a =． 故选C ．【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，考查直线与圆的位置关系．两圆的公切线条数：两圆外离时，有4条公切线，两圆外切时，有3条公切线，两圆相交时，有2条公切线，两圆内切时，有1条公切线，两圆内含时，无无公切线． 24．(1)()()221716x y -+-=(2)()()221725x y -+-=或()()221727x y -+-=．【分析】（1）根据圆与圆的位置关系，求出圆2O 的半径即可写出圆2O 的方程； （2）由两圆的圆心距确定圆心到公共弦的的距离公式，从而求出圆2O 的半径即可求解. （1）圆1O 的方程为()()22231x y ++-=， 则圆心坐标为()2,3-，半径为1． 圆2O 的圆心()21,7O ，5=． 由圆2O 与圆1O 外切， 则所求圆2O 的半径为4，所以圆2O 的方程()()221716x y -+-=． （2）圆2O 与圆1O 交于A 、B 两点，且AB =所以圆1O 到AB 110=.5=，当圆2O 到AB 的距离为14951010-=时，2O 5=， 所以圆2O 的方程为()()221725x y -+-=．当圆2O 到AB 的距离为15151010+=时，圆2O = 所以圆2O 的方程为()()221727x y -+-=．综上所述，圆2O 的方程为()()221725x y -+-=或()()221727x y -+-=． 25．(1)()()224316x y -+-=(2)【分析】(1)利用两点求出直线方程l ，利用圆心在l 上又在3y =求出圆心坐标，进而求出圆的半径求出圆1C 的方程；(2)利用两圆的方程相减得到公共弦所在直线方程，求出圆心1C 到公共弦的距离，利用勾股定理求出两圆的公共弦长． （1）经过点(21)，与点(23)--，的直线l 的方程为123122y x --=----，即1y x =-， 因为圆1C 与y 轴相切于点(03)，，所以圆心在直线3y =上，联立31y y x =⎧⎨=-⎩解得43x y =⎧⎨=⎩可得圆心坐标为(43)，， 又因为圆1C 与y 轴相切于点(03)，，故圆1C 的半径为4， 故圆1C 的方程为()()224316x y -+-=． （2）圆1C 的方程为()()224316x y -+-=，即228690x y x y +--+=，圆222:6350C x y x y +--+=，两式作差可得两圆公共弦所在的直线方程为2340x y +-=，圆1C 的圆心(43)，到直线2340x y +-=的距离d ==所以两圆的公共弦长为= 26．A【分析】①将点()1,2A 代入圆可判断；②将圆化为标准方程，得出圆心，利用点到直线距离公式可得；③求出两圆圆心和半径，判断位置关系可得；④两圆方程相减即可求出. 【详解】①点()1,2A 代入圆可得2212214210++⨯-⨯+=，所以点A 在圆上，故①错误； ②由2228130+--+=x y x y 可得()()22144x y -+-=，则圆心为()1,4，由点到直线的距离公式可得圆心到线4330x y -+=1=，故②错误；③圆1C 化为()2211x y ++=，圆心为()11,0C -，半径11r =，圆2C 化为()()222416x y -+-=，圆心为()22,4C ，半径24r =，则圆心距12125C C r r ==+，故两圆外切，公切线有3条，故③正确；④两圆方程相减可得260x y -+=，故公共弦所在方程为260x y -+=，故④错误，综上，正确的有1个. 故选：A. 27．D【解析】由题意可知，圆2C 内切于圆1C ，由题意可得出2241a b +=，然后将代数式2211a b +与224a b +相乘，展开后利用基本不等式可求得2211a b +的最小值. 【详解】圆()221:24C x a y ++=的圆心为()12,0C a -，半径为12r =，圆()22:1C x y b +-=的圆心为()20,C b ，半径为21r =，由于两圆有且仅有1条公切线，则圆2C 内切于圆1C ，所以12121C C r r =-=，可得2241a b +=，()2222222222111144559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=∴++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当222b a =时，等号成立， 因此，2211a b +的最小值为9. 故选：D.【点睛】结论点睛：圆与圆的位置关系：设圆1C 与圆2C 的半径长分别为1r 和2r . （1）若1212C C r r <-，则圆1C 与圆2C 内含； （2）若1212C C r r =-，则圆1C 与圆2C 内切； （3）若121212r r C C r r -<<+，则圆1C 与圆2C 相交； （4）若1212C C r r =+，则圆1C 与圆2C 外切； （5）若1212C C r r >+，则圆1C 与圆2C 外离.【分析】根据两圆的位置关系判断.【详解】解：圆1C 的标准方程：22(1)(3)36x y ++-=，圆心()11,3C -，半径16r =， 圆2C 的标准方程：22(2)(1)1x y -++=，圆心()22,1C -，21r =，因为圆心距12125C C r r ===-，所以两圆内切，所以与两圆都相切的直线有1条. 故选：A 29．D【分析】求出P 的轨迹方程，结合点P 为两圆交点且2CM，列出不等式，求出t 的取值范围.【详解】由题意得P 在以AB 为直径的圆222:M x y t +=上（去掉A ，B 两点）．又因为点P 在圆(()22:11C x y +-=上，所以圆C 与圆M 有交点，因为2CM ，所以121t t -≤≤+，所以13t ≤≤．故选：D ． 30．D【分析】设动圆圆心为(),x y ，两半径相加，内切两半径相减，即可求解【详解】设动圆圆心为(),x y 41=+，∴()()225725x y -++=；41=-，∴()()22579x y -++=．31．BD【分析】对A ，圆心到x 轴的距离等于半径判断即可；对B ，根据圆心间的距离与半径之和的关系判断即可；对C ，根据两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程求解即可；对D ，根据直线210kx y k --+=过定点()2,1以及()2,1在圆C 1内判断即可.【详解】因为221:(1)(3)11C x y -+-=，222:(1)()4C x y m ++-=，对A ，故若圆2C 与x 轴相切，则有||2m =，故A 错误；对B ，当3m =-时，1262C C =>>B 正确； 对C ，由两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程24(62)20x m y m +-+-=，故C 错误；对D ，直线210kx y k --+=过定点()2,1，而22(21)(13)511-+-=<，故点()2,1在圆221:(1)(3)11C x y -+-=内部，所以直线210kx y k --+=与圆1C 始终有两个交点，故D 正确.故选：BD 32．ABD【分析】两圆方程作差后可得公共弦方程，从而可判断A 的正误，求出圆1Q 的圆心坐标后求出垂直平分线的方程后可判断B 的正误，利用垂径定理计算弦长后可判断C 的正误，求出1Q 到直线的距离后可求动点到直线距离的最大值，从而可判断D 的正误.【详解】对于A ，因为圆221:20+-=Q x y x ，222:240++-=Q x y x y ，两式作差可得公共弦AB 所在直线的方程为440x y -=，即0x y -=，故A 正确；对于B ，圆221:20+-=Q x y x 的圆心为（1，0），1AB k =，则线段AB 中垂线的斜率为1-，即线段AB 中垂线方程为()011y x -=-⨯-，整理可得10x y +-=，故B 正确；对于C ，圆心()11,0Q 到0x y -=的距离为2d ==又圆1Q 的半径1r =，所以AB =C 不正确；对于D ，P 为圆1Q 上一动点，圆心()11,0Q 到0x y -=的距离为d =又圆1Q 的半径1r =，所以P 到直线AB 1，故D 正确.故选：ABD. 33．ACD【分析】对于A ，考查圆心k C 的横纵坐标关系即可判断；对于B ，把3x =，0y =代入圆k C 方程，由关于k 的方程根的情况作出判断；对于C ，判断圆心k C 到直线0x y -±=距离与半径的关系即可； 对于D ，圆k C 与以原点为圆心的单位圆相交即可判断作答．【详解】解：根据题意，圆22:()()4(R)k C x k y k k -+-=∈，其圆心为(,)k k ，半径为2， 依次分析选项：对于A ，圆心为(,)k k ，其圆心在直线y x =上，A 正确； 对于B ，圆22:()()4k C x k y k -+-=，将(3,0)代入圆的方程可得22(3)(0)4k k -+-=， 化简得22650k k -+=，364040∆=-=-<，方程无解， 所以不存在圆k C 经过点()3,0，B 错误；对于C ，存在直线y x =±，即0x y -+=或0x y --=，圆心(,)k k 到直线0x y -+=或0x y --=的距离2d =， 这两条直线始终与圆k C 相切，C 正确，对于D ，若圆k C 上总存在两点到原点的距离为1， 问题转化为圆221x y +=与圆k C 有两个交点，，则有1|3k <<，解可得：k <k <，D 正确．故选：ACD ． 34．ACD【分析】判断出直线l 过定点()1,1D ，结合勾股定理、圆的对称性、点到直线的距离公式、四点共圆等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】直线():11l y k x =-+过点()1,1D ，圆()()22:2216C x y -++=，即224480x y x y +-+-=①， 圆心为()2,2C -，半径为4r =，由于()()22121216-++<，所以D 在圆C 内.CD =所以min AB =AB CD ⊥，所以A 选项正确.若圆C 关于直线l 对称，则直线l 过,C D 两点，斜率为21321--=--，所以B 选项错误. 设22ACB CAB θ∠=∠=，则π2π,4θθθθ++==，此时三角形ABC 是等腰直角三角形，C 到直线AB 的距离为42==解得1k =或17k =-，所以C 选项正确.对于D 选项，若,,,A B C O 四点共圆，设此圆为圆E ，圆E 的圆心为(),E a b ，,O C 的中点为()1,1-，1OC k =-，所以OC 的垂直平分线为:11,2l y x y x +=-=-，则2b a =-②， 圆E 的方程为()()2222x a y b a b -+-=+， 整理得22220x y ax by +--=③， 直线AB 是圆C 和圆E 的交线，由①-③并整理得()():422480AB a x b y --++=，将()1,1D 代入上式得()()422480a b --++=，40a b +-=④， 由②④解得3,1a b ==， 所以直线AB 即直线l 的斜率为42212463a b --==-+，D 选项正确. 故选：ACD【点睛】求解直线和圆位置关系有关题目，首先要注意的是圆和直线的位置，是相交、相切还是相离.可通过点到直线的距离来判断，也可以通过直线所过定点来进行判断. 35．ACD【分析】根据给定条件，求出点A ，B 的坐标，再结合圆的性质逐项分析、计算判断作答.【详解】依题意，由22225(4)13x y x y ⎧+=⎨-+=⎩解得12x y =⎧⎨=±⎩，则(1,2),(1,2)A B -，圆1O 的圆心1(0,0)O ，半径1r =2O 的圆心2(4,0)O ，半径2r||4AB =，A 正确；。
圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系+课件-2025届高三数学一轮基础专项复习
联立直线与圆的方程，消元后得到关于 （或 ）的一元二次方程，利用 判断.
点与圆的位置关系法
若直线过定点且该定点在圆内，则可判断直线与圆相交.
注意 在直线与圆的位置关系的判断方法中,若直线和圆的方程已知或圆心到直线的距离易表达,则用几何法;若直线或圆的方程中含有参数,且圆心到直线的距离不易表达,则用代数法.
5.[人A选必一P86例4变式,2022全国乙卷（理）]过四点，，， 中的三点的一个圆的方程为_ ____________________________________________________________________________________________.
或或或
【解析】 若圆过,,三点,设过这三点的圆的一般方程为 ,分别将三点的坐标代入,可得解得易得 ,所以过这三点的圆的方程为,即 .若圆过,,三点,通解 设过这三点的圆的一般方程为 ,分别将三点的坐标代入,可得解得易得 ,所以过这三点的圆的方程为,即 .
第八章平面解析几何
2025年高考数学专项复习
第三节 圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系
目录
圆的方程
壹
直线与圆的位置关系
贰
圆与圆的位置关系
叁
与圆有关的最值问题
肆
圆的方程
壹
教材知识萃取
1.圆的定义与方程
教材知识萃取
规律总结（1）若没有给出 ，则圆的半径为 .（2）在圆的一般方程中：当 时，方程 表示一个点 ;当 时，方程 没有意义，不表示任何图形.（3）以 ， 为直径端点的圆的方程为 .
注意 在求过一定点的圆的切线方程时，应先判断定点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外（此时一定要注意斜率不存在的情况），则切线有两条；若点在圆内，则切线不存在．
圆的方程(高三数学第一轮复习)
C.(x+5)2+(y-4)2=25 D.(x-5)2+(y+4)2=16
能力提高训练：
1、已知过点A(1,4),B(3-2)且圆心到直线AB的 距离为 10 , 求这个圆的方程. 2、一圆与y轴相切，圆心在直线x-3y=0上,且 直线y=x截圆所得弦长为2,求此圆的方程.
（A）5 2 （B）10 2 （C）15 2 （D）20 2
圆的方程(高三数学第一轮复习)
能力提高训练：
5、已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,求: (1) y 的最大值和最小值;
x
(2)y-x的最小值; (3)x2+y2的最大值与最小值.
6.若圆（x-3）2+（y+5）2=r2上有且只有两个点到直线4x-3y-
例3. 已知圆O1:x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y3=0相交于P, Q两点, 若yOP⊥OQ,求m的值.
P
O1
Q
O
x
解: 由方程组
x2 y2 x 6 y m 0,
x
2
y
3
0.
消x,得
5 y2 20 y 12 m 0.
设直线与圆的交点坐标为P(x1, y1) , Q(x2 , y2),
基础练习训练：
1、写出满足下列条件的圆的方程: (1)圆心在原点,半径为3 (2)经过点B(3,1),圆心在点C(-2,-4) (3)以A(2,5),B(0,-1)直径 (4)过三点A(1,12),(7,10),(-9,2)
基础练习训练：
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圆的方程与专题复习（直线与圆、圆与圆的位置关系、轨迹问题）
知识梳理
浙江省诸暨市学勉中学（311811）郭天平
圆的标准方程、一般方程与参数方程的推导与运用是这节内容的重点；涉及直线与圆、
圆与圆的位置关系的讨论及有关性质的研究是这节的难点。
一、有关圆的基础知识要点归纳
1． 圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆.定点即为圆心，
定长为半径.
2． 圆的标准方程
① 圆的标准方程：由圆的定义及求轨迹的方法，得0222rrbyax，
其中圆心坐标为ba,，半径为r；当0,0ba时，即圆心在原点时圆的标准方程为
222
ryx
；
② 圆的标准方程的特点：是能够直接由方程看出圆心与半径，即突出了它的几何意
义。
3． 圆的一般方程
①圆的一般方程：展开圆的标准方程，整理得，
022FEyDxyx0422FED
；
② 圆的一般方程的特点：（1）22,yx项系数相等且不为0；（2）没有xy这样的二次
项
③ 二元二次方程022FEyDxCyBxyAx表示圆的必要条件是
0CA且0B
；
二元二次方程022FEyDxCyBxyAx表示圆的充要条件是
0CA
且0B且0422AFED
4． 圆的参数方程
圆的参数方程是由中间变量将变量yx,联系起来的一个方程.
① 圆心在原点，半径为r的圆的参数方程是：(sincosryrx为参数）；
② 圆心在ba,，半径为r的圆的参数方程是：(sincosrbyrax为参数）；
5． 确定圆方程的条件
圆的标准方程、圆的一般方程及参数方程都有三个参数，因此要确定圆方程需要三个
独立的条件，而确定圆的方程我们常用待定系数法，根据题目不同的已知条件，我们可适
当地选择不同的圆方程形式，使问题简单化。如已知条件中涉及圆心与半径有关等条件，
一般设圆的标准方程，即列出rba,,的方程组，求出rba,,的值，也可根据圆的特点直接
求出圆心ba,，半径r。当圆心位置不能确定时，往往选择圆的一般方程形式，由已知
条件列出FED,,的三个方程，显然前者解的是三元二次方程组，后者解的是三元一次方
程组，在运算上显然设一般式比标准式要简单。
6． 点与圆的位置关系
设圆222:rbyaxC，点00,yxM到圆心的距离为d，则有：
(1)rd点M在圆外； (2)rd 点M在圆上； (3)rd 点M在圆内．
7． 直线与圆的位置关系
设圆222:rbyaxC，直线l的方程为0CByAx（BA,不全为0），
圆心ba,，判别式为△，则有：
(1) 几何特征（数形结合）：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断
① rd 直线与圆相交；
② rd 直线与圆相切；
③ rd直线与圆相离；
(2) 代数特征：由直线方程与圆方程联立方程组，研究其解的个数来判断位置关系
① △＞0有两组不同的实数解 直线与圆相交；
② △=0有两组相同的实数解 直线与圆相切；
③ △＜0无实数解 直线与圆相离.
(3) 直线与圆相交的弦长问题
①直线与圆相切时，要考虑过切点与切线垂直的半径；
②求弦长时，要用半径、弦心距、半弦长构成的直角三角形，即设弦长为l，弦心距
为d，半径为r，则有2222rdl.
③弦长公式：设直线交圆于2211,,,yxByxA，则BAABxxkAB21
或BAyykAB211.
(4) 圆的切线方程：
①已知圆2221:ryxO；2222:rbyaxO；
0:223FEyDxyxO
，则以00,yxM为切点的圆1O切线方程为：
200ryyxx；圆2O切线方程为：2
00
rbybyaxax
；圆3O切线方
程为：0220000FyyExxDyyxx.
②若00,yxM在圆1O外，到圆1O有两条切线，则切点弦方程：200ryyxx.
9．圆与圆的位置关系
设圆2221:rbyaxC，2222:RnymxC且设两圆圆心距
为d.
(1) 几何特征（数形结合）：由圆心距与半径r、R的大小来判断
① rRd两圆外切；
② rRd 两圆内切且两圆的连心线过切点；
③ rRd两圆外离；
④ rRd 两圆内含；
⑤ rRdrR两圆相交．
(2) 代数特征：由两圆方程联立方程组，研究其解的个数来判断位置关系
① △＞0有两组不同的实数解 两圆相交；
② △=0有两组相同的实数解 两圆相切；
③ △＜0无实数解 两圆相离.
10．圆系方程
① 设两相交圆0:111221FyExDyxC
0:222221FyExDyxC
则111223:FyExDyxC0)(11122FyExDyx1表示过
两圆交点的圆(不包括2C)；
当1时0212121FFyEExDD表示两圆的公共弦所在的直线方
程.
②022cbyaxFEyDxyx表示过圆
022FEyDxyx
与直线0cbyax交点的圆.
③ 222kbyaxk(为变数）表示以ba,为圆心的同心圆系。
二、有关圆问题的注意事项
1．在用待定系数法求圆方程时，一定要注意分析已知条件中圆的特点及规律，并能
运用数形结合的思想，即利用平面知识充分挖掘其几何特征，联立待定系数的方程组，使
问题简单化。
2．在讨论直线与圆，圆与圆的位置问题时，一般不用0,0,0，而用圆心
到直线距离d与半径r，和圆心距与半径的大小关系，分别确定相交，相切，相离的位置
关系。
3．求圆的切线方程一般有三种方法：设切点公式法；设切线斜率用判别式法；设切
线斜率用圆心到切线距离等于圆的半径法