镜像法-高级中学物理竞赛讲义
第5讲：镜像法
2 2 s=⎡ ⎣ r + D − 2rD cos θ ⎤ ⎦
6.641 电磁场、电磁力和电磁运动 Markus Zahn 教授
第5讲 3/9
q ′2 ( R 2 + D 2 ) = q 2 ( b 2 + R 2 )
2 / RD / Rb + q′ 2 / cos / cos / θ = +q 2 / θ⇒
作用于球上的力
fX =
qq′ 4πε 0 ( D − b )
2
=
−q 2 R D ⎛ R2 ⎞ 4πε 0 ⎜ D − ⎟ D⎠ ⎝
q 4πε 0 D
2
=
4πε 0 ( D 2 − R 2 )
−q 2 RD
2
2. 绝缘球 [将另一个镜像电荷+q’=+qR/D 放到中心处] （零电荷）
Φ (r = R) =
0 0
6.641 电磁场、电磁力和电磁运动 Markus Zahn 教授
第5讲 4/9
Ⅲ. 演示4.7.1——架空导体在接地平面上感应的电荷
图4.7.2 架空导体在接地平面上的感应电荷 用探针测量。图中所示的分布是由（4.7.7） 预言的。
Hermann A.Haus和James R.Melcher赠送，经过允许。
1 2 1
2 2 2 ， s' = ⎡ ⎣b + r − 2rb cos θ ⎤ ⎦ 2 2 q − q′ ⎛ q ⎞ ⎛ q′ ⎞ Φ (r = R) = 0 ⇒ = ⇒⎜ ⎟ =⎜ ⎟ s s′ ⎝ s ⎠ ⎝ s′ ⎠ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 q s′ = q′ s ⇒ q′ ⎡ ⎣ R + D − 2 RD cos θ ⎤ ⎦=q ⎡ ⎣b + R − 2 Rb cos θ ⎤ ⎦
高中物理竞赛讲义 几何光学
专题十五 几何光学【扩展知识】一、光的独立传播规律当光线从不同方向通过透明媒质中一点时互不影响，不改变频率仍按原方向传播的规律。
二、折射率1．相对折射率：光从1媒质进入2媒质。
2．绝对折射率：任何媒质相对于真空的折射率。
三、发生全反射的临界角：n n n c 1arcsin arcsin12== 四、成像公式若u 为物距，v 为像距，而f 为焦距，则有： 放大率：物长像长==u vm （线放大率） 2⎪⎭⎫ ⎝⎛=u v k （面放大率） 说明：（1）上述公式适用范围：面镜，薄透镜。
（2）适用条件：近轴光线；镜的两侧光学媒质相同。
（3）符号规定：“实正、虚负”的原则。
五、球面镜的焦距可以证明，球面镜的焦距f 等于球面半径R 的一半。
且凹透镜的焦距为正值，凸透镜的焦距为负值。
六、光具组成像七、透镜成像的作图法1．利用三条特殊光线2．利用副光轴【典型例题】例题1：（第一届全国物理竞赛题）如图所示，凸透镜L 的主轴与x 轴重合，光心O 就是坐标原点，凸透镜的焦距为10cm 。
有一平面镜M 放在y =-2cm 、x >0的位置，眼睛从平面镜反射的光中看到发光点A的像位于A2处，A2的坐标见图。
（1）求出此发光点A的位置。
（2）写出用作图法确定A的位置的步骤并作图。
例题2：（第六届全国物理竞赛题）在焦距为f的会聚薄透镜L的主光轴上放置一发光圆锥面，如图所示。
圆锥的中心轴线与主光轴重合，锥的顶点位于焦点F，锥高等于2f，锥的母线与其中心轴线的夹角等于α，求圆锥面的像。
例题3：（第九届全国物理竞赛决赛题）在很高的圆柱形容器的上口平放一个焦距为90mm 凸透镜，在透镜下方中轴线上距透镜100mm处平放一个圆面形光源，如图所示。
（1）光源产生一个半径为45mm的实像，求此实像的位置。
（2）若往容器中注水，水面高于光源10mm，求此时像的位置。
（3）继续注水，注满容器但又恰好不碰上透镜，求此时像的大小。
例题4：（第十一届全国物理竞赛题）照相机镜头L前2.28m处的物体被清晰地成像在镜头后面12.0cm处的照相胶片P上，两面平行的玻璃平板插入镜头与胶片之间，与光轴垂直，位置如图所示。
高中物理竞赛讲义(完整版)
高中物理竞赛讲义目录高中物理竞赛讲义 (1)第0部分绪言 (5)一、高中物理奥赛概况.....................................错误!未定义书签。
二、知识体系....................................................错误!未定义书签。
第一部分力＆物体的平衡 (5)第一讲力的处理 (13)第二讲物体的平衡 (15)第三讲习题课 (16)第四讲摩擦角及其它 (21)第二部分牛顿运动定律 (24)第一讲牛顿三定律 (24)第二讲牛顿定律的应用 (25)第二讲配套例题选讲 (35)第三部分运动学 (35)第一讲基本知识介绍 (35)第二讲运动的合成与分解、相对运动 (37)第四部分曲线运动万有引力 (40)第一讲基本知识介绍 (40)第二讲重要模型与专题 (42)第五部分动量和能量 (52)第一讲基本知识介绍 (52)第二讲重要模型与专题 (55)第三讲典型例题解析 (70)第六部分振动和波 (70)第一讲基本知识介绍 (70)第二讲重要模型与专题 (75)第三讲典型例题解析 (86)第七部分热学 (86)一、分子动理论 (87)二、热现象和基本热力学定律 (89)三、理想气体 (91)四、相变 (98)五、固体和液体 (102)第八部分静电场 (103)第一讲基本知识介绍 (104)第二讲重要模型与专题 (107)第九部分稳恒电流 (120)第一讲基本知识介绍 (120)第十部分磁场 (134)第一讲基本知识介绍 (134)第二讲典型例题解析 (138)第十一部分电磁感应 (146)第一讲、基本定律 (146)第二讲感生电动势 (150)第三讲自感、互感及其它 (154)第十二部分量子论 (157)第一节黑体辐射 (158)第二节光电效应 (161)第三节波粒二象性 (168)第四节测不准关系 (172)第0部分绪言全国中学生物理竞赛内容提要--理论基础(2013年开始实行)说明：．本次拟修改的部分用楷黑体字表示，新补充的内容将用“※”符号标出，作为复赛题和决赛题增补的内容；※※则表示原属预赛考查内容，在本次修改中建议改成复赛、决赛考查的内容。
3.2 镜象法
处电位为： 在空间中任意点P ( r ,θ ) 处电位为：
q q' ϕ= [ + ] 4πε R r ' 2 2 R = r + d − 2rd cos θ
r ' = r + d ' − 2rd 'cos θ
2 2
1
由边界条件可知： 由边界条件可知： ϕ 可知
即：镜像电荷电量与感应电荷电量相等。 镜像电荷电量与感应电荷电量相等。 导体表面上感应电荷对点电荷的作用力 v q2 r F =− e 2 z 16πε 0 h
9
2)线电荷对无限大接地平面导体边界的镜像 2)线电荷对无限大接地平面导体边界的镜像 对于线电荷对于接地导体面的镜像， 对于线电荷对于接地导体面的镜像，类似地可 得到等效问题： 得到等效问题：
q z −d z +d Ez = − 2 2 2 3/2 2 2 2 3/2 4πε0 x + y + (z − d) x + y + (z + d)
8
ϕP =
q 4πε
(
1 x + y + ( z − h)
2 2 2
−
1 x + y + ( z + h)
q
−q
θ=
π 3
q
−q
π θ= 3
q
−q
q
12
对于非垂直相交的两导体平 面构成的边界， 夹角为π/n， 面构成的边界，若夹角为 则有 1)n为整数时，镜像电荷数目为 为整数时， 为整数时
q
θ
x
2n-1个，它们与水平边界的夹角 个 分别为 π (2m ⋅ ± θ ), m = 1, 2,L , (n − 1) n 及(2π − θ ) 2)n不为整数时，镜像电荷将有无数个，镜像法就不再 不为整数时，镜像电荷将有无数个， 不为整数时 适用了； 适用了； 13 3)当角域夹角为钝角时，镜像法亦不适用。 当角域夹角为钝角时， 当角域夹角为钝角时 镜像法亦不适用。
高中物理竞赛难点专题之电像法(共49张PPT)
q
q1 R
R
E 4 0 ( r 2 er dr12 er1 dr22 er2 )
不接地导体球面上的正负感应电荷的绝对值等于镜像电荷 q 吗? 为什么？
镜像法小结
镜像法的理论基础是静电场唯一性定理； 镜像法的实质是用虚设的镜像电荷替代未知电荷的分布，使 计算场域为无限大均匀介质； 镜像法的关键是确定镜像电荷的个数，大小及位置； 应用镜像法解题时，注意：镜像电荷只能放在待求场域以外 的区域。叠加时，要注意场的适用区域。
dq
dq
Ox
L
解:
dq dx
2L x 3L x
dq dx
dF
dxdx 40 (x x)2
F
3L
dx
2L
L 0
2dx 40 (x
x)2
2 4 0
ln
4 3
例题4. 球形金属空腔内外半径 a < b，带电 Q，腔内点电荷q，距球 心 r < a。求球心 O 点电位。
镜像法
几个实例：
求解位于接地导体板附近的点电荷产生的电位
非均匀感应电荷 q
等效电荷
q′
非均匀感应电荷产生的 电位很难求解，可以用 等效电荷的电位替代
接地导体球附近有一个点电荷，如图。
等效电荷
q
非均匀感应电荷产生的
q′
电位很难求解，可以用
等效电荷的电位替代
非均匀感应电荷
1.平面导体的镜像
镜像法最简单的例子：接地无限 大导体平面上方一个点电荷，根 据唯一性定理，导体平面上半空 间的电为分布应满足：
[q2 (b2 R2 ) q'2 (d 2 R2 )]
镜像法
p v R
则区域2中任一点的电位为：
2
q q
4π 2 R
q q
2
2
在分界面(R = R′= R″)上，应满足电位的边界条件：
1
1
设想用镜像电荷 代替界面上极化 电荷的作用，并 使镜像电荷和点 电荷共同作用， 满足界面上的边
界条件。
当待求区域为介质1所在区域时，在边界之外设一镜像电荷 q′
介质1中任一点的电位为：
1
q q
4π1R 4π1R
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
当待求区域为介质2所在区域时，
* 此时要保证z=0平面边界条件不变，即应为零电位。
q q 4R 4R
故对z=0平面上任意点有R R R0 :
于是，
q 4
1 R
1 R
q 4
q q 0 4 R0
1
x2 y2 (z h)2
电位的法向导数
n
s
f2 s
一、二类边界条件的 线性组合，即
n
s2
f4 s
电磁场
一、静电场边值问题及其分类
第3章 静电场及其边值问题的解法
1. 边值问题的分类----根据场域边界条件的不同
狄利克雷问题：给定整个场域边界上的电位函数值 s f1s
（第一类）
聂曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值 （第二类）
U0
O
ax
第3章 静电场及其边值问题的解法
高中物理竞赛讲义-面镜成像-光的折射
面镜成像光的折射一、物和像的概念1、入射光线是发散的，由同一点发出，这个点叫“实物”2、入射光线的延长线汇聚到同一点，这个点叫“虚物”3、反射光线汇聚到同一点，这个点叫“实像”4、反射光线的反向延长线汇聚到同一点，这个点叫“虚像”真实光线交点为“实”，延长线交点为“虚”虚物实像虚物虚像二、平面镜成像1、平面镜不改变光的汇聚或发散程度2、实物成虚像，虚物成实像u+v=0其中，u为物距，v为像距。
思考其中的正负号是如何规定的？3、成等大正立的像线放大率（横向放大率）为：-1vmu==☆三、光学公式中的符号规则1、实正虚负规则实物，物距为正；实像，像距为正虚物，物距为负；虚像，像距为负例如：u+v=0，即物和像一实一虚2、笛卡尔坐标规则以主光轴为x轴，光心为坐标原点，建立坐标系，各物理量的正负号由坐标系决定。
*角度的规定：以主光轴出发，按小于90°的方向旋转，顺时针为正，逆时针为负。
例如：s+s’=0，s表示物的坐标，s’表示像的坐标。
即物和像在坐标原点的两侧，因此一正一负。
以上两种坐标规则选用一种，切勿混用！推荐使用笛卡尔坐标规则。
四、球面镜成像1、凹面镜和凸面镜2、半径R、球心C、顶点O、主光轴、焦点F、焦距f3、球面镜近轴光线焦距为f=R/2实物虚像实物实像例1、结合焦距的定义，证明球面镜近轴光线的焦距为f =R /24、近轴光线成像公式(1)实正虚负规则1112u v f R+== 凹面镜f 、R 为正，凸面镜f 、R 为负(2)笛卡尔坐标规则1112's s f R+== 5、线放大率（横向放大率）为'v s m u s ==- 例2、以凹面镜为例，推导近轴光线成像公式和线放大率公式注意：（1）以上公式的前提是近轴光线成像（2）以上公式对凹面镜和凸面镜均成立（3）当 r 趋近于无穷大时，公式退化为平面镜成像公式（4）牢记符号法则，推荐使用笛卡尔坐标法则例3、一个凹面镜所成的像，像高为物高的1/3，且已知物象间的距离为1m ，求凹面镜的曲率半径。
5.5 镜像法
20
两根线电荷 <-----------> 两个导体柱
* l
l
* l
l
o
P'
P
o'
a 2 O' P O ' P'
a 2 OP OP '
电磁场与电磁波
b d a
2
2
21
b d a
2
2
o
o'
已知：两根无限长平行圆柱,半径为a, 轴心距离为2d 求：两柱间单位长度上的电容 两根线电荷 <-----------> 两个导体柱 引入两 “线电荷”
电磁场与电磁波
2
若定解问题存在唯一的稳定解, 则称定解问题是
适定的。 换言之, 适定指的是解是存在的, 唯一的, 并且稳 定的。 解方程时可自由选择任何合理方法，甚至可以凭 经验去猜测出一个形式解。
而实际中解决工程问题时不能模棱两可，我们 需要得到适定的解。 静电场问题解法的多样性与适定性要求有矛盾 吗？？？
2
边界条件
切向：
E1t E 2t
2 1 1 fc n n
1 2
E1t E 2t J 1t / 1 J 2t / 2 1 2
恒定电场媒质边界 J 1n J 2 n 1 E1n 2 E 2 n
1 2 2 1 n n
M pl p* l d
a * OP d
2
电磁场与电磁波
19
问题扩展：电位
“长导体柱”+ “线电荷”
OP OP a
'
2
l
相应的问题等效为求解两个 “线电荷”周围的电场、电位？
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镜像法思路用假想的镜像电荷代替边界上的感应电荷。
保持求解区域中场方程和边界条件不变。
使用范围：界面几何形状较规范，电荷个数有限，且离散分布于有限区域。
使用范围界面几何形状较规范，电荷个数有限，且离散分布于有限区域。
步骤确定镜像电荷的大小和位置。
去掉界面，按原电荷和镜像电荷求解所求区域场。
求解边界上的感应电荷。
求解电场力。
平面镜像1点电荷对平面的镜像(a) 无限大接地导体平面上方有（b）用镜像电荷-q代替导体平面点电荷q上方的感应电荷图4.4.1 点电荷的平面镜像在无限大接地导体平面（YOZ平面）上方有一点电荷q，距离导体平面的高度为h。
用位于导体平面下方h处的镜像电荷-q代替导体平面上的感应电荷，边界条件维持不变，即YOZ平面为零电位面。
去掉导体平面，用原电荷和镜像电荷求解导体上方区域场，注意不能用原电荷和镜像电荷求解导体下方区域场。
电位：(4.4.2.1 )电场强度：(4.4.2.2)其中，感应电荷：=>(4.4.2.3)电场力： (4.4.2.4)图4.4.2 点电荷的平面镜像图4.4.3 单导线的平面镜像无限长单导线对平面的镜像与地面平行的极长的单导线，半径为a ，离地高度为h 。
用位于地面下方h 处的镜像单导线代替地面上的感应电荷，边界条件维持不变。
将地面取消而代之以镜像单导线（所带电荷的电荷密度为）电位： (4.4.2.5)对地电容：(4.4.2.6平面镜像2无限长均匀双线传输线对平面的镜像与地面平行的均匀双线传输线，半径为a，离地高度为h，导线间距离为d，导线一带正电荷+，导线二带负电荷-。
用位于地面下方h 处的镜像双导线代替地面上的感应电荷，边界条件维持不变。
将地面取消而代之以镜像双导线。
图4.4.4 无限长均匀传输线对地面的镜像求解电位： (4.4.2.8)(4.4.2.9)平行导线间单位长度电容：(4.4.2.10)其中小天线的镜像与地面的小天线，长度为l ，离地高度为h 。
用位于地面下方h 处的镜像小天线代替地面上的感应电荷，边界条件维持不变。
与自由空间的天线比较，当天线离平面很近时，若天线与平面平行，辐射功率为零，若天线与平面垂直，辐射功率增强。
若天线与平面倾斜放置，则辐射功率的变化与倾斜角度有关。
具体辐射功率的计算请参看天线辐射（超链），此处仅给出思路和结论。
点电荷对相交接地平面的镜像条件：两相交接地平面夹角为，n=1,2,3…镜像电荷：2n-1个。
若两相交接地平面夹角不满足上述条件，则镜像电荷为无穷多个。
图4.4.5 点电荷对相交接地地面的镜像点电荷对介质平面的镜像1区和2区为不同介质，求解时要分区域考虑。
求解区1的场：在区2置镜像电荷。
求解区2的场：在区1置镜像电荷。
图4.4.6 点电荷对介质平面的镜像求解和：z>0时， (4.4.2.11)z<0时， (4.4.2.12)根据边界条件、可以解得(4.4.2.13)(4.4.2.14)分区域考虑镜像电荷。
求单导线的对地电容求单导线的对地电容。
一根极长的单导线与地面平行。
导线半径为a，离地高度为h，求单位长度单导线地对地电容。
单位长度单导线的对地电容可表示为（式1）。
式中为单导线的电位，为地电位（＝0），为导线的线电荷密度。
现在需要求出，用镜像法求解。
例题图4.9单位长度单导线的对地电容可表示为（式1）。
式中为单导线的电位，为地电位（＝0），为导线的线电荷密度。
现在需要求出。
令（近似认为均匀分布于导线表面），利用镜像法，将地面取消而代之以镜像单导线（带）。
则原地面上方任意点P的电位为（式2）。
式中、分别代表镜像单导线及原单导线到P点的垂直距离。
由2式可知为。
把此式代入1式则得单导线对地电容为（式3）。
有了上式，就可以方便地写出平行双导线间的单位长度的电容为（式4）。
式中，D为平行双导线间的距离（相当于本题中的2h），a为导线半径。
若D>>a，就可以简化为式4的近似式。
球面镜像1点电荷对接地导体球的镜像题目：半径为a 的接地导体球，在与球心相据的一点电荷。
在导体球内，距离球心处的点处置一镜像电荷来代替导体球上的感应电荷，边界条件维持不变，即导体球面为零电位面。
去掉导体球，用原电荷和图4.4.7 点电荷对接地导体球的镜像镜像电荷求解导体球外区域场，注意不能用原电荷和镜像电荷求解导体球内区域场。
求解镜像电荷的大小和位置：将原导体球移去，及像电荷在原球面上任一点P处产生的电位应为零，即(4.4.3.1)我们在球面上取通过的直径的两端点，对于这两点的电位式为(4.4.3.2) (4.4.3.3)以上两方程解得 (4.4.3.4) (4.4.3.5)求解电位、电场强度、感应电荷：的表达式表示对于球面上任一点P，与是相似三角形，即，于是球外任意一点的电位为(4.4.3.6)采用球坐标，取原点为球心O点，z轴与轴重合，则球外任一点处有 (4.4.3.7)(4.4.3.8)这样可求得电场的分量为(4.4.3.9)(4.4.3.10)r=a时球面上的感应电荷密度为(4.4.3.11)（1）点电荷对不接地、净电荷为零的导体球的镜像。
（2）点电荷对不接地、净电荷不为零的导体球的镜像。
（3）接地球形空腔内电荷的镜像球面镜像2无穷镜像问题（a）（b）图4.4.8 无穷镜像问题半径为a 的金属球，带电荷，球心离地高度h。
为满足金属球为等位面，但电位不等于零及地面为零等位面的边界条件，我们需要用一系列的电荷去代替金属球和地面两个边界的影响。
若仅是孤立球体，则将电荷集中于球心来代替导体球的分部电荷，这样就满足了金属球面为等位面的边界条件。
但是有了地面影响，还应满足地面为零等位面的边界条件。
为满足这个条件，就要找出置于球心的镜像电荷，这就是，而且满足。
的出现虽然使地面的边界条件得到了满足，但球面的等位面条件却被破坏了。
我们需要再按照球面镜像的方法求出在球内的镜像电荷。
的出现，又出现了出现时所遇到的情况，我们又需要球它的地面镜像……这样就需要一系列的电荷去代替金属球和地面两个边界的影响。
求解镜像电荷的大小和位置：镜像电荷镜像离球心距离……………………式中求解电位、对地电容：球体的点电荷为(4.4.3.12) 金属球的电位应为所有电荷、、、…产生的，但和这对电荷、和这对电荷、…直至无穷的成对电荷都是维持金属球面为零电位的，唯独置于球心的电荷使金属球具有电位，其值为 (4.4.3.13)所以金属球的对地电容为(4.4.3.14)式中第一项为孤立金属球的电容圆柱面镜像1概念几何轴：物体的轴线。
电轴：电荷分布的轴线。
问题已知边界条件、原电荷、几何轴，求镜像电荷，即镜像电轴位置及电荷量。
已知给定电轴，求等位面、几何轴。
线电荷对导体圆柱的镜像半径为a的接地导体圆柱外有一条和它平行的线电荷，密度为，与圆柱轴相距为。
用位于导体圆柱内，距离圆柱轴线处的镜像线电荷代替导体圆柱上的感应电荷，边界条件维持不变，即导体圆柱面为零电位面。
去掉导体圆柱，用原图4.4.9 圆柱导体与线电荷的镜像线电荷和镜像线电荷求解导体圆柱外区域场，注意不能用原电荷和镜像电荷求解导体圆柱内区域场。
求解镜像电荷的大小和位置：我们用的关系进行试探求解。
同样在圆周上去两点（通过镜像电荷的直径的两端点），因为圆柱接地，它们的电位必须为零，即(4.4.4.1)(4.4.4.2)代入的关系后，上面两方程解得(4.4.4.3)求解电位：圆柱外任一点的电位为(4.4.4.4)其中、分别是、到场点的距离。
（1）线荷对不接地、净电荷为零的导体圆柱的镜像。
（2）线电荷对不接地、净电荷不为零的导体圆柱的镜像圆柱面镜像2给定电轴，确定几何轴位置和等位面两条互相平行的导线，其线电荷密度分别为和-。
视这两条极细的带电导线分别为两个电轴。
求解几何轴的位置可以直接写出P点的电位为由图可见，XOZ平面为零电位面，即时，。
图4.4.10 确定两个给定电轴的几何轴于是可知常数C 为零，则的表达式为，取（）为常数就可得到等位线，即取。
k为常数。
由图可知、。
所以可得(4.4.4.5)这是一个圆方程。
其参数为圆心位置：(4.4.4.6)半径： (4.4.4.7)即等位线为一簇圆，其圆心自然是位于等位圆的圆柱面的几何轴心上。
圆心和半径都是k的函数。
实际问题往往是这样：知道两条平行导线的半径及相互间的距离，而需要确定电轴的位置。
这就要找到图如图示的b.R.d之间的关系。
求两个导体圆柱间单位长度的电容两根无限长平行圆柱，半径均为a，轴线距离位D。
求两圆柱间单位长度上的电容。
例题图4.10把圆柱看成两平行线电荷及-的场中的两个等位面，只要求出两线电荷的位置，便可得到解。
这里和可由D和a定出。
即、解得、对于左边圆柱面上的点，有这样的关系，故左边圆柱的电位为对于右边圆柱上的点有，电位为两圆柱间电压为故两圆柱间单位长度的电容为如果，则。
掌握如何利用柱面镜像法求解典型传输设备的电容。