2020年陕西省西安市高考数学三模试卷(理科)(有答案解析)
解析：解：函数为奇函数，图象关于原点对称，排除 B，
当 x=1 时，
，排除 A；
当 x→+∞时，
，排除 D．
故选：C． 判断函数的奇偶性和对称性，利用特殊值和极限思想进行排除． 本题主要考查函数图象的识别和判断，判断函数的奇偶性以及利用排除法是解决本题的关键．
11.答案：B
解析：解：过抛物线 x2=my（m≠0）的焦点（0， ）且与 y 轴垂直的直线与抛物线的交点为（± ， ），
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21. 已知 a＞0，函数 f（x）=ax2-x-ln（ax）． （1）当 a=1 时，求函数 f（x）在 x=1 处的切线方程． （2）是否存在实数 a，使得 f（x）≥0 成立？若存在，求实数 a 的取值集合；若不存在，请说明 理由．
22. 极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位，以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，曲线
可得∠AOF=60°，kOA= ，
即：
，所以
，可得 e2=4，解得 e=2
故选：C． 利用已知条件求出双曲线的渐近线的斜率，得到 a，b 关系，然 后求解双曲线的离心率即可． 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
6.答案：A
解析：解：由题意可得，S△ABC= absinC= absin60°，
角为（ ）
A. 90°
B. 60°
C. 45°
D. 30°
10. 函数
的图象可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
11. 过抛物线 x2=my（m≠0）的焦点且与 y 轴垂直的直线与抛物线交于 A，B 两点，若三角形 ABO 的 面积为 2，则 m=（ ）
A. 4
B. ±4
C. 2
D. ±2
12. 若定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x+2）=f（x）且 x∈[-1，1]时，f（x）=|x|，则方程 f（x）=log3|x|
∴ absin60°=10 ，
∴ab=40． ∵a+b+c=20， ∴20-c=a+b． 由余弦定理可得，c2=a2+b2-2abcos60°=（a+b）2-3ab=（20-c）2-120， 解得 c=7． 故选：A． 由三角形的面积和周长公式得出 a，b 的关系式，再利用角 C 和余弦公式得到关于 c 的方程，可解得 c 的值． 本题考查利用余弦定理和面积公式解三角形．在运用余弦定理时常用到 a2+b2=（a+b）2-2ab．
坐标原点，若|OA|= |OF|，则此双曲线的离心率为（ ）
A.
B.
C. 2
D.
6. 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若△ABC 的面积和周长分别为 10 和 20，C=60°，
则 c=（ ）
A. 7
B. 8
C. 5
D. 6
7. 如果执行如图的程序框图，那么输出的 S 值是（ ）
，则|z|=（ ）
A.
B.
C. 2
D.
3. 已知 sin（ ）= ，则 cos（ ）=（ ）
A. -
B.
C. -
D.
4. 已知向量 =（2，1）， =（1，x），若 + 与 垂直，则 x 的值为（ ）
A. 7
B. -7
C.
D. -
5. 过双曲线 =1（a＞0，b＞0）的一个焦点 F 作一条与其渐近线垂直的直线，垂足为 A，O 为
13.答案：{a|a＞2，或 a＜-1}；
解析：解：函数 f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x-4 有极值， 由题意可得：f′（x）=3x2+6ax+3（a+2）=0 有两个不同的解， 若：f′（x）=3x2+6ax+3（a+2）=0 有两个相同的解时， 则△=36a2-36（a+2）=0，导函数是完全平方式，则不存在极值点，函数不存在极值． 故△=36a2-36（a+2）＞0， 解之可得：a＞2，或 a＜-1 故答案为：{a|a＞2，或 a＜-1}； 先对函数进行求导，根据函数 f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x-4 有极值进行讨论，既有极大值又有极小 值，可以得到导函数为 0 的方程有两个不等的实数根，从而有△＞0，进而可解出 a 的范围． 本题主要考查了函数的极值问题及导数的应用，利用导数作为工具去研究函数的性质非常方便．
2.答案：D
解析：解：∵z=
=
，
∴|z|=
．
故选：D． 先化简计算复数 z，然后计算模长即可． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数摸的求法，是基础题．
3.答案：C
解析：解：因为 sin（ ）= ，
则 cos（ ）=cos[
]=-sin（ ）=-
故选：C．
由=
，结合诱导公式即可求解．
本题考查诱导公式的应用，合理地进行角的变换的解题关键．
9.答案：B
解析：解：如图，取 AC，BD，AD 的中点，分别为 O，M，N， 则 ON∥CD，MN∥AB，∴∠ONM 或其补角即为所求的角． ∵平面 ABC 垂直于平面 ACD，BO⊥AC，∴BO⊥平面 ACD，得 BO⊥OD．
设正方形边长为 2，OB=OD= ，∴BD=2，则 OM=
．
∴ON=MN=OM=1．则△OMN 是等边三角形，得∠ONM=60°． ∴直线 AB 与 CD 所成的角为 60°． 故选：B． 将异面直线平移到同一个三角形中，可求得异面直线所成的角． 本题考查异面直线所成的角，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．
8.答案：D
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解析：解：根据题意，阴影部分面积占正六边形面积的 ，
设阴影部分能栽种 x 株，则有 = ，解可得 x=300；
故选：D． 由题意得阴影部分与正六边形的面积比等于阴影部分栽种的花卉株数与总的花卉株数之比，即可得 答案． 本题考查几何概型的计算以及应用，关键是掌握概率的性质，属于基础题．
14.答案：2
解析：解：画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示：
z=x-2y 可变形为 y= ，表示斜率为 的直线，
平移该直线，当直线经过点 A（0，-1）时，z 取得最大值，最 大值为：2．． 故答案为：2． 作出不等式组表示的平面区域，平移目标函数所表示的直线， 可得出目标函数的最大值． 本题考查简单的线性规划问题．
（x）的图象向右平移 个单位后，所得图象关于原点中心对称，则函数 y=f（x）在[0，1]上的值
域为______． 16. 已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的各条棱长都相等，且内接于球 O，若正三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积
是 2 ，则球 O 的表面积为______． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 84.0 分） 17. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 Sn=2an-1．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若 bn=
，求数列{bn}的前 n 项和 Tn．
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18. 通过随机调查大学生在购物时是否先询问价格得到如下 2×2 列联表：
男
女总计Βιβλιοθήκη 先询问价格1628
44
不先询问价格
20
8
28
总计
36
36
72
（1）根据以上 2×2 列联表判断，能否在反错误的概率不超过 0.005 的前提下认为性别与是否先
询问价格有关系？
（2）从被调查的 28 名不先询问价格的大学生中，随机抽取 2 名学生调查其优先关注哪个方面
的问题，求抽到女生人数 ξ 的分布列及数学期望．
附：
P（K2≥k）
0.010
0.005
0.001
k
6.635
7.879
10.828
K2=
19. 已知椭圆 E：
=1（a＞b＞0）经过点 A（0，1），右焦点到直线 x= 的距离为 ．
所以|AB|=|m|．
因为三角形 ABO 的面积为 2，所以 |m|• |m|=2，解得 m=±4．
故选：B． 由抛物线方程得焦点坐标，得直线 AB 的方程，求出点 AB 的方程，从而可表示出三角形 ABO 的面 积，解出 m 即可． 本题考查抛物线的方程和焦点等基本问题．，属中档题．
12.答案：A
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解析：解：根据 题意，函数 （f x） 满足 f（x+2）=f （x），则 f（x） 是周期为 2 的 周期函数，又由 x∈[-1，1]时，f （x）=|x|， 则 f（x）的图象 如图， 再作出 y=log3|x| 的图象，分析可得两个函数的图象有 4 个交点， 则方程 f（x）=log3|x|有 4 个根， 故选：A． 根据题意，分析可得 f（x）是周期为 2 的周期函数，结合函数的解析式作出 f（x）的图象，进而分 析函数 y=f（x）与 y=log3|x|的交点的个数，两图象的交点个数即为方程 f（x）=log3|x|的根的个数据此 分析可得答案． 本题考查函数与方程．函数的零点、方程的根、函数图象与 x 轴交点的横坐标之间是可以等价转化 的．
（1）求椭圆 E 的标准方程； （2）过点 A 作两条互相垂直的直线 l1，l2 分别交椭圆于 M，N 两点，求证：直线 MN 恒过定点
P（0，- ）．
20. 如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB⊥平面 BB1C1C，E 是 CC1 的中点， BC=1，BB1=2，AB= ，∠BCC1=60°． （1）证明：B1E⊥AE； （2）若 AB= ，求二面角 A-B1E-A1 的余弦值．
4.答案：B
解析：解：
；
∵ 与 垂直；
∴
；
∴x=-7． 故选：B．
2020届陕西省高三第三次联考数学(理)试卷及解析
2020届陕西省高三第三次联考数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题1.全集U =R ,集合(){}ln 1A x y x ==-,{B y y ==,则()U A B =（ ）A. ()1,2B. (]1,2C. [)1,2D. []1,2【答案】A【解析】 首先根据对数函数的性质以及二次函数的图像与性质求出集合A 、B ,再利用集合的交、补运算即可求解.【详解】{{}2B y y y y ====≥, {}2U B y y =<,(){}{}ln 11A x y x x x ==-=>, ()()1,2U A B ⋂=． 故选：A ．2.已知复数51i z i +=-（i 为虚数单位）,则在复平面内z 所对应的点在（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】根据复数的除法运算,求得复数23z i =+,再结合复数的几何意义,即可求解. 【详解】由题意,根据复数除法运算,可得复数5(5)(1)46231(1)(1)2i i i i z i i i i ++++====+--+, 则在复平面内z 所对应的点为()2,3,在第一象限.故选：A .3.已知向量()2,1a =-,()6,b x =,且//a b ,则a b -=（ ）A. 5B. 25C. 5D. 4【答案】B【解析】 利用向量平行的条件列方程,解方程求得x 的值,求得a b -的坐标后,求得a b -.【详解】由题得260x +=.3x ∴=-,()4,2a b ∴-=-,()224225a b ∴-=-+=.故选：B4.已知二项式()20121n n n x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+,且16a =,则012n a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）A. 128B. 127C. 64D. 63【答案】C【解析】 结合二项式展开式的通项公式以及1a ,求得n 的值,利用赋值法求得所求表达式的值.【详解】由题意,二项式()1n x +展开式的通项为1r n r r n T C x -+=,令1=-r n ,可得1n n n T C x -=,即16n n C -=.解得6n =.令1x =,则6012264n a a a a +++⋅⋅⋅+==.故选:C5.某市在“一带一路”国际合作高峰论坛前夕,在全市高中学生中进行“我和‘一带一路’”的学习征文,收到的稿件经分类统计,得到如图所示的扇形统计图．又已知全市高一年级共交稿2000份,则高三年级的交稿数为（ ）A. 2800B. 3000C. 3200D. 3400 【答案】D。
2020届陕西高三第三次模拟考试卷理科数学解析
（2）在线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成的角的正弦值为 ？若存在，确定点 的位置；若不存在，请说明理由．
19．（12分）已知 ， ， ， ．
（1）求 的轨迹 ；
（2）过轨迹 上任意一点 作圆 的切线 ， ，设直线 ， ， 的斜率分别是 ， ， ，试问在三个斜率都存在且不为 的条件下， 时候是定值，请说明理由，并加以证明．
2．答案:】C
解:对复数 进行化简： ，
所以 ．
3．答案:】D
解:标准化 ，通径 ．
4．答案:】D
解:设 年该校参加高考的人数为 ，则 年该校参加高考的人数为 ．
对于选项A， 年一本达线人数为 ， 年一本达线人数为 ，
可见一本达线人数增加了，故选项A错误；
对于选项B， 年二本达线人数为 ， 年二本达线人数为 ，
（1）若不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
（2）是否存在实数 ， ，使得 ？并说明理由．
答 案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．答案:】A
解:由 可知集合 中一定有元素 ，
所以符合要求的集合 有 ， ， ， 共 种情况．
（2）在 中， ，∴ ，ຫໍສະໝຸດ ， ，∴ 的周长，
又∵ ，∴ ，
当 ，即 时， 取得最大值 ．
18．答案:】（1）证明见解析；（2）存在， 为线段 的中点．
解:（1）证明：∵ ， 为 的中点，∴ ，
又 平面 ， 平面 ，∴ ，
∵ ，∴ 平面 ，
∵ 平面 ，∴平面 平面 ．
（2）如图，由（1）知， ， ，点 ， 分别为 ， 的中点，
2020届陕西省西安中学高三高考适应性考试(三)数学(理)试题(解析版)
2020届陕西省西安中学高三高考适应性考试（三）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B =A ．{0,1}B ．{0,1,2}C ．{1,0,1}-D ．{1,0,1,2}-【答案】C【解析】试题分析：由，得，选C.【考点】集合的交集运算.【名师点睛】1.首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义)，是数集还是点集，如集合，，三者是不同的．2.集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数时，以及在含参的集合运算中，常因忽略互异性而出错．3.数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助Venn 图；对连续的数集间的运算，常利用数轴；对点集间的运算，则通过坐标平面内的图形求解，这在本质上是数形结合思想的体现和运用．4.空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽略空集是任何集合的子集．2．设复数z 满足(1)2i z i +=，则||z =（ ）A ．12B ．22C 2D ．2【答案】C【解析】根据复数除法得到1z i =+，再计算复数模得到答案. 【详解】(1)2i z i +=，()()()2121111i i i z i i i i -===+++-，则|2|z =故选：C.【点睛】本题考查了复数的除法运算，复数的模，属于简单题. 3．函数2()cos 2f x x =的最小正周期是（ ） A ．2π B ．πC ．2π D ．4π 【答案】C【解析】由已知利用二倍角的余弦函数公式可求11()cos 422f x x =+，进而根据余弦函数的周期公式即可求解. 【详解】解：21cos 411()cos 2cos 4222x f x x x +===+， 可得()f x 的最小正周期242T ππ==. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，余弦函数的周期公式，考查了函数思想，属于基础题.4．设等比数列{}n a 满足121a a +=-，133a a -=-，则4a =（ ） A ．8 B ．8-C ．4D ．4-【答案】B【解析】利用等比数列的通项公式即可得出. 【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，121a a +=-，133a a -=-，1(1)1a q ∴+=-，21(1)3a q -=-，解得：2q =-，11a =.则34(2)8a =-=-.故选：B . 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 5．7(1)x +的展开式中2x 的系数是（ ）A ．42B ．35C ．28D ．21【答案】D【解析】试题分析：2x 的系数为2721C =．故选D ．【考点】二项式定理的应用．6．已知函数1()3()3x xf x =-，则()f xA ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A【解析】分析：讨论函数()133xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的性质，可得答案. 详解：函数()133xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为R ，且()()111333,333xxx xxx f x f x --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-+=--=-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦即函数()f x 是奇函数，又1y 3,3xxy ⎛⎫==- ⎪⎝⎭在R 都是单调递增函数，故函数()f x 在R 上是增函数．故选A.点睛：本题考查函数的奇偶性单调性，属基础题.7．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】分析：由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值. 详解：结合流程图运行程序如下： 首先初始化数据：20,2,0N i T ===，20102N i ==，结果为整数，执行11T T =+=，13i i =+=，此时不满足5i ≥； 203N i =，结果不为整数，执行14i i =+=，此时不满足5i ≥； 2054N i ==，结果为整数，执行12T T =+=，15i i =+=，此时满足5i ≥； 跳出循环，输出2T =. 本题选择B 选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路： (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证． 8．已知R a ∈，则“1a >”是“11a<”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【答案】A【解析】“a ＞1”⇒“11a ＜”，“11a＜”⇒“a ＞1或a ＜0”，由此能求出结果． 【详解】a ∈R ，则“a ＞1”⇒“11a＜”， “11a＜”⇒“a ＞1或a ＜0”，∴“a ＞1”是“11a＜”的充分非必要条件． 故选A ． 【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．9．记函数()f x =的定义域为D ，在区间[]4,5-上随机取一个数x ，则x D ∈ 的概率为（ ）A ．19B ．13C ．49D ．59【答案】D【解析】求出函数的定义域，结合几何概型的概率公式进行计算即可． 【详解】由6+x ﹣x 2≥0得x 2﹣x ﹣6≤0，得﹣2≤x≤3， 则D=[﹣2，3]，则在区间[﹣4，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率P=()()3254----=59， 故选：D 【点睛】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，结合函数的定义域求出D ，以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键．10．α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题；①如果m n ⊥，m α⊥，//n β，那么αβ⊥. ②如果m α⊥，//n α，那么m n ⊥. ③如果//αβ，m α⊂，那么//m β.④如果//m n ，//αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】对①，运用长方体模型，找出符合条件的直线和平面，即可判断； 对②，运用线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理，即可判断； 对③，运用面面平行的性质定理，即可判断； 对④，由平行的传递性及线面角的定义，即可判断④． 【详解】对于命题①，可运用长方体举反例证明其错误：如图，不妨设AA '为直线m ，CD 为直线n ，ABCD 所在的平面为α，ABC D ''所在的平面为β，显然这些直线和平面满足题目条件，但αβ⊥不成立；命题②正确，证明如下：设过直线n 的某平面与平面α相交于直线l ，则//l n ，由m α⊥知m l ⊥，从而m n ⊥，结论正确；由平面与平面平行的定义知命题如果//αβ，m α⊂，那么//m β.③正确； 由平行的传递性及线面角的定义知命题：如果//m n ，//αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等，④正确. 故选：C . 【点睛】本题考查命题的真假判断，考查空间线面、面面平行和垂直的位置关系，注意运用判定定理和性质定理，考查推理能力，属于中档题．11．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48） A ．1033 B ．1053 C ．1073 D ．1093【答案】D【解析】试题分析：设36180310M x N == ，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即M N 最接近9310，故选D.【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令36180310x =，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含log log log a a a M N MN +=，log log log a a aM M N N-=，log log na a M n M =. 12．已知函数有唯一零点，则a =A ．B ．C ．D ．1【答案】C 【解析】函数的零点满足，设，则，当时，；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，当时，函数取得最小值，为.设，当时，函数取得最小值，为，若，函数与函数没有交点；若，当时，函数和有一个交点，即，解得.故选C.【名师点睛】利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：（1）利用零点存在性定理构建不等式求解. （2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.二、填空题13．已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于________ 【答案】9π【解析】 由球的体积公式，可得34363r ππ=，则3r =，所以主视图的面积为239S ππ=⨯=.14．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________． 【答案】3.10【解析】分析：先确定总基本事件数，再从中确定满足条件的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为3.10点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法（理科）：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.15．已知点P 在圆221x y +=上，点A 的坐标为(2,0)-，O 为原点，则AO AP ⋅的最大值为_________． 【答案】6【解析】试题分析：||||cos ||||2(21) 6.AO AP AO AP AO AP θ⋅=⋅≤⋅≤⨯+=所以最大值是6.【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，因为AO 是确定的，所以根据向量数量积的几何意义：若AO AP ⋅最大，即向量AP 在AO 方向上的投影最大，根据数形结合分析可得当点P 在圆与x 轴的右侧交点处时最大，从而根据几何意义直接得到运算结果为236⨯=.三、双空题16．已知椭圆22221(0)x y M a b a b+=>>：，双曲线22221x y N m n -=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________．1- 2【解析】分析：由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中22,m n 关系，即得双曲线N 的离心率；由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c +，再根据椭圆定义得2c a =，解得椭圆M 的离心率.详解：由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c ，再根据椭圆定义得2c a +=，所以椭圆M 的离心率为1.c a == 双曲线N 的渐近线方程为ny x m=±，由题意得双曲线N 的一条渐近线的倾斜角为222ππtan 333n m ∴==，， 222222234 2.m n m m e e m m ++∴===∴=， 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.四、解答题17．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =.（Ⅰ）求b 和sin A 的值；（Ⅱ）求πsin(2)4A +的值. 【答案】（Ⅰ）13b =.sin A =31313.（Ⅱ）7226. 【解析】试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系2a b =，再根据余弦定理求出cos A ，进而得到sin A ，由2a b =转化为sin 2sin A B =，求出sin B ，进而求出cos B ，从而求出2B 的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果.试题解析：（Ⅰ） 解：在ABC 中，因为a b >，故由3sin 5B =，可得4cos 5B =.由已知及余弦定理，有2222cos 13b a c ac B =+-=，所以13b =. 由正弦定理sin sin a b A B =,得sin 313sin 13a B Ab ==. 所以，b 的值为13，sin A 的值为313. （Ⅱ）解：由（Ⅰ）及a c <，得213cos A =，所以12sin22sin cos 13A A A ==，25cos212sin 13A A =-=-.故πππ72sin 2sin2cos cos2sin 44426A A A ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭. 【考点】正弦定理、余弦定理、解三角形【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.18．已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2.（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设4PO =，OA ，OB 是底面半径，且90AOB ∠=︒，M 为线段AB 的中点，求异面直线PM 与OB 所成的角的正切值. 【答案】（1）83π；（2）17. 【解析】（1）由已知求得圆锥的高，再由圆锥体积公式求解；（2）证明OB ⊥平面POA ，取OA 中点H ，可得PMH ∠为异面直线PM 与OB 所成的角，再证明MH PH ⊥，然后求解三角形可得异面直线PM 与OB 所成的角的正切值. 【详解】（1）由圆锥母线长为4，即4PB =，底面半径2OB =， 可得圆锥的高224223PO =-=.∴该圆锥的体积218322333V ππ=⨯⨯=；（2）PO ⊥底面AOB ，PO OB ∴⊥，又90AOB ∠=︒，即OB OA ⊥，POOA O =，OB ∴⊥平面POA ，取OA 中点H ，连接MH ，如图则MH //OB ，且112MH OB ==. PMH ∴∠为异面直线PM 与OB 所成的角.由OB ⊥平面POA ，MH //OB ，可得MH ⊥平面POA ，得MH PH ⊥. 在Rt POH △中，求得224117PH =+=， 在Rt PHM △中，可得tan 17PHPMH MH∠==. 【点睛】本题考查圆锥体积的求法，考查异面直线所成角，考查计算能力，属中档题. 19．为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过小时的部分每小时收费标准为40元(不足小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为11,46；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12,23；两人滑雪时间都不会超过3小时.（1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；（2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望()Eξ．【答案】(1)512(2)见解析【解析】试题分析：（1）甲、乙两人所付费用相同即为0，40，80元，求出相应的概率，利用互斥事件的概率公式，可求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（2）确定变量的取值，求出相应的概率，即可求得ξ的分布列与数学期望．试题解析：(1)若两人所付费用相同，则相同的费用可能为0元，40元，80元，两人都付0元的概率为1111 4624P=⨯=，两人都付40元的概率为2121 233P=⨯=，两人都付80元的概率为31112111 (1)(1)42634624P=--⨯--=⨯=，则两人所付费用相同的概率为1231115 2432412P P P P=++=++=.(2)由题意得，ξ所有可能的取值为0,40,80,120,160.111(0)4624Pξ==⨯=，12111(40)43264Pξ==⨯+⨯=，1112115(80)46234612Pξ==⨯+⨯+⨯=，11121(120)26434Pξ==⨯+⨯=，111(160)4624Pξ==⨯=，ξ的分布列为：ξ0 40 80 120 160P 124145121412411511()040801201608024412424E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义； 第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布(,)X B n p ），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式（()E X np =）求得.20．已知函数()(1e 2-⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭x f x x x（I ）求()f x 的导函数（II ）求()f x 在区间1+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭，上的取值范围 【答案】（I ）()()121)2x x e f x x --=>'；（II ）1210,2e -⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】【详解】试题分析：本题主要考查函数的最大（小）值，导数的运算及其应用，同时考查分析问题和解决问题的能力．（Ⅰ）利用求导法则及求导公式，可求得()f x 的导数；（Ⅱ）令'()0f x =，解得1x =或52，进而判断函数()f x 的单调区间，结合区间端点值求解函数()f x 的取值范围．试题解析：（Ⅰ）因为(1x =，()'x xe e --=-，所以'()(1(x xf x e x e --=--1)2x =>． （Ⅱ）由(1)(212)'()021xx x e f x x ----==-，解得1x =或52x =． 因为x12（12，1） 1 （1，52）52（52，+∞） ()f x '– 0+ 0–f （x ）1212e - 05212e -又21()(211)02x f x x e -=--≥， 所以f （x ）在区间1[,)2+∞上的取值范围是121[0,]2e -．【名师点睛】本题主要考查导数两大方面的应用：（一）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出'()f x ，由'()f x 的正负，得出函数()f x 的单调区间；（二）函数的最值（极值）的求法：由单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数()f x 的极值或最值．21．如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．（Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆x 2+24y =1(x<0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）⎡⎢⎣⎦.【解析】分析: （Ⅰ）设P ,A ,B 的纵坐标为012,y y y ，，根据中点坐标公式得P A ,PB 的中点坐标，代入抛物线方程，可得1202y y y +=，即得结论；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得△P AB 面积为1212PM y y -，利用根与系数的关系可表示12PM y y -，为0y 的函数，根据半椭圆范围以及二次函数性质确定面积取值范围. 【详解】详解：（Ⅰ）设()00,P x y ，2111,4A y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221,4B y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭．因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以1y ，2y 为方程22014422y x y y ++⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭， 即22000280y y y x y -+-=的两个不同的实数根．所以1202y y y +=． 因此，PM 垂直于y 轴． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知120212002,8,y y y y y x y +=⎧⎨=-⎩所以()2221200013384PM y y x y x =+-=-，12y y -=． 因此，PAB △的面积()32212001424PABSPM y y y x =⋅-=-．因为220001(0)4y x x +=<，所以[]22000044444,5y x x x -=--+∈．因此，PAB△面积的取值范围是⎡⎢⎣⎦．点睛：求范围问题，一般利用条件转化为对应一元函数问题，即通过题意将多元问题转化为一元问题，再根据函数形式，选用方法求值域，如二次型利用对称轴与定义区间位置关系，分式型可以利用基本不等式，复杂性或复合型可以利用导数先研究单调性，再根据单调性确定值域.22．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程； （2）设点A 的极坐标为2,3π⎛⎫⎪⎝⎭，点B 在曲线2C 上，求ABO ∆面积的最大值．【答案】（1）()22x 2y 40x -+=≠（）；（2）2+【解析】【详解】试题分析：（1）设出P 的极坐标，然后由题意得出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程为()()22240x y x -+=≠；（2）利用（1）中的结论，设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质可得OAB 面积的最大值为2.试题解析：解：（1）设P 的极坐标为（,ρθ）（ρ＞0），M 的极坐标为()1,ρθ（10ρ＞）由题设知|OP|=ρ，OM =14cos θρ=. 由OM ⋅|OP|=16得2C 的极坐标方程4cos 0ρθρ=（＞）因此2C 的直角坐标方程为()22x 2y 40x -+=≠（）. （2）设点B 的极坐标为(),αB ρ （0B ρ＞）.由题设知|OA|=2，4cos αB ρ=，于是△OAB 面积1S AOB 4cos α|sin(α)|2|sin(2α)|2233B OA sin ππρ∠=⋅=⋅-=-≤+当α12π=-时， S 取得最大值2.所以△OAB 面积的最大值为2.点睛:本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.在求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是将其化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.23．已知函数2()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-.（1）求不等式()3g x <的解集；（2）若不等式()()f x g x 的解集包含[1-，1]，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）33(,)22-；（2）[1-，1].【解析】（1）将()g x 写为分段函数的形式，然后根据()3g x <，利用零点分段法解不等式即可；（2）根据条件可知，若不等式()()f x g x 的解集包含[1-，1]，则当[1x ∈-，1]时，()2f x ，然后根据二次函数的性质，求出a 的取值范围.【详解】解：（1）2,1()112,112,1x x g x x x x x x >⎧⎪=++-=-⎨⎪-<-⎩.()3g x <，∴231x x <⎧⎨>⎩，或11x -，或231x x -<⎧⎨<-⎩，∴213x <<，或11x -，或112x -<<-，∴3322x -<<， ∴不等式的解集为33(,)22-.（2）当[1x ∈-，1]时，()2g x =，若不等式()()f x g x 的解集包含[1-，1]，则 当[1x ∈-，1]时，()2f x ，又()f x 在[1-，1]的最小值为{(1)min f -，f （1）}，∴只需(1)2f -且f （1）2，11a ∴-，a ∴的取值范围为[1-，1]【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和二次函数的性质，考查了分类讨论思想和转化思想，属基础题.。
2020年陕西省西安市西工大附中高考数学第三阶段模考试卷(理科) (解析版)
2020年陕西省西安市西工大附中高考数学第三阶段模考试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x >−1}，B ={x|log 2x <1}，则A ∩B =( )A. {x|x >0}B. {x|−1<x <2}C. {x|0<x <2}D. {x|x <2}2. 已知单位向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为π3，则a ⃗ ⋅(a ⃗ +2b ⃗ )=( )A. 32B. 1+√32C. 2D. 1+√33. 设函数f (x )={log 2x,x >1x 2+1,x ≤1，则f(f (1))的值为( )A. −1B. 1C. 0D. 24. 已知cos2α=13，则sin 2(α+π2)等于( )A. √53B. 13C. 14D. 235. 2019年成都世界警察与消防员运动会期间，需安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去A ，B ，C 三个场馆参与服务工作，要求每个场馆至少一人，则甲、乙被安排到同一个场馆的概率为( )A. 112B. 18C. 16D. 146. 已知点F 是抛物线y 2=4x 焦点，M ，N 是该抛物线上两点，|MF|+|NF|=6，则MN 中点到准线距离为( )A. 32B. 2C. 3D. 47. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若acosB +bcosA =4sinC ，则△ABC 的外接圆面积为( )A. 16πB. 8πC. 4πD. 2π8. 函数f(x)=2x 2−lnx 在x =1处的切线方程是( )A. y =4x −5B. y =3x −1C. y =3x −2D. y =4x −29. 在底面为正方形的四棱锥S −ABCD 中，SA =SB =SC =SD ，异面直线AD 与SC 所成的角为60°，AB =2.则四棱锥S −ABCD 的外接球的表面积为( )A. 6πB. 8πC. 12πD. 16π10.已知F1，F2是双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，点M在E的渐近线上，且MF2与x轴垂直，cos∠MF1F2=2√23，则E的离心率为()A. 2B. √3C. √2D. √6211.正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为4，M，N，P分别是棱A1D1，A1A，D1C1的中点，则过M，N，P三点的平面截正方体所得截面的面积为()A. 2√3B. 4√3C. 6√3D. 12√312.某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：(1)如果不超过200元，则不给予优惠；(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；(3)如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠。
2020年陕西省西安市高考数学第三次质检试卷(理科)(三模)
2020年陕西省西安市高考数学第三次质检试卷（理科）（三模）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知全集U =R ，集合A ={x|−2≤x <3}，B ={y|y =2x−1,x ≥0}，则A ∩∁U B =( )A. {x|−2≤x <0}B. {x|−2≤x <12} C. {x|0≤x <12}D. {x|0≤x <3}2. 若复数z 满足(3−4i)z −=11+2i.其中i 为虚数单位，z −为z 共轭复数，则z 的虚部为( )A. −2B. 2C. −2iD. 2i3. 已知向量i ⃗=(1,0)，向量f ⃗⃗=(1,1)，则|3i ⃗−4f⃗⃗|的值为( ) A. 17 B. 5 C. √17 D. 254. 在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A. 众数B. 平均数C. 中位数D. 标准差5. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一“.在某种玩法中，用a n 表示解下n(n ≤9,n ∈N ∗)个圆环所需的移动最少次数，若a 1=1.且a n ={2a n−1−1,n 为偶数2a n−1+2,n 为奇数，则解下5个环所需的最少移动次数为( )A. 7B. 13C. 16D. 226. 已知a =ln3，b =log 3e ，c =log πe(注：e 为自然对数的底数)，则下列关系正确的是( )A. b <a <cB. c <b <aC. b <c <aD. a <b <c7. 函数f(x)=e x cosx 的图象在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为( )A. π4B. 0C. 3π4D. 18. 函数f(x)=−4x 2+12x 4的大致图象是( )A. B.C. D.9.在圆锥PO中，已知高PO=2，底面圆的半径为4，M为母线PB的中点，根据圆锥曲线的定义，图中的截面边界曲线为抛物线，在截面所在的平面中，以M为原点．MO为x轴，过M点与MO垂直的直线为y轴，建立直角坐标系，则抛物线的焦点到准线的距离为()A. 4√55B. 8√55C. 2√55D. √510.已知函数f(x)=sinx+acosx(a∈R)图象的一条对称轴是x=π6，则a的值为()A. 5B. √5C. 3D. √311.已知F是双曲线C：x24−y25=1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，若|OP|=|OF|，则△OPF的面积为()A. 32B. 52C. 72D. 9212.定义域和值域均为[−a,a](常数a>0)的函数y=f(x)和y=g(x)的图象如图所示，方程g[f(x)]=0解得个数不可能的是()A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋，已知甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为______ ．14.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若3a5−a1=10，则S13=______．15.已知函数f(x)=tanx，f(x)的最小正周期是______．1−tan2x16.如图，圆锥形容器的高为2圆锥内水面的高为1.若将圆锥形容器倒置，水面高为ℎ.则h等于______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图；(1)求高一参赛学生的成绩的众数、中位数；(2)求高一参赛学生的平均成绩．=1−cosA⋅cosB+2√2sinAcosB．18.在△ABC中角A，B，C所对的边分别为a、b、c，满足2cos2C2(1)求cos B的值；(2)设△ABC外接圆半径为R，且R(sinA+sinC)=1，求b的取值范围．19. 如图，菱形ABCD 中，∠ABC =60°，E 为CD 中点，将△ADE 沿AE 折起使得平面ADE ⊥平面ABCE ，BE 与AC 相交于点O ，H 是棱DE 上的一点且满足DH =2HE ．(1)求证：OH//平面BCD ； (2)求二面角A −BC −D 的余弦值．20. 已知函数f(x)=ln(1+x)−ln(1−x)．(1)证明f′(x)≥2；(2)若f(x)−ax ≥0对0≤x <1恒成立，求实数a 的取值范围．21. 已知椭圆C ：x 2a +y 2b=1(a >b >0)的离心率为√32，直线y =x 交椭圆C 于A 、B 两点，椭圆C 的右顶点为P ，且满足|PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=4．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若直线y =kx +m(k ≠0,m ≠0)与椭圆C 交于不同两点M 、N ，且定点Q(0,−12)满足|MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|NQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|，求实数m 的取值范围．22. 在平面直角坐标系中，直线l 的方程为y =tanα(x −2)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：ρ=4cos(π2−θ)． (1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，设M(2,0)，若|MP|+|MQ|=4√2，求直线l 的斜率．23. 已知函数g(x)=|x +b|+|x −a|，a ∈R ，b ∈R 且b +a >0．(1)若函数g(x)的最小值为2，试证明点(a,b)在定直线上；(2)若b =3，x ∈[0,1]时，不等式g(x)≤|x +5|恒成立，求实数a 的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】【解析】：由指数函数的性质，可知集合B ={y|y ≥12}=[12,+∞) 又全集U =R ， ∴C U B =(−∞,12)，∵集合A ={x|−2≤x <3}，∴A ∩C U B =[−2,12).故选：B ．求出集合B 中的不等式的解集，确定出集合B ，根据全集U =R ，找出集合B 的补集，然后找出集合B 补集与集合A 的公共部分，即可求出所求的集合此题考查了交、并、补集的混合运算，是一道基本题型，求集合补集时注意全集的范围2.【答案】A【解析】解：由(3−4i)z −=11+2i ，得z −=11+2i 3−4i=(11+2i)(3+4i)(3−4i)(3+4i)=25+50i 25=1+2i ．∴z =1−2i ． ∴z 的虚部为−2． 故选：A ．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】C【解析】解：根据题意，向量i ⃗=(1,0)，向量f ⃗⃗=(1,1)，则3i ⃗−4f ⃗⃗=(−1,−4)， 故|3i ⃗−4f ⃗⃗|=√1+16=√17； 故选：C ．根据题意，求出向量3i ⃗−4f ⃗⃗的坐标，进而由向量模的坐标计算公式计算可得答案． 本题考查向量模的坐标计算，注意向量的坐标计算公式．4.【答案】D【解析】解：A样本数据：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．B样本数据84，86，86，88，88，88，90，90，90，90众数分别为88，90，不相等，A错．平均数86，88不相等，B错．中位数分别为86，88，不相等，C错．[(82−86)2+2×(84−86)2+3×(86−86)2+4×(88−86)2]=4，A样本方差S2=110[(84−88)2+2×(86−88)2+3×(88−88)2+4×(90−88)2]=4，B样本方差S2=110故两组数据的标准差均为2，D正确．故选：D．利用众数、平均数、中位标准差的定义，分别求出，即可得出答案本题考查众数、平均数、中位数，标准差的定义，根据相应的公式是解决本题的关键5.【答案】C【解析】解：由于a1=1，所以a2=2a1−1=1，a3=2a2+2=4，a4=2a3−1=7，a5=2a4+2=16．故选：C．直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的各项．本题考查的知识要点：数学文化，数列的递推关系式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：a=ln3>1>b=log3e>c=logπe，∴a>b>c，故选：B．利用对数函数的单调性即可得出．本题考查了对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：由题意得，f′(x)=e x cosx−e x sinx，则f′(0)=e0(cos0−sin0)=1，所以在点(0,f(0))处的切线的斜率k=1，又k=tanθ，则切线的倾斜角θ=π4，故选：A．由求导公式和法则求出f′(x)，求出f′(0)的值可得切线的斜率，再由斜率公式求出切线的倾斜角．本题考查了导数的运算及法则，导数的几何意义，以及直线的倾斜角与斜率的关系．8.【答案】D【解析】解：函数f(x)=−4x2+12x4是偶函数，排除选项B，C；当x=2时，f(2)=−1532<0，故排除选项A．故选：D．先根据函数奇偶性排除选项B，C；再利用特殊值法排除选项A，从而作出选择．本题主要考查函数的图象与性质，一般从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手思考，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：连接AB，OM，∵M为母线PB的中点，∴OM=AP2=√22+422=√5．故H点的坐标为(√5,4)，设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0)，把点(√5,4)代入可得，42=2p×√5，解得p=8√55．∴抛物线的焦点到准线的距离为8√55．故选：B．连接AB，OM，由M为母线PB的中点，求得OM，得到H的坐标，设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0)，把H的坐标代入求解p，则答案可求．本题考查抛物线的几何性质，考查抛物线方程的求法，是中档题．10.【答案】D【解析】解：∵y=sinx+acosx=√a2+1sin(x+φ)，在对称轴x=π6处取得最大值或最小值，∴sinπ6+acosπ6=±√a2+1，∴12+√3a2=±√a2+1，解可得，a=√3，故选：D．利用辅助角公式化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过x=π6，函数取得最值，求出a的值即可．本题是中档题，考查三角函数辅助角公式的应用，注意函数的对称轴就是函数取得最值，考查计算能力．11.【答案】B【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，属于基础题．由题意画出图形，不妨设F为双曲线C：x24−y25=1的右焦点，P为第一象限点，求出P点坐标，再由三角形面积公式求解．【解答】解：如图，不妨设F为双曲线C：x24−y25=1的右焦点，P为第一象限点．由双曲线方程可得，a2=4，b2=5，则c=√a2+b2=3，则以O为圆心，以3为半径的圆的方程为x2+y2=9．联立{x2+y2=9x24−y25=1，解得P(2√143,53).∴S△OPF=12×3×53=52．故选：B．12.【答案】D【解析】解：方程g[f(x)]=0对应的f(x)有一个解，从图中可知f(x)∈(0,a)，可能有1，2，3个解；从而可知方程g[f(x)]=0解得个数不可能为4个；故选：D．方程g[f(x)]=0对应的f(x)有一个解，从图中可知f(x)∈(0,a)，可能有1，2，3个解；可得答案．本题考查了复合函数的零点，同时考查了学生的识图能力，属于中档题．13.【答案】0.5【解析】解：设甲、乙两人下成和棋P，甲获胜的概率为P(A)，则乙不输的概率为1−P(A)，∵甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，∴P(A)+P=0.8，1−P(A)=0.7，∴1+P=1.5，解得P=0.5．∴两人下成和棋的概率为0.5．故答案为：0.5根据甲获胜与两个人和棋或乙获胜对立，由互斥事件的概率可得．本题考查互斥事件的概率，理清事件与事件之间的关系是解决问题的关键，属基础题．14.【答案】65【解析】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，3a5−a1=10，∴3(a1+4d)−a1=2a1+12d=2a7=10，∴S13=132(a1+a13)=132×2a7=132×10=65．故答案为：65．利用等差数列通项公式求出2a7=10，由此能求出S13的值．本题考查等差数列的前13项和的求法，考查等差数列的性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15.【答案】π2【解析】解：函数f(x)=tanx1−tan2x =12⋅2tanx1−tan2x=12tan2x，∴f(x)的最小正周期是π2，故答案为：π2．利用二倍角的正切公式化简函数的解析式，再利用正切函数的周期性，得出结论．本题主要考查二倍角的正切公式，正切函数的周期性，属于基础题．16.【答案】√73【解析】解：设圆锥形容器的底面积为S，设倒置前液面的面积为S′=14S，所以水的体积为V=13S×2−13×14S×(2−1)=7S12；又倒置后液面面积为S′，则S′S =(ℎ2)2，所以S′=14Sℎ2；所以圆锥内水面的体积为V=13S′ℎ=Sℎ312=7S12，解得ℎ=√73．故答案为：√73．根据圆锥形容器内水的体积不变，列出方程求出圆锥内水面的高度．本题考查了圆锥体的结构特征与体积计算问题，是中档题．17.【答案】解：(1)用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众数的近似值，得出众数为65，又∵第一个小矩形的面积为0.3，设第二个小矩形底边的一部分长为x，则x×0.04=0.2，解得x=5．∴中位数为60+5=65．(2)依题意，利用平均数的计算公式，可得平均成绩为：55×0.3+65×0.4+75×0.15+85×0.1+95×0.05=67．∴高一参赛学生的平均成绩为67分．【解析】(1)由频率分布直方图的性质能求出众数、中位数．(2)由频率分布直方图的性质能求出高一参赛学生的平均成绩．本题考查众数、中位数、平均成绩的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】解：(1)因为2cos2C2=1−cosA⋅cosB+2√2sinAcosB，所以cosC+cosAcosB=2√2sinAcosB，所以−cos(A+B)+cosAcosB=2√2sinAcosB，即sinAsinB=2√2sinAcosB，因为sinA ≠0，所以sinB =2√2cosB >0， 又因为sin 2B +cos 2B =1，解得cosB =13．(2)因为a =2RsinA ，c =2RsinC ，所以a +c =2，可得c =2−a ，由余弦定理可得：b 2=a 2+c 2−2accosB =a 2+c 2−23ac =a 2+(2−a)2−23a(2−a)=83(a −1)2+43， 因为0<a <2，所以2√33≤b <2，所以b 的取值范围为[2√33,2)．【解析】(1)利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结合sinA ≠0，可求cos B 的值．(2)由已知利用正弦定理可得c =2−a ，由余弦定理可得：b 2=83(a −1)2+43，结合范围0<a <2，可求b 的取值范围．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理、余弦定理以及二次函数的性质，考查计算能力和函数思想，属于中档题． 19.【答案】解：(1)证明：由题意知CE//AB ，AB =2CE ，所以OE ：OB =1：2．又DH =2HE ，所以OH//BD ，又BD ⊂平面BCD ，OH ⊄平面BCD ，所以OH//平面BCD ．(2)因为平面ADE ⊥平面ABCE ，平面ADE ∩平面ABCE =AE ，DE ⊥AE ，所以DE ⊥平面ABCE ，所以DE ⊥CE ，以EE 为坐标原点，EC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，EA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，ED ⃗⃗⃗⃗⃗⃗为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz ，不妨设菱形的边长为4，则点D(0,0，2)，C(2,0，0)，B(4,2√3,0)．则DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2,0,−2)，DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(4,2√3,−2)． 设平面BCD 的一个法向量为n ⃗⃗=(x,y,z)，则{n ⃗⃗⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0n⃗⃗⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，即{2x −2z =04x +2√3y −2z =0， 令z =1，得n ⃗⃗=(1,−√33,1)； 易知平面ABC 的一个法向量为m⃗⃗⃗⃗=(0,0,1)，设二面角A −BC −D 的大小为θ，则cosθ=√73=√217．故二面角A −BC −D 的余弦值为√217．【解析】(1)先根据题意可得OH//BD ，再由线面平行的判定得证；(2)建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用向量公式得解．本题主要考查线面平行的判定以及利用空间向量求解二面角问题，考查推理能力及计算能力，属于中档题． 20.【答案】解：(1)证明：函数f(x)=ln(1+x)−ln(1−x)的导数为f′(x)=11+x +11−x =21−x 2，由−1<x <1，可得0<1−x 2≤1，则f′(x)≥2；(2)由题意知f(x)−ax ≥0对0≤x <1恒成立，设g(x)=f(x)−ax ，0≤x <1，则g′(x)=f′(x)−a =21−x 2−a ，当a ≤2时，g′(x)≥0恒成立，g(x)在[0,1)递增，g(x)≥g(0)=0符合题意；当a >2时，g′(x)=0可得a =21−x 2，即2a =1−x 2，即有x 2=1−2a ，可得x =√1−2a ， x >√1−2a ，g′(x)>0，g(x)单调递增；0<x <√1−2a ，g′(x)<0，g(x)单调递减， 即有g(x)<g(0)=0不合题意．综上，a 的取值范围为(−∞,2]．【解析】(1)求得f(x)的导数，注意定义域，可得导数的范围，即可得证；(2)设g(x)=f(x)−ax ，0≤x <1，求得导数，讨论当a ≤2时，a >2时，可得g(x)在[0,1)的单调性，即可得到所求范围．本题考查导数的运用：求单调性，考查不等式恒成立问题解法，注意运用分类讨论思想方法和函数的单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)由|PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=4即2|PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=4，则a =2，……(2分)由e =c a =√32，所以c =√3，b =1， 则椭圆C 的方程为x 24+y 2=1． (Ⅱ)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立{y =kx +m x 24+y 2=1，整理得：(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2−4=0，则△=64k 2m 2−4(4k 2+1)(4m 2−4)>0，即4k 2>m 2−1，且x 1+x 2=−8km 4k 2+1，又设MN 中点D 的坐标为(x D ,y D )，因为|MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|NQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|，所以DQ ⊥MN ，即y D +12x D =−1k ， 又x D =x 1+x 22=−4km 4k 2+1，y D =kx D +m =m 4k +1， 所以6m −1=4k 2，故6m −1>0，且6m −1>m 2−1，故16<m <6．∴m 的取值范围(16,6)．【解析】(Ⅰ)根据向量的运算，求得a =2，利用椭圆的离心率公式即可求得b 的值，求得椭圆方程； (Ⅱ)将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及△>0，根据中点坐标公式及直线的斜率公式即可求得6m −1=4k 2，即可求得6m −1>m 2−1，求得m 的取值范围．本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及中点坐标公式，考查转化思想，属于中档题． 22.【答案】解：(1)曲线C 的极坐标方程为：ρ=4cos(π2−θ)，整理得ρ=4sinθ，根据{x =ρcosθy =ρsinθ转换为直角坐标方程为x 2+(y −2)2=4．直线l 的方程为y =tanα(x −2)，转换为参数方程为{x =2+tcosθy =tsinθ(t 为参数)， (2)将直线的参数方程{x =2+tcosθy =tsinθ，代入x 2+(y −2)2=4， 得到t 2+4(cosθ−sinθ)t +4=0，由于|MP|+|MQ|=4√2，故|t 1+t 2|=4√2，所以4|cosθ−sinθ|=4√2，整理得|cosθ−sinθ|=√2|sin(θ−π4)|=√2，由于θ∈(0,π)，所以θ=3π4，故k =−1，即直线的斜率为−1．【解析】(1)直接利用转换关系，把极坐标方程转换为直角坐标方程，再把直线直角坐标方程转换为参数方程．(2)利用直线和曲线的位置关系和一元二次方程根和系数关系式，转换为三角函数的关系式，最后求出直线的斜率．本题考查的知识要点：参数方程和普通方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式，三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)证明：g(x)=|x+b|+|x−a|≥|x+b+a−x|=|a+b|=a+b，当(x+b)(x−a)≤0时，上式取得等号，则a+b=2，可得点(a,b)在定直线x+y=2上；(2)若b=3，则g(x)=|x+3|+|x−a|，x∈[0,1]时，不等式g(x)≤|x+5|恒成立，可得x+3+|x−a|≤x+5，即|x−a|≤2，可得−2+x≤a≤2+x在x∈[0,1]时恒成立，则−1≤a≤2，又3+a>0，即a>−3，综上可得a的范围是[−1,2]．【解析】(1)运用绝对值不等式的性质，可得g(x)的最小值，进而得到定直线；(2)由题意可得|x−a|≤2，即−2+x≤a≤2+x在x∈[0,1]时恒成立，结合一次函数的单调性和恒成立思想，可得a的范围．本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质的运用，以及不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力，属于中档题．。
2020年陕西省高考数学三模试卷(理科)(有答案解析)
2020年陕西省高考数学三模试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z满足（1-i）z=1+i，则复数z=（）A. 1+iB. 1-iC. iD. -i2.设集合A={x|-1≤x≤2，x∈N}，集合B={2，3}，则A∪B等于（）A. {-1，0，1，2，3}B. {0，1，2，3}C. {1，2，3}D. {2}3.若向量=（1，1），=（-1，3），=（2，x）满足（3+）•=10，则x=（）A. 1B. 2C. 3D. 44.已知tan（α+）=-2，则tan（）=（）A. B. C. -3 D. 35.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为2n-1，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…则此数列的前15项和为（）A. 110B. 114C. 124D. 1256.若正数m，n满足2m+n=1，则+的最小值为（）A. 3+2B. 3+C. 2+2D. 37.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为ln5，则在判断框内应填（）A. i≤5？B. i≤4？C. i＜6？D. i＞5？8.已知在三棱锥P-ABC中，PA=PB=BC=1，AB=，AB⊥BC，平面PAB⊥平面ABC，若三棱锥的顶点在同一球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.9.一只蚂蚁从正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（）A. B. C. D.10.函数y=-2sin x的图象大致是（）A. B.C. D.11.已知双曲线与抛物线y2＝8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|＝5，则双曲线的离心率为（）A. 2B. 2C.D.12.已知函数f（x）=ln x-ax2，若f（x）恰有两个不同的零点，则a的取值范围为（）A. （，+∞）B. [．+∞）C. （0，）D. （0，]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设x，y满足约束条件，则z=x-2y的最小值是______．14.设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2-a5=0，则=______．15.（1+）（1-x）6展开式中x3的系数为______．16.曲线y=2ln x在点（e2，4）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为______.三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且（a+b+c）（a+b-c）=3ab．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若c=2，且△ABC为锐角三角形，求a+b的取值范围．18.已知某种细菌的适宜生长温度为10℃-25℃，为了研究该种细菌的繁殖数量y（单位：个）随温度x（单位：℃）变化的规律，收集数据如下：温度x/℃12141618202224繁殖数量y/个2025332751112194对数据进行初步处理后，得到了一些统计量的值，如表所示：1866 3.8112 4.3142820.5其中k i=ln y i，=（Ⅰ）请绘出y关于x的散点图，并根据散点图判断y=bx+a与y=ce dx哪一个更适合作为该种细菌的繁殖数量y关于温度x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（Ⅱ）根据（1）的判断结果及表格数据，建立y关于x的回归方程（结果精确到0.1）；（Ⅲ）当温度为25℃时，该种细菌的繁殖数量的预报值为多少？参考公式：对于一组数据（u i，v i）（i=1，2，3，…，n），其回归宜线v=βu+a的斜率和截距的最小二成估计分别为β=，，参考数据：e5.5≈245．19.如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2，∠ABC=∠DBC=120°，E，F分别为AC，DC的中点（Ⅰ）求证：EF⊥BC；（Ⅱ）求二面角E-BF-C的余弦值20.已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F2（3，0），离心率为e．（Ⅰ）若，求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线y=kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点．若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且，求k的取值范围．21.已知函数f（x）=e x-x2-1．（1）若函数g（x）=，x∈（0，+∞），求函数g（x）的极值；（2）若k∈Z，且f（x）+（3x2+x-3k）≥0对任意x∈R恒成立，求k的最大值．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P（a，1），其参数方程为（t为参数，a∈R）．以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ-ρ=0．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C1与曲线C2交于A，B两点，且||=2||，求实数a的值．23.已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x2+2x．（Ⅰ）解关于x的不等式g（x）≥f（x）-|x-1|；（Ⅱ）如果对∀x∈R，不等式g（x）+c≤f（x）-|x-1|恒成立，求实数c的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：由题设（1-i）z=1+i得z==故选：C．由复数的除法进行变行即可求出复数的除法与乘法是复数的基本运算2.答案：B解析：解：∵A={0，1，2}，B={2，3}，∴A∪B={0，1，2，3}．故选：B．可以求出集合A，然后进行并集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及并集的运算．3.答案：A解析：解：向量=（1，1），=（-1，3），=（2，x）满足（3+）•=10，可得（2，6）•（2，x）=10，可得4+6x=10，解得x=1．故选：A．利用向量的坐标运算以及数量积的运算法则化简求解即可．本题考查向量的坐标运算，向量的数量积的应用，考查计算能力．4.答案：A解析：【分析】本题主要考查两角差的和的正切公式的应用，属于基础题．由题意利用两角差的和的正切公式，求得tan（）=tan[（α+）+]的值．【解答】解：∵tan（α+）=-2，∴tan（）=tan[（α+）+]===-，故选：A．5.答案：B解析：解：数列的前15项为2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，6，15，20，15，6，可得此数列的前15项和为2+3+3+4+6+4+5+10+10+5+6+15+20+15+6=4-2+8-2+16-2+32-2+64-2=（4+8+16+32+64）-10=114．故选：B．由题意写出数列的前15项计算可得所求和．本题考查数列在实际问题中的运用，考查数列的求和，以及运算能力，属于基础题．6.答案：A解析：解：∵2m+n=1，则+=（+）（2m+n）=3+，当且仅当时取等号，即最小值3+2，故选：A．由题意可得，+=（+）（2m+n），展开后利用基本不等式可求．本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是对应用条件的配凑．7.答案：B解析：解：∵ln（1+）=ln=ln（i+1）-ln i，∴i=1时，S=ln2-ln1=ln2，i=2时，S=ln2+ln3-ln2=ln3，i=3时，S=ln3+ln4-ln3=ln4，i=4，S=ln4+ln5-ln4=ln5，此时i=5不满足条件，输出S=ln5，即条件为i≤4？，故选：B．根据程序框图进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用条件进行模拟运算是解决本题的关键．8.答案：B解析：【分析】求出P到平面ABC的距离，AC为截面圆的直径，由勾股定理可得R2=（）2+d2=（）2+（-d）2，求出R，即可求出球的表面积．本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，求出球的半径是关键．属于中档题．【解答】解：由题意，AC为截面圆的直径，AC==，设球心到平面ABC的距离为d，球的半径为R，∵PA=PB=1，AB=，∴PA⊥PB，∵平面PAB⊥平面ABC，∴P到平面ABC的距离为．由勾股定理可得R2=（）2+d2=（）2+（-d）2，∴d=0，R2=，∴球的表面积为4πR2=3π．故选：B．9.答案：D解析：解：①中线段为虚线，②正确，③中线段为实线，④正确，故选：D．根据空间几何体的三视图的画法结合正方体判断分析．本题考查了空间几何体的三视图的画法，属于中档题，空间想象能力．10.答案：C解析：解：当x=0时，y=0-2sin0=0故函数图象过原点，可排除A又∵y'=故函数的单调区间呈周期性变化分析四个答案，只有C满足要求故选：C．根据函数的解析式，我们根据定义在R上的奇函数图象必要原点可以排除A，再求出其导函数，根据函数的单调区间呈周期性变化，分析四个答案，即可找到满足条件的结论．本题考查的知识点是函数的图象，在分析非基本函数图象的形状时，特殊点、单调性、奇偶性是我们经常用的方法．11.答案：A解析：【分析】根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据抛物线的定义可以求出P的坐标，代入双曲线方程与p=2c，b2=c2-a2，联立求得a和c的关系式，然后求得离心率e．本题主要考查了双曲线，抛物线的简单性质．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．解答关键是利用性质列出方程组．【解答】解：∵抛物线y2=8x的焦点坐标F（2，0），p=4，∵抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，∴p=2c，c=2，∵设P（m，n），由抛物线定义知：|PF|=m+=m+2=5，∴m=3．∴P点的坐标为（3，），∴，解得：，c=2，则双曲线的离心率为2，故选：A．12.答案：C解析：解：f（x）=ln x-ax2，可得f′（x）=-2ax，①a≤0时，f′（x）＞0函数是增函数，不可能有两个零点，②0＜a时，令f′（x）=-2ax=0，解得x=，当0时，f′（x）＞0函数是增函数，当x＞时，f′（x）＜0函数是减函数，f（x）的最大值为：f（）=ln-a（）2=-，f（x）恰有两个不同的零点，当x→0+时，f（x）→-∞，当x→+∞时，f（x）→-∞，所以-＞0，解得a∈（0，）．故选：C．利用函数的导数，求解函数的最大值大于0，结合函数的单调性，判断零点的个数即可．本题考查函数的零点问题，渗透了转化思想，分类讨论思想的应用，是一道难题．13.答案：-2解析：解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x-2y为y=x-．联立，解得：C（0，1）．由图可知，当直线y=x-过C（0，1）时直线在y轴上的截距最大，z有最小值，等于0-2×1=-2．故答案为：-2．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14.答案：解析：解：∵8a2-a5=0，∴q3==8，∴q=2，则==，故答案为：．由已知结合等比数列的性质可求q3=，进而可求q，然后结合等比数列的求和公式，代入即可求解．本题主要考查了等比数列的性质及求和公式的简单应用，属于基础试题．15.答案：-26解析：解：由（1-x）6的展开式的通项得：T r+1=（-x）r，则（1+）（1-x）6展开式中x3的系数为（-1）3+（-1）5=-26，故答案为：-26．由二项式定理及二项式展开式的通项公式得：（1+）（1-x）6展开式中x3的系数为（-1）3+（-1）5=-26，得解．本题考查了二项式定理、二项式展开式的通项公式及分类讨论思想，属中档题．16.答案：e2解析：解：根据题意，曲线y=2ln x，其导数y′=，则x=e2处的切线的斜率k=y′=，则切线的方程为y-4=（x-e2），即y=x+2，x=0，y=2，切线与y轴的交点坐标为（0，2），y=0，x=-e2，切线与y轴的交点坐标为（-e2，0），则切线与坐标轴所围三角形的面积S=×2×|-e2|=e2；故答案为：e2根据题意，求出y=2ln x的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率k=y′=，进而可得切线的方程，求出切线与x轴、y轴交点的坐标，由三角形面积公式计算可得答案．本题考查利用导数计算曲线的切线方程，关键是掌握导数的几何意义．17.答案：解：（Ⅰ）△ABC中，（a+b+c）（a+b-c）=3ab，∴a2+b2-c2=ab，由余弦定理得，cos C==；又∵C∈（0，π），∴C=；（Ⅱ）由c=2，C=，根据正弦定理得，====，∴a+b=（sin A+sin B）=[sin A+sin（-A）]=2sin A+2cos A=4sin（A+）；又∵△ABC为锐角三角形，∴，解得＜A＜；∴＜A+＜，∴2＜4sin（A+）≤4，综上，a+b的取值范围是（2，4]．解析：（Ⅰ）化简（a+b+c）（a+b-c）=3ab，利用余弦定理求得C的值；（Ⅱ）由正弦定理求出a+b的解析式，利用三角恒等变换化简，根据题意求出A的取值范围，从而求出a+b的取值范围．本题考查了三角恒等变换与正弦、余弦定理的应用问题，是中档题．18.答案：解：（Ⅰ）绘出y关于x的散点图，如图所示；由散点图可知，y=ce dx更适合作为该种细菌的繁殖数量y关于x的回归方程类型；（Ⅱ）把y=ce dx两边取自然对数，得ln y=dx+ln c，即k=dx+ln c，由d==≈0.183≈0.2，ln c=3.8-0.183×18≈0.5．∴ln y=0.2x+0.5，则y关于x的回归方程为y=e0.5•e0.2x；（Ⅲ）当x=25时，计算可得y=e0.5•e5=e5.5≈245；即温度为25℃时，该种细菌的繁殖数量的预报值为245．解析：（Ⅰ）绘出y关于x的散点图，由散点图判断y=ce dx更适合作为回归方程类型；（Ⅱ）把y=ce dx两边取自然对数，得ln y=dx+ln c，求出回归系数，写出回归方程；（Ⅲ）利用回归方程计算x=25时y的值即可．本题考查了线性回归方程的应用问题，也考查了数学转化思想与计算能力，是中档题．19.答案：证明：（Ⅰ）证法一：过E作EO⊥BC，垂足为O，连OF．由△ABC≌△DBC可证出△EOC≌△FOC．所以∠EOC=∠FOC=，即FO⊥BC．又EO⊥BC，∴BC⊥平面EFO，又EF⊂平面EFO，∴EF⊥BC．证法二：由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y 轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系．则B（0，0，0），A（0，-1，），D（，-1，0），C（0，2，0）．E（0，，），F（，，0），∴=（，0，-），=（0，2，0），∴•=0．∴EF⊥BC．（2）解：解法一：过O作OG⊥BF，垂足为G，连EG．由平面ABC⊥平面BDC，从而EO⊥平面BDC，又OG⊥BF，由三垂线定理知EG⊥BF．∴∠EGO为二面角E-BF-C的平面角．在△EOC中，EO=EC=BC•cos30°=，由△BGO∽△BFC知，OG=•FC=，∴tan∠EGO==2，∴cos∠EGO=，即二面角E-BF-C的余弦值为．解法二：在图中，平面BFC的一个法向量为=（0，0，1）．设平面BEF的法向量为=（x，y，z），又=（，，0），=（0，，）．，取x=1，得=（1，-，1）．设二面角E-BF-C的大小为θ，且由题意知θ为锐角，则cos θ=|cos＜＞=||==，故．二面角E-BF-C的余弦值为．解析：（Ⅰ）法一：过E作EO⊥BC，垂足为O，连OF．证出△EOC≌△FOC．从而FO⊥BC．又EO⊥BC，进而BC⊥平面EFO，由此能证明EF⊥BC．法二：以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立空间直角坐标系．利用向量法能证明EF⊥BC．（2）法一：过O作OG⊥BF，垂足为G，连EG．由三垂线定理知EG⊥BF．∠EGO为二面角E-BF-C 的平面角．由此能求出二面角E-BF-C的余弦值．法二：求出平面BFC的一个法向量和平面BEF的法向量，利用向量法能求出二面角E-BF-C的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：（Ⅰ）由题意得，得．（2分）结合a2=b2+c2，解得a2=12，b2=3．（3分）所以，椭圆的方程为．（4分）（Ⅱ）由得（b2+a2k2）x2-a2b2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．所以，（6分）依题意，OM⊥ON，易知，四边形OMF2N为平行四边形，所以AF2⊥BF2，（7分）因为，，所以．（8分）即，（9分）将其整理为k2=-=-1-（10分）因为，所以，12≤a2＜18．（11分）所以，即．（13分）解析：（Ⅰ）由题意得，得，由此能求出椭圆的方程．（Ⅱ）由得（b2+a2k2）x2-a2b2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．所以，依题意OM⊥ON知，四边形OMF2N为矩形，所以AF2⊥BF2，因为，，所以．由此能求出k的取值范围．本题考查椭圆方程的求法和直线与椭圆位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．21.答案：解：（1）函数f（x）=e x-x2-1，则f′（x）=e x-2x，又g（x）=，x∈（0，+∞），则g′（x）==；设y=e x-x-1，则y′=e x-1＞0在x∈（0，+∞）上恒成立，即y=e x-x-1在x＞0时单调递增；所以y=e x-x-1＞0；令g′（x）＞0，可得x＞1，令g′（x）＜0，可得0＜x＜1；所以g（x）的单调增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）；所以函数g（x）的极小值为g（1）=e-2，无最大值；（2）不等式f（x）+（3x2+x-3k）≥0对任意x∈R恒成立，即为e x+x2+x--1≥0对任意x恒成立，即k≤e x+x2+x-对任意x∈R恒成立；设h（x）=e x+x2+x-，则h′（x）=e x+x+，易知h′（x）在R上单调递增，h′（-1）=-＜0，h′（0）=＞0，则存在唯一的x0∈（-1，0），使h′（x0）=0，即+x0+=0；当x＜x0时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x＞x0时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，所以h（x）min=h（x0）=++x0-；又h′（x0）=0，则h（x0）=（--x0）++x0-=（-x0-3），又x0∈（-1，0），则h（x0）∈（-1，-），即k≤e x+x2+x-对任意x∈R恒成立，所以k≤h（x0），由k max=-1，得出k的最大值为-1．解析：（1）根据题意，对函数g（x）=求导数，利用导数判断g（x）的单调性，并求g（x）的极值；（2）根据题意化为k≤e x+x2+x-对任意x∈R恒成立，构造函数，利用导数求该函数的最小值即可．本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值问题，也考查了不等式恒成立问题，也考查了构造法与转化思想，是难题．22.答案：解：（I）∵曲线C1过点P（a，1），其参数方程为（t为参数，a∈R），∴曲线C1的普通方程为x-y-a+1=0，∵曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ-ρ=0．∴曲线C2的极坐标方程为ρ2cos2θ+4ρcosθ-ρ2=0，∴x2+4x-x2-y2=0，即曲线C2的直角坐标方程为y2=4x．（说明：化简不对，但准确写出互化公式得1分）（2）设A、B两点所对应参数分别为t1，t2，联解，得，要有两个不同的交点，则，即a＞0，由韦达定理有，∵||=2||，∴，或=-2，当时．根据直线参数方程的几何意义可知t1=2t2，，解得a=，a=，符合题意，∴实数a的值为．当时．根据直线参数方程的几何意义可知t1=-2t2，，解得a=，a=＞0，符合题意，∴实数a的值为．综上，a的值为或．解析：（I）由曲线C1参数方程能求出曲线C1的普通方程；曲线C2的极坐标方程化为ρ2cos2θ+4ρcosθ-ρ2=0，由此能求出曲线C2的直角坐标方程．（2）设A、B两点所对应参数分别为t1，t2，联解，得，由此能求出实数a的值．本题考查极坐标方程化普通方程，韦达定理，直线参数方程的几何意义，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23.答案：（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：（Ⅰ）∵函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，∴g（x）=-f（-x）=-（x2-2x），∴g（x）=-x2+2x，x∈R．∴原不等式可化为2x2-|x-1|≤0．上面不等价于下列二个不等式组：…①，或…②，由①得，而②无解．∴原不等式的解集为．…（5分）（Ⅱ）不等式g（x）+c≤f（x）-|x-1|可化为：c≤2x2-|x-1|．作出函数F（x）=2x2-|x-1|的图象（这里略）．由此可得函数F（x）的最小值为，∴实数c的取值范围是．…（10分）解析：先将M，N化简，再计算交集或并集，得出正确选项本题考查二次函数图象与性质．。
2020年陕西省西安市高考数学第三次质检试卷(理科)(三模)
在平面直角坐标系中，直线 的方程为 ＝ ，以原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为： ＝ ．
（1）写出曲线 的直角坐标方程和直线 的参数方程；
（2）设直线 与曲线 相交于 ， 两点，设 ，若 ＝ ，求直线 的斜率．
A. B. C. D.
二.填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋，已知甲不输的概率为 ，乙不输的概率为 ，则两人下成和棋的概率为________．
设等差数列 的前 项和为 ，若 ＝ ，则 ＝________．
已知函数 ， 的最小正周期是________．
1.
【答案】
B
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
求出集合 中的不等式的解集，确定出集合 ，根据全集 ＝ ，找出集合 的补集，然后找出集合 补集与集合 的公共部分，即可求出所求的集合
【解答】
[由指数函数的性质，可知集合 ＝ ＝
又全集 ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
集合 ＝ ，
∴ ＝ ．
2.
【答案】
A
【考点】
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．
已知函数 ＝ ．
（1）证明 ；
（2）若 对 恒成立，求实数 的取源自范围．已知椭圆 的离心率为 ，直线 ＝ 交椭圆 于 、 两点，椭圆 的右顶点为 ，且满足 ．
Ⅰ 求椭圆 的方程；
Ⅱ 若直线 ＝ 与椭圆 交于不同两点 、 ，且定点 满足 ，求实数 的取值范围．
A. B. C. D.
3.已知向量 ，向量 ，则 的值为（）
2020届陕西省西安中学高三下学期第三次模拟考试数学(理)试题(解析版)
陕西省西安中学高2020届高三第三次模拟考试理科数学试题注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上.2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在试卷上无效.3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效.4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，{}3,4,5A =，{}1,3,6B =，则集合{}2,7,8是（ ）A. A B UB. A B IC. ()U C A B ID. ()U C A B ⋃ 【答案】D【解析】【分析】根据{}{},2,7,82,7,8A B ⊄⊄，再根据全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，{}3,4,5A =，{}1,3,6B =，求得U A ð，U B ð，再求解.【详解】因为全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，{}3,4,5A =，{}1,3,6B =，所以{}1,2,6,7,8U A =ð，{}2,3,4,5,7,8U B =ð，所以(){}2,7,8U U U A B A B ⋂=⋃=痧?.故选：D 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2.已知复数z 的实部不为0，且1z =，设1z z ω=+，则ω在复平面上对应的点在（ ） A. 实轴上B. 虚轴上C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】 设z x yi =+，由1z =，得221x y +=，然后化简ω，得到ω对应的点坐标，再判断.【详解】设z x yi =+， 因为1z =，所以221x y +=， 所以22121x yi x yi x yi x yi x yi x x yi z yz x ω-++=++=++-=+=+=+， 所以ω在复平面上对应的点坐标为()2,0x ，又因为复数z 实部不为0，所以ω在复平面上对应的点在实轴上故选：A【点睛】本题主要考查复数的运算和复数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3.将()2nx -的展开式按x 的升幂排列，若倒数第三项的系数是40-，则n 的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【解析】【分析】根据通项公式，求得倒数第三项为()22212n n n n T C x ---=-，再利用系数是40-求解. 【详解】倒数第三项为()22212n n n n T C x ---=-，所以()2222140n n n C ---=-， 所以()2222140n n C --=-，即2200n n --=，解得5n =.故选：B【点睛】本题主要考查二项式定理展开式项的系数及组合数运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4.给出下列四个结论：①对于命题:p x R ∀∈，210x x ++>，则0:p x R ⌝∃∈，20010x x ++≤②“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件；③命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”； ④若命题p q ∧为假命题，则p ，q 都是假命题；其中正确结论的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】根据全称命题的否定是特称命题判断.②根据充分条件和必要条件得定义判断.③根据命题间的关系判断.④根据复合命题p q ∧一假则假判断.【详解】①命题:p x R ∀∈，210x x ++>，是全称命题，其否定是特称命题，故正确.②“1x =”能推出“2320x x -+=”，故充分，“2320x x -+=”推出“1x =” 或“2x =”，不必要，故正确.③命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”，符合逆否命题的定义，故正确.；④若命题p q ∧为假命题，只要有一个假的，则是假的，故错误.故选：C【点睛】本题主要考查命题间的关系，命题的否定以及逻辑条件，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）+16B. 40C. 824D. 48【答案】A【分析】判断几何体的形状，上下是正四棱锥中间是正方体，然后求解几何体的表面积．【详解】由题意可知几何体的中间是正方体，上下是两个相同的正四棱锥，如图：正方体的棱长为2，棱锥的高为3，所以该几何体的表面积为：142282162S =⨯⨯+⨯⨯=+故选：A.【点睛】本题考查三视图求解几何体是表面积，判断几何体的形状是解题的关键，属于基础题． 6.把边长为4的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当直线BD 和平面ABC 所成的角为60o 时，三棱锥D ABC -的体积为( )A. 3B. 3C. 3D. 3【答案】C【解析】【分析】取AC 的中点O ，作DM BO ⊥，结合等腰三角形三线合一、线面垂直判定定理可证得AC ⊥平面BOD ，由线面垂直性质证得BM AC ⊥；根据线面垂直判定定理和线面角的定义可知60DBO ∠=o ，由此可确定DM 的长，即所求三棱锥的高；由棱锥体积公式计算可得结果.【详解】取AC 的中点O ，连接,BO DO ，作DM BO ⊥AD DC =Q ，AB BC = AC DO ∴⊥，AC BO ⊥,BO DO ⊂Q 平面BOD ，BO DO O =I AC ∴⊥平面BODDM ⊂Q 平面BOD DM AC ∴⊥又DM BO ⊥，,BO AC ⊂平面ABC ，BO AC O ⋂= DM ∴⊥平面ABCBD ∴与平面ABC 所成角即为DBO ∠，则60DBO ∠=oDO BO =Q DBO ∴∆为等边三角形12BO DO ===Q DM ∴=111443323D ABC ABC V S DM -∆∴=⋅=⨯⨯⨯= 故选：C【点睛】本题考查三棱锥体积的求解问题，涉及到直线与平面所成角的求解、线面垂直的判定与性质定理的应用；关键是能够确定直线与平面所成角的位置，进而求得三棱锥的高.7.函数ln ||cos ()sin x x f x x x⋅=+在[,0)(0,]ππ-U 的图像大致为（ ）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的奇偶性和特殊值可判断.【详解】解：因为ln ||cos ()()sin x x f x f x x x ⋅-=-=-+，所以()f x 为奇函数，关于原点对称，故排除A ，又因为()10f ±=，()02f π±=，()03f π>，()0f π<，故排除B 、C , 故选：D .【点睛】本题考查函数图象的识别，根据函数的性质以及特殊值法灵活判断，属于基础题. 8.楼道里有9盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，为了行走安全，第一盏和最后一盏不关，则关灯方案的种数为( )A. 10B. 15C. 20D. 24【答案】A【解析】【分析】将问题等价转化为将3盏关着的灯插入6盏亮着的灯所形成的除最左端和最右端的空挡以外的5个空档之内，进而求得结果.【详解】问题等价于将3盏关着的灯插入6盏亮着的灯所形成的除最左端和最右端的空挡以外的5个空档之内∴关灯方案共有：3510C=种故选：A【点睛】本题考查组合数的应用，关键是能够将问题进行等价转化为符合插空法的形式.9.设函数()f x定义如下表：执行如图所示的程序框图，则输出的x的值是（）A. 4B. 5C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】根据流程图执行循环，确定周期，即得结果【详解】执行循环得：(5)3,1;(3)2,2;(2)4,3;(4)5,4;x f t x f t x f t x f t ============L 所以周期为4，因此5,2020,x t ==结束循环，输出5x =，选B.【点睛】本题考查循环结构流程图，考查基本分析求解能力，属基础题.10.函数()sin(2)f x A x ϕ=+（2πϕ≤，0A >）部分图像如图所示，且()()0f a f b ==，对不同的1x ，[]2,x a b ∈，若12()()f x f x =，有12()f x x += ）A. ()f x 在5(,)1212ππ-上是减函数 B. ()f x 在5(,)1212ππ-上是增函数 C. ()f x 在5(,)36ππ上是减函数D. ()f x 在5(,)36ππ上是增函数【答案】B【解析】试题分析：由图可知,所以在上递增,故选B.考点：三角函数的图象与性质.【思路点晴】本题主要考查三角函数的图象和性质,属于中档题.三角函数的图象与性质是高考的必考内容,根据三角函数确定函数解析式,首先是由最大值与最小值确定,再根据周期确定,由最高点的值,最低点的值或者平衡位置确定,求出解析式后再研究函数的相关性质,比较多考查的是函数的定义域,单调性,奇偶性,周期性和对称性.11.过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作斜率为43的直线l 与C 及其准线分别相交于A ，B ，D 三点，则||||AD BD u u u r u u u r 的值为（ ） A. 2或12 B. 3或13 C. 1 D. 4或14【答案】D【解析】【分析】 根据题意，设直线方程432p y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，与抛物线方程联立24322p y x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩消去x 得22302y py p --=，设AF FB λ=uu u r uu r，有12y y λ-=，再由韦达定理 ()212121221924y y y y y y y y +=++=，解得4λ=或14λ=，再根据抛物线的定义，利用三角形相似性分类讨论求解. 【详解】抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线方程为432p y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()1122,,,A x y B x y ， 与抛物线方程联立24322p y x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，消去x 得22302y py p --=， 所以212123,2y y p y y p +==-， 设AF FB λ=uu u r uu r ， 所以1122,,22p p x y x y λ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以12y y λ-=，而()212121221924y y y y y y y y +=++=-， 所以1924λλ--+=-， 即241740λλ-+=，解得4λ=或14λ=， 当4λ=时，如图所示：4AF FB =u u u r u u u r ，所以5AB FB =u u u r u u u r ， 由抛物线得定义得1FB BB =u u u r u u u r ， 又因为直线的作斜率为43， 所以113sin 5BB BDB BD ∠==u u u r u u u r ， 所以15533BD BB BF ==u u u r u u u r u u u r ， 所以203AD AB BD BF =+=u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以||4||AD BD =u u u r u u u r . 当14λ=时，如图所示：4AF FB =u u u r u u u r ， 所以5AB FA =u u u r u u u r ， 又因为1FA AA =u u u r u u u r ，直线的斜率为43，所以113sin 5AA ADA AD ∠==u u u r u u u r ， 所以15533AD AA AF ==u u u r u u u r u u u r ，203BD AB AD AF =+=u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以||14||AD BD =u u u r u u u r . 故选：D【点睛】本题主要考查抛物线的方程和直线与抛物线的位置关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.12.已知命题p ：2()ln f x x x ax =-+在区间[)1,+∞上存在单调递减区间；命题q ：函数22g()x x x x ae -=-+，且5()()02g x g x '+-=有三个实根.若p q ⌝∧为真命题，则实数a 的取值范围是：（ ） A. 650,2e -⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 2312e ⎛⎤- ⎥⎝⎦，- C. 651,2e -⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D. [)1,+-∞【答案】C【解析】【分析】根据命题p ：2()ln f x x x ax =-+在区间[)1,+∞上存在单调递减区间，转化为命题P ⌝：2()ln f x x x ax =-+在区间[)1,+∞上不存在单调递减区间，即1()20f x x a x '=-+≥在区间[)1,+∞上恒成立求解.根据5()()02g x g x '+-=有三个实根，转化为227()2x a e x x =+-有三个实根求解，p q ⌝∧为真命题，则两者取交集.【详解】因为命题p ：2()ln f x x x ax =-+在区间[)1,+∞上存在单调递减区间， 所以命题P ⌝：2()ln f x x x ax =-+在区间[)1,+∞上不存在单调递减区间，所以1()20f x x a x'=-+≥在区间[)1,+∞上恒成立， 即12a x x≥-+在区间[)1,+∞上恒成立， 因为12y x x =-+在区间[)1,+∞上是减函数， 所以1y ≤-，所以1a ≥-.所以命题P ⌝：1a ≥-.因为22g()x x x x ae -=-+，所以2g ()212x x x ae -'=--， 又因为5()()02g x g x '+-=有三个实根， 所以22702x x x ae -+--=有三个实根， 即227()2x a e x x =+-有三个实根， 令227()2x t e x x =+-， 2222(23)2(1(3)x x t e x x e x x '=+-=-+），当1x >或3x <-时，0t '>，t 是增函数，当31x -<<时，0t '<，t 是减函数，所以当3x =-时，t 取得最大值652e -， 当1x =时，t 取得最小值232e -，所以263522e a e --<<. 若p q ⌝∧为真命题，则实数a 的取值范围是：651a<2e --≤. 故选：C【点睛】本题主要考查复合命题，导数与函数的单调性，导数与函数的极值，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.第Ⅱ卷（90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡上的相应位置.13.若实数,x y 满足不等式组2326y x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪+≥⎩，则1y z x +=的最大值为__________. 【答案】2【解析】【分析】 根据约束条件，画出可行域，明确1(1)0y y z x x +--==-，表示：定点P (0，-1)与动点Q （x ，y ）所确定直线的斜率，找到最优点再求解. 【详解】实数,x y 满足不等式组2326y x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪+≥⎩，对应的可行域，如图所示：1(1)0y y z x x +--==-，表示：定点P (0，-1)与动点Q （x ，y ）所确定直线的斜率，最大值点C (1，1)，所以1y z x +=的最大值为2 故答案为：2【点睛】本题主要考查线性规划求最值，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题.14.已知向量()cos ,sin AB αα=u u u r ，()cos ,sin BC ββ=u u u r ，()cos ,sin CA γγ=u u u r ，其中02αβγπ<<<<，则AB BC ⋅u u u r u u u r 的值是__________. 【答案】12- 【解析】【分析】因为0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r ，即AB BC CA +=-u u u r u u u r u u u r，然后两边平方求解.【详解】已知向量()cos ,sin AB αα=u u u r ，()cos ,sin BC ββ=u u u r ，()cos ,sin CA γγ=u u u r ， 所以0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r ，即AB BC CA +=-u u u r u u u r u u u r ，所以()()22AB BC CA +=-u u u r u u u r u u u r所以()2222AB AB BC BC CA +⋅+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以12AB BC ⋅=-u u u r u u u r . 故答案为：12- 【点睛】本题主要考查向量的基本运算，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.15.已知三棱锥S ABC -中，SA ⊥面ABC ，且6SA =，4AB =，BC =，30ABC ∠=︒，则该三棱锥的外接球的表面积为__________．【答案】52π【解析】【分析】根据题意，证出BC ⊥平面SAC ，可得BC ⊥SC ，得Rt △BSC 的中线OC 12=SB ，同理得到OA 12=SB ，因此O 是三棱锥S ﹣ABC 的外接球心．利用勾股定理结合题中数据算出SC ，得外接球半径R 从而得到所求外接球的表面积．【详解】取SB 的中点O ，连结OA 、OC∵SA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴SA ⊥AB ，可得Rt △ASB 中，中线OA 12=SB由4AB =，BC =30ABC o ∠=，可知：AC ⊥BC ，又∵SA ⊥BC ， SA 、AB 是平面SAB 内的相交直线∴BC ⊥平面SAC ，可得BC ⊥SC因此Rt △BSC 中，中线OC 12=SB ∴O 是三棱锥S ﹣ABC 的外接球心，∵Rt △SBA 中，AB 4=，SA ＝6∴SB ＝2，可得外接球半径R 12=SB因此，外接球的体积S 4=Πr 252=π故答案为52π．【点睛】本题在特殊三棱锥中求外接球的表面积，着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理和球的表面积公式等知识，属于中档题．16.如图平面四边形ABCD 的对角线的交点位于四边形的内部，1AB =，BC =，AC CD =，AC CD ⊥，当ABC ∠变化时，对角线BD 的最大值为__________．【答案】1【解析】【分析】设∠ABC ＝α，∠ACB ＝β，利用余弦定理求出AC ，再利用正弦定理求出sinβ，利用余弦定理求得对角线BD ，根据三角恒等变换求出BD 的最大值．【详解】设∠ABC ＝α，∠ACB ＝β，则由余弦定理得，AC 2＝1+3﹣2×1cosα＝4﹣； 由正弦定理得AC AB sin sin αβ=， 则sinβ=；所以BD 2＝3+（4﹣）﹣2cos （90°+β）＝7﹣＝sin （α﹣45°），所以α＝135°时，BD=1．故答案为1．【点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 与{}n b 满足：*1232()n n a a a a b n N ++++=∈L ，且{}n a 为正项等比数列，12a =，324b b =+.（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足*2211()log log n n n c n N a a +=∈，n T 为数列{}n c 的前n 项和，证明：1n T <. 【答案】（1）2n n a =，21n n b =-；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由a 1+a 2+a 3+…+a n ＝2b n ①，n ≥2时，a 1+a 2+a 3+…+a n ﹣1＝2b n ﹣1②，①﹣②可得：a n ＝2（b n ﹣b n ﹣1）（n ≥2），{a n }公比为q ，求出a n ，然后求解b n ；（2）化简2211log log n n n c a a +=（n ∈N *），利用裂项消项法求解数列的和即可．详解】（1）由a 1+a 2+a 3+…+a n ＝2b n ①n ≥2时，a 1+a 2+a 3+…+a n ﹣1＝2b n ﹣1②①﹣②可得：a n ＝2（b n ﹣b n ﹣1）（n ≥2）， ∴a 3＝2（b 3﹣b 2）＝8∵a 1＝2，a n ＞0，设{a n }公比为q ，∴a 1q 2＝8，∴q ＝2∴a n ＝2×2n ﹣1＝2n∴()1231212222222212n n n nb +-=++++==--L ， ∴b n ＝2n ﹣1．（2）证明：由已知：()22111111n n 1n n n c log a log a n n +===-++． ∴1231111111111223n n 11n c c c c n L L ++++=-+-++-=-<++ 【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力．数列求和的常见方法有：列项求和，错位相减求和，倒序相加求和. 18.如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，且PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=o ，E 是BC 中点，F 是PC 上的点.（1）求证：平面AEF ⊥平面PAD ；（2）若M 是PD 的中点，当AB AP =时，是否存在点F ，使直线EM 与平面AEF 的所成角的正弦值为15？若存在，请求出PF PC的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）12或45【解析】 【分析】(1)根据底面菱形的特点得到AE AD ⊥，再由线面垂直得到PA AE ⊥，AE ⊥平面PAD ，进而得到面面垂直；（2）建立空间坐标系得到线面角的表达式1sin 5θ==，求解即可.【详解】（1）连接AC ，因为底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，所以ABC V 是正三角形，E Q 是BC 的中点，AE BC ∴⊥，又//,AD BC AE AD ∴⊥， PA Q ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面,ABCD PA AE ∴⊥，又,PA AD A AE ⋂=∴⊥平面PAD ，又AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面PAD ．（2）以A 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，不妨设2AB AP==，则AE =则())()())()0,0,0,,0,2,0,0,0,2,,0,1,1A CD PEM ，设)2PF PC λλ==-u u u v u u u v，则()))0,0,22,,22AF AP PF λλλ=+=+-=-u u u v u u u v uu u v，又)AE =u u u v，设(),,n x y z =v 是平面AEF的一个法向量，则()0220n AE n AF x y z λλ⎧⋅==⎪⎨⋅=++-=⎪⎩u u u v v u u u vv ， 取z λ=，得022,n λλ=-v（，），设直线EM 与平面AEF 所成角为θ，由()EM =u u u u v，得：1sin cos ,5EM n EM n EM n θ⋅====⋅u u u u v v u u u u v vu u u u v v ． 化简得：2101340λλ-+=，解得12λ=或45λ=， 故存在点F 满足题意，此时PF PC 为12或45． 【点睛】这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系，线面角．求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可．面面角一般是定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，也可以建系来做．19.近期，西安公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，x 表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表下所示：根据以上数据，绘制了散点图.（1）根据散点图判断，在推广期内，y a bx =+与x y c d =⋅（,c d 均为大于零常数），哪一个适宜作为扫码支付的人次y 关于活动推出天数x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）； （2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，建立y 与x 的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；（3）推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如下表：西安公交六公司车队为缓解周边居民出行压力，以80万元的单价购进了一批新车，根据以往的经验可知，每辆车每个月的运营成本约为0.66万元.已知该线路公交车票价为2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客中有16的概率享受7折优惠，有13的概率享受8折优惠，有12的概率享受9折优惠.预计该车队每辆车每个月有1万人次乘车，根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其它因素的条件下，按照上述收费标准，假设这批车需要n （n ∈+N ）年才能开始盈利，求n 的值.参考数据：其中其中lg i i v y =，7117i i v v ==∑，参考公式：对于一组数据11(,)u v ，22(,)u v ，L ，(,)n n u v ，其回归直线ˆˆv u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆni i i nii u v nu vunu β==-⋅=-∑∑，ˆˆv u αβ=-. 【答案】（1）xy c d =⋅（2）0.540.250.25103.4710x x y +⋅==⨯，3470（3）7 的【解析】 【分析】（1）由散点图可知，更接近指数增长，所以x y c d =⋅适宜作为扫码支付的人次y 关于活动推出天数x 的回归方程类型.（2）根据（1）的判断结果x y c d =⋅两边取对数得lg lg lg y c d x =+⋅，则lg ,y x 两者线性相关，根据已知条件求出lg ,y x 得回归方程，进而得到y 关于x 的回归方程，再令8x =，求预测值（3）设一名乘客一次乘车的费用为ξ元，根据题意ξ得可能取值为：1.4、1.6、1.8、2，求出分布列，进而求得期望，然后再建立不等式求解.【详解】（1）根据散点图判断，在推广期内， xy c d =⋅（,c d 均为大于零的常数），适宜作为扫码支付的人次y 关于活动推出天数x 的回归方程类型. （2）根据（1）的判断结果x y c d =⋅， 两边取对数得lg lg lg y c d x =+⋅，其中lg i i v y =，711 1.547i i v v ===∑，7721150,12,4,140i i i i i x x v x =====∑∑，71221lg 0.2ˆ5i i i nii x v nx vd xnxβ==-⋅===-∑∑，ˆˆlg 0.54c v x αβ==-=， 所以lg 0.540.25y x=+⋅所以0.540.250.2510 3.4710x x y +⋅==⨯。
陕西省2020届高三下学期第三次教学质量检测数学(理)试题含解析
【答案】－40
【解析】
【分析】
利用二项式定理求出二项式 的展开式的通项公式,令 的指数为零，求得 的值，然后代入二项式 的展开式的通项公式即可求解。
【详解】由题意知,二项式 的展开式的通项公式为
，
令 ,解得 ，
所以二项式 的展开式的常数项为
【答案】 （1)。 （2）。
【解析】
【分析】
根据题中条件，先得到从第二行开始,每一行相邻的两个数之和都等于这两个数上一行对应的数字,由此可求出第10行从左边数第3个位置上的数；以及满足的关系式.
【详解】由题中条件可得， , ， ， ， , ， , ， ，……,
由此可得,从第二行开始，每一行相邻的两个数之和都等于这两个数上一行对应的数字；
12. 已知椭圆 ： 与双曲线 ： （ ， )有共同的焦点 ， ，且在第一象限的交点为 ，满足 （其中 为原点）。设 ， 的离心率分别为 ， ，当 取得最小值时， 的值为（ ）
A。 B.
C。 D。
【答案】D
【解析】
【分析】
作 ,利用椭圆和双曲线定义可表示出 ，由 ,可得点 的横坐标为 ，利用勾股定理可得 ,即 ,再利用基本不等式可求出最值,并求出此时 的值.
8. 在 中,若 ，则下列等式中一定成立的是（ ）
A. B。 C. D。
【答案】A
【解析】
【分析】
利用降次公式得到 ，展开得到 ,得到
【详解】∵ ,
∴ 。
∵ .
故选A。
【点睛】本题考查了三角恒等变换，也可以利用特殊值法排除选项得到答案.
9. “ ”是“ ”的( ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C。 充要条件D。 既不充分也不必要条件
【数学】陕西省西安市2020届高三下学期第三次质量检测试题(理)(解析版)
A.①③④B.①③C.②④D.②③④
【答案】B
【解析】
1、由 ，知：最小正周期 ，故①正确
2、由正弦函数的性质，知： 中 ， ，则对称中心为 ，故②错误
3、由 的化简函数式知： ，故③正确
4、因为 在定义域上为增函数，结合复合函数单调性知： 在 上递增，可得 ， ，有一个单调增区间为 ，故 上不单调，故④错误
陕西省西安市西北工业大学附属中学2020届高三下学期高考猜题卷（三）数学试题(理)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.已知集合 ， ，则 （）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】集合 ，又 ，
则 .
故选：D.
2.复数 （ ， 是虚数单位）是纯虚数，则m等于（）
A.该公司2019年利润是2018年的3倍
B.该公司2019年的员工平均工资是2018年的2倍
C.该公司2019年的总收入是2018年的2倍
D.该公司2019年的研发费用等于2018年的研发和工资费用之和
【答案】B
【解析】2018年全年收入为 ，则2019年全年收入为 ，
因为2019年和2018年的材料设备费用相同，所以 ，即： ，故C选项正确；
对于A选项，2018年的利润为： ，2019年的利润为： ，故正确；
对于B选项，2019年的平均工资为： ，2018年的平均工资为： ，故B选项不正确；
对于D选项，2019年的研发费用为： ，2018年的研发和工资费用之和为： ，故正确．
故选：B．
6.已知双曲线 的一条渐近线过点 ，则该双曲线的离心率为（）
（一）必考题：共60分.