清华大学组合数学研究生考前复习精品PPT课件
清华大学 概率考研复习讲义-3
第三讲随机向量及其分布§3.1 随机向量及其分布随机向量及其分布函数的定义 / 两个重要的多元分布条件分布及随机变量的独立性§3.2 随机向量的函数的分布随机变量的函数的分布 / 随机向量的函数的分布§3.3 独立性总结§3.1随机向量及其分布随机向量及随机向量函数(含rv函数)的分布计算和研究, 又一次大大扩展对随机规律的认识和研究能力. 而rv之间的独立性, 成为关注的焦点之一.把握rv分布和事件发生的概率之间的关系, 更一般地, 把握rv联合分布和事件同时发生的概率之间的关系, 既可理解变量(向量)规律的研究本质, 又可时刻理解rv间的独立性, 还可发现并容易掌握条件分布几个公式.3.1.1 随机向量及其分布函数的定义1. 定义定义3.1.1 设X i，i=1,2,…,n是定义在同一个概率空间 (Ω,ℱ,P) 上的rv，则称X:= (X1, X2, …,X n )为n维随机向量（记r ）. 而称n元函数为n维v rF X(x1, x2, …,x n ):=P(X1≤x1, X2≤x2,…, X1≤x n ),(x1, x2, …,x n )∈R n为rvX i，i=1,2,…,n的联合分布函数，或n元df，也称为随机向量X 的分布函数.令x=(x1, x2, …,x n )，则定义式子的右方也可写为向量形式F X (x ).1. 联合df 的性质由联合df 定义，可仿照一元情形立即得到下述性质： F1). 非降性. F (x 1, x 2, …,x n )对每一变元为非降； F2). 右连续性. F (x 1, x 2, …,x n )对每一变元为右连续； F3). 边界极端性. 下述极限存在且有值n j x x x F n x j ,,2,1,0),,,(lim 21K K =∀=∞→；1),,,(lim21,,1=∞→∞→n x x x x x F n K K .F4). 多维特别性质. 以df F (x,y )为例，对任意的x 1< x 2 , y 1<y 2, 必有F(x 2, y 2)− F(x 2, y 1)− F(x 1, y 2)+ F(x 1, y 1) ≥ 0.可定义离散型v r v 和连续型v r v . 此时分别有离散分布n 21i i i p L = P ),,,(21n 21i X i X i X n ===K ,及n 维pdf f X (x )，它满足 F X (x ) =∫∫∫∞−∞−∞−12212121),,,(),,,(x x n xn X X X dx dx dx x x x f nn L L L L 这里X =(X 1, X 2, …,X n ), x =(x 1, x 2, …,x n ).注意: ① 一个分量的边际分布不再与其它分量有任何关系. ② f (x,y ) dxdy 是(X ,Y )在(x,y )点微分邻域的概率. 于是，rv r(X,Y )取值于二维区域D 的概率，∫∫=∈D Y X dxdy y x f D Y X P ),()),((),(.(3.1.1)③ . 当f (x,y )在(x,y )点连续，∫∫∞−∞−=xydudv v u f y x F ),(),(则 yx y x F y x f ∂∂∂),(),(2=.3.1.2 两个重要的多元分布 1. 多元均匀分布U A定义3.1.2 设A 和R n 都是n 维L-可测区域(即有n 维体积)，A⊂R n ，0 < L(A ) <∞. 如 (Ω,ℱ,P )上定义的n 个rv X i , i =1,2, ...,n所组成v r rX 的pdf 为)(x f X = ⎩⎨⎧∈,其它0)(/1Ax A L则称X 遵从A上均匀分布. 记为 X ∼ U A .2. 多元正态分布N( a , ∑) (1) 概念定义3.1.3 设二维v r r(X,Y )的pdf 为：对任意 (x,y ) ∈ R 2),,,,;,(222121ρσσμμφy x ,))((2)1(21exp 12122221212112221⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−=σμσσμμρσμρρσπσy y x x 其中 12121)0(),0(,,R ∈>>σσμμ, |ρ| <1, 称X 遵从参数为 , 的二元正态分布，也记为 (X,Y )～N(μρσσμμ,,,,2221211, μ2, σ12, σ22, ρ).特别地，称 N(0,0,1,1,ρ) 为二元标准正态分布, 其pdf 简记为),,(ρφy x .设(X,Y )∼N(μ1, μ2, σ12, σ22, ρ), 则其分量的标准化变量X *=(X −μ1)/σ1和Y *= (Y −μ2)/σ2有联合分布 (X *,Y *)~N(0,0,1,1,ρ). 记住, 标准化和配方, 是正态分布计算和证明中常用的基本技术.(2) 二元正态分布与边际分布的关系1) 如(X,Y )∼N(μ1, μ2, σ12, σ22, ρ)，则X ∼N(μ1, σ 12)和Y∼N(μ2, σ 22)，且(X *,Y *) ~N(0,0,1,1,ρ)，从而X *∼N(0, 1)，Y *∼N(0, 1).2) (X,Y )和(X *,Y *)两者分布中的参数ρ都是不变的. 实际上我们有更一般的结果：一个二维v r r各分量的任意线性函数,0,,≠+=+=ab d cY V b aX U , 则得到新的二维rvr ),(V U ，且|ρ |不变的.3) 联合分布决定边际分布，反之则不然：此时我们无法决定参数ρ，事实上我们更有甚者：由两个一维正态df , 可以组织一个不是正态分布的二维联合分布!4) 联合分布里的参数ρ是用来刻画X 与Y 之间的联系的. 如果 (X,Y )有二元正态分布, 则其两个分量独立的充要条件是ρ =0, (X *,Y *)的结论相同. 但在一般分布中, 上述结论一般不正确; 两个rv 不相关的充要条件见下一讲.(3) 二元正态分布密度的函数性态由二元正态pdf 容易得到二元正态分布的性质： 1) pdf >0 且任意阶导函数为连续的；2) 关于平面),,,,;,(222121ρσσμμφy x 1μ=x 和平面2μ=y 对称，在点 (μ1, μ2) 取得最大值1221)12(−−ρσπσ, 故1σ和2σ越小、ρ越接近于1，则此最大值越大.3.1.3 条件分布及rv 的独立性 1. 条件分布对某固定的x ∈, P(X = x ) >0时，条件概率1R P(Y ≤ y | X = x ) = P(X = x , Y ≤ y ) / P(X = x )称为X =x 条件下Y 的条件df ，简记为F Y|X (y |x ), −∞ <y < ∞.当X 是连续型rv 时，用 (x − Δx <X ≤ x )代替(X = x )， 定义3.1.4 设X 和Y 为rv ，当下述极限存在时F Y|X (y |x ):=0lim →Δx {P(x −Δx <X ≤x , Y ≤y ) / P( x −Δx <X ≤x ) }, y ∈R 1.称为X = x 条件下Y 的条件分布函数.当(X , Y )的pdf f (x , y )在(x , y )点连续，固定y ∈，并在该x 点f R 1X (x ) >0. 则由H 'ospital 法则，上式中的极限式= / f dv v x f y),(∫∞−X (x ) =f /),([v x f y∫∞−X (x )] d v .可见令 f Y|X (y |x ): = f (x , y ) / f X (x )， f X (x )>0. 有 .∫∞−=yX Y X Y dv x v f x y F )|()|(||仿上可定义 F X|Y (x |y)及 f X|Y (x |y)，且可证，条件df [或条件pdf ]确为df [或pdf ].2. rv 的独立性定义3.1.5 设F X (x 1, x 2, …,x n )及 F j (x j ) 分别是(X 1, X 2, …,X n )及X j 的df ，j =1, 2, ...,n ，如F X (x 1, x 2, …,x n ) =∏1n F j (x j ), ∀ (x 1, x 2, …,x n ) ∈R n ,则称 X 1, X 2, …,X n 为相互独立的.[ 典型例题 ]z二元df 基本性质例3.1.1 设二元函数 ⎩⎨⎧<+≥+=120121),(y x y x y x F 它是二元df 吗?z联合分布与边际分布例3.1.2 于只有3个红球4个黑球的袋中逐次随机取一球，令 =, i =1, 2.i X ⎩⎨⎧次取出黑球如第次取出红球如第i i 01试在有放回和不放回两种取球方式下，求X 1和X 2的联合分布. X 1和X 2独立吗? 为什么?【 有放回：有放回时X 1和X 2独立; 不放回时X 1和X 2不独立. 】例3.1. 3 设rvX 与Y 相互独立，下表列出了v r （X ,Y ）分布律和关于X 和关于Y 的边缘分布律中的部分已知数值，试将其余数值填入表中的空白处.例3.1. 4 已知rv X 1和X 2的概率分布 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−4121411101~X ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡11210~X ，而且.1)0(21==X X P 求X 1和X 2的联合分布；问X 1和X 2是否独立？为什么？ 【X 1和X 2不独立】例3.1.5 设有n 个袋子, 各装红球r 只, 黑球h 只及白球w只. 今从第1个袋子随机取一球, 放入第2个袋子, 再从第2个袋子再随机取一球, 放入第3个袋子, 如此继续. 令⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=nk k W k R k k ...,2,1.,0,,1,.,0,1反之次取出白球当第反之次取出红球当第试求 1). R k 的分布; 2). (R 1, W 1 )的分布; 3).P (W 1=1| R 2 =1). 【1)w b r w b R P wb r rR P k k +++==++==)0(,)1(2). p 00 =b /(r+b+w ), p 11= 0, p 01 =w /(r+b+w ), p 10=r /(r+b+w ). 3). ⋅+++)1/(w b r w 】例3.1.6 设(X ,Y )的pdf 为)}(exp{),(y x n c y x f +−⋅=)+<<<0(∞y x I ,其中n 为已知正整数，c 为待定常数. 1). 求常数c ；2). 求条件密度f Y|X (y |1);3). X 与Y 是否独立，为什么？解 1)由二维pdf 性质，.2,21)}(exp{12202n c nc dxe n e c dy edx ec dxdyy x n c dxdy y x f nx nx xnynxyx R ==×==+−⋅==−∞−∞∞−−<<∫∫∫∫∫∫∫ ),(2) 求边际pdf ,,22),()(2)(2>===−∞+−∞∞−∫∫x ne dy e n dyy x f x f nx x y x n X故.2/2)1(/),1()1|()1(2)1(21−−−+−>=====y n n y n y X X Y ne ne e n f y f y f |而对其余y, 为0.)1|(y f X Y |3) 仿2) 求Y 的边际pdf),1(22),()(0)(2>−===−−+−∞∞−∫∫y e ne dx e n dx y x f y f ny ny yy x n Y .易见，y x y f x f y x f <<≠0),()(),(Y X .故X 和Y 不独立.zrv 的独立性例3.1.7 设 ⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它10,08 ),(),(y y x xyy x f Y X ，问X 与Y 是否独立？解 固定 ]1,0[∈x,)1(48),()(12∫∫−===∞∞−x X x x xydy dyy x f x f于是 )10()1(4)(2≤≤−=x I x x x f X 仿上 )10I(4)(3≤≤=y y y f Y X 与Y 不独立.例3.1.8 试证如 v r r(X ,Y )的 pdf f (x ,y )有如下分离变量乘积形式，则 X 和Y 一定独立.⎩⎨⎧<<<<=其它0,)()( ),(dy c b x a y h x g y x f ，其中实数 a < b , c < d , 并允许取无穷.§ 3.2 随机向量函数的分布通过随机向量函数的分布计算和研究, 将已经把握的rv 和随机向量的概率规律, 扩展到对它们的函数――变化更多的、新的rv 和随机向量的随机规律的认识和把握.rv 之间的独立性, 成为关注的焦点之一. 3.2.1 随机变量的函数的分布 通用公式⎪⎩⎪⎨⎧==≤=∫∑∫≤≤≤为连续型当为离散型当X dx x f X X p x dF y X g P y F y x g x Xy x g j j y x g x X Y j )(:)(:)(:)()()())(()( 1. 离散型rv 函数的分布例3.2.1 设 X ~ P(λ)，试求 Y = 2X −1的分布. 【 解P (Y =k ) = P (X =(k +1)/2) =λλ−++e k k )!(2121, k =0，1, 2, ... ?解 P (Y =2k −1) = P (X =k ) =λλ−e k k!k =0，1, 2, ...，Y 的分布列 ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−−−L LL L λλλλλλλe k e e e k k!21231122. 连续型rv 函数的分布 (1) 直接法――利用通用公式：(2) 连续型的公式法)(x g y =是分段严格单调且连续可微:定理2.4.1 设X 有连续的pdf f X (x )，函数y =g (x )是严格单调且连续可微，其唯一反函数x =h (y )连续可微. 则Y =g (X )是连续型的，其pdf 为)())(()('y h y h f y f X Y =线性函数情形:推论 设X 有连续的pdf f X (x ),0≠a ，则b aX Y +=仍是连续型的，其pdf 为3.2.2 随机向量的函数的分布离散型v r v函数的情形；连续型v r v函数的情形:1. 连续型的通用公式(直接法)∫∫≤=≤=z y x g Y X g dxdy y x f z Y X g P z F ),(),(),()),(()(2. 公式法 (1) 一般函数变换基于多元微积分中变量替换知识，对连续型v r v函数的分布也可建立像上面一维情形的定理(略). 由此及上节结论：pdf 为分离变量乘积的形式时分量是相互独立的，可得下面推论.推论1 设连续型 X 与Y 独立，两个一元函数u , v 都有各自唯一的反函数x , y ,u u x v v y ==⎧⎨⎩()()及，x x u y y v ==⎧⎨⎩()()且上述四个函数的导函数连续，则 U ＝u (X ) 和 V ＝v (Y )仍然独立.推论2 设 rv X 与Y 独立，u (x )和v (y )是两个Borel 函数(常见常用的、在高等数学里遇到的函数都是Borel 函数)，则rv U ＝u (X )和V ＝v (Y ) 仍然独立. 对两个以上独立的rv 的各自Borel 函数, 也仍然是独立的.作为推论2的一个应用，当X *与Y * iid , ~ N (0,1) 时，可由推论2得到和也是独立的. 进一步当X 、Y 和Z 独立时, X +Y 和Z 1*1μσ+=X X 2*2μσ+=Y Y 2也是独立的.(2) 几个重要函数的密度公式 1) rv 的和差积商公式)(.)()(),(),()(独立与当Y X dx x f x z f dxx z x f dx x x z f z f Y X Y X ∫∫∫∞∞−∞∞−∞∞−+−=−=−= 2) 最大值与最小值的分布设 F X (x 1, x 2, …, x n )是X =(X 1, X 2, …, X n )的df , 而F j 和f j 分别为X j 的df 和pdf . 令X (n) = max{X 1, X 2, …, X n }， X (1) = min{X 1, X 2, …, X n }下面求X (n)与X (1)的分布.由df 定义,),,,(),,,()(:)(),,,(21)()(21z z z F z X z X z X P z X P z F n X X X n n n L L L =≤≤≤=≤=)()]([)()()(1)(iid X z F X z F z F j n j n j n 当诸独立当诸==∏1 (又当F 111)()]()[()(−=n n z F z nf z f j 连续可微). 对最小值函数, 转而考虑),,,()(21)1(z X z X z X P z X P n >>>=>L .由于 ，故)(1)()1()1(z X P z F >−=)()](1[1)()](1[1),,,(1)(121)1(iid X z F X z F z X X z X P z F j n j nj n 当诸独立当诸−−=−−=>>>−=∏=1j L 111)1()](1)[()(−−=n z F z nf z f (又当F j 连续可微).[ 典型例题 ]z 连续型rv 函数的分布例3.2.1 设 求 Y =,~)1,0(U X 22+−X 的pdf .例3.2.2 设rv X 有连续的pdf ，求 Y = X )(x f X 2 的pdf ; 当 X ～N (0, 1)时，证明Y = X 2 的pdf 为)0(21)(221>=−−y I e y y f yY π【0,)(>±=y y y h j ，[])0()()(21)(>−+=y I y f y f y y f X X Y . 代入X pdf 即得】例3.2.3 在单位圆周上随机取一点D,求点D 横坐标X 的分布.【.)1|(|)1(/1)(2<−=x I x x f X π】 323z rv 和的分布例3.2.4 (离散卷积)设rv X , Y 相互独立, 分布律分别为P (X = k ) = p (k ), k = 0,1,2,…；P (Y = r ) = q (r ), r = 0,1,2,… 证明rvZ =X +Y 的分布律为P (Z =i )=.∑==−i k i k i q k p 0,...2,1,0),()(例3.2.5 设X 、Y iid , ~ U(0,1) . 试求X +Y 的分布.【当0 ≤ z <1, ;2)(2z z F Y X =+ 当1 ≤ z <2，12)(221−−=+z z z F Y X ，又)(z F Y X +＝0，z <0；＝1，z ≥2 ； ⎩⎨⎧<≤−<<=+21,210,)(z z z z z f Y X ，而在其余的点处，pdf 为0. 】z 随机向量函数的分布例3.2.6 设rv 是iid 的, 且n 1,,X X L ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−p r q 101~, 其中0 < p <1, 0 < q <1, r ≥ 0, p + q + r = 1. 试求下列函数的分布: 、及21X X +21X X k n k X X ≤≤=1)1(min :【⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−−+2222122221012~p pr r pq qr qX X ，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++−−22221)(12101~q p q p pq X X ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−−≡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−++−−n n n n n n n n p p q q p p p r p r X )1()1(1101)()(1101~)1(.】例3.2.7 设随机向量（X , Y ）的分布律为1) 求).0|3(),2|2(X ====Y P Y X P2) 求 .},max{的分布律Y X U =3) 求.},min{的分布律Y X V =4) 求的分布律.V U W +=U0 1 2 3 4 5 p 0. 28 0.04 0.16 0.28 0.24 0.28kV 0 1 2 3p 0.28 0.30 0.25 0.17 kW 0 1 2 3 4 5 6 7 8p 0 0.02 0.06 0.13 0.19 0.24 0.19 0.12 0.05 k（X ，Y ）在矩形例3.2.8 设二维v r }10,20),{(≤≤≤≤=y x y x G 上服从均匀分布，试求边长为X 和Y 的矩形面积S 的pdf .)(s f 【设0<s<2，曲线 xy = s 与矩形G 的上边交于点（s,1）；位于曲线 x y = s 上方的点满足xy >s ，位于下方的点满足xy <s ，于是由几何概型).ln 2ln 1(2212}{}{)(2s s dx s s XY P s S P s F s x s −+=+=≤=≤=∫ )20()ln 2(ln )(21<<−=s I s s f 】 z 应用例3.2.9 用两个独立的同类设备和如图示分别组成串联、并联及备用（也即冷储备）系统. 如此类设备的寿命为参数是λ的指数分布，试求系统的寿命分布.1S 2S 【2λexp{−λ u }exp{−λu }，u >0 ；2λexp{−λu }[1−exp{−λu }]，u >0 ； Γ(2,λ)】例3.2.9不同结构的系统§3.3 独立性总结方法1. 由定义及等价定义判断.方法2. 由条件分布判断.方法3. 由联合分布的等效形式判断.方法4. 联合密度有分离变量形式, 则分量一定独立 方法5. 联合密度不为0的区域不是可分离的, 即X 和Y 有‘纠缠’, 一般不独立.方法6. 关于二元正态, 分量独立⇔ρ = 0, 即分量不相关. 方法7. 关于rv 的函数的情况, 有如下结论: 1) 如果X 和Y 独立, 则g (X )和h (Y )仍然独立; 2) 如果X 和Y 独立, 且其函数U = u (X , Y ) 和 V = v (X , Y ) 都是rv , 则U 和V 可能独立, 也可能不独立.3) 随机向量的函数变换应该慎重.。
18010_清华大学运筹学课件(完整课件)
存储论的应用举例
要点一
物资库存管理
在制造业、零售业等领域中，物资库 存管理是一个重要环节。通过应用存 储论的相关模型和策略，可以制定合 理的库存计划和控制策略，降低库存 成本并提高客户服务水平。
要点二
供应链优化
在供应链管理中，存储论可以帮助企 业优化供应链的运作效率。通过协调 供应链各个环节的库存水平和运输计 划，可以减少资源浪费并提高整体供 应链的竞争力。
20
05
图与网络分析
2024/1/25
21
图与网络的基本概念
图与网络定义
由节点和边构成的数学结构， 用于描述对象之间的关系。
有向图与无向图
根据边的方向性分类的图。
2024/1/25
连通性
图中任意两点间都存在路径的 性质。
子图与生成子图
部分节点和边构成的图，及其 与原图的关系。
22
最短路问题
最短路问题的定义
Edmonds-Karp算法
在容量网络中寻找从源点到汇 点的最大可行流。
存在增广路是流非最大的充分 必要条件。
通过不断寻找增广路来增大流 的值，直至达到最大流。
对Ford-Fulkerson算法的改进 ，使用BFS寻找增广路，保证 时间复杂度为多项式级。
2024/1/25
24
最小费用流问题
2024/1/25
清华大学运筹学课件(完整课件)
2024/1/25
1
目 录
2024/1/25
• 绪论 • 线性规划 • 整数规划 • 动态规划 • 图与网络分析 • 存储论 • 排队论 • 对策论基础
2
01
绪论
2024/1/25
3
运筹学的定义与发展
复变函数-清华大学精品课件
复变函数与积分变换（B）
3
3
即0
1, 1
1 2
3 2
i, 2
1 2
3 i.
2
40
§4 区 域
1. 区域的概念 2. 简单曲线（或Jordan曲线) 3. 单连通域与多连通域
41
1. 区域的概念
•邻域 复平面上以 z 0为中心，任意δ> 0为半径的 圆 | z -z 0|<δ(或 0 <| z –z 0|<δ) 内部的点
弧度数 称为复数z=x+iy的辐角.(z≠0时)
y
(z)
模：| z || OP | r x 2 y2 ,
记作
辐角 : Argz
z 0 OP 0
y
P(x,y)
z r
o
x
x
15
z 0时，tan( Argz) y / x
辐角无穷多：Arg z=θ=θ0+2kπ， k∈Z，
把其中满足 0 的θ0称为辐角Argz的主值，
平面 — 复平面或z平面
点的表示：z x iy 复平面上的点P( x，y)
数z与点z同义.
14
2. 向量表示法
z x iy 点P( x，y) OP { x, y}
可用向量OP表示z x iy .
称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值；
以正实轴 为始边, 以向量OP为终边的角的
组合数学课件--第一章第三节组合意义的解释(共27张PPT)
：应用举例
码b与码a之间的汉明距离要大于或等于2r+1.
如果存在a与a的距离小于r,那么a与b的距离大于r。 解：先将1到999的整数都看作3位数,例如2就看作是002，这样从000到999。
试求从1到1000的整数中，0出现的次数。 求方程的非负整数的解的个数. 因此不合法的0的个数为 码b与码a之间的汉明距离要大于或等于2r+1. 9 *Stirling公式 35 C(m,0)+C(m,1)+C(m,2)+…+C(m,m)=2m
6
1.6.3 线性方程的整数解的个数问题:
x1+x2+…+xn=b,n和b都是非负整数;
求方程的非负整数的解的个数. 允许重复的组合模型是r个无标志的球放进n个有 区别的盒子的情况:
方程的非负整数的个数与b个无标志的球放进n个 有区别的盒子的情况一一对应.
C(n+b-1,b)
7
1.7 组合的解释
m[C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,r)]≤2n
m
2n
C(n,0)C(n,1)...C(n,r)
***
23
1.9 司特林（Stirling公式）
n!~ 2n(n)n
e
2n (n)n
lim n
e 1 n!
***
24
1.9 例题
例：求小于10000的正整数中含有数字1的数的个数。
解：小于10000的正整数是1到9999，如果我们 把不到4位的数前面补零，
{1，2}，{1，3}， {2，3}，
如果允许重复，多了
{1，1}， {2，2}， {3，3}。
组合模型:
清华大学微积分高等数学课件第12讲泰勒公式的应用演示课件
09.10.2020
7
1
1 1 x x 2 x 3 ( 1 )n x n o (x n ) 1 x
1 2
1 x 1 1 x n( 1 ) k 1 ( 2 k 3 )! !x k o (x n )
2 k 2
( 2 k )! !
1 2
1 1 1 x n( 1 )k(2 k 1 )! !x k o (x n )
f(n(n1)1()!)(xx0)n1 (在x0与x之间 )
x0
0
f(x)f(0)f(0)xf(0)x2
2!
f(n)(0)xnf(n1)()xn1 (在0与x之 )间
n! 09.10.2020
(n1)!
4
五个常用函数的泰勒公式（麦克劳林公式）
ex 1 x 1x 2 1x n e x n 1
问公式的使 ? 用范围
[解] 仍然从误差估计入手
R 4co 5 !x s)(x55 1!x5112 x0 50.000
解得 x0.4129
即, 利用四阶近似公式 sinx
x
x3 6
计s算 ix n 时 ,限制 x0 角 .41度 2.5 3 9
误
09.10.2020
差0.0 可 0 .
小 01于
1 x 2 k 2
(2 k )! !
09.10.2020
8
二、泰勒公式应用举例
▼ 局部应用 皮亚诺型余项
求未定型极限 确定无穷小量的阶
▼ 区间应用 拉格朗日型余项
近似计算：近似值、近似公式
利用导数研究函数的性质
09.10.2020
9
（一）近似公式 弃去余项，得近似公式
f(x ) f(x 0 ) f(x 0 )x ( x 0 ) f2 (! x 0 )(x x 0 )2
清华大学概率论与数理统计复习ppt
i 1
令
d
ln L( ) d
n
n i 1
ln
xi
0
解得的极大似然估计量为ˆ n n
ln Xi
i 1
（3）当 2时，X的概率密度函数为：
f
(
x)
2 2
x3
,
0,
似然函数为：
x x
L( )
n
f
(
xi
)
(
2n 2n
x 1
,
0,
x 1, 其中未知参数 1,
x 1.
X1,L , Xn为来自X的简单随机样本，
求（1）的矩估计量；
（2）的最大似然估计量。
解：1，由于E( X )
x f ( x; )d x
1
x
x 1d x
, 1
令 X，解得参数的矩估计量ˆ X .
考题（3 2008级 48学时）
三、(本题10分)设总体X 在[0, ]上服从均匀分布， 其中 ( 0)未知，(X1,L , Xn)为来自总体X的样本， 求的矩估计量。（见教材P127-128的例6.2)
考题（4 2008级 48学时）
七、(10分)设某种元件的使用寿命X的概率密度为
f
ln L() N ln (n N ) ln(1 )
令 d ln L = N n N 0, 解得：ˆ N
d 1
n
所以的极大似然估计为ˆ N n
考题（7 2006级 32学时）
三、(本题14分)设总体X的概率密度为：
学高数一定要看的-清华大学高等数学教材PPT资料20页
要 q 2 (3 x 4 ) x整 (x 除 1 )2 ,dq e 2 g 1 , 设 q 2 (a x b )( ,3 x 4 )a ( x b ) x 3 a (x 1 )2 .
第三讲 唯一析因定理； C[X]与R[X]； 多项式的根—有理根；线性空间
1
P 633
GA03
f(x)(x3m 1 )(x3n 1 )x(x3p 1 )x2 1xx2
1 .f 2 ( x ) q 1 ( x 1 ) 2 2 x q 2 ( x 2 ) 3 3 x
pmax(ni ,mi ) i
i1
称为最小公倍式 .
c F
6
§2-2 C[X]上的因式分解
古典代数学基本定理: 任一非常数复系数多项 式在复数域中总有一根.
若degf n, f (X)有根 aC由零点定
f (Xa)f1(X) 其中 degf1 n1, 以此续行f， (X)知 恰有 n个复数. 根
定理.3.3的证明
出现。若是其,根则也是根。
设f(x)anxn a1xa0
f()ann a1a00
则f()ann a1a0 ann a1a00.
8
又 (X)x()x2()x R [X]
在 R 上不 可 有约，
定理2：实系数多项 f (X式 )(degf 1)
定理6：F[X]是唯一析因整. 环
即任一非常数多项f 式F[X] 均可表为一些
不可约的多项式的乘f积p1 p2ps. 且若不计常数倍pi及的次序，是唯一的。
proo:f(i)先证分解（析因） 在的 性存 。
若f 不可约，则f 取 p1 即可。
排列组合问题17种方法ppt课件
C
6 9
一
二
三
四
五
六
七
班
班
班
班
班
班
班
30
将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素 排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为
C m 1 n 1
31
练习题
1. 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一 有多少装法？
C4 9
2 .x+y+z+w=100求这个方程组的自然数解 的组数
A
5 5
A A A
2 4
1 4
5 5
一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.
前排
后排
20
练习题
有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并 且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是______
346
21
重排问题求幂策略
把6名实习生分配到7个车间实习,共有 多少种不同的分法
解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配 到车间有 种分法.
7
把第二名实习生分配
到车间也有7种分法，
依此类推,由分步计
7 6 数原理共有 种不同的排法
允许重复的排列问题的特点是以元素为研究 对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排 各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限 制地安排在m个位置上的排列数为 种
一个盒子装1个 （6）每个盒子至少1个
25
练习题 一个班有6名战士,其中正副班长各1人 现从中选4人完成四种不同的任务,每人 完成一种任务,且正副班长有且只有1人 参加,则不同的选法有________ 种 192
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
• 允许重复的排列(多重集排列):
– 求r1个1，r2个2，…，rt个t的排列数，设r1+r2+…+rt=n,设此
排列数为P(n;r1,r2,…,rt),对1，2，…，t分别加下标，得到
P(n；r1,r2,…,rt)·r1!·r2!·…·rt! = n!
an C1an1 C2an2 Ck ank 0, 2 5 1
a0 d0 , a1 d1,, ak1 dk1,
2 5 2
C1, C2 ,Ck 及 d0 , d1,dk1是常数，Ck 0 ，则
• 序号100的递减进位制数就是131，即 （1*8 + 3）*9 + 1 = 100
• 其加减法的进位需要小心；
• 序号和数字的转换
• 求839647521的下100个排列
– 字典序法 – 求839647521的中介数 7 2 6 4 2 3 2 1
1726432：：：28396475的的 的右右右边边边比比比28396475小小小的的的数数数的的的个个个数数数
x3
ak xk k!
称为是序列 a0 , a1, a2 , 得指数型母函数
常用母函数
• 数列 {1}n ≥0 母函数1/(1- x)= 1+x+x2+… 指数型母函数ex
• 数列 {cn}n≥0 母函数1/(1- cx)= 1+cx+c2x2+… 指数型母函数ecx
1 3x 6x2 10x3
第一章 排列与组合
• 计数基本原理
– 加法法则:若 |A| = m , |B| = n , AB = , 则 |AB| = m + n
– 在加法法则中要注意事件 A B 的互斥 – 乘法法则:若 |A| = m , |B| = n ,
AB = {(a,b) | a A,b B}, 则 |A B| = m ·n – 在乘法法则中要注意事件 A B 的相互独立性
• 允许重复的组合(多重集的组合)
– n个不同的元素中取r个做允许重复的组合,其组 合数为C(n+r-1,r)
– 线性方程非负整数解 x1+x2+…+xn=b的非负整数解的个数C(n+b-1,b)
• 不相邻的组合
– n个数中取r个作不相邻的组合,组合数为C(nr+1,b)
• 数学归纳法
• 多重集的组合 • 给三个孩子发水果,一共12个一样的苹果,每
• 母函数
求解组合问题
对于序列 a0 , a1, a2构,造,一函数：
G(x) a0 a1x a2 x2 ,
称函数G(x)是序列 a0 , a1, a的2 , 母函数
• 指数型母函数 求解排列问题
对于序列 a0 , a1, a2 , ，函数
Ge
(x)
a0
a1 1!
x
a2 2!
x2
a3 3!
•
∴P(n；r1,r2,…,rt)=
——n—! — =(
r1!r2!…rt!
r1
n r2 …
rt)
• 圆周排列
– 从n个中取r个的圆排列的排列数为 P(n,r)/r , 2≤r≤n
• 项链排列 P(n,r)/2r , 3≤r≤n
– 在圆排列的基础上，正面向上和反面向上两种方式放置各 个数是同一个排列。
• 序号100的递增进位制数就是4020，即4*4！+ 0*3！+ 2*2！ + 0*1！=100
• 递减进位制数（a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9）为：
• (((((((((a1 * 1 + a2) * 2 + a3) * 3 + …… + a7) * 8 + a8) * 9 + a9= 序号
• 不考的内容
– 组合的生成 – Stirling公式
第二章 递推关系与母函数
• 二项式定理 – (x+y)n=∑C(n,k)xn-kyk k=0-n – (1+x)n= ∑C(n,k)xn-k k=0-n
• 多项式定理 – (x1+x2+…+xt)n=∑C(n;r1,r2,….rt)x1r1x2r2…xtrt r1+r2+…+rt=n 因式分解 一元二次方程求解 多项式长除法
– 此中介数加上100的递增进位制数4020后得到 新中介数72652011,计算对应的排列
由72652011推算出
P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9(不对？？）
_8 _3 _9 _7 _4 _1 _5 _2 _6
672++11==783 →→ PP12→==83 P3=9
3和8已经出现
1 (k 1)(k 2)xk
k2 ( )
1
k0 2
k0 2
(1 x)3
ex 1 x x2 x3 , 2! 3!
• 递推关系
– Hanoi问题 – Fibonacci数列 – 铺砖 – N位序列中符合某些性质的排列数 – 放球问题 – ………..
线性常系数递推关系
定义 如果序列 an满足
个孩子至少有一个水果,问有多少种分法? • 解:设分给第i个孩子的水果数为xi, xi≥1
• x1+x2+x3=12 • 令y1=x1-1,y2=x2-1,y3=x3-1
• y1+y2+y3=• 排列的生成算法 • “原排列”→“原中介数”→“新中介
• 排列
–从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排 列，称为从n个中取r个的无重排列。排列的全体组成
的集合用P(n,r)表示。排列的个数用P(n,r)表示。当
r=n时称为全排列。
–P(n,r)=n(n-1)······(n-r+1) • 组合
–从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集， 而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组 合。组合的全体组成的集合用C(n,r)表示，组合的个数 用C(n,r)表示，
数”→“新排列” • 递增进位制和递减进位制数
– (A)字典序法 – (B)递增进位制数法 – (C)递减进位制数法 – (D)邻位对换法
• 递增进位制数4121，它的进制从右向左依次是2、3、4、
5
5432
• 如果将4121加上1的话得到结果是4200
• 序号:十进制数
• 递增进位制数（a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9）的序号为 a1*9! + a2*8! + ….+ a8*2! + a9*1!