求代数方程的近似根(解).

主要内容
本实验讨论的数值算法
对分法 不动点迭代法
不动ห้องสมุดไป่ตู้迭代一般形式 松弛加速迭代法
牛顿迭代法
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不动点迭代法
基本思想 构造 f (x) = 0 的一个等价方程：x 从某个近似根 x0 出发，计算
( x)
xk 1 ( xk )
得到一个迭代序列
k = 0, 1, 2, ... ...
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k
迭代法收敛性判断
q 越小，迭代收敛越快
’(x*) 越小，迭代收敛越快
以上所给出的收敛性定理中的条件的验证都比较 困难，在实际应用中，我们常用下面不严格的判别 方法：
当有根区间 [a, b] 较小，且对某一 x0[a, b] ，
|’(x0)| 明显小于 1 时，则我们就认为迭代收敛 例：用不动点迭代法求 x3 - 3x + 1 = 0 在 [0, 1] 中的解。
例：用对分法求 x3 - 3x + 1 = 0 在 [0, 1] 中的解。（fuluA.m）
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对分法收敛性
收敛性分析
根据上面的算法，我们可以得到一个每次缩小一半的 区间序列 {[ak , bk ]} ，在 (ak , bk ) 中含有方程的根。 设方程的根为 x* (ak , bk ) ，又 xk
基本思想
将有根区间进行对分，判断出解在某个分段内，然后 再对该段对分，依次类推，直到满足给定的精度为止
数学原理：介值定理
设 f(x) 在 [a, b] 上连续，且 f(a) f(b)<0，则由介值定 理可得，在 (a, b) 内至少存在一点 使得 f()=0
适用范围
求有根区间内的 单重实根 或 奇重实根
加权系数 wk 的确定：令 ’(x)=0 得
w 1 1 '( x )
wk
1 1 '( xk )
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松弛迭代法
松弛法迭代公式：
wk 1 , 1 '( xk )
'( xk ) 1
xk 1 (1 wk ) xk wk ( xk )
松弛法具有较好的加速效果 甚至有些不收敛的迭代，加速后也能收敛
缺点：每次迭代需计算导数 例：用松弛迭代法求 x3 - 3x + 1 = 0 在 [0, 1] 中的解。
（fuluD.m）
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主要内容
本实验讨论的数值算法
对分法 不动点迭代法
不动点迭代一般形式 松弛迭代法
数学实验
实验三
求代数方程的近似根(解)
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代数方程近似求解
问题背景和实验目的
解方程（代数方程）是最常见的数学问题之一，也是 众多应用领域中不可避免的问题之一 目前还没有一般的解析方法来求解非线性方程，但如 果在任意给定的精度下，能够解出方程的近似解，则可 以认为求解问题已基本解决，至少可以满足实际需要 本实验主要介绍一些有效的求解方程的数值方法：对 分法，不动点迭代法 和 牛顿法。同时要求大家学会如何 利用Matlab 来求方程的近似解


x*
即 x* ( x*)
( x*)
f ( x*) 0
注：若得到的点列发散，则迭代法失效！
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迭代法收敛性判断
如果存在 x* 的某个 邻域 =(x*- , x* + ), 使 定义： 得对 x0 开始的迭代 xk+1 = (xk) 都收敛, 则称该迭代法在 x* 附近局部收敛。
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对分法
设 f(x) 在区间 [a,b] 内连续，且 f(a)f(b)<0。 对于给定的精度要求 ，若有 |f(z)|< ，则 z 就是我 们所需要的 f(x)=0 在区间 [a,b] 内的 近似根
具体步骤
(1) 令 x = (a+b)/2, 计算 f(x) (2) 若 |f(x)|< ，则停止计算，输出近似解 x (3) 若 f(a) · f(x) < 0，则令 b = x; 否则令 a = x (4) 返回第一步
xk k 0

f (x) = 0 f (x) 的零点
等价变换
x = (x)
(x) 的不动点
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迭代法的收敛性
收敛性分析
若
xk x *，假设 (x) 连续，则 xk 收敛，即 lim k
lim xk 1 lim ( xk ) lim xk
k k k
（fuluB.m）
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迭代法的加速
设迭代 xk+1 = (xk) ，第 k 步和第 k+1 步得到的近似 根分别为 xk 和 (xk) ，令
xk 1 (1 wk ) xk wk ( xk )
其中 wk 称为加权系数或权重。得新迭代 xk+1 = (xk)
( x ) (1 w) x w ( x )
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相关概念
线性方程 与 非线性方程
f ( x) 0
如果 f(x) 是一次多项式，称上面的方程为线性方 程；否则称之为非线性方程
本实验主要讨论非线性方程的数值求解
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主要内容
本实验讨论的数值算法
对分法 不动点迭代法
不动点迭代一般形式 松弛加速迭代法
牛顿迭代法
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对分法
定理 ： 已知方程 x =(x)，且 (1) 对 x[a, b]，有 (x)[a, b]； (2) 对 x[a, b]，有|’(x)|q< 1；
则对 x0[a, b] ，由迭代 xk+1 = (xk) 得到的点列都 收敛，且
q | xk x* | | x1 x0 | 1 q
1 1 1 | xk x* | ( bk ak ) ( bk 1 ak 1 )= 2 2 2
ak bk ，所以 2
=
1
2
k 1
( b a)
0(k
)
对分法总是收敛的
对分法的收敛速度通常较慢 对分法通常用来试探实根的分布区间，或给出根的一 个较为粗糙的近似
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牛顿迭代法
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牛顿迭代法
基本思想：
用线性方程来近似非线性方程，即采用线性化方法 设非线性方程 f (x)=0 , f (x) 在 x0 处的 Taylor 展开为 f ''( ) 2
f ( x ) f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 ) 2! ( x x0 )