用迭代法求代数方程的近似根
使用“牛顿迭代法”求解方程
使⽤“⽜顿迭代法”求解⽅程使⽤⽜顿迭代法求解⽅程尽管通过因式分解和利⽤求根公式可以很⽅便的得出多项式⽅程的根，但⼤多数时候这个多项式的次数都很⾼，计算将变得⾮常复杂，因此，我们必须转向⼀些近似解法。
⽜顿迭代法是其中最好的⽅法之⼀。
从根本上说，⽜顿迭代法通过⼀系列的迭代操作使得到的结果不断逼近⽅程的实根。
⾸先，要选择⼀个初始值x=x0，使得该初始值接近实根的值。
然后，迭代计算如下的公式：x i+1 = x i - f(x i) / f '(x i)直到x i+1达到⼀个满意的近似结果为⽌。
在这个公式中，f(x)是要求解的多项式⽅程，⽽f '(x)是f(x)的导数。
多项式求导多项式求导是微积分的基础，现在让我们来看看针对多项式求导的公式化描述。
要计算出多项式的求导结果，只需要对多项式的每⼀项套⽤如下两个公式：d/dx * k = 0, d/dx *kx r = krx r-1这⾥的k是为常数，r是有理数，x是未知数。
符号d/dx表⽰求导，其中x是多项式中的变量。
对于多项式中的每⼀常数项，套⽤第⼀个公式；否则，就⽤第⼆个公式。
假设有如下函数：f(x) = x3 + 5x2 +3x +4要得到求导后的结果f '(x)，对该多项式的前三项套⽤第⼆个公式，最后⼀项套⽤第1个公式，得到结果如下：f '(x) = 1 * 3x(3-1) + 5 * 2x(2-1) + 3 * 1x(1-1) + 0 = 3x2 + 10x +3有时候也有必要进⾏⾼阶求导，即导数的导数。
⽐如，f(x)的2阶求导可记为f ''(x)，它是对f '(x)的求导结果。
同理，f(x)的3阶求导可记为f'''(x)，这是对f ''(x)的求导结果，以此类推。
因此，在前⾯的例⼦中，如果要计算f(x)的2阶导数的话，我们按照如下的⽅式对f '(x)求导即可：f ''(x) = 3 * 2x(2-1) + 10 * 1x(1-1) + 0 =6x +10理解1阶和2阶导数理解1阶和2阶导数的意义，是正确使⽤⽜顿迭代法⾮常重要的⼀点。
第2章方程的近似解法
第二章 方程求根在许多实际问题中，常常会遇到方程f(x)=0求解的问题。
当f(x)为一次多项式时，f(x)=0称为线性方程，否则称为非线性方程。
对于非线性方程，由于f(x)的多样性，求其根尚无一般的解析方法可以使用，因此研究非线性方程的数值解法是十分必要的。
法、迭代法、牛顿法及割线法。
这些方法均是知道根的初始近似值后，进一步把根精确化，直到达到所要求的 精度为止。
也即求非线性方程根的数值方法。
第一节 第一节 增值寻根法与二分法2.1.1 增值寻根法设非线性方程f(x)=0的根为*x ，增值寻根法的基本思想是，从初始值0x 开始，按规定 的一个初始步长h 来增值。
令 1n x +=n x +h(n=0,1,2，…)，同时计算f(1n x +)。
在增值的计算过程中可能遇到三种情形：(1) f(1n x +)=0，此时1n x +即为方 程的根*x 。
(2) f(n x )和f(1n x +)同符号。
这说明区间［n x , 1n x +］内无根。
(3) f(n x )和f(1n x +)异号，f(n x )·f(1n x +)＜0此时当f(x)在区间［n x , 1n x +］上连续时，方程f(x)=0在［n x , 1n x +］ 一定有根。
也即我们用增值寻根法找到了方程根的存在区间，n x 或1n x +均可以视为根的近似值。
下一步就是设法在该区间内寻找根 *x 更精确的近似值，为此再用增值寻根法 把n x 作为新的初始近似值，同时把步长缩小，例如选新步长1100h h =，这 样会得到区间长度更小的有根区间，从而也得到使f(x)n x ，作为*x 更 精确的近似值，若精度不够，可重复使用增值寻根法，直到有根区间的长度｜1n x +-n x ｜＜ε(ε为所要求的精度)为止。
此时f(n x )或f(1n x +)就可近似认为是零。
n x 或1n x +就是满足精度的方程的近似根（如图2-1）.2—1例1 用增值寻根法求方程f(x)=324x x +-10=0的有根区间。
利用四种方法求方程的根
数值分析实验（三）课题名称：利用四种方法求方程的根任课教师：辅导教师：专业班级：学号：姓名：实验编号：实验报告文件名：1.算法分析：求方程f(x)=x³-3*x-1=0的根。
1.对分区间法：f(x)在某一区间[a,b] 连续且端点出函数值异号，用中点的（a+b）/2平分区间，并计算处中点的函数值f（（a+b）/2）,若f（x）不等于0，每次改变区间范围。
具体步骤：1.找出f(x)=0的根的存在区间（a,b）,并计算出端点的函数值f(a),f(b).2.计算f(x)在区间中点的值f（（a+b）/2）.3.判断：若f（（a+b）/2）近似为0，则停止。
否则，若f（（a+b）/2）与f（a）异号，则跟位于（a，（a+b）/2）,以（a+b）/2代替b，若f（（a+b）/2）与f（b）异号，则跟位于（（a+b）/2，b）,以（a+b）/2代替a。
4.重复（2）（3）步，直到区间缩小到容许的误差范围内，此时，区间中点可作为所求的根。
2.弦位法:用过两点的直线近似曲线，用直线与x轴的交点近似曲线与x轴的交点，需f（x）在零点附近的有连续的二阶微商。
具体步骤： 1.选定初始值a，b，并计算f（a），f（b）。
2. 迭代公式x[i]=a[i]-(f1/(f2-f1))*(b[i]-a[i]);再求f（x[i]）;3.判断：若f（x[i]）近似为0，则停止。
否则，若f（x[i]）与f（a）异号，则跟位于（a，f(a)）和（x[i],f(x[i])）,代替(a，f（a）)( b，f（b）),若f（x[i]）与f（b）异号，则跟位于（x[i],f(x[i])）和（b，f(b)）,代替(a，f（a）)( b，f（b）)。
4.重复（2）（3）步，直到相邻两次迭代值之差到容许的误差范围内，此时，所得的根。
3.迭代法：已知f(x)，保留一个x在左边，右边写为g(x),强令左边x=x[k+1]，右边是关于x[k]的函数g(x)，给定初始值x，构造x的序列，若x收敛，g(x)连续，则x的收敛值为f(x)的值。
C语言迭代法详细讲解
迭代法迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程,跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。
迭代法又分为精确迭代和近似迭代。
“二分法”和“牛顿迭代法”属于近似迭代法。
迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。
它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。
利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：一、确定迭代变量。
在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。
二、建立迭代关系式。
所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。
迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。
三、对迭代过程进行控制。
在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。
不能让迭代过程无休止地重复执行下去。
迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。
对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。
例 1 ：一个饲养场引进一只刚出生的新品种兔子，这种兔子从出生的下一个月开始，每月新生一只兔子，新生的兔子也如此繁殖。
如果所有的兔子都不死去，问到第12 个月时，该饲养场共有兔子多少只？分析：这是一个典型的递推问题。
我们不妨假设第 1 个月时兔子的只数为u 1 ，第 2 个月时兔子的只数为u 2 ，第 3 个月时兔子的只数为u 3 ，……根据题意，“这种兔子从出生的下一个月开始，每月新生一只兔子”，则有u 1 ＝ 1 ，u 2 ＝u 1 ＋u 1 × 1 ＝ 2 ，u 3 ＝u 2 ＋u 2 × 1 ＝4 ，……根据这个规律，可以归纳出下面的递推公式：u n ＝u n － 1 × 2 (n ≥ 2)对应u n 和u n － 1 ，定义两个迭代变量y 和x ，可将上面的递推公式转换成如下迭代关系：y=x*2x=y让计算机对这个迭代关系重复执行11 次，就可以算出第12 个月时的兔子数。
计算方法大作业
计算方法大作业学院：电子工程姓名：班级：学号：大作业选题：分析方程求根问题中牛顿法的性能，包括收敛性等，并用该方法求解一个问题，给出过程和结果。
一、牛顿迭代法介绍：用迭代法求方程0)(=x f 的根时，首先要构造一个迭代函数，迭代函数构造的好坏，不仅影响收敛速度，而且有可能使迭代序列发散，构造迭代函数的一条重要途径，是用近似方程代替原方程去求根，因此如果能将非线性方程0)(=x f 用线性方程来近似代替，那么求近似根问题就容易得到解决，而且十分方便。
牛顿法就是把非线性方程线性化的一种方法。
二、牛顿迭代法原理设已知方程0)(=x f 的近似根0x ,则在0x 附近)(x f 可用一阶泰勒多项式))((')()(000x x x f x f x p -+=近似代替.因此, 方程0)(=x f 可近似地表示为0)(=x p .用1x 表示0)(=x p 的根,它与0)(=x f 的根差异不大.设0)('0≠x f ,由于1x 满足,0))((')(0100=-+x x x f x f 解得)(')(0001x f x f x x -= 重复这一过程,得到迭代公式)(')(1n n n n x f x f x x -=+ 这就是著名的牛顿迭代公式,它相应的不动点方程为)(')()(x f x f x x g -=.用牛顿迭代公式求方程根的方法称为牛顿迭代法，简称牛顿法。
三、牛顿迭代法的几何解析在0x 处作曲线的切线，切线方程为))((')(000x x x f x f y -+=。
令0=y ，可得切线与x 轴的交点坐标)(')(0001x f x f x x -=，这就是牛顿法的迭代公式。
因此，牛顿法又称“切线法”，其几何意义即为0x 点处的切线方程。
四、牛顿迭代法的收敛性 计算可得2)]('[)(")()('x f x f x f x g -=,设*x 是0)(=x f 的单根,有0)(',0)(**≠=x f x f ,则0)]('[)(")()('2****=-=x f x f x f x g , 故在*x 附近,有1)('<x g .根据不动点原理知牛顿迭代法对单根收敛.同理可知当*x 是0)(=x f 的重根时也收敛，则可分析出牛顿法不论对单根还是重根均是局部收敛的，只要初值足够靠近*x ，牛顿迭代序列均收敛于*x 。
matlab牛顿迭代法求方程
一、引言在数值计算中，求解非线性方程是一项常见的任务。
牛顿迭代法是一种常用且有效的方法，它通过不断逼近函数的零点来求解方程。
而在MATLAB中，我们可以利用其强大的数值计算功能来实现牛顿迭代法，快速求解各种非线性方程。
二、牛顿迭代法原理与公式推导1. 牛顿迭代法原理牛顿迭代法是一种利用函数的导数信息不断逼近零点的方法。
其核心思想是利用当前点的切线与x轴的交点来更新下一次迭代的值，直至逼近方程的根。
2. 公式推导与迭代过程假设要求解方程f(x)=0，在初始值x0附近进行迭代。
根据泰勒展开，对f(x)进行一阶泰勒展开可得：f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)(x - x0)令f(x)≈0，则有：x = x0 - f(x0)/f'(x0)将x带入f(x)的表达式中，即得到下一次迭代的值x1：x1 = x0 - f(x0)/f'(x0)重复以上过程，直至达到精度要求或者迭代次数上限。
三、MATLAB中的牛顿迭代法实现1. 编写函数在MATLAB中，我们可以编写一个函数来实现牛顿迭代法。
需要定义原方程f(x)的表达式，然后计算其一阶导数f'(x)的表达式。
按照上述推导的迭代公式，编写循环语句进行迭代计算，直至满足精度要求或者达到最大迭代次数。
2. 调用函数求解方程在编写好牛顿迭代法的函数之后，可以通过在MATLAB命令窗口中调用该函数来求解具体的方程。
传入初始值、精度要求和最大迭代次数等参数，即可得到方程的近似根。
四、牛顿迭代法在工程实践中的应用1. 求解非线性方程在工程领域，很多问题都可以转化为非线性方程的求解问题，比如电路分析、控制系统设计等。
利用牛顿迭代法可以高效地求解这些复杂方程，为工程实践提供了重要的数值计算手段。
2. 优化问题的求解除了求解非线性方程外，牛顿迭代法还可以应用于优化问题的求解。
通过求解目标函数的导数等于0的方程，可以找到函数的极值点，从而解决各种优化问题。
迭代法求解方程（组）的根
迭代法求解⽅程（组）的根⾸先，迭代法解⽅程的实质是按照下列步骤构造⼀个序列x0,x1,…,xn,来逐步逼近⽅程f(x)=0的解:1）选取适当的初值x0；2）确定迭代格式，即建⽴迭代关系，需要将⽅程f(x)=0改写为x=φ(x)的等价形式；3) 构造序列x0，x1，……，xn，即先求得x1=φ(x0)，再求x2=φ(x1)，……如此反复迭代，就得到⼀个数列x0， x1，……，xn，若这个数列收敛，即存在极值，且函数φ(x)连续，则很容易得到这个极限值,x*就是⽅程f(x)=0的根。
举个例⼦：求解⽅程： f(x) =x^3-x-1=0 在区间（1，1.5）内的根。
⾸先我们将⽅程写成这种形式：⽤初始根x0=1.5带⼊右端，可以得到这时，x0和x1的值相差⽐较⼤，所以我们要继续迭代求解，将x1再带⼊公式得直到我们我们得到的解的序列收敛，即存在极值的时候，迭代结束。
下⾯是这个⽅程迭代的次数以及每次xi的解（i=0,1,2....）我们发现当k=7和8的时候，⽅程的解已经不再发⽣变化了，这时候我们就得到了此⽅程的近似解。
1#define eps 1e-82int main()3 {4 x0=初始近似根；5do{6 x1=x0;7 x0=g(x1); //按特定的⽅程计算新的近似根8 }while(fabs(x0-x1)>eps);9 printf("⽅程的近似根是%f\n",x0);10 }注意：如果⽅程⽆解，算法求出的近似根序列就不会收敛，那么迭代过程就会变成死循环。
因此，在使⽤迭代算法前应先考察⽅程是否有解，并在算法中对迭代次数给予限制。
下⾯再写⼀个求解⽅程组的例⼦加深⼀下理解：算法说明：⽅程组解的初值X=（x0，x1，…，xn-1）,迭代关系⽅程组为：xi=gi(X)(i=0,1,…,n-1),w为解的精度,maxn为迭代次数。
算法如下：算法核⼼：1int main()2 {3for (i=0; i<n; i++)4 x[i]=初始近似根;5do6 {7 k=k+1;8for(i=0; i<n; i++）9 y[i]=x[i];10for(i=0; i<n; i++)11 x[i]=gi(X); //按特定的⽅程计算新的近似根12 c=0;13for(i=0; i<n; i++)14 c=c+fabs(y[i]-x[i]);//c要每次重新设初值为015 }while(c>eps and k<maxn );16for(i=0; i<n; i++)17 print("变量的近似根是"，x[i]);18 }选取初始向量精确度为1e-8，迭代次数为100求解代码如下：1 #include<iostream>2 #include<cstdio>3 #include<cstring>4 #include<cmath>5#define eps 1e-86using namespace std;7const int maxn=100;8double x[10],y[10];9int main()10 {11for(int i=1;i<=4;i++)12 x[i]=0;13int cnt=0;14double c=0;15do{16for(int i=1;i<=4;i++)17 y[i]=x[i];18for(int i=1;i<=4;i++)19 {20 x[1]=(6+x[2]-2*x[3])/10;21 x[2]=(25+x[1]+x[3]-3*x[4])/11;22 x[3]=(-11-2*x[1]+x[2]+x[4])/10;23 x[4]=(15-3*x[2]+x[3])/8;24 }25 c=0;26for(int i=1;i<=4;i++)27 c+=(fabs(y[i]-x[i]));28 }while(c>eps&&cnt<maxn);29for(int i=1;i<=4;i++)30 printf("x%d = %.4lf\n",i,x[i]);31 }运⾏结果如下：迭代法求解⽅程的过程是多样化的，⽐如⼆分逼近法求解，⽜顿迭代法等。
牛顿迭代法求方程在1.5附近的根
牛顿迭代法是一种近似求解方程根的方法，它通过不断迭代逼近解的过程来求解方程在某一点附近的根。
在本文中，我将共享关于牛顿迭代法求解方程在1.5附近的根的全面评估和深度探讨。
通过逐步分析牛顿迭代法的原理和具体应用，希望能够帮助您更深入地理解这一方法的优势和局限性。
一、牛顿迭代法的原理牛顿迭代法的基本原理是利用函数的导数来不断逼近方程的根。
具体来说，对于方程f(x)=0，从一个初始值x0开始，通过不断迭代x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}来逼近方程的根，直到满足所需精度要求为止。
这一迭代过程可以通过图形直观理解：在函数图像上，从初始点开始，沿着切线逐步逼近根的过程。
二、牛顿迭代法的应用牛顿迭代法在实际问题中有着广泛的应用，尤其是在科学计算和工程领域。
通过牛顿迭代法可以求解非线性方程、优化问题和曲线拟合等，在实际工程中有着重要的价值。
在求解方程根的问题中，牛顿迭代法通常能够以较快的速度逼近准确解，尤其是在靠近初始点附近的情况下，具有更佳的收敛速度。
三、牛顿迭代法的局限性然而，牛顿迭代法并不是没有局限性的。
在某些情况下，由于函数导数的特殊性或初始点选择不当，牛顿迭代法可能出现迭代不收敛或者收敛速度较慢的情况，这时需要对迭代方法进行调整或选择其他方法来求解方程的根。
在实际应用中，需要综合考虑问题的特点和要求，选择合适的数值方法来求解方程根。
四、牛顿迭代法求解方程在1.5附近的根接下来，我们将以求解方程f(x)=x^3-4x^2+1在x=1.5附近的根为例，来演示牛顿迭代法的具体应用过程。
我们需要确定方程f(x)=x^3-4x^2+1的导数f'(x)=3x^2-8x。
选择一个合适的初始点x0=1.5，代入牛顿迭代公式x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}中，进行迭代计算直到满足精度要求。
通过反复迭代计算，最终得到方程在1.5附近的根为x=2.532。
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牛顿法至少二阶局部收敛
例：用牛顿法求 x3 - 3x + 1 = 0 在 [0, 1] 中的解。 fuluB.m 10
牛顿法迭代公式
牛顿法的优点
至少二阶局部收敛，收敛速度较快，特别是当迭代点 充分靠近精确解时。
牛顿法是目前求Байду номын сангаас非线性方程 (组) 的主要方法
牛顿法的缺点
对重根收敛速度较慢（线性收敛） 对初值的选取很敏感，要求初值相当接近真解
在实际计算中，可以先用其它方法获得真解的一个粗 糙近似，然后再用牛顿法求解。
11
Matlab 解方程函数
roots(p)：多项式的所有零点，p 是多项式系数向量
fzero(f,x0)：求 f(x)=0 在 x0 附近的一个根，f 是函
数句柄，可以通过内联函数，匿名函数或函数文件来定义， 但不能是方程或符号表达式！
本实验主要介绍一些有效的求解方程的数值方法：不 动点迭代法 和 牛顿法。同时要求大家学会如何利用 Matlab 来求方程的近似解
2
相关概念
线性方程 与 非线性方程
f (x) 0
若 f(x) 是一次多项式，称上面的方程为线性方程；否
则称之为非线性方程
本实验主要讨论非线性方程的数值求解
3
内容提要
f ( x0 ) f '( x0 )
xk 1
xk
f ( xk ) f '( xk )
k = 0, 1, 2, ... ...
牛顿法的收敛速度
(x) 即为牛顿法的迭代函数
令 (x) x f (x)
f '( x)
'( x)
f ( x) f ''( x) [ f '( x)]2
当 f ’(x*) 0 时 ’(x*)=0
f (x) 的零点
(x) 的不动点
5
迭代法的收敛
收敛性分析
若
xk
收敛，即
lim
k
xk
x ，* 假设
(x)
连续，则
lim
k
xk 1
lim
k
(
xk
)
lim
k
xk
x*
即 x* ( x*)
( x*) f ( x*) 0
注：若得到的点列发散，则迭代法失效！
例：用迭代法求 x3 - 3x + 1 = 0 在 [0, 1] 中的解。 fuluA.m
则对 x0[a, b] ，由迭代 xk+1 = (xk) 得到的点列都
收敛，且
|
xk
x*
|
qk 1q
|
x1
x0
|
q 越小，迭代收敛越快
’(x*) 越小，迭代收敛越快
8
牛顿迭代法
牛顿法基本思想
用线性方程来近似非线性方程，即采用线性化方法
设非线性方程 f (x)=0 , f (x) 在 x0 处的 Taylor 展开为
f (x)
f ( x0 )
f '( x0 )( x x0 )
f
''(
2!
)
(
x
x0
)2
f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 ) @P ( x)
令：P( x) 0
x
x0
f ( x0 ) f '( x0 )
( f '( x0 ) 0)
9
牛顿法迭代公式
牛顿迭代公式
x
x0
用迭代法 求代数方程的近似根
1
代数方程近似求解(教材第 92-94页)
问题背景和实验目的
解方程（代数方程）是最常见的数学问题之一，也是 众多应用领域中不可避免的问题之一
目前还没有一般的解析方法来求解非线性方程，但如 果在任意给定的精度下，能够解出方程的近似解，则可 以认为求解问题已基本解决，至少可以满足实际需要
上机要求
将所编写的程序分别命名为 hw311.m, hw312.m
13
求解非线性方程的数值算法
不动点迭代法 牛顿迭代法
4
不动点迭代法
不动点迭代基本思想
构造 f (x) = 0 的一个等价方程： x ( x)
从某个近似根 x0 出发，计算
xk1 ( xk ) k = 0, 1, 2, ... ...
得到一个迭代序列
x k k0
f (x) = 0 等价变换 x = (x)
6
迭代法收敛性判断
定义：如果存在 x* 的某个 邻域 =(x*- , x* + ), 使 得对 x0 开始的迭代 xk+1 = (xk) 都收敛,
则称该迭代法在 x* 附近局部收敛。
定理 1：设 x* =(x*)，’(x) 在 x* 的某个 邻域 内 连续，且对 x 都有 |’(x)|q< 1, 则对
linsolve(A,b)：解线性方程组
solve(f,v)：求方程关于指定自变量的解，f 是符号表达
式或符号方程； solve 也可解方程组 (包含非线性) 得不到解析解时，给出数值解
12
上机作业与要求
上机作业
分别用普通迭代法、牛顿法，求方程 0.5 x sin( x)
的正的近似根（内容参见教材第 92-94 页）
x0 ，由迭代 xk+1 = (xk) 得到的点列收敛
定理 2：如果定理 1 的条件成立，则有如下估计
|
xk
x*
|
qk 1q
|
x1
x0
|
|
xk
x*
|
1
1
q
|
xk 1
xk
|
7
迭代法收敛性判断
定理 3：已知方程 x =(x)，且 (1) 对 x[a, b]，有 (x)[a, b]； (2) 对 x[a, b]，有|’(x)|q< 1；