用牛顿迭代法求方程的近似解教学设计
使用“牛顿迭代法”求解方程
使⽤“⽜顿迭代法”求解⽅程使⽤⽜顿迭代法求解⽅程尽管通过因式分解和利⽤求根公式可以很⽅便的得出多项式⽅程的根，但⼤多数时候这个多项式的次数都很⾼，计算将变得⾮常复杂，因此，我们必须转向⼀些近似解法。
⽜顿迭代法是其中最好的⽅法之⼀。
从根本上说，⽜顿迭代法通过⼀系列的迭代操作使得到的结果不断逼近⽅程的实根。
⾸先，要选择⼀个初始值x=x0，使得该初始值接近实根的值。
然后，迭代计算如下的公式：x i+1 = x i - f(x i) / f '(x i)直到x i+1达到⼀个满意的近似结果为⽌。
在这个公式中，f(x)是要求解的多项式⽅程，⽽f '(x)是f(x)的导数。
多项式求导多项式求导是微积分的基础，现在让我们来看看针对多项式求导的公式化描述。
要计算出多项式的求导结果，只需要对多项式的每⼀项套⽤如下两个公式：d/dx * k = 0, d/dx *kx r = krx r-1这⾥的k是为常数，r是有理数，x是未知数。
符号d/dx表⽰求导，其中x是多项式中的变量。
对于多项式中的每⼀常数项，套⽤第⼀个公式；否则，就⽤第⼆个公式。
假设有如下函数：f(x) = x3 + 5x2 +3x +4要得到求导后的结果f '(x)，对该多项式的前三项套⽤第⼆个公式，最后⼀项套⽤第1个公式，得到结果如下：f '(x) = 1 * 3x(3-1) + 5 * 2x(2-1) + 3 * 1x(1-1) + 0 = 3x2 + 10x +3有时候也有必要进⾏⾼阶求导，即导数的导数。
⽐如，f(x)的2阶求导可记为f ''(x)，它是对f '(x)的求导结果。
同理，f(x)的3阶求导可记为f'''(x)，这是对f ''(x)的求导结果，以此类推。
因此，在前⾯的例⼦中，如果要计算f(x)的2阶导数的话，我们按照如下的⽅式对f '(x)求导即可：f ''(x) = 3 * 2x(2-1) + 10 * 1x(1-1) + 0 =6x +10理解1阶和2阶导数理解1阶和2阶导数的意义，是正确使⽤⽜顿迭代法⾮常重要的⼀点。
关于牛顿迭代法的课程设计实验指导
yx O x * x 1 x 0关于牛顿迭代法的课程设计实验指导非线性方程（或方程组）问题可以描述为求 x 使得f (x ) = 0。
在求解非线性方程的方法中，牛顿迭代法是求非线性方程（非线性方程组）数值解的一种重要的方法。
牛顿是微积分创立者之一，微积分理论本质上是立足于对世界的这种认识：很多物理规律在微观上是线性的。
近几百年来，这种局部线性化方法取得了辉煌成功，大到行星轨道计算，小到机械部件设计。
牛顿迭代法正是将局部线性化的方法用于求解方程。
一、牛顿迭代法及其收敛速度牛顿迭代法又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method ），是一种在实数域和复数域上通过迭代计算求出非线性方程的数值解方法。
方法的基本思路是利用一个根的猜测值x 0做初始近似值，使用函数f (x )在x 0处的泰勒级数展式的前两项做为函数f (x )的近似表达式。
由于该表达式是一个线性函数，通过线性表达式替代方程中的求得近似解x 1。
即将方程f (x ) = 0在x 0处局部线性化计算出近似解x 1，重复这一过程，将方程f (x ) = 0在x 1处局部线性化计算出x 2，求得近似解x 2，……。
详细叙述如下：假设方程的解x *在x 0附近（x 0是方程解x *的近似），函数f (x )在点x 0处的局部线化表达式为)()()()(000x f x x x f x f '-+≈由此得一次方程 0)()()(000='-+x f x x x f求解，得 )()(0001x f x f x x '-= 如图1所示，x 1比x 0更接近于x *。
该方法的几何意义是：用曲线上某点（x 0，y 0）的切线代替曲线，以该切线与x 轴的交点（x 1，0）作为曲线与x 轴的交点（x *，0）的近似（所以牛顿迭代法又称为切线法）。
设x n 是方程解x *的近似，迭代格式)()(1n n n n x f x f x x '-=+ ( n = 0，1，2，……) 就是著名的牛顿迭代公式，通过迭代计算实现逐次逼近方程的解。
用牛顿迭代法求方程的近似解课件
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阻尼牛顿法
总结词
阻尼牛顿法是一种改进的牛顿迭代法，通过引入阻尼因子来控制迭代过程中的步长，从而改善收敛性 和稳定性。
详细描述
阻尼牛顿法在每一步迭代中引入一个阻尼因子，该因子可以控制迭代过程中的步长。通过调整阻尼因 子的大小，可以有效地改善牛顿法的收敛性和稳定性，特别是在求解非线性方程时。阻尼牛顿法可以 更好地处理局部极小值和鞍点问题，提高求解精度和可靠性。
确定新的点
02
根据切线斜率和初始点的位置，确定新的迭代点。
更新切线斜率
03
根据新的迭代点，重新计算切线斜率。
判断收敛
设定收敛条件
设定一个收敛阈值，当连续两次迭代 之间的差值小于该阈值时，认为迭代 收敛。
检查收敛
在每次迭代后，检查是否满足收敛条 件，如果满足则停止迭代，否则继续 迭代计算。
04 牛顿迭代法的改进
二阶修正牛顿法
总结词
二阶修正牛顿法是在标准牛顿法基础上进行改进，通过引入二阶导数信息来加速收敛并 提高解的精度。
详细描述
二阶修正牛顿法利用二阶导数信息，在每一步迭代中构造一个更高阶的近似函数，从而 更快地逼近方程的真实解。这种方法在某些情况下可以显著减少迭代次数，提高求解效 率。然而，二阶修正牛顿法需要更多的计算资源和存储空间，因此在实际应用中需要根
用牛顿迭代法求方程 的近似解课件
目录
CONTENTS
• 引言 • 牛顿迭代法的基本原理 • 牛顿迭代法的实现步骤 • 牛顿迭代法的改进 • 实例演示 • 总结与展望
01 引言
牛顿迭代法的背景
牛顿迭代法是一种求解方程近似解的数值方法。
2022年高中数学新人教版A版精品教案《探究与发现 牛顿法--用导数方法求方程的近似解》
探究与发现：牛顿法—用导数方法求方程的近似解教学设计宁乡市一中高二数学备课组肖荣一、教学目标一知识与能力：1得出牛顿法求近似解的一般规律,会用牛顿法求方程的近似解;2通过实例分析牛顿法求方程近似解的要求;3比拟二分法与牛顿法求方程近似解的优劣二方法与过程：1学生通过前两个数学实验，采用合作探究，分组讨论，动手操作的学习方法，得出牛顿法对初始值的选取要求高的结论;2学生通过第三个数学采用合作探究，分组讨论，动手操作的学习方法，找出二分法和牛顿法各自的优劣性三情感、态度和价值观：1通过同学们分析问题，解决问题的过程增强学生获取成就的喜悦感；2通过计算机，动画技术的演示增强同学们对数学学习的兴趣和探索新知识的渴望二、教学重点得出牛顿法求近似解的一般规律,会用牛顿法求方程的近似解三、教学难点通过实例分析牛顿法求方程近似解的要求；比拟二分法与牛顿法求方程近似解的优劣四、教学过程一导入新课在必修一当中我们已经学习了用二分法来求方程的近似解，在学完导数之后，今天我们用导数的方法求方程的近似解（二）什么是牛顿法引例：求方程的根问题1：求方程的根从函数的角度来看等价于做什么？教师从导数的几何意义出发，引导学生通过作切线，找到一系列点去靠近零点r问题2：相邻两项与之间是否有什么关系？请同学们动手推导一下。
与与呢？在点处的切线方程为：如果，那么切线与轴的交点是继续这个过程，就可以推导出如下求方程根的牛顿法公式：如果，那么问题3：牛顿法的具体步骤是什么？第一步：取初始值0，精度第二步：计算和第三步：计算第四步：用代替重复第二步和第三步的过程得到；一直继续下去，得到，直至到达精度那么停止〔三〕数学实验1、实验一：请同学们分别取初始值0=2和0=4，根据递推公式并利用手中的计算器分组完成以下表格〔结果保存五位小数〕。
其中表一表二题1初始值为0=2时，到达精确度共用几步？初始值为0=4呢？学生答复问题2：比照分析〔表一〕，〔表二〕两个实验结果说明了初始值对牛顿法的影响是什么？学生答复教师总结：初始值的选取越靠近零点越好，说明牛顿法对初始值的选取要求高。
用牛顿迭代法求方程的近似解课件
迭代过程的收敛性分析主要涉及到函数$f(x)$的性质和初始值的选择等因素。如果$f(x)$在根附近有多 个极值点或者$f'(x)$在根附近变化剧烈，可能会导致迭代过程发散。
03 牛顿迭代法的应 用实例
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多变量牛顿迭代法 对于多变量非线性方程组，可以使用多变量牛顿迭代法进行求解。该方法在每一步迭代中，同时更新多 个变量的值，以更快地逼近方程组的解。
05 误差分析
迭代法中的误差来源
01 02
初始近似值的选取
初始近似值的选择对迭代法的收敛性和最终解的精度有重要影响。如果 初始近似值与真实解相差较大，可能会导致迭代过程发散或收敛速度缓 慢。
优化算法
作为优化算法的一种，牛顿 迭代法可以用于求解各种优 化问题，如机器学习中的损 失函数优化等。
工程计算
在工程计算中，牛顿迭代法 可以用于求解各种复杂的数 学模型和物理模型，如有限 元分析、流体动力学等。
经济和金融领域
在经济和金融领域，牛顿迭 代法可以用于求解各种复杂 的经济模型和金融模型，如 资产定价、风险评估等。
一元高次方程的求解
总结词
牛顿迭代法同样适用于一元高次方程的求解， 但需要特别注意初始值的选取和收敛速度。
详细描述
对于形式为 (a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ldots + a_1x + a_0 = 0) 的一元高次方程， 可以使用牛顿迭代法进行求解。迭代公式与 一元二次方程类似，但需要注意初始值的选
04 牛顿迭代法的改 进与优化
用牛顿迭代法求方程的近似解课件
斐波那契给出了这个方程的近似解是：
x = 1.368808108
斐波那契的解是非常精确的，但是并没有给出过程。
在十三世纪，能得到这个结果，是非常了不起的成 就，即使在当今的年代，我们在没有图形计算器的 条件下，给出近似解也是非常困难的。
设想一下，斐波那契是用什么样的方法得到这个结 果的呢？
否则继续循环运算。
1、根的存在性和唯一性的判断：
通过研究函数的单调区间及零点存在性定理 判断。
2、根所在的区间： 分析函数的连续性并找出端点值异号的区间。 3、近似解的选取：
在达到精确度要求的情况下，区间中任意值 都可以作为近似解。
思考并回答以下问题：
1、在研究方程的根的问题时，我们
常可以将其等价转化为什么问题进 行研究？
6、借助图形计算器，验证新的想法， 并思考如何进一步计算。
求方程 x3 2x2 10x 20 0 的近似解 （精确度为10-9）。
1.第一步应该从何处开始？需要如 何处理？
求方程 x3 2x2 10x 20 0 的近似解 （精确度为10-9）。
2.第二步应该如何继续？计算的公 式又是什么？如何能循环下去？
“以直代曲”，逼近，迭代
（2）算法框图：
在天文学中，有一类著名的方程——开普勒方程， 是用来确定行星在其运动轨道上的位置的。
x = q sin x + a(0 < q < 1,a为常数)
开普勒方程是一个超越方程，很难得出严格的分析 解，但是，已经证明这个方程存在惟一解。在实际 问题中，我们更希望得到一个精确度很高的近似解。
求方程 x3 2x2 10x 20 0 的近似解 （精确度为10-9）。
《用迭代序列求 sqrt的近似值》 教学设计
《用迭代序列求 sqrt的近似值》教学设计一、教学目标1、让学生理解迭代序列的概念和原理。
2、掌握用迭代序列求平方根近似值的方法。
3、培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力。
4、激发学生对数学的兴趣，提高学生解决实际问题的能力。
二、教学重难点1、教学重点（1）迭代序列的构建。
（2）用迭代序列求平方根近似值的步骤和原理。
2、教学难点（1）理解迭代序列的收敛性。
（2）通过迭代序列的误差分析，确定合适的迭代次数以得到满足精度要求的近似值。
三、教学方法1、讲授法：讲解迭代序列的概念、原理和求平方根近似值的方法。
2、演示法：通过实例演示迭代过程，让学生直观感受近似值的逐步逼近。
3、讨论法：组织学生讨论迭代过程中的问题，促进学生思考和交流。
4、练习法：让学生通过练习巩固所学知识，提高应用能力。
四、教学过程1、导入通过一个实际问题引入，比如：“要计算一个正方形的边长，已知其面积为 10，如何求出边长的近似值？”引导学生思考如何求解平方根的近似值，从而引出本节课的主题——用迭代序列求 sqrt 的近似值。
2、知识讲解（1）介绍迭代的概念：“迭代是一种重复执行某个计算过程，通过不断修正结果，逐步逼近准确值的方法。
”（2）以简单的例子说明迭代的过程，例如：求方程 x^2 2 ＝ 0 的正根，可以构建迭代公式 x(n+1) ＝（x(n) ＋ 2 ／ x(n)）／ 2 。
（3）详细讲解用迭代序列求sqrt(a) 的一般方法。
设要计算sqrt(a)，可以构建迭代公式 x(n+1) ＝（x(n) ＋ a ／ x(n)）／ 2 ，其中 x(0) 为一个初始猜测值。
3、示例演示以 sqrt(5) 为例，取 x(0) ＝ 2 ，逐步演示迭代过程：x(1) ＝（2 ＋ 5 ／ 2) ／ 2 ＝ 225x(2) ＝（225 ＋ 5 ／ 225) ／2 ≈ 22361x(3) ＝（22361 ＋ 5 ／ 22361) ／2 ≈ 22361让学生观察随着迭代次数的增加，近似值逐渐逼近 sqrt(5) 的准确值。
《用迭代序列求 sqrt的近似值》 教学设计
《用迭代序列求 sqrt的近似值》教学设计一、教学目标1、让学生理解迭代序列的概念和原理。
2、引导学生掌握使用迭代序列求 sqrt 的近似值的方法。
3、培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力。
4、让学生体会数学在实际问题中的应用，激发学生对数学的兴趣。
二、教学重难点1、教学重点（1）迭代序列的构建和理解。
（2）使用迭代序列求 sqrt 的近似值的步骤和原理。
2、教学难点（1）理解迭代序列的收敛性和误差分析。
（2）如何选择合适的初始值和迭代公式，以提高计算效率和精度。
三、教学方法1、讲授法：讲解迭代序列的基本概念和原理。
2、示例法：通过具体的例子演示使用迭代序列求 sqrt 的近似值的过程。
3、讨论法：组织学生讨论迭代过程中的问题和解决方案。
4、实践法：让学生自己动手进行计算，加深对知识的理解和掌握。
四、教学过程1、导入通过一个实际问题引入主题，比如计算一个正方形的边长，已知其面积为 10，那么边长就是 sqrt(10)，如何求出它的近似值呢？2、知识讲解（1）介绍迭代序列的概念：迭代序列是通过不断重复一个固定的计算步骤，从一个初始值开始，逐步逼近目标值的序列。
（2）以求 sqrt(2) 为例，给出常见的迭代公式，如：x(n+1) ＝ 05（x(n) ＋ 2 ／ x(n)），其中 x(0) 为初始值。
3、示例演示（1）选择一个初始值，比如 x(0) ＝ 1，然后按照迭代公式进行计算。
（2）逐步计算出 x(1)、x(2)、x(3)……，观察数值的变化趋势。
4、学生实践让学生分组选择不同的初始值，计算 sqrt(3)、sqrt(5)等的近似值，并记录计算过程和结果。
5、讨论与交流（1）组织学生讨论在实践过程中遇到的问题，如初始值的选择对结果的影响、迭代次数与精度的关系等。
（2）引导学生总结出提高计算精度和效率的方法。
6、知识拓展（1）介绍迭代序列在其他数学问题中的应用，如求解方程的根。
（2）引导学生思考如何判断迭代序列的收敛性。
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用牛顿迭代法求方程的近似解一．内容与内容解析本节课内容是人教版选修2-2第一章第二节探究与发现的内容，教学内容是用牛顿迭代法求方程的近似解。
在本节课中，在学生会用二分法求方程近似解的基础上，通过探究和发现，使学生能借助导数研究函数，利用切线逼近函数，进而理解迭代法的含义和作法，培养学生逼近的思想，以直代曲的思想，同时强化算法思想。
本节课通过Leonardo方程的求近似解问题，复习和巩固二分法求方程近似解的思想，步骤和算法，并借助导数和切线理解牛顿迭代法的“以直代曲”思想和逼近思想，并分析整理牛顿迭代法的步骤和算法，并用牛顿迭代法解决实际问题。
在教学中，通过借助图形计算器的探究，以及问题引导的方式，培养学生分析问题，探究问题和合作解决问题的能力，借助二分法的复习培养学生类比的思想，同时体会知识的联系和应用。
本节课中给出的Leonardo方程有丰富的历史背景，练习中的开普勒方程又有实际背景，通过本节课的例子可以培养学生对数学的热爱以及强烈的求知欲望，对古代数学家坚忍不拔的毅力的学习以及对数学在实际生活中的巨大作用的认识都能使学生更加肯于钻研，并产生对数学的巨大兴趣。
教学重点：牛顿迭代法的迭代思想和过程。
二、目标和目标解析1．复习和巩固用二分法求方程的近似解二分法求方程的近似解是高中数学必修教材中的内容，和方程与函数的零点的关系一起，作为函数的性质的应用部分，是学生联系实际的重要内容，本节课以求Leonardo方程作为引入和研究对象，联系和复习二分法是顺理成章的，也能够将学习过的内容再现和升华。
2．探究并总结牛顿迭代法求方程的近似解牛顿迭代法是中学生能够接受的一种较简单的迭代方法，而且十分有效，但如果脱离图形计算器，也是非常困难的。
本节课的核心就是通过探究和实践，使学生能够完全理解牛顿迭代法的迭代原理，并能够通过图形计算器进行实际应用，提高了学生解决实际问题的能力。
3．培养学生利用图形计算器进行复杂计算和图形功能探究解决问题的能力。
培养探究精神一直以来都是数学课堂上的重要任务，但探究能力的培养，不是一朝一夕的功夫，需要学生能够有所依靠，图形计算器的配备和使用，使学生能够有充分的工具去施展，不再畏惧图形的不可知性和计算的繁琐复杂。
有了直观的感知，才是探究的源泉，对于中学生而言，这是最为适合的学习模式，值得通过大量的问题和实践使学生充分掌握图形计算器的使用。
4．在数学学习的过程中需要很多知识的迁移，类比，本节课就是在充分利用二分法的思想和步骤进行类比的基础上，结合导数和切线的知识进行迁移，完成对牛顿迭代法的充分理解的，利用问题链进行导引，借助小组合作讨论的模式，发挥图形计算器的直观作用和计算能力，将本节课内容中的精华部分和难点部分逐一消化，使学生体会多样化学习模式的带来的学习乐趣。
5．让学生了解更多数学史事及数学应用更能增进学生对数学的兴趣以及科学研究的价值观。
学生在学习知识和方法的同时需要更多的人文关怀，学习数学不仅是学习如何计算和证明，更应该在对应的知识水平中了解数学发展中曾经出现过的著名例子和典故。
这对于学生的榜样效果和激励作用是非常显著的。
同时，数学又应用于实践，应用于其他学科中，在课堂上给学生以更多的实际例子，也会更强化学生数学有用的信念，提升其对数学学科的兴趣和学习动力。
三、教学问题诊断分析本节课的教学对象是耀华中学实验班的学生，耀华中学是天津市的市直属重点中学，学生具备较强的学习能力和动手实践能力，较适于本课题的研究和学习，学生也对于这样的探究学习模式较为习惯和适应。
学生在学习本节课之前已经学习过函数与方程中的二分法求方程近似解，而且学习过导数的概念和求解，能够运用导数研究函数的性质和求切线。
学生有充分的探究意识和团队合作能力，图形计算器操作熟练，能够利用图形计算器画图和计算。
在本节课的教学中，学生可能会在迭代法的探究过程中出现困难，主要体现在对逼近方式的认识，这点可以通过图形计算器的函数切线的动态演示帮助学生理解“以直代曲”思想，另一点困难可能是对迭代的理解上，这点可以通过类比二分法的算法特征加以理解。
而且可以充分利用图形计算器的递推计算功能加以运算，从而促进学生对牛顿迭代法的理解。
教学难点：理解牛顿迭代法的逼近和迭代原理。
教学关键：理论推导和图形计算器验证有机结合。
四、教法分析1.利用有历史背景的数学方程激发学生积极探索新知的欲望，鼓励学生积极动手实践，不断优化知识结构，在“实践、理论、再实践”的过程中完成对新知的探索和应用，培养学生的思维能力和应用意识。
2.以学生为中心，教师适当引导，积极创设合作学习的氛围，使学生获得提供“实践、探索、交流”的机会，引导学生独立思考，更注重合作交流，有效地调动学生思维，使学生在开放的活动中获取直接经验. 使学生经历观察、分析、操作、归纳、概括的认知过程，培养综合运用已有知识解决新问题的能力。
五、教学支持条件分析本节课通过PPT演示的方式给学生介绍背景，引导问题，在复习巩固和小组讨论之后采用实物投影的方式将学生的讨论结果展示出来，同时结合演示图形计算器的计算功能和图形效果，帮助学生理解课题和进行运算。
在课堂教学中，学生每人配备一个图形计算器，图形计算器的存在,能够帮助学生从图形角度思考问题,同时能够进行快速的计算和迭代,而且求出的正是近似解.这一切都是本课题所特别要求的.学生通过函数的零点与方程的根的关系,体会利用函数研究方程的便利性,同时利用图形计算器,能够方便地将函数图象表示出来;学生在求近似解的过程中,需要大量繁琐的计算,人工计算费时费力,而利用图形计算器,学生能够方便地快速求得高精度的解，是学生探究的有力工具。
而数学研究在有了感性认识的基础上，能够逐层递进，有效归纳，达到易于研究和深入的目的。
从这个角度来说，本课题是图形计算器的特定匹配课程，或者更确切地说，正因为有了图形计算器的存在，才有了本课题实践的可能性，也才有了学生动手钻研和理解课题的可能性。
课题要求学生掌握图形计算器的画图功能，求零点功能，求函数的交点坐标的功能，直接解方程的功能，以及进行快速迭代计算的功能和数列递推的功能等，对学生的图形计算器使用的要求较高，综合性较强。
六、教学过程（一）激发兴趣，引出问题〖师生活动〗从一个三次方程求解问题引入，给出一个数学故事，激发学生兴趣，同时对学生渗透德育教育。
【问题1】对于方程32++-=的求近似解问题，大家了解它的210200x x x典故吗？〖设计意图〗这个方程是学生所熟悉的，利用它来抛出问题，引发学生思考。
【背景介绍】斐波那契数列，也被称为“兔子数列”。
它最早出现在一本叫做《算盘书》的书中，这本书的作者就是比萨的列奥纳多，又称斐波那契（1175年-1250年），是一名意大利数学家。
他是西方第一个研究斐波那契数，并将现代书写数和乘数的位值表示法系统引入欧洲的人，影响了欧洲数学界一个时代。
斐波那契其他数学著作还有《平方数书》、《花朵》等，前者专论二次丢番图方程，后者内容多为菲德里克二世宫廷数学竞赛问题，其中包含一个三次方程32x x x++-=的求解，斐波那契210200论证了其根不能用尺规作出（即不可能是欧几里得的无理量），他还未加说明地给出了该方程的近似解。
这在当时是非常重要的结果，但是无人知道他是怎么计算得到的。
尽管一元三次方程存在根式解，但生活实践当中，一个精度很高的近似解的价值要超过精确的根式解。
所以这个Leonardo方程，值得我们今天继续去研究和发现。
〖设计意图〗通过这个背景介绍，能够完全调动学生的学习兴趣和热情，课堂教师引导的目的首先就是激发学生的学习热情和动力，通过这个环节，既引出问题，又产生兴趣，一举两得。
（二）复习巩固，启发引导【问题2】求Leonardo方程的近似解，我们学习过什么方法？请大家把课前完成的复习巩固环节进行交流。
〖师生活动〗提问学生复习回顾二分法求方程近似解的步骤及二分法的逼近思想，方便在课程教学时进行类比分析。
【问题3】思考并总结：用二分法求方程的近似解时，需要注意一些什么问题？〖师生活动〗学生回答问题，总结复习成果，为今天的课题研究打好基础和伏笔。
〖设计意图〗学生在课前完成了学案相应复习部分的内容，复习了高一时所学习过的二分法的内容，为本节课的课程研究打下坚实的基础，包括对算法思想，逼近思想的体会都能有所加深，为研究牛顿迭代法进行类比提供了很好的基础。
（三）问题引导，分析方法【问题4】今天我们延究一种新的计算方程近似解的方法，请大家根据学案上的问题设置，结合近期新学习的内容，回答问题同时引发对新方法的思考，小组讨论一下，并进行交流。
问题链设计：（1）在研究方程的根的问题时，我们常可以将其等价转化为什么问题进行研究？（2）在研究函数的性质时，我们新学习了什么工具可以用来很方便地刻画函数的什么性质？（3）我们新学习的工具中，在刻画函数性质方面，体现出了什么样的思想？（4）在研究方程的近似解的时候，二分法体现出了什么样的思想？（5）类比二分法的思想，结合我们新学到的工具，我们能产生什么新的想法求方程的近似解？〖师生活动〗问答形式，以提问的方式使学生将思考后的想法分享出来，并逐步引出后面的问题。
〖设计意图〗通过问题链引导学生进行复习，使学生逐步将导数和切线与方程的近似解相结合起来。
【问题5】借助图形计算器，验证新的想法，并思考如何将其转化为算法。
〖师生活动〗同学们利用手中的图形计算器画出曲线的切线，并通过平移体会“以直代曲”思想。
教师在电脑上进行演示。
〖设计意图〗结合图形计算器的演示，同时让学生实际动手操作，能够直观理解“以直代曲”思想，为后面的借助切线与x 轴的交点横坐标代替原函数零点的思想进行切实的铺垫。
（四）探究切线，体验迭代【问题5】利用图形计算器，求方程32210200x x x ++-=的近似解（精确度为910-），记录下探究和计算的过程。
〖设计意图〗通过问题引导的方式，让学生试着利用切线代替曲线来求近似解，并逐步体会迭代的方式方法，写出Leonardo 方程的迭代公式并利用图形计算器求解，完成探究环节，给出问题解答。
〖师生活动〗教师问题引导：（1）从哪一个点开始“以直代曲”？求出具体的切线及近似解。
预设：学生先求出切线方程，并利用手中的图形计算器画出函数图象和切线的图象在一起，可以进行比较。
切线方程：()30216y x =-+。
图象如下：（2）与我们刚才求出的零点比较，再结合函数图象与切线，用什么方法进行下一步的操作，进而逐步逼近方程的解呢？预设：学生可能会再选择不同的x 值求切线方程，并继续画图探究，此时可以引导学生思考寻找规律，取不同的x 值无非是希望切线再能够逼近图象，那么如果就取刚才求出的切线零点为x 值，既能更加贴近图象，又可以有一个合理的步骤，不妨可以试试再求出2215x =时的切线方程，计算较复杂，可以利用图形计算器辅助完成，并画出图象。