用牛顿迭代法求近似根
用牛顿迭代法求方程的近似解课件
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阻尼牛顿法
总结词
阻尼牛顿法是一种改进的牛顿迭代法，通过引入阻尼因子来控制迭代过程中的步长，从而改善收敛性 和稳定性。
详细描述
阻尼牛顿法在每一步迭代中引入一个阻尼因子，该因子可以控制迭代过程中的步长。通过调整阻尼因 子的大小，可以有效地改善牛顿法的收敛性和稳定性，特别是在求解非线性方程时。阻尼牛顿法可以 更好地处理局部极小值和鞍点问题，提高求解精度和可靠性。
确定新的点
02
根据切线斜率和初始点的位置，确定新的迭代点。
更新切线斜率
03
根据新的迭代点，重新计算切线斜率。
判断收敛
设定收敛条件
设定一个收敛阈值，当连续两次迭代 之间的差值小于该阈值时，认为迭代 收敛。
检查收敛
在每次迭代后，检查是否满足收敛条 件，如果满足则停止迭代，否则继续 迭代计算。
04 牛顿迭代法的改进
二阶修正牛顿法
总结词
二阶修正牛顿法是在标准牛顿法基础上进行改进，通过引入二阶导数信息来加速收敛并 提高解的精度。
详细描述
二阶修正牛顿法利用二阶导数信息，在每一步迭代中构造一个更高阶的近似函数，从而 更快地逼近方程的真实解。这种方法在某些情况下可以显著减少迭代次数，提高求解效 率。然而，二阶修正牛顿法需要更多的计算资源和存储空间，因此在实际应用中需要根
用牛顿迭代法求方程 的近似解课件
目录
CONTENTS
• 引言 • 牛顿迭代法的基本原理 • 牛顿迭代法的实现步骤 • 牛顿迭代法的改进 • 实例演示 • 总结与展望
01 引言
牛顿迭代法的背景
牛顿迭代法是一种求解方程近似解的数值方法。
计算方法-牛顿求根
1 3 1 3 ( 4) x k 1 x , ( x ) x , k 2 xk 2 x 3 1.7320508 1 3 ( x ) 1 2 , ( x ) ( 3 ) 0. 2 x 取x0=2, 对上式4种迭代法, 计算三步所得结果入下表. k xk 迭代法(1) 迭代法(2) 迭代法(3) 迭代法(4) 0 x0 2 2 2 2 1 x1 3 1.5 1.75 1.75 2 x2 9 2 1.73475 1.732143 3 x3 87 1.5 1.732361 1.732051 ┆ ┆ ┆ ┆ ┆
( x ) ( 3 ) 2 3 1 1 . 3 3 3 ( 2 ) x k 1 , ( x ) , ( x ) 2 , ( x ) 1. xk x x 1 2 1 2 ( 3) x k 1 x k ( x k 3), ( x ) x ( x 3), 4 4 1 3 ( x ) 1 x , ( x ) 1 0.134 1. 2 2
f ( xk ) xk 1 =xk f ( xk )
(k 0,1,2)
局部收敛于 ，且为平方收敛。
牛顿迭代法的收敛性
牛顿迭代法的迭代函数为
f ( x) ( x) x f ( x )
设α是f(x)的一个单根，即f(α)=0有
f ( x ) f ( x ) ( x ) 0, * 2 [ f ( x )] f ( x ) (x ) 0. f ( x )
(2) 按公式 xk 1 得新的近似值xk+1 (3) 对于给定的允许精度，如果 | xk 1 xk | 则终止迭代，取 x* xk 1;否则k=k+1，再转 步骤(2)计算 允许精度
牛顿迭代法求方程在1.5附近的根
牛顿迭代法是一种近似求解方程根的方法，它通过不断迭代逼近解的过程来求解方程在某一点附近的根。
在本文中，我将共享关于牛顿迭代法求解方程在1.5附近的根的全面评估和深度探讨。
通过逐步分析牛顿迭代法的原理和具体应用，希望能够帮助您更深入地理解这一方法的优势和局限性。
一、牛顿迭代法的原理牛顿迭代法的基本原理是利用函数的导数来不断逼近方程的根。
具体来说，对于方程f(x)=0，从一个初始值x0开始，通过不断迭代x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}来逼近方程的根，直到满足所需精度要求为止。
这一迭代过程可以通过图形直观理解：在函数图像上，从初始点开始，沿着切线逐步逼近根的过程。
二、牛顿迭代法的应用牛顿迭代法在实际问题中有着广泛的应用，尤其是在科学计算和工程领域。
通过牛顿迭代法可以求解非线性方程、优化问题和曲线拟合等，在实际工程中有着重要的价值。
在求解方程根的问题中，牛顿迭代法通常能够以较快的速度逼近准确解，尤其是在靠近初始点附近的情况下，具有更佳的收敛速度。
三、牛顿迭代法的局限性然而，牛顿迭代法并不是没有局限性的。
在某些情况下，由于函数导数的特殊性或初始点选择不当，牛顿迭代法可能出现迭代不收敛或者收敛速度较慢的情况，这时需要对迭代方法进行调整或选择其他方法来求解方程的根。
在实际应用中，需要综合考虑问题的特点和要求，选择合适的数值方法来求解方程根。
四、牛顿迭代法求解方程在1.5附近的根接下来，我们将以求解方程f(x)=x^3-4x^2+1在x=1.5附近的根为例，来演示牛顿迭代法的具体应用过程。
我们需要确定方程f(x)=x^3-4x^2+1的导数f'(x)=3x^2-8x。
选择一个合适的初始点x0=1.5，代入牛顿迭代公式x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}中，进行迭代计算直到满足精度要求。
通过反复迭代计算，最终得到方程在1.5附近的根为x=2.532。
用牛顿迭代法求方程的近似解课件
迭代过程的收敛性分析主要涉及到函数$f(x)$的性质和初始值的选择等因素。如果$f(x)$在根附近有多 个极值点或者$f'(x)$在根附近变化剧烈，可能会导致迭代过程发散。
03 牛顿迭代法的应 用实例
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多变量牛顿迭代法 对于多变量非线性方程组，可以使用多变量牛顿迭代法进行求解。该方法在每一步迭代中，同时更新多 个变量的值，以更快地逼近方程组的解。
05 误差分析
迭代法中的误差来源
01 02
初始近似值的选取
初始近似值的选择对迭代法的收敛性和最终解的精度有重要影响。如果 初始近似值与真实解相差较大，可能会导致迭代过程发散或收敛速度缓 慢。
优化算法
作为优化算法的一种，牛顿 迭代法可以用于求解各种优 化问题，如机器学习中的损 失函数优化等。
工程计算
在工程计算中，牛顿迭代法 可以用于求解各种复杂的数 学模型和物理模型，如有限 元分析、流体动力学等。
经济和金融领域
在经济和金融领域，牛顿迭 代法可以用于求解各种复杂 的经济模型和金融模型，如 资产定价、风险评估等。
一元高次方程的求解
总结词
牛顿迭代法同样适用于一元高次方程的求解， 但需要特别注意初始值的选取和收敛速度。
详细描述
对于形式为 (a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ldots + a_1x + a_0 = 0) 的一元高次方程， 可以使用牛顿迭代法进行求解。迭代公式与 一元二次方程类似，但需要注意初始值的选
04 牛顿迭代法的改 进与优化
牛顿迭代法求解方程
牛顿迭代法求解方程
牛顿迭代法是一种在数值分析中用于求解方程的方法。
它通过不断逼近方程的根，从初始近似解开始迭代直到收敛为止。
牛顿迭代法求解方程的基本步骤如下：
1. 选择一个适当的初始近似解$x_0$。
2. 计算函数在$x_0$处的值$f(x_0)$和其导数$f'(x_0)$。
3. 使用切线近似替代原函数得到迭代公式：$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$。
4. 根据迭代公式计算下一个近似解$x_{n+1}$。
5. 判断是否达到迭代的要求，如果满足则停止迭代，否则返回第2步继续迭代。
6. 输出最终的近似解$x_{n+1}$。
需要注意的是，牛顿迭代法的收敛性取决于初始近似解的选择和方程本身的性质。
对于某些方程可能存在多个根，或者初始近似解选择不当，可能会导致迭代失败或收敛速度较慢。
此外，牛顿迭代法也可以用于求解方程组的数值解。
对于方程组的求解，迭代公式会有所不同，但基本思想和步骤相似。
用牛顿迭代法求方程的近似解课件
斐波那契给出了这个方程的近似解是：
x = 1.368808108
斐波那契的解是非常精确的，但是并没有给出过程。
在十三世纪，能得到这个结果，是非常了不起的成 就，即使在当今的年代，我们在没有图形计算器的 条件下，给出近似解也是非常困难的。
设想一下，斐波那契是用什么样的方法得到这个结 果的呢？
否则继续循环运算。
1、根的存在性和唯一性的判断：
通过研究函数的单调区间及零点存在性定理 判断。
2、根所在的区间： 分析函数的连续性并找出端点值异号的区间。 3、近似解的选取：
在达到精确度要求的情况下，区间中任意值 都可以作为近似解。
思考并回答以下问题：
1、在研究方程的根的问题时，我们
常可以将其等价转化为什么问题进 行研究？
6、借助图形计算器，验证新的想法， 并思考如何进一步计算。
求方程 x3 2x2 10x 20 0 的近似解 （精确度为10-9）。
1.第一步应该从何处开始？需要如 何处理？
求方程 x3 2x2 10x 20 0 的近似解 （精确度为10-9）。
2.第二步应该如何继续？计算的公 式又是什么？如何能循环下去？
“以直代曲”，逼近，迭代
（2）算法框图：
在天文学中，有一类著名的方程——开普勒方程， 是用来确定行星在其运动轨道上的位置的。
x = q sin x + a(0 < q < 1,a为常数)
开普勒方程是一个超越方程，很难得出严格的分析 解，但是，已经证明这个方程存在惟一解。在实际 问题中，我们更希望得到一个精确度很高的近似解。
求方程 x3 2x2 10x 20 0 的近似解 （精确度为10-9）。
求根号近似值的方法
求根号近似值的方法求根号近似值的方法根号作为数学中常见的符号之一，常常出现在各种公式和问题中。
然而，由于根号是一种无理数，因此为了计算和处理方便往往需要对其进行近似。
本文将从几个方面介绍一些求根号近似值的方法。
一、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种通过不断逼近而求出根号近似值的方法。
其基本思想是，在函数的某个初始点处，通过计算函数在该点的导数和函数值，确定该点处的切线，该切线与x轴的交点即为一个更接近根号的点。
然后再在该点处重复上述过程，直到达到一定的精度为止。
具体而言，设$f(x)=x^2-a$，则对于根号$a$，有$f(\sqrt{a})=0$。
根据导数的定义，可得$f'(x)=2x$。
因此，在第$i$次迭代中，将当前点的切线方程与x轴求交，能得到一个新的迭代点$x_{i+1}$：$$x_{i+1}=x_i-\frac{f(x_i)}{f'(x_i)}=x_i-\frac{x_i^2-a}{2x_i}=\frac{x_i}{2}+\frac{a}{2x_i}$$重复上述过程，直到满足精度要求为止。
二、二分法二分法是一种简单且有效的求根号近似值的方法。
其基本思想是，根据实数的有理数近似性，将根号所在的区间不断缩小，直到满足精度要求为止。
具体而言，设$a>0$，则$x=\sqrt{a}$满足不等式$0<x<max\{1,a\}$。
可以将该区间等分，设左右端点为$l_0=0$，$r_0=max\{1,a\}$，则取出中点$c_0=\frac{l_0+r_0}{2}$。
若$f(c_0)^2<a$，则根号在区间$[c_0,r_0]$中，否则根号在区间$[l_0,c_0]$中。
取出新的区间左右端点$l_1$和$r_1$，重复以上步骤，直到满足精度要求为止。
三、泰勒展开法泰勒展开法是一种将根号表达为一个无穷级数的方法，通过截断该级数求出一个近似值。
根据泰勒公式，对于函数$f(x)=\sqrt{x}$在点$x_0$处展开得：$$\sqrt{x}=\sqrt{x_0}+\frac{1}{2\sqrt{x_0}}(x-x_0)-\frac{1}{8x_0\sqrt{x_0}}(x-x_0)^2+\frac{1}{16x_0\sqrt{x_0}^3}(x-x_0)^3-...$$显然，只需要取到一定的项数就可以得到一个逼近根号的值。
matlab牛顿迭代法求多项式方程的根
matlab牛顿迭代法求多项式方程的根【主题】matlab牛顿迭代法求多项式方程的根1. 引言在数学和工程领域中，求解多项式方程的根是一项常见且重要的任务。
牛顿迭代法是一种有效的数值方法，可以用来逼近多项式方程的根。
本文将详细介绍如何利用matlab实现牛顿迭代法，以及该方法的应用和局限性。
2. 牛顿迭代法简介牛顿迭代法是一种基于导数的数值逼近方法，用于求解方程 f(x)=0 的根。
该方法的基本思想是从一个初始近似值开始，通过逐步改进来逼近方程的根。
牛顿迭代法的迭代公式为：\[x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\]其中，\(x_n\)是第n次迭代的近似根，f(x)是方程，\(f'(x)\)是f关于x的导数。
3. 在matlab中实现牛顿迭代法在matlab中，我们可以利用函数和循环结构来实现牛顿迭代法。
需要定义方程f(x)以及其导数f'(x)的函数表达式。
选择一个初始值作为近似根，通过迭代公式不断改进，直到满足预设的精度要求。
4. 应用实例我们将以一个具体的多项式方程为例，来演示如何利用matlab的牛顿迭代法来求解其根。
假设我们要求解方程\(x^2-2=0\)的根。
我们可以定义方程及其导数的matlab函数表达式，然后选择一个适当的初始值，进行迭代计算，最终得到方程的根。
5. 算法优化与局限性虽然牛顿迭代法在求解多项式方程的根上表现出色，但也存在一些局限性。
需要提前知道方程的导数表达式；初始值的选取可能影响迭代结果的精度等。
在实际应用中，需要根据具体情况灵活选择迭代算法，甚至进行一些优化来提高求解效率。
6. 结语通过matlab实现牛顿迭代法求解多项式方程的根，不仅可以帮助我们深入理解数值计算方法，也可以应用到实际工程问题中。
对于复杂的多项式方程，利用数值方法求解是一种有效的途径。
当然，在应用过程中需要注意算法的优化和局限性，以确保求解的准确性和稳定性。
重庆大学牛顿迭代法例题详解
重庆大学牛顿迭代法例题详解牛顿迭代法也称为牛顿切线法，是解非线性方程的一种方法[2]。
牛顿迭代法是取x0之后，在这个基础上，找到比x0更接近的方程的根，一步一步迭代，从而找到更接近方程根的近似根。
方法使用函数f（x）的泰勒级数的前面几项来寻找方程f（x）=0的根。
牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f（x）=0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。
另外该方法广泛用于计算机编程中。
1、牛顿迭代法原理。
设已知方程f（x）=0的近似根x0，则在x0附近f（x）可用一阶泰勒多项式p（x）=f（x0）+f'（x0）（x-x0）近似代替。
因此，方程f（x）=0可近似地表示为p（x）=0。
用x1表示p（x）=0的根，它与f（x）=0的根差异不大。
设，由于满足解得重复这一过程，得到迭代格式这就是著名的牛顿迭代公式，它相应的不动点方程为2、牛顿迭代法的几何解析。
在x0处作曲线的切线，切线方程为。
令y=0，可得切线与x轴的交点坐标这就是牛顿法的迭代公式。
因此，牛顿法又称"切线法"。
3、牛顿迭代法的收敛性。
定义设迭代过程收敛于方程的根x*，如果迭代误差当时成立下列关系式则迭代过程是p阶收敛的。
特别的，p=1时称为线性收敛，p>1时称为超线性收敛，p=2时称为平方收敛。
定理1对于迭代过程如果在所求根x*的临近连续，并且则该迭代过程在点邻近是阶收敛的。
定理2如果x*是方程f（x）的一个单根，并且f（x）在x*及其附近具有连续的二阶导数，则只要初始近似根x0充分靠近x*，牛顿法在根x*的临近平法收敛。
定理3设函数f（x）在[a，b]上存在二阶连续导数，且满足条件：（1）；（2）当时，；（3）当时，不变号；（4）则对于任意初始值，由牛顿迭代格式确定的序列收敛于在区间[a，b]内唯一的根x*。
定理4设函数f（x）在区间[a，b]内有二阶导数，如果满足：（1）；（2）；则以x0为初始值，由牛顿迭代法所确定的序列收敛于方程f（x）=0的根x*。
牛顿迭代法
有一个问题需要注意的是，该方法能够有效的基本条件是：
迭代公式必须是收敛的（ 也就是通过迭代运算，每一次的结果必须是更接近真实值的）9;s method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根,此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。另外该方法广泛用于计算机编程中。
迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程,跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。
解非线性方程f(x)=0的牛顿法是把非线性方程线性化的一种近似方法。把f(x)在x0点附近展开成泰勒级数 f(x) = f(x0)+(x－x0)f'(x0)+(x－x0)^2*f''(x0)/2! +… 取其线性部分，作为非线性方程f(x) = 0的近似方程，即泰勒展开的前两项，则有f(x0)+f'(x0)(x－x0)=0 设f'(x0)≠0则其解为x1=x0－f(x0)/f'(x0) 这样，得到牛顿法的一个迭代序列：x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))。
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用牛顿迭代法求近似根
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
第四题
题目：用Newton 法求方程在 74
28140x x -+= （0.1，1.9）中的近似根（初始近似值取为区间端点，迭代6次或误差小于0.00001）.
解：此题是用牛顿迭代法求解近似根的问题
1. Newton 迭代法的算法公式及应用条件：
设函数在有限区间[a,b]上二阶导数存在，且满足条件
ⅰ. ()()0f a f b <;
ⅱ. ()''f
x 在区间[a,b]上不变号； ⅲ. ()'0f x ≠;
ⅳ. ()()'f c f c b a
≤-，其中c 是a,b 中使()()''min(,)f a f b 达到的一个. 则对任意初始近似值0[,]x a b ∈，由Newton 迭代过程
()()()
1'k k k k k f x x x x f x +=Φ=-，k=0，1，2… 所生成的迭代序列{ k x }平方收敛于方程()0f x =在区间[a,b]上的唯一解а.
对本题：
)9.1()9.1(0
)8(4233642)(0
)16(71127)(0
)9.1(,0)1.0(,1428)(3225333647>⋅''<-=-=''<-=-='<>+-=f f x x x x x f x x x x x f f f x x x f Θ 故以1.9为起点 ⎪⎩
⎪⎨⎧='-=+9.1)()(01x x f x f x x k k k k
2. 程序编写
#include<stdio.h>
#include<math.h>
void main()
{
double x0,x=1.9；
do
{
x0=x；
x=x0-(x0*x0*x0*x0*x0*x0*x0-28*x0*x0*x0*x0+14)/(7*x0*x0*x0*x0*x0*x0-28*4*x0*x0 *x0);
} while(fabs(x-x0)>1e-5)；
printf("x=%f",x)；
}
3.打印结果
4.讨论分析
A．要用误差范围来控制循环的次数，保证循环的次数和质量。
B．编写程序过程中要注意标点符号的使用，正确运用适当的标点符号。
C．Newton迭代法是局部收敛的，在使用时应先确定初始值。