两个矩阵之间的关系汇总表
线性代数知识点汇总1
第一章 矩阵矩阵的概念：n m A *（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) 矩阵的运算：加法（同型矩阵）---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==（一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0） 转置：A A T T =)( TT T B A B A +=+)( T T kA kA =)( TT T A B AB =)( 方幂：2121k k k kA AA += 2121)(k k k k A A +=逆矩阵：设A 是N 阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的， 且B A=-1矩阵的逆矩阵满足的运算律：1、可逆矩阵A 的逆矩阵也是可逆的，且A A =--11)(2、可逆矩阵A 的数乘矩阵kA 也是可逆的，且111)(--=A kkA 3、可逆矩阵A 的转置TA 也是可逆的，且T T A A )()(11--=4、两个可逆矩阵A 与B 的乘积AB 也是可逆的，且111)(---=A B AB ，但是两个可逆矩阵A 与B 的和A+B 不一定可逆，即使可逆，但11)(--+≠+B A B A 。
A 为N 阶方阵，若|A|=0，则称A 为奇异矩阵，否则为非奇异矩阵。
5、若A 可逆，则11--=A A逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。
分块矩阵：加法，数乘，乘法都类似普通矩阵转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素初等变换：1、交换两行（列）2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 倍加到另一行（列） 初等变换不改变矩阵的可逆性，初等矩阵都可逆 初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵等价标准形矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=O O O I D r r第二章 行列式N 阶行列式的值：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。
《矩阵图原理步骤》课件
标准权重的选择 应基于实际需求和 目标
标准和权重的选择 应考虑数据的可获 得性和准确性
标准和权重的选择 应避免主观偏见和 偏好
标准和权重的选择 应考虑数据的代表 性和全面性
局限性：矩阵图无法展示数 据之间的相关性和因果关系
局限性：矩阵图只能展示二 维数据，无法处理高维数据
适用范围：矩阵图适用于展示 分类数据，如性别、年龄、职
矩阵图与波士顿矩阵法的结合：通过矩阵图分析市场增长率和市场份额，从而制定战 略。
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汇报人：
规变化、经济
环境等
综合分析：将 SWOT分析结 果进行综合， 得出企业或项 目的战略方向 和策略
矩阵图注意事项
数据来源：确保数据来源可靠，避免使用错误或不准确的数据 数据处理：对数据进行清洗、整理和标准化处理，确保数据的准确性和一致性 数据验证：对数据进行验证，确保数据的准确性和可靠性 数据更新：定期更新数据，确保数据的时效性和准确性
业等
适用范围：矩阵图适用于展示 数据分布，如人口分布、市场
份额等
矩阵图与SWOT分析法的结合：通过矩阵图分析内部优势和劣势，外部机会和威胁，从 而制定战略。
矩阵图与PEST分析法的结合：通过矩阵图分析政治、经济、社会和技术环境，从而制 定战略。
矩阵图与波特五力模型的结合：通过矩阵图分析供应商、购买者、潜在进入者、替代 品和行业内竞争者，从而制定战略。
绘制矩阵图，包括绘制横轴和纵轴、填充数 据等
分析矩阵图，包括分析数据之间的关系、找 出关键因素等
制定行动计划，根据矩阵图分析结果制定相 应的行动计划和策略
确定矩阵图的类 型：SWOT、PEST、 波特五力等
收集数据：市 场、竞争对手、 内部资源等
云质QMS说质量 - 质量工具之矩阵图
1.什么是矩阵图20世纪末，有一部非常有名的科幻电影《The Matrix》。
《The Matrix》三部曲展现的是，人们所生活的世界是由一个巨大的计算机智能“矩阵”控制的虚拟世界，一切看似“真实”的信息由其创造并传播，人类为了Freedom与“矩阵”Fight。
在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。
这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。
矩阵是高等数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。
在物理学中，矩阵在电路学、力学、光学和量子物理中都有应用。
当前非常热门的计算机领域，如机器学习、人工智能、神经网络都是基于矩阵形成的算法。
可以预见的是，通过计算机技术的应用，以质量知识库等为基础，质量管理也将向智能化进化。
矩阵在组织管理中有很多应用，比如风险评估矩阵、概率影响矩阵、道斯矩阵(SWOT分析)、职责分配矩阵RAM(RACI)、散点图矩阵、相关性矩阵、优先级矩阵、波士顿矩阵等，使用这些矩阵可以更有效和高效进行战略决策、质量管理、项目管理和持续改进等，矩阵图则是质量管理人员常用的QC新七种工具之一。
矩阵图，是从需要分析的事项中找出成对的因素组，分别排成行和列，找出行与列交叉点的关系或相关性的大小，从而探讨问题点的一种方法。
矩阵图可以展现2组或2组以上成对因素间的关系，同时能获得更多的相关性信息，其特点如下：(1)分析成对的影响因素，方便做多元性评估；(2)成对因素之间的相关性清晰明了，便于确定重点；(3)可根据多元性评估，将潜伏的各项因素找出来；(4)在系统图、关联图、亲和图等手法已分析至极限时，可以结合使用矩阵图。
例如时间管理四象限法，实际上就可以看作是按照“紧急”和“重要”2组成对因素（时间组：紧急/不紧急是一组，重要程度组：重要/不重要为另一组）组成的矩阵图，只不过是更加清晰地放在二维坐标轴的四个象限里而已。
在复杂的质量问题中，往往存在许多成对的质量因素。
离散数学重要公式定理汇总分解
关系的性质
一. 自反性
定义 :设 R是集合 A中的关系，如果对于任意x∈A都 有<x,x>∈R (xRx)，则称R是A中自反关系。 即 R是A中自反的关系x(xAxRx) 例如： 在实数集合中 , “ ”是自反关系，因
例 邻居关系和朋友关系是对称关系。
四.反对称性
定义:设R为集合A中关系,若对任何x, y∈A,如果有 xRy,和yRx,就有x=y,则称R为A中反对称关系 。
R是A上反对称的 xy((xAyAxRyyRx) x=y) xy((xAyAxyxRy)y Rx) (P112) 由R的关系图看反对称性：两个不同的结点之间 最多有一条边。 从关系矩阵看反对称性：以主对角线为对称的两 个元素中最多有一个1。 另外对称与反对称不是完全对立的，有些关系它 既是对称也是反对称的，如空关系和恒等关系。
如 实数的大于关系>，父子关系是反自反的。 注意：一个不是自反的关系，不一定就是反自反
的。
三.对称性 定义:R是集合A中关系,若对任何x, y∈A,如果有
xRy,必有yRx,则称R为A中的对称关系。 R是A上对称的
xy((xAyAxRy) yR方向相反的两 条边。 从关系矩阵看对称性：以主对角线为对 称的矩阵。
3
2018/10/25
Formula
等价公式(前10个)与集合论的公式比较： ⑴ 对合律 ~~AA ~A表示A的绝对补集 ⑵ 幂等律 A∪AA A ∩ A A ⑶ 结合律 A∪(B∪C)(A∪B)∪C； A∩(B∩C)(A∩B)∩C ⑷交换律 A∪BB∪A A∩BB∩A ⑸分配律 A∪(B∩C)(A∪B)∩(A∪C) A∩(B∪C)(A∩B)∪(A∩C) ⑹ 吸收律 A∪(A∩B)A A∩(A∪B)A
矩阵的实际应用
【假设】（ 1）假定26个英文字母与数字之间有以 下的一一对应关系：
（2）假设将单词中从左到右 ，每3个字母分为一组， 并将对应的3个整数排成3维的行向量 ，加密后仍为3 维的行向量 ，其分量仍为整数。
在【假设】 中 ， 也可将单词中从左到右 ，每4个字母分位 一组 ， 并将对应的4个整数排成4维的列向量 ，加密后仍为4维 的列向量 ，其分量仍为整数 ， 最后不足4个字母时用空格上。
信息action ，使用上述代码 ，则此信息的编码是： 1 ，3， 20 ，9 ， 15 ， 14．可以写成两个向量
②密匙矩阵要求3阶及以上.
每一类成本的年度总成本由矩阵的每一行元素相加得到 每一季度的总成本可由每一列相加得到
表3汇总了总成本
应用2 人口迁徙模型
设在一个大城市中的总人口是固定的。 人口的分布则因居民在市区和郊区之间 迁徙而变化 。每年有6%的市区居民搬 到郊区去住 ，而有2%的郊区居民搬到 市区 。假如开始时有30%的居民住在市 区，70%的居民住在郊区， 问10年后市 区和郊区的居民人口比例是多少？30年、 50年后又如何？
矩阵的实际应用
线性代数研究最多最基本的便是矩阵 。矩阵是线 性代数最基本的概念 ，矩阵的运算是线性代数的基本 内容 。矩阵就是一个数表 ，而这个数表可以进行变换， 以形成新的数表 。如果你了解原始数表的含义 ，而且 你可以从中抽象出某种变化规律 ，你就可以用线性代 数的理论对你研究的数表进行变换 ， 并得出你想要的 一些结论 。这些结论就可以直观的 、简洁的数表形式 展现在你眼前 。在日常生活中 ，矩阵无时无刻不出现 在我们的身边 ，例如生产管理中的生产成本问题 、人 口的流动和迁徙 、密码学 、图论 、生态统计学 、 以及 在化工 、医药 、 日常膳食等方面都经常涉及到的配方 问题 、超市物品配送路径等都和矩阵息息相关。
GE矩阵法
二、 GE矩阵具体制作方法
绘制GE矩阵，需要找出外部（行业吸引力） 和内部（企业竞争力）因素，然后对各因素加 权，得出衡量内部因素和市场吸引力外部因素 的标准。当然，在开始搜集资料前仔细选择哪 些有意义的战略事业单位是十分重要的。 (1) 定义各因素。选择要评估业务（或产 品）的企业竞争实力和市场吸引力所需的重要 因素。在GE内部，分别称之为内部因素和外部 因素。确定这些因素的方法可以采取头脑风暴
下面分别用折线图和表格两种形式来表示。
(3) 对外部因素和内部因素的重要性进行估 测，得出衡量实力和吸引力的简易标准。这里 有定性和定量两种方法可以选择。 定性方法：审阅并讨论内外部因素，以在 第二步中打的分数为基础，按强中弱三个等级 来评定该战略事业单位的实力和产业吸引力如 何。
定量方法：将内外部因素分列，分别对其 进行加权，使所有因素的加权系数总和为1， 然后用其在第二步中的得分乘以其权重系数， 再分别相加，就得到所评估的战略事业单位在
5.针对不同目标市场的建筑企业策略选择 对九个象限内的不同目标市场应采用不同的经 营战略。 综观各象限市场的特点,企业应将事业,市 场的发展重点放在第一、二、四象限区域内, 采用积极发展战略,重点投资、重点经营;对于 市场吸引力和企业竞争实力相对一般的第三、 五、七象限区域,应设法提高建筑企业的竞争 实力,进一步提高其盈利水平；而对于市场吸 引力弱的第六、八、九象限区域,应采取维持 收益或收缩退却战略。
关注每项业务的侧重点也不同，比如对于成长 型的业务，企业可能更关注该业务的增长潜力 和发展速度，对于成熟型的业务，企业可能更 关注市场总量和盈利能力。因此，评价指标权 重的确定，必须根据每一项业务的特点进行确 定。不同业务单元之间，企业竞争力评价指标 的权重也不相同，因为对于不同的战略业务单 元，企业所处的市场地位不同，企业关注和追 求的目标也不相同，所以评价指标的权重也不 同。
QC小组常用图表汇总(共16张)
示例：晶振损坏统计
常用于以下阶段 • 选择课题
• 现状调查
• 确定要因
按不同的地区 按不同的环境 ……
晶振损坏情况统计
时间 使用数 损坏数
2006年5月 5000
300
损坏率 6.0%
晶振损坏情况分类统计（按供应商）
时间 供应商 使用数 损坏数 损坏率
2006年5月
甲供应商 乙供应商
3000 2000
MS127 MS125 MS104R
96.68% 97.00% 88.42%
97.14% 97.89% 88.20%
98.73% 98.32% 92.58%
97.33% 97.77% 93.31%
97.84% 97.25% 89.80%
97.42% 97.66% 88.15%
97.52% 97.58% 89.97%
20360 31.48
53.00 84.48
电性能不合格 浸锡不良 磁芯破损 其他不良
3
磁芯破损
7474
11.56
96.04
4
其他不良
2561
3.96
100.00
由排列图可知(kě zhī)影响MS104R系列产 品合格率的主要缺陷是“电性能不合格”
第8页，共16页。
5、因果(yīnguǒ)图（鱼骨图）应用
双圈测试模式
软件系统
电桥与测试机联机
机械控制系统 测量控制系统
硬件系统
电气控制系统
第2页，共16页。
2、 关联图应用
原因分析
根据现状调查可知，问题症结在于“电感量偏高”和“电感量偏低”，我们选用了关联(guānlián)图进行原因分析， 如下图如示：
矩阵数据分析法
矩阵数据分析法矩阵数据分析法(Matrix Data Analysis Chart )，它是新的质量管理七种工具之一矩阵图上各元素间的关系如果能用数据定量化表示，就能更准确地整理和分析结果。
这种可以用数据表示的矩阵图法，叫做矩阵数据分析法。
在QC新七种工具中，数据矩阵分析法是唯一种利用数据分析问题的方法，但其结果仍要以图形表示。
数据矩阵分析法的主要方法为主成分分析法 (Principal component analysis )，利用此法可从原始数据获得许多有益的情报。
主成分分析法是一种将多个变量化为少数综合变量的一种多元统计方法。
矩阵数据分析法，与矩阵图法类似。
它区别于矩阵图法的是：不是在矩阵图上填符号，而是填数据，形成一个分析数据的矩阵。
它是一种定量分析问题的方法。
目前，在日本尚广泛应用，只是作为一种储备工具”提岀来的。
应用这种方法，往往需求借助电子计算机来求解。
［编辑］矩阵数据分析法的原理在矩阵图的基础上，把各个因素分别放在行和列，然后在行和列的交叉点中用数量来描述这些因素之间的对比，再进行数量计算，定量分析，确定哪些因素相对比较重要的。
［编辑］矩阵数据分析法的应用时机当我们进行顾客调查、产品设计或者其他各种方案选择，做决策的时候，往往需要确定对几种因素加以考虑，然后，针对这些因素要权衡其重要性加以排队，得岀加权系数。
譬如，我们在做产品设计之前，向顾客调查对产品的要求。
利用这个方法就能确定哪些因素是临界质量特性。
［编辑］和其他工具结合使用1.可以利用亲和图(affinity diagram )把这些要求归纳成几个主要的方面。
然后，利用这里介绍进行成对对比，再汇总统计，定量给每个方面进行重要性排队。
2.过程决策图执行时确定哪个决策合适时可以采用3.质量功能展开。
两者有差别的。
本办法是各个因素之间的相互对比，确定重要程度；而质量功能展开可以利用这个方法的结果。
用来确定具体产品或者某个特性的重要程度。
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定义
适应的条件充ຫໍສະໝຸດ 条件充分条件必要条件
矩阵 与 等价
若矩阵 可以经过一系列初等变换为矩阵 ，即如果存在可逆矩阵 、 使得 ，那么称矩阵 与 等价，记作
（ ）
矩阵 、 必须是同型矩阵，它们可以是方阵，也可以是一般矩阵，但是必须满足它们是同型矩阵这一条件
， 是同型矩阵且有相同的秩
矩阵矩阵 、 必须是同阶实对称矩阵（方阵）
二次型 与 有相同的正负惯性指数
存在可逆矩阵 、 ，使
设 ， 向量组 与向量组 等价
（注意此命题的逆命题不成立）
矩阵 与 相似
设 、 是n阶方阵，如果存在可逆矩阵 使得 ，那么称矩阵 与 相似，记作
矩阵 、 必须是同阶方阵
、 有相同的特征方程及特征值，
、 有相同的迹，
（即若 与 相似，那么 与 必定等价）
矩阵 与 合同
两个n阶实对称矩阵 、 ，如果存在可逆矩阵 ，使得 ，那么称矩阵 与 合同，记作