两个矩阵之间的关系汇总表

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矩阵及其应用ppt课件

线性方程组
• 根据矩阵乘法的定义，第三页中的线性方程组可以表示成：
• Ax = y • 其中A是第五页中的系数矩阵，x是列向量
[x1, x2, ..., xn]，y是列向量[y1, y2, ..., ym]。 • 当n=m时，A是n阶方阵，如果A可逆，那么：
• x = A-1y
方阵的幂
• 已知n阶方阵A和正整数m，计算Am。其中n 不超过50，m不超过1000000。
方阵的幂（二）
• 已知n阶方阵A和正整数m，计算A1 + A2 + ... + Am。其中n不超过50，m不超过1000000。
路径计数
• 给定一个有向图，问从A点恰好经过k步（允许多次经过同一条边）走到B点的方案总数。图中顶点数不超过50，边数不超过 1000000。
线性递推式
已知x1, x2 ,...,xn的值和线性递推关系 xk a1xk1 a2xk2 ... an xkn , 其中k n, a1, a2,...,an是常数。对于任给的正整数m，计算xm的值。（n不超过50，m 不超过1000000）
数乘矩阵
类似地，矩阵与数c相乘定义为cy1, ..., cym的系数所对应的矩阵：
a11 ... a1n ca11 ... ca1n c ... ... ... ... ... mn
矩阵乘法
设有如下两个方程组：
z1 a11 y1 ... a1m ym .................................. zk ak1 y1 ... akm ym 和 y1 b11x1 ... b1n xn ................................ ym bm1x1 ... bmnxn

基础公共课复习资料-线性代数知识点汇总

第一章矩阵矩阵的概念：n m A *（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) 矩阵的运算：加法（同型矩阵）---------交换、结合律数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==（一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0）转置：A A T T =)( TT T B A B A +=+)( T T kA kA =)( TT T A B AB =)( 方幂：2121k k k kA AA += 2121)(k k k k A A +=逆矩阵：设A 是N 阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的，且B A=-1矩阵的逆矩阵满足的运算律：1、可逆矩阵A 的逆矩阵也是可逆的，且A A =--11)(2、可逆矩阵A 的数乘矩阵kA 也是可逆的，且111)(--=A kkA 3、可逆矩阵A 的转置TA 也是可逆的，且T T A A )()(11--=4、两个可逆矩阵A 与B 的乘积AB 也是可逆的，且111)(---=A B AB ，但是两个可逆矩阵A 与B 的和A+B 不一定可逆，即使可逆，但11)(--+≠+B A B A 。

A 为N 阶方阵，若|A|=0，则称A 为奇异矩阵，否则为非奇异矩阵。

5、若A 可逆，则11--=A A逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。

分块矩阵：加法，数乘，乘法都类似普通矩阵转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素初等变换：1、交换两行（列）2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 倍加到另一行（列）初等变换不改变矩阵的可逆性，初等矩阵都可逆初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵等价标准形矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=O O O I D r r第二章行列式N 阶行列式的值：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。

Z矩阵、Y矩阵、A矩阵、S矩阵、T矩阵定义、推导及转换公式

一、微波网络各种参量矩阵定义图 1所示为二端口微波网络，1端口电压为U 1，电流为I 1；二端口电压为U 2，电流为I 2。

图 1 二端口微波网络1.1 Z 矩阵阻抗矩阵如下：11111222211222U Z I Z I U Z I Z I =+⎧⎨=+⎩ (1.1-1) 111121221222U Z Z I U Z Z I ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦[][][]U Z I = (1.1-2) 其中，211101I U Z I ==，111202I U Z I ==，222101I U Z I ==，122202I UZ I == (1.1-3)➢ 对于互易网络：1221Z Z = (1.1-4) ➢ 对于对称网络：1122Z Z = (1.1-5) ➢ 对于无耗网络：ij ij Z jX = （i,j=1, 2） (1.1-6)1.2 Y 矩阵导纳矩阵如下：11111222211222I Y U Y U I Y U Y U =+⎧⎨=+⎩ (1.2-1)111121221222I Y Y U I Y Y U ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦[][][]I Y U = (1.2-2) 其中，211101U I Y U ==，111202U I Y U ==，222101U I Y U ==，122202U IY U == (1.2-3)➢ 对于互易网络：1221Y Y = (1.2-4)➢ 对于对称网络：1122Y Y = (1.2-5) ➢ 对于无耗网络：ij ij Y jB = （i, j=1,2） (1.2-6)1.3 A 矩阵端口2的电流取向外，应为-I 2。

图 2 二端口微波网络（A 矩阵）转移矩阵如下：11121221212222U A U A I I A U A I =-⎧⎨=-⎩ (1.3-1) []11112221212222U A A U U A I A A I I ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦(1.3-2) 其中，21110I U A U ==，21120U U A I ==-，11210U IA U ==，21220U IA I ==- (1.3-3)1122122111221221➢ 对于对称网络：1122A A = (1.3-8) ➢ 对于无耗网络：A 11，A 22为实数；A 12，A 21为虚数 (1.3-9)二、微波网络各种参量矩阵转换2.1 Z 矩阵<=>Y 矩阵以归一化矩阵为例，根据归一化阻抗矩阵和归一化导纳矩阵，有1111122221122211111222211222u z i z i u z i z i i y u y u i y u y u =+⎧⎨=+⎩=+⎧⎨=+⎩ (2.1-1)则122112011221221,u i z y z z z z z u z====- (2.1-2)1112120u i y u z===-(2.1-3) 2221210u i y u z===-(2.1-4)至此，[][]111122212212221111y y z z y z y y z z z --⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦(2.1-6)同理，有[][]111122212212221111z z y y z y z z y y y --⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦(2.1-7) 即[][]1z y =，与归一化导纳矩阵中结论一致。

云质QMS说质量 - 质量工具之矩阵图

1.什么是矩阵图20世纪末，有一部非常有名的科幻电影《The Matrix》。

《The Matrix》三部曲展现的是，人们所生活的世界是由一个巨大的计算机智能“矩阵”控制的虚拟世界，一切看似“真实”的信息由其创造并传播，人类为了Freedom与“矩阵”Fight。

在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。

这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。

矩阵是高等数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。

在物理学中，矩阵在电路学、力学、光学和量子物理中都有应用。

当前非常热门的计算机领域，如机器学习、人工智能、神经网络都是基于矩阵形成的算法。

可以预见的是，通过计算机技术的应用，以质量知识库等为基础，质量管理也将向智能化进化。

矩阵在组织管理中有很多应用，比如风险评估矩阵、概率影响矩阵、道斯矩阵(SWOT分析)、职责分配矩阵RAM(RACI)、散点图矩阵、相关性矩阵、优先级矩阵、波士顿矩阵等，使用这些矩阵可以更有效和高效进行战略决策、质量管理、项目管理和持续改进等，矩阵图则是质量管理人员常用的QC新七种工具之一。

矩阵图，是从需要分析的事项中找出成对的因素组，分别排成行和列，找出行与列交叉点的关系或相关性的大小，从而探讨问题点的一种方法。

矩阵图可以展现2组或2组以上成对因素间的关系，同时能获得更多的相关性信息，其特点如下：(1)分析成对的影响因素，方便做多元性评估；(2)成对因素之间的相关性清晰明了，便于确定重点；(3)可根据多元性评估，将潜伏的各项因素找出来；(4)在系统图、关联图、亲和图等手法已分析至极限时，可以结合使用矩阵图。

例如时间管理四象限法，实际上就可以看作是按照“紧急”和“重要”2组成对因素（时间组：紧急/不紧急是一组，重要程度组：重要/不重要为另一组）组成的矩阵图，只不过是更加清晰地放在二维坐标轴的四个象限里而已。

在复杂的质量问题中，往往存在许多成对的质量因素。

离散数学关系矩阵的行和列

离散数学关系矩阵的行和列
离散数学中，关系矩阵是一种用于描述集合之间关系的数学工具。

在关系矩阵中，行和列分别代表着集合中的元素，而矩阵中的元素则表示这些元素之间的关系。

首先，让我们来看看关系矩阵的行。

在关系矩阵中，每一行对应着集合中的一个元素。

如果我们有一个关系矩阵R，它有n行，那么这个矩阵描述了一个从集合A到集合B的关系，其中A和B分别对应矩阵R的行和列。

矩阵中的每一行代表着集合A中的一个元素与集合B中的所有元素之间的关系。

接下来，让我们来看看关系矩阵的列。

在关系矩阵中，每一列对应着集合中的另一个元素。

如果我们有一个关系矩阵R，它有m 列，那么这个矩阵描述了一个从集合B到集合A的关系。

矩阵中的每一列代表着集合B中的一个元素与集合A中的所有元素之间的关系。

总的来说，关系矩阵的行和列分别代表着集合中的元素，而矩阵中的元素则描述了这些元素之间的关系。

通过研究关系矩阵的行
和列，我们可以更好地理解集合之间的关系，这对于离散数学中的许多问题都是非常重要的。

矩阵的实际应用

【准备】若要发出信息 action ，现需要利用矩阵乘法给出加密方法和加密后得到的密文，并给出相应的解密方法。
【假设】（ 1）假定26个英文字母与数字之间有以下的一一对应关系：
（2）假设将单词中从左到右，每3个字母分为一组，并将对应的3个整数排成3维的行向量，加密后仍为3 维的行向量，其分量仍为整数。
在【假设】中，也可将单词中从左到右，每4个字母分位一组，并将对应的4个整数排成4维的列向量，加密后仍为4维的列向量，其分量仍为整数，最后不足4个字母时用空格上。
信息action ，使用上述代码，则此信息的编码是： 1 ，3， 20 ，9 ， 15 ， 14．可以写成两个向量
②密匙矩阵要求3阶及以上.
每一类成本的年度总成本由矩阵的每一行元素相加得到每一季度的总成本可由每一列相加得到
表3汇总了总成本
应用2 人口迁徙模型
设在一个大城市中的总人口是固定的。人口的分布则因居民在市区和郊区之间迁徙而变化。每年有6%的市区居民搬到郊区去住，而有2%的郊区居民搬到市区。假如开始时有30%的居民住在市区，70%的居民住在郊区，问10年后市区和郊区的居民人口比例是多少？30年、 50年后又如何？
矩阵的实际应用
线性代数研究最多最基本的便是矩阵。矩阵是线性代数最基本的概念，矩阵的运算是线性代数的基本内容。矩阵就是一个数表，而这个数表可以进行变换，以形成新的数表。如果你了解原始数表的含义，而且你可以从中抽象出某种变化规律，你就可以用线性代数的理论对你研究的数表进行变换，并得出你想要的一些结论。这些结论就可以直观的、简洁的数表形式展现在你眼前。在日常生活中，矩阵无时无刻不出现在我们的身边，例如生产管理中的生产成本问题、人口的流动和迁徙、密码学、图论、生态统计学、以及在化工、医药、日常膳食等方面都经常涉及到的配方问题、超市物品配送路径等都和矩阵息息相关。

高数矩阵的概念及运算

2.2.1 矩阵的概念
• 引例某商店上半年电视销售情况(单位:百台) 简记为 51吋 47吋 42吋
一分店二分店 7 1 51吋 10 2 3 2 47吋 6 3 5 0 42吋 5 1
某商店下半年电视销售情况(单位:百台) 一分店
二分店
7 3 5 1 2 0
10 6 5 2 3 1
2.2.2 矩阵的加减和倍数
1、矩阵的加法
１) 定义设有两个 m n矩阵 A a ij , B bij , 那末矩阵 A 与 B 的和记作 A B，规定为
a11 b11 a 21 b21 A B a b m1 m1
a12 b12 a 22 b22 a m 2 bm 2
男性技术人员生产工人其他职工分别为15040015人而女性职工分别为3530035来列出总公司和分公司的职工人数情况然后汇总统计用矩阵a总公司分公司技术人员生产工人其他技术人员生产工人其他501001003001010200152510020例224222112112矩阵的倍数即数与矩阵相乘规定为的乘积记作与矩阵矩阵相加与数乘矩阵合起来统称为矩阵的线性运算

称为矩阵A的负矩阵。
有 A A O, A B A B .
这就是矩阵的减法
例2.2.1
设某公司的职工按男女区分统计如下
总公司分公司其他 5 15 技术人员生产工人 100 25 300 100 其他 10 20
技术人员生产工人男女 50 10 100 200
例2.2.6 设
32 16 16 22 8
4 2 1 1 1 2 1 3
?
1 0 1 2 A 1 1 3 0 0 5 1 4

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存在可逆矩阵、，使
设，向量组与向量组等价
（注意此命题的逆命题不成立）
矩阵与相似
设、是n阶方阵，如果存在可逆矩阵使得，那么称矩阵与相似，记作
矩阵、必须是同阶方阵
、有相同的特征方程及特征值，
、有相同的迹，
（即若与相似，那么与必定等价）
矩阵与合同
两个n阶实对称矩阵、，如果存在可逆矩阵，使得，那么称矩阵与合同，记作
矩阵矩阵、必须是同阶实对称矩阵（方阵）
二次型与有相同的正负惯性指数
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两个矩阵和之间的关系汇总表
定义
适应的条件
充要条件
充分条件
必要条件
矩阵与等价
若矩阵可以经过一系列初等变换为矩阵，即如果存在可逆矩阵、使得，那么称矩阵与等价，记作
（）
矩阵、必须是同型矩阵，它们可以是方阵，也可以是一般矩阵，但是必须满足它们是同型矩阵这一条件
，是同型矩阵且有相同的秩