北师大版一元二次方程单元测试(含标准答案)
2022-2023学年北师大版数学九年级上册第2章一元二次方程 单元测试题含答案
2022-2023学年北师大版九年级数学上册《第2章一元二次方程》单元测试题（附答案）一．选择题（共8小题，满分40分）1．一元二次方程2x2+x﹣3＝0中一次项系数、常数项分别是（）A．2，﹣3B．0，﹣3C．1，﹣3D．1，02．已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0有一个根为1，则m的值为（）A．﹣1B．1C．﹣2D．23．一元二次方程x2﹣3x+6＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根4．下列配方正确的是（）A．x2+2x+5＝（x+1）2+6B．x2+3x＝（x+）2﹣C．3x2+6x+1＝3（x+1）2﹣2D．x2﹣5．观察下列表格，一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个解x所在的范围是（）x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9x2﹣x0.110.240.390.560.750.96 1.19 1.44 1.71 A．1.5＜x＜1.6B．1.6＜x＜1.7C．1.7＜x＜1.8D．1.8＜x＜1.9 6．若（a2+b2）（a2+b2﹣3）＝4，则a2+b2的值为（）A．4B．﹣4C．﹣1D．4或﹣17．若国家对某种药品分两次降价，该药品的原价是25元，降价后的价格是16元，平均每次降价的百分率均为x，则可列方程为（）A．25（1﹣x）2＝16B．25（1+x）2＝16C．16（1﹣x）2＝25D．16（1+x）2＝258．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（）A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600D．（35﹣x）（20﹣2x）＝600二．填空题（共7小题，满分35分）9．已知关于x的方程（m﹣1）x+2x﹣3＝0是一元二次方程，则m的值为．10．已知m是方程x2﹣3x﹣2020＝0的根，则代数式1+3m﹣m2的值为．11．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+1）*3＝0的解为．12．已知一菱形的两条对角线长分别是方程x2﹣9x+20＝0的两根，则菱形的面积是．13．若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则x23﹣4x12+17的值为．14．已知α、β是一元二次方程x2﹣2021x+2020＝0的两实根，则代数式（α﹣2021）（β﹣2021）＝．15．已知等腰△ABC的三条边长都是方程x2﹣9x+18＝0的根，则△ABC的周长为．三．解答题（共6小题，满分45分）16．解方程：（1）x2﹣4x﹣3＝0；（2）（x﹣3）2＝2（3﹣x）．17．关于x的一元二次方程x2+2x+2m＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m＝0的两个根，且x12+x22＝8，求m的值．18．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC 三边的长．（1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．19．小明遇到下面的问题：求代数式x2﹣2x﹣3的最小值并写出取到最小值时的x值．经过观察式子结构特征，小明联想到可以用解一元二次方程中的配方法来解决问题，具体分析过程如下：x2﹣2x﹣3＝x2﹣2x+1﹣3﹣1＝（x﹣1）2﹣4所以，当x＝1时，代数式有最小值是﹣4．（1）请你用上面小明思考问题的方法解决下面问题．①x2﹣2x的最小值是②x2﹣4x+y2+2y+5的最小值是．（2）小明受到上面问题的启发，自己设计了一个问题，并给出解题过程及结论如下：问题：当x为实数时，求x4+2x2+7的最小值．解：∵x4+2x2+7＝x4+2x2+1+6＝（x2+1）2+6∴原式有最小值是6请你判断小明的结论是否正确，并简要说明理由．20．如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为19m，墙对面有一个2m宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长34m，围成长方形的养鸡场除门之外四周不能有空隙．（1）若要围成养鸡场的面积为160m2，则养鸡场的长和宽各为多少m？（2）围成养鸡场的面积能否达到180m2？请说明理由．21．全球疫情暴发时，医疗物资极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产医疗物资以应对疫情，某工厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产500万个，第三天生产720万个，若每天增长的百分率相同．试回答下列问题：（1）求每天增长的百分率；（2）经调查发现，1条生产线最大产能是1500万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少50万个/天．①现该厂要保证每天生产口罩6500万个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？②是否能增加生产线，使得每天生产口罩15000万个，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由．参考答案一．选择题（共8小题，满分40分）1．解：2x2+x﹣3＝0中，一次项系数为1，常数项为﹣3，故选：C．2．解：把x＝1代入方程x2+mx﹣3＝0得1+m﹣3＝0，解得m＝2．故选：D．3．解：∵x2﹣3x+6＝0，Δ＝（﹣3）2﹣4×1×6＝﹣6＜0，∴方程没有实数根，即一元二次方程x2﹣3x+6＝0的根的情况为没有实数根，故选：D．4．解：A选项，（x2+2x+1）+4＝（x+1）2+4；故A不符合题意；B选项，（x2+2×x+（）2）﹣（）2＝（x+）2﹣（）2，故B不符合题意；C选项，3x2+6x+1＝3（x2+2x+1）﹣2＝3（x+1）2﹣2，故C符合题意；D选项，x2﹣x+＝[x2﹣2×x+（）2]﹣（）2+＝（x﹣）2+，故D不符合题意；故选：C．5．解：x2﹣x＝1.1，x2﹣x﹣1.1＝0，Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1.1）＝5.4，x＝，x1＝，x2＝，∵2.2＜＜2.4，∴3.2＜1+＜3.4，∴1.6＜＜1.7，即一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个解x所在的范围是1.6＜x＜1.7．故选：B．6．解：设y＝a2+b2（y≥0），则由原方程得到y（y﹣3）＝4．整理，得（y﹣4）（y+1）＝0．解得y＝4或y＝﹣1（舍去）．即a2+b2的值为4．故选：A．7．解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得25（1﹣x）2＝16．故选：A．8．解：依题意，得：（35﹣2x）（20﹣x）＝600．故选：C．二．填空题（共7小题，满分35分）9．解：由一元二次方程的定义得：m2+1＝2，且m﹣1≠0，解得：m＝﹣1．故答案为：﹣1．10．解：∵m是方程x2﹣3x﹣2020＝0的根，∴m2﹣3m﹣2020＝0，∴m2﹣3m＝2020，∴1+3m﹣m2＝1﹣（m2﹣3m）＝1﹣2020＝﹣2019．故答案为：﹣2019．11．解：∵（x+1）*3＝0，∴（x+1）2﹣32＝0，∴（x+1）2＝9，x+1＝±3，所以x1＝2，x2＝﹣4．故答案为x1＝2，x2＝﹣4．12．解：解方程x2﹣9x+20＝0得：x＝4或5，即菱形的两条对角线的长为4和，所以菱形的面积为＝10，故答案为：10．13．解：∵x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，∴x12+x1﹣3＝0，x22+x2﹣3＝0．∴x12＝3﹣x1，x22＝3﹣x2．由一元二次方程的根与系数的关系得到：x1+x2＝﹣1．∴x23﹣4x12+17＝x2•x22﹣4x12+17＝x2•（3﹣x2）﹣4（3﹣x1）+17＝3x2﹣x22﹣12+4x1+17＝3x2﹣（3﹣x2）﹣12+4x1+17＝4x2+4x1+2＝4（x1+x2）+2＝﹣4+2＝﹣2．故答案是：﹣2．14．解：∵α、β是一元二次方程x2﹣2021x+2020＝0的两实根，∴α+β＝2021，αβ＝2020，∴（α﹣2021）（β﹣2021）＝αβ﹣2021（α+β）+20212＝2020﹣2021×2021+20212＝2020．故答案为：2020．15．解：∵x2﹣9x+18＝0，∴（x﹣3）（x﹣6）＝0，∴x1＝3，x2＝6，∵等腰△ABC的两边长都是方程x2﹣9x+18＝0的根，∴等腰△ABC的三边为3、3、3或6、6、6或6、6、3或3、3、6（不符合），∴△ABC的周长为9或18或15．故答案为：9或18或15．三．解答题（共6小题，满分45分）16．解：（1）∵x2﹣4x﹣3＝0，∴x2﹣4x+4＝4+3，∴（x﹣2）2＝7，∴x﹣2＝±；∴，；（2）∵（x﹣3）2＝2（3﹣x），∴（x﹣3）2﹣2（3﹣x）＝0，∴（x﹣3）（x﹣3+2）＝0，∴（x﹣1）（x﹣3）＝0，∴x﹣1＝0或x﹣3＝0，∴x1＝1，x2＝3．17．解：（1）因为一元二次方程x2+2x+2m＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4﹣8m＞0，解得：m＜．故m的取值范围为m＜．（2）根据根与系数的关系得：x1+x2＝﹣2，x1•x2＝2m，∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝4﹣4m＝8，所以m＝﹣1验证当m＝﹣1时Δ＞0．故m的值为m＝﹣1．18．解：（1）△ABC是等腰三角形，理由是：∵把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得：a+c﹣2b+a﹣c＝0，∴2a＝2b，∴a＝b，∴△ABC的形状是等腰三角形；（2）∵△ABC是等边三角形，∴a＝b＝c，∵（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，∴（a+a）x2﹣2ax+a﹣a＝0，即x2﹣x＝0，解得：x1＝0，x2＝1，即这个一元二次方程的根是x1＝0，x2＝1．19．解：（1）①x2﹣2x＝x2﹣2x+1﹣1＝（x﹣1）2﹣1，∴当x＝1时，代数式x2﹣2x有最小值是﹣1；②x2﹣4x+y2+2y+5＝x2﹣4x+4+y2+2y+1＝（x﹣2）2+（y+1）2，∴当x＝2，y＝﹣1时，代数式x2﹣4x+y2+2y+5有最小值是0，故答案为：①﹣1，②0；（2）小明的结论错误，理由：∵x2+1＝0时，x无解，∴（x2+1）2+6最小值不是6，∵x2≥0，∴当x2＝0时，（x2+1）2+6最小值是7．20．解：（1）设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（34+2﹣2x）米．根据题意，得：（34+2﹣2x）x＝160，整理得：x2﹣18x+80＝0，解得：x1＝8，x2＝10，当x1＝8时，34+2﹣2x＝36﹣2×8＝20＞19，不符合题意，舍去，当x2＝10时，34+2﹣2x＝36﹣2×10＝16＜19，符合题意，答：养鸡场的长为16米，宽为10米．（2）围成养鸡场的面积不能达到180m2．理由如下：设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（34+2﹣2x）米．根据题意，得：（34+2﹣2x）x＝180，整理得：x2﹣18x+90＝0，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣18）2﹣4×1×90＜0．∴方程无实数根．答：围成养鸡场的面积不能达到180m2．21．解：（1）设每天增长的百分率为x，依题意，得：500（1+x）2＝720，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：每天增长的百分率为20%；（2）①设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500﹣50m）万个/天，依题意，得：（1+m）（1500﹣50m）＝6500，解得：m1＝4，m2＝25，又∵在增加产能同时又要节省投入，∴m＝4．答：应该增加4条生产线；②设增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500﹣50a）万个/天，依题意，得：（1+a）（1500﹣50a）＝15000，化简得：a2﹣29a+270＝0，∵△＝（﹣29）2﹣4×1×270＝﹣239＜0，方程无解．∴不能增加生产线，使得每天生产口罩15000万个．。
北师大版九年级数学上册单元测试卷：第二章 《一元二次方程》(含答案)
单元测试卷：第二章《一元二次方程》时间：100分钟满分：100分班级：_______ 姓名：________得分:_______一．选择题（每题3分，共30分）1．将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（）A．﹣4，21 B．﹣4，11 C．4，21 D．﹣8，692．若关于x的方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数解，则k的取值范围是（）A．k≥5 B．k≥5且k≠1 C．k≤5且k≠1 D．k≤53．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A．+x＝3 B．x2+2x﹣3＝0C．4x+3＝x D．x2+x+1＝x2﹣2x4．已知m、n是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，则＝（）A．3 B．﹣3 C．D．﹣5．国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（）A．5000（1+2x）＝7500B．5000×2（1+x）＝7500C．5000（1+x）2＝7500D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝75006．若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2020的值为（）A．2020 B．﹣2020 C．2019 D．﹣20197．小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝3，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2．则原方程的根的情况是（）A．不存在实数根B．有两个不相等的实数根C．有一个根是x＝﹣1 D．有两个相等的实数根8．若x 1x 2＝2，+＝，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（ ）A ．x 2+3x ﹣2＝0B ．x 2﹣3x +2＝0C ．x 2+3x +2＝0D ．x 2﹣3x ﹣2＝0 9．若关于x 的一元二次方程x 2+2x +c ＝0有实数根，则c 的取值可能为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．110．设a 、b 是方程x 2+x ﹣2020＝0的两个实数根，则（a ﹣1）（b ﹣1）的值为（ ）A ．﹣2018B ．2018C ．2020D ．2022二．填空题（每题4分，共20分）11．已知一元二次方程x 2+2x +m ＝0的一个根是﹣1，则m 的值为 ．12．若关于x 的一元二次方程mx 2﹣2x ﹣1＝0无实数根，则一次函数y ＝mx +m 的图象不经过第 象限．13．已知x 为实数，且满足（2x 2+3）2+2（2x 2+3）﹣15＝0，则2x 2+3的值为 ． 14．2019女排世界杯于9月14月至29日在日本举行，赛制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场），一共比赛66场，中国女排以全胜成绩卫冕世界杯冠军，为国庆70周年献上大礼，则中国队在本届世界杯比赛中连胜 场．15．已知一元二次方程x 2+2x ﹣8＝0的两根为x 1、x 2，则+2x 1x 2+＝ ．三．解答题（每题10分，共50分）16．解下列方程．（1）x 2+2x ﹣35＝0（2）4x （2x ﹣1）＝1﹣2x17．某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就减少售出2件，但要求销售单价不得超过65元．（1）若销售单价为每件60元，求每天的销售利润；（2）要使每天销售这种工艺品盈利1350元，那么每件工艺品售价应为多少元？18．某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了33m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长15m）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．（1）若要建的矩形养鸡场面积为90m2，求鸡场的长（AB）和宽（BC）；（2）该扶贫单位想要建一个100m2的矩形养鸡场，请直接回答：这一想法能实现吗？19．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝3，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求k值多少？20．某商店以每件40元的价格进了一批热销商品，出售价格经过两个月的调整，从每件50元上涨到每件72元，此时每月可售出188件商品．（1）求该商品平均每月的价格增长率；（2）因某些原因，商家需尽快将这批商品售出，决定降价出售．经过市场调查发现：售价每下降一元，每个月多卖出一件，设实际售价为x元，则x为多少元时商品每月的利润可达到4000元．参考答案一．选择题1．解：∵x2﹣8x﹣5＝0，∴x2﹣8x＝5，则x2﹣8x+16＝5+16，即（x﹣4）2＝21，∴a＝﹣4，b＝21，故选：A．2．解：①当该方程是关于x的一元一次方程时，k﹣1＝0即k＝1，此时x＝﹣，符合题意；②当该方程是关于x的一元二次方程时，k﹣1≠0即k≠1，此时△＝16﹣4（k﹣1）≥0．解得k≤5；综上所述，k的取值范围是k≤5．故选：D．3．解：A、因为方程是分式方程，不是整式方程，所以方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B、是一元二次方程，故本选项符合题意；C、因为方程是一元一次方程，所以方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D、因为方程是一元一次方程，所以方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；故选：B．4．解：根据题意得m+n＝3，mn＝﹣1，所以＝．故选：B．5．解：设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，由题意得：5000（1+x）2＝7500，故选：C．6．解：∵a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，∴a2﹣a﹣1＝0，∴a 2﹣1＝a ，﹣a 2+a ＝﹣1，∴﹣a 3+2a +2020＝﹣a （a 2﹣1）+a +2020＝﹣a 2+a +2020＝2019．故选：C ．7．解：∵小刚在解关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）时，只抄对了a ＝1，b ＝3，解出其中一个根是x ＝﹣1，∴（﹣1）2﹣3+c ＝0，解得：c ＝2，故原方程中c ＝4，则b 2﹣4ac ＝9﹣4×1×4＝﹣7＜0，则原方程的根的情况是不存在实数根．故选：A ．8．解：∵+＝，∴x 1+x 2＝x 1x 2，∵x 1x 2＝2，∴x 1+x 2＝3，∴以x 1，x 2为根的一元二次方程是x 2﹣3x +2＝0．故选：B ．9．解：根据题意得△＝22﹣4c ≥0，解得c ≤1．故选：D ．10．解：∵a 、b 是方程x 2+x ﹣2020＝0的两个实数根，∴a +b ＝﹣1，ab ＝﹣2020，则原式＝ab ﹣a ﹣b +1＝ab ﹣（a +b ）+1＝﹣2020+1+1＝﹣2018．故选：A ．二．填空题（共5小题）11．解：把x ＝﹣1代入方程得1﹣2+m ＝0，解得m ＝1，故答案为1．12．解：∵关于x 的一元二次方程mx 2﹣2x ﹣1＝0无实数根，∴m ≠0且△＝（﹣2）2﹣4m （﹣1）＜0，∴一次函数y＝mx+m的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限．故答案为一．13．解：设2x2+3＝t，且t≥3，∴原方程化为：t2+2t﹣15＝0，∴t＝3或t＝﹣5（舍去），∴2x2+3＝3，故答案为：314．解：设中国队在本届世界杯比赛中连胜x场，则共有（x+1）支队伍参加比赛，依题意，得：x（x+1）＝66，整理，得：x2+x﹣132＝0，解得：x1＝11，x2＝﹣12（不合题意，舍去）．故答案为：11．15．解：∵一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1、x2，∴x1+x2＝﹣2，x1•x2＝﹣8，∴+2x1x 2 +＝2x1x 2 +＝2×（﹣8）+＝﹣16+＝﹣，故答案为：﹣．三．解答题（共5小题）16．解：（1）x2+2x﹣35＝0，（x+7）（x﹣5）＝0，x+7＝0或x﹣5＝0，12（2）4x（2x﹣1）＝1﹣2x，4x（2x﹣1）+（2x﹣1）＝0，（2x﹣1）（4x+1）＝0，（2x﹣1）＝0或（4x+1）＝0，，17．解：（1）（60﹣40）×[100﹣（60﹣50）×2]＝1600（元）．答：每天的销售利润为1600元．（2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[100﹣2（x﹣50）]件，依题意，得：（x﹣40）[100﹣2（x﹣50）]＝1350，整理，得：x2﹣140x+4675＝0，解得：x1＝55，x2＝85（不合题意，舍去）．答：每件工艺品售价应为55元．18．解：（1）设BC＝xm，则AB＝（33﹣3x）m，依题意，得：x（33﹣3x）＝90，解得：x1＝6，x2＝5．当x＝6时，33﹣3x＝15，符合题意，当x＝5时，33﹣3x＝18，18＞18，不合题意，舍去．答：鸡场的长（AB）为15m，宽（BC）为6m．（2）不能，理由如下：设BC＝ym，则AB＝（33﹣3y）m，依题意，得：y（33﹣3y）＝100，整理，得：3y2﹣33y+100＝0．∵△＝（﹣33）2﹣4×3×100＝﹣111＜0，∴该方程无解，即该扶贫单位不能建成一个100m2的矩形养鸡场．19．（1）证明：∵△＝（2k+1）2﹣4×4（k﹣）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2≥0，∴该方程总有实数根；（2）x＝∴x1＝2k﹣1，x2＝2，∵a、b、c为等腰三角形的三边，∴2k﹣1＝2或2k﹣1＝3，∴k＝或2．20．解：（1）设该商品平均每月的价格增长率为m，依题意，得：50（1+m）2＝72，解得：m1＝0.2＝20%，m2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该商品平均每月的价格增长率为20%．（2）依题意，得：（x﹣40）[188+（72﹣x）]＝4000，整理，得：x2﹣300x+14400＝0，解得：x1＝60，x2＝240．∵商家需尽快将这批商品售出，∴x＝60．答：x为60元时商品每天的利润可达到4000元．。
北师大版九年级数学上册《第二章 一元二次方程》章节测试卷-带答案
北师大版九年级数学上册《第二章 一元二次方程》章节测试卷-带答案知识点总结：①配方法和十字叉乘法求解一元二次方程{二次项系数为±1二次项系数不是±1配方法：(a±b)2=a2+b2±2ab十字叉乘法：化简成(x±a)(x±b)=0的形式，解得x=∓a或∓b②公式法求解一元二次方程公式法：x=−b±√b2−4ac2a③因式分解法求解一元二次方程因式分解法：{(a±b)2=a2+b2±2ab a2−b2=(a−b)(a+b)④一元二次方程的根与系数的关系关系：x1+x2=−ba ；x1∙x2=ca⑤应用一元一次方程应用题第二章一元二次方程测试1（拔高题）1、下列方程为一元二次方程，求a的取值范围或者具体值：①2ax2−2bx+a=4x2②(a−1)x|a|+1−2x−7=0③ax2+6x+1=0没有实数根2、已知一元二次方程x2+k+3=0有一个根为1，则k的值为.3、已知一元二次方程为5x2+x=0，其中二次项系数为，一次项系数为，常数项为，x1x2=，x1+x2=.x2+3x−2=0 的两根，则(x1−x2)2的值为.4、设x1与x2为一元二次方程−125、关于x的一元二次方程x2−(k−3)x−k+1=0根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．实数根的个数由k的值确定6、已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2−m=0的两实数根为x1，x2，且满足x1x2=2，则x1+x2的值为（）A．4B．−4C．4或−2D．−4或27、配方法解方程x2+6x+9=23x2−2=5x8、公式法解方程(x−2)(3x−5)=19x2+6x+1=49、直接开平方法解方程2(x−1)2 −18=010、因式分解法解方程3x(x−1)=3(x+2)(1−x)3(4−x)2=x2−16(1−2x)(x−8)=8x−411、如图，在矩形ABCD 中，AB =10 cm ，AD =8 cm ，点P 从点A 出发沿AB 以2cm /s 的速度向点B 运动，同时点Q 从点B 出发沿BC 以1cm /s 的速度向点C 运动，点P 到达终点后，P ，Q 两点同时停止运动。
九年级数学上册第二章《一元二次方程》测试卷-北师大版(含答案)
九年级数学上册第二章《一元二次方程》测试卷-北师大版（含答案）一．选择题（共10小题，满分40分）1．下列方程中是一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c＝0B．x﹣1＝7C．7x2+6＝0D．2x2﹣5y＝02．关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+m2x＝9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（）A．0B．±3C．3D．﹣33．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+x+k2﹣4＝0有一个根是0，则k的值是（）A．﹣2B．2C．0D．﹣2或24．下列配方中，变形正确的是（）A．x2+2x＝（x+1）2B．x2﹣4x﹣3＝（x﹣2）2+1C．2x2+4x+3＝2（x+1）2+1D．﹣x2+2x＝﹣（x+1）2﹣15．2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（）A．8B．10C．7D．96．有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（）A．14B．11C．10D．97．受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（）A．6.2（1+x）2＝8.9B．8.9（1+x）2＝6.2C．6.2（1+x2）＝8.9D．6.2（1+x）+6.2（1+x）2＝8.98．设a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则a2+3a+2b的值为（）A．2020B．2021C．2022D．20239．若关于x的一元二次方程（k﹣5）x2﹣2x+2＝0有实数根，则整数k的最大值为（）A．4B．5C．6D．710．已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值是（）A．7B．﹣1C．7或﹣1D．﹣5或3二．填空题（共10小题，满分40分）11．方程（x+1）2＝9的根是．12．一元二次方程x2﹣4x+3＝0配方为（x﹣2）2＝k，则k的值是．13．一元二次方程3x2＝4﹣2x的解是．14．方程2x2+1＝3x的解为．15．方程x2﹣4x＝0的实数解是．16．三角形两边的长分别为2和5，第三边的长是方程x2﹣8x+15＝0的根，则该三角形的周长为．17．若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则+的值为．18．如图，在一块长为30米，宽为24米的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的小路，其余部分建成花园，已知小路的占地面积为50平方米，设小路的宽为x米，则可列方程为．19．疫情期间，学校利用一段已有的围墙（可利用的围墙长度仅有5米）搭建一个矩形临时隔离点ABCD，如图所示，它的另外三边所围的总长度是10米，矩形隔离点的面积为12平方米，则AB的长度是米．20．一花户，有25m长的篱笆，要围成一边靠住房墙（墙长12m）的面积为100m2的长方形花园，且垂直于住房墙的一边留一个1m的门，设垂直于住房墙的其中一边长为xm，则可列方程为．三．解答题（共5小题，满分40分）21．解下列方程：（1）2（x+1）2＝8；（2）x（x+1）＝3（x+1）；（3）x2+6x﹣16＝0．22．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0．（1）求m的值；（2）求此时一元二次方程的解．23．已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长．（1）求m的值；（2）求△ABC的周长．24．幸福小区规划在一个长为40米，宽为26米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若要使草坪的面积为864平方米，求通道的宽度．25．由于新冠疫情的影响，口罩需求量急剧上开，经过连续两次价格的上调，口罩的价格由每包10元涨到了每包14.4元．（1）求出这两次价格上调的平均增长率；（2）在有关部门调控下，口罩价格还是降到了每包10元，而且调查发现，定价为每包10元时，一天可以卖出30包，每降价1元，可以多卖出5包，当销售额为315元时，且让顾客获得更大的优惠，应该降价多少元？参考答案一．选择题（共10小题，满分40分）1．解：A．当a＝0时，方程ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B．x﹣1＝7，是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；C．7x2+6＝0是一元二次方程，故本选项符合题意；D．2x2﹣5y＝0是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；故选：C．2．解：（m﹣3）x2+m2x＝9x+5，（m﹣3）x2+（m2﹣9）x﹣5＝0，由题意得：m﹣3≠0，m2﹣9＝0，解得：m＝﹣3，故选：D．3．解：把x＝0代入（k﹣2）x2+x+k2﹣4＝0得：k2﹣4＝0，解得k1＝2，k2＝﹣2，而k﹣2≠0，所以k＝﹣2．故选：A．4．解：x2+2x＝x2+2x+1﹣1＝（x+1）2﹣1，A错误．x2﹣4x﹣3＝x2﹣4x+4﹣4﹣3＝（x2﹣4x+4）+（﹣4﹣3）＝（x﹣2）2﹣7．B错误．2x2+4x+3＝2（x2+2x）+3＝2（x2+2x+1﹣1）+3＝2（x2+2x+1）﹣2×1+3＝2（x+1）2﹣2+3＝2（x+1）2+1．C正确．﹣x2+2x＝﹣（x2﹣2x+1﹣1）＝﹣（x2﹣2x+1）+1＝﹣（x+1）2+1D错误．故选：C．5．解：设共有x支队伍参加比赛，根据题意，可得，解得x＝10或x＝﹣9（舍），∴共有10支队伍参加比赛．故选：B．6．解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得1+x+x（1+x）＝144，即（1+x）2＝144，解方程得x1＝11，x2＝﹣13（舍去），故选：B．7．解：依题意得6.2（1+x）2＝8.9，故选：A．8．解：∵a是方程x2+x﹣2022＝0的实数根，∴a2+a﹣2022＝0，∴a2+a＝2022，∵a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，∴a+b＝﹣1，∴a2+3a+2b＝a2+a+2a+2b＝2022+2×（﹣1）＝2020．故选：A．9．解：∵关于x的一元二次方程（k﹣5）x2﹣2x+2＝0有实数根，∴，解得：k≤且k≠5．∵k为整数，∴k的最大值为4．故选：A．10．解：∵（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，∴（x2﹣x+2）（x2﹣x﹣6）＝0，∴x2﹣x+2＝0或x2﹣x﹣6＝0，∴x2﹣x＝﹣2或x2﹣x＝6．当x2﹣x＝﹣2时，x2﹣x+2＝0，∵b2﹣4ac＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0，∴此方程无实数解．当x2﹣x＝6时，x2﹣x+1＝7故选：A．二．填空题（共10小题，满分40分）11．解：（x+1）2＝9，x+1＝±3，x1＝2，x2＝﹣4．故答案为：x1＝2，x2＝﹣4．12．解：∵x2﹣4x+3＝0，∴x2﹣4x＝﹣3，∴x2﹣4x+4＝﹣3+4，∴（x﹣2）2＝1，∵一元二次方程x2﹣4x+3＝0配方为（x﹣2）2＝k，∴k＝1，故答案为：1．13．解：3x2＝4﹣2x3x2+2x﹣4＝0，则b2﹣4ac＝4﹣4×3×（﹣4）＝52＞0，故x＝，解得：x1＝，x2＝．故答案为：x1＝，x2＝．14．解：2x2+1＝3x，2x2﹣3x+1＝0，（x﹣1）（2x﹣1）＝0，解得：x1＝1，x2＝．故答案为：x1＝1，x2＝．15．解：方程x2﹣4x＝0，分解因式得：x（x﹣4）＝0，可得x＝0或x﹣4＝0，解得：x1＝0，x2＝4．故答案为：x1＝0，x2＝4．16．解：解方程x2﹣8x+15＝0得：x＝3或5，当第三边为3时，2+3＝5，不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形，舍去；当第三边为5时，符合三角形三边关系定理，能组成三角形，此时三角形的周长是2+5+5＝12，故答案为：12．17．解：∵实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，∴a、b可看作方程x2﹣4x+3＝0的两个不相等的实数根，则a+b＝4，ab＝3，则原式＝＝，故答案为：．18．解：依题意得30x+24x﹣x2＝50，故答案为：30x+24x﹣x2＝50．19．解：设AB＝x米，则BC＝（10﹣2x）米，根据题意可得，x（10﹣2x）＝12，解得x1＝3，x2＝2（舍去），∴AB的长为3米．故答案为：3．20．解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（26﹣2x）m，根据题意得：x（26﹣2x）＝100．故答案为：x（26﹣2x）＝100．三．解答题（共5小题，满分40分）21．解：（1）2（x+1）2＝8，（x+1）2＝4，x+1＝±2，x+1＝2或x+1＝﹣2，x1＝1，x2＝﹣3；（2）x（x+1）＝3（x+1），x（x+1）﹣3（x+1）＝0，（x+1）（x﹣3）＝0，x+1＝0或x﹣3＝0，x1＝﹣1，x2＝3；（3）x2+6x﹣16＝0，（x+8）（x﹣2）＝0，x+8＝0或x﹣2＝0，x1＝﹣8，x2＝2．22．解：（1）由题意，得：m2﹣3m+2＝0解之，得m＝2或m＝1①，由m﹣1≠0，得：m≠1②，由①，②得：m＝2；（2）当m＝2时，代入（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0，得x2+5x＝0，x（x+5）＝0解得：x1＝0，x2＝﹣5．23．解：（1）把x＝2代入方程得4﹣4m+3m＝0，解得m＝4；（2）当m＝4时，原方程变为x2﹣8x+12＝0，解得x1＝2，x2＝6，∵该方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，且不存在三边为2，2，6的等腰三角形∴△ABC的腰为6，底边为2，∴△ABC的周长为6+6+2＝14．24．解：设通道的宽为x米，则种草部分可合成长为（40﹣2x）米，宽为（26﹣x）米的矩形，依题意得：（40﹣2x）（26﹣x）＝864，整理得：x2﹣46x+88＝0，解得：x1＝2，x2＝44（不符合题意，舍去）．答：通道的宽为2米．25．解：（1）设这两次价格上调的平均增长率为x，依题意得：10（1+x）2＝14.4，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．答：这两次价格上调的平均增长率为20%．（2）设每包应该降价m元，则每包的售价为（10﹣m）元，每天可售出（30+5m）包，依题意得：（10﹣m）（30+5m）＝315，整理得：m2﹣4m+3＝0，解得：m1＝1，m2＝3．又∵要让顾客获得更大的优惠，∴m的值为3．答：每包应该降价3元．。
2022-2023学年北师大版九年级数学上册《第2章一元二次方程》单元达标测试题(附答案)
2022-2023学年北师大版九年级数学上册《第2章一元二次方程》单元达标测试题（附答案）一．选择题（共8小题，满分40分）1．下列方程是一元二次方程的是（）A．x（x+3）＝0B．x2﹣4y＝0C．x2﹣＝5D．ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数）2．若关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0（a≠0）的一个解是x＝1，则2021﹣a﹣b的值是（）A．2016B．2020C．2025D．20263．若关于x的一元二次方程（m+1）x2+3x+m2﹣1＝0的一个实数根为0，则m等于（）A．1B．±1C．﹣1D．04．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个相等的实数根，且满足4a﹣2b+c ＝0，则（）A．b＝a B．c＝2a C．a（x+2）2＝0D．﹣a（x﹣2）2＝0 5．用配方法解方程x2+8x+9＝0，配方后可得（）A．（x+8）2＝73B．（x+4）2＝25C．（x+8）2＝55D．（x+4）2＝7 6．如图，某学校计划在一块长12米，宽9米的矩形空地修建两块形状大小相同的矩形种植园，它们的面积之和为60平方米，两块种植园之间及周边留有宽度相等的人行通道，若设人行通道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程（）A．x2﹣17x﹣16＝0B．2x2+17x﹣16＝0C．2x2﹣17x﹣16＝0D．2x2﹣17x+16＝07．已知一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，则方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为（）A．1，5B．﹣1，3C．﹣3，1D．﹣1，58．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则其中正确的（）A．只有①②B．只有①②④C．①②③④D．只有①②③二．填空题（共8小题，满分40分）9．如果关于x的方程（m﹣3）﹣x+3＝0是一元二次方程，那么m的值为．10．一元二次方程x2﹣x＝0的解是．11．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是．12．若a是方程x2+x﹣1＝0的根，则代数式2022﹣3a2﹣3a的值是．13．某地区加大教育投入，2020年投入教育经费2000万元，以后每年逐步增长，预计2022年，教育经费投入为2420万元，则年平均增长率为．14．已知等腰三角形三边分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两个根，则m的值是．15．2021年端午节期间，合肥某食品专卖店准备了一批粽子，每盒利润为50元，平均每天可卖300盒，经过调查发现每降价1元，可多销售10盒，为了尽快减少库存，决定采取降价措施，专卖店要想平均每天盈利16000元，设每盒粽子降价x元，可列方程．16．如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A点开始沿AB向B点以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，经过秒钟△PQB的面积等于△ABC面积的．三．解答题（共5小题，满分40分）17．解方程：（1）3x2﹣1＝4x；（2）（x+4）2＝5（x+4）．18．已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0．（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根．（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的面积．19．x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：（1）通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：①x2﹣4x﹣5＝0；②2x2﹣2x+1＝0；（2）已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；（3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，请探索a与b 之间的数量关系式．20．疫情肆虐，万众一心．由于医疗物资极度匮乏，许多工厂都积极宣布生产医疗物资以应对疫情．某工厂及时引进了1条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产300万个，第三天生产432万个，若每天生产口罩的个数增长的百分率相同，请解答下列问题：（1）每天增长的百分率是多少？（2）经调查发现，一条生产线最大产能是900万个/天，如果每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少30万个/天．现该厂要保证每天生产口罩3900万个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？21．“阳光玫瑰”葡萄品种是广受各地消费者的青睐的优质新品种，在我国西部区域广泛种植，某葡萄种植基地2018年种植“阳光玫瑰”100亩，到2020年“阳光玫瑰”的种植面积达到256亩．（1）求该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均年增长率．（2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出45千克．①若降价x（0≤x≤20）元，每天能售出多少千克？（用x的代数式表示）②为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本价为10元/千克，若要销售“阳光玫瑰”每天获利2125元，则售价应降低多少元？参考答案一．选择题（共8小题，满分40分）1．解：A、x（x+3）＝0，是一元二次方程，符合题意；B、x2﹣4y＝0，含有两个未知数，最高次数是2，不是一元二次方程，不符合题意；C、x2﹣＝5，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；D、ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数），一次项系数可以为任意数，二次项系数一定不能为0，此方程才为一元二次方程，但题目中并没给出这个条件，故此方程不一定是一元二次方程，不符合题意；故选：A．2．解：把x＝1代入方程ax2+bx+5＝0得a+b+5＝0，所以a+b＝﹣5，所以2021﹣a﹣b＝2021﹣（a+b）＝2021+5＝2026．故选：D．3．解：把x＝0代入（m+1）x2+3x+m2﹣1＝0，得m2﹣1＝0，解得m1＝﹣1，m2＝1，而m+1≠0，即m≠﹣1．所以m＝1．故选：A．4．解：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足4a﹣2b+c＝0，∴x＝﹣2是方程ax2+bx+c＝0的解，又∵有两个相等的实数根，∴a（x+2）2＝0（a≠0）．故选：C．5．解：x2+8x+9＝0，x2+8x＝﹣9，x2+8x+16＝﹣9+16，（x+4）2＝7，故选：D．6．解：设人行道的宽度为x米，根据题意得，（12﹣3x）（9﹣2x）＝60，化简整理得，2x2﹣17x+16＝0．故选：D．7．解：∵一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，∴方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）中x﹣2＝﹣3或x﹣2＝1，解得：x＝﹣1或3，即方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣1和3，故选：B．8．解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知Δ＝b2﹣4ac≥0，故①正确；②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝0﹣4ac＞0，∴﹣4ac＞0，则方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则ac2+bc+c＝0，∴c（ac+b+1）＝0若c＝0，等式仍然成立，但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则由求根公式可得：x0＝或x0＝∴2ax0+b＝或2ax0+b＝﹣∴故④正确．故选：B．二．填空题（共8小题，满分40分）9．解：由题意得：m2﹣7＝2，且m﹣3≠0，解得：m＝﹣3，故答案为：﹣3．10．解：x2﹣x＝0，x（x﹣1）＝0，∴x＝0或x﹣1＝0，∴x1＝0，x2＝1，故答案为：x1＝0，x2＝1．11．解：∵关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+4x+2＝0有实数根，∴△≥0且k﹣2≠0，即42﹣4（k﹣2）×2≥0且k﹣2≠0解得k≤4且k≠2．故答案为：k≤4且k≠2．12．解：把x＝a代入x2+x﹣1＝0，得a2+a﹣1＝0，解得a2+a＝1，所以2022﹣3a2﹣3a＝2022﹣3（a2+a）＝2022﹣3＝2019．故答案是：2019．13．解：设年平均增长率为x，根据题意得：2000（1+x）2＝2420，解得：x＝0.1＝10%，或x＝﹣2.1（不合题意舍去）．即：年平均增长率为10%．故答案是：10%．14．解：当a＝4时，∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，∴4+b＝12，∴b＝8，而4+4＝8，不符合题意；当b＝4时，∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，∴4+a＝12，而4+4＝8，不符合题意；当a＝b时，∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，∴12＝a+b，解得a＝b＝6，∴m+2＝36，∴m＝34，故m的值为34，故答案为34．15．解：设每盒粽子降价x元，则每盒的利润为（50﹣x）元，平均每天可卖（300+10x）盒，依题意得：（50﹣x）（300+10x）＝16000，故答案为：（50﹣x）（300+10x）＝16000．16．解：根据题意，知BP＝AB﹣AP＝6﹣t，BQ＝2t．∵△PQB的面积等于△ABC面积的，则根据三角形的面积公式，得PB•BQ＝××6×8，2t（6﹣t）＝18，（t﹣3）2＝0，解得t＝3．故经过3秒钟△PQB的面积等于△ABC面积的．故答案是：3．三．解答题（共5小题，满分40分）17．解：（1）3x2﹣4x﹣1＝0，∵a＝3，b＝﹣4，c＝﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）＝16+12＝28＞0．∴x＝＝，∴x1＝，x2＝．（2）（x+4）2＝5（x+4），（x+4）2﹣5（x+4）＝0，（x+4）（x+4﹣5）＝0，∴x+4＝0或x﹣1＝0，∴x1＝﹣4，x2＝1．18．（1）证明：∵Δ＝（m+2）2﹣4（2m﹣1）＝（m﹣2）2+4，∴在实数范围内，m无论取何值，（m﹣2）2+4＞0，即Δ＞0，∴关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0恒有两个不相等的实数根；（2）解：根据题意，得12﹣1×（m+2）+（2m﹣1）＝0，解得，m＝2，则方程的另一根为：m+2﹣1＝2+1＝3；①当该直角三角形的两直角边是1、3时，该直角三角形的面积为＝；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2；则该直角三角形的面积为＝；综上，该直角三角形的面积为或．19．解：（1）①设x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两个实数根，∴x1+x2＝4，x1•x2＝﹣5，∴|x1﹣x2|＝＝＝6，∴方程x2﹣4x﹣5＝0不是差根方程；②设x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x+1＝0的两个实数根，∴x1+x2＝，x1•x2＝，∴|x1﹣x2|＝＝＝1，∴方程2x2﹣2x+1＝0是差根方程；（2）x2+2ax＝0，因式分解得：x（x+2a）＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣2a，∵关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，∴2a＝±1，即a＝±；（3）设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）的两个实数根，∴x1+x2＝﹣，x1•x2＝，∵关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，∴|x1﹣x2|＝1，∴|x1﹣x2|＝＝1，即＝1，∴b2＝a2+4a．20．解：（1）设每天增长的百分率是x，依题意得：300（1+x）2＝432，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：每天增长的百分率是20%．（2）设应该增加y条生产线，则每条生产线的最大产能为（900﹣30y）万个/天，依题意得：（900﹣30y）（1+y）＝3900，整理得：y2﹣29y+100＝0，解得：y1＝4，y2＝25．又∵要节省投入，∴y＝4．答：应该增加4条生产线．21．解：（1）设该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为y，依题意，得：100（1+y）2＝256，解得：y1＝0.6＝60%，y2＝﹣2.6（不合题意，舍去）．答：该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为60%．（2）①设售价应降低x元，则每天可售出（200+45x）千克；②依题意，得：（20﹣10﹣x）（200+45x）＝2125，整理，得：9x2﹣50x+25＝0，解得：x1＝5，x2＝．∵要尽量减少库存，∴x＝5．答：售价应降低5元．。
北师大版九年级数学上册《第二章一元二次方程》单元检测题-附答案
北师大版九年级数学上册《第二章一元二次方程》单元检测题-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．方程3x2−5=4x中，关于a、b、c的说法正确的是（）A．a=3,b=4,c=−5B．a=3,b=−5,c=4C．a=−3,b=−4,c=−5D．a=3,b=−4,c=−52．已知关于x的方程x2+bx−a=0有且只有一个根x=a(a≠0)，则b的值为（）A．2B．−2C．±2D．以上都不是3．用配方法解方程x2+4x+3=0，变形后的结果正确的是（）A．(x+2)2=−1B．(x+2)2=1C．(x+2)2=3D．(x+2)2=74．若α，β是一元二次方程3x2+x−1=0的两个实数根，则3α2+4α+3β+1的值是（）A．−1B．1C．2D．−25．方程(m−2)x2−√3−mx+14=0有两个实数根，则m的取值范围（）A．m≤52B．m≤52且m≠2C．m≥3D．m≤3且m≠26．关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=−2，x2=1（a，m，b均为常数a≠0），则方程a(x+3+m)2+ b=0的解是（）A．−1或−4B．−2或1C．1或3D．−5或−27．已知关于x的一元二次方程x2−kx+2k−1=0的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22=7，那么(x1−x2)2的值为（）A．13或−11B．13C．−11D．118．如果△ABC有两边的长是方程x2−7x+12=0的根，第三边的长是方程x2−12x+35=0的根，那么△ABC的周长为（）A．14B．12C．12或14D．以上都不对二、填空题9．已知关于x的一元二次方程2x2−4x+3=0的两个实数根分别是α，β；则(α+1)(β+1)=．10．某等腰三角形的一边长为3，另外两边长是关于x的方程x2−12x+k=0的两根，则k=；11．若a是一元二次方程x2−2023x+1=0的一个根，则代数式a2−2022a+2023a2+1的值为。
北师大版九年级上册 第2章《一元二次方程》 单元测试题
第2章《一元二次方程》单元测试题一．选择题1．下列方程是一元二次方程的是（）A．x2＝2x+3 B．x2+1＝2xy C．x2+＝3 D．2x+y＝12．一元二次方程x2+2x＝0的根的判别式的值是（）A．4 B．2 C．0 D．﹣43．一元二次方程4x2﹣3x+＝0根的情况是（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根4．若方程x2+3x+c＝0有实数根，则c的取值范围是（）A．c≤B．c≤C．c≥D．c≥5．二位同学在研究函数y＝a（x+3）（x﹣）（a为实数，且a≠0）时，甲发现当0＜a ＜1时，函数图象的顶点在第四象限；乙发现方程a（x+3）（x﹣）+5＝0必有两个不相等的实数根．则（）A．甲、乙的结论都错误B．甲的结论正确，乙的结论错误C．甲、乙的结论都正确D．甲的结论错误，乙的结论正确6．如图所示，在一幅矩形风景画的四周镶一条相同宽度的边框，制成一幅长为80cm，宽为50cm的挂图，设边框的宽为xcm，如果风景画的面积是2800cm2，下列方程符合题意的是（）A．（50+x）（80+x）＝2800 B．（50+2x）（80+2 x）＝2800C．（50﹣x）（80﹣x）＝2800 D．（50﹣2x）（80﹣2x）＝28007．某商店今年10月份的销售额是2万元，12月份的销售额是2.88万元，从10月份到12月份，该商店销售额平均每月的增长率为（）A．44% B．22% C．20% D．10%8．一元二次方程x2﹣kx+2＝0的一个根为2，则k的值是（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣39．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m≥1且m≠2 B．m＞1 C．m＞1且m≠2 D．m≠210．设一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根为x1，x2，则x1+x1x2+x2等于（）A．1 B．﹣1 C．0 D．3二．填空题11．已知关于x的一元二次方程2x2﹣kx﹣24＝0的一个根为x＝﹣3，则k的值是．12．已知实数x满足（x2﹣x）2﹣2（x2﹣x）﹣3＝0，则代数式x2﹣x+2020的值为．13．已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣2x+a2﹣9＝0的常数项是0，则a＝．14．若关于x的一元二次方程ax2﹣x+1＝0有实数根，则a的最大整数值是．15．在元旦前夕，某通讯公司的每位员工都向本公司的其他员工发出了1条祝贺元旦的短信．已知全公司共发出2450条短信，那么这个公司有员工人．三．解答题16．用适当方法解下列方程．（1）3x2﹣1＝4x（2）2x（2x+5）＝（x﹣1）（2x+5）17．阅读探究：“任意给定一个矩形A ，是否存在另一个矩形B ，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”（完成下列空格）（1）当已知矩形A 的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形的两边分别是x 和y ，由题意得方程组，消去y 化简得：2x 2﹣7x +6＝0，∵b 2﹣4ac ＝49﹣48＞0，∴x 1＝ ，x 2＝ ，∴满足要求的矩形B 存在．（2）如果已知矩形A 的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B ．（3）如果矩形A 的边长为m 和n ，请你研究满足什么条件时，矩形B 存在？18．已知关于x 的方程x 2﹣（k +1）x ++1＝0有两个实数根 （1）求k 的取值范围；（2）若方程的两实数根分别为x 1，x 2，且x 12+x 22＝6x 1x 2﹣15，求k 的值．19．今年奉节脐橙喜获丰收，某村委会将全村农户的脐橙统一装箱出售．经核算，每箱成本为40元，统一零售价定为每箱50元，可以根据买家订货量的多少给出不同的折扣价销售．（1）问最多打几折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%？（2）该村最开始几天每天可卖5000箱，因脐橙的保鲜周期短，需要尽快打开销路，减少积压，村委会决定在零售价基础上每箱降价3m %，这样每天可多销售m %；为了保护农户的收益与种植积极性，政府用“精准扶贫基金”给该村按每箱脐橙m 元给予补贴进行奖励，结果该村每天脐橙销售的利润为49000元，求m 的值．20．如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C 以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？（2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C 以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．（3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？参考答案一．选择题1．解：A、x2＝2x+3是一元二次方程，符合题意；B、x2+1＝2xy是二元二次方程，不符合题意；C、x2+＝3不是整式方程，不符合题意；D、2x+y＝1是二元一次方程，不符合题意，故选：A．【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．2．解：x2+2x＝0，△＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×0＝4，故选：A．【点评】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．3．解：4x2﹣3x+＝0，这里a＝4，b＝﹣3，c＝，b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×＝5＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故选：D．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．4．解：∵方程x2+3x+c＝0有实数根，∴△＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×c≥0，解得：c≤，故选：A．【点评】本题考查了根的判别式，能根据题意得出△≥0是解此题的关键．5．解：由函数y＝a（x+3）（x﹣）可知，函数与x轴的两个交点的横坐标分别是﹣3和，∴函数顶点的横坐标为，∵0＜a＜1，∴＞﹣，∴函数的顶点不一定在第四象限，故甲的结论错误；∵a（x+3）（x﹣）+5＝0可以化为ax2+（3a﹣2）x﹣1＝0，△＝（3a﹣2）2+4a＝9a2﹣8a+4＝9（a﹣）2+＞0，∴a（x+3）（x﹣）+5＝0必有两个不相等的实数根，故乙的结论正确；故选：D．【点评】本题考查根的判别式；熟练掌握一元二次函数对称性，一元二次方程判别式与根的关系是解题的关键．6．解：依题意，设边框的宽为xcm，（80﹣2x）（50﹣2x）＝2800，故选：D．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题意列出方程是解题关键．7．解：设该商店销售额平均每月的增长率为x，依题意，得：2（1+x）2＝2.88，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．8．解：把x＝2代入x2﹣kx+2＝0得4﹣2k+2＝0，解得k＝3．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．9．解：∵关于x 的一元二次方程（m ﹣2）x 2﹣2x ﹣1＝0有两个不相等的实数根， ∴△＝22﹣4（m ﹣2）（﹣1）＝4m ﹣4＞0且m ﹣2≠0，解得：m ＞1，即m 的取值范围是m ＞1且m ≠2；故选：C ．【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根的判别式△＝b 2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．10．解：∵一元二次方程x 2﹣2x ﹣3＝0的两个实数根为x 1，x 2，∴x 1+x 2＝2，x 1•x 2＝﹣3，则x 1+x 1x 2+x 2＝2﹣3＝﹣1．故选：B ．【点评】考查了根与系数的关系，解答此题要熟知一元二次方程根与系数的关系：x 1+x 2＝﹣，x 1•x 2＝．二．填空题（共5小题）11．解：把x ＝﹣3代入方程2x 2﹣kx ﹣24＝0，可得2×9+3k ﹣24＝0，即k ＝2， 故答案为：2．【点评】本题主要考查了方程的解的定义，把求未知系数的问题转化为方程求解的问题．12．解：令x 2﹣x ＝t ，∴t ＝x 2﹣x ＝（x）2﹣≥，∴t 2﹣2t ﹣3＝0，解得：t ＝3或t ＝﹣1（舍去），∴t ＝3，即x 2﹣x ＝3，∴原式＝3+2020＝2023，故答案为：2023．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．13．解：∵关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣2x+a2﹣9＝0的常数项是0，∴a2﹣9＝0，即a＝3或a＝﹣3，当a＝3时，方程为﹣2x＝0，不符合题意，则a＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．14．解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣x+1＝0有实数根，∴△＝（﹣1）2﹣4×a×1≥0，且a≠0，则a≤且a≠0，则a的最大整数值为﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．15．解：设这个公司有员工x人，则每人需发送（x﹣1）条祝贺元旦的短信，依题意，得：x（x﹣1）＝2450，解得：x1＝50，x2＝﹣49（不合题意，舍去）．故答案为：50．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．三．解答题（共5小题）16．解：（1）3x2﹣4x﹣1＝0，△＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）＝28，x＝＝，所以x 1＝，x 2＝；（2）2x （2x +5）﹣（x ﹣l ）（2x +5）＝0，（2x ﹣x +1）（2x +5）＝0（x +1）（2x +5）＝0x +1＝0或2x +5＝0，所以x 1＝﹣1，x 2＝﹣．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法解一元二次方程．17．解：（1）利用求根公式可知：x 1＝＝，x 2＝＝2． 故答案为：；2．（2）设所求矩形的两边分别是x 和y ， 根据题意得：， 消去y 化简得：2x 2﹣3x +2＝0．∵b 2﹣4ac ＝（﹣3）2﹣4×2×2＝﹣7＜0，∴该方程无解，∴不存在满足要求的矩形B ．（3）设所求矩形的两边分别是x 和y ， 根据题意得：，消去y 化简得：2x 2﹣（m +n ）x +mn ＝0．∵矩形B 存在，∴b 2﹣4ac ＝[﹣（m +n ）]2﹣4×2mn ≥0，∴（m ﹣n ）2≥4mn ．故当m 、n 满足（m ﹣n ）2≥4mn 时，矩形B 存在．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）套用求根公式求出方程的解；（2）牢记“当△＜0时，方程无实数根”；（3）牢记“当△≥0时，方程有实数根”．18．解：（1）∵关于x 的方程x 2﹣（k +1）x +k 2+1＝0有两个实数根，∴△＝[﹣（k +1）]2﹣4（k 2+1）＝2k ﹣3≥0，解得k ≥；（2）∵方程的两实数根分别为x 1，x 2，∴x 1+x 2＝k +1，x 1•x 2＝k 2+1，∵x 12+x 22＝6x 1x 2﹣15，∴（x 1+x 2）2﹣8x 1x 2+15＝0，∴k 2﹣2k ﹣8＝0，解得：k 1＝4，k 2＝﹣2，又∵k ≥，∴k ＝4．【点评】本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，掌握两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．19．解：（1）设打x 折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%， 由题意得：≥10%，x ≥8.8，答：最多打8.8折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%；（2）由题意得：5000（1+m %）[50（1﹣3m %）+m ﹣40]＝49000， 5（1+）（50﹣m +m ﹣40）＝49，m 2﹣5m ﹣6＝0，m 1＝6，m 2＝﹣1（舍）．【点评】本题考查了一元二次方程及一元一次不等式的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系和不等关系，列出方程与不等式，再求解．20．解：（1）设经过x 秒，使△PBQ 的面积等于8cm 2，依题意有（6﹣x ）•2x ＝8，解得x 1＝2，x 2＝4，经检验，x 1，x 2均符合题意．故经过2秒或4秒，△PBQ 的面积等于8cm 2；（2）设经过y 秒，线段PQ 能否将△ABC 分成面积相等的两部分，依题意有 △ABC 的面积＝×6×8＝24，（6﹣y ）•2y ＝12，y 2﹣6y +12＝0，∵△＝b 2﹣4ac ＝36﹣4×12＝﹣12＜0，∴此方程无实数根，∴线段PQ 不能否将△ABC 分成面积相等的两部分；（3）①点P 在线段AB 上，点Q 在线段CB 上（0＜x ≤4），设经过m 秒，依题意有（6﹣m ）（8﹣2m ）＝1，m 2﹣10m +23＝0，解得m 1＝5+，m 2＝5﹣，经检验，m 1＝5+不符合题意，舍去，∴m ＝5﹣； ②点P 在线段AB 上，点Q 在射线CB 上（4＜x ≤6），设经过n 秒，依题意有（6﹣n ）（2n ﹣8）＝1，n 2﹣10n +25＝0，解得n 1＝n 2＝5，经检验，n ＝5符合题意．③点P 在射线AB 上，点Q 在射线CB 上（x ＞6），设经过k 秒，依题意有（k ﹣6）（2k ﹣8）＝1，k 2﹣10k +23＝0，解得k 1＝5+，k 2＝5﹣，经检验，k 1＝5﹣不符合题意，舍去，∴k ＝5+； 综上所述，经过（5﹣）秒，5秒，（5+）秒后，△PBQ 的面积为1cm 2．【点评】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意分类思想的运用．。
北师大版九年级上册数学《一元二次方程》测试卷(含答案)
九年级上册数学《一元二次方程》测试卷姓名：__________班级：__________考号：__________一、选择题（本大题共10小题）.1.已知2是关于x 的方程23202x a -=的一个根，则21a -的值是（ ）A.3B.4C.5D.6【答案解析】C2.关于x 的方程22(1)260a x ax ++-=是一元二次方程，则a 的取值范围是（ ）A.1a ≠±B.0a ≠C.a 为任何实数D.不存在【答案解析】C;21a +恒大于03.小明要在一幅长90厘米、宽40厘米的水彩画得外围镶上一条宽度相等的金色彩条，要求使水彩画的面积是整幅画面积的54%，设金色彩条的宽为x 厘米，根据题意列方程为（ ）A.(90)(40)54%9040x x ++⨯=⨯B.(902)(402)54%9040x x ++⨯=⨯C.(90)(402)54%9040x x ++⨯=⨯D.(902)(40)54%9040x x ++⨯=⨯【答案解析】B4.若方程20ax bx c ++=(0)a ≠的一个根是另一个根的3倍，则a 、b 、c 的关系是（）A.2316b ac =B.2316b ac =-C.2163b ac =D.2163b ac =-【答案解析】A;不妨设方程20ax bx c ++=的两个根为1x 、2x ，且123x x =∴1224x x x +=，则24bx a=- ∴24b x a =-，将24bx a=-代入方程20ax bx c ++=整理，即可得A 【解析】韦达定理5.已知a ，b ，c 为正数，若二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，那么方程22220a x b x c ++=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的正实数根B ．有两个异号的实数根C ．有两个不相等的负实数根D ．不一定有实数根【答案解析】C;22220a x b x c ++=的422224(2)(2)b a c b ac b ac ∆=-=+-，∵二次方程20ax bx c ++=有两个实数根， ∴240b ac ->，∴220b ac ->， ∴422224(2)(2)0b a c b ac b ac ∆=-=+->∴方程有两个不相等的实数根，而两根之和为负，两根之积为正．故有两个负根．故选C ．6.对于方程2()ax b c +=下列叙述正确的是（ ）A.不论c 为何值，方程均有实数根B.方程根是c bx a -=C.当0c ≥时，方程可化为：ax b +=ax b +=当0c =时，b x a=【答案解析】C7.如果关于x 的一元二次方程2690kx x -+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）A ．1k <B ．0k ≠C ．10k k <≠且D ．1k >【答案解析】C ；由题可得363600k k ∆=->⎧⎨≠⎩，所以 10k k <≠且8.不解方程，判别一元二次方程2261x x -=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个相等的实数根D ．无法确定【答案解析】A ；由方程可得3680∆=+>，所以方程有两个不相等的实数根．9.关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值为（ ）A.1B.1-C.1或1-D.12【答案解析】B10.已知a ，b ，c 是不全为0的3个实数，那么关于x 的一元二次方程2222()()0x a b c x a b c ++++++= 的根的情况（ ）．A ．有2个负根B ．有2个正根C ．有2个异号的实根D ．无实根【答案解析】D ；方程 2222()()0x a b c x a b c ++++++=的判别式为： 2222()4()a b c a b c ∆=++-++222333222a b c ab bc ca =---+++222222222(2)(2)(2)a ab b b bc c c bc a a b c =-+-+-+-+-+---- 222222[()()()]a b b c c a a b c =--+-+-+++∵a ，b ，c 不全为0，∴0∆<．∴原方程无实数根．故选D ．二、填空题（本大题共5小题）.11.以3-和2为根，二次项系数为1的一元二次方程为____________【答案解析】(3)(2)0x x +-=，（最好让学生整理出一般形式260x x +-=）12.已知关于x 的方程22(2)1a x ax x --=-是一元二次方程，则a 的取值范围是 ．【答案解析】3a ≠；整理方程得：2(3)10a x ax --+=，当3a ≠时，原方程是一元二次方程．13.方程2610kx x -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是【答案解析】9k <且0k ≠14.关于x 的方程2210x bx +-=的一个根为2-，则另一个根是 ，______b =【答案解析】设另一个根是2x ，根据题意得，22(2)2(2)1x b x +-=-⎧⎨⋅-=-⎩，解得212x =，34b =15.已知关于x 的方程()()2212102x a b x b b -+--+=有两个相等的实数根，且a 、b 为实数，则32a b +=________．【答案解析】-1;∵()()2212102x a b x b b -+--+=有两个相等的实数根． ∴0∆=，即()()222210a b b b ++-+= ∴()()22210a b b ++-=，∴0a b +=，10b -= ∴1b =，1a =-，因此321a b +=-．三、解答题（本大题共8小题）.16.把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数以及常数项⑴2(21)(32)2x x x -+=+⑵2)(3)x x x =+【答案解析】⑴化简后为2540x x +-=，因此二次项系数为5；一次项系数为1；常数项为4-⑵化简后为22610x x ++=，二次项系数为2；一次项系数为6；常数项为117.不解方程224)0x x +--，求两根之和与两根之积【答案解析】令此方程的两个实数根为1x 、2x由韦达定理得12x x +=，12x x ⋅==【解析】韦达定理成立的前提条件是0∆≥18.不解方程，判断下列方程的根的情况：⑴22340x x +-=；⑵20ax bx +=（0a ≠）【答案解析】⑴22340x x +-=∵2342(4)410∆=-⨯⨯-=> ∴方程有两个不相等的实数根． ⑵∵0a ≠∴方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零∵22()40b a b ∆=--⋅⋅=∵无论b 取任何数，2b 均为非负数 ∴0∆≥，故方程有两个实数根19.已知关于x 的方程210x mx m -+-=有两个不相等的实根1x 、2x ，且1211m x x +=，求m 的值【答案解析】由韦达定理得12121x x m x x m +=⎧⎨⋅=-⎩，∵1211m x x += ∴ 1212x x m x x +=⋅，即1mm m =-，解得0m =或2m =∵0∆>，∴0m = 【解析】易忽略0∆>的条件20.解关于x 的方程：2222(1)(1)(1)a x x a x a x -+--=-【答案解析】原方程可整理为2222()(21)()0a a x a x a a ---++= ①⑴当20a a -=时，则1a =或0a =；若1a =，则方程①可整理为20x -+=，解得2x = 若0a =，则方程①可整理为0x = ⑵当20a a -≠时，0a ≠且1a ≠时[(1)][(1)]0a x a ax a ---+=，解得1a x a =-或1a x a+= 【解析】化为一般式：()()()2222210a a x a x a a ---++=，然后讨论二次项系数是否为021.解无理方程（换元法）22330x x +-=【答案解析】a =，则22239x x a ++=，∴22239x x a +=-则原方程变形为29530a a --+=，整理得2560a a --=解得11a =-，26a =0a =≥ ∴6a =6=，整理得223270x x +-=，解得13x =，292x =- 经检验13x =，292x =-均为原方程的解 ∴原方程的解为13x =，292x =-22.求作一个一元二次方程，使它的两根分别是25230x x +-=各根的负倒数【答案解析】设方程25230x x +-=的两根为1x 、2x ，则1225x x +=-，1235x x ⋅=-设所求方程为20y py q ++=，其两根为1y 、2y 则111y x =-，221y x =- ∴12121212112()()3x x p y y x x x x +=-+=---==⋅； 1212121115()()3q y y x x x x =⋅=-⋅-==- ∴所求的方程为225033y y +-=，即23250y y +-=【解析】求作新方程时，均可以设所求方程为20y py q ++=的简单形式，再根据12()p y y =+，12q y y =⋅23.已知方程240x x m ++=的两个根的平方和是10，求m 的值。
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北师大版一元二次方程单元测试(含答案)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：一元二次方程一、选择题1．下列四个说法中，正确的是（ ）A ．一元二次方程22452x x ++=有实数根B ．一元二次方程23452x x ++=有实数根 C ．一元二次方程25453x x ++=有实数根；D ．一元二次方程x2+4x+5=a(a ≥1)有实数根．2．关于x 的方程(a －5)x2－4x －1＝0有实数根，则a 满足（） A ．a ≥1 B ．a ＞1且a ≠5 C ．a ≥1且a ≠5 D ．a ≠5 3． 若a 为方程式(x -17)2=100的一根，b 为方程式(y -4)2=17的一根， 且a 、b 都是正数，则a -b 之值为（ ）A 5B 6C 83D 10-17 。
4．已知n m ,是方程0122=--x x 的两根，且8)763)(147(22=--+-n n a m m ，则a 的值等于 （ ）A ．－5 B.5 C.-9 D.9 5．已知方程20x bx a ++=有一个根是(0)a a -≠，则下列代数式的值恒为常数的是（ ）A ．abB ．ab C ．a b + D ．a b -6． 一元二次方程x2+kx-3=0的一个根是x=1,则另一个根是( )A.3B.-1C.-3D.-27．关于x 的一元二次方程x2－6x ＋2k ＝0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）．A ．k ≤92B ．k ＜92C ．k ≥92D ．k ＞928．方程x(x －1)＝2的解是A ．x ＝－1B ．x ＝－2C ．x1＝1，x2＝－2D ．x1＝－1，x2＝29．方程x2－3|x|－2＝0的最小一根的负倒数是（ ）（A ）－1 （B ）)173(41-- （C ）21（3－17） （D ）2110．关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12x x 、，且22127x x +=，则212()x x -的值是（ ）A ．1 B ．12 C ．13 D ．2511．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程212350x x -+=的根，则该三角形的周长为（ ） A ．14B ．12C ．12或14D ．以上都不对12.为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为210m 提高到212.1m ，若每年的年增长率相同，则年增长率为（ ） A ．9% B ．10% C ．11% D ．12%13. 如图5，在ABCD Y 中，AE BC ⊥于E ，AE EB EC a ===，且a 是一元二次方程2230x x +-=的根，则ABCD Y 的周长为（ ）A ．422+B ．1262+C ．222+D ．221262++或14. 设a b ，是方程220090x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ）A ．2006B ．2007C ．2008D ．200915．若n （0n ≠）是关于x 的方程220x mx n ++=的根，则m+n 的值为A.1B.2C.-1D.-216．已知关于x 的一元二次方程2610x x k -++=的两个实数根是12x x ，，且2212x x +=24，则k 的值是（ ）A ．8B ．7-C ．6D ．517．对于任意的实数x ，代数式x2－5x ＋10的值是一个（ ）（A ）非负数 （B ）正数 （C ）整数 （D ）不能确定的数18．若一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝ 0 （a ≠0） 的两根之比为2：3，那么a 、b 、c 间的关系应当是 （ ）（A ）3b2＝8ac （B ）a cab 2325922= （C ）6b2＝25ac （D ）不能确定 19．已知方程3x2＋2x －6 ＝ 0 ，以它的两根的负倒数为根的新方程应是（ ）（A ）6x2－2x ＋1＝0 （B ）6x2＋2x ＋3＝0 （C ）6x2＋2x ＋1＝0 （D ）6x2＋2x －3＝0 二、填空题1． 已知关于x 的一元二次方程01)12=++-x x m （有实数根，则m 的取值范围是 ．2．若一元二次方程x2－(a+2)x+2a=0的两个实数根分别是3、b ，则a+b= ．A D CEB图3．方程4x2＋（k ＋1）x ＋1＝0的一个根是2，那么k ＝ ，另一根是 ； 4．设x1、x2 是一元二次方程x2+4x －3=0的两个根，2x1(x22+5x2－3)+a =2，则a= ． 5．方程 x + 6 = x 的根是6．已知x = 1是一元二次方程02=++n mx x 的一个根，则 222n mn m ++的值为 ．7．设1x ，2x 是一元二次方程2320x x --=的两个实数根，则2211223x x x x ++的值为 8．若实数m 满足m 2－10m + 1 = 0，则 m 4+ m －4= ．9．已知一元二次方程()231310x x -++-=的两根为1x 、2x ,则1211x x += . 10.将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm 2．11.设215+=x ，则431x x x ++=__________. 12．如果 x 2－2（m ＋1）x ＋m 2＋5 是一个完全平方式，则m ＝ ；13．若方程 x 2＋mx －15 ＝ 0 的两根之差的绝对值是8，则m ＝ ；14．若方程 x 2－x ＋p ＝ 0 的两根之比为3，则 p ＝ . 三、解答题1．解方程：()221120x x x x----=． ；().3422022+-=--x x x x2．某旅行社有100张床位，每床每晚收费10元，床位可全部租出，在每床的收费提高幅度不超过5元的情况下，若每床的收费提高2元，则减少10张床位租出，若收费再提高2元，则再减少10张床位租出，以每次提高2元的这种方式变化下去，为了获得1120元的收入，每床的收费每晚应提高多少元？3．已知关于x 的一元二次方程)0(012≠=++a bx ax 有两个相等的实数根，求4)2(222-+-b a ab 的值。
4、如图，在ABC ∆中，ο90=∠B ，AB=5cm ，BC=7cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向B 以1cm/s 的速度移动，到B 点停止，点Q 从B 点开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，到C 点停止。
（1）如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么几秒后，PBQ ∆的面积等于42cm ？ （2）如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么几秒后，PQ 的长度等于5cm ？5．已知一元二次方程022=+-m x x ．（1）若方程有两个实数根，求m 的范围；（2）若方程的两个实数根为1x ，2x ，且1x +32x =3，求m 的值。
6．关于x 的一元二次方程1201x p x x 有两实数根=-+-、.2x （1）求p 的取值范围；（2）若p x x x x 求,9)]1(2)][1(2[2211=-+-+的值.7．在等腰△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中5a =，若关于x 的方程()2260x b x b +++-=有两个相等的实数根，求△ABC 的周长．8.随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加.据统计，某小区2006年底拥有家庭轿车64辆，2008年底家庭轿车的拥有量达到100辆.（1） 若该小区2006年底到2009年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到2009年底家庭轿车将达到多少辆？（2） 为了缓解停车矛盾，该小区决定投资15万元再建造若干个停车位.据测算，建造费用分别为室内车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，求该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案.9.△ABC 中，已知∠BAC ＝45°，AD ⊥BC 于D ，BD ＝2，DC ＝3，求AD 的长.10．如图12，在直角梯形OABC中，OA∥CB，A、B两点的坐标分别为A（15，0），B（10，12），动点P、Q分别从O、B两点出发，点P以每秒2个单位的速度沿OA向终点A运动，点Q以每秒1个单位的速度沿BC向C运动，当点P停止运动时，点Q也同时停止运动．线段OB、PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交AB于点E，射线QE交x轴于点F．设动点P、Q 运动时间为t（单位：秒）．（1）当t为何值时，四边形PABQ是等腰梯形，请写出推理过程；（2）当t=2秒时，求梯形OFBC的面积；（3）当t为何值时，△PQF是等腰三角形？请写出推理过程．拓展训练1、若t 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根，则判别式ac b 42-=∆和完全平方式2)2(b at M +=的关系是（ ）A.M =∆ B.M >∆ C.M <∆ D.不能确定2、已知b 、c 是满足0>>b c 的整数，方程02=+-c bx x 有两个不等的实数根21,x x ，在)1)(1(,,1121222121++=+=+=x x R x x Q x x P 的值中，最大及最小值分别是（ ） A.R P , B.R Q , C.P R , D.P Q ,3、如果正数a 、b 、c 满足c a b +>，那么关于x 的方程02=++c bx ax 的根的情况是（ ） A.有2个实根 B.有2个相等的实根 C.没有实根 D.无法确定有无实根 4、如果21,x x 是两个不相等的实数，且满足,12005,12005222121=-=-x x x x 那么21x x +等于（ ） A.2005 B.-2005 C.1 D.-15、一元二次方程02=++q px x 的两个根为p 、q ，则q p ⋅等于（ ） A.0 B.1 C.0或-2 D.0或16、已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解，甲由于看错了二次项系数，误求得两根为2和4；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为-1和4，那么acb 32+的值为_____。
7、设m 是不为0的整数，一元二次方程01)1(2=+--x m mx 有有理根，求m 的值？8、实数k 取何值时，一元二次方程042)32(2=-+--k x k x 。
（1）有两个正根 （2）有两个异号根，且正根的绝对值较大 （3）一个根大于3，一个根小于3；9、如果n m ,是正实数，方程022=++n mx x 和方程022=++m nx x 都有实数根，则n m +的最小值是什么？10、若二次方程0)()()(2=-+-+-a c x b a x c b 有两个相等实根，且c b ≠，则c b a ,,间的关系是什么？一元二次方程参考答案：一、选择题1、D 2、A 3、B 4、C 5、D 6、C 7、B 8、D 9、B 10、C 11、B 12、B 13、A 14、C 15、D 16、D 17、B 18、C 19、D二、填空题：1、m 《45且m ≠1； 2、5 3、219;81- 4、8 5、3 6、1 7、7 8、62 9、32+ 10、12.5 11、1 12、2 13、2±=m 14、163三解答题：1、1,2121-==x x ；1-=x 32、4=x 或6=x 3、4 4、2;1==t t 5、43;1=≤m m 6、4;45-≤p 7、12； 8、125；当20=a 时，50=b ；当21=a 时，45=b 9、610、解：（1）如图4，过B 作B G O A G ⊥于，则222212151016913A B B G G A =+=+-==（）过Q 作，于H OA QH ⊥则2222212102)144(103)Q P Q H P H tt t =+=+--=+-（ 要使四边形PABQ 是等腰梯形，则A B Q P =，即,13)310(1442=-+tt ∴53=或5t =（此时PABQ 是平行四边形，不合题意，舍去） （2）当2=t 时，410282O PC Q Q B ==-==，，。