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算法复杂度分析
算法复杂度分析算法与程序设计2010-08-30 20:47:10 阅读13 评论0字号：大中小订阅首先接触" 算法复杂度"这个术语是在数据结构这门课程中。
数据结构主要是讲如何在计算机中存储.组织数据，对于相同的存储.组织数据方式，往往又有不同的实现方式(即算法)。
对于精心实现的算法，往往可以带来更高的运行和存储上的效率，而评价一个实现方式(算法)是否高效就是通过" 算法复杂度"来评定的。
目前算法的评定主要是从时间和空间上来评定，毕竟我们对计算机关心的一个是运行时间，另一个就是消耗的存储空间。
从时间上评定算法的优劣称为"时间复杂度"，自然，从空间上评定算法的优劣就称为"空间复杂度"。
一.时间复杂度:一个算法执行所用的时间，理论上讲是不能通过计算得出来的，因为它受多方面的影响，比如说不同的硬件，相同的算法在不同的硬件机器上执行，所消耗的时间是不同的。
即使是在同一台机器上，一个算法在不同的时间执行，所消耗的时间也是不同的(当某个时刻计算机系统待处理的任务比较多时，这个时刻算法执行消耗的时间相对于计算机系统待处理任务较少时，所用的时间可能会多些)。
我们使用"时间复杂度"并不是为了计算算法执行所消耗的时间，而是用于评定不同的算法之间在时间成本上，那个消耗的时间理论上少些，那个多些。
背后的原理是这样的:如果有两个算法A,B，假如它们实现的功能都是在一个相同长度的数组内查找符合条件的一个元素位置。
经过"时间复杂度"的评定，算法A 在时间成本上比算法B消耗的时间要少。
那么在实际运行中算法A的执行应该会比算法B快。
请注意我使用了"应该"这个词语，毕竟任何情况都有特殊的时候，不是吗？但毕竟特殊的情况属于少数，大多数情况下还是正常的。
所以请不要认为"算法复杂度"是属于理论的东西，没有什么实际的意义。
计算机科学算法设计与复杂性分析
计算机科学算法设计与复杂性分析计算机科学算法设计与复杂性分析是计算机科学领域的重要课题。
在计算机科学领域中，算法是解决问题的步骤和方法。
它的设计涉及到问题的建模和解决方案的设计与实现。
在实际应用中，算法的性能和复杂性是评估其优劣的关键因素。
本文将介绍计算机科学中算法设计的基本原则和复杂性分析的方法。
一、算法设计的基本原则在计算机科学中，算法设计的基本原则包括以下几个方面：1. 清晰和明确的问题描述：在设计算法之前，首先需要对问题进行清晰和明确的描述。
问题描述应包括问题的输入和输出，以及问题的约束条件。
2. 模块化和分解：复杂的问题可以通过将其分解为若干个较简单的子问题来进行解决。
模块化的设计思想有助于提高算法的复用性和可维护性。
3. 合适的数据结构选择：选择合适的数据结构对于算法的性能至关重要。
不同的数据结构适用于不同类型的问题，例如数组、链表、栈、队列等。
4. 适当的算法选择：在设计算法时，需要综合考虑算法的时间复杂性和空间复杂性。
有时候，一个简单但时间复杂性较高的算法可能比一个复杂但时间复杂性较低的算法更加合适。
二、复杂性分析的方法复杂性分析是用于评估算法性能的重要方法，常用的复杂性分析方法包括时间复杂性分析和空间复杂性分析。
1. 时间复杂性分析：时间复杂性是衡量算法在执行过程中所需时间的度量。
常用的时间复杂性分析方法有最坏情况分析、平均情况分析和最好情况分析。
最坏情况分析给出了算法在最坏情况下的执行时间上界，平均情况分析则考虑了各种输入情况的概率分布，最好情况分析给出了算法在最理想情况下的执行时间下界。
2. 空间复杂性分析：空间复杂性是衡量算法在执行过程中所需空间的度量。
与时间复杂性类似，空间复杂性也可以进行最坏情况分析、平均情况分析和最好情况分析。
通常情况下，空间复杂性主要考虑算法所需的额外空间。
三、算法设计与复杂性分析的应用举例为了更好地理解算法设计与复杂性分析的具体应用，下面将介绍两个与计算机科学相关的实际问题。
算法设计与分析(原创精品)时间复杂度_复习资料(最全版)
O(1)Temp=i;i=j;j=temp;以上三条单个语句的频度均为1，该程序段的执行时间是一个与问题规模n无关的常数。
算法的时间复杂度为常数阶，记作T(n)=O(1)。
如果算法的执行时间不随着问题规模n的增加而增长，即使算法中有上千条语句，其执行时间也不过是一个较大的常数。
此类算法的时间复杂度是O(1)。
O(n^2)2.1. 交换i和j的内容sum=0；（一次）for(i=1;i<=n;i++) （n次）for(j=1;j<=n;j++) （n^2次）sum++；（n^2次）解：T(n)=2n^2+n+1 =O(n^2)2.2.for (i=1;i<n;i++){y=y+1; ①for (j=0;j<=(2*n);j++)x++; ②}解：语句1的频度是n-1语句2的频度是(n-1)*(2n+1)=2n^2-n-1f(n)=2n^2-n-1+(n-1)=2n^2-2该程序的时间复杂度T(n)=O(n^2). O(n)2.3.a=0;b=1; ①for (i=1;i<=n;i++) ②{s=a+b;③b=a;④a=s;⑤}解：语句1的频度：2,语句2的频度：n,语句3的频度：n-1,语句4的频度：n-1,语句5的频度：n-1,T(n)=2+n+3(n-1)=4n-1=O(n).O(log2n )2.4.i=1; ①while (i<=n)i=i*2; ②解：语句1的频度是1,设语句2的频度是f(n), 则：2^f(n)<=n;f(n)<=log2n取最大值f(n)= log2n,T(n)=O(log2n )O(n^3)2.5.for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<i;j++){for(k=0;k<j;k++)x=x+2;}}解：当i=m, j=k的时候,内层循环的次数为k当i=m时, j 可以取0,1,...,m-1 , 所以这里最内循环共进行了0+1+...+m-1=(m-1)m/2次所以,i从0取到n, 则循环共进行了: 0+(1-1)*1/2+...+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/6所以时间复杂度为O(n^3).我们还应该区分算法的最坏情况的行为和期望行为。
算法分析和计算复杂性分析
算法分析与评估1.概述在查找引擎优化范畴里边有一个疑问常常让人感受捉摸不透，到底是什么样的排序要素结尾决定了网页的排名。
而每个查找引擎公司都将其的查找引擎算法维护的极端严密，只有很少很少的一些的公司能有时机看到这些算法的全貌。
并且就算是有时机看到这些算法的真实容貌，要想领悟到话，还得具有深沉的数学功底。
这使得对查找引擎优化整个概念的晓得变得很艰难。
同一问题可用不同算法解决，而一个算法的质量优劣将影响到算法乃至程序的效率。
一个算法得出一个解，那么这个解是最优解还是可行解？如果是可行解，与最优解的偏差有多大？对于算法的效果，存在两种评价方法——证明方法和仿真分析方法。
证明方法是指利用数学方法对于算法进行评估，证明它的解的类型。
仿真分析方法是指产生或选取大量的、具有代表性的问题实例，利用该算法对这些问题实例进行求解，并对算法产生的结果进行统计分析。
例如对于TSP问题贪心算法的模拟与分析，关于贪心算法的正确性，直观上只需检查算法的输出结果中，每个城市出现且只出现一次，该结果即是TSP问题的可行解，说明算法正确的求解了这些问题。
关于它的效果，如果实例的最优解一直（问题规模小或问题已被成功求解），利用统计方法对若干问题实例的算法结果与最优解进行对比分析，即可对其进行效果评价。
而对于较大规模的问题实例，其最优解往往是未知的，因此，算法的效果评价只能借助于与前人算法的结果的比较。
2.复杂度评价一个算法时另一个问题是，算法能够执行的了吗？有限的时间和空间上这个算法能够执行吗？这就需要对算法的复杂性进行分析。
算法的时间复杂度和空间复杂度合称为算法的复杂度。
2.1.时间复杂度（1）时间频度一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。
但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。
并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。
算法分析及复杂性理论实验报告基本排序
深圳大学实验报告课程名称：算法设计与分析实验名称：多种排序算法的算法实现及性能比较学院：计算机与软件学院专业：计算机科学与技术报告人：张健哲学号： 2013150372 班级： 3 同组人：无指导教师：李炎然实验时间： 2015/3/25——2015/4/8 实验报告提交时间： 2015/4/8教务处制一．实验目的1.掌握选择排序、冒泡排序、合并排序、快速排序、插入排序算法原理2.掌握不同排序算法时间效率的经验分析方法，验证理论分析与经验分析的一致性。
二．实验步骤与结果实验总体思路：利用switch结构来选择实验所要用的排序算法，每一种排序都用相同的计算运行时间的代码，不同的算法就在算法实现部分进行改动（如下代码1至5所示）。
不断的改变数据规模，每一个规模在实验时，用循环进行多次实验并作为样本记录消耗的时间。
最后输出在不同排序算法下，不同的数据规模的20次实验样本和平均用时（如下图1至5所示）。
各排序算法的实现及实验结果：（注1：以下代码全部为伪代码，具体代码实现请参照程序中的代码）（注2：图中显示的时间单位均为毫秒，图中“排序所花时间”一项为平均消耗时间，平均消耗时间结果以20组样本计算平均值后取整得到（并非四舍五入）。
）1、选择排序代码1：for i=0 to n-2min=ifor j= i+1 to n-1if ele[min]>ele[j] min=jswap(ele[i],ele[min]) //交换图1、选择排序在不同数据规模下排序所消耗的时间2、冒泡排序代码2：for i= 0 to n-1for j=0 to n-1-iif a[j]>a[j+1]swap(a[j],a[j+1]) //交换图2、冒泡排序在不同数据规模下排序所消耗的时间3、合并排序代码3：Merge(ele[1...n],left,right)middle=(left+right)/2if right>1eft+1Merge(ele,left,middle)Merge(ele,middle+1,right)l←left r←right i←leftwhile l<=middle&&r<=right //两组分别一一比较，数据小的放入ele if ele[l]<=ele[r]t[i++]←ele[l++]elset[i++]←ele[r++]while l>middle&&r<=r //只剩一组还有剩余的时，将剩下的按顺序放入ele[i++]=s[r++]while l<=middle && r>rightele[i++]=s[l++];图3、合并排序在不同数据规模下排序所消耗的时间4、快速排序代码4：quick(ele[0...n-1],left,right)if l<rl←left r←right x←ele[l];while l<rwhile l<r && x<=ele[r] //找到一个比x小的数之后交换到前面的部分r--if l<rele[l]←ele[r] l++while l<r && x>ele[l] //与上面相反ll++if l<rele[r]←ele[l] r--ele[l]←x;quick(ele,left,l-1) // 递归调用quick(ele,l+1,right)图4、快速排序在不同数据规模下排序所消耗的时间5、插入排序代码5：for i=1→n-1if ele[i]<ele[i-1] temp=ele[i]for j= i-1 to 0 && ele[j]>tempele[j+1]←ele[j]ele[j+1]←temp图5、插入排序在不同数据规模下排序所消耗的时间三．实验分析选择排序：图6、由图1数据整合而成的折线图为了更清晰的看到排序的数据规模与排序所需时间之间的影响，我将实验的数据规模进行了一些调整，得到的平均数据依旧是以20组数据样本取平均数算得（如下表1、图7所示）：（由于图片占空间大且表达不直白，我将所得数据做成表格分析，下同）表1、选择排序在不同数据规模下排序所消耗的时间图7、由表1数据整合而成的折线图图形上：形状基本符合n2（二次增长）数据上：我们发现当数据规模增大两倍时：当数据规模增大两倍时：10000→20000： 158*22=632≈634 10000→30000：158*32=1422≈142420000→40000： 634*22=2536≈2541其他倍数也可得到类似的结果。
如何进行算法分析和复杂性分析
如何进行算法分析和复杂性分析算法分析和复杂性分析是计算机科学中非常重要的一部分，它们帮助我们评估和理解算法的效率和性能。
本文将介绍算法分析和复杂性分析的概念、方法和常见的计算复杂性类别。
一、算法分析算法分析是对算法性能的评估和比较。
它提供了对算法资源使用情况的度量，例如时间复杂性和空间复杂性。
1.时间复杂性：时间复杂性是算法运行时间相对于输入规模的度量。
我们通常关注最坏情况下的运行时间，即最长时间。
常用的表示方式有大O表示法。
例如，如果一个算法的时间复杂度是O(n)，表示算法的运行时间与输入规模n成正比。
当n变大时，运行时间也会相应增长，但增长的速度是线性的。
2.空间复杂性：空间复杂性是算法运行时所需的额外内存的度量。
同样，通常关注最坏情况下的额外内存使用。
也可以使用大O表示法表示空间复杂性。
算法分析的目标是找到高效的算法来解决问题。
通过对不同算法的复杂性进行度量和比较，我们可以选择最适合特定问题的算法，或者优化现有算法以获得更好的性能。
二、复杂性分析复杂性分析是一种对问题复杂性进行分类和比较的方法。
它研究了问题的难度和所需的计算资源。
根据问题的性质和计算资源的限制，我们可以将问题分为不同的复杂性类别。
1. P类问题（多项式类问题）：这些问题可以在多项式时间内解决，即随着输入规模的增加，算法的运行时间以多项式速度增长。
最常见的例子是排序和搜索问题。
2. NP类问题（非确定性多项式类问题）：这些问题可以在多项式时间内验证解的正确性。
虽然我们目前无法在多项式时间内找到解，但一旦解被提供进来，我们可以在多项式时间内验证它们的正确性。
最著名的例子是旅行商问题和背包问题。
3. NP-完全问题（非确定性多项式完全问题）：这是一类特殊的NP问题，它被认为是NP问题中最困难的一类。
这些问题在NP类中是最难解决的，目前还没有发现多项式时间内的解决方法。
代表性的例子有布尔可满足性问题和子集和问题。
通过对问题的复杂性进行分析，我们可以确定是否存在有效的算法来解决问题，或者将问题归类为NP完全问题。
算法设计与复杂度分析
(n/5+1)*(n/3+1)=n^2/15+n/5+n/3+1
O(f)+O(g)=O(max(f,g))； O(n^2/15+n/5+n/3+1)=O(N^2)
20
穷举法实例—货郎担问题
例1.2 货郎担问题：某售货员要到若干个城 市销售货物，已知各城市之间的距离，要 求售货员选择出发的城市及旅行线路使每 个城市仅经过一次，最后回到原出发城市， 而总路程最短。
I DN
I DN i 1
i 1
k
k
~ T (N, I )
•平均情况下的时间复杂性：
Tavg(N)
I DN
P(I )T ( N , I ) P( I ) t e ( N , I )
I DN i 1 i i
k
其中DN是规模为N的合法输入的集合；I*是DN中使T(N, I*)
•4
算法复杂性分析
Ω的定义：如果存在正的常数C和自然数N0，使得当N N0时, 有f(N) C g(N)，则称函数f(N)当N充分大时下有界，且g(N)是它 的一个下界，记为f(N)=Ω (g(N))。即f(N)的阶不低于g(N)的阶。 θ的定义：定义f(N)= θ (g(N))当且仅当f(N)=O(g(N))且 f(N)= Ω (g(N))。此时称f(N)与g(N)同阶。 o的定义：对于任意给定的ε＞0，都存在正整数N0，使得 当N N0时有f(N)/Cg(N)ε,则称函数f(N)当N充分大时的阶比 g(N)低，记为f(N)=o(g(N))。
•12
穷举法实例
问题的陈述
算法分析和计算复杂性分析
算法分析与评估1.概述在查找引擎优化范畴里边有一个疑问常常让人感受捉摸不透，到底是什么样的排序要素结尾决定了网页的排名。
而每个查找引擎公司都将其的查找引擎算法维护的极端严密，只有很少很少的一些的公司能有时机看到这些算法的全貌。
并且就算是有时机看到这些算法的真实容貌，要想领悟到话，还得具有深沉的数学功底。
这使得对查找引擎优化整个概念的晓得变得很艰难。
同一问题可用不同算法解决，而一个算法的质量优劣将影响到算法乃至程序的效率。
一个算法得出一个解，那么这个解是最优解还是可行解？如果是可行解，与最优解的偏差有多大？对于算法的效果，存在两种评价方法——证明方法和仿真分析方法。
证明方法是指利用数学方法对于算法进行评估，证明它的解的类型。
仿真分析方法是指产生或选取大量的、具有代表性的问题实例，利用该算法对这些问题实例进行求解，并对算法产生的结果进行统计分析。
例如对于TSP问题贪心算法的模拟与分析，关于贪心算法的正确性，直观上只需检查算法的输出结果中，每个城市出现且只出现一次，该结果即是TSP问题的可行解，说明算法正确的求解了这些问题。
关于它的效果，如果实例的最优解一直（问题规模小或问题已被成功求解），利用统计方法对若干问题实例的算法结果与最优解进行对比分析，即可对其进行效果评价。
而对于较大规模的问题实例，其最优解往往是未知的，因此，算法的效果评价只能借助于与前人算法的结果的比较。
2.复杂度评价一个算法时另一个问题是，算法能够执行的了吗？有限的时间和空间上这个算法能够执行吗？这就需要对算法的复杂性进行分析。
算法的时间复杂度和空间复杂度合称为算法的复杂度。
2.1.时间复杂度（1）时间频度一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。
但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。
并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。