北京大学研究生入学考试——高等代数与解析几何_试题及答案 2讲课教案
高等代数与解析几何考研试题 (2)

北京大学2005 数学专业研究生 数学分析 1. 设x xx x x x f sin sin 1sin )(22--=,试求)(sup lim x f x +∞→和)(inf lim x f x +∞→.解: 22sin 1()sin sin (0,1].sin x x f x x x x x-=∈-首先我们注意到.在的时候是单调增的 222222sin 1sin .sin sin ,,lim sup sin 11x x x x x x x x x x x x x x →+∞-≤≤→+∞---并且在充分大的时候显然有所以易知在时当然此上极限可以令2,2x k k ππ=+→+∞这么一个子列得到.2222sin sin ().lim 0,lim inf 0,lim inf ()0.sin sin x x x x x x f x f x x x x x→+∞→+∞→+∞===--对于的下极限我们注意到而所以有此下极限当然可以令(21),.x k k π=+→+∞这么个子列得到2. (1)设)(x f 在开区间),(b a 可微,且)(x f '在),(b a 有界。
证明)(x f 在),(b a 一致连续.证明:()(,).()(,).f x x a b M f x a b '∈设在时上界为因为在开区间上可微12,(,),x x a b ∀∈对于由,Lagrange 中值定理存在12121212(,),()()()x x f x f x f x x M x x ξξ'∈-=-≤-使得.这显然就是12,,.()(,).Lipschitz x x f x a b 条件所以由任意性易证明在上一致收敛 (2) 设)(x f 在开区间),(b a )(+∞<<<-∞b a 可微且一致连续,试问)(x f '在),(b a 是否一定有界。
(若肯定回答,请证明;若否定回答,举例说明) 证明:否定回答.()(,).f x a b '在上是无界的12()(1),()[0,1].f x x f x Cantor =-设显然此在上是连续的根据定理,闭区间上连续函数一致连续.所以()f x 在(0,1)上一致连续.显然此12121()(1)(0,1).().2(1)f x x f x x -'=-=-在上是可微的而121()(0,1).2(1)f x x -'=-在上是无界的3.设)1(sin )(22+=x x f . (1)求)(x f 的麦克劳林展开式。
2018年北京大学高等代数与解析几何试题及解答

6. (1) 显然V = 0及V = Mn (K )为两个平凡的公共子空间,但不是n维的. 设 Vi = span {E1i , E2i , · · · , Eni } , i = 1, 2, . . . , n. 则Vi 是n维公共子空间. 另外, V = {(α, α, 0, . . . , 0) | α ∈ K n }也是n维公共子空间. (2) 若V ⊂ V , 但是V = 0, 则存在B ∈ V 设bij = 0, 则
u v w
可得 yw − vz = 0
(x − 1)w − (z − 1)u = 0 , (x + 1)v − (y + 1)u = 0 因为(u, v, w) = 0, 因此上述线性方程组有非零解, 从而 0 1−z −z 0 y x−1 w = 0.
−y − 1 x + 1
B= sin θ3
cos θ2 cos θ3 − sin θ1 sin θ2 cos θ3 − cos θ1 sin θ3 − cos θ1 sin θ2 cos θ3 + sin θ1 sin θ3 sin θ2 sin θ1 cos θ2 cos θ1 cos θ2
= cos θ2 sin θ3
9. (15分) 记A是与下面三条直线都相交的直线的并集: 达式f (x, y, z ) = 0,其中f 是一个三元多项式.
y = 0 z = 0
,
x = 1 z = 1
,
x = −1 y = −1
. 给出A的一个一般表
10. (15分) 证明几何空间中任意一个旋转变换f , 只要转轴通过原点, 就一定可以写成f = gz ◦ gy ◦ gx 的形式, 其 中gx , gy , gz 分别表示绕x, y, z 轴的旋转变换.
北京大学基础数学专业-数学基础考试2 (高等代数、解析几何) 讲义-考研资料-考研真题

北京大学基础数学专业-数学基础考试2 (高等代数、解析几何) 讲义-考研资料-考研真题报考北京大学基础数学专业考研专业课资料的重要性根据考研网的统计,87.3%以上报考北京大学基础数学专业考研成功的考生,尤其是那些跨学校的考研人,他们大多都在第一时间获取了北京大学基础数学专业考研专业课指定的教材和非指定的北京大学基础数学专业内部权威复习资料,精准确定专业课考核范围和考点重点,才确保了自己的专业课高分,进而才才最后考研成功的。
如果咱们仔细的研究下问题的本质,不难发现因为非统考专业课的真题均是由北京大学基础数学专业自主命题和阅卷,对于跨校考研同学而言,初试和复试命题的重点、考点、范围、趋势、规律和阅卷的方式等关键信息都是很难获取的。
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专业课得高分便不难理解。
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北京大学基础数学专业内部讲义。
因为数学基础考试2 (高等代数、解析几何) 是北京大学基础数学专业核心专业基础课,授课老师权威。
本数学基础考试2 (高等代数、解析几何) 讲义内容全面、重点突出,知识结构清晰,涵盖北京大学基础数学专业全部的考研知识点,可帮助考生迅速准确把握重北京大学基础数学专业数学基础考试2 (高等代数、解析几何) 的考试重点和出题方向。
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高等代数(北大版第三版)习题答案II

高等代数(北大第三版)答案目录第一章多项式第二章行列式第三章线性方程组第四章矩阵第五章二次型第六章线性空间第七章线性变换第八章—矩阵第九章欧氏空间第十章双线性函数与辛空间注:答案分三部分,该为第二部分,其他请搜索,谢谢!12.设A为一个n级实对称矩阵,且,证明:必存在实n维向量,使。
证因为,于是,所以,且A不是正定矩阵。
故必存在非退化线性替换使,且在规范形中必含带负号的平方项。
于是只要在中,令则可得一线性方程组,由于,故可得唯一组非零解使,Xs即证存在,使。
13.如果A,B都是n阶正定矩阵,证明:也是正定矩阵。
证因为A,B为正定矩阵,所以BX为正定二次型,且,,因此,于是必为正定二次型,从而为正定矩阵。
14.证明:二次型是半正定的充分必要条件是它的正惯性指数与秩相等。
证必要性。
采用反证法。
若正惯性指数秩r,则。
即,22222 若令,y,则可得非零解使。
这与所给条件矛盾,故。
充分性。
由,知,222故有,即证二次型半正定。
.证明:是半正定的。
证()可见:。
21)当不全相等时2)当时f。
2故原二次型是半正定的。
AX是一实二次型,若有实n维向量X1,X2使16.设,。
X1。
证明:必存在实n维向量使X0设A的秩为r,作非退化线性替换将原二次型化为标准型,其中dr为1或-1。
由已知,必存在两个向量X1,X2使222和,X1故标准型中的系数不可能全为1,也不可能全为-1。
不妨设有p个1,q 个-1,且,即,这时p与q存在三种可能:,,下面仅讨论的情形,其他类似可证。
令,,,则由可求得非零向量X0使2222,X0即证。
17.A是一个实矩阵,证明:。
证由于的充分条件是与为同解方程组,故只要证明与同解即可。
事实上,即证与同解,故。
注该结论的另一证法详见本章第三部分(补充题精解)第2题的证明,此处略。
一、补充题参考解答1.用非退化线性替换化下列二次型为标准型,并用矩阵验算所得结果:1);2);3);4),其中。
n解1)作非退化线性替换,即,则原二次型的标准形为,且替换矩阵222222使,,其中2)若则。
北京大学考研真题试题-高等代数与解析几何2007[试卷+答案]
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例如,设V = P[x] 是数域 P 上多项式全体所构成的线性空间,定义 Af (x) = f ′(x) , Bf (x) = xf (x) , ∀f (x) ∈V ,
北京大学 2007 年《高等代数与解析几何》试题解答
北京大学 2007 年高等代数与解析几何试题 解答
1、回答下列问题:
(1)问是否存在 n 阶方阵 A, B ,满足 AB − BA = E (单位矩阵)?又,是否存在 n 维
线性空间V 上的线性变换 A ,B ,满足 AB − BA = E (恒等变换)? 若是,举出例子;若否,
的基础解系)构成 n × r 矩阵 C ,则 rank(C) = r ,且 AC = O , BC = O .
考虑齐次线性方程组 CT X = 0 ,其解空间 S 的维数 dim(S ) = n − r = rank( A) .
因为 C T AT = O ,所以 A 的行向量都是 C T X = 0 的解,因此 A 的行空间WA 是 S 的一 个子空间,即WA ⊆ S .注意到 dim(WA ) = rank( A) = dim(S ) ,故WA = S .
容易验证: AB − BA = E . (2)设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和为常数 c ,则 A3 的各行元素之和是否为常数?若是,
是多少?说明理由.
【解】是.设 η = (1,1, ,1)T 是 n 维列向量,则由 A 的各行元素之和为常数 c ,知 Aη = cη ,从而 A3η = c3η .所以 A3 的各行元素之和为常数 c3 .
北京大学2020年高等代数与解析几何试题及解答

5. 当 rank(A) < n − 1 时, A∗ = 0, 于是 A∗ 的特征值为 0, 特征向量为 Cn 中任意非零向量.
当 rank(A) = n − 1 时, rank (A∗) = 1, 于是 A∗ 的特征值为 0 (n − 1 重), tr (A∗) (1 重), 设 A∗ = αβT, 则 tr (A∗) 对应的特征向量为 kα, k ̸= 0; 0 对应的特征向量为由 A 的列向量线性生成的非零向量.
8. (20 分) 在平面 π 上取定平面直角坐标系, 设该平面里的一条二次曲线 γ 的方程为 x2 + 2y2 + 6xy + 8x + 10y + 6 = 0.
(1) 证明: γ 是双曲线. (2) 写出 γ 的长短轴方程和长短轴长, 并指出长短轴中哪一个与 γ 有交点.
9. (15 分) 在平面 π 上取定平面直角坐标系, 已知该平面里的一个椭圆 γ 的方程为 x2+8y2+4xy+6x+20y+4 = 0. 求 γ 的内接三角形 (即三个顶点都在 γ 上的三角形) 的面积的最大值.
− sin φj cos φj
=
− sin φj cos φj
][ ]
cos φj
01 ,
sin φj 1 0
(φj ̸= kπ, j = 1, 2, . . . , l) .
注意到若 σ 是正交变换, 则 σ 是镜面反射当且仅当 σ 在 V 中的标准正交基下的矩阵的特征值为 1 (n − 1 重), −1 (1 重), 而把 J 分解成有限个那样的正交矩阵的乘积的分解是存在的, 这里的有限个更 精确一点可改为不超过 n 个, 于是 σ 可以表示为一系列镜面反射的乘积.
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点 P' : (x, y, z)
PP' ⊥ x +1− 3k = z − k x − 3z +1 = 0
3
1
P 3x + By + z = 0
整理即知,
l
到
上的正交投影轨迹满足方程
x − 3z +1 = 3x + By + z
0 =
0
由于 1 1 ,上述方程表示一条直线,而 2*3 + B −1 = 0 和 3 + B + 2 = 0 不同时成立,因此 l 到 31
上的正交投影轨迹是一条直线
从而
l
到
上的正交投影轨迹的方程就是
x − 3z + 3x + By
1 +
= z
0 =
0
2. 在直角坐标系中对于参数 的不同取值,判断下面平面二次曲线的形状: x2 + y 2 + 2xy + = 0 .
对于中心型曲线,写出对称中心的坐标; 对于线心型曲线,写出对称直线的方程。
ci
2
于是方程组
AX
=
0
解空间的维数是
n−2
,取向量组
1, 2 ,..., n−2
,其中
i
=
,
cin
b2 − bn−i
b1
− b2
,
j
=1
cij
=
b1 − bn−i b2 − b1
,
j
=
2
,i
=1, 2,..., n − 2
1, j = n − i
0,
其他
可知
高等代数教案(北大版)--高等代数试题以及解答

高 等 代 数(上)(No. 8)一、填空题(每小题1分, 共8分)1.一非空复数集P 为数域, 若其 包含0和1, 且对加减乘除四种运算封闭. 2. 设d (x )为f (x ), g (x ) 的一个最大公因式, 则d (x )与(f (x ), g (x ))的关系 倍数关系即d (x )=k (f (x ), g (x )) .3.设{i 1,i 2,…,i n }={1,2,…, n },则τ( i 1i 2…i n )+ τ( i n i n -1…i 1)=n(n -1)2. 4.设n ≥2, a 1,…,a n 两两不同, 则xa a a x a a a xnn.....................2211的不同根为 a 1, a 2,…,a n .5.设t 1,…,t r 两两不同, 则αi =(1,t i ,…,1-r i t ), i =1,…, r 线性 无关 .6.若β可由α1,…,αr 唯一表示, 则α1,…,αr 线性 无关 . 7.设α1,…,αm 为n 维向量组, 且R (α1,…,αm )=n , 则n ≤ m . 8.若A 为n 级实对称阵且AA '= O , 则A= O . 二、选择题(每小题1分, 共8分)1. 对于“命题甲:将n (>1)级行列式D 的主对角线上元素反号, 则行列式变为-D ;命题乙:对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( B ) .A . 甲成立, 乙不成立B . 甲不成立, 乙成立C . 甲, 乙均成立D . 甲, 乙均不成立2.整系数多项式f (x )在Z 不可约是f (x )在Q 上不可约的( B ) 条件.A . 充分B . 充分必要C . 必要D . 既不充分也不必要3.设D=|a ij |n , A ij 为a ij 的代数余子式, 则nnnnn n A A A A A A A A A D (212)221212111∙=( C ) .A . DB . -DC .D n D . (-1)n D 4.下述中, 错误的是( D ) .A . 奇数次实系数多项式必有实根B . 代数基本定理适用于复数域C . 任一数域包含QD . 在P [x ]中, f (x )g (x )= f (x )h (x )⇒g (x )=h (x ) 5.设A , B 为n 级方阵, m ∈N , 则“命题甲:|-A|=-A ;命题乙:(AB )m = A m B m ”中正确的是( D ) .A . 甲成立, 乙不成立B . 甲不成立, 乙成立C . 甲, 乙均成立D . 甲, 乙均不成立 6. 任n 级矩阵A 与-A , 下述判断成立的是( B ) .A . |A|=-|A|B . AX =0 与(-A )X =0同解C . 若A 可逆, 则(-A )-1=(-1)n A -1D . A 反对称, -A 反对称7. 向量组α1,…,αs 线性无关⇔( C ) .A . 不含零向量B . 存在向量不能由其余向量线性表出C . 每个向量均不能由其余向量表出D . 与单位向量等价8. 设A , B 均为P 上矩阵, 则由( A ) 不能断言A ≌B .A . R (A )= R (B ) B . 存在可逆阵P 与Q 使A=PBQC . A 与B 均为n 级可逆D . A 可经初等变换变成B三、简要回答(每小题5分, 共20分)1.设f (x), g (x )∈P [x ], g (x )≠0, 若f (x )= g (x )q (x )+r (x ), 则 (f (x ), g (x ))=(f (x ), r (x ))成立吗?为什么?答: 不一定成立. 如:f (x )=6x 2, g (x )=2x , q (x )=3x , r (x )=0, (f (x ), g (x ))= x , (f (x ), r (x ))=x 2. 2. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=d c b a A , 则当a ,b ,c ,d 满足何条件时, A =A '? A =A 2?为什么? 答: 当b =c 时, A 是一个对称矩阵, 因此A =A '.当a+d =1或c=b=0且a , d ∈{0,1}时, A =A 2.直接根据矩阵相等的定义.3.若α1,…,αs 与β1,…,β s 均相关, 则α1+β1,…,αs +β s 相关吗?为什么?答: 不一定. 如:α1=(0, 2, 0), α2=(1, 0, 1), α3=(2, 1, 2), β1=(0, -1, 0), β2=( -1, 0, 0), β3=(-1, -1, 0), 显然α1, α2, α3; β1, β2, β3两组向量均相关, 但α1+β1, α2+β2, α3+β3是线性无关的.4.若A , B 均为n 级阵, 且A ≌B , 则A 与B 的行向量组等价吗?为什么? 答:等价。
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证明:
记
其中 ,
因此 ,
于是
可知 ,其中 是 阶单位矩阵, 是一个 的矩阵,从而
并且对任意的 ,有
因此 都属于方程组 解空间,从而是方程组 解空间的一组基
4.(1)设数域 上 级矩阵,对任意正整数 ,求
[C是什么?]
(2)用 表示数域 上所有 级矩阵组成的集合,它对于矩阵的加法和数量乘法成为 上的线性空间。数域 上 级矩阵 称为循环矩阵。用 表示 上所有 级循环矩阵组成的集合。
(2)设 是 级正定矩阵( ) ,且 是非零列向量。令 ,求 的最大特征值以及 的属于这个特征值的特征子空间的维数和一个基
解:
(1) 是 上的一个内积,证明如下:
容易验证 是 上的一个双线性函数
对 中任意的非零向量 ,
令 ,是 上的一个多项式函数,有
可得
若 ,由于 在 上连续,则必有 ,
则 ,即 ,与 是 中非零向量矛盾。所以 ,
北京大学2005数学专业研究生高等代数与解析几何。
1.在直角坐标系中,求直线 到平面 的正交投影轨迹的方程。
其中B是常数
解:
可以验证点 ,从而
把 写成参数方程: ,任取其上一点 ,设该点到 上的投影为点
整理即知, 到 上的正交投影轨迹满足方程
由于 ,上述方程表示一条直线,而 和 不同时成立,因此 到 上的正交投影轨迹是一条直线
2) 时,曲线方程为 ,是一对平行直线,是线心型曲线,对称直线为 ,即
3) 时, ,曲线为椭圆,是中心型曲线,对称点为
4) 时,曲线方程为 ,是一个点,是中心型曲线,对称点为
5) 时, ,曲线为虚椭圆,是中心型曲线,对称点为
6) 时,曲线方程为 ,是一对虚平行直线,是线心型曲线,对称直线为 ,即
7) 时, ,曲线为双曲线,是中心型曲线,对称点为
从而 到 上的正交投影轨迹的方程就是
2.在直角坐标系中对于参数 的不同取值,判断下面平面二次曲线的形状: .
对于中心型曲线,写出对称中心的坐标;
对于线心型曲线,写出称直线的方程。
解:
记 ,容易验证 ,因此直角坐标变换 是一个正交变换
在这个变换下,曲线方程变为
1) 时, ,曲线为双曲线,是中心型曲线,对称点为
证明: 是 的一个子空间,并求 的一个基和维数。
证:
对任意的 ,以及 ,有
因此
对任意的 ,和 ,有
因此
可知 是 的一个子空间。
记 ,其中 , ,
对任意的 ,有 ,即 所有向量都能用向量组 线性表出
设一组数 ,满足 ,亦即
可得 ,向量组 线性无关
综上向量组 是 的一组基
5.(1)设实数域 上 级矩阵 的 元为 ( )。在实数域上 维线性空间 中,对于 ,令 。试问: 是不是 上的一个内积,写出理由。
3.设数域 上的 级矩阵 的 元为
(1).求 ;
(2).当 时, .求齐次线性方程组 的解空间的维数和一个基。
解:
(1)
若 ,
若 ,
若 ,
(2)
若 ,则 ,方程组 只有零解,其解空间维数为0
若 ,则由(1)知道 的任意一个3级子式的行列式为0,而 的一个2级子式 的行列式为 ,从而
于是方程组 解空间的维数是 ,取向量组 ,其中 , ,
所以 是 上的一个内积
(2)由于 正定, ,可得 , , ,
由 知方程组 解空间 的维数为 , 同时也是 的属于0特征值的特征子空间
由 , 和 ,知 是 的特征值, 是B的属于特征值 的特征向量
设 的属于这个特征值的特征子空间为 ,由 , ,所以
即 ,而 , , 的一组基为
,因此 没有其他特征值, 是 的唯一非零特征值,也是 最大的特征向量