2019-2020年高一数学必修2模块试题及答案
2019-2020年高中数学 4.1.2圆的一般方程练习 新人教A版必修2
2019-2020年高中数学 4.1.2圆的一般方程练习 新人教A 版必修2基础梳理1．圆的一般方程的定义．当D 2＋E 2－4F>0时，二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0称为圆的一般方程． 2．方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的图形．已知点M(x 0，y 0)和圆的方程x ＋y ＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.则其位置关系如下表：练习1：二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0在什么条件下表示圆的方程？ 答案：A ＝C≠0，B ＝0且D 2＋E 2－4AF ＞0练习2：圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0的圆心为(1，－5)，半径为 ►思考应用1．圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？解析：圆的标准方程(x －a)2＋(y －b)2＝r 2明确了圆心和半径，方程左边为平方和，右边为一个正数，且未知数的系数为1；一般方程体现了二元二次方程的特点，但未明确圆心和半径，需计算得到．当二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0中的系数A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF>0时，二元二次方程就是圆的一般方程．2．求圆的方程常用“待定系数法”，“待定系数法”的一般步骤是什么？ 解析：(1)根据题意选择方程的形式——标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a 、b 、r 或D 、E 、F 的方程组； (3)解出a 、b 、r 或D 、E 、F ，代入标准方程或一般方程．自测自评1．圆x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0的圆心和半径分别为(C ) A ．(4，－6)，r ＝16 B ．(2，－3)，r ＝4 C ．(－2，3)，r ＝4 D ．(2，－3)，r ＝16解析：由圆的一般方程可知圆心坐标为(－2，3)， 半径r ＝1242＋（－6）2＋12＝4.2．如果方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F>0)所表示的曲线关于y ＝x 对称，则必有(A )A ．D ＝EB ．D ＝FC ．F ＝ED ．D ＝E ＝F解析：由题知圆心⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2在直线y ＝x 上，即－E 2＝－D2，∴D ＝E. 3．若方程x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5k ＝0表示圆，则实数k 的取值范围是(B )A ．RB ．(－∞，1)C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)解析：由D 2＋E 2－4F ＝(－4)2＋22－4×5k ＝20－20k >0得k <1.4．圆心是(－3，4)，经过点M (5，1)的圆的一般方程为x 2＋y 2＋6x －8y －48＝0． 解析：圆的半径r ＝（－3－5）2＋（4－1）2＝73， ∴圆的标准方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝73， 展开整理得，x 2＋y 2＋6x －8y －48＝0为圆的一般方程． 5．指出下列圆的圆心和半径： (1)x 2＋y 2－x ＝0；(2)x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)； (3)x 2＋y 2＋2ay －1＝0.解析：(1)⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝14，圆心⎝⎛⎭⎫12，0，半径r ＝12； (2)(x ＋a )2＋y 2＝a 2，圆心(－a ，0)，半径r ＝|a |； (3)x 2＋(y ＋a )2＝1＋a 2，圆心(0，－a )，半径r ＝1＋a 2. 基础达标1．方程x 2＋y 2＋4x －2y ＋5＝0表示的曲线是(C ) A ．两直线 B ．圆 C ．一点D ．不表示任何曲线2．x 2＋y 2－4y －1＝0的圆心和半径分别为(C )A ．(2，0)，5B ．(0，－2)，5C ．(0，2)， 5D ．(2，2)，5解析：x 2＋(y －2)2＝5，圆心(0，2)，半径 5.3．经过圆x 2＋2x ＋y 2＝0的圆心C ，且与直线x ＋y ＝0垂直的直线方程是(C ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x ＋y －1＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y －1＝0解析：x 2＋2x ＋y 2＝0配方得(x ＋1)2＋y 2＝1，圆心为(－1，0)，故所求直线为y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.4．如果直线l 将圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0平分且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是(A )A ．[0，2]B ．[0，1]C.⎣⎡⎦⎤0，12D.⎣⎡⎭⎫0，12 解析：l 必过圆心(1，2)，0≤k ≤2(几何意义知)． 5．圆x 2＋y 2－6x ＋4y ＝0的周长是________． 解析：(x －3)2＋(y ＋2)2＝13，r ＝13，C ＝2πr ＝213π. 答案：213π6．(1)已知点M 与两个定点A (4，2)、B (－2，6)的距离的比值为1，探求点M 的轨迹，然后求出它的方程；(2)已知点M 与两个定点A (4，2)、B (－2，6)的距离的比值为12时，M 点的轨迹又是什么？求出它的方程．解析：设M (x ，y )(1)因为点M 与两个定点A (4，2)、B (－2，6)的距离的比值为1，所以（x －4）2＋（y －2）2（x ＋2）2＋（y －6）2＝1，化简得3x －2y ＋5＝0.所以M 的轨迹是直线，它的方程是3x －2y ＋5＝0；(2)因为点M 与两个定点A (4，2)、B (－2，6)的距离的比值为12，所以（x －4）2＋（y －2）2（x ＋2）2＋（y －6）2＝12，化简得(x －6)2＋(y －23)2＝2089，故此时M 的轨迹是以(6，23)为圆心，半径为4313的圆，它的方程是(x －6)2＋(y －23)2＝2089.巩固提升7．已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上的两点，且|AB |＝6，若以AB 为直径的圆M 恰好经过点C (1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是________________________________________________________________________．答案：(x －1)2＋(y ＋1)2＝98．求经过两点P (－2，4)，Q (3，－1)，并且在x 轴上截得的弦长等于6的圆的方程． 解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P (－2，4)，Q (3，－1)代入圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧2D －4E －F ＝20，3D －E ＋F ＝－10. 令y ＝0得x 2＋Dx ＋F ＝0.设x 1，x 2为方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两根． 由|x 1－x 2|＝6有D 2－4F ＝36，解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0. ∴圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0. 9．已知点A 在直线2x －3y ＋5＝0上移动，点P 为连接M (4，－3)和点A 的线段的中点，求P 的轨迹方程．解析：设点P 的坐标为(x ，y )， A 的坐标为(x 0，y 0)．∵点A 在直线2x －3y ＋5＝0上， ∴有2x 0－3y 0＋5＝0. 又∵P 为MA 的中点，∴有⎩⎨⎧x ＝4＋x 02，y ＝－3＋y 02，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋3. 代入直线方程得2(2x －4)－3(2y ＋3)＋5＝0， 化简得：2x －3y －6＝0即为所求．1．任何一个圆的方程都可写成x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的形式，但方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的曲线不一定是圆，只有D 2＋E 2－4F >0时，方程才表示圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，半径为r ＝12D 2＋E 2－4F 的圆．2．在圆的方程中含有三个参变数，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆．求圆的方程时是选用标准方程还是一般方程的依据：当给出的条件与圆心坐标、半径有关，或者由已知条件容易求得圆心和半径时，一般用标准方程．当上述特征不明显时，常用一般方程，特别是给出圆上三点，用待定系数法求圆的方程时，常用一般式，这样得到的关于D，E，F的三元一次方程组，要比使用标准方程简便得多．3．要画出圆的图象，必须知道圆心和半径，因此应掌握用配方法将圆的一般方程化为标准方程．。
2020-2021学年高一下学期数学(人教A版(2019)必修第二册)(含解析)
（1）求复数z；
（2）若复数z在复平面内所对应的点位于第一象限，且复数m满足 ，求 的最大值和最小值．
20．某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间 、 、…、 、 ．
【详解】
∵向量 ，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴ .
故选：B.
6．D
【分析】
设出正六棱柱底面边长为 ，可知正六棱柱的高为 ，再通过正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为 可得正六棱锥的高，这样就可以得到答案.
【详解】
设正六棱柱底面边长为 ，由题意可知正六棱柱的高为 ，则可知正六棱柱的侧面积为 .
设正六棱锥的高为 ，可知正六棱锥侧面的一个三角形的边为 上的高为 ，
9．BD
【分析】
根据图表，对各项逐个分析判断即可得解.
【详解】
对A，在前四年有下降的过程，故A错误；
对B，六年的在校生总数为24037，平均值为4006以上，故B正确；
对C， ，未接受高中阶段教育的适龄青少年有468万人以上，故C错误；
对D， ，故D正确.
故选：BD
10．ABC
【分析】
对于A， ，可判断错误；对于B找出反例 不满足题意，判定错误；对于C若 ，则其不正确；对于D， ，则其虚部为0，故正确．故可得答案．
A．近六年，高中阶段在校生规模与毛入学率均持续增长
B．近六年，高中阶段在校生规模的平均值超过4000万人
C．2019年，未接受高中阶段教育的适龄青少年不足420万
D．2020年，普通高中的在校生超过2470万人
10．下列说法不正确的是（）
2019-2020学年高中数学新教材必修一第二章《等式与不等式》测试试卷及答案解析
2019-2020学年高中数学新教材必修一第二章《等式与不等式》测试试卷(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设a ＞1＞b ＞－1，则下列不等式中恒成立的是( ) A.1a ＜1b B.1a ＞1b C ．a ＞b 2D ．a 2＞2bC [取a ＝2，b ＝－12，满足a ＞1＞b ＞－1，但1a ＞1b ，故A 错；取a ＝2，b ＝13，满足a ＞1＞b ＞－1，但1a ＜1b ，故B 错；取a ＝54，b ＝56，满足a ＞1＞b ＞－1，但a 2＜2b ，故D 错，只有C 正确．]2.已知a ＜0，b ＜－1，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＞a b ＞ab 2 B.a b 2＞a b ＞a C.a b ＞ab 2＞aD.a b ＞a ＞a b 2C [∵a ＜0，b ＜－1，∴a b ＞0，b 2＞1，∴1b 2＜1. 又∵a ＜0，∴0＞a b 2＞a ，∴a b ＞ab 2＞a . 故选C.]3．不等式－x 2－x ＋2≥0的解集为( ) A ．{x |x ≤－2或x ≥1} B ．{x |－2＜x ＜1} C ．{x |－2≤x ≤1}D ．∅C [不等式－x 2－x ＋2≥0可化为x 2＋x －2≤0，即(x ＋2)(x －1)≤0，所以－2≤x ≤1，即解集为{x |－2≤x ≤1}．]4.已知集合M ＝{x |0≤x ＜2}，N ＝{x |x 2－2x －3＜0}，则M ∩N ＝( ) A ．{x |0≤x ＜1}B ．{x |0≤x ＜2}C ．{x |0≤x ≤1}D ．{x |0≤x ≤2}B [由于N ＝{x |x 2－2x －3＜0}＝{x |－1＜x ＜3}，又因为M ＝{x |0≤x ＜2}，所以M ∩N ＝{x |0≤x ＜2}．]5．下列方程，适合用因式分解法解的是( ) A ．x 2－42x ＋1＝0 B ．2x 2＝x －3 C ．(x －2)2＝3x －6D ．x 2－10x －9＝0C [C 中方程化简后可以用因式分解法求解．]6．求方程组⎩⎨⎧11x ＋3z ＝9，3x ＋2y ＋z ＝8，2x －6y ＋4z ＝5的解集时，最简便的方法是( )A ．先消x 得⎩⎨⎧22y ＋2z ＝61，66y －38z ＝－37B ．先消z 得⎩⎨⎧ 2x －6y ＝－15，38x ＋18y ＝21C ．先消y 得⎩⎨⎧11x ＋7z ＝29，11x ＋3z ＝9D ．得8x －2y ＋4z ＝11，再解C [第一个方程中没有y ，所以消去y 最简便．]7．若不等式4x 2＋(m －1)x ＋1＞0的解集为R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．m ＞5或m ＜－3 B ．m ≥5或m ≤－3 C ．－3≤m ≤5D ．－3＜m ＜5D [依题意有(m －1)2－16＜0，所以m 2－2m －15＜0，解得－3＜m ＜5.] 8．已知关于x 的方程x 2－6x ＋k ＝0的两根分别是x 1，x 2，且满足1x 1＋1x 2＝3，则k 的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4B [∵x 2－6x ＋k ＝0的两根分别为x 1，x 2，∴x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝k ，∴1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝6k ＝3，解得k ＝2.经检验，k ＝2满足题意．]9．某种产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0＜x ＜240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时的最低产量是( )A ．200台B ．150台C ．100台D ．50台B [要使生产者不亏本，则应满足25x ≥3 000＋20x －0.1x 2，整理得x 2＋50x －30 000≥0，解得x ≥150或x ≤－200(舍去)，故最低产量是150台．]10．设0＜a ＜b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a ＜b ＜ab ＜a ＋b2 B ．a ＜ab ＜a ＋b2＜b C ．a ＜ab ＜b ＜a ＋b2 D ．a ＜b ＜a ＋b2＜abB [因为0＜a ＜b ，所以由均值不等式可得ab ＜a ＋b 2，且a ＋b 2＜b ＋b2＝b ，又a ＝a ·a ＜a ·b ，所以a ＜ab ＜a ＋b2＜b .]11．若a ，b ，c ∈R ，且ab ＋bc ＋ca ＝1，则下列不等式成立的是( ) A ．a 2＋b 2＋c 2≥2 B ．a ＋b ＋c ≤ 3 C.1a ＋1b ＋1c ≤2 3D ．(a ＋b ＋c )2≥3D [由均值不等式知a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，a 2＋c 2≥2ac ，于是a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ＝1，故A 错；而(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3(ab ＋bc ＋ca )＝3，故D 项正确，B 项错误；令a ＝b ＝c ＝33，则ab ＋bc ＋ca ＝1，但1a ＋1b ＋1c ＝33＞23，故C 项错误．]12．若x ＞1，则4x ＋1＋1x －1的最小值等于( ) A ．6 B ．9 C ．4 D ．1B [由x ＞1，得x －1＞0，于是4x ＋1＋1x －1＝4(x －1)＋1x －1＋5≥24＋5＝9，当且仅当4(x －1)＝1x －1，即x ＝32时，等号成立．] 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．若{(x ，y )|(2,1)}是关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧ax ＋by ＝2，bx ＋ay ＝7的解集，则(a ＋b )(a－b )＝________.－15 [∵{(x ，y )|(2,1)}是关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧ax ＋by ＝2，bx ＋ay ＝7的解集，∴⎩⎨⎧ 2a ＋b ＝2，2b ＋a ＝7，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝4，∴(a ＋b )(a －b )＝(－1＋4)×(－1－4)＝－15.]14．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2＜0的解集为(－∞，m )∪(1，＋∞)，则m ＝________.－3 [由已知可得a ＜0且1和m 是方程ax 2－6x ＋a 2＝0的两根，于是a －6＋a 2＝0，解得a ＝－3，代入得－3x 2－6x ＋9＝0，所以方程另一根为－3，即m ＝－3.]15．若关于x 的不等式组⎩⎨⎧x －1＞a 2，x －4＜2a的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．(－1,3) [依题意有⎩⎨⎧x ＞a 2＋1，x ＜2a ＋4，要使不等式组的解集不是空集，应有a 2＋1＜4＋2a ，即a 2－2a －3＜0，解得－1＜a ＜3.]16．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________． [9，＋∞) [∵ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3， ∴ab －2ab －3≥0，即(ab －3)(ab ＋1)≥0， ∴ab －3≥0，即ab ≥3，∴ab ≥9.]三、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或。
2019-2020学年北师大版高中数学必修二教师用书：复习课2 解析几何初步 Word版含答案
姓名，年级：时间：复习课（二) 解析几何初步一、直线与方程我们是如何建立直线的点斜式方程的？你能总结建立这个方程的一般步骤吗？写出直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，并指出这些方程中系数的几何意义．结合直线方程一般式的讨论,体会分类讨论的思想；选择合适的分类标准，使讨论不重不漏．【典例1】光线沿直线y＝2x＋1的方向射到直线y＝x上，被y＝x 反射后的光线所在的直线方程是（)A．y＝错误!x－错误!B．y＝2x＋错误!C．y＝错误!x＋错误!D．y＝错误!x＋1［解析] 解法一：解方程组错误!得交点P（－1，－1),如图，在入射线y＝2x＋1上任取一点A（1，3)，A点关于直线y＝x 的对称点为B，则B点的坐标为(3,1)，由光学知识可知反射线经过P、B 两点．∴反射光线的方程是错误!＝错误!即y＝错误!x－错误!.选A.解法二：解方程组错误!得交点P（－1,－1)．由于入射线的斜率等于2大于1，所以反射线的斜率必小于1，过点P(－1，－1）且斜率小于1的反射线所在直线方程的纵截距必小于0，从而排除B、C、D，选A.[答案］A本题主要应用直线的斜率、倾斜角、截距、两直线所成的角及轴对称等概念．解法一是应用光学知识和轴对称概念而求解的；解法二是由已知条件判断反射线的纵截距必为负值,从而用排除法求解的．二、求圆的方程求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法求解，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为：第一步：选择圆的方程的某一形式．第二步：由题意得a，b，r(或D，E,F)的方程（组）．第三步：解出a,b，r(或D，E，F)．第四步:代入圆的方程．【典例2】根据条件求下列圆的方程．(1)求经过A（6,5），B(0，1)两点，并且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上的圆的方程；(2）求半径为错误!，圆心在直线y＝2x上，被直线x－y＝0截得的弦长为4错误!的圆的方程．［解］（1）由题意知，线段AB的垂直平分线方程为3x＋2y－15＝0，∴由错误!解得错误!∴圆心C（7，－3），半径为r＝|AC｜＝错误!。
2019-2020学年高中人教A版数学必修二习题：第3章 直线与方程 学业分层测评19 Word版含答案
学业分层测评(十九)(建议用时：45分钟)一、选择题1．直线4x ＋2y －2＝0与直线3x ＋y －2＝0的交点坐标是( )A ．(2,2)B ．(2，－2)C ．(1，－1)D ．(1,1) 【解析】 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋2y －2＝0，3x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－1，∴交点坐标为(1，－1)．【答案】 C2．两直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，那么k 的值为( )A ．－24B ．6C ．±6D ．24【解析】 在2x ＋3y －k ＝0中，令x ＝0得y ＝k 3，将⎝ ⎛⎭⎪⎫0，k 3代入x －ky ＋12＝0，解得k ＝±6. 【答案】 C3．以A (5,5)，B (1,4)，C (4,1)为顶点的三角形是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【解析】 ∵|AB |＝17，|AC |＝17，|BC |＝32，∴三角形为等腰三角形．故选B.【答案】 B4．当a 取不同实数时，直线(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0恒过一定点，则这个定点是( )A ．(2,3)B ．(－2,3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12 D ．(－2,0)【解析】 直线化为a (x ＋2)－x －y ＋1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，－x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝3，所以直线过定点(－2,3)．【答案】 B5．若直线ax ＋by －11＝0与3x ＋4y －2＝0平行，并过直线2x ＋3y －8＝0和x －2y ＋3＝0的交点，则a ，b 的值分别为( )A ．－3，－4B ．3,4C ．4,3D ．－4，－3 【解析】 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y －8＝0，x －2y ＋3＝0，得交点B (1,2)，代入方程ax ＋by －11＝0中，有a ＋2b －11＝0①，又直线ax ＋by －11＝0平行于直线3x ＋4y －2＝0，所以－a b ＝－34②，11b ≠12③.由①②③，得a ＝3，b ＝4.【答案】 B二、填空题6．在直线x －y ＋4＝0上求一点P ，使它到点M (－2，－4)，N (4,6)的距离相等，则点P 的坐标为__________．【解析】 设P 点的坐标是(a ，a ＋4)，由题意可知|PM |＝|PN |， 即＋＋＋4＋＝ －＋＋4－，解得a ＝－32， 故P 点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52 7．点P (－3,4)关于直线4x －y －1＝0对称的点的坐标是________.【解析】 设对称点坐标为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧ b －4a ＋3·4＝－1，4×－3＋a 2－4＋b 2－1＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，b ＝2，即所求对称点的坐标是(5,2)．【答案】 (5,2)三、解答题8．设直线l 经过2x －3y ＋2＝0和3x －4y －2＝0的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l 的方程.【解】 设所求的直线方程为(2x －3y ＋2)＋λ(3x －4y －2)＝0，整理得(2＋3λ)x －(4λ＋3)y －2λ＋2＝0，由题意，得2＋3λ3＋4λ＝±1， 解得λ＝－1，或λ＝－57.所以所求的直线方程为x －y －4＝0，或x ＋y －24＝0.9．已知直线l 1：2x ＋y －6＝0和点A (1，－1)，过A 点作直线l 与已知直线l 1相交于B 点，且使|AB |＝5，求直线l 的方程．【解】 若l 与x 轴垂直，则l 的方程为x ＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，2x ＋y －6＝0，得B 点坐标(1,4)，此时|AB |＝5，∴x ＝1为所求；当l 不与x 轴垂直时，可设其方程为y ＋1＝k (x －1)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －6＝0，y ＋1＝－，得交点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2(k ≠－2)． 由已知⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －2k ＋2＋12＝5， 解得k ＝－34. ∴y ＋1＝－34(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0. 综上可得，所求直线l 的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.10．已知点M (0，－1)，点N 在直线x －y ＋1＝0上，若直线MN 垂直于直线x ＋2y －3＝0，则N 点的坐标是( )A ．(2,3)B ．(－2，－1)C ．(－4，－3)D ．(0,1)【解析】 由题意知，直线MN 过点M (0，－1)且与直线x ＋2y －3＝0垂直，其方程为2x －y －1＝0.直线MN 与直线x －y ＋1＝0的交点为N ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －1＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝3，即N 点坐标为(2,3)．【答案】 A11．△ABD 和△BCE 是在直线AC 同侧的两个等边三角形，如图332.试用坐标法证明：|AE |＝|CD |.图332【证明】 如图所示，以B 点为坐标原点，取AC 所在直线为x 轴，建立直角坐标系．设△ABD 和△BCE 的边长分别为a 和c ，则A (－a,0)，C (c,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，3c 2，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，3a 2，于是由距离公式，得|AE |＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 2－－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32c －02 ＝a2＋ac ＋c2，同理|CD |＝a2＋ac ＋c2，所以|AE |＝|CD |.。
2019-2020学年高中数学(人教版必修2)阶段质量检测(二) Word版含答案
阶段质量检测（二）(A卷学业水平达标)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(共10小题，每小题6分，共60分)1．下列说法不正确的是( )A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B．同一平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直答案：D2．(浙江高考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( )A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α答案：C3.如图在四面体中，若直线EF和GH相交，则它们的交点一定( )A．在直线DB上B．在直线AB上C．在直线CB上D．都不对答案：A4.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于( )A．AC B．BDC．A1D D．A1D1答案：B5．给定下列四个命题：①若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中为正确的命题的是( )A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④6．正方体AC1中，E，F分别是DD1，BD的中点，则直线AD1与EF所成角的余弦值是( )A.12B.32C.63D.62答案：C7．在四面体ABCD中，已知棱AC的长为2，其余各棱长都为1，则二面角ACDB的余弦值为( )A.12B.13C.33D.23答案：C8．设α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列三个说法：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，则l∥β；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中正确的说法个数是( )A．3 B．2C．1 D．0答案：B9．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列结论正确的是( )A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC答案：D10．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，在l上取线段AB＝4，AC，BD分别在平面α和平面β内，且AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝3，BD＝12，则CD的长度为( )A．13 B.151 C．12 3 D．15答案：A二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)11.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为答案：BM⊥PC(其他合理即可)12．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个说法：①若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α；②若a∥α，α⊥β，则a⊥β；③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β.其中正确的个数为________．答案：313．在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，EF＝3，则异面直线AD与BC所成角的大小为________．答案：60°14．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下三个结论．①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；说法正确的命题序号是________．答案：①②三、解答题(共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分10分)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝BC＝1，PA⊥平面ABCD，CD⊥PC，(1)证明：CD⊥平面PAC；(2)若E为AD的中点，求证：CE∥平面PAB.证明：(1)∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.又CD⊥PC，PA∩PC＝P，∴CD⊥平面PAC.(2)∵AD∥BC，AB⊥BC，AB＝BC＝1，∴∠BAC＝45°，∠CAD＝45°，AC＝ 2.∵CD⊥平面PAC，∴CD⊥CA，∴AD＝2.又∵E为AD的中点，∴AE＝BC＝1，∴AE綊BC，∴四边形ABCE是平行四边形，又∵AB⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，∴CE∥平面PAB.16．(本小题满分12分)(山东高考)如图，几何体EABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.证明：(1)取BD的中点O，连接CO，EO.由于CB＝CD，所以CO⊥BD，又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC⊂平面EOC，所以BD⊥平面EOC，因此BD⊥EO，又O为BD的中点，所以BE＝DE.(2)法一：取AB的中点N，连接DM，DN，MN，因为M是AE的中点，所以MN∥BE.又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，所以MN∥平面BEC.又因为△ABD为正三角形．所以∠BDN＝30°，又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°，又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC.又MN∩DN＝N，故平面DMN∥平面BEC.又DM⊂平面DMN，所以DM∥平面BEC.法二：延长AD，BC交于点F，连接EF. 因为CB＝CD，∠BCD＝120°，所以∠CBD＝30°.因为△ABD为正三角形，所以∠BAD＝60°，∠ABC＝90°，因此∠AFB＝30°，所以AB＝12 AF.又AB＝AD，所以D为线段AF的中点．连接DM，由于点M是线段AE的中点，因此DM∥EF.又DM⊄平面BEC，EF⊂平面BEC，所以DM∥平面BEC.17.(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，BB1＝2BC，D，E，F分别是CC1，A1C1，B1C1的中点，G在BB1上，且BG＝3GB1.求证：(1)B1D⊥平面ABD；(2)平面GEF∥平面ABD.证明：(1)取BB1的中点为M，连接MD，如图所示．因为BB1＝2BC，且四边形BB1C1C为平行四边形，所以四边形CDMB和四边形DMB1C1均为菱形．故∠CDB＝∠BDM，∠MDB1＝∠B1DC1，所以∠BDM＋∠MDB1＝90°，即BD⊥B1D.又AB⊥平面BB1C1C，B1D⊂平面BB1C1C，所以AB⊥B1D.又AB∩BD＝B，所以B1D⊥平面ABD.又F为B1C1的中点，所以GF∥MC1.又MB綊C1D，所以四边形BMC1D为平行四边形，所以MC1∥BD，故GF∥BD.又BD⊂平面ABD，所以GF∥平面ABD.又EF∥A1B1，A1B1∥AB，AB⊂平面ABD，所以EF∥平面ABD.又EF∩GF＝F，故平面GEF∥平面ABD.18．(本小题满分12分)如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝2，CE ＝EF＝1.(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BDE.证明：(1)设AC与BD交于点G.∵EF∥AG，且EF＝1，AG＝12AC＝1，∴四边形AGEF为平行四边形．所以AF∥EG. ∵EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，∴AF∥平面BDE.(2)连接FG.∵EF∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1，∴四边形CEFG为菱形．∴CF⊥EG.∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC.又∵平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，∴BD⊥平面ACEF.∴CF⊥BD.又BD∩EG＝G，∴CF⊥平面BDE.(1)AO 与A ′C ′所成角的度数； (2)AO 与平面ABCD 所成角的正切值； (3)平面AOB 与平面AOC 所成角的度数． 解：(1)∵A ′C ′∥AC ，∴AO 与A ′C ′所成的角就是∠OAC . ∵OC ⊥OB ，AB ⊥平面BC ′，∴OC ⊥AB .又AB ∩BO ＝B ，∴OC ⊥平面ABO . 又OA ⊂平面ABO ，∴OC ⊥OA . 在Rt △AOC 中，OC ＝22，AC ＝2， sin ∠OAC ＝OC AC ＝12，∴∠OAC ＝30°. 即AO 与A ′C ′所成角的度数为30°. (2)如图所示，作OE ⊥BC 于E ，连接AE . ∵平面BC ′⊥平面ABCD ，∴OE ⊥平面ABCD ，∠OAE 为OA 与平面ABCD 所成的角． 在Rt △OAE 中，OE ＝12，AE ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝52， ∴tan ∠OAE ＝OE AE ＝55.(3)∵OC ⊥OA ，OC ⊥OB ，OA ∩OB ＝O ， ∴OC ⊥平面AOB .又∵OC ⊂平面AOC ，∴平面AOB ⊥平面AOC . 即平面AOB 与平面AOC 所成角的度数为90°.M ，N 分别是边AD ，CD 上的点，且2AM ＝MD ，2CN ＝ND ，如图①，将△ABD 沿对角线BD 折叠，使得平面ABD ⊥平面BCD ，并连接AC ，MN (如图②)．(1)证明：MN ∥平面ABC ； (2)证明：AD ⊥BC ；(3)若BC ＝1，求三棱锥A BCD 的体积． 解：(1)证明：在△ACD 中， ∵2AM ＝MD,2CN ＝ND ， ∴MN ∥AC ，又∵MN ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， ∴MN ∥平面ABC .(2)证明：在△ABD 中，AB ＝AD ，∠A ＝90°， ∴∠ABD ＝45°.∵在平面四边形ABCD 中，∠B ＝135°， ∴BC ⊥BD .又∵平面ABD ⊥平面BCD ，且BC ⊂平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ， ∴BC ⊥平面ABD ，又AD ⊂平面ABD ， ∴AD ⊥BC . (3)在△BCD 中，∵BC ＝1，∠CBD ＝90°，∠BCD ＝60°， ∴BD ＝ 3.在△ABD 中，∵∠A ＝90°，AB ＝AD ， ∴AB ＝AD ＝62， ∴S △ABD ＝12AB ·AD ＝34，由(2)知BC ⊥平面ABD ， ∴V A BCD ＝V C ABD ＝13×34×1＝14.(B卷能力素养提升)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(共10小题，每小题6分，共60分)1．空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝60°，则β为( )A．60°B．120°C．30°D．60°或120°解析：选D 由等角定理可知β＝60°或120°.2．已知空间中有三条线段AB，BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是( ) A．AB∥CDB．AB与CD异面C．AB与CD相交D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交解析：选D 若三条线段共面，如果AB，BC，CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB 与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线．3.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，①DA1与BC1平行；②DD1与BC1垂直；③BC1与AC所成角为60°.以上三个结论中，正确结论的序号是( )A．①B．②C．③D．②③解析：选C ①错，应为DA1⊥BC1；②错，两直线所成角为45°；③正确，将BC1平移至AD1，由于三角形AD1C为等边三角形，故两异面直线所成角为60°，即正确命题序号为③，故选C.4．已知l是直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中的真命题( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l∥α，则l⊥βC．若l∥α，α∥β，则l∥βD．若l⊥α，l∥β，则α⊥β解析：选D 对于A，若l∥α，l∥β，则α∥β或α与β相交，所以A错；对于B，若α⊥β，l∥α，则l∥β或l⊥β或l⊂β或l与β相交，所以B错；对于C，若l∥α，α∥β，则l∥β或l⊂β，所以C错；对于D，若l⊥α，l∥β，则α⊥β，由面面垂直的判定可知选项D正确．5．如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为( )A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BD解析：选C ∵MN∥PQ，由线面平行的性质定理可得MN∥AC，从而AC∥截面PQMN，B正确；同理可得MQ∥BD，故AC⊥BD，A正确；又∠PMQ＝45°，故D正确．6．α，β，γ是三个平面，a、b是两条直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是( )A．①或②B．②或③C．①或③D．只有②解析：选C 若填入①，则由a∥γ，b⊂β，b⊂γ，b＝β∩γ，又a⊂β，则a∥b；若填入③，则由a⊂γ，a＝α∩β，则a是三个平面α、β、γ的交线，又b∥β，b⊂γ，则b∥a；若填入②，不能推出a∥b，可以举出反例，例如使β∥γ，b⊂γ，画一草图可知，此时能有a∥γ，b∥β，但不一定a∥b，有可能异面．从而A、B、D都不正确，只有C正确．7．平面α∩平面β＝a，平面β∩平面γ＝b，平面γ∩平面α＝c，若a∥b，则c与a，b的位置关系是( )A．c与a，b都异面B．c与a，b都相交C．c至少与a，b中的一条相交D．c与a，b都平行解析：选D 如图，以三棱柱为模型．∵a∥b，a⊄γ，b⊂γ，∴a∥γ.又∵a⊂β，β∩γ＝c，∴a∥c.∴a∥b∥c.8．如下图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是( )A．平行B．相交且垂直C．异面D．相交成60°解析：选D 还原几何体，如图．可知D点与B点重合，△ABC是正三角形，所以选D.成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选A 如图，二面角αl β为45°，AB ⊂β，且与棱l 成45°角，过A 作AO ⊥α于O ，作AH ⊥l 于H .连接OH 、OB ，则∠AHO 为二面角αl β的平面角，∠ABO 为AB 与平面α所成角．不妨设AH ＝2，在Rt △AOH 中，易得AO ＝1；在Rt △ABH 中，易得AB ＝2.故在Rt △ABO 中，sin ∠ABO ＝AO AB ＝12， ∴∠ABO ＝30°，为所求线面角．10．如图(1)所示，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，G 是EF 的中点，现在沿AE 、AF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使B 、C 、D 三点重合，重合后的点记为H ，如图(2)所示，那么，在四面体A EFH 中必有( )A ．AH ⊥△EFH 所在平面B ．AG ⊥△EFH 所在平面C ．HF ⊥△AEF 所在平面D ．HG ⊥△EFH 所在平面解析：选A 折成的四面体中有AH ⊥EH ，AH ⊥FH ，∴AH ⊥平面HEF .故选A. 二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)11．如图，直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面是边长为1的正方形，侧棱长AA 1＝2，则异面直线A 1B 1与BD 1的夹角大小等于________．解析：∵A 1B 1∥AB ，∴AB 与BD 1所成的角即是A 1B 1与BD 1所成的角．连接AD 1， 可知AB ⊥AD 1，在Rt △BAD 1中，AB ＝1，AD 1＝3，∴tan ∠ABD 1＝AD1AB＝3， ∴∠ABD 1＝60°，故A 1B 1与BD 1的夹角为60°. 答案：60°12．如图，在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，已知AB ＝1，D 在棱BB 1上，且BD ＝1，则AD 与平面AA 1C 1C 所成角的正弦值为________．解析：取AC ，A 1C 1的中点E ，E 1，连接BE ，B 1E 1，EE 1，由题意知平面BEE 1B 1⊥平面AC 1，过D 作DF ⊥EE 1于F ，连接AF ，则DF ⊥平面AC 1.∴∠DAF 即为AD 与平面AC 1所成的角．可求得AD ＝2，DF ＝32，∴sin ∠DAF ＝DF AD ＝64. 答案：6413．设a ，b ，c 是空间中的三条直线，下面给出五个命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ；③若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 相交；④若a ⊂平面α，b ⊂平面β，则a ，b 一定是异面直线； ⑤若a ，b 与c 成等角，则a ∥b .上述命题中正确的命题是________(只填序号)． 解析：由公理4知①正确；当a ⊥b ，b ⊥c 时，a 与c 可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；当a 与b 相交，b 与c 相交时，a 与c 可以相交、平行，也可以异面，故③不正确；a ⊂α，b ⊂β，并不能说明a 与b “不同在任何一个平面内”，故④不正确；当a ，b 与c 成等角时，a 与b 可以相交、平行，也可以异面，故⑤不正确． 答案：①14．给出下列命题：①若平面α上的直线a 与平面β上的直线b 为异面直线，直线c 是α与β的交线，那么c 至多与a ，b 中一条相交；②若直线a 与b 异面，直线b 与c 异面，则直线a 与c 异面； ③一定存在平面α同时和异面直线a ，b 都平行． 其中正确的命题为________．(写出所有正确命题的序号)解析：①中，异面直线a ，b 可以都与c 相交，故不正确；②中，直线异面不具有传递性，故不正确；③中，过直线b 上一点P 作a ′∥a ，则a ′、b 确定一平面，则与该平面平行的任一平面(平面内不包含直线a 、b )都与异面直线a 、b 平行，故正确．答案：③三、解答题(共6小题，共70分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算过程) 15.(本小题满分10分)如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为CC 1，AA 1的中点，画出平面BED 1F 与平面ABCD 的交线．解：在平面AA 1D 1D 内，延长D 1F ，∵D 1F 与DA 不平行，∴D 1F 与DA 必相交于一点，设为P ，则P ∈D 1F ，P ∈DA .又∵D 1F ⊂平面BED 1F ，AD ⊂平面ABCD ，∴P ∈平面BED 1F ，P ∈平面ABCD .又B 为平面ABCD 与平面BED 1F 的公共点，连接PB ，∴PB 即为平面BED 1F 与平面ABCD 的交线．如图所示．16．(本小题满分12分)在右图的几何体中，面ABC ∥面DEFG, ∠BAC ＝∠EDG＝120°，四边形ABED 是矩形，四边形ADGC 是直角梯形，∠ADG ＝90°，四边形DEFG是梯形， EF ∥DG ，AB ＝AC ＝AD ＝EF ＝1，DG ＝2.(1)求证：FG ⊥面ADF ； (2)求四面体 CDFG 的体积．解：(1)连接DF 、AF ，作DG 的中点H ， 连接FH ，EH ，∵EF ∥DH ，EF ＝DH ＝ED ＝1， ∴四边形DEFH 是菱形，∴EH ⊥DF ， 又∵EF ∥HG, EF ＝HG ， ∴四边形EFGH 是平行四边形， ∴FG ∥EH ，∴FG ⊥DF ，由已知条件可知AD ⊥DG ，AD ⊥ED ， 所以AD ⊥面EDGF ，所以AD ⊥FG .又∵⎩⎪⎨⎪⎧FG⊥AD，FG⊥DF，AD ⊂面ADF ，DF ⊂面ADF ，AD∩DF＝D ，∴FG ⊥面ADF .(2)因为DH ∥AC 且DH ＝AC ， 所以四边形ADHC 为平行四边形， 所以CH ∥AD ，CH ＝AD ＝1，由(1)知AD ⊥面EDGF ， 所以CH ⊥面DEFG .由已知，可知在三角形DEF 中，ED ＝EF ＝1，∠DEF ＝60°，所以，△DEF 为正三角形，DF ＝1，∠FDG ＝60°， S △DEG ＝12·DF ·DG ·sin∠FDG ＝32. 四面体CDFG ＝13·S △DFG ·CH＝13×32×1＝36. 17．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥AB ，△ABC 是正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC 的中点，N 为线段PB 的中点，G在线段BM 上，且BGGM＝2.(1)求证：AB ⊥PD ； (2)求证：GN ∥平面PCD . 证明：(1)因为PA ⊥平面ABCD ， 所以PA ⊥AB .又因为AD ⊥AB ，AD ∩PA ＝A ，所以AB ⊥平面PAD .又PD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥PD .(2)因为△ABC 是正三角形，且M 是AC 的中点，所以BM ⊥AC . 在直角三角形AMD 中，∠MAD ＝30°， 所以MD ＝12AD .在直角三角形ABD 中，∠ABD ＝30°， 所以AD ＝12BD ，所以MD ＝14BD .又因为BGGM＝2，所以BG ＝GD .又N 为线段PB 的中点，所以GN ∥PD . 又GN ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ， 所以GN ∥平面PCD .18．(本小题满分12分)(浙江高考)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．(1)证明：A1D⊥平面A1BC；(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．解：(1)证明：设E为BC的中点，连接AE，A1E，DE，由题意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE.因为AB＝AC，所以AE⊥BC.又因为A1E，BC⊂平面A1BC，A1E∩BC＝E，故AE⊥平面A1BC.由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DE∥B1B且DE＝B1B，从而DE∥A1A且DE＝A1A，所以四边形AA1DE为平行四边形．于是A1D∥AE.又因为AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC.(2)作A1F⊥DE，垂足为F，连接BF.因为A1E⊥平面ABC，所以BC⊥A1E.因为BC⊥AE，AE∩A1E＝E，所以BC⊥平面AA1DE.所以BC⊥A1F.又因为DE∩BC＝E，所以A1F⊥平面BB1C1C.所以∠A1BF为直线A1B和平面BB1C1C所成的角．由AB＝AC＝2，∠CAB＝90°，得EA＝EB＝ 2.由A1E⊥平面ABC，得A1A＝A1B＝4，A1E＝14.由DE＝BB1＝4，DA1＝EA＝2，∠DA1E＝90°，得A1F＝72.所以sin∠A1BF＝78.19．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥EABC的体积．解：(1)证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC，BB1∩BC＝B，所以AB⊥平面B1BCC1.又AB⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)证明：取AB中点G，连接EG，FG.因为E，F，G分别是A1C1，BC，AB的中点，所以FG∥AC，且FG＝12AC，EC1＝12A1C1.因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，所以FG∥EC1，且FG＝EC1，所以四边形FGEC1为平行四边形，所以C1F∥EG.又因为EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，所以C1F∥平面ABE.(3)因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，所以AB＝AC2－BC2＝ 3.所以三棱锥EABC的体积V＝13S△ABC·AA1＝13×12×3×1×2＝33.20.(本小题满分12分)如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为DD1、DB的中点．(1)求证：EF∥平面ABC1D1；(2)求三棱锥VB1EFC的体积；(3)求二面角ECFB1的大小．解：(1)证明：连接BD1，在△DD1B中，E、F分别为D1D，DB的中点，则EF为中位线，∴EF∥D1B，而D1B⊂面ABC1D1，EF⊄面ABC1D1，∴EF∥面ABC1D1.(2)等腰直角三角形BCD中，F为BD中点，∴CF⊥BD.①∵ABCDA1B1C1D1是正方体，∴DD1⊥面ABCD，又CF⊂面ABCD，∴DD1⊥CF.②综合①②，且DD1∩BD＝D，DD1，BD⊂面BDD1B1，∴CF ⊥平面EFB 1即CF 为高，CF ＝BF ＝ 2. ∵EF ＝12BD 1＝3，B 1F ＝BF2＋BB21＝2＋22＝6， B 1E ＝B1D21＋D1E2＝12＋2＝3，∴EF 2＋B 1F 2＝B 1E 2，即∠EFB 1＝90°， ∴S △B 1EF ＝12EF ·B 1F ＝322，∴VB 1EFC ＝VC B 1EF ＝13·S △B 1EF ·CF＝13×322×2＝1. (3)∵CF ⊥平面BDD 1B 1，∴二面角E CF B 1的平面角为∠EFB 1. 由(2)知∠EFB 1＝90°∴二面角E CF B 1的大小为90°.。
2019-2020学年北师大版高中数学必修二教师用书：2-1-1直线的倾斜角和斜率 Word版含答
姓名，年级：时间：§1直线与直线的方程1．1 直线的倾斜角和斜率1．直线的确定在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件是:已知直线上的一个点和这条直线的方向．2．直线的倾斜角(1）定义：在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线l，把x 轴（正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角，与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°。
（2)倾斜角的范围是[0°,180°)．3．直线的斜率（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率，即k＝tanα。
(2)斜率与倾斜角的变化规律当倾斜角0°≤α〈90°时，斜率是非负的，倾斜角越大，直线的斜率就越大；当倾斜角90°〈α<180°时，斜率是负的,倾斜角越大,直线的斜率就越大．（3)斜率公式：经过两点P1(x1，y1),P2（x2，y2)的直线的斜率公式是k ＝错误!（x1≠x2)．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”）(1）任一直线都有倾斜角,都存在斜率．（)(2）倾斜角为135°的直线的斜率为1.( )(3）若一条直线的倾斜角为α,则它的斜率为k＝tanα.( ）(4)直线斜率的取值范围是（－∞，＋∞）．（）（5)对于不与x轴垂直的直线,直线的倾斜角越大，斜率就越大．( )[答案] （1)×(2）×(3)×(4）√ （5）×题型一直线的倾斜角【典例1】设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°,得直线l1，则直线l1的倾斜角为（) A．α＋40°B．α－140°C．140°－αD．当0°≤α〈140°时为α＋40°,当140°≤α〈180°时为α－140°［思路导引］（1）注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答．（2）求直线的倾斜角主要根据定义来求,其关键是根据题意画出图形,找准倾斜角,有时要根据情况分类讨论．[解析] 根据题意，画出图形，如图所示:因为0°≤α<180°,显然A,B，C未分类讨论,均不全面，不合题意．通过画图（如图所示)可知：当0°≤α〈140°时，l1的倾斜角为α＋40°；当140°≤α〈180°时，l1的倾斜角为40°＋α－180°＝α－140°.故选D。
高中数学必修二 北京市丰台区 — 学年度 高一下学期期末练习数学试题(含答案)
【答案】
【解析】
【分析】
先求解出分层抽样的抽样比，然后根据每一层入样的个体数等于该层个体数乘以抽样比，由此可计算出结果 .
【详解】因为分层抽样的抽样比为 ，
9.如图所示，在复平面内，复数 ， 所对应的点分别为A，B，则 （）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据 并结合复数的几何意义得到 的表示.
【详解】因为 ， 与 对应， 与 对应，
所以 ，
故选：C.
【点睛】本题考查复数的几何意义的简单运用，难度较易.复数 和复平面内的点 一一对应，同时复数 和平面向量 也一一对应.
丰台区2019~2020学年度第二学期期末练习
高一数学
注意事项：
1．答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码．
2．本次考试所有答题均在答题卡上完成．选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项．非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据球与正方体位置关系，分析出球 半径，由此球的体积可求.
【详解】因为球内切于正方体，所以球的半径等于正方体棱长的 ，
所以球的半径为 ，所以球的体积为 ，
故选：D.
【点睛】本题考查根据正方体与球的相切关系求球的体积，难度较易.当球内切于正方体时，球的半径为正方体棱长的 ；当球外接于正方体时，球的半径为正方体棱长的 .
2019-2020学年北师大版高中数学必修二教师用书：1-1-2 简单多面体 Word版含答案
姓名，年级：时间：1．2 简单多面体1．多面体我们把若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体．其中棱柱、棱锥、棱台都是简单多面体．2．棱柱(1）棱柱的有关概念两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫作棱柱．两个互相平行的面叫作棱柱的底面，其余各面叫作棱柱的侧面,棱柱的侧面是平行四边形．两个面的公共边叫作棱柱的棱，其中两个侧面的公共边叫作棱柱的侧棱，底面多边形与侧面的公共顶点叫作棱柱的顶点．（2)棱柱的分类①按底面多边形的边数：棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……我们把这样的棱柱分别叫作三棱柱、四棱柱、五棱柱…….②按侧棱与底面是否垂直：3．棱锥（1）定义有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫作棱锥．如右图棱锥记作:三棱锥S—ABC。
（2)正棱锥如果棱锥的底面是正多边形，且各侧面全等,就称作正棱锥．(3)分类按底面多边形的边数分：底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫作三棱锥、四棱锥、五棱锥……。
4．棱台（1)定义用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫作棱台．如右图棱台记作：三棱台ABC—A1B1C1。
（2）正棱台用正棱锥截得的棱台叫作正棱台．(3)分类按底面多边形的边数分：底面是三角形、四边形、五边形……的棱台分别叫作三棱台、四棱台、五棱台……。
1．给出下列图片:观察这些图片中的物体,你能得到什么样的空间几何体？请与下面轮廓图对应，并将它们进行分类．［答案] 图片中展示的几何体有：柱体、锥体、台体、球体四类.可作两种不同的分类：错误!2．正棱锥的侧面是什么样的三角形？正棱台的侧面呢？［答案］正棱锥的侧面是全等的等腰三角形；正棱台的侧面是全等的等腰梯形．3．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”）(1）棱柱的侧面都是平行四边形．（）（2）棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点．（)(3）棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形．( )（4)棱台的侧棱所在直线均相交于同一点．( )（5)多面体至少有四个面．( ）（6）三棱锥也叫作四面体．（）［答案］（1）√(2)√（3）×(4)√(5)√（6）√题型一棱柱的几何特征【典例1】如图所示的直八棱柱，它的底面边长都是5厘米，侧棱长都是6厘米,回答下列问题：(1)这个八棱柱一共有多少面？它们的形状分别是什么图形？哪些面的形状、面积完全相同?（2)这个八棱柱一共有多少条棱？它们的长度分别是多少？（3）沿一条侧棱将其侧面全部展开成一个平面图形，这个图形是什么形状？面积是多少？[思路导引］棱柱的表面分为底面与侧面，底面可以是任意的平面多边形，而侧面只可以是平行四边形；棱柱的棱分为底棱和侧棱,侧棱相互平行，相对底棱相互平行．[解］(1)这个八棱柱一共有10个面，其中上、下两个底面，8个侧面；上、下底面是八边形，侧面都是长方形；上、下底面的形状、面积完全相同，8个侧面的形状、面积完全相同．（2）这个八棱柱一共有24条棱，其中侧棱的长度都是6厘米，其他棱长是5厘米．（3)将其侧面沿一条棱展开，展开图是一个长方形，长为5×8＝40(厘米）,宽为6厘米，所以面积是40×6＝240（平方厘米）．［针对训练1] 下列对棱柱的叙述中正确的是（)A．由面围成的几何体叫做棱柱B．至少有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱C．每相邻两个四边形的公共边互相平行的几何体叫做棱柱D．有两个面互相平行，其余各面都是四边形且相邻的两个四边形的公共边互相平行的几何体叫棱柱[解析］由棱柱的定义可知，D正确．［答案］D题型二棱锥、棱台的几何特征【典例2】(1）判断如图所示的物体是不是棱锥，为什么？(2)如图所示的多面体是不是棱台？[思路导引] 根据棱锥与棱台的几何特征判定．［解] （1）该物体不是棱锥．因为棱锥的定义中要求：各侧面有一个公共顶点，但侧面ABC与侧面CDE没有公共顶点,所以该物体不是棱锥．（2)根据棱台的定义，可以得到判断一个多面体是否是棱台的标准有两个：一是共点,二是平行．即各侧棱延长线要交于一点，上、下两个底面要平行，二者缺一不可．据此，图（1）中多面体侧棱延长线不相交于同一点,故不是棱台；图（2)中多面体不是由棱锥截得的，不是棱台;图（3）中多面体虽是由棱锥截得的，但截面与底面不平行,因此也不是棱台．棱锥、棱台结构特征问题的判断方法(1)举反例法结合棱锥、棱台的定义举反例直接说明关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2）直接法[针对训练2］有下列三个命题:①用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．其中正确的有( ）A．0个B．1个C．2个D．3个[解析] ①中的平面不一定平行于底面,故①错；②③可用反例去检验,如图所示，侧棱延长线不能相交于一点,故②③错．故选A.[答案］A题型三多面体的识别和判断【典例3】如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1。
(必修二)(人教A版 2019)-高一数学下学期期末考试考前必刷题 (人教A版 2019必修二)
2020-2021高一下学期期末考试考前预测卷02试卷满分：150分 考试时长：120分钟注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.2.答卷前务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰.超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1．在复平面内，已知复数11z i =-，则其共轭复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D【分析】 根据复数运算和共轭复数定义求得z ，由此可得对应点坐标，从而确定结果.【详解】 ()()111111122i z i i i i +===+--+，1122z i ∴=-， z ∴对应的点为11,22⎛⎫-⎪⎝⎭，位于第四象限. 故选：D. 2．在一个袋子中放2个白球，2个红球，摇匀后随机摸出2个球，与“摸出1个白球1个红球”互斥而不对立的事件是（ ）A ．至少摸出1个白球B ．至少摸出1个红球C ．摸出2个白球D ．摸出2个白球或摸出2个红球【答案】C【分析】根据互斥事件，对立事件的概念判断可得选项．【详解】对于A ，至少摸出1个白球与摸出1个白球1个红球不是互斥事件；对于B ，至少摸出1个红球与摸出1个白球1个红球不是互斥事件；对于C ，摸出2个白球与摸出1个白球1个红球是互斥而不对立事件；对于D ，摸出2个白球或摸出2个红球与摸出个白球1个红球是互斥也是对立事件. 故选：C ．3．某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的分数登错了，甲实得80分，却记了50分，乙得70分却记了100分，更正后平均分和方差分别是（ ）A ．70，75B ．70，50C ．75，1.04D ．65，2.35【答案】B【分析】由数据可知平均分不变，结合方差公式，写出更正前和更正后的方差表达式，即可求出更正后的方差.【详解】因甲少记了30分，乙多记了30分，故平均分不变，设更正后的方差为s 2，由题意得， s 2＝148[(x 1－70)2＋(x 2－70)2＋…＋(80－70)2＋(70－70)2＋…＋(x 48－70)2]，而更正前有： 75＝148[(x 1－70)2＋(x 2－70)2＋…＋(50－70)2＋(100－70)2＋…＋(x 48－70)2]， 化简整理得s 2＝50.故选:B.4．已知空间三条直线a ，b ，c ．若a b a c ⊥⊥，，则（ ）A ．b 与c 平行B ．b 与c 异面C ．b 与c 相交D ．b 与c 平行、异面、相交都有可能【答案】D【分析】利用正方体模型进行分析判断【详解】解：如图在正方体1111ABCD A B C D -中，1,AB AD AB AA ⊥⊥，此时AD 与1AA 相交； 当,AB AD AB BC ⊥⊥时， AD ∥BC ；当1,AB AD AB CC ⊥⊥时，AD 与1CC 异面， 所以由a b a c ⊥⊥，，可得b 与c 平行、异面、相交都有可能，故选：D5．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()222tan a c bB ac +-=，则角B 的大小为（ ）A ．6πB ．3πC ．6π或56πD ．3π或23π 【答案】C【分析】将()222tan a c b B ac +-=，变形为222cos 2s 2in =ac a c b B B +-求解. 【详解】因为()222tan a c b B ac +-=， 所以222co =s cos sin 22a c b B a B Bc +-=， 即()cos 2sin 10B B -=，因为cos 0B ≠， 所以1sin 2B =， 因为()0,B π∈， 所以6B π=或56π， 故选：C6．若P 是等边三角形ABC 所在平面外一点，且PA PB PC ==，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，则下列结论中不正确的是（ ）A ．//BC 平面PDFB ．DF ⊥平面PAEC ．平面PAE ⊥平面ABCD ．平面PDF ⊥平面ABC【答案】D【分析】 由//DF BC 判断A ，由,AE PE 与BC 垂直，证明线面垂直，再结合平行线判断B ，根据面面垂直的判定定理判断C ，根据正棱锥的性质判断D ．【详解】 P 是等边三角形ABC 所在平面外一点，且PA PB PC ==，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，//DF BC ∴，DF ⊂平面PDF ，BC ⊂/平面PDF ，//BC ∴平面PDF ，故A 正确； PA PB PC ==，E 是BC 中点，PE BC ∴⊥，AE BC ⊥，PE AE E =，,PE AE ⊂平面PAE ，BC ∴⊥平面PAE ，//DF BC ，DF ⊥∴平面PAE ，故B 正确；BC ⊥平面PAE ，BC ⊂平面ABC ，∴平面PAE ⊥平面ABC ，故C 正确；设AEDF O =，连结PO ，O 不是等边三角形ABC 的重心，PO ∴与平面ABC 不垂直， ∴平面PDF 与平面ABC 不垂直，故D 错误．故选：D ．7．已知向量,a b 满足5a =，6b =，6a b ⋅=-，则cos ,a a b <+>=（ ） A ．3135- B ．1935- C ．1735 D ．1935【答案】D【分析】 利用数量积的运算律可求得a b +，根据向量夹角公式可求得结果.【详解】 ()222225127a b a b a a b b +=+=+⋅+=-+=， ()225619cos ,5735a ab a a b a a b a a b a a b ⋅++⋅-∴<+>====⨯⋅+⋅+.故选：D.【点睛】 结论点睛：（1）求夹角的大小：若,a b 为非零向量，则由平面向量的数量积公式得cos a ba b θ⋅=⋅(夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题；（2）确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角． 8．如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B CD -中，E ，F ，G 分别为棱 AB ，BC ，1CC 的中点，M 为棱AD 的中点，设P ，Q 为底面ABCD 内的两个动点，满足1//D P 平面EFG ，1DQ =，则PM PQ +的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．1D ．2【答案】C【分析】把截面EFG 画完整，可得P 在AC 上，由1DQ =知Q 在以D 为圆心1为半径的四分之一圆上，利用对称性可得PM PQ +的最小值．【详解】如图，分别取11111,,C D D A A A 的中点,,H I J ，连接,,,GH HI IJ JE ，易证,,,,,E F G H I J 共面，即平面EFG 为截面EFGHIJ ，连接11,,AD D C AC ，由中位线定理可得//AC EF ，AC ⊄平面EFG ，EF ⊂平面EFG ，则//AC 平面EFG ，同理可得1//AD 平面EFG ，由1AC AD A =可得平面1AD C //平面EFG ，又1//D P 平面EFG ，P 在平面ABCD 上，∥P AC ∈．正方体中1DD ⊥平面ABCD ，从而有1DD DQ ⊥，∥1DQ ==，∥Q 在以D 为圆心1为半径的四分之一圆（圆在正方形ABCD 内的部分）上，显然M 关于直线AC 的对称点为E ，11PM PQ PE PQ PE PD DQ ED DQ +=+≥+-≥-==，当且仅当,,,E P Q D共线时取等号，∥所求最小值为1．故选：C ．【点睛】本题考查空间距离的最小值问题，解题时作出正方体的完整截面求出P 点轨迹是第一个难点，第二个难点是求出Q 点轨迹，第三个难点是利用对称性及圆的性质求得最小值．二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9．（多选）已知复数z a =+（a ∈R ）在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2则下列结论正确的是（ ）A ．z 3＝8B ．zC ．z 的共轭复数为1+D ．z 2＝4 【答案】AB【分析】由已知求解a ，进一步求出z 2与z 3的值，然后逐一核对四个选项得答案．【详解】解：∥复数z a =+在复平面内对应的点位于第二象限，∥a ＜0，又|z |2，得a ＝﹣1（a ＜0），∥1z =-+，则()2212z =-+=--，()()322118z z z =⋅=-+-=．∥A 正确，B 正确，故选：AB ．10．下列说法正确的是（ ）A ．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率B ．连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，可以认为这枚骰子质地不均匀C ．某种福利彩票的中奖概率为11000，那么买1000张这种彩票一定能中奖 D ．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为不降水【答案】AB【分析】根据频率和概率之间的关系、概率的定义可得正确的选项.【详解】对于A ，试验次数越多，频率就会稳定在概率的附近，故A 正确对于B ，如果骰子均匀，则各点数应该均匀出现，所以根据结果都是出现1点可以认定这枚骰子质地不均匀，故B 正确．对于C ，中奖概率为11000是指买一次彩票，可能中奖的概率为11000，不是指1000张这种彩票一定能中奖，故C 错误．对于D ，“明天本市降水概率为70%”指下雨的可能性为0.7，故D 错．故选：AB ．【点睛】本题考查频率与概率的关系、概率的定义，注意两者之间的关系是概率是频率的稳定值，本题属于基础题．11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点O 为11A D 的中点，若以O 为半径的球面与正方体1111ABCD A B C D -的棱有四个交点E ，F ，G ，H ，则下列结论正确的是（ ）A ．11//A D 平面EFGHB ．1AC ⊥平面EFGHC ．11A B 与平面EFGH 所成的角的大小为45°D ．平面EFGH 将正方体1111ABCD A B C D -分成两部分的体积的比为1:7【答案】ACD【分析】如图，计算可得,,,E F G H 分别为所在棱的中点，利用空间中点线面的位置关系的判断方法可判断A 、B 的正确与否，计算出直线AB 与平面EFGH 所成的角为45︒后可得C 正确，而几何体BHE CGF -为三棱柱，利用公式可求其体积，从而可判断D 正确与否.【详解】如图，连接OA ，则OA ==，故棱1111,,,A A A D D D AD 与球面没有交点. 同理，棱111111,,A B B C C D 与球面没有交点.因为棱11A D 与棱BC 之间的距离为>BC 与球面没有交点.因为正方体的棱长为2，而2<球面与正方体1111ABCD A B C D -的棱有四个交点E ，F ，G ，H ，所以棱11,,,AB CD C C B B 与球面各有一个交点， 如图各记为,,,E F G H .因为OAE △为直角三角形，故1AE ==，故E 为棱AB 的中点. 同理,,F G H 分别为棱11,,CD C C B B 的中点.由正方形ABCD 、,E F 为所在棱的中点可得//EF BC ，同理//GH BC ，故//EF GH ，故,,,E F G H 共面.由正方体1111ABCD A B C D -可得11//A D BC ，故11//A D EF因为11A D ⊄平面EFGH ，EF ⊂平面EFGH ，故11//A D 平面EFGH ，故A 正确.因为在直角三角1BA C 中，1A B =2BC = ，190A BC ∠=︒， 1A C 与BC 不垂直，故1A C 与GH 不垂直，故1A C ⊥平面EFGH 不成立，故B 错误. 由正方体1111ABCD A B C D -可得BC ⊥平面11AA B B ，而1A B ⊂平面11AA B B ， 所以1BC A B ⊥，所以1EF A B ⊥在正方形11AA B B 中，因为,E H 分别为1,AB BB 的中点，故1EH A B ⊥，因为EF EH E =，故1A B ⊥平面EFGH ，所以BEH ∠为直线AB 与平面EFGH 所成的角，而45BEH ∠=︒，故直线AB 与平面EFGH 所成的角为45︒，因为11//AB A B ，故11A B 与平面EFGH 所成的角的大小为45°.故C 正确.因为,,,E F G H 分别为所在棱的中点，故几何体BHE CGF -为三棱柱， 其体积为111212⨯⨯⨯=，而正方体的体积为8， 故平面EFGH 将正方体1111ABCD A B C D -分成两部分的体积的比为1:7，故D 正确. 故选：ACD.【点睛】本题考查空间中线面位置的判断、空间角的计算和体积的计算，注意根据球的半径确定哪些棱与球面有交点，本题属于中档题.12．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ABC ，的面积为S ，若22a S =，则（ ） A ．sin sin 2(cos cos )b Cc B b C c B +=+ B ．2a bc的最大值为1 C ．c b b c+的最大值为5 D ．2222tan 2b c a A a+-= 【答案】ABC【分析】 由面积公式可得2sin bc A a =，再由正弦定理化简即可判断A ；由2sin a A bc =根据sin 1A ≤可判断B ；利用余弦定理可得22sin 2cos b c bc A bc A +=+，进而得出sin 2cos c b A A b c+=+可判断C ；由已知结合余弦定理即可判断D.【详解】 211sin 22S bc A a ==，即2sin bc A a =， 由正弦定理可得2sin sin sin sin B C A A =，sin 0A ≠，()sin sin sin sin sin cos cos sin B C A B C B C B C ∴==+=+，即()sin sin sin sin 2sin cos cos sin B C B C B C B C +=+， 由正弦定理可得sin sin 2(cos cos )b C c B b C c B +=+，故A 正确；2sin bc A a =，2sin a A bc=，()0,A π∈,则当2A π=时，2a bc取得最大值为1，故B 正确；由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，22sin 2cos b c bc A bc A ∴+=+，()22sin 2csin 2c o o s s bc A bc Ac b c b A A A b c bc bcϕ+∴+==+=+=+，其中tan 2ϕ=，则可得c bb c+C 正确；由2sin bc A a =，2222cos a b c bc A =+-联立可得22222tan a A b c a=+-，故D 错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点睛：本题考查正余弦定理的运用，解题的关键是利用面积公式和正弦定理将已知化简得出2sin bc A a =.三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．已知向量||3,||2,|2|213a b a b ==+=，则,a b 的夹角为_________． 【答案】3π 【分析】设a ，b 的夹角为θ，则22244213a b a b a b +=++⋅=，利用数量积的定义，将已知代入即可得到答案. 【详解】设a ，b 的夹角为θ，则22244213a b a b a b +=++⋅=，又3a =，2b ==所以1cos 2θ=，又[0,]θπ∈，故3πθ=．故答案为：3π14．已知复数1z ，2z 满足221z z =，121z z =+，则对于任意的t ∈R ，12tz z +的最小值是________．【分析】先设出2z a bi =+，根据题意得到21z ==，()121z z =⋅，代入12tz z +化简得到21z t z =+12tz z +的最小值. 【详解】解：设2z a bi =+， 则2z a bi =-， 又()()22221z z a bi a bi a b =+⋅-=+=，21z ∴==，121z z =+， ()121z z ∴=⋅，12tz z ∴+()221t z z =+⋅+()211t z =++⋅()11t =+===t R ∈，∴当14t =-时，1min 2tz z ==+15．圆锥底面半径为1，母线长为4，轴截面为PAB ，如图，从A 点拉一绳子绕圆锥侧面一周回到A 点，则最短绳长为_________．【答案】【分析】把圆锥侧面展开为一个平面图形，利用平面上两点间线段最短可得． 【详解】由题意1,4r l ==，所以圆锥侧面展开图中心角为2142ππθ⨯==，如图，2APA π'∠=，则4AA '==故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查圆锥侧面上的最短距离问题，空间几何体表面上两点间的最短距离问题的解决方法常常是把几何体的表面展开摊平为一个平面图形，利用平面上两点间线段最短求解．16．南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式S =a 、b 、c 、S 为三角形的三边和面积）表示.在ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，若3a =，且22cos cos 3c b C c B -=，则ABC 面积的最大值为___________.【分析】由条件22cos cos 3c b C c B -=结合余弦定理可得出223b c =，然后利用二次函数的基本性质结合公式S =ABC 面积的最大值. 【详解】22cos cos 3c b C c B -=，则22222222223cos 3cos cos cos 22a b c a c b c b C c B ab C ac B ab ac b c ab ac+-+-=-=-=⋅-⋅=-，可得223b c =，所以，S ===12==. 当且仅当3c =时，等号成立.因此，ABC .【点睛】方法点睛：求三角形面积的最值一种常见的类型，主要方法有两类：（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式或二次函数的基本性质来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17．有一个数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是12，乙能解决的概率是13，2人试图独立地在半小时内解决它，求： （1）2人都未解决的概率； （2）问题得到解决的概率. 【答案】（1）13；（2）23【分析】（1）由两个独立事件同时发生的概率等于两个事件分别发生的概率乘积，即可求出2人都未解决的概率；（2）根据问题能得到解决的对立事件为两人都未解决问题，再根据对立事件概率和等于1，即可求解.【详解】解：（1）由题意知：甲、乙两人都未能解决的概率为：11111233⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）问题能得到解决，即至少有1人能解决问题， 其对立事件为两人都未解决问题，∴问题得到解决的概率为：12133-=. 18．已知复数(1)(21)()z m m i m R =-++∈ （1）若z 为纯虚数，求实数m 的值；（2）若z 在复平面内的对应点位于第二象限，求实数m 的取值范围及z 的最小值【答案】（1）1；（2）1,12m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，||min z = 【分析】（1）利用纯虚数的定义，实部为零，虚部不等于零即可得出． （2）利用复数模的计算公式、几何意义即可得出． 【详解】 解：（1）(1)(21)()z m m i m R =-++∈为纯虚数，10m ∴-=且210m +≠ 1m ∴=（2）z 在复平面内的对应点为(1,21))m m -+ 由题意：10210m m -<⎧⎨+>⎩，∴112m -<<．即实数m 的取值范围是1,12⎛⎫-⎪⎝⎭．而||z ===当11(,1)52m =-∈-时，||5min z =19．已知(1,0),(2,1)a b ==．（1）当k 为何值时，ka b -与2a b +共线？（2）若23,AB a b BC a mb =+=+且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．【答案】（1）12k =-；（2）32. 【分析】（1）由题意，求得(2,1)ka b k -=--，2(5,2)a b +=，根据ka b -与2a b +共线，列出方程，即可求解；（2）因为A ，B ，C 三点共线，得到AB BC λ=，列出方程组，即可求解. 【详解】（1）由(1,0),(2,1)a b ==，可得(1,0)(2,1)(2,1)ka b k k -=-=--，2(1,0)2(2,1)(5,2)a b +=+=，因为ka b -与2a b +共线，所以2(2)(1)50k ---⨯=， 即2450k -+=，解得12k =-. （2）因为A ，B ，C 三点共线，所以,AB BC R λλ=∈，即23()a b a mb λ+=+，所以23m λλ=⎧⎨=⎩，解得32m =.20．已知四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的菱形，且60ABC ∠=︒，2PA PC ==，PB PD =.（∈）若O 是AC 与BD 的交点，求证：PO ⊥平面ABCD ； （∈）若点M 是PD 的中点，求异面直线AD 与CM 所成角的余弦值.【答案】（∥）证明见解析；（∥. 【分析】（1）连接AC 与BD 交于点O ，可证得PO AC ⊥，PO BD ⊥,从而得证；（2）取PA 的中点N ，连接MN ，则//MN AD ，则NMC ∠就是所求的角（或其补角），根据边长，利用余弦定理求解即可. 【详解】（1）连接AC 与BD 交于点O ，连OP .PA PC =，PD PB =，且O 是AC 和BD 的中点，PO AC ∴⊥，PO BD ⊥,AC 和BD 为平面ABCD 内的两条相交直线， PO ∴⊥平面ABCD .（2）取PA 的中点N ，连接MN ，则//MN AD ，则NMC ∠就是所求的角（或其补角），根据题意得2,PA PC AC AB AD PO OD =======所以112MN AD ==，NC =PD =所以，MC =故222cos 2MN MC NC NMC MN MC +-∠==⋅21．已知ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，_________． （1）求角C 的大小；（2）若1,tan b c B -==，求ABC 的面积S ．在①cos c C R =（R 为ABC 外接圆的半径），②sin 2cos cos sin 2B C A Bb a-=，③2224S a b c =+-（S 为ABC 的面积），这三个条件中选一个，补充在横线上，并加以解答．【答案】（1）4C π；（2）4+【分析】（1）选①，利用正弦定理的边角互化以及二倍角正弦公式即可求解；选②，利用正弦定理的边角互化即可求解；选③，利用三角形的面积公式以及余弦定理即可求解.（2）根据同角三角函数的基本关系求出sin 3B =，再根据正弦定理可得34c b =，求出,b c ，利用三角形的面积公式求解即可.【详解】（1）选①，由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===， 则cos cos 2sin cos 12sin cc C R c C C C C=⇒=⇒=sin 21C ⇒=， 又02C π<<， 所以22C π=，解得4Cπ.选②，sin 2cos cos sin 2B C A Bb a-= 2sin cos cos cos sin 2sin sin B B C A BB A-⇒=sin cos cos sin cos A B A B C ⇒+= ()sin cos A B C ⇒+=sin cos C C ⇒= tan 1C ⇒=，因为0C π<<，所以4C π.选③，2224S a b c =+-14sin 2cos 2ab C ab C ⇒⨯=sin cos C C ⇒=tan 1C ⇒=，因为0C π<<，所以4C π.（2）tan B =sin cos BB⇒=， 又22sin cos 1B B +=，解得sin 3B =，1cos 3B =，由（1）4Cπ，由正弦定理sin sin b cB C=，=，整理可得34c b =，又1b c -=，解得4,3b c ==，14sin sin()sin cos cos sin 32326A B C B C B C =+=+=+⨯=114sin 124226ABCSbc A +==⨯⨯=+ 22．如图，棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是平行四边形，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，过AB 的截面与上底面交于PQ ，且点P 在棱11A D 上，点Q 在棱11C B 上，且1AB =，AC =2BC =.（1）求证：11//PQ A B ；（2）若二面角1A C D C --，求侧棱1BB 的长. 【答案】（1）证明见解析；（2）2．【分析】（1）由线面平行的性质定理可推出//AB PQ ，再由平行的传递性可证得11//PQ A B （2）先找出二面角1A C D C --的平面角CAP ∠，表示出tan CAP ∠，求出CP ，再设1CC x =，建立方程求出1CC ，进而求出1BB .【详解】（1）在棱柱1111ABCD A B C D -中，//AB 面1111D C B A ，AB面ABPQ ， 面1111A B C D 面ABPQ PQ =，由线面平行的性质定理有//AB PQ ，又11//AB A B ，故11//PQ A B ；（2）证明：在底面ABCD 中，1AB =，AC =2BC =.222AB AC BC +=， AB AC ∴⊥，AC CD ∴⊥又因为侧棱1AA ⊥底面ABCD ，则1CC ⊥底面ABCDAC ⊂面11ABB A ，1CC AC ∴⊥又1=CC CD C ，AC ∴⊥面11CDD C过点C 作1CS C D ⊥于S ，连接AS ，则CSA ∠是二面角1A C D C --的平面角．os c CSA ∠=22cos sin 1CSA CSA ∠+∠=，则in s CSA ∠=an t CSA ∠=2tan AC CS CSCSA ==∠=，CS ∴= 设1CC x =，则1111122CC D SC D CS CD CC =⋅⋅=⋅．CS x =，CS ∴==故12CC =，故12BB =．【点睛】方法点睛：作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．。
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2019-2020年高一数学必修2模块试题及答案
卷面满分为100分 考试时间90分钟
一：选择题（本题共10小题，每题4分，共40分） 1．下图是由哪个平面图形旋转得到的（ ）
A B C 2．下列四个结论：
⑴两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。
⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行。
⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。
⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。
其中正确的个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在 同一球面上，则这个球的表面积是（ ）
A ．25π
B ．50π
C ．125π
D ．都不对
4．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=， 则,a b 满足（ ） A ．1=+b a B ．1=-b a
C ．0=+b a
D ．0=-b a
5．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限
C ．第一、三、四象限
D ．第二、三、四象限
6．圆2
2
(2)5x y ++=关于原点(0,0)P 对称的圆的方程为（ ） A ．2
2
(2)5x y -+=
B ．22
(2)5x y +-= C ．2
2
(2)(2)5x y +++=
D ．2
2
(2)5x y ++=
7.在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（ ） A.4个 B.2个 C.3个 D.1个
8. 如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于（ ）
A.
S 2S B.πS 2S C.S 4
S
D.πS 4S 9. 三棱锥A-BCD 中，AC ⊥BD ，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则四边形EFGH 是（ ）
A.菱形
B.矩形
C.梯形
D.正方形
10.已知圆锥的全面积是底面积的3倍,那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（ ） A.1200
B.1500
C.1800
D.2400
二：填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分） 11.如图是一个长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1截去一个角后的多面体的三视图，在这个多面体中，AB=4,BC=6,CC 1=3.则这个多面体的体积为 .
12.光线自点M （2，3）射到N （1，0）后被x 轴反射，
则反射光线所在的直线方程为______
13．若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是_____________
14．若经过点(1,0)P -的直线与圆03242
2
=+-++y x y x 相切，则此直线在y 轴上的截距是______________.
三：解答题（本题共4小题，每题10分，共 40分）
15.将圆心角为0
120，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积
16. 求经过直线0323:,0532:21=--=-+y x l y x l 的交点且平行于直线
032=-+y x 的直线方程。
17．求过点()1,2A 和()1,10B 且与直线012=--y x 相切的圆的方程。
18.在四棱锥P-ABCD 中，△PBC 为正三角形，AB ⊥平面PBC ，AB ∥CD ，AB=
1
DC ，中点为PD E .
(1)求证：AE ∥平面PBC ； (2)求证：AE ⊥平面PDC.
高一年级数学学科必修2模块试题答案
一：选择题
主视图
俯视图
左视图
A 1
B
C C 1
D 1
A 1
B C 1
A 1A
B
C 1
1：A 2： A 3： B 4： D 5：C 6: A 7: A 8: D 9： B 10：C 二：填空题
11：60 12：33y x =-+ 13：1:8:27 14：1
三：解答题
15.解：设扇形的半径和圆锥的母线都为l ，圆锥的半径为r ，则
21203,3360l l ππ==；232,13
r r π
π⨯==； 24,S S S rl r πππ=+=+=侧面表面积底面
2111333
V Sh π=
=⨯⨯⨯= 16.解：由23503230x y x y +-=⎧⎨--=⎩，得1913
9
13x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
再设20x y c ++=，则4713
c =- 47
2013
x y +-
=为所求。
17．解：圆心显然在线段AB 的垂直平分线6y =上，设圆心为(,6)a ，半径为r ，则
222()(6)x a y r -+-=，得222(1)(106)a r -+-=
，而r =
2
2
(13)(1)16,3,5
a a a r --+===
22(3)(6)20x y ∴-+-=。
18.(1)证明:取PC 的中点M,连接EM,则EM ∥CD ，EM=
2
1
DC,所以有EM ∥AB 且EM=AB,则四边形ABME 是平行四边形.所以AE ∥BM,因为AE 不在平面PBC 内,所以AE ∥平面PBC.
(2) 因为AB ⊥平面PBC ，AB ∥CD,所以CD ⊥平面PBC ，CD ⊥BM.由(1)得,BM ⊥PC,所以BM ⊥平面PDC ，又AE ∥BM,所以AE ⊥平面PDC.。