高中数学第二章随机变量及其分布2.3离散型随机变量的均值与方差(1)课件新人教A版选修2_3
[知识提炼· 梳理] 1．离散型随机变量的均值及其性质 (1)离散型随机变量的均值或数学期望． 一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为：
X x1 x2 „ xi „ xn P p1 p2 „ pi „ pn
①数学期望 E(X)＝x1p1＋x2p2＋„＋xipi＋„＋xnpn． ②数学期望的含义：反映了离散型随机变量取值的 平均水平． (2)均值的性质． 若 Y＝aX＋b，其中 a，b 为常数，X 是随机变量： ①Y 也是随机变量． ②E(aX＋b)＝aE(X)＋b．
解析：记不发芽的种子数为 ξ，则 ξ～B(1 000，0.1)， 所以 E(ξ)＝1 000×0.1＝100.因为 X＝2ξ， 所以 E(X)＝E(2ξ) ＝2E(ξ)＝200. 答案：B
类型 2 离散型随机变量均值的性质及应用 [典例 2] 已知随机变量 X 的分布列如下：
X －2 －1 0 1 P (1)求 m 的值； (2)求 E(X)； (3)若 Y＝2X－3，求 E(Y)． 1 4 1 3
2．两点分布、二项分布的均值 (1)两点分布：若 X 服从两点分布，则 E(X)＝p． (2)二项分布：若 X～B(n，p)，则 E(X)＝np．
[思考尝试· 夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)随机变量 X 的数学期望 E(X)是个变量，其随 X 的 变化而变化．( )
17 E(Y)＝E(2X－ 3)＝ 2E(X)－3＝ 2×－30－ 3＝－
法二 由于 Y＝2X－3， 所以 Y 的分布列如下：
Y －7 －5 －3 －1 1 P 1 4 1 3 1 5 1 6 1 20
1 1 1 所以 E(Y) ＝ ( － 7)× ＋ ( － 5)× ＋ ( － 3)× ＋ ( － 4 3 5 1 1 62 1)× ＋1× ＝－ . 6 20 15
)
解析：因为 E(Y) ＝E(5X＋ 1) ＝ 5E(X) ＋1＝ 6，所以 E(X)＝1. 答案：C
4．若随机变量 X 服从二项分布 值为________． 1 4 解析：E(X)＝np＝4× ＝ . 3 3 4 答案： 3
1 B4，3，则
E(X)的
5．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 1 分，不命 中得 0 分．已知他命中的概率为 0.8，则罚球一次得分 X 的期望是________． 解析：依题意，X 服从两点分布，故 E(X1 1 1 1 解： (1)由随机变量分布列的性质， 得 ＋ ＋ ＋m＋ 4 3 5 20 1 ＝1，解得 m＝ . 6 1 1 1 1 1 (2)E(X)＝(－2)× ＋(－1)× ＋ 0× ＋1× ＋2× 4 3 5 6 20 17 ＝－ . 30
(3)法一 由公式 E(aX＋b)＝aE(X)＋b， 得 62 . 15
2． 3 离散型随机变量的均值与方差 2．3.1 离散型随机变量的均值
[学习目标] 1.通过实例理解离散型随机变量均值的 概念，能计算简单离散型随机变量的均值 ( 重点、难 点)． 2.理解离散型随机变量的均值的性质(重点)． 3. 会求两点分布、二项分布的均值(重点)． 4.会利用离散 型随机变量的均值解决一些实际问题(重点、难点)．
类型 1 求离散型随机变量的数学期望(自主研析) [典例 1] (1)随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数 ξ 的期望为( A．0.6 ) B．1 C．3.5 D．2
(2)(2016· 四川卷)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当 至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在 2 次试验中成功次数 X 的均值是________．
2．已知 ξ 的分布列为：
ξ －1 0 1 2 P 则 ξ 的均值为( A．0 ) 1 C. 8 1 D. 4 1 4 3 1 1 8 4 8
B．－1
1 3 1 1 1 解析：E(ξ)＝－1× ＋0× ＋1× ＋2× ＝ . 4 8 4 8 4 答案：D
3. 已知 Y＝5X＋1，E(Y)＝6，则 E(X)的值为( A．6 B．5 C．1 D．7
(2)随机变量的均值反映样本的平均水平． (3)若随机变量 X 的数学期望 E(X)＝2，则 E(2X)＝ 4.( )
解析：(1)错误，随机变量的数学期望 E(X)是个常量， 是随机变量 X 本身固有的一个数字特征．(2)错误，随机 变量的均值反映随机变量取值的平均水平． (3)正确，由 均值的性质可知．(4)错误，因为 E(X)＝x1p1＋x2p2＋„＋ xnpn. 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
3 3 所以均值是 2× ＝ . 4 2 3 答案：(1)C (2) 2
归纳升华 求数学期望的步骤是： (1)明确随机变量的取值，以及取每个值的试验结果； (2)求出随机变量取各个值的概率； (3)列出分布列； (4)利用数学期望公式进行计算．
[变式训练] 某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现 播种了 1 000 粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种 2 粒，补种的种子数记为 X，则 X 的数学期望为( A．100 B．200 C．300 D．400 )
解析：(1)抛掷骰子所得点数 ξ 的分布列为： ξ 1 1 P 6 2 1 6 3 1 6 4 1 6 5 1 6 6 1 6
1 1 1 1 1 1 所以 E(ξ)＝1× ＋2× ＋3× ＋4× ＋5× ＋6× 6 6 6 6 6 6 ＝3.5.
(2)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，至少有一枚硬币
12 3 3 正面向上的概率为 1－2 ＝ ，且 X～B2，4， 4
归纳升华 1. 该类题目属于已知离散型随机变量的分布列求数 学期望， 直接套用公式 E(X)＝x1p1＋x2p2＋„＋xnpn 求解．
2．对于 aX＋b 型的随机变量，可利用均值的性质求 解，即 E(aX＋b)＝aE(X)＋b；也可以先列出 aX＋b 的分 布列，再用均值公式求解．比较两种方法，显然前者较简 便．
高中数学2-3-2 离散型随机变量的方差 名师公开课市级获奖课件(人教A版选修2-3)
0.2 0.3 0.2 0.1
∴ D(2X － 1) ＝ ( － 1 － 2.6)2×0.2 ＋ (1 － 2.6)2×0.2 ＋ (3 － 2.6)2×0.3＋(5－2.6)2×0.2＋(7－2.6)2×0.1＝6.24. 方法 2：利用方差的性质 D(aX＋b)＝a2D(X)． ∵D(X)＝1.56. ∴D(2X－1)＝4D(X)＝4×1.56＝6.24.
2 ( x － E ( X )) 则 i 描述了 x (i＝1,2，…，n)相对于均值 E(X)的
i
偏离程度，而 D(X)＝
i＝1
xi－EX2pi
n
为这些偏离程度的加权
平均，刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的 平均偏离程度． 我 们称 D(X)为随机变量 X 的方差，其算术平方根 DX为随机变 量 X 的 标准差．
[答案]
[ 解析 ]
B．2 和 2.4 D．6 和 5.6
B
∵ X ～ B(10,0.6) ，∴ E(X) ＝ 10×0.6 ＝ 6 ， D(X) ＝
10×0.6×(1－0.6)＝2.4， ∴E(η)＝8－E(X)＝2，D(η)＝(－1)2D(X)＝2.4.
建模应用引路
方差的实际应用
A、B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组 进行对比实验． 每个试验组由 4 只小白鼠组成， 其中 2 只服用 A， 另 2 只服用 B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用 A 有效 的小白鼠的只数比服用 B 有效的多， 就称该试验组为甲类组． 设 2 1 每只小白鼠服用 A 有效的概率为 ，服用 B 有效的概率为 . 3 2 (1)求一个试验组为甲类组的概率； (2)观察 3 个试验组，用 ξ 表示这 3 个试验组中甲类组的个 数，求 ξ 的分布列和数学期望．
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-3)配套课件第二章 2.3.1 离散型随机变量的均值
栏 目 链 接
自 测 自 评
1．分布列为 ξ P 的期望值为( C ) A．0 B．－1 C．－ 2．设 ξ 的分布列为： 1 1 P 6 又设 η＝2ξ＋5，则 E(η)＝( 7 17 17 32 A. B. C. D. 6 6 3 3 ξ 2 1 6 3 1 3 4 1 3 －1 1 2 0 1 3 1 1 6 1 3 D. 1 2
栏 目 链 接
每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机 确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求： (1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；
(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与数
学期望．
解析：只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事 件数． (1)设 A 表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则－ A 表示 “甲、乙的演出序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得 C2 1 4 3 － P(A)＝1－P( A )＝1－ 2＝1－ ＝ . C6 5 5 (2)ξ 的所有可能值为 0,1,2,3,4，且 5 1 4 4 3 1 2 P(ξ＝0)＝ 2＝ ， P(ξ＝1)＝ 2＝ ， P(ξ＝2)＝ 2＝ ， P(ξ＝3)＝ 2 C6 3 C6 15 C6 5 C6 2 1 1 ＝ ，P(ξ＝4)＝ 2＝ . 15 C6 15
栏 目 链 接
(1)求 m 的值； (2)求 E(X)； (3)若 Y＝2X－3，求 E(Y)．
解析：(1)由随机变量分布列的性质，得 1 1 1 1 1 ＋ ＋ ＋m＋ ＝1，解得 m＝ . 4 3 5 20 6
高中数学第二章随机变量及其分布2.3离散型随机变量的均值与方差2.3.1离散型随机变量的均值高效演
2018-2019学年高中数学第二章随机变量及其分布2.3 离散型随机变量的均值与方差2.3.1 离散型随机变量的均值高效演练新人教A版选修2-3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第二章随机变量及其分布2.3 离散型随机变量的均值与方差2.3.1 离散型随机变量的均值高效演练新人教A版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2。
3.1 离散型随机变量的均值A级基础巩固一、选择题1．一批种子的发芽率为80％,现播下100粒该种种子，则发芽的种子数X的均值为（）A．60 B．70 C．80 D．90解析：易知发芽的种子数X～B（100，0。
8)，所以E（X)＝100×0.8＝80.答案：C2．设ξ的分布列为ξ1234P错误!错误!错误!错误!又设η＝2ξ＋5A.错误! B。
错误! C.错误! D.错误!解析：E（ξ）＝1×错误!＋2×错误!＋3×错误!＋4×错误!＝错误!，E(η）＝E(2ξ＋5)＝2E（ξ）＋5＝2×错误!＋5＝错误!.答案：D3．同时抛掷5枚质地均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为X，则X的均值是( )A．20 B．25 C．30 D．40解析:抛掷一次正好出现3枚反面向上，2枚正面向上的概率为错误!＝错误!.所以X～B 错误!。
2017_2018学年高中数学第二章随机变量及其分布2.3离散型随机变量的均值与方差1课件新人教A版
(2)随机变量的均值反映样本的平均水平． (3)若随机变量 X 的数学期望 E(X)＝2，则 E(2X)＝ 4.( )
解析：(1)错误，随机变量的数学期望 E(X)是个常量， 是随机变量 X 本身固有的一个数字特征．(2)错误，随机 变量的均值反映随机变量取值的平均水平． (3)正确，由 均值的性质可知．(4)错误，因为 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋ xnpn. 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．已知 ξ 的分布列为：
ξ －1 0 1 2 P 则 ξ 的均值为( A．0 ) 1 C. 8 1 D. 4 1 4 3 1 1 8 4 8
B．－1
1 3 1 1 1 解析：E(ξ)＝－1× ＋0× ＋1× ＋2× ＝ . 4 8 4 8 4 答案：D
3. 已知 Y＝5X＋1，E(Y)＝6，则 E(X)的值为( A．6 B．5 C．1 D．7
)
解析：因为 E(Y) ＝E(5X＋ 1) ＝ 5E(X) ＋1＝ 6，所以 E(X)＝1. 答案：C
4．若随机变量 X 服从二项分布 值为________． 1 4 解析：E(X)＝np＝4× ＝ . 3 3 4 答案： 3
1 B4，3，则
E(X)的
5．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 1 分，不命 中得 0 分．已知他命中的概率为 0.8，则罚球一次得分 X 的期望是____0.8. 答案：0.8
17 E(Y)＝E(2X－ 3)＝ 2E(X)－3＝ 2×－30－ 3＝－
法二 由于 Y＝2X－3， 所以 Y 的分布列如下：
Y －7 －5 －3 －1 1 P 1 4 1 3 1 5 1 6 1 20
1 1 1 所以 E(Y) ＝ ( － 7)× ＋ ( － 5)× ＋ ( － 3)× ＋ ( － 4 3 5 1 1 62 1)× ＋1× ＝－ . 6 20 15
高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.3 离散型随机变量的均值与方差 2.3.1 离散型随机变量的均值课件 新人
求两点分布、二项分布的均值的方法： (1)准确判断随机变量所服从的分布类型是解决此类问题的关键，通常情况下，在 n 次独立重复试验中事件发生的次数 ξ 服从二项分布，直接代入公式即可求得数 学期望． (2)对于两点分布，要准确辨别成功率 p.
2．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 0.5，购买乙种保险但不购买 甲种保险的概率为 0.3，设各车主购买保险相互独立． (1)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率； (2)X 表示该地的 100 位车主中甲、乙两种保险都不购买的车主数，求 X 的期望．
－ Y 的分布列如下：
Y －7 －5 －3 －1 1
P
1 4
1 3
1 5
11 6 20
∴E(Y)＝(－7)×14＋(－5)×13＋(－3)×15＋(－1)×16＋1×210＝－6125.
探究二 两点分布与二项分布的均值 [典例 2] 某运动员投篮命中率为 p＝0.6. (1)求投篮一次时命中次数 ξ 的均值； (2)求重复 5 次投篮时命中次数 η 的均值． [解析] (1)投篮一次，命中次数 ξ 服从两点分布，则 E(ξ)＝p＝0.6. (2)重复 5 次投篮，命中的次数 η 服从二项分布，即 η～B(5,0.6)． 则 E(η)＝np＝5×0.6＝3.
解析：设该车主购买乙种保险的概率为 p， 由题意知 p×(1－0.5)＝0.3，解得 p＝0.6. (1)设所求概率为 P1，则 P1＝1－(1－0.5)×(1－0.6)＝0.8. 故该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率为 0.8. (2)对每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为 (1－0.5)×(1－0.6)＝0.2. ∴X～B(100,0.2)，∴E(X)＝100×0.2＝20. 所以 X 的期望是 20 人．
高中数学第2章概率5离散型随机变量的均值与方差第1课时离散型随机变量的均值课件北师大版选修2_3
x(0≤x≤0.29)．
依题意，EX≥4.73，即 4.76－x≥4.73，
解得 x≤0.03，所以三等品率最多为 3%.
1．实际问题中的均值问题 均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测， 消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益的预测等 方面，都可以通过随机变量的均值来进行估计．
0.2
Eη＝200×0.4＋250×0.4＋300×0.2＝240(元)．
1．求随机变量的数学期望的方法步骤： (1)写出随机变量所有可能的取值． (2)计算随机变量取每一个值对应的概率． (3)写出分布列，求出数学期望．
2．离散型随机变量均值的性质 (1)Ec＝c(c 为常数)； (2)E(aX＋b)＝aEX＋b(a，b 为常数)； (3)E(aX1＋bX2)＝aEX1＋bEX2(a，b 为常数).
4．已知 X～B100，12，则 E(2X＋3)＝________. 103 [EX＝100×12＝50，E(2X＋3)＝2EX＋3＝103.]
5．某运动员投篮投中的概率 P＝0.6.
(1)求一次投篮时投中次数 ξ 的均值；
(2)求重复 5 次投篮时投中次数 η 的均值．
[解] (1)ξ 的分布列为：
2．均值的性质 (1)若 X 为常数 C，则 EX＝_C_. (2)若 Y＝aX＋b，其中 a，b 为常数，则 Y 也是随机变量，且 EY ＝E(aX＋b)＝__a_E_X_＋__b___.
(3)常见的离散型随机变量的均值
分布名称
参数
超几何分布
N，M，n
二项分布
n，p
均值 M nN
_n_p__
思考：两点分布与二项分布有什么关系？
[母题探究 1] 本例条件不变，若 Y＝2X－3, 求 EY.
高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.3.2 离散型随机变量的方差学案(含解析)新人教A版选修2-
2．3.2 离散型随机变量的方差[目标] 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.3.掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法．[重点] 离散型随机变量的方差和标准差的概念和计算；方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法．[难点] 离散型随机变量的方差的计算与应用．知识点一 离散型随机变量的方差、标准差[填一填]1．方差及标准差的定义 设离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n(1)方差D (X )＝∑i ＝1n(x i －E (X ))2·p i . (2)标准差为D (x ). 2．方差的性质 D (aX ＋b )＝a 2D (X )．[答一答]1．方差与标准差有什么实际意义？提示：随机变量X 的方差和标准差都反映了随机变量X 取值的稳定与波动、集中与离散的程度．D (X )越小，稳定性越高，波动越小．显然D (X )≥0，随机变量的标准差与随机变量本身有相同的单位．2．你能类比样本数据方差的计算公式，理解离散型随机变量方差的计算公式吗？ 提示：设x 1、x 2、…、x n 为样本的n 个数据，x ＝x 1＋…＋x n n ，则该样本数据的方差s 2＝∑i ＝1n(x i －x )2·1n ，由于x 相当于离散型随机变量中的E (X )，而1n相当于每个数据出现的频率(概率)p i ，故离散型随机变量X 的方差可定义为：D (X )＝∑i ＝1n(x i －E (X ))2·p i (i ＝1,2，…，n )．3．随机变量的方差与样本方差有什么关系？提示：随机变量的方差即为总体的方差，它是一个客观存在的常数，不随抽样样本的变化而变化；样本方差则是随机变量，它是随着样本的不同而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体方差．知识点二 两个常见分布的方差[填一填]1．若X 服从两点分布，则D (X )＝p (1－p )． 2．若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )．[答一答]4．两点分布的方差同二项分布的方差存在什么关系？提示：由于两点分布是特殊的二项分布，故两点分布的方差同二项分布的方差存在特殊与一般的关系．1．对随机变量X 的方差、标准差的理解(1)随机变量X 的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的．(2)随机变量X 的方差和标准差都反映了随机变量X 取值的稳定性和波动、集中与离散程度．(3)D (X )越小，稳定性越高，波动越小．(4)标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛． 2．剖析方差的性质当a ，b 均为常数时，随机变量η＝aξ＋b 的方差D (η)＝D (aξ＋b )＝a 2D (ξ)．特别地： (1)当a ＝0时，D (b )＝0，即常数的方差等于0.(2)当a ＝1时，D (ξ＋b )＝D (ξ)，即随机变量与常数之和的方差等于这个随机变量的方差本身．(3)当b ＝0时，D (aξ)＝a 2D (ξ)，即随机变量与常数之积的方差，等于这个常数的平方与这个随机变量方差的乘积．类型一 离散型随机变量的方差及性质【例1】 已知η的分布列如下：η 0 10 20 50 60 P1325115215115(1)求η(2)设Y ＝2η－E (η)，求D (Y )．【分析】 (1)首先求出均值E (η)，然后利用D (η)的定义求方差；(2)由于E (η)是一个常数，所以D (Y )＝D [2η－E (η)]＝22D (η)．【解】 (1)∵E (η)＝0×13＋10×25＋20×115＋50×215＋60×115＝16，∴D (η)＝(0－16)2×13＋(10－16)2×25＋(20－16)2×115＋(50－16)2×215＋(60－16)2×115＝384，∴D (η)＝8 6.(2)∵Y ＝2η－E (η)，∴D (Y )＝D [2η－E (η)]＝22D (η)＝4×384＝1 536.(1)求离散型随机变量的均值或方差的关键是列分布列，而列分布列的关键是要清楚随机试验中每一个可能出现的结果，同时还要正确求出每一个结果出现的概率．(2)利用离散型随机变量X 的方差的性质：当a ，b 为常数时，随机变量Y ＝aX ＋b ，则D (Y )＝D (aX ＋b )＝a 2D (X )，可以简化解答过程，提高解题效率．某校从6名学生会干部(其中男生4人，女生2人)中选3人参加市中学生运动会志愿者． (1)所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及方差． (2)在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率． 解：(1)ξ的可能取值为0,1,2. 由题意P (ξ＝0)＝C 34C 36＝15，P (ξ＝1)＝C 24C 12C 36＝35，P (ξ＝2)＝C 14C 22C 36＝15，所以ξ的分布列为ξ 0 1 2 P153515E (ξ)＝0×15＋1×35＋2×15＝1，D (ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25.(2)设在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的事件为C ，男生甲被选中的种数为C 25＝10，男生甲被选中，女生乙也被选中的种数为C 14＝4，所以P (C )＝C 14C 25＝410＝25，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为25.类型二 二项分布的方差【例2】 已知某运动员投篮命中率p ＝0.6. (1)求一次投篮命中次数ξ的数学期望与方差；(2)求重复5次投篮时，命中次数η的数学期望与方差．【分析】 解本题的关键是正确地判断出第(1)小题属于两点分布，第(2)小题属于二项分布，利用相应的公式计算可得解．【解】 (1)投篮一次命中次数ξ的分布列为：ξ 0 1 P0.40.6则E (ξ)＝0×0.4＋1×0.6＝0.6，D (ξ)＝(0－0.6)2×0.4＋(1－0.6)2×0.6＝0.24.(2)由题意知重复5次投篮，命中的次数η服从二项分布，即η～B (5,0.6)． 由二项分布的数学期望与方差的公式得： E (η)＝5×0.6＝3，D (η)＝5×0.6×0.4＝1.2.解此类题的一般步骤如下：第一步，判断随机变量X 服从什么分布(两点分布还是二项分布).第二步，代入相应的公式，X 服从两点分布时，D (X )＝p (1－p )；X 服从二项分布，即X ～B (n ，p )时，D (X )＝np (1－p ).甲、乙比赛时，甲每局赢的概率是p ＝0.51，乙每局赢的概率是p ＝0.49.甲乙一共进行了10次比赛，当各次比赛的结果是相互独立时，计算甲平均赢多少局，乙平均赢多少局，哪一个技术比较稳定？解：用X 表示10局中甲赢的次数，则X 服从二项分布B (10,0.51)．E (X )＝10×0.51＝5.1，即甲平均赢5.1局．用Y 表示10局中乙赢的次数，则Y 服从二项分布B (10,0.49)．E (Y )＝10×0.49＝4.9，于是乙平均赢4.9局．又D (X )＝10×0.51×0.49＝2.499，D (Y )＝10×0.49×0.51＝2.499.所以他们技术一样稳定．类型三 离散型随机变量方差的应用【例3】 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n ∈N )的函数解析式．(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数10201616151310以100①若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润(单位：元)，求X 的分布列，数学期望及方差．②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．【解】 (1)当n ≥16时，y ＝16×(10－5)＝80. 当n ≤15时，y ＝5n －5(16－n )＝10n －80.得：y ＝⎩⎨⎧10n －80(n ≤15)，80(n ≥16)(n ∈N )．(2)①X可取60,70,80.P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7.X的分布列为X 607080P 0.10.20.7E(X)＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76，D(X)＝162×0.1＋62×0.2＋42×0.7＝44.②购进17枝时，当天的利润的期望值为y＝(14×5－3×5)×0.1＋(15×5－2×5)×0.2＋(16×5－1×5)×0.16＋17×5×0.54＝76.4.由76.4>76得，应购进17枝．有甲、乙两名同学，据统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的分数在80分，90分，100分的概率分布大致如下表所示：试分析甲、乙两名同学谁的成绩好一些．解：在解答同一份数学试卷时，甲、乙两人成绩的均值分别为E(X甲)＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.2＝90，E(X乙)＝80×0.4＋90×0.2＋100×0.4＝90.方差分别为D (X 甲)＝(80－90)2×0.2＋(90－90)2×0.6＋(100－90)2×0.2＝40， D (X 乙)＝(80－90)2×0.4＋(90－90)2×0.2＋(100－90)2×0.4＝80. 由上面数据，可知E (X 甲)＝E (X 乙)，D (X 甲)<D (X 乙)．这表示甲、乙两人所得分数的均值相等，但两人的分数的稳定程度不同，甲同学分数较稳定，乙同学分数波动较大，所以甲同学的成绩较好．离散型随机变量期望与方差的综合应用【例4】 设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a ＝3，b ＝2，c ＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E (η)＝53，D (η)＝59，求abc .【思路分析】 第一问关键是分清取出2个球所得分数之和的所有情况，然后分类讨论，根据情况算出相应的概率、写出分布列；第二问类似地写出分布列，根据期望、方差的公式建立方程求解．【解】 (1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6. 故P (ξ＝2)＝3×36×6＝14，P (ξ＝3)＝2×3×26×6＝13，P (ξ＝4)＝2×3×1＋2×26×6＝518，P (ξ＝5)＝2×2×16×6＝19，P (ξ＝6)＝1×16×6＝136.所以ξ的分布列为ξ 2 3 4 5 6 P141351819136(2)由题意知η的分布列为η 1 2 3 paa ＋b ＋cba ＋b ＋cca ＋b ＋c所以E (η)＝a a ＋b ＋c ＋2b a ＋b ＋c ＋3c a ＋b ＋c ＝53，D (η)＝(1－53)2·a a ＋b ＋c ＋(2－53)2·b a ＋b ＋c ＋(3－53)2·c a ＋b ＋c ＝59.化简得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －4c ＝0，a ＋4b －11c ＝0，解得a ＝3c ，b ＝2c ，故abc ＝321.【解后反思】 离散型随机变量的分布列和期望是理科数学考题中的高频考点之一，其中，浙江省又多以摸球为背景，以对立事件、相互独立事件、两点分布、二项分布等知识为载体，综合考查事件发生的概率及随机变量的分布列、数学期望与方差．解题时首先要理解关键词，其次要准确无误地找出随机变量的所有可能取值，计算出相应的概率，后面一般就是计算问题．若随机事件A 在1次试验中发生的概率为p (0<p <1)，用随机变量ξ表示A 在1次试验中发生的次数．(1)求方差D (ξ)的最大值； (2)求2D (ξ)－1E (ξ)的最大值．解：随机变量ξ的所有可能取值为0,1，并且有P (ξ＝1)＝p ，P (ξ＝0)＝1－p ，从而E (ξ)＝0×(1－p )＋1×p ＝p ， D (ξ)＝(0－p )2×(1－p )＋(1－p )2×p ＝p －p 2.(1)D (ξ)＝p －p 2＝－(p 2－p ＋14)＋14＝－(p －12)2＋14，∵0<p <1，∴当p ＝12时，D (ξ)取得最大值，最大值为14.(2)2D (ξ)－1E (ξ)＝2(p －p 2)－1p ＝2－(2p ＋1p )，∵0<p <1，∴2p ＋1p≥2 2.当2p ＝1p ，p ＝22时，取“＝”，因此，当p ＝22时，2D (ξ)－1E (ξ)取得最大值2－2 2.1．下面说法中正确的是(D)A．离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值B．离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平C．离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的波动水平D．离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的波动水平解析：由于离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映的是随机变量的平均取值水平，而不是概率的平均值，故A错．而D(ξ)则反映随机变量的集中(或稳定)的程度，即波动水平．2．若X～B(n，p)，且E(X)＝1.6，D(X)＝1.28，则(A)A．n＝8，p＝0.2 B．n＝4，p＝0.4C．n＝5，p＝0.32 D．n＝7，p＝0.45解析：由E(X)＝np＝1.6，D(X)＝np(1－p)＝1.28，可知1－p＝0.8，所以p＝0.2，n＝8.3．已知随机变量ξ，D(ξ)＝19，则ξ的标准差为13.解析：D(ξ)＝19＝13.4．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量ξ1，ξ2，已知E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)，则自动包装机乙的质量较好．解析：均值仅体现了随机变量取值的平均大小，如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的取值如何在均值周围变化，方差大说明随机变量取值较分散；方差小，说明取值较集中．故乙的质量较好．5．已知随机变量X的分布列是X 0123 4P 0.2m n 0.20.1且E(X)＝1.8.(1)求D(X)；(2)设Y＝2X－1，求D(Y)．解：(1)由分布列可知0.2＋m＋n＋0.2＋0.1＝1，且E(X)＝0×0.2＋1×m＋2×n＋3×0.2＋4×0.1＝1.8.即⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝0.5，m ＋2n ＝0.8，解得m ＝0.2，n ＝0.3. ∴D (X )＝(0－1.8)2×0.2＋(1－1.8)2×0.2＋(2－1.8)2×0.3＋(3－1.8)2×0.2＋(4－1.8)2×0.1＝1.56.(2)∵D (X )＝1.56，∴D (2X －1)＝4D (X )＝6.24.。
2018-2019学年高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.3.1 离散型随机变量的均值优质课件
• (2)求1件产品的平均利润(即ξ的均值)；
• (3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次 1%，一等品率提高为70%.如果此时要求1件产 润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
[解析] (1)由于 1 件产品的利润为 ξ，则 ξ 的所有可能取值为
题意知 P(ξ＝6)＝122060＝0.63，P(ξ＝2)＝25000＝0.25，P(ξ＝1)＝22000
X
0
1
P
0.4
0.6
则 E(X)＝0.6．
(2)重复 5 次投篮，命中的次数 Y 服从二项分布，即 Y～B(5,0
＝5×0.6＝3．
• 『规律总结』 1.若随机变量X服从两点分布， 为成功概率)．
• 2．若随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p) np，直接代入求解，从而避免了繁杂的计算过
〔跟踪练习 3〕 (2017·石家庄高二检测)集成电路 E 由 3 个不同的电子元件组 老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为12，12，23，且每 正常工作相互独立．若三个电子元件中至少有 2 个正常工作，则 否则就需要维修，且维修集成电路 E 所需费用为 100 元． (1)求集成电路 E 需要维修的概率； (2)若某电子设备共由 2 个集成电路 E 组成，设 X 为该电子设 电路所需的费用，求 X 的分布列和期望．
所以 ξ 的分布列为：
ξ0
5 10 15 20 25
P
1 64
3 32
15 64
5 16
15 64
3 32
(2)E(ξ)＝5×332＋10×1654＋15×156＋20×1654＋25×332＋30×6
＋120＋75＝340(束)，则利润Y＝5X＋1.6(500－
最新-2021高中数学选修23课件：第二章23231离散型随机变量的均值 精品
值，是随机变量 X 的一个固有的数字特征，不具有随机
性．
2．离散型随机变量的性质
如果 X 为(离散型)随机变量，则 Y＝aX＋b(其中 a，b 为常数)也是(离散型)随机变量，且 P(X＝xi)＝P(Y＝axi＋ b)，i＝1，2，3，…，n.E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
解析：(1)错，随机变量 X 的数学期望是一个常量． (2)错，随机变量的均值与样本的平均值是两个不同 的概念． (3)对，E(2X)＝2E(X)＝2×3＝6. 答案：(1)× (2)× (3)√
2．已知 ξ 的分布列为：
ξ －1 0 1 2
P
1 4
311 848
则 ξ 的均值为( )
A．0
B．－1
法二 由于 Y＝2X－3，
所以 Y 的分布列如下：
Y －7 －5 －3 －1 1
P
1 4
1 3Leabharlann 1 511 6 20所以
E(Y) ＝
(
－
7)× 14
＋(－
5)×
1 3
＋
(
－ 3)× 15 ＋ ( －
1)×16＋1×210＝－6125.
归纳升华 若给出的随机变量 ξ 与 X 的关系为 ξ＝aX＋b，a，b 为常数．一般思路是先求出 E(X)，再利用公式 E(aX＋b) ＝aE(X)＋b 求 E(ξ)．也可以利用 ξ 的分布列得到 η 的分 布列，关键由 ξ 的取值计算 η 的取值，对应的概率相等， 再由定义法求得 E(η)．
防范措施：在求随机变量取各值的概率时，务必理解
各取值的实际意义，以免失误．另外，可以利用分布列的
n
性质：(1)pi≥0(i＝1，2，3，…，n)，(2) pi＝1 来检验．
高中数学选修2-3精品课件：2.3.1 离散型随机变量的均值
所以X的分布列为
X 10 20 100 －200
P
3 8
3 8
1 8
1 8
(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？ 解 设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i＝1,2,3)，则 P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝18. 所以“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为 1－P(A1A2A3)＝1－(18)3＝1－5112＝551112. 因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是551112.
且事件 E 与 F，E 与 F ， E 与 F， E 与 F 都相互独立.
(1)记 H＝{至少有一种新产品研发成功}，则 H ＝ E F ， 于是 P( H )＝P( E )P( F )＝13×25＝125， 故所求的概率为 P(H)＝1－P( H )＝1－125＝1135.
(2) 设 企 业 可 获 利 润 为 X 万 元 ， 则 X 的 可 能 取 值 为
(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列.
解 X可能的取值为10,20,100，－200.
根据题意，有 P(X＝10)＝C13×(21)1×(1－21)2＝83， P(X＝20)＝C23×(21)2×(1－21)1＝83， P(X＝100)＝C33×(12)3×(1－12)0＝18， P(X＝－200)＝C03×(21)0×(1－21)3＝81.
1234
现按表中对阵方式出场胜队得1分，负队得0分，设A队，B 队最后所得总分分别为X，Y. (1)求X，Y的分布列； 解 X的可能取值分别为3,2,1,0. P(X＝3)＝23×25×25＝785，
P(X＝2)＝23×25×35＋13×25×25＋23×35×25＝2785， P(X＝1)＝23×35×35＋13×25×35＋13×35×25＝25， P(X＝0)＝13×35×35＝235； 根据题意X＋Y＝3，