高中数学第三章导数应用习题课导数的综合应用课件北师大版选修2_2
答案:C
探究一
探究二
探究三
利用函数的单调性与导数的关系求参数 【例1】 已知a为实数,f(x)=(x2-4)(x-a),若f(x)在(-∞,-2]和[2,+∞)上 都是增加的,求a的取值范围. 解:(方法一)∵f(x)=x3-ax2-4x+4a, ∴f'(x)=3x2-2ax-4,不难知道f'(x)=3x2-2ax-4的图像为开口向上且过 点(0,-4)的抛物线, 4������ + 8 ≥ 0, ������'(-2) ≥ 0, 由条件得 即 ∴-2≤a≤2. 8-4������ ≥ 0. ������'( 2) ≥ 0,
探究一
探究二
探究三
变式训练1已知函数f(x)=2ax-x3,x∈(0,1](a>0).若f(x)在(0,1]上是 增加的,则a的取值范围是 . 解析:∵f'(x)=2a-3x2,且f(x)在(0,1]上是增加的, ∴f'(x)≥0在(0,1]上恒成立.
3 2 ∴2a≥3x 即 a≥2x . 3 2 3 又 x∈(0,1],∴ x ∈ 0, 2 2 3 答案:a≥ 2
【做一做2】 函数f(x)=ln x-ax2+x是定义域上的增函数,则a的取 值范围是( )
A.a≤-
1 8
B.- ≤a<0 D.a≤- 或 a=0
1 8
1 8
C.a≤0
解析:由题意知函数f(x)的定义域为(0,+∞),
1 -2������������2 +������+1 f'(x)= -2ax+1= ,f'(x)≥0 在(0,+∞)上恒成立, ������ ������ 1 1 1 即 a≤ + 在 (0,+∞)上恒成立, 2 ������2 ������ 1 1 1 ∵2 ������2 + ������ >0,∴a≤0.
3.求函数y=f(x)在[a,b]上的最值 求函数y=f(x)在[a,b]上最值的一般步骤是: (1)求y=f(x)在[a,b]内的极值; (2)把y=f(x)在[a,b]内的极值与f(a),f(b)比较,得最值. 【做一做1】 函数f(x)=x3-3x2+2在区间[-1,1]上的最大值为( A.-2 B.0 C.2 D.4 解析:f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f'(x)=0,可得x=0或x=2(舍去). 当-1≤x<0时,f'(x)>0,当0<x≤1时,f'(x)<0, 因此当x=0时,f(x)取最大值2. 答案:C )
2
3������2 -4 4 y= =3x- 在[2,+∞)上是增加的,ymin=4,从而 ������ ������
2
a≤2.
3������2 -4 (2)若 f'(x)=3x -2ax-4≥0 在(-∞,-2]上恒成立 ,即 2a≥ 在(-∞,-2] ������ 3������2 -4 3������2 -4 4 4 上恒成立 ,只需 2a≥ ,令 y= =3x- ,则 y'=3+ 2>0,此时 ������ ������ ������ ������ max 3������2 -4 4 y= =3x- 在(-∞,-2]上是增加的,ymax=-4,从而 ������ ������
∴a的取值范围是[-2,2].
探究一
探究二
探究三
(方法二)要使f(x)在(-∞,-2]和[2,+∞)上都是增加的,只需f'(x)=3x22ax-4≥0在(-∞,-2]和[2,+∞)上恒成立即可.
3������2 -4 (1)若 f'(x)=3x -2ax-4≥0 在[2,+∞)上恒成立,即 2a≤ 在[2,+∞) ������ 3������2 -4 3������2 -4 4 4 上恒成立 ,只需 2a≤ ,令 y= =3x- ,则 y'=3+ 2>0,此时 ������ ������ ������ ������ min
1 ������
时 ,f'(x)<0,函数 f(x)是减少的 .
当 x∈ - , + ∞ 时 ,f'(x)>0,函数 f(x)是增加的 . 若 k<0,则当 x∈ -∞,时 ,f'(x)>0,函数 f(x)是增加的 . 当 x∈ - , + ∞ 时 ,f'(x)<0,函数 f(x)是减少的 .
探究一
2
3 .∴a≥ . 2
探究一
探究二
探究三
变式训练2设函数f(x)=xekx(k≠0). (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若函数f(x)在区间(-1,1)内是增加的,求k的取值范围.
解 :(1)由 f'(x)=(1+kx)ekx=0,得 x=- (k ≠0). 若 k>0,则当 x∈ -∞,1 ������ 1 ������ 1 ������ 1 ������
探究二
探究三
(2)由(1)知,若 k>0,则当且仅当- ≤-1, 即 0<k≤1 时,函数 f(x)在(-1,1)内是增加的. 若 k<0,则当且仅当- ≥1,
a≥-2.
综上,a的取值范围为[-2,2].
探究一
探究二
探究三
反思感悟利用函数的单调性与导数的关系求参数 (1)将问题转化为有关导函数的不等式在某区间上恒成立问题,即 f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立. (2)要利用分离参数或函数性质求解参数范围,常见思路有: ①m≥g(x)恒成立⇔m≥g(x)max; ②m≤g(x)恒成立⇔m≤g(x)min. (3)要注意检验参数取“=”时是否满足题意.
习题课——导数的综合应用
学 习
目
标
思 维
脉
络
1.利用导数研究 函数的单调 性、 极值,以及连续函数在区间 [a,b]上的最大(小)值. 2.利用导数研究 不等式恒成立 问题及含有参数的最值问题 的解法.
1.求可导函数y=f(x)的单调区间 求可导函数y=f(x)单调区间的步骤是: (1)求f'(x); (2)解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0); (3)确认并指出递增区间(或递减区间). 要注意函数的定义域. 2.求解函数极值 求解函数极值的一般步骤是: (1)确定函数的定义域; (2)求方程f'(x)=0的根; (3)用方程f'(x)=0的根,顺次将函数的定义域分成若干个开区间,并 列成表格; (4)由f'(x)在方程f'(x)=0的根左右的符号,来判断f(x)在这个根处取 极值的情况.
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【高中课件】高中数学北师大版选修22第3章1第1课时导数与函数的单调性课件ppt.ppt
• 3．求可导函数单调区间的一般步骤： • 第一步，确定函数f(x)的定义域．
•在定 义域内的一切实根．
• 第三步，把函数f(x)在间断点(即f(x)的无定义点)的横 坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来， 然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区 间．
•切线的斜率和f(x)的导数的关系
1.切线的斜率为正，____f_′(_x_)_>_0_______；切线的斜率为 负，_____f_′(_x_)_<_0______.
2．用曲线的切线的斜率来理解法则．当切线斜率非负
时，切线的倾斜角小于
π 2
，函数曲线呈向上增加状态；当切线
斜率为负时，切线的倾斜角大于π2、小于π，函数曲线呈向下减
• 2．导数与函数的单调性的关系 • (1)f′(x)>0与f(x)为增函数的关系． • f′(x)>0能推出f(x)为增函数，但反之不成立． • 如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0， • ∴f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件． • (2)f′(x)≠0时，f′(x)>0与f(x)为增函数的关系． • 若将f′(x)＝0的根作为分界点，因为规定f′(x)≠0，即抠
• [解析] 用举反例的方法解本题．函数y＝x是单调增 函数，但其导函数y′＝1不具有单调性，排除①③.函 数y＝－x是单调减函数，但其导函数y′＝－1不具有 单调性，排除②.函数y＝x2，其导函数y′＝2x是单调 的，但原函数在R上不具有单调性，排除④.
4．下列函数中，在区间(－1,1)上是减函数的是( )
• A．f(x)>0
B．f(x)<0
• C．f(x)＝0
D．不能确定
高中数学第三章导数应用2导数在实际问题中的应用例题与探究北师大选修2-2讲解
高中数学 第三章 导数应用 2 导数在实际问题中的应用例题与探究北师大版选修2-2高手支招3综合探究1.利用导数解决优化问题的方法和基本思路方法:通过搜集大量的统计数据,建立与其相应的数学模型,再通过研究相应函数的性质,提出优化方案,使问题得到解决.在这个过程中,导数往往是一个有利的工具.基本思路:建立数学模型.2.最值和极值的区别与联系(1)最值是个整体概念,而极值是个局部概念;(2)从个数上看,一个函数在其定义域上的最值是唯一的,而极值不一定唯一;(3)极值只能在定义域内部取得,而最值却可以在区间的端点处取得,有极值时未必有最值,有最值时未必有极值;极值有可能成为最值,最值只要不在端点处必定是极值.3.求二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a≠0)在区间[m,n]上的最大值或最小值的步骤可按以下步骤:(1)求出二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a≠0)的导数f′(x)=2ax+b;(2)讨论二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a≠0)在区间(m,n)内是否有极值点,即方程f′(x)=0的根x=ab 2-是否在区间(m,n)内,确定二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a≠0)在区间[m,n]上的最大值或最小值: ①若方程f′(x)=0的根x=a b 2-在区间(m,n)内,即m ＜a b 2-＜n,此时f(a b 2-)必为二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a≠0)在区间(m,n)内的最大值或最小值,再求出f(m),f(n)的值,f(ab 2-),f(m),f(n)中最大者和最小者分别为二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a≠0)在区间[m,n]上的最大值和最小值; ②若方程f′(x)=0的根x=a b 2-不在区间(m,n)内,即m≥a b 2-或n≤a b 2-时,此时二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a≠0)在区间(m,n)内是单调函数,只需求出f(m),f(n)的值,f(m),f(n)中最大者和最小者分别为二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a≠0)在区间[m,n]上的最大值和最小值.高手支招4典例精析【例1】 当x∈(1,2)时,函数f(x)=12-x x 恒大于正数a,试求函数y=lg(a 2-a+3)的最小值. 思路分析:欲求y=lg(a 2-a+3)的最小值,则应知a 2-a+3的最小值,于是必须确定a 的取值范围,即必须先求函数f(x)= 12-x x 的最小值. 解:y′=(12-x x )′=222)12(1)12(212)12()12()12(--=---=-'---'x x x x x x x x x ,当x∈(1,2)时,y′＜0,∴f(x)在(1,2)上单调递减,于是f(x)min =f(2)=32. 由题意知a 的取值范围是a ＜32. ∴y=lg(a 2-a+3)=lg ［(a 21)2+411］,故当a=21时,y min =lg 411. 【例2】 已知A 、B 两地相距200千米,一只船从A 地逆水到B 地,水速为8千米/时,船在静水中的速度为v 千米/时(8＜v≤v 0).若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比,当v=12千米/时时,每小时的燃料费为720元,为了使全程燃料费最省,船的实际速度为多少? 思路分析:燃料费最省,实质是求函数的最小值.解:设每小时的燃料费为y 1,比例系数为k(k ＞0),则y 1=kv 2,当v=12时,y 1=720,∴720=k·122,得k=5.设全程燃料费为y,由题意y=y 1·8100082002-=-v v v , ∴y′=2222)8(16001000)8(1000)8(2000--=---v v v v v v v . 令y′=0,∴v=16.∴当v≥16时,船的实际速度为16千米/时时,全程燃料费最省; 当v ＜16且实际速度∈(8,v］时,y′＜0,即y 在(8,v ］上为减函数,∴当实际速度为v ＜16时,y min =810002-v v . 综上,当v≥16时,实际速度为16千米/时时,全程燃料费最省,为32 000元;当v ＜16时,则实际速度为v 时,全程燃料费最省,为810002-v v . 【例3】(2006福建高考，文21)已知f(x)是二次函数,不等式f(x)＜0的解集是(0,5)且f(x)在区间［-1,4］上的最大值是12.(1)求f(x)的解析式;(2)是否存在实数m,使得方程f(x)+x37=0在区间(m,m+1)内有且只有两个不等的实数根？若存在,求出m 的取值范围;若不存在,说明理由.思路分析:本题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识,考查运用导数研究函数性质的方法,考查运算能力,考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力.解:(1)∵f(x)是二次函数,且f(x)＜0的解集是(0,5),∴不妨设f(x)=ax(x-5)(a ＞0).f(x)的对称轴为x=2.5,经比较可知,-1和4当中-1离2.5较远，∴f(x)在区间［-1,4］上的最大值12在x=-1处取得,f(-1)=6a=12,∴a=2,∴f(x)=2x(x -5)=2x 2-10x(x∈R )。
北师大版高中数学选修2-2第三章《导数应用》导数与函数的最大(小)值 课件
2 3
x
问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎 样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？
在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条 连续不断的曲线,则它必有最大值和最小值.
f(x3)
f(b)
f(x1)
y
g
a x1
g
f(a)
x2
0
x4 x3 b x
f(x2)
新课讲授 一.最值的概念(最大值与最小值)
[2,2] 上的最大值与
最小值． y 4 x 3 4 x 解： y 0 ，有 4 x 3 4 x 0 ，解得 x 1,0,1 令 当x 变化时，y, y 的变化情况如下表： x y -2 (-2,-1) — 13 -1 0 4 (-1,0) + 0 0 5 (0,1) — 1 0 4 (1,2) + 2 13
如果在函数定义域I内存在x0,使得 对任意的x∈I,总有f(x) ≤f(x0), 则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的 最大值. 最值是相对函数定义域整体而言的.
a, b
f (x)
注意: 1.在定义域内, 最值唯一;极值不唯一; 2.最大值一定比最小值大.
二.如何求函数的最值?
1.利用函数的单调性;
练习2:求函数f(x)=p2x2(1-x)p(p是正数)在[0,1]上的最
f ( x) p2 x(1 x) p1[2 (2 p) x]. 解: 2 令 f ( x ) 0,解得 x1 0, x2 1, x3 2 p . 2 p 2 p 在[0,1]上,有f(0)=0,f(1)=0, f ( 2 p ) 4( 2 p ) , p ) 2 p . 故所求最大值是 4( 2 p
x
问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎 样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？
在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条 连续不断的曲线,则它必有最大值和最小值.
f(x3)
f(b)
f(x1)
y
g
a x1
g
f(a)
x2
0
x4 x3 b x
f(x2)
新课讲授 一.最值的概念(最大值与最小值)
[2,2] 上的最大值与
最小值． y 4 x 3 4 x 解： y 0 ，有 4 x 3 4 x 0 ，解得 x 1,0,1 令 当x 变化时，y, y 的变化情况如下表： x y -2 (-2,-1) — 13 -1 0 4 (-1,0) + 0 0 5 (0,1) — 1 0 4 (1,2) + 2 13
如果在函数定义域I内存在x0,使得 对任意的x∈I,总有f(x) ≤f(x0), 则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的 最大值. 最值是相对函数定义域整体而言的.
a, b
f (x)
注意: 1.在定义域内, 最值唯一;极值不唯一; 2.最大值一定比最小值大.
二.如何求函数的最值?
1.利用函数的单调性;
练习2:求函数f(x)=p2x2(1-x)p(p是正数)在[0,1]上的最
f ( x) p2 x(1 x) p1[2 (2 p) x]. 解: 2 令 f ( x ) 0,解得 x1 0, x2 1, x3 2 p . 2 p 2 p 在[0,1]上,有f(0)=0,f(1)=0, f ( 2 p ) 4( 2 p ) , p ) 2 p . 故所求最大值是 4( 2 p
导数应用综合112张PPT北师大版选修22
小结：
已 知 函 数f ( x)＝4 x3 3 x2 cos 1 , 其 中x R, 32
为 参 数 ， 且0 . 2
((取12))当值要c范使os围函.数0f时( x，)的判极断小导函值作与数大f业练( x于：P)是零12否，有参极数的值.
(3)若 对(2)中 所 求 的 取 值 范 围 内 的任 意 参 数， 函 数f ( x)在 区 间(2a 1, a)内 都 是 增 函 数 ， 求 实 数a的 取 值 范 围.
导数与方程根的
分布综合应用
变式体验：
2
2 3
71 54
o1
1 2
2
x
ห้องสมุดไป่ตู้若f
(x)
x3
1
x2
1
2x
c, 且c
1
, 是否存在自然数m, 使
2
2
方程f ( x) 0在区间(m, m 2)内有且只有两个不等的实数
根 ？ 若 存 在 ， 求 出 所 有m的 值; 若 不 存 在, 说 明 理 由.
已知函数f ( x) ax3 3x2 x 1在R上是
减函数，求a的取值范围.
变式2:
导数与函数单调 性综合应用
已知函数f ( x) x 3 3ax2 x 1, 若f ( x)
在1,3上为减函数，求a的取值范围.
(2005年重庆·文19)
设函数f ( x) 2 x 3 3(a 1)x 2 6ax 8, 其中a R.若f ( x)在(,0)上为增函数， 求a的取值范围.
探究体验：
函数f ( x) x 3 1 x 2 2 x c,当实数c在什么范围内 2
北师大版高中数学选修2-2第三章《导数应用》导数在实际问题中的应用(二) 课件
E A D 600 b C
分析:设法把湿周l 求出来,这是关键
B
h
2013-9-14
1 解：由梯形面积公式，得 S= (AD+BC)h,其中 AD=2DE+BC， 2 E D A 3 2 3 DE= h,BC=b∴AD= h+b, 3 3 h 1 2 3 3 600 h 2b)h ( h b)h ① ∴S= ( B C 2 3 3 b h 2 2 h ,AB=CD.∴l= h ×2+b② ∵CD= cos30 3 3
4 3 S 3 S 3 h h 由①得 b= h,代入②,∴l= 3 h 3 h 3
S 3h h
S S S S l′= 3 2 =0,∴h= 4 , 当 h< 4 时，l′<0,h> 4 时，l′>0. h 3 3 3
24 3 S ∴h= 4 时，l 取最小值，此时 b= 3 3
2013-9-14
当r 2时, f r 0.
' '
由于瓶子的半径为 , 所以每瓶饮料的利润是 r 4 3 r3 2 2 y f r 0.2 πr 0.8πr 0.8π r , 3 3 0 r 6. 令f ' r 0.8π r 2 2r 0.
'
②
半径为 cm时,利润最大 . 2013-9-14 6
换一个角度: 如果 我 们不用导 数工具 , 直接 从函数的图象 图 ( 1.4 4)上观察, 你有什么发现? 从图象上容 易看出, 当 r 3 时,
f 3 0, 即瓶子半径是 3cm 时, 饮料的利润与饮料瓶的成本恰
y
r3 2 f r 0.8π r 3
分析:设法把湿周l 求出来,这是关键
B
h
2013-9-14
1 解：由梯形面积公式，得 S= (AD+BC)h,其中 AD=2DE+BC， 2 E D A 3 2 3 DE= h,BC=b∴AD= h+b, 3 3 h 1 2 3 3 600 h 2b)h ( h b)h ① ∴S= ( B C 2 3 3 b h 2 2 h ,AB=CD.∴l= h ×2+b② ∵CD= cos30 3 3
4 3 S 3 S 3 h h 由①得 b= h,代入②,∴l= 3 h 3 h 3
S 3h h
S S S S l′= 3 2 =0,∴h= 4 , 当 h< 4 时，l′<0,h> 4 时，l′>0. h 3 3 3
24 3 S ∴h= 4 时，l 取最小值，此时 b= 3 3
2013-9-14
当r 2时, f r 0.
' '
由于瓶子的半径为 , 所以每瓶饮料的利润是 r 4 3 r3 2 2 y f r 0.2 πr 0.8πr 0.8π r , 3 3 0 r 6. 令f ' r 0.8π r 2 2r 0.
'
②
半径为 cm时,利润最大 . 2013-9-14 6
换一个角度: 如果 我 们不用导 数工具 , 直接 从函数的图象 图 ( 1.4 4)上观察, 你有什么发现? 从图象上容 易看出, 当 r 3 时,
f 3 0, 即瓶子半径是 3cm 时, 饮料的利润与饮料瓶的成本恰
y
r3 2 f r 0.8π r 3
北师大版高中数学选修2-2第三章《导数应用》导数应用小结与复习课件
2019/8/16
例4: 如图,在二次函数f(x)=
4x-x2的图象与x轴所
y
围成的图形中有一个
内接矩形ABCD,求这
个矩形的最大面积.
解:设B(x,0)(0<x<2), 则
x
A(x, 4x-x2).
从而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积
为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2).
(1)求a、b的值；
(2)若f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,求m的取值
解:(1)
f
范围.
(x) 3ax
2
2bx,
由题意得:
f (1) 2
f (1) 3
ab2 3a 2b 3
a b
1 .
3
(2) f ( x) 3x2 6x 3x( x 2) 0,解得x>0或x<-2.
2019/8/16
题型一： 利用导数求切线斜率、瞬时速度
例1 求垂直于直线 2x 6 y 1 0 ，且与曲线 y x3 3x2 1 相切的直线方程.
解法提示：在某一点切线的斜率或在某一 时刻的瞬时速度就是该点或该时刻对应的导数.
2019/8/16
题型二 ：求函数的单调区间.
例2试确定函数 y 1 ln x 1 的单调区间.
练习3:若函数f(x)=x3+bx2+cx在(-∞,0]及[2,+∞)上都是 增函数,而在(0,2)上是减函数,求此函数在[-1,4]上 的值域.
答:由已知得 f (0) f (2) 0可, 求得c=0,b=-3,从而f(x)= x3-3x2.又f(-1)=f(2)=-4,f(0)=0,f(4)=16,所以函数f(x) 在[-1,4]上的值域是[-4,16].
高中数学第三章导数应用1_2函数的极值课件北师大版选修2-2
(1)按定义，极值点 x0 是区间[a，b]内部的点，不会是端点 a，b. (2)极值是一个局部性概念，只要在一个小邻域内成立即可． (3)极大值与极小值没有必然的大小关系，也不唯一． (4)在区间上单调的函数没有极值．
求函数的极值
[例 1] 求下列函数的极值： (1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5； (2)f(x)＝lnxx. [思路点拨] 首先确定函数的定义域，然后求出函数的导数， 利用函数极值的定义求出函数的极值点，进而求出极值．
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (0，π) f′(x) ＋
π
π，32π
3π 2
32π，2π
0
－0
＋
f(x)
π＋2
3π 2
因此，当 x＝32π时，f(x)有极小值32π；当 x＝π 时，f(x)有极大值 π
＋2.
(2)f′(x)＝2xe－x－x2e－x，令 f′(x)＝0，得 x＝0 或 xe2x＋2e－2x－c， 而 2e2x＋2e－2x≥2 2e2x·2e－2x＝4， 当 x＝0 时等号成立． 下面分三种情况进行讨论． 当 c<4 时，对任意 x∈R，f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c>0，此时 f(x) 无极值； 当 c＝4 时，对任意 x≠0，f′(x)＝2e2x＋2e－2x－4>0，此时 f(x) 无极值；
6．(重庆高考)已知函数 f(x)＝ae2x－be－2x－cx(a，b，c∈R)的导函 数 f′(x)为偶函数，且曲线 y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜 率为 4－c. (1)确定 a，b 的值； (2)若 c＝3，判断 f(x)的单调性； (3)若 f(x)有极值，求 c 的取值范围．
北师大版高中数学选修2-2第三章《导数应用》实际问题中导数的意义 课件
(2) W’(t)= W ′(t ) = 3t − 12t + 16
2
W’(1)=7j/s,W’(2)=4j/s W’(1),W’(2)分别表示 分别表示t=1s和t=2s时， 分别表示 和 时 这个人每秒做的功为7j和 这个人每秒做的功为 和4j 在物理学中，通常称力在单位时间内 在物理学中，通常称力在单位时间内 做的功叫做功率，它的单位是瓦特 做的功叫做功率，它的单位是瓦特
二．新课探析 1、功与功率 、 例1、如图所示，某人拉动一个物体前进， 、如图所示，某人拉动一个物体前进， 他所做的功W（单位： ）是时间t（单位： 他所做的功 （单位：J）是时间 （单位： s）的函数，设这个函数可以表示为 ）的函数， 3 2 W=W(t)= t − 6t + 16t (1) 求t从1s变到 时，功W关于时间 的 变到3s时 关于时间t的 从 变到 关于时间 平均变化率， 平均变化率，并解释它的实际意义 (2) 求W’(1),W’(2),并解释它们的实际意义 并解释它们的实际意义
2
′(10) = 6 − 0.8 × 10 + 0.06 × 10 2 = 4 (元/件)， C 元件，
万件时， 因此在生产水平为 10 万件时，每增加一个产品总成本 增加 4 元，远低于当前的单位成本．因此从降低成本 远低于当前的单位成本． 角度看应继续提高产量． 角度看应继续提高产量．
件某产品的总成本函数为： 例 4.5.4 设生产 q 件某产品的总成本函数为：
（3）边际利润 ） 表示总利润， 设总利润函数为 L = L(q) ， L 表示总利润， q 表示 销售量， 销售量 ， 则 L ′(q) 称为销售量为 q 个单位时的边际利 润．边际利润的经济意义是：销售量达到 q 个单位的时 边际利润的经济意义是： 再增加一个单位的销量， 候，再增加一个单位的销量，相应的总利润增加 L′(q)个 单位． 单位．
北师大数学选修2-2配套课件：第三章 导数应用 §2 第2课时
第三章 导数应用
• 本章知识概述：导数应用包括两个方面： 一是利用导数作为一种工具在解决函数问 题中应用；二是导数在分析和解决实际问 题中的应用，在教科书中分为两节．
• 第一部分主要是利用导数来研究函数的单 调性与极大、极小值，是导数在研究和处 理函数性质问题的一个重要应用．
• 第二部分主要是应用导数方法解决现实中 的变化趋势和最优化问题，解决这类问题 的关键是函数模型的建立，从导数角度看 ，主要是导数在数学上的研究成果的应用 ．导数在现实生活中有着广泛的应用，在 物理学中的力学、电学、运动、做功、受 热膨胀等问题的解决都离不开导数．在日 常生活中，利用导数处理最优化问题简单 方便．导数是人们在解决现实生活问题中 的伟大发明．
为视)角_，_则__α＝__γ－_β_，_ta.nγ＝3x.2，tanβ＝1x.8，tanα＝tan(γ－β)
＝1t＋anγta－nγttaannββ＝1＋3x.23－.2×x12x.81.8
＝x2＋1.45x.76(x>0)， 令(tanα)′＝1.4x2＋x52.＋765.－762x2×1.4x＝0， 解得 x＝2.4 或 x＝－2.4(舍去)， 在 x＝2.4 附近，导数值由正到负， 所以在 x＝2.4 时，tanα 取得最大值，α 也取得最大值．
3．已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元)与年产量 x(单位：万件)的函数关
系式为 y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为
(C)
A．13 万件
B．11 万件
C．9 万件
D．7 万件
• [解析] 本题考查了导数的应用及求导运算
，∵x>0，y′＝－x2＋81＝(9－x)(9＋x)，令
实际问题的答案 用_导__数__解决数学问题
• 本章知识概述：导数应用包括两个方面： 一是利用导数作为一种工具在解决函数问 题中应用；二是导数在分析和解决实际问 题中的应用，在教科书中分为两节．
• 第一部分主要是利用导数来研究函数的单 调性与极大、极小值，是导数在研究和处 理函数性质问题的一个重要应用．
• 第二部分主要是应用导数方法解决现实中 的变化趋势和最优化问题，解决这类问题 的关键是函数模型的建立，从导数角度看 ，主要是导数在数学上的研究成果的应用 ．导数在现实生活中有着广泛的应用，在 物理学中的力学、电学、运动、做功、受 热膨胀等问题的解决都离不开导数．在日 常生活中，利用导数处理最优化问题简单 方便．导数是人们在解决现实生活问题中 的伟大发明．
为视)角_，_则__α＝__γ－_β_，_ta.nγ＝3x.2，tanβ＝1x.8，tanα＝tan(γ－β)
＝1t＋anγta－nγttaannββ＝1＋3x.23－.2×x12x.81.8
＝x2＋1.45x.76(x>0)， 令(tanα)′＝1.4x2＋x52.＋765.－762x2×1.4x＝0， 解得 x＝2.4 或 x＝－2.4(舍去)， 在 x＝2.4 附近，导数值由正到负， 所以在 x＝2.4 时，tanα 取得最大值，α 也取得最大值．
3．已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元)与年产量 x(单位：万件)的函数关
系式为 y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为
(C)
A．13 万件
B．11 万件
C．9 万件
D．7 万件
• [解析] 本题考查了导数的应用及求导运算
，∵x>0，y′＝－x2＋81＝(9－x)(9＋x)，令
实际问题的答案 用_导__数__解决数学问题
高中数学 第三章 导数应用章末小结知识整合与阶段检测课件 北师大版选修2-2.pptx
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4．利用导数求函数最值的一般步骤 (1)求 f(x)在(a，b)内的极值； (2)将 f(x)的各极值与 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大 值，最小的一个是最小值． 5．函数最值与极值的区别与联系 (1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念， 而函数的最值是对整个区间而言，是在整体范围内讨论问题，是 一个整体性的概念．
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2．利用导数求函数极值的一般步骤 (1)确定函数 f(x)的定义域； (2)解方程 f′(x)＝0 的根； (3)检验 f′(x)＝0 的根的两侧 f′(x)的符号． 若左正右负，则 f(x)在此根处取得极大值； 若左负右正，则 f(x)在此根处取得极小值； 否则，此根不是 f(x)的极值点． 3．最值 对于函数 y＝f(x)，给定区间[a，b]，若对任意 x∈[a，b]，存 在 x0∈[a，b]，使得 f(x0)≥f(x)(f(x0)≤f(x))，则 f(x0)为函数在区间 [a，b]上的最大(小)值．
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3．利用导数求函数单调区间的步骤： (1)求导数 f′(x)； (2)解不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0； (3)写出单调增区间或减区间． 特别注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝 对不能用“∪”连接． 二、导数与函数的极值和最值 1．极值 当函数 f(x)在 x0 处连续可导时，如果 x0 附近的左侧 f′(x)>0， 右侧 f′(x)<0，那么 f(x0)是极大值；若左侧 f′(x)<0，右侧 f′(x)>0， 那么 f(x0)是极小值．
6
பைடு நூலகம்
(2)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的可导函数 不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．
4．利用导数求函数最值的一般步骤 (1)求 f(x)在(a，b)内的极值； (2)将 f(x)的各极值与 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大 值，最小的一个是最小值． 5．函数最值与极值的区别与联系 (1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念， 而函数的最值是对整个区间而言，是在整体范围内讨论问题，是 一个整体性的概念．
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2．利用导数求函数极值的一般步骤 (1)确定函数 f(x)的定义域； (2)解方程 f′(x)＝0 的根； (3)检验 f′(x)＝0 的根的两侧 f′(x)的符号． 若左正右负，则 f(x)在此根处取得极大值； 若左负右正，则 f(x)在此根处取得极小值； 否则，此根不是 f(x)的极值点． 3．最值 对于函数 y＝f(x)，给定区间[a，b]，若对任意 x∈[a，b]，存 在 x0∈[a，b]，使得 f(x0)≥f(x)(f(x0)≤f(x))，则 f(x0)为函数在区间 [a，b]上的最大(小)值．
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3．利用导数求函数单调区间的步骤： (1)求导数 f′(x)； (2)解不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0； (3)写出单调增区间或减区间． 特别注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝 对不能用“∪”连接． 二、导数与函数的极值和最值 1．极值 当函数 f(x)在 x0 处连续可导时，如果 x0 附近的左侧 f′(x)>0， 右侧 f′(x)<0，那么 f(x0)是极大值；若左侧 f′(x)<0，右侧 f′(x)>0， 那么 f(x0)是极小值．
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பைடு நூலகம்
(2)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的可导函数 不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．