2020年天津市高考数学模拟试卷(4月份)(有答案解析)
2020年天津市高考数学模拟试卷（4月份）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.设全集U={-2，-1，0，1，2}，集合A={x|x2+x-2=0}，B={0，-2}，则B∩（∁U A）=（）A. {0，1}B. {-2，0}C. {-1，-2}D. {0}2.设x∈R，则“|x-2|＜1”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.若变量x，y满足约束条件，则目标函数z=-2x-y的最大值为（）A. 16B. 0C. -2D. 不存在4.阅读如图所示的程序框图，则输出的数据为（）A. 21B. 58C. 141D. 3185.抛物线y2=ax（a＞0）的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则a的值为（）A. 8B. 6C. 4D. 26.函数y=sin（2x+）的图象经下列怎样的平移后所得的图象关于点（-，0）中心对称（）A. 向左平移B. 向右平移C. 向左平移D. 向右平移7.已知定义在R上的函数f（x）满足f（3-x）=f（3+x），且对任意x1，x2∈（0，3）都有，若，b=log23，c=e ln4，则下面结论正确的是（）A. f（a）＜f（b）＜f（c）B. f（c）＜f（a）＜f（b）C. f（c）＜f（b）＜f（a）D. f（a）＜f（c）＜f（b）8.边长为2的菱形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD相交于点F．若∠BAD=60°，则=（）A. 1B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.设复数，则=______．10.已知正方体内切球的体积为36π，则正方体的体对角线长为______．11.已知直线l：y=kx（k＞0）为圆的切线，则k为______．12.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，当x＞0时，xf'（x）-f（x）＞0，则不等式的解集是______．13.已知a＞1，b＞1，若log a2+log b16=3，则log2（ab）的最小值为______．14.已知函数f（x）=，若方程有八个不等的实数根，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）15.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．cos（π-B）=，c=1，a sin B=c sin A．（Ⅰ）求边a的值；（Ⅱ）求cos（2B+）的值．16.点外卖现已成为上班族解决午餐问题的一种流行趋势．某配餐店为扩大品牌影响力，决定对新顾客实行让利促销，规定：凡点餐的新顾客均可获赠10元或者16元代金券一张，中奖率分别为和，每人限点一餐，且100%中奖．现有A公司甲、乙、丙、丁四位员工决定点餐试吃．（Ⅰ）求这四人中至多一人抽到16元代金券的概率；（Ⅱ）这四人中抽到10元、16元代金券的人数分别用X、Y表示，记ξ=XY，求随机变量ξ的分布列和数学期望．17.如图，在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=2，AD=1．（1）若M为PC的中点，求证：DM∥平面PAB；（2）求证：平面PAB⊥平面PBC；（3）求AC与平面PBC所成角的大小．18.已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令，求数列{b n}的前n项和T2n；（Ⅲ）若对于∀n∈N*，恒成立，求λ范围．19.已知椭圆（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，左右顶点分别为A，B，过右焦点F2且垂直于长轴的直线交椭圆于G，H两点，|GH|=3，△F1GH的周长为8．过A点作直线l交椭圆于第一象限的M点，直线MF2交椭圆于另一点N，直线NB与直线l交于点P；（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若△AMN的面积为，求直线MN的方程；（Ⅲ）证明：点P在定直线上．20.已知函数f（x）=2ln x-x2．（Ⅰ）求f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若函数y=f（x）与y=m在内恰有一个交点，求实数m的取值范围；（Ⅲ）令g（x）=f（x）-nx，如果g（x）图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2），AB中点为C（x0，0），求证：g'（x0）≠0．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：解一元二次方程x2+x-2=0得：x=-2或x=1，即A=，∁U A=，又B={0，-2}，则B∩（∁U A）=，故选：D．由一元二次方程的解法得：A=，由集合的交、并、补运算得：∁U A=，又B={0，-2}，则B∩（∁U A）=，得解．本题考查了一元二次方程的解法及集合的交、并、补运算，属简单题．2.答案：A解析：由|x-2|＜1知，1＜x＜3．故A={x|1＜x＜3}．由＞0，知x＞1或x＜-2．故B={x|x＞1或x＜-2}．因为A⊆B，所以答案为充分不必要条件．故选：A．分别解出不等式解集，借助数轴找出包含关系．本题考查了集合的子集关系与充分必要条件的关系，属于基础题．3.答案：B解析：解：画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示，由z=-2x-y得y=-2x-z，平移直线y=-2x-z，由图象知当直线y=2x-z经过点A时，直线y=-2x-z的截距最小，此时z最大；由，解得A（-1，2），所以z的最大值为-2×（-1）-2=0．故选：B．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z的几何意义，进行平移，结合图象得到z=-2x-y的最大值．本题主要考查了简单的线性规划应用问题，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解答此类问题的基本方法．4.答案：C解析：解：模拟程序的运行，可得S=0，k=1不满足条件k＞5，执行循环体，S=1，k=2不满足条件k＞5，执行循环体，S=6，k=3不满足条件k＞5，执行循环体，S=21，k=4不满足条件k＞5，执行循环体，S=58，k=5不满足条件k＞5，执行循环体，S=141，k=6满足条件k＞5，退出循环，输出S的值为141．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．5.答案：A解析：【分析】求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，解得两交点，由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．本题考查三角形的面积的求法，注意运用抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．【解答】解：抛物线y2=ax的准线为x=-，双曲线C：-=1的两条渐近线为y=±x，可得两交点为（-，a），（-，-a），即有三角形的面积为••a=2，解得a=8，故选：A．6.答案：B解析：解：假设将函数y=sin（2x+）的图象平移ρ个单位得到：y=sin（2x+2ρ+）关于点（-，0）中心对称∴将x=-代入得到：sin（-+2ρ+）=sin（+2ρ）=0∴+2ρ=kπ，∴ρ=-+，当k=0时，ρ=-故选：B．先假设将函数y=sin（2x+）的图象平移ρ个单位得到关系式，然后将x=-代入使其等于0，再由正弦函数的性质可得到ρ的所有值，再对选项进行验证即可．本题主要考查正弦函数的平移变换和基本性质--对称性，属于基础题．7.答案：C解析：解：根据题意，定义在R上的函数f（x）满足f（3-x）=f（3+x），则函数f（x）关于直线x=3对称，c=e ln4=4，f（c）=f（4）=f（2），又由对任意x1，x2∈（0，3）都有，则函数f（x）在（0，3）上为减函数，若=，b=log23，则有0＜a＜1＜b＜2，则f（c）＜f（b）＜f（a），故选：C．根据题意，由f（3-x）=f（3+x）分析可得函数f（x）关于直线x=3对称，据此可得f（c）=f（4）=f（2）；由函数单调性的定义可得函数f（x）在（0，3）上为减函数，据此分析可得答案．本题考查函数的单调性以及对称性的应用，注意结合函数的单调性进行分析，属于基础题．8.答案：B解析：解：设=λ+（1-λ），又=+=+，且存在实数t使得=t，∴λ+（1-λ）=+t，∴，∴，∴=+，∴=-=+，∴•=（-）•=（+-）•=（+-）•（+）=（+--）•（+）=（-）•（+）=2-2-•=×4-×4-×=故选：B．取基向量，，然后根据三点共线以及向量加减法运算法则将，表示为基向量后再相乘可得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．9.答案：2解析：解：∵=，∴，则z+=2．故答案为：2．利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求出，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．10.答案：解析：解：∵正方体的内切球体积为36π，设内切球的半径为r，则，得r=3，即内切球的半径为3，∵正方体的内切球的直径与正方体的边长相等为6，∴正方体的体对角线长为．故答案为：．由正方体的内切球的体积求得球的半径，得到正方体的边长，从而求得正方体的体对角线长．本题考查正方体的内切球，考查空间想象能力，考查计算能力，属于基础题．11.答案：解析：解：根据题意，圆的圆心为（，0），半径r=1，若直线l：y=kx（k＞0）即kx-y=0与圆相切，则有=1，解可得：k=±，又由k＞0，则k=，故答案为：．根据题意，求出圆C的圆心与半径，结合直线与圆相切的性质可得=1，解可得k的值，结合k的范围分析即可得答案．本题考查直线与圆相切的性质以及圆的切线方程的计算，属于基础题．12.答案：（-∞，-1）∪（1，+∞）解析：解：依题意，f（1）=0由xf'（x）-f（x）＞0，得函数g（x）=在（0，+∞）上为增函数又由g（-x）===g（x），得函数g（x）在R上为偶函数∴函数g（x）在（-∞，0）上为减函数且g（1）=0，g（-1）=0由图可知＞0的解集是（-∞，-1）∪（1，+∞）故答案为：（-∞，-1）∪（1，+∞）．先由xf'（x）-f（x）＞0，得函数g（x）=在（0，+∞）上为增函数，再由函数f（x）是定义在R上的奇函数，函数g（x）在R上为偶函数，从而画出函数的示意图，数形结合解不等式即可．本题综合考察了导数的四则运算，导数在函数单调性中的应用，及函数奇偶性的判断和性质，解题时要能根据性质画示意图，数形结合解决问题．13.答案：3解析：解：∵log a2+log b16=3；∴；又a＞1，b＞1；∴log2a＞0，log2b＞0；∴log2（ab）=log2a+log2b==；∴log2（ab）的最小值为3．故答案为：3．根据log a2+log b16=3即可得出，从而得出log2（ab）=（log2a+log2b）=，根据基本不等式即可求出log2（ab）的最小值．考查对数的运算，对数的换底公式，以及基本不等式的应用．14.答案：解析：解：设t=f（x），则方程方程可化为：t2+at+=0，设此方程有两根t=t1，t=t2，有八个不等的实数根等价于y=f（x）的图象与直线t=t1，t=t2的交点个数之和为8，由已知有：当x＞0时，f（x）=x lnx，则f′（x）=ln x+1，当0时，f′（x）＜0，当x时，f′（x）＞0，即f（x）在（0，）为减函数，在（，+∞）为增函数，则其图象如图所示：当y=f（x）的图象与直线t=t1，t=t2的交点个数之和为8，则x1，x2∈（-，0），得，解得：，故答案为：（，）由方程的根与函数零点的相互转化得：有八个不等的实数根等价于y=f（x）的图象与直线t=t1，t=t2的交点个数之和为8，由利用导数研究函数的单调性及最值可作函数t=f（x）的图象，结合二次方程的区间根问题列不等式组得，求解即可，本题考查了方程的根与函数零点的相互转化、利用导数研究函数的单调性及最值，二次方程的区间根问题，属难度较大的题型．15.答案：解：（Ⅰ）由cos（π-B）=，得cos B=-，………………………………（1分）∵c=1，由a sin B=c sin A，得ab=ca，∴b=，……………………（3分）由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B，得3a2+4a-15=0，解得a=，或a=-3，（舍）∴a=．…………………………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）∵由cos B=-，得sin B=，………………………………………………（7分）∴sin2B=2sin B cosB=-，cos2B=2cos2B-1=-，………………………………………………（10分）∴cos（2B+）=cos2B cos-sin2B sin=．…………………………（13分）解析：（Ⅰ）由已知利用诱导公式可求cos B的值，利用正弦定理化简已知等式可求b 的值，根据余弦定理即可解得a的值．（Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式可求sin B的值，根据二倍角公式可求sin2B，cos2B 的值，进而根据两角和的余弦函数公式即可计算得解cos（2B+）的值．本题主要考查了诱导公式，正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的余弦函数公式的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16.答案：（本题13分）（Ⅰ）解：设“四人中恰有i人获赠16元代金券”为事件A i，其中i=0，1，2，3，4．则由P（A i）=………………………（2分）得．（5分）（Ⅱ）解：随机变量ξ的所有可能取值为0，3，4．………………………（6 分），（8分），…（10分），………（11分）ξ034Pξ的数学期望．………（13分）解析：（Ⅰ）设“这4人中恰有i人抽到16元代金券”为事件A i，由此利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出这4人中恰有1人抽到500元代金券的概率．（Ⅱ）由已知ξ可取0，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列与数学期望．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．17.答案：证明：（Ⅰ）取PB中点N，连接MN和NA，则MN∥BC且，又AD∥BC且，所以MN∥AD且MN=AD，所以四边形DMNA为平行四边形，所以DM∥AN，因为DM⊄平面PAB，AN⊂平面PAB，所以DM∥平面PAB．（Ⅱ）由PA⊥平面ABCD，BC平面ABCD,得BC⊥PA，因为BC⊥AB，BC⊥PA，AB∩PA=A，所以BC⊥平面PAB，又BC平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC．解：（Ⅲ）由PA=AB且N为PB中点推出AN⊥PB，由（Ⅱ）知BC⊥平面PAB，AN平面PAB,则AN⊥BC，又PB∩BC=B，所以AN⊥平面PBC，所以∠ACN即为所求．，，所以AC与平面PBC所成角的大小为30°．解析：本题考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．（Ⅰ）取PB中点N，连接MN和NA，推导出四边形DMNA为平行四边形，DM∥AN，由此能证明DM∥面PAB；（Ⅱ）由BC⊥AB，BC⊥PA，得到BC⊥面PAB，由此能证明面PAB⊥面PBC；（Ⅲ）由AN⊥PB，AN⊥BC，得AN⊥面PBC，∠ACN即为所求．由此能求出AC与面PBC 所成角的大小．18.答案：解：（Ⅰ）等差数列{a n}的公差为2，∵S1，S2，S4成等比数列，∴，解得a1=1，a n=2n-1．（Ⅱ）由于a n=2n-1．所以：．（Ⅲ）由于：，故：λ2-2λ-2≥1；∴λ≥3或λ≤-1．解析：（Ⅰ）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的通项公式，进一步利用列想想效法求出数列的和．（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论，再利用放缩法和函数的恒成立问题的应用求出参数的范围．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，放缩法在数列的求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．19.答案：解：（Ⅰ），解得：；所以椭圆方程为：．（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），①当直线MN斜率k存在时：设MN方程为y=k （x-1），联立得：（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0，△=144（k2+1）＞0，；∴；A（-2，0）到MN直线kx-y-k=0的距离为，∴；当k=-1时，MN直线方程过F2（1，0）直线MN与椭圆的交点不在第一象限（舍）；所以MN方程为x-y-1=0．②当直线MN斜率k不存在时，（舍）．综上：直线MN方程为：x-y-1=0证明（Ⅲ）设AM：y=k1（x+2）（k1＞0），与椭圆联立：，∵同理设BNy=k2（x-2）（k2＞0），可得，所以MN的方程为：，以及MN方程过F2（1，0），将F2，M，N坐标代入可得：（4k1k2+3）•（k2-3k1）=0，∵k1k2＞0，∴k2=3k1．又因为AM与NB交于P点，即，，将k2=3k1代入得x P=4，所以点P在定直线x=4上MN方程为x-y-1=0解析：（Ⅰ）由题意可得，解得：，即可求出椭圆的方程，（Ⅱ）当直线MN斜率k存在时：设MN方程为y=k（x-1），根据韦达定理和弦长公式和点到直线的距离，即可表示三角形的面积，即可求出k的值，可得直线方程，（Ⅲ）设AM：y=k1（x+2）（k1＞0），与椭圆联立，求出点M的左边，同理求出点N 的坐标，将F2，M，N坐标代入可得：（4k1k2+3）•（k2-3k1）=0，即可求证点P在定直线上．本题考查椭圆的标准方程的简单几何性质，直线与圆锥曲线的综合应用，考查了弦长公式，考查计算能力，属于难题．20.答案：解：（Ⅰ），则f'（2）=-3，且切点坐标为（2，2ln2-4），所以所求切线方程为：3x+y-2-2ln2=0；（Ⅱ）（-1舍去），所以f（x）在为增函数，在（1，e）为减函数，∴，f（1）=-1，f（e）=2-e2；所以；（Ⅲ）证明：g（x）=2ln x-x2-nx，，假设g'（x0）=0，则有，①-②得：，∴，由④得，∴；即；即⑤；令，，则在0＜t＜1上增函数．u（t）＜u（1）=0．∴⑤式不成立，故与假设矛盾．∴g'（x0）≠0．解析：（Ⅰ）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得所求切线方程；（Ⅱ）求得f（x）的极值点和极值，单调性、区间端点处的函数值，结合条件艰苦端点所求范围；（Ⅲ）求得g（x）=2ln x-x2-nx，，假设g'（x0）=0，由方程的根的定义和中点坐标公式，作差，化简整理，构造函数，即可得到矛盾，即可得证．本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查函数方程转化思想和反证法的运用，考查化简运算能力，属于综合题．。
2020年 普通高考(天津卷)全真模拟卷(4)(解析版)
1 / 132020年 普通高考（天津卷）全真模拟卷（4）数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：高中全部内容。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{}4U x N x =∈≤，集合{}{}1,2,2,4A B ==，则()U A B ⋃ð为 A ．{}1 B ．{}0,1,2C ．{}1,2,3D ．{}0,1,2,3【答案】D【解析】{}{}40,1,2,3,4U x N x =∈≤=，{}0,1,3U B =ð，(){}0,1,2,3U A B ⋃=ð，故选：D 2．下列说法错误．．的是 A ．命题:p “2000,10x R x x ∃∈++<”，则p ⌝：“2,10x R x x ∀∈++≥”B ．命题“若2430x x -+=，则3x =”的否命题是真命题C ．若p q ∧为假命题，则p q ∨为假命题D ．若p 是q 的充分不必要条件，则q 是p 的必要不充分条件 【答案】C【解析】命题p ：“∃x 0∈R ，x 02+x 0+1＜0”，则￢p ：“∀x ∈R ，x 2+x +1≥0”满足命题的否定形式，所以A 正确； 命题“若x 2﹣4x +3＝0，则x ＝3”的逆命题是x ＝3，则x 2﹣4x +3＝0，逆命题为真命题，而逆命题与否命题互为逆否命题，同真同假，所以B 正确；若p ∧q 为假命题，至少一个是假命题，当个命题都是假命题是p ∨q 为假命题，所以C 不正确；2 / 13若p 是q 的充分不必要条件，则q 是p 的必要不充分条件，满足充要条件的定义，所以D 正确； 故选C ．3．三个数30.330.5,log 0.5,5a b c === 之间的大小关系是A ．b a c <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b c a <<【答案】A【解析】33log 0.5log 10b =<=，()30.50,1a =∈，0.30551c =>=，所以b a c <<．故选：A ．4．《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长四尺，莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．意思是：今有蒲第一天长高四尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的两倍．请问第几天，莞的长度是蒲的长度的4倍 A ．4天 B ．5天C ．6天D ．7天【答案】B【解析】由题意，蒲第一天长高四尺，以后蒲每天长高前一天的一半，所以蒲生长构成首项为14a =，公比为112q =的等比数列，其前n 项和为314[1()]128()1212n n n S -⨯-==--， 又由莞第一天长高一尺，每天长高前一天的两倍，则莞生长构成首项为14b =，公比为12q =的等比数列，其前n 项和为1[12]2112nn n T ⨯-==--，又因为4n n T S =，即31214[8()]2nn --=⨯-，解得5n =．故选：B ．5．已知1F ，2F 分别为双曲线()222330x y aa -=>的左右焦点，P 是抛物线28y ax =-与双曲线的一个交点，若1218PF PF +=，则抛物线的准线方程为（ ） A ．2x = B ．3x =- C ．3x = D ．2x =-【答案】C【解析】双曲线的标准方程为222213x y a a-=，3 / 13∴双曲线的左焦点1(2,0)F a -为抛物线28y ax =-的焦点，联立方程组2222338x y a y ax⎧-=⎨=-⎩，消元可得2238+30x ax a -=，解得3ax =（舍)或3x a =-．不妨设P 在第二象限，则(3P a -，)，又2(2,0)F a，1||5PF a ∴=，2||7PF a ， 12||||1218PF PF a ∴+==，即32a =．所以抛物线的方程为212y x =- ∴抛物线的准线方程为112=34x =⨯．故选：C ．6．将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向左平移12π个单位，再向上平移1个单位，得到()g x 的图像．若()()129g x g x =，且[]12,2,2x x ππ∈-，则122x x -的最大值为A ．174πB ．256πC ．356πD ．4912π【答案】D【解析】由已知可得()()112g x f x π=++⇒()()()122sin 21322,33212g x x g x g x x k k x k πππππππ⎛⎫=++⇒==⇒+=+∈⇒=+ ⎪⎝⎭()121223111349,,,,21212121212maxx x x x πππππ⎧⎫⇒∈--⇒-=⎨⎬⎩⎭，故选D 7．某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、英语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科．学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为 A ．6 B ．12 C ．18 D ．19【答案】D【解析】从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中任选三科的方法有3620C =种方法，从物理、政治、历史三科中至少选考一科的对立事件是一科都不选，即从剩下的三科选三科，共1种方法，所以学生甲的选考方法种数有20-1=19种方法．故选：D8．如图，原点O 是ABC ∆内一点，顶点A 在x 上，0150AOB ∠=， 090BOC ∠=， ||2OA =u u u r ， ||1OB =uu u r，4 / 133OC =u u u v ，若OC OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则μλ=A． BC．D【答案】D【解析】建立如图所示的直角坐标系，则A （2，0），B12），C （﹣32）， 因为OC OA OB λμ=+u u u v u u u v u u u v ，由向量相等的坐标表示可得：3222122λμμ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得3λμ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩ ，即μλ故选D ．9．已知定义在R 上的函数()f x 满足： ①(1)0f =；②对任意的x ∈R 都有()f x -()f x =-； ③对任意的1x 、2x ()0,∈+∞且1x ≠2x 时，总有1212()()0f x f x x x ->-．记2()3()()1f x f xg x x --=-，则不等式()0g x ≤的解集为A ．[)()1,00,1-⋃B ．(][),10,1-∞-UC ．[)1,0-D ．[]1,0-5 / 13【答案】D【解析】根据①(1)0f =； ②对任意的x ∈R 都有()f x -()f x =-； ③对任意的1x 、2x ()0,∈+∞且1x ≠2x 时，总有1212()()0f x f x x x ->-．可得()f x 在(),0-∞，()0,∞+上单调递增，且()()110f f =-=，()00f = 所以得到()f x 图像，如图所示，()()()()23511f x f x f xg x x x --==--所以不等式()0g x ≤，即()01f x x ≤- ()100x f x -<⎧⎨≥⎩，1101x x x <⎧⎨-≤≤≥⎩或，所以10x -≤≤ ()100x f x ->⎧⎨≤⎩，1101x x x >⎧⎨≤-≤≤⎩或，所以无解集， 综上所述，()0g x ≤的解集为[]1,0-．故选：D ． 第Ⅰ卷 二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分．6 / 1310．i 为虚数单位，若复数22(23)()m m m m i +-+-是纯虚数，则实数m =_______． 【答案】-3【解析】∵复数()()2223m m m m i +-+-是纯虚数，22230m m m m ⎧+-∴⎨-≠⎩＝ ，解得3m =- ．11．二项式1022x ⎫⎪⎭，则该展开式中的常数项是______． 【答案】180【解析】由题意，二项式1022x ⎫⎪⎭的展开式的通项为1051021101022()2rr r r r rr T C C x x --+==⋅，令2r =，可得223102180T C ==，即展开式的常数项是180．12．已知函数()()x f x e ax a R =+∈，若过原点O 的直线l 与曲线()y f x =相切，切点为P，若OP =a 的值为__________．【答案】(21)e -+或1【解析】由函数的解析式可得：()'xf x e a =+，设切点坐标为()000,xP x e ax +，则切线的斜率为：()00'xk f x e a ==+，切线方程为：()()()0000xxy e ax e ax x -+=+-，切线过坐标原点，则：()()()000000xxe ax e a x -+=+-，解得：01x =，切点坐标为：()1,P e a +，=a 的值为()21e -+或1．13．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，3AB =，4BC =，5PA =，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为__________ 【答案】50π【解析】由题意，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面,,3,4,5ABC AB BC AB BC PA ⊥===， 以,,AB BC PA 为长宽高构建长方体，则长方体的外接球是三棱锥P ABC -的外接球， 所以三棱锥P ABC-的外接球的半径为2R ==，所以三棱锥P ABC -的外接球的表7 / 13面积为224450S R πππ==⨯=． 14．用17列货车将一批货物从A 市以/vkm h 的速度匀速行驶直达B 市．已知A 、B 两市间铁路线长400km ，为了确保安全，每列货车之间的距离不得小于220v km ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则这批货物全部运到B 市最快需要________h ，此时货车的速度是________/km h ． 【答案】8，100【解析】这批货物全部运到B市需要时间为24001640016208400v v v v ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+≥=当40016400vv =，即100v =，速度越快，时间越短，所以最快需要100/km h 的速度行驶，需要8小时，故答案为8，100．15．已知函数11(0)()2ln (0)x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩若存在四个不同的实数,,,a b c d 且()a b c d <<<，使得()()()()f a f b f c f d ===，记()S a b cd =+，则S 的值为_____．【答案】-4【解析】()()1102(0)x x f x lnx x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩若存在四个不同的实数,,,a b c d 且()a b c d <<<，使得()()()()f a f b f c f d ===，所以11(1)122a b -+=+，即4a b +=-，又ln ln c d -=，即1cd =，414S =-⨯=-四、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．已知在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且1c =，)()cos sin sin cos 0B C B A B +-+=（1）求角C 的大小；（2）若3a b =，求()cos 2B C -的值．8 / 13【答案】（1）3π．（2）1314． 【解析】（1）cos B sin C +﹣sin B ）cos （A +B ）＝0 可得：cos B sin Ca ﹣sin B ）cos C ＝0 即：sinA cos C ＝0． 由正弦定理可知：a csinA sinC=，∴asinCccos C ＝0， ∴a sinC cos C ＝0，c ＝1， ∴sinC C ＝0，可得2sin （C 3π-）＝0，C 是三角形内角， ∴C 3π=．（2）∵a ＝3b ，∴sin A ＝3sin B ． ∵3C π=，∴233sin B sinB π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即5sinB =． ∵cos B ＝0上式不成立，即cos B ≠0，∴tanB =，sin B =，cos2B ＝2cos 2B ﹣11114=，sin2B =，∴cos （2B ﹣C ）＝cos2B cos C +sin2B sin C＝1111314214⨯+=． 17．如图，底面ABCD 是边长为1的正方形，DE ⊥平面ABCD ，//,3AF DE DE AF =，BE 与平面ABCD 所成角为60°．9 / 13（1）求证：AC ⊥ 平面BDE ； （2）求二面角F BE D --的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2）13． 【解析】（1）证明：∵DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴DE AC ⊥，又∵底面ABCD 是正方形， ∴AC BD ⊥． ∵BD DE D ⋂=， ∴AC ⊥平面BDE ．（2）解：∵,,DA DC DE 两两垂直，∴以D 为原点，DA 方向为x 轴，DC 方向为y 轴，DE 方向为z 轴建立空间直角坐标系， 由已知可得060DBE ∠=，∴EDDB= 由1AD =，可知BD DE AF ===． 则()(()()1,0,0,,,1,1,0,0,1,0A F E B C ⎛ ⎝⎭，∴0,1,3BF ⎛=- ⎝⎭u u u v，1,0,3EF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u v ． 设平面BDE 的一个法向量为(),,n x y z =v ，则00n BF n EF ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v，即0,30,y z x z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩令z =(4,n =v．∵AC ⊥平面BDE ，则CA u u u v为平面BDE 的一个法向量，∴()1,1,0CA =-u u u v，cos ,13n CA 〈=〉u uu v v ，∵二面角F BE D --为锐角，10 / 13∴二面角F BE D --． 18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，110,,.n n a S n a n N *+=+=∈（Ⅰ）求证：数列{}1n a +是等比数列；（Ⅰ）设数列{}n b 的首项11b =，其前n 项和为n T ，且点()1,n n T T +在直线112x y n n -=+上，求数列1n n b a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.n R【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅰ)124.2n n n R -+=-【解析】（Ⅰ）由1n n S n a ++=， ① 得()112n n S n a n ++-=≥， ② ①-②，得()1212n n a a n +=+≥，()()11212n n a a n +∴+=+≥，110,1 1.a a =∴+=Q由①得()21121111,121a S a a a =+=+=∴+=+{}1n a ∴+是以1为首项，公比为2的等比数列，（Ⅰ）由（Ⅰ）得1112,21n n n n a a --+=∴=-，Q 点()1,n n T T +在直线112x y n n -=+上，1112n n T T n n +∴-=+， n T n ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是以11111T b ==为首项，公差为12的等差数列，()()111,.22n n n n T n T n +∴=+-∴= 当2n ≥时，()()11122n n n n n n n b T T n -+-=-=-=，11 / 13又11b =满足上式，.n b n ∴=112n n n b n a -∴=+， 01211232222n n n R -∴=++++L ， ③ 23111231222222n n n n n R L --∴=+++++， ④ ③-④，得2311111111222222n n n n R L -⎛⎫-=+++++- ⎪⎝⎭1122212212n n n n n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-=--， 124.2n n n R -+∴=- 19．已知圆G：2220x y x +-=经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点F 及上顶点B ，过椭圆外一点（m ，0）(m a >)倾斜角为56π的直线L 交椭圆与C 、D 两点． （1）求椭圆的方程;（2）若右焦点F 在以线段CD 为直径的圆E 的内部，求m 的取值范围． 【答案】(1)22162x y +=;(2)． 【解析】（1）Q圆22:20G x y x +--=经过点F 、B，2(2,0),2,6F B c b a ∴∴==∴=故椭圆的方程为22162x y +=； （2）设直线L的方程为)(y x m m =->由22162{()3x y y x m +==-消去y 得2222(6)0x mx m -+-= 由2248(6)0,m m =-->V解得m -<<12 / 13又m m ><<设1122(,),(,),C x y D x y 则212126,,2m x x m x x -+==2121212121)()()33333m m y y x m x m x x x x ⎡⎤⎡⎤∴=--⋅--=-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦11221212(2,),(2,),(2)(2)FC x y FD x y FC FD x x y y =-=-∴⋅=--+u u u r u u u r u Q u u r u u u r 212124(6)2(3)()43333m m m m x x x x +-=-+++= Q 点F 在圆E 内部，0,FC FD ∴⋅<u u u r u u u r 即2(3)0,3m m -<解得0<m<3 ∴m的取值范围是．20．已知函数()()()2ln 21f x x ax a x a R =++++∈ ()1讨论函数()f x 的单调性；()2设a Z ∈，对任意()0,0x f x >≤的恒成立，求整数a 的最大值；()3求证：当0x >时，32ln 210x e x x x x x -+-+->【答案】（1）当0a ≥时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a <时，()f x 在1(0,)a-上单调递增，在1(,)a -+∞上单调递减；（2）2-；（3）证明见解析． 【解析】（1）∵函数 f （x ）＝()()()22111221'22x ax ax ax x f x ax a x x x+++++=+++==（a ∈R ）． ∴21x x+=＞，x ＞0， 当a ＝0时，f ′（x ）1a-＜0，f （x ）在（0，+∞）单调递增． 当a ＞0时，f ′（x ）＞0，f （x ）在（0，+∞）单调递增． 当a ＜0时，令f ′（x ）＞0，解得：0＜x 1a-＞，13 / 13令f ′（x ）＜0，解得：x 111()ln max f x f a a a ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故f （x ）在（0，1a -）递增，在（1a-，+∞）递减． （2）当0a ≥时，则f （1）＝2a +3＞0，不满足f （x ）≤0恒成立． 若a <0，由（1）可知，函数f （x ）在（0，1a -）递增，在（1a -，+∞）递减． ∴11ln a a⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，又f （x ）≤0恒成立， ∴f （x ）max ≤0，即11 ln a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭0，令g(a)=1 ln 22-，则g(a)单调递增，g(-1)=1， g(-2)=32ln x 0x x x --≥<0，∴a 2≤-时，g(a) <0恒成立，此时f （x ）≤0恒成立， ∴整数a 的最大值-2．（3）由（2）可知，当a ＝-2时，f （x ）≤0恒成立，即lnx ﹣2x 2+1≤0．即x lnx ﹣2x 3+x≤0，32ln 21x e x x x x x -+-+-=恒成立，①又32ln x x x x --e x ﹣x 2+2x ﹣1+（()2()2222ln min h x h ln eln ==-+=） ∴只需证e x ﹣x 2+2x ﹣10≥，记g （x ）＝e x ﹣x 2+2x ﹣1（x ＞0），则g ′（x ）＝e x ﹣2x +2，记h （x ）＝e x ﹣2x +2，则h ′（x ）＝e x ﹣2，由h ′（x ）＝0，得x ＝ln 2． 当x ∈（0，ln 2）时，h ′（x ）＜0；当x ∈（ln 2，+∞）时，h ′（x ）＞0． ∴函数h （x ）在（0，ln 2）上单调递减；在（ln 2，+∞）上单调递增． ∴32ln 21x e x x x x x -+-+-4﹣2ln 2＞0．∴h （x ）＞0，即g ′（x ）＞0，故函数g （x ）在（0，+∞）上单调递增． ∴g （x ）＞g （0）＝e 0﹣1＝0，即e x ﹣x 2+2x ﹣1＞0．结合①∴e x ﹣x 2+2x ﹣1+（()2()2222ln min h x h ln eln ==-+=）＞0，即32ln 21x e x x x x x -+-+-＞0成立．。
天津市南开区2020年高考数学模拟试卷(4月份) 含解析
天津市南开区2020年高考模拟考试（4月份）数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）设全集为U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合S＝{1，3，5}，T＝{3，6}，则∁U （S∪T）等于（）A．∅B．{1，3，5，6} C．{2，4，7} D．{2，4，6} 2．（3分）已知命题p：x2+2x﹣3＞0，命题q：x＞a，且q的一个必要不充分条件是p，则实数a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1] C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣3] 3．（3分）为了调查学生的复习情况，高三某班的全体学生参加了一次在线测试；成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．若成绩在[60，80）的人数是16，则低于60分的人数是（）A．6 B．12 C．15 D．184．（3分）函数的部分图象可能是（）A．B．C．D．5．（3分）若圆C的圆心在第一象限，圆心到原点的距离为，且与直线4x﹣3y＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是（）A．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1C．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5 D．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝56．（3分）已知函数f（x）＝，设，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．b＞a＞c7．（3分）已知函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，则f （x）的解析式为（）A．B．C．D．8．（3分）已知点A是抛物线y2＝4x与双曲线﹣＝1（b＞0）的一个交点，若抛物线的焦点为F，且|AF|＝4，则点A到双曲线两条渐近线的距离之和为（）A．2B．4 C．2D．29．（3分）已知函数，若方程f（x）＝ax有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（0，1] D．（1，+∞）二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）10．（3分）若（i是虚数单位，a是实数），则a＝．11．（3分）二项式的展开式中，常数项为．12．（3分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是CC1上一点，设四棱锥D﹣A1ABB1的体积为V1，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V2，则V1：V2＝．13．（3分）甲、乙两名枪手进行射击比赛，每人各射击三次，甲三次射击命中率均为；乙第一次射击的命中率为，若第一次未射中，则乙进行第二次射击，射击的命中率为，如果又未中，则乙进行第三次射击，射击的命中率为．乙若射中，则不再继续射击．则甲三次射击命中次数5的期望为，乙射中的概率为．14．（3分）已知存在正数a，b使不等式成立，则x的取值范围．15．（3分）在平面四边形ABCD中，AB＝BC＝2CD＝2，∠ABC＝60°，∠ADC＝90°，若＝＝＝，则2•+•＝；若P为边BC上一动点，当•取最小值时，则cos∠PDC的值为．三、解答题（共5小题，满分75分）16．（14分）在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，若△ABC的面积为，a﹣b＝1，a cos C﹣c sin A＝0．（Ⅰ）求c及cos A；（Ⅱ）求cos （2A﹣C）的值．17．（15分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝AA1，AB⊥AC，p为线段BC1上一点．（Ⅰ）若BP＝PC1，求PC与AA1所成角的余弦值；（Ⅱ）若，求PC与平面ABB 1A1所成角的大小；（Ⅲ）若二面角A1﹣AC﹣P的大小为45°，求的值．18．（15分）已知数列{a n}的前n项和S n＝．数列{b n}满足：b1＝b2＝2，b n+1b n＝2n+1（n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求．19．（15分）已知点F是椭圆b＞0）的右焦点，过点F的直线I交椭圆于M，N两点．当直线l过C的下顶点时，l的斜率为，当直线l垂直于C的长轴时，△OMN的面积为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）当|MF|＝2|FN|时，求直线l的方程；（Ⅲ）若直线l上存在点P满足|PM|，|PF|，|PN|成等比数列，且点P在椭圆外，证明：点P在定直线上．20．（16分）已知函数f（x）＝axlnx﹣x a，其中a∈R．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为x﹣y﹣e＝0，其中e＝2.71828…是自然对数的底数，求a的值：（Ⅱ）若函数f（x）是（1，+∞）内的减函数，求正数a的取值范围；（Ⅲ）若方程f（x）＝0无实数根，求实数a的取值范围．天津市南开区2020年高考模拟（4月份）数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）设全集为U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合S＝{1，3，5}，T＝{3，6}，则∁U （S∪T）等于（）A．∅B．{1，3，5，6} C．{2，4，7} D．{2，4，6}【分析】先算出S与T的并集，再算出S∪T关于U的补集即可．【解答】解：因为全集为U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合S＝{1，3，5}，T＝{3，6}，所以：S∪T＝{1，3，5，6}；∴∁U（S∪T）＝{2，4，7}；故选：C．【点评】本题主要考查了集合的并、交、补集混合运算，属于基础知识的考查．2．（3分）已知命题p：x2+2x﹣3＞0，命题q：x＞a，且q的一个必要不充分条件是p，则实数a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1] C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣3] 【分析】先化简再判断充要性．【解答】解：命题p：x2+2x﹣3＞0，解之得x＜﹣3或x＞1，且q的一个必要不充分条件是p，则a≥1，故选：A．【点评】本题考查解不等式，以及充要性，属于基础题．3．（3分）为了调查学生的复习情况，高三某班的全体学生参加了一次在线测试；成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．若成绩在[60，80）的人数是16，则低于60分的人数是（）A．6 B．12 C．15 D．18【分析】根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系即可解答．【解答】解：有直方图得成绩在[60，80）的频率为1﹣（0.005+0.010+0.015）×20＝0.4，又成绩在[60，80）的人数是16，∴总人数＝40，则低于60分的人数是40×0.015×20＝12，故选：B．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率、频数与样本容量的应用问题，是基础题．4．（3分）函数的部分图象可能是（）A．B．C．D．【分析】由f（0）＞0，函数不具有奇偶性，以及x＞0时，函数值大于0，结合选项即可得解．【解答】解：，则可排除A；又函数不具有奇偶性，则可排除C；当x＞0时，e x+sin x＞0，3+cos x＞0，则可排除B．故选：D．【点评】本题考查利用函数性质确定函数图象，属于基础题．5．（3分）若圆C的圆心在第一象限，圆心到原点的距离为，且与直线4x﹣3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（）A．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1C．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5 D．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5【分析】根据题意，设圆心C的坐标为（m，n），分析可得n＝r，由两点间距离公式可得m2+n2＝5，由直线圆相切的性质可得r＝，联立解可得m、n的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，设圆C的圆心C的坐标为（m，n），（m＞0，n＞0）由于圆C 与x轴相切，则圆C的半径n＝r，又由圆心到原点的距离为，则有m2+n2＝5，圆C与4x﹣3y＝0相切，则有r＝，即n2＝，解可得m＝2，n＝1，则圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1；故选：B．【点评】本题考查圆的标准方程的计算，涉及直线与圆相切的性质，属于基础题．6．（3分）已知函数f（x）＝，设，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．b＞a＞c【分析】分析得函数f（x）为奇函数且在R上单调递减，通过化简比较0.312，log20.31，ln4的大小，根据函数的单调性，比较a，b，c的大小关系．【解答】解：函数f（x）＝，f（﹣x）＝＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数．∵y＝e x在R上为增函数，∴f（x）在R上为减函数．a＝f（0.312），，c＝f（2ln2）＝f（ln4）．∵，∴b＞a＞c．故选：D．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性，需要熟练掌握常见函数的性质和图象，属基础题目．7．（3分）已知函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，则f （x）的解析式为（）A．B．C．D．【分析】先据图象的最高点与最低点求出A，然后根据零点间的横向距离是四分之一周期的倍数求出T，进而求出ω的值，最后利用对应的观点结合范围求出φ的值．【解答】解：易知A＝2．，T＝π，∴．∴，∴，又﹣π＜φ＜0，k＝0时，φ＝符合题意．故f（x）＝2cos（2x﹣）．故选：C．【点评】本题考查了利用五点法作图根据图象求解析式，要注意最后求φ时的对应思想．属于中档题．8．（3分）已知点A是抛物线y2＝4x与双曲线﹣＝1（b＞0）的一个交点，若抛物线的焦点为F，且|AF|＝4，则点A到双曲线两条渐近线的距离之和为（）A．2B．4 C．2D．2【分析】求出A的坐标，代入双曲线方程求出b，然后求解双曲线的渐近线方程．【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点为F，且F A＝4，可得F（1，0），则A（3，±2），点A是抛物线y2＝4x与双曲线﹣＝1（b＞0）一个交点，a＝，可得，解得b＝，则渐近线方程为y＝±x，不妨令A（3，2），则点A到这两条渐近线的距离之和d＝+＝2，故选：A．【点评】本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属于中档题．9．（3分）已知函数，若方程f（x）＝ax有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（0，1] D．（1，+∞）【分析】显然x＝0满足，然后当x≠0时，研究与y＝a产生三个根，显然在x＜0时一个，在x＞0时，一元二次方程有两个正根，问题可求解．【解答】解：由题意x＝0满足方程f（x）＝ax．①当x＜0时，只需有一个负根，即，解得0＜a＜1；②当x＞0时，只需x2﹣（a+1）x+a＝0有两个正根即可．方程可化为（x﹣1）（x﹣a）＝0，故两根为1，或a．由题意只需a＞0且a≠1．综合①②可知，当0＜a＜1时，方程f（x）＝ax有4个不同的实数根．故选：B．【点评】本题考查了函数零点个数的判断方法，本题是直接解方程进行判断．注意方程与不等式的相互应用．同时考查学生运用转化与化归思想、函数与方程思想解题的能力．是一道中档题．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）10．（3分）若（i是虚数单位，a是实数），则a＝2．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为0且实部大于求解a值．【解答】解：∵＞，∴，解得a＝2．故答案为：2．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．11．（3分）二项式的展开式中，常数项为﹣．【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得结论．【解答】解：二项式的展开式的通项公式为：T r+1＝•（）5﹣r•（﹣）r＝（﹣1）r•••x；令＝0⇒r＝3；∴展开式中，常数项为：（﹣1）3••＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．12．（3分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是CC1上一点，设四棱锥D﹣A1ABB1的体积为V1，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V2，则V1：V2＝2：3．【分析】设点D到底面ABC，A1B1C1的距离分别为h1，h2．三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为H，则h1+h2＝H．利用三棱锥、三棱柱的体积计算公式即可得出．【解答】解：设点D到底面ABC，A1B1C1的距离分别为h1，h2．三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为H，则h1+h2＝H．＝＝＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了三棱锥、三棱柱的体积计算公式，考查考生的计算能力，属于基础题．13．（3分）甲、乙两名枪手进行射击比赛，每人各射击三次，甲三次射击命中率均为；乙第一次射击的命中率为，若第一次未射中，则乙进行第二次射击，射击的命中率为，如果又未中，则乙进行第三次射击，射击的命中率为．乙若射中，则不再继续射击．则甲三次射击命中次数5的期望为，乙射中的概率为．【分析】甲击中的次数X～B（3，），由此能求出甲三次射击命中次数的期望，利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率加法公式能求出乙射中的概率．【解答】解：甲、乙两名枪手进行射击比赛，每人各射击三次，甲三次射击命中率均为，则甲击中的次数X～B（3，），∴甲三次射击命中次数的期望为E（X）＝3×＝，乙第一次射击的命中率为，第一次未射中，则乙进行第二次射击，射击的命中率为，如果又未中，则乙进行第三次射击，射击的命中率为．乙若射中，则不再继续射击．则乙射中的概率为：P＝＝．故答案为：，．【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布、互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．14．（3分）已知存在正数a，b使不等式成立，则x的取值范围（1﹣，1）．【分析】存在性问题转化为最大值，运用均值不等式＝≤＝，求出的最大值，转化成解对数不等式log2（1﹣x）＜，进而解出x．【解答】解：∵＝≤＝，由于a＞0，b＞0，则2a+3b＞0，∴≤，当且仅当2b＝2a+3b时，∴有最大值，＞＞＞＞＞又存在正数a，b使不等式成立，则log2（1﹣x）＜，即0＜1﹣x＜2，∴1﹣＜x＜1．故答案为：（1﹣，1）．【点评】本题考查均值不等式的应用，对数不等式的解法，和存在性问题，属于中档题．15．（3分）在平面四边形ABCD中，AB＝BC＝2CD＝2，∠ABC＝60°，∠ADC＝90°，若＝＝＝，则2•+•＝；若P为边BC上一动点，当•取最小值时，则cos∠PDC的值为．【分析】根据题意可知△ABC是等边三角形，△ADC是有一个内角为60°的直角三角形．又知道它们的边长，所以可以建立坐标系，将问题坐标化后进行计算求解．【解答】解：∵平面四边形ABCD中，AB＝BC＝2CD＝2，∠ABC＝60°，∠ADC＝90°，∴△ABC是边长为2的等边三角，在Rt△ADC中，AC＝2，CD＝1，所以∠ACD＝60°．又＝＝＝，∴E，F，G是BC边的四等分点．如图建立坐标系：则：A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），D（），E（﹣），F（0，0），G（）．所以2•+•＝2（）•（）+（）•（0，）＝．再设P（x，0），∴•＝•（1﹣x，0）＝x2﹣x＝（x﹣）2﹣．（﹣1≤x≤1）显然x＝时，•最小，此时P（）．∴＝＝．故答案为：，．【点评】本题考查平面向量在几何问题中的应用，通过建系将问题坐标化是一种常见的求角或距离的解题方法．同时考查学生运用转化思想、数形结合思想、函数思想等的解题能力．属于中档题．三、解答题（共5小题，满分75分）16．（14分）在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，若△ABC的面积为，a﹣b＝1，a cos C﹣c sin A＝0．（Ⅰ）求c及cos A；（Ⅱ）求cos （2A﹣C）的值．【分析】（Ⅰ）由已知利用正弦定理，同角三角函数基本关系式结合sin A≠0可求tan C＝，结合范围C∈（0，π），可求C的值，利用三角形的面积公式可求ab的值，结合已知可求a，b的值，根据余弦定理即可求解．（Ⅱ）由（Ⅰ）利用同角三角函数基本关系式可得sin A，利用二倍角公式可求sin2A，cos2A 的值，进而根据两角差的余弦函数公式即可计算得解．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a cos C﹣c sin A＝0，∴sin A cos C﹣sin C sin A＝0，∵sin A≠0，∴cos C﹣sin C＝0，即tan C＝，∵C∈（0，π），∴C＝，∴S△ABC＝ab＝，解得ab＝6，又a﹣b＝1，解得a＝3，b＝2，又余弦定理可得c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝7，解得c＝，∴cos A＝＝，（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sin A＝，∴sin2A＝2sin A cos A＝，cos2A＝2cos2A﹣1＝﹣，∴cos（2A﹣C）＝cos2A cos C+sin2A sin C＝（﹣）×+＝﹣．【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，余弦定理，二倍角公式，两角差的余弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．17．（15分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝AA1，AB⊥AC，p为线段BC1上一点．（Ⅰ）若BP＝PC1，求PC与AA1所成角的余弦值；（Ⅱ）若，求PC与平面ABB 1A1所成角的大小；（Ⅲ）若二面角A1﹣AC﹣P的大小为45°，求的值．【分析】（Ⅰ）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PC与AA1所成角的余弦值．（Ⅱ）设P（a，b，c），由，得P（，2﹣，2﹣），从而＝（，1﹣，2﹣），求出平面ABB1A1的法向量，由此能求出PC与平面ABB1A1所成角的大小．（Ⅲ）求出平面ACP的法向量和平面A1AC的法向量，利用同量法能求出当二面角A1﹣AC﹣P的大小为45°时的值．【解答】解：（Ⅰ）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝AA1，AB⊥AC，p为线段BC1上一点．以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝1，则B（1，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，1），C1（0，1，1），∵BP＝PC1，∴P（），∴＝（），＝（0，0，1），设PC与AA1所成角为θ，则PC与AA1所成角的余弦值为：cosθ＝＝．（Ⅱ）设P（a，b，c），由，得（a﹣1，b，c）＝（﹣a，1﹣b，1﹣c），解得P（，2﹣，2﹣），∴＝（，1﹣，2﹣），设PC与平面ABB1A1所成角为α，∵平面ABB1A1的法向量为＝（0，1，0），∴sinα＝＝＝，∴PC与平面ABB1A1所成角的大小为30°．（Ⅲ）设＝＝（﹣λ，λ，λ），则＝＝（1，﹣1，0）+（﹣λ，λ，λ），＝（1﹣λ，λ﹣1，λ），设平面ACP的法向量＝（a，b，c），则，取z＝λ﹣1，得＝（λ，0，λ﹣1），平面A1AC的法向量＝（1，0，0），∵二面角A1﹣AC﹣P的大小为45°，∴cos45°＝＝，解得．∴当二面角A1﹣AC﹣P的大小为45°时，＝1．【点评】本题考查民面直线所成角的余弦值、线面角的大小、满足二面角的两线段比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18．（15分）已知数列{a n}的前n项和S n＝．数列{b n}满足：b1＝b2＝2，b n+1b n＝2n+1（n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求．【分析】（Ⅰ）直接根据前n项和与通项的关系求出数列{a n}的通项公式，再根据递推关系式求出数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）先根据a i（b2i﹣1﹣）＝i•2i﹣；然后利用错位相减求和法分别求和，整理即可求得结论．【解答】解：（Ⅰ）当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝﹣＝n；n＝1时，a1＝S1＝1适合上式，所以：a n＝n；∵b1＝b2＝2，b n+1b n＝2n+1；∴b n b n﹣1＝2n（n≥2）；∴b n+1＝2b n﹣1，（n≥2）；∴数列{b n}的奇数项和偶数项都是首项为2，公比为2的等比数列；∴b n＝．（Ⅱ）∵a i（b2i﹣1﹣）＝i•2i﹣；设M＝1•x+2•x2+3•x3+…+（n﹣1）•x n﹣1+n•x n，（x≠0，1）①∴xM＝1•x2+2•x3+…+（n﹣1）•x n+n•x n+1；②①﹣②得（1﹣x）M＝x+x2+x3+…+x n﹣n•x n+1＝﹣n•x n+1；∴M＝；∴i•2i＝＝（n﹣1）•2n+1+2；＝＝2﹣；∴a i（b2i﹣1﹣）＝（n﹣1）•2n+1+．【点评】本题主要考查数列递推公式的应用以及错位相减求和的应用，计算量较大，学生易错．19．（15分）已知点F是椭圆b＞0）的右焦点，过点F的直线I交椭圆于M，N两点．当直线l过C的下顶点时，l的斜率为，当直线l垂直于C的长轴时，△OMN的面积为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）当|MF|＝2|FN|时，求直线l的方程；（Ⅲ）若直线l上存在点P满足|PM|，|PF|，|PN|成等比数列，且点P在椭圆外，证明：点P在定直线上．【分析】（Ⅰ）根据题意得：＝，，及a2＝b2+c2，解得a，b，进而可得椭圆得方程．（Ⅱ）分两种情况：当直线l与x轴重合时，|MF|＝3|FN|，不合题意．当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为x＝ty+1，M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线与椭圆得方程，结合根与系数关系得y1+y2，y1y2，由|MF|＝2|FN|，得y1＝﹣2y2，组成方程组解得t，进而可得直线l得方程．（Ⅲ）设P（x0，y0），分两种情况讨论，当直线l与x轴重合时，当直线l与x轴不重合时，由|PM|•|PN|＝|PF|2，解得x0＝，所以点p在定直线x＝上．【解答】解：（Ⅰ）由题设：＝，，解得a＝2，b＝，所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）当直线l与x轴重合时，|MF|＝3|FN|，不合题意．当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为x＝ty+1，M（x1，y1），N（x2，y2），联立，消去x整理得（3t2+4）y2+6ty﹣9＝0，有y1+y2＝①，y1y2＝②，由|MF|＝2|FN|，得y1＝﹣2y2③，联立①②③得＝，解得t＝±．所以直线l的方程为x±2y﹣＝0．（Ⅲ）设P（x0，y0）当直线l与x轴重合时，因为点p在椭圆外，所以x0+2，x0﹣2同号，由|PM|•|PN|＝|PF|2，得（x0+2）（x0﹣2）＝（x0﹣1）2，解得x0＝，当直线l与x轴不重合时，由（Ⅱ）知y1+y2＝，y1y2＝，因为|PM|＝，|PN|＝，|PF|＝，因为点p在椭圆外，所以y1﹣y0，y2﹣y0同号，由|PM|•|PN|＝|PF|2，得（y1﹣y0）（y2﹣y0）＝y02，解得x0＝，整理得y1y2﹣y0（y1+y2）＝0，即，解得y0＝，代入直线l方程x＝ty+1，得x0＝，所以点p在定直线x＝上．【点评】本题考查椭圆得标准方程，直线与椭圆相交，等比数列，考查转化能力和计算能力．20．（16分）已知函数f（x）＝axlnx﹣x a，其中a∈R．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为x﹣y﹣e＝0，其中e＝2.71828…是自然对数的底数，求a的值：（Ⅱ）若函数f（x）是（1，+∞）内的减函数，求正数a的取值范围；（Ⅲ）若方程f（x）＝0无实数根，求实数a的取值范围．【分析】（I）先对函数求导，然后根据导数的几何意义及已知切线方程即可求解；（II）结合导数与单调性的关系可转化为f′（x）＝a（lnx+1）﹣ax a﹣1≤0在（1，+∞）内恒成立，结合函数的性质可求；（III）结合导数及函数的性质，进行合理的转化后结合导数可求．【解答】解：（I）f′（x）＝a（lnx+1）﹣ax a﹣1，由曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为x﹣y﹣e＝0可得e﹣f（e）﹣e＝0即f（e）＝ae﹣e a＝0，f′（e）＝2a﹣ae a﹣1＝1，故a＝1，（II）若函数f（x）是（1，+∞）内的减函数，则f′（x）＝a（lnx+1）﹣ax a﹣1≤0在（1，+∞）内恒成立，令g（x）＝lnx+1﹣x a﹣1，则，①0＜a≤1时，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上单调递增，所以g（x）＞g（1）＝0，②若1＜a＜2，当x，g′（x）＞0，g（x）单调递增，g（x）＞g（1）＝0，③a≥2时，x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，g（x）＜g（1）＝9综上，a≥2时，满足题意；（III）由f（x）＝0可得alnx﹣x a﹣1＝0，若a＝1，则x＝1是方程alnx﹣x a﹣1＝0的根，故a≠1，令t＝x a﹣1，则＝x，原方程可化为，①a＝0时，没有实根，②a≠0，a≠1时，方程可化为，令h（t）＝，则，当t∈（0，e）时，h′（t）＞0，h（t）单调递增，当t∈（e，+∞）时，h′（t）＜0，h（t）单调递减，所以h（t）≤h（e）＝，若没有实根，则，解可得a＜0或a＞，综上a≤0或a＞【点评】本题综合考查了导数的几何意义，导数与单调性，导数与零点的综合应用，属于综合性试题．。
2020年天津市和平区高考数学一模试卷(含答案解析)
2020年天津市和平区高考数学一模试卷一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1.设全集，，0，，则A. B. 1， C. D. 1，2.“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知表示不超过实数x的最大整数，为取整函数，是函数的零点，则A. 4B. 5C. 2D. 34.已知双曲线的两条渐近线与抛物线：的准线分别交于A，B两点．若双曲线C的离心率为2，的面积为，O为坐标原点，则抛物线的焦点坐标为A. B. C. D.5.某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：，，，，，从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人，记这2人成绩在90分以上含90分的人数为，则的数学期望为A. B. C. D.6.已知函数，给出下列四个结论，其中正确的结论是A. 函数的最小正周期是B. 函数在区间上是减函数C. 函数的图象关于对称D. 函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到7.函数是定义在R上的奇函数，对任意两个正数，都有，记，则a，b，c之间的大小关系为A. B. C. D.8.国际高峰论坛，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为A. 378B. 306C. 268D. 1989.已知圆O的半径为2，P，Q是圆O上任意两点，且，AB是圆O的一条直径，若点C满足，则的最小值为A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）10.已知a为实数，i为虚数单位，若复数为纯虚数，则______．11.若的展开式中的系数为，则实数______．12.已知一个体积为8的正方体内接于半球体，即正方体的上底面的四个顶点在球面上，下底面的四个顶点在半球体的底面圆内．则该半球体的体积为______．13.函数的图象在处的切线被圆C：截得弦长为2，则实数a的值为______．14.若，，且，则此时______，的最小值为______．15.已知函数，则______；若方程在区间有三个不等实根，则实数的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）16.在中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，．Ⅰ求角C的大小；Ⅱ若，求：边长c；的值．17.如图所示，平面平面BCEF，且四边形ABCD为矩形，四边形BCEF为直角梯形，，，，．Ⅰ求证：平面CDE；Ⅱ求平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的大小；Ⅲ求直线EF与平面ADE所成角的余弦值．18.已知椭圆C：的离心率，左、右焦点分别是、，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆与直线l：相切．求椭圆C的标准方程；设P为椭圆C上不在x轴上的一个动点，过点作OP的平行线交椭圆与M、N两个不同的点，记，，令，求S的最大值．19.数列是等比数列，公比大于0，前n项和，是等差数列，已知，，，．Ⅰ求数列，的通项公式，；Ⅱ设的前n项和为：求；若，记，求的取值范围．20.已知函数，a，，且若函数在处取得极值，试求函数的解析式及单调区间；设，为的导函数，若存在，使成立，求的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：0，1，，，0，，，1，．故选：B．可以求出集合I，然后进行补集、并集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，补集和并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：C解析：解：“”，即，“”是“”的充要条件．故选：C．，化简即可判断出结论．本题考查了三角函数求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：C解析：解：函数是在时，函数是连续的增函数，，，函数的零点所在的区间为，．故选：C．由函数的解析式可得，，再根据函数的零点的判定定理求得函数的零点所在的区间．即可求得则本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．4.答案：B解析：解：双曲线的两条渐近线方程是，又抛物线的准线方程是，故A，B两点的纵坐标分别是，又由双曲线的离心率为2，所以，即，则，A，B两点的纵坐标分别是，又的面积为，可得，得，抛物线的焦点坐标为，故选：B．求出双曲线的渐近线方程与抛物线的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，的面积为，列出方程，由此方程求出p的值，可得所求焦点坐标．本题解题的关键是求出双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程，解出A，B两点的坐标，考查离心率公式和三角形的面积公式，有一定的运算量，属于中档题．5.答案：B解析：解：由题意得：，解得，由题意得内的人数为人，内的人数为人，从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人，记这2人成绩在90分以上含90分的人数为，则的可能取值为0，1，2，，，，则的数学期望．故选：B．由频率分布直方图求出，内的人数为9人，内的人数为3人，从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人，记这2人成绩在90分以上含90分的人数为，则的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出的数学期望．本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、排列组、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．6.答案：B解析：解：函数，函数的周期为：，所以A不正确；，解得：，所以函数在区间上是减函数，所以B正确．时，可得：，所以C不正确；由函数的图象向左平移个单位得到函数，所以D不正确；故选：B．利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解函数的周期，单调减区间，对称轴以及函数图象的变换，判断选项的正误即可．本题考查两角和与差的三角函数，函数的图象的对称性，单调性，三角函数的特征的变换，是基本知识的考查．7.答案：A解析：解：构造函数，则函数单调递减，，，，故选：A．构造函数，则函数单调递减，比较变量的大小，即可得出结论．本题考查函数的单调性，考查构造方法的运用，正确构造函数是关键．8.答案：D解析：解：由题可知选出的3个媒体团的构成有如下两类：选出的3个媒体团中只有一个国内媒体团，有种不同的提问方式；选出的3个媒体团中有两个国内媒体团，有种不同的提问方式；综上，共有种不同的提问方式．故选：D．先对选出的3个媒体团的构成情况进行分类，再考虑提问顺序，借助于两大原理解决问题．本题主要考查排列、组合的综合应用，属于基础题．9.答案：C解析：【分析】运用向量的三角形法则和数量积的定义，化简要求的最小值问题就是求的最小值，由于点C满足，两边平方转化为二次函数的最值问题，即可得到所求最小值．本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算，属于中档题．【解答】解：由题意可得，是圆O的任意一条直径，，，．要求的最小值问题就是求的最小值，由于点C满足，两边平方可得，当时，，取得最小值1，故的最小值为，故选C．10.答案：解析：解：复数为纯虚数，，，解得．又．则．故答案为：．复数为纯虚数，可得，，解得又利用复数模的运算性质即可得出．本题考查了复数的周期性、纯虚数的定义、复数模的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.答案：解析：解：的展开式的通项公式为，令，可得，故展开式中的系数为，则实数，故答案为：．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于4，求得r的值，即可求得展开式中的系数，再根据的系数为，求出a的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．12.答案：解析：解：由正方体的体积为8，可知正方体的棱长为2，作其截面图如图，可得半球体的半径，则其体积故答案为：．由题意画出截面图，结合正方体的体积求出外接球的半径，再由球的体积公式求解．本题考查多面体外接球体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．13.答案：或2解析：解：由题意得，所以，．所以切线为：，即．圆C：的圆心为，半径，又因为弦长．所以圆心到直线的距离为．所以到切线的距离为：，解得或2．故答案为：或2．先利用导数表示出函数在处的切线方程，然后利用点到直线的距离公式列方程求出a的值．本题考查导数的几何意义和直线与圆的位置关系．涉及直线与圆相交的弦长问题，注意利用垂径定理列方程求解．属于中档题．14.答案：2解析：解：因为，所以，，且x，．．故答案为：2，．先根据已知的等式，找到x，y之间的关系式，然后结合基本不等式的使用条件求出结论的最值．本题考查利用基本不等式求最值的问题，关键是适用条件要把握准，取等号的条件成立．属于中档题．15.答案：81解析：解：函数，；；；若，则，，．若，则，，．，，．设和，则方程在区间内有3个不等实根，、等价为函数和在区间内有3个不同的零点．作出函数和的图象，如图：当直线经过点时，两个图象有2个交点，此时直线为，当直线经过点时，两个图象有4个交点，此时直线为，当直线经过点和时，两个图象有3个交点，此时直线为，要使方程在区间内有3个不等实根，则或．故实数的取值范围为：故答案为：81，根据分段函数的解析式得到；即可求出第一问；作出函数和的图象．利用两个图象的交点个数问题确定a的取值范围．本题主要考查方程根的个数的应用，将方程转化为函数，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．注意第二问是问a的倒数的取值范围．16.答案：解：Ⅰ由已知及正弦定理得分，，，分分Ⅱ因为，，由余弦定理得，分由，分因为B为锐角，所以分，分分解析：利用正弦定理、和差公式化简即可得出．因为，，利用余弦定理即可得出．由，可得cos B再利用倍角公式、和差公式即可得出．本题考查了正弦定理、余弦定理、倍角公式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.答案：Ⅰ证明：四边形BCEF为直角梯形，四边形ABCD为矩形，，，又平面平面BCEF，且平面平面，平面BCEF．以C为原点，CB所在直线为x轴，CE所在直线为y轴，CD所在直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系．根据题意我们可得以下点的坐标：0，，0，，0，，0，，4，，2，，则，0，．，，为平面CDE的一个法向量．又平面CDE．平面CDE．Ⅱ设平面ADE的一个法向量为，则0，，4，，得1，平面BCEF，平面BCEF一个法向量为，设平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的大小为，则因此，平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的大小为．Ⅲ根据Ⅱ知平面ADE一个法向量为得1，，，设直线EF与平面ADE所成角为，则因此，直线EF与平面ADE所成角的余弦值为．解析：以C为原点，CB所在直线为x轴，CE所在直线为y轴，CD所在直线为z轴建立空间直角坐标系．Ⅰ为平面CDE的一个法向量，证明平面CDE，只需证明；Ⅱ求出平面ADE的一个法向量、平面BCEF一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面ADE 与平面BCEF所成锐二面角的余弦值；Ⅲ求出平面ADE一个法向量为1，，，利用向量的夹角公式，即可求直线EF与平面ADE所成角的余弦值．本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角及三角函数及空间坐标系等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力．18.答案：解：由题意可知：椭圆C：焦点在x轴上，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆与直线l：相切，即，又椭圆的离心率，解得：，椭圆C的方程为：；由可知：椭圆的右焦点，设，，，丨丨丨丨，设直线MN：，，整理得：，，，，，由，，当且仅当时，即时，取等号，S的最大值．解析：椭圆C：焦点在x轴上，，又椭圆的离心率，解得：，即可求得椭圆C的方程为；由，，丨丨丨丨，设直线MN：，代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式可知：，由基本不等式的性质，即可求得S的最大值．本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形的面积公式，韦达定理，弦长公式及基本不等式的应用，考查椭圆与不等式的综合应用，考查计算能力，属于中档题．19.答案：解：Ⅰ设数列的公比为，，因为，，可得，整理得，解得舍或，所以数列通项公式为．设数列的公差为d，因为，，即解得，，所以数列的通项公式为；Ⅱ由等比数列的前n项和公式可得，所以；由可得，所以的前n项和．又在上是递增的，．所以的取值范围为解析：Ⅰ先设出等比数列与等差数列的公比与公差，然后利用题设条件列出公差与首项及公比与首项的方程，求出结果代入通项公式即可解决问题；Ⅱ先由Ⅰ中得到的结果求出，再利用分组求和的办法算出；先由前面的结果求出，再利用裂项相消法求出，最后利用数列的单调性求出其取值范围．本题主要考查等差、等比数列通项公式的求法及数列的前n项和的求法，还有利用数列的单调性求取值范围，属于有一定难度的题．20.答案：解；由题意，，由函数在处取得极值，得，即，解得，则函数的解析式为，定义域为，，又对恒成立，令则有，解得，且，即或；同理令可解得或；综上，函数的单调增区间为和，单调减区间为和由题意，则，，由条件存在，使成立得，对成立，又对成立，化简得，令，则问题转化为求在区间上的值域，求导得，令，为二次函数，图象开口向上，，则，又，则，在区间上单调递增，值域为，所以的取值范围是．解析：先求导函数，再由函数在处取得极值，得，代入求解参数a，b，然后利用令和求解函数的单调区间；将代入化简，再求，然后得，令其为0，得，令，则问题转化为求在区间上的值域，利用导数求解．本题考查了导数在函数的单调性和最值求解中的综合应用，属于比较复杂的问题，注意利用转化的思想求解问题．。
2020年4月普通高考数学(天津卷)全真模拟卷(3)(解析版)
2020年4月普通高考（天津卷）全真模拟卷（3）数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：高中全部内容。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{1,0,1}A =-，{|22}x B x =>，则A B =I （ ）A ．∅B ．{}1-C ．{1,0}-D ．{0,1}【答案】A 【解析】B {}22xx =＝{x |x ＞1}，∴A ∩B ＝∅．故选A ． 2．设x ∈R ,则“11||<22x -”是“0<<2x ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】由11||<22x -，得111<222x -<-，解得01x <<．∴ “11||<22x -”是“0<<2x ”的充分不必要条件．故选A ．3．下列各式中，不成立的是（ ）A ． 1.52<B ．0.40.60.6180.618>C ．lg 2.7lg3.1<D ．0.30.3log 0.6log 0.4>【答案】D【解析】对于A ，由()2xf x = 1.5<，所以 1.52<成立；对于B ，由()0.618xf x =为减函数，0.40.6<，所以0.40.60.6180.618>成立； 对于C ，由()lg f x x =为增函数，2.7 3.1<，所以lg2.7lg3.1<成立；对于D ，由()0.3log f x x =为减函数，0.60.4>，所以0.30.3log 0.6log 0.4<成立；D 不正确. 故选D.4．函数()e2xf x x=的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】函数的定义域为（-∞，0）∴（0，+∞），且f （-x ）=-f （x ），函数为奇函数，排除A ；又当x→+∞时，y→+∞，排除B ；而x ＞0时，()x2e f x x =,()()212x e x f x x '-=可得x=1为函数的极小值点，结合图象可知，函数()2xef x x=的部分图象大致为C ．故选C ．5．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，则此双曲线的焦距等于（ ）AB．C ．3D ．6【答案】B【解析】由题意得：焦点(),0F c 到渐近线0bx ay +=的距离：bcd b c====又ca，222c a b =+，可解得：c =∴该双曲线的焦距：2c =B6．若圆:C 22()()2x a y b -+-=与两条直线y x =和y x =-都有公共点，则22a b +的范围是（ ）A ．[]2,4B ．[]0,4C ．[)4,+∞D ．[)2,+∞【答案】B【解析】圆:C 22()()2x a y b -+-=与两条直线y x =和y x =-都有公共点，22224a b a ab b ≤-≤∴-+≤；22224a b a ab b ≤+≤∴++≤；两式相加得到2204a b ≤+≤，故选B7．一般来说，一个人的脚越长，他的身高就越高.现对10名成年人的脚长x 与身高y 进行测量，得如下数据（单位：cm ）：作出散点图后，发现散点在一条直线附近.经计算得到一些数据：24.5x =，171.5y =，()()101577.5iii x x y y =--=∑，()102182.5ii x x =-=∑，某刑侦人员在某案发现场发现一对裸脚印，量得每个脚印长24cm ，则在估计案发嫌疑人的身高时产生的残差为（ ） A ．0.6 B ．1.2 C ．1D ．0.8-【答案】C【解析】因为24.5x =，171.5y =，()()101577.5iii x x y y =--=∑，()102182.5i i x x =-=∑，, 所以1011021()()577.5782.5()ˆiii i i x x y y bx x ==--===-∑∑，171.5ˆˆ724.50a y bx=-=-⨯=，故ˆ7yx =，当24x =时，ˆ168y =，则在估计案发嫌疑人的身高时产生的残差为1691681-=，故选C. 8．已知当3x π=时，()()sin 2f x x ϕ=+取得最大值，则下列说法不正确的是（ ）A ．712x π=是()y f x =图像的一条对称轴B ．()f x 在,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增 C ．当23x π=-时，()f x 取得最小值 D ．函数6y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭为奇函数 【答案】A 【解析】当3x π=时，()()sin 2f x x ϕ=+取得最大值，所以22sin =1,2,2,3326k k Z k k Z ππππϕϕπϕπ⎛⎫+∴+=+∈∴=-∈⎪⎝⎭，.所以()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. 令2,,,.6223k x k k Z x k Z πππππ-=+∈∴=+∈所以选项A 错误； 令222,,,26263k x k k Z k x k k Z πππππππππ-≤-≤+∈∴-≤≤+∈，所以函数的单调递增区间为[,],63k k k Z ππππ-+∈，所以选项B 正确； 当23x π=-时，()f x 取得最小值1-，所以该选项C 正确； 函数=sin(2)sin 262y f x x x ππ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭为奇函数，所以选项D 正确.故选A9．已知定义在R 的函数()y f x =对任意的x 满足()1()f x f x +=-，当311,()x f x x ≤-<=，函数|log ,0()1,0a x x g x x x ⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若函数()()()h x f x g x =-在[6,)-+∞上有6个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．1(0,)()7,7+∞UB ．11(,]97)[7,9UC ．11[,)(7,9]97U D ．1[,1)(1,9]9U【答案】C【解析】因为函数()y f x =对任意的x 满足()1()f x f x +=-， 所以得到()f x 为周期函数，周期为2，因为当311,()x f x x ≤-<=，画出()f x 的图像，在同一坐标系下画出log ,0()1,0a x x g x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩的图像， 因为函数()()()h x f x g x =-在[6,)-+∞上有6个零点，所以()f x 与()g x 在[6,)-+∞上要有且仅有6个交点，由图像可得，在y 轴左侧有2个交点，只要在y 轴右侧有且仅有4个交点，则log 71log 91a a ⎧<⎪⎨≥⎪⎩，即有170711919a a a a ⎧><<⎪⎪⎨⎪<≤≤<⎪⎩或或，所以79a <≤或1197a ≤<.故选：C .第Ⅱ卷二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分． 10．已知复数z 12ii+=（i 是虚数单位），则复数z 的模为____ 【答案】5【解析】12iz i +∴=，∴||z =12i i +125i i +==． 11．51()(2)a x x xx+-展开式中，各项系数之和为4，则展开式中的常数项为__________． 【答案】200【解析】令1x =，则14a +=，即3a =，因为512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为()()()51552155212kkkk k k k k T C x x C x ----+=-=-n n n ，所以5312x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开式中常数项为()()32321235531212x C x C x xn n n n n n --+-，即常数项为()()3232235512312200C C n n -+⨯-=.12．三棱锥P ABC -的底面ABC 是等腰三角形，2AC BC ==，23AB =，侧面PAB 是等边三角形且与底面ABC 垂直，则该三棱锥的体积为______. 【答案】3【解析】如图，作AB 的中点D ，连接PD ，CD ，则PD AB ⊥.因为平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面ABC AB =，PD ⊂平面PAB ，所以PD ⊥平面ABC .在ABC ∆中，因为2AC BC ==，AB =易知1CD =，112ABC S ∆=⨯=.在等边PAB ∆中，由AB =32PD ==.所以该三棱锥的体积为11333ABC V S PD ∆=⨯⨯== 13．若某一射手射击所得环数X 的分布列如下：则此射手“射击一次命中环数7X ＜”的概率是_________. 【答案】0.12【解析】因(7)0.020.040.060.12P X <=++=，故应填答案0.12。
天津市高三数学4月份联考试卷(含解析)
天津市高三数学4月份联考试卷（含解析）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.设全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先求出集合，然后再求出集合的补集，然后再根据集合的交集运算即可求出结果. 【详解】由于，所以，所以，故选D.【点睛】本题主要考查集合的补集、交集运算，熟练掌握补集、交集的运算公式是解决问题的关键.2.设，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】首先解出不等式和，然后再根据充分必要条件的定义即可求出结果.【详解】由，得；由，得或；所以“”是“”的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．3.若变量x，y满足约束条件，则目标函数z=-2x-y的最大值为（）A. 16B. 0C.D. 不存在【答案】B【解析】【分析】作出可行域，平移目标函数，结合z的几何意义可得最值.【详解】作出可行域如图：可得目标函数在点A 处取到最大值，联立解得,此时，故最大值为0.故选B.【点睛】本题主要考查线性规划.线性规划问题求解方法注意可行域的确定及z的几何意义.4.阅读如图所示的程序框图，则输出的数据为（）A. 21B. 58C. 141D. 318 【答案】C【解析】经过第一次循环得到的结果为，；经过第二次循环得到的结果为，；经过第三次循环得到的结果为，；经过第四次循环得到的结果为，；经过第五次循环得到的结果为，，此时输出结果.故选C.5.抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 ( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，解得两交点，由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．【详解】抛物线的准线为，双曲线的两条渐近线为，可得两交点为，即有三角形的面积为，解得，故选A．【点睛】本题考查三角形的面积的求法，注意运用抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．6.的图像经过怎样的平移后所得的图像关于点中心对称（）A. 向左平移个单位B. 向左平移个单位C. 向右平移个单位D. 向右平移个单位【答案】C【解析】【分析】设出将函数y=sin（2x+）的图象平移ρ个单位得到关系式，然后将x=﹣代入使其等于0，再由正弦函数的性质可得到ρ的所有值，再对选项进行验证即可．【详解】假设将函数y=sin（2x+）的图象平移ρ个单位得到y=sin（2x+2ρ+）关于点（﹣，0）中心对称∴将x=﹣代入得到sin（﹣+2ρ+）=sin（+2ρ）=0∴+2ρ=kπ，∴ρ=﹣+，当k=0时，ρ=﹣，向右平移，故选：B．【点睛】本题考查的是三角函数的平移问题，首先保证三角函数同名，不是同名通过诱导公式化为同名，在平移中符合左加右减的原则，在写解析式时保证要将x的系数提出来，针对x本身进行加减和伸缩.7.已知定义在上的函数满足，且对任意（0，3)都有，若，，，则下面结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由条件，可知函数关于对称，由对任意（0，3)都有，可知函数在（0，3)时单调递减，然后根据单调性和对称性即可得到的大小．【详解】因为，得函数关于对称，又对任意（0，3)都有，所以函数在（0，3)时单调递减，因为，所以，又，所以，所以，故选C.【点睛】本题主要考查函数值的大小比较,利用条件求出函数的单调性和对称性,利用单调性和对称性之间的关系是解决本题的关键.8.边长为的菱形中，与交于点，是线段的中点，的延长线与相交于点.若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据两个三角形相似对应边成比例，得到，运用向量的加减运算和向量中点的表示，结合向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，将向量用表示，利用数量积公式计算即可得到结果．【详解】由题意可知，做出菱形ABCD的草图，如下图：由题意易知，，可得，所以，又，所以，故选B.【点睛】本题考查平面向量的基本定理，向量数量积的定义及性质，考查了学生的归纳分析能力，和运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.设复数，则=__________．【答案】【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得到，再由共轭复数的概念得到，进而求出结果．【详解】.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．10.已知正方体内切球的体积为36π，则正方体的体对角线长为______．【答案】【解析】【分析】正方体的内切球的直径与正方体的边长相等，即可得出结论．【详解】∵正方体的内切球体积为，设内切球的半径为，∴，所以内切球的半径为，∵正方体的内切球的直径与正方体的边长相等，∴正方体的边长为6，故该正方体的体对角线长为．【点睛】本题考查了学生的空间想象力，考查学生的计算能力，属于基础题．11.已知直线为圆的切线，则__________．【答案】【解析】【分析】由于直线与圆相切，利用圆心到直线的距离公式求出圆到直线的距离等于半径，即可求出结果.【详解】因为直线为圆的切线，所以圆心到直线的距离为，又，所以，故填.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的运用，属于基础题．12.已知函数是定义在R上的奇函数，，当时，，则不等式的解集是__________．【答案】【解析】【分析】由函数是定义在R上的奇函数，，则，则可以将定义域分为四个区间结合单调性进行讨论，可得答案．【详解】依题意，当时，，所以，得函数在上为增函数；又由，得函数在上为偶函数；∴函数在上为减函数，又，所以，作出草图，由图可知解集是，故答案为.【点睛】本题综合考查了导数的四则运算，导数在函数单调性中的应用，及函数奇偶性的判断和性质，解题时要能根据性质画示意图，数形结合解决问题.13.已知，若，则的最小值为_______．【答案】【解析】【分析】利用换元法，和对数的运算法则化简表达式，然后利用基本不等式求解最小值即可．。
2020年天津市河东区高考数学(4月份)模拟测试试卷 (解析版)
2020年高考数学（4月份）模拟测试试卷一、选择题（共9个小题）1．已知集合A＝{﹣2，0，2}，B＝{x|x2﹣x﹣2＝0}，则A∩B＝（）A．∅B．{ 2}C．{ 0}D．{﹣2}2．设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．曲线y＝xe x﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（）A．2e B．e C．2D．14．已知a＝，b＝log2，c＝，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a5．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A，B两点，则|AB|＝（）A．B．6C．12D．76．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（）A．B．C．pq D．﹣17．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种8．若log4（3a+4b）＝log2，则a+b的最小值是（）A．6+2B．7+2C．6+4D．7+49．已知函数f（x）＝丨x﹣2丨+1，g（x）＝kx．若方程f（x）＝g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2）D．（2，+∞）二、填空题（共6个小题）10．i是虚数单位，＝．11．（x﹣2）6的展开式中x3的系数是．（用数字作答）12．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为．13．已知直线ax+y﹣2＝0与圆心为C的圆（x﹣1）2+（y﹣a）2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝．14．若将函数f（x）＝sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是．15．已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2．若＝λ+，且⊥，则实数λ的值为．三、解答题（共5个小题）16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c＝b，sin B＝sin C，（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．17．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．（Ⅰ）求至少有一种新产品研发成功的概率；（Ⅱ）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．18．如图，已知长方形ABCD中，AB＝2，AD＝，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM（Ⅰ）求证：AD⊥BM（Ⅱ）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E﹣AM﹣D的余弦值为．19．（16分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4＝4S2，a2n＝2a n+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式（Ⅱ）设数列{b n}的前n项和为T n，且（λ为常数）．令c n＝b2n，（n∈N*），求数列{c n}的前n项和R n．20．（16分）已知函数f（x）＝（cos x﹣x）（π+2x）﹣（sin x+1）g（x）＝3（x﹣π）cos x﹣4（1+sin x）ln（3﹣）证明：（Ⅰ）存在唯一x0∈（0，），使f（x0）＝0；（Ⅱ）存在唯一x1∈（，π），使g（x1）＝0，且对（Ⅰ）中的x0，有x0+x1＜π．参考答案一、选择题1．已知集合A＝{﹣2，0，2}，B＝{x|x2﹣x﹣2＝0}，则A∩B＝（）A．∅B．{ 2}C．{ 0}D．{﹣2}解：由B中方程变形得：（x﹣2）（x+1）＝0，解得：x＝2或x＝﹣1，即B＝{﹣1，2}，∵A＝{﹣2，0，2}，∴A∩B＝{2}．故选：B．2．设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：因为a，b都是实数，由a＞b，不一定有a2＞b2，如﹣2＞﹣3，但（﹣2）2＜（﹣3）2，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不充分条件；反之，由a2＞b2也不一定得a＞b，如（﹣3）2＞（﹣2）2，但﹣3＜﹣2，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不必要条件．故选：D．3．曲线y＝xe x﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（）A．2e B．e C．2D．1解：函数的导数为f′（x）＝e x﹣1+xe x﹣1＝（1+x）e x﹣1，当x＝1时，f′（1）＝2，即曲线y＝xe x﹣1在点（1，1）处切线的斜率k＝f′（1）＝2，故选：C．4．已知a＝，b＝log2，c＝，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a解：∵0＜a＝＜20＝1，b＝log2＜log21＝0，c＝＝log23＞log22＝1，∴c＞a＞b．故选：C．5．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A，B两点，则|AB|＝（）A．B．6C．12D．7解：由y2＝3x得其焦点F（，0），准线方程为x＝﹣．则过抛物线y2＝3x的焦点F且倾斜角为30°的直线方程为y＝tan30°（x﹣）＝（x ﹣）．代入抛物线方程，消去y，得16x2﹣168x+9＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2＝，所以|AB|＝x1++x2+＝++＝12故选：C．6．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（）A．B．C．pq D．﹣1解：设该市这两年生产总值的年平均增长率为x，则（1+p）（1+q）＝（1+x）2，解得x＝﹣1，故选：D．7．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种解：根据题意，先从6名男医生中选2人，有C62＝15种选法，再从5名女医生中选出1人，有C51＝5种选法，则不同的选法共有15×5＝75种；故选：C．8．若log4（3a+4b）＝log2，则a+b的最小值是（）A．6+2B．7+2C．6+4D．7+4解：∵3a+4b＞0，ab＞0，∴a＞0．b＞0∵log4（3a+4b）＝log2，∴log4（3a+4b）＝log4（ab）∴3a+4b＝ab，a≠4，a＞0．b＞0∴＞0，∴a＞4，则a+b＝a+＝a+＝a+3+＝（a﹣4）++7+7＝4+7，当且仅当a＝4+2取等号．故选：D．9．已知函数f（x）＝丨x﹣2丨+1，g（x）＝kx．若方程f（x）＝g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2）D．（2，+∞）解：由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，如图所示：K OA＝，数形结合可得＜k＜1，故选：B．二、填空题（共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）10．i是虚数单位，＝﹣1+2i．解：＝．故答案为：﹣1+2i．11．（x﹣2）6的展开式中x3的系数是﹣160．（用数字作答）解：根据题意，（x﹣2）6的展开式的通项为T r+1＝C6r x6﹣r（﹣2）r＝（﹣1）r•2r•C6r x6﹣r，令6﹣r＝3可得r＝3，此时T4＝（﹣1）3•23•C63x3＝﹣160x3，即x3的系数是﹣160；故答案为﹣160．12．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为．解：如图，正四棱锥P﹣ABCD中，PE为正四棱锥的高，根据球的相关知识可知，正四棱锥的外接球的球心O必在正四棱锥的高线PE所在的直线上，延长PE交球面于一点F，连接AE，AF，由球的性质可知△PAF为直角三角形且AE⊥PF，根据平面几何中的射影定理可得PA2＝PF•PE，因为，所以侧棱长，PF＝2R，所以18＝2R×4，所以R＝，所以S＝4πR2＝故答案为：13．已知直线ax+y﹣2＝0与圆心为C的圆（x﹣1）2+（y﹣a）2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝4±．解：圆心C（1，a），半径r＝2，∵△ABC为等边三角形，∴圆心C到直线AB的距离d＝，即d＝，平方得a2﹣8a+1＝0，解得a＝4±，故答案为：4±14．若将函数f（x）＝sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是．解：将函数f（x）＝sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，所得图象对应的函数解析式为y＝sin[2（x﹣φ）+]＝sin（2x+﹣2φ）关于y轴对称，则﹣2φ＝kπ+，k∈z，即φ＝﹣﹣，故φ的最小正值为，故答案为：．15．已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2．若＝λ+，且⊥，则实数λ的值为．解：由题意可知：，因为，所以，所以＝＝＝﹣12λ+7＝0解得λ＝．故答案为：．三、解答题：（5个题，共75分）16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c＝b，sin B＝sin C，（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．解：（Ⅰ）将sin B＝sin C，利用正弦定理化简得：b＝c，代入a﹣c＝b，得：a﹣c＝c，即a＝2c，∴cos A＝＝＝；（Ⅱ）∵cos A＝，A为三角形内角，∴sin A＝＝，∴cos2A＝2cos2A﹣1＝﹣，sin2A＝2sin A cos A＝，则cos（2A﹣）＝cos2A cos+sin2A sin＝﹣×+×＝．17．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．（Ⅰ）求至少有一种新产品研发成功的概率；（Ⅱ）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．解：（Ⅰ）设至少有一种新产品研发成功的事件为事件A且事件B为事件A的对立事件，则事件B为一种新产品都没有成功，因为甲乙研发新产品成功的概率分别为和．则P（B）＝，再根据对立事件的概率之间的公式可得P（A）＝1﹣P（B）＝，故至少有一种新产品研发成功的概率为．（Ⅱ）由题可得设企业可获得利润为X，则X的取值有0，120，100，220，由独立试验的概率计算公式可得，，，，，所以X的分布列如下：X0120100220 P（x）则数学期望E（X）＝＝140．18．如图，已知长方形ABCD中，AB＝2，AD＝，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM（Ⅰ）求证：AD⊥BM（Ⅱ）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E﹣AM﹣D的余弦值为．【解答】（1）证明：∵长方形ABCD中，AB＝2，AD＝，M为DC的中点，∴AM＝BM＝2，∴BM⊥AM．∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM＝AM，BM⊂平面ABCM∴BM⊥平面ADM∵AD⊂平面ADM∴AD⊥BM；（2）建立如图所示的直角坐标系，设，则平面AMD的一个法向量＝（0，1，0），＝+＝（1﹣λ，2λ，1﹣λ），＝（﹣2，0，0），设平面AME的一个法向量为＝（x，y，z），则，取y＝1，得x＝0，z＝，则＝（0，1，），∵cos＜，＞＝＝，∴求得，故E为BD的中点．19．（16分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4＝4S2，a2n＝2a n+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式（Ⅱ）设数列{b n}的前n项和为T n，且（λ为常数）．令c n＝b2n，（n∈N*），求数列{c n}的前n项和R n．解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d．由S4＝4S2，a2n＝2a n+1．得解得a1＝1，d＝2．因此a n＝2n﹣1，n∈N*．（II）由（I）可得＝．当n≥2时，b n＝T n﹣T n﹣1＝＝．故＝，n∈N*．∴R n＝0+…＝，＝++…+，两式相减得＝＝﹣，∴R n＝，∴R n＝．∴数列{c n}的前n项和．20．（16分）已知函数f（x）＝（cos x﹣x）（π+2x）﹣（sin x+1）g（x）＝3（x﹣π）cos x﹣4（1+sin x）ln（3﹣）证明：（Ⅰ）存在唯一x0∈（0，），使f（x0）＝0；（Ⅱ）存在唯一x1∈（，π），使g（x1）＝0，且对（Ⅰ）中的x0，有x0+x1＜π．【解答】证明：（Ⅰ）∵当x∈（0，）时，f′（x）＝﹣（1+sin x）（π+2x）﹣2x﹣cos x＜0，∴函数f（x）在（0，）上为减函数，又f（0）＝π﹣＞0，f（）＝﹣π2﹣＜0；∴存在唯一的x0∈（0，），使f（x0）＝0；（Ⅱ）考虑函数h（x）＝﹣4ln（3﹣x），x∈[，π]，令t＝π﹣x，则x∈[，π]时，t∈[0，]，记函数u（t）＝h（π﹣t）＝﹣4ln（1+t），则u′（t）＝﹣•＝﹣＝﹣＝＝，由（Ⅰ）得，当t∈（0，x0）时，u′（t）＞0；在（0，x0）上u（x）是增函数，又u（0）＝0，∴当t∈（0，x0]时，u（t）＞0，∴u（t）在（0，x0]上无零点；在（x0，）上u（t）是减函数，且u（x0）＞0，u（）＝﹣4ln2＜0，∴存在唯一的t1∈（x0，），使u（t1）＝0；∴存在唯一的t1∈（0，），使u（t1）＝0；∴存在唯一的x1＝π﹣t1∈（，π），使h（x1）＝h（π﹣t1）＝u（t1）＝0；∵当x∈（，π）时，1+sin x＞0，∴g（x）＝（1+sin x）h（x）与h（x）有相同的零点，∴存在唯一的x1∈（，π），使g（x1）＝0，∵x1＝π﹣t1，t1＞x0，∴x0+x1＜π．。
2020年天津四中高考数学模拟试卷(4月份)(含答案解析)
2020年天津四中高考数学模拟试卷（4月份）一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1.已知集合，1，2，，则A. B. C. 1， D. 1，2.若，，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.函数的图象大致为A. B.C. D.4.已知双曲线一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的实轴长为A. B. C. D. 15.底面是边长为1的正方形，侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为A. B. C. D.6.已知圆C与直线及都相切，圆心在直线上，则圆C的方程为A. B.C. D.7.已知函数，，若在区间内没有零点，则的取值范围是A. B. C. D.8.设函数，，，，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D.9.如图梯形ABCD，且，，E在线段BC上，，则的最小值为A. B. C. 15 D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）10.i是虚数单位，复数z满足，则______．11.袋中装有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，现从该袋内随机取出3个球，记被取出的球的最大号码数为，则等于______．12.已知函数在处的切线与直线平行，则的展开式中常数项为______；13.在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各个选项中，一定符合上述指标的是______ ．平均数；标准差；平均数且标准差；平均数且极差小于或等于2；众数等于1且极差小于或等于4．14.已知a，b均为正数，且，的最小值为______．15.已知，若对任意，不等式恒成立，则非零实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）16.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．求；求的值．17.在四棱锥中，侧面底面ABCD，ABCD为直角梯形，，，，，E，F为AD，PC的中点．Ⅰ求证：平面BEF；Ⅱ若PC与AB所成角为，求PE的长；Ⅲ在Ⅱ的条件下，求二面角的余弦值．18.设椭圆的左、右焦点，，左顶点为A，左焦点到左顶点的距离为1，离心率为．Ⅰ求椭圆M的方程；Ⅱ过点A做斜率为k的直线与椭圆M交于另一点B，连接并延长交椭圆M 于点C，若，求k的值．19.设各项均为正数的等比数列中，，设．求数列的通项公式；若，，求证：．是否存在正整数k，使得对任意正整数n均成立？若存在，求出k的最大值，若不存在，说明理由．20.已知函数．求函数在上的最大值；若函数有两个零点，，证明：．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：集合，，，故选：B．先求补集，再求交集．本题考查集合交并补运算，属于基础题．2.答案：A解析：【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，均值不等式，考查了推理能力与计算能力．充分条件和必要条件的定义结合均值不等式、特值法可得结果．【解答】解：，，，，，即，若，，则，但，即推不出，是的充分不必要条件故选A．3.答案：D解析：解：函数的定义域为，，则函数为偶函数，图象关于y轴对称，排除B，当时，，排除A，当时，，排除C，故选：D．根据条件平时函数的奇偶性，结合函数值的符号是否对应，利用排除法进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性的关系，以及函数值的对应性，利用排除法是解决本题的关键．4.答案：C解析：解：抛物线的焦点，双曲线一个焦点与抛物线的焦点重合，，又，，则该双曲线的实轴长为．故选：C．根据抛物线方程求得焦点坐标，进而确定双曲线的焦点，求得双曲线中的c，根据离心率求得实半轴长，则答案可求．本题考查双曲线与抛物线的简单性质，是基础的计算题．5.答案：B解析：【分析】本题考查四棱锥、球、空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、数据处理能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．取点E是正方形ABCD的中心，平面ABCD，由题意到正方形ABCD四个顶点的距离相等的点必在直线SE上，设外接球球心为O，半径为R，则，推导出O、E重合，由此能求出该四棱锥的外接球的体积．【分析】解：如图，点E是正方形ABCD的中心，平面ABCD，由题意到正方形ABCD四个顶点的距离相等的点必在直线SE上，设外接球球心为O，半径为R，则，由，，得，在中，，，，故，解得，即O、E重合，该四棱锥的外接球的体积：．故选：B．6.答案：B解析：解：圆心在上，圆心的纵横坐标值相反，显然能排除C、D；验证：A中圆心到两直线的距离是；圆心到直线的距离是故A错误．故选：B．圆心在直线上，排除C、D，再验证圆C与直线及都相切，就是圆心到直线等距离，即可．一般情况下：求圆C的方程，就是求圆心、求半径．本题是选择题，所以方法灵活多变，值得探究．7.答案：B解析：解：函数，可得，，在区间内没有零点，可得：或，解得故选：B．利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用函数的零点以及函数的周期，列出不等式求解即可．本题考查函数的零点个数的判断，三角函数的化简求值，考查计算能力．8.答案：B解析：解：由函数，可得图象关于对称，且当时，是增函数；可知自变量离对称轴越近，函数值越小；；，，，即．故选：B．根据题意，由函数的性质分析可得图象关于对称，当时，是增函数可知自变量离对称轴越近，函数值越小，转而比较自变量与对称轴的远近关系．本题考查了函数的对称性与单调性的应用，将自变量转化到同一单调区间上是本题关键．属于中档题．9.答案：B解析：解：在梯形ABCD，，则向量与的夹角和向量与的夹角相等，不妨设为．由可知，，整理得，解之得，，即，过点D向AB作垂线垂足为O，建立如图所示直角坐标系，则，，，，则，．所以，又知，当时，取得最小值．故选：B．先利用求出的值，然后建立直角坐标系，确定一些必要点的坐标，用平面向量数量积的坐标表示建立函数关系，求出的最小值．本题考查了平面向量的数量积坐标表示，属于中档题目．10.答案：解析：解：复数z满足，可得．故答案为：．直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可．本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．11.答案：解析：解：解：袋中装有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，现从该袋内随机取出3个球，记被取出的球的最大号码数为，的可能取值为3，4，5，，，，，故答案为：．由题意的可能取值为3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出．本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．12.答案：24解析：解：由题意，，则，即．故，．故当，即时，常数项为．故答案为：24．本题先根据一阶导数求出函数在处的切线斜率，再由题意可得，求出n的值，然后根据二项式定理的通项公式可求出展开式中常数项．本题主要考查一阶导数求出函数在一点处的切线斜率和二项式定理的基本知识，考查了方程思想以及数学运算能力．本题属中档题．13.答案：解析：解：错．举反倒：0，0，0，0，2，6，6；其平均数，不符合条件；错．举反倒：6，6，6，6，6，6，6；其标准差，不符合条件；错．举反倒：0，3，3，3，3，3，6；其平均数且标准差，不符合条件；对．若极差小于2，显然符合条件；若极差小于或等于2，有可能，1，2；，2，3；，3，4；，4，5；，5，6．在平均数的条件下，只有成立，符合条件；对．在众数等于1且极差小于或等于4时，其最大数不超过5，符合条件．故答案为：．通过举反例说明命题不符合条件，或通过平均数和标准差的统计意义，找出符合要求的选项．本题考查了数据的几个特征量，它们只表示数据的一个方面，一个或两个量不能说明这组数据的具体情况．14.答案：解析：解：因为，所以，当且仅当，即、时取等号，故答案为：由，分离后结合基本不等式即可求解．本特纳主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础试题．15.答案：解析：解：，，对任意，不等式恒成立，即对任意，不等式恒成立，在R上是增函数，，即，又，当时，取最小值，，解得，又，即，故，故答案为：由分段函数得，将不等式恒成立问题转化为对任意，不等式恒成立，由的单调性得到，运用参数分离，以及函数的单调性，求出a的范围．本题考查分段函数及应用，考查函数的单调性和运用，不等式的解法，及恒成立问题的解决方法：参数分离法，属于中档题．16.答案：解：因为，所以，所以，，所以；因为，由正弦定理可得，由余弦定理可得，，所以．解析：由已知结合二倍角公式可求sin2B，cos2B，然后结合两角和的正弦公式即可求解；由已知结合正弦定理及余弦定理可求．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，二倍角公式及和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．17.答案：Ⅰ证明：连接AC交BE于O，并连接EC，FO，，，E为AD中点，，且．四边形ABCE为平行四边形，则O为AC中点．又F为PC中点，平面BEF，平面平面BEF．Ⅱ解：，E为AD中点，．侧面底面ABCD，侧面底面，平面PAD，平面ABCD．易知BCDE为正方形，．建立如图空间直角坐标系，设，则0，，0，，1，，0，，1，．与AB所成角为，，解得：，．Ⅲ解：为PC的中点，所以，，，设是平面BEF的法向量，则取，则，得．是平面ABE的法向量．．由图可知二面角的平面角是钝角，所以二面角的余弦值为．解析：Ⅰ因为F为PC的中点，可联想连结AC，交BE于一点O，即可证明O点为AC的中点，利用三角形中位线知识证得线线平行，从而得到线面平行；Ⅱ以E点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用两条异面直线所成角为，结合给出的线段的长度，即可求出PE的长度；Ⅲ求出两个平面FBE与BEA的法向量，利用两个平面法向量所成的角求二面角的余弦值．本题考查了线面平行的判定，考查了利用空间向量求二面角的余弦值，解答的关键是空间坐标系的正确建立，同时需要注意的是平面法向量所成的角和二面角的关系，此题是中档题．18.答案：解：Ⅰ由题意得：，，，解得：，，所以椭圆M的方程：；Ⅱ由Ⅰ得，，直线AB的方程：，联立与椭圆的方程整理得：，有一个根，另一根，将代入直线AB中得，所以B的坐标，所以，所以直线：，直线的方程：，联立直线与直线：解得：，C在椭圆上：，整理得：，解得：，所以．解析：Ⅰ由题意离心率及左焦点到左顶点的距离为1，和a，b，c之间的关系求出a，b，即求出椭圆方程；Ⅱ设直线AB，代入椭圆求出B的坐标，进而写出直线的方程，由题意设方程，两直线联立求出C的坐标，代入椭圆求出k的值．考查直线与椭圆的综合，属于中档题．19.答案：解：设各项均为正数的等比数列的公比为q，则，，解得，，即有，；证明：，，则，即有，两式相减可得，即有，假设存在正整数k，使得对任意正整数n均成立．令，，即有，即为，数列递增，最小，且为，则有，解得，故存在正整数k，且k的最大值为4．解析：设出等比数列的公比q，运用等比数列的通项公式，解得首项和公比，再由对数的运算性质可得通项公式；运用累加法求得，再由错位相减法求和，即可得证；假设存在正整数k，令，判断单调性，进而得到最小值，解不等式可得k的范围．本题考查等比数列的通项公式和求和公式，同时考查数列的求和方法：错位相减法，以及不等式恒成立问题转化为求数列的最值，注意运用单调性，属于中档题和易错题．20.答案：解：因为，则．令，解得．当时，；当时，，故函数的增区间为；减区间为．当，即时，在区间上单调连增，则；当，即时，在区间上单调递墙，在区间上单调递减，则；当，即时，在区间上单调递减，则．证明：若函数有两个零点，则，可得．则，此时，由此可得，故，即．又因为，，所以．所以．解析：求导，利用导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得在上的最大值；由有两个零点，由可知，则，因此可得利用，即可证明．本题考查函数单调性与导数的关系，导数与函数最值得关系，考查函数的零点的应用，考查转化思想，属于中档题．。
【精品高考数学】[2020年天津高考仿真模拟卷-数学]+答案
2020年天津高考仿真模拟卷数学 2020.4满分：150分 考试时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|lg(2)}A x y x ==-，(2,3)B =-，则A B =I A ．(2,2)(2,3-U ） B ．(2,2)-C ．(2,3)D ．[2,3)2．“04a ≤≤”是“实系数一元二次方程20x ax a ++=无实根”的 A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知ln3x =，4log 2y =，12z e -=，则A ．x y z <<B ．z x y <<C ．z y x <<D ．y z x <<4．构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2BD AD =，则DEF V 与ABC V 的面积之比为A ．12B ．13C ．15D ．175．对大于1的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：3331373152{3{94{5171119L ，，，仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是73，则m 的值为 A ．8 B ．9 C ．10 D ．116．设曲线12x y x +=-在点()1,2-处的切线与直线0ax by c ++=垂直，则ab=A ．13B ．13-C ．3D ．-37．设函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的部分图象如图所示，则函数()3()4y f x f x π=++的单调增区间为A ．[,]()44k k k Z ππππ-+∈ B ．[,]()63k k k Z ππππ-+∈C ．[,]()36k k k Z ππππ-+∈ D ．[,]()2k k k Z πππ+∈8．已知三棱锥 P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，且两两垂直，ABC V 是边长为2的正三角形，则球O 的体积为A ．86πB ．46πC 6πD 69．已知函数2()43f x x x =-+.若方程2[()]()0f x bf x c ++=恰有七个不相同的实根，则实数b 的取值范围是 A ．()2,0-B ．()2,1--C ．()0,1D ．()0,2第Ⅱ卷二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分． 10．若复数z 满足2z i i ⋅=-，则z =_______．11．某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如下表： 等待时间/分 [)0,5[)5,10[)10,15[)15,20[]20,25频数48521用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值x =______，病人等待时间方差的估计值2s =______.12．已知向量a v 、b v 满足1a =v，||2b =v ，且它们的夹角为120°，则向量2a b +v v 与向量a v 夹角的余弦值为________13．已知球、母线和直径相等的圆柱、正方体，它们的体积依次为1V 、2V 、3V ，若它们的表面积相等，则222123::V V V =________（结果保留π）.14．已知0x >，0y >，141x y+=，不等式280m m x y ---<恒成立，则m 的取值范围是_______．（答案写成集合或区间格式）15．某省现行的高考招生制度规定除语、数、英之外，考生须从政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术这7门高中学考科目中选择3门作为高考选考科目，成绩计入高考总分.已知报考某高校A 、B 两个专业各需要一门科目满足要求即可，A 专业：物理、化学、技术；B 专业：历史、地理、技术.考生小李今年打算报考该高校这两个专业的选考方式有______ 种.（用数字作答）四、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足222a c b ac +=-．()I 求角B 的大小；()II 若BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ，1AD ==，求sin BAC ∠的值．17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PBC V 是等腰三角形，且3PB PC ==.四边形ABCD 是直角梯形，//AB DC ，AD DC ⊥，5AB =，4AD =，3DC =.AB平面PDC;（Ⅰ）求证://-的体积;（Ⅱ）当平面PBC⊥平面ABCD时，求四棱锥P ABCDP A B C D中找出两个点，使得这两点所在的直线与直线（Ⅲ）请在图中所给的五个点,,,,BC垂直，并给出证明．．.18．某超市计划按月订购一种饮料，每天进货量相同，进货成本每瓶3元，售价每瓶5元，.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高每天未售出的饮料最后打4折当天全部处理完℃有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间气温(单位：)[)20,25，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为100瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表： 最高气温 [)10,15[)15,20[)20,25[)25,30[)30,35[)35,40天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．(Ⅰ)求六月份这种饮料一天的需求量(X 单位：瓶)的分布列，并求出期望EX ； (Ⅱ)设六月份一天销售这种饮料的利润为(Y 单位：元)，且六月份这种饮料一天的进货量为(n 单位：瓶)，请判断Y 的数学期望是否在n EX =时取得最大值？19．已知椭圆2222:1()x y C a b o a b+=>>的焦距为2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为1-，为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设斜率为的直线与椭圆C 相交于,A B 两点，记AOB ∆面积的最大值为k S ，证明：12S S =20．已知函数()()32111323a f x x a x x =-++-． （1）若函数f （x ）的图象在点（2，f （2））处的切线方程为9x ﹣y +b ＝0，求实数a ，b 的值； （2）若a ≤0，求f （x ）的单调减区间；（3）对一切实数a ∈（0，1），求f （x ）的极小值的最大值．2020年天津高考仿真模拟卷数学 2020.4满分：150分 考试时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|lg(2)}A x y x ==-，(2,3)B =-，则A B =I A ．(2,2)(2,3-U ） B ．(2,2)-C ．(2,3)D ．[2,3)【解析】因为(){}|lg 22A x y x ∞==-=+（，），所以()2,3A B ⋂=，故选C.2．“04a ≤≤”是“实系数一元二次方程20x ax a ++=无实根”的 A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】实系数一元二次方程20x ax a ++=无实根”⇔24004a a a ∆=-<⇔<<若“04a ≤≤”成立，“04a <<”不一定成立 反之，若“04a <<”成立，“04a ≤≤”一定成立所以“04a ≤≤”是“实系数一元二次方程20x ax a ++=无实根”的必要不充分条件. 所以A 选项是正确的. 故选A3．已知ln3x =，4log 2y =，12z e -=，则A ．x y z <<B ．z x y <<C ．z y x <<D ．y z x <<【解析】1241log 212y e -==<=<，ln3ln 1e >=，∴y z x <<． 故选：D.4．构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2BD AD =，则DEF V 与ABC V 的面积之比为A ．12B ．13C ．15D ．17【解析】2,BD AD AF BD ==Q ，2AF AD ∴=，即点D 为AF 的中点，由余弦定理得：2222cos120AB AD BD AD BD ︒⋅-=+，解得7AB AD =， )22ABC1()sin 601217sin 6072DEF AD S S ︒︒∴==V V ， 故选D5．对大于1的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：3331373152{3{94{5171119L ，，，仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是73，则m 的值为 A ．8B ．9C ．10D ．11【解析】由题意可得3m 的“分裂数”为m 个连续奇数，设3m 的“分裂数”中第一个数为m a ，则由题意可得：3273422a a -=-==⨯，43137623a a -=-==⨯，…，12(1)m m a a m --=-，将以上2m -个式子叠加可得2(422)(2)(1)(2)2m m m a a m m +---==+-，∴22(1)(2)1m a m m a m m =+-+=-+，∴当9m =时，73m a =，即73是39的“分裂数”中第一个数， 故选B 6．设曲线12x y x +=-在点()1,2-处的切线与直线0ax by c ++=垂直，则ab= A ．13B ．13- C ．3 D ．-3【解析】依题意()()()'2221322x x y x x --+-==--，'1|3x y ==-，由于曲线12x y x +=-在点()1,2-处的切线与直线0ax by c ++=垂直，所以()131,3a a b b ⎛⎫-⋅-=-=- ⎪⎝⎭. 故选：B7．设函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的部分图象如图所示，则函数()3()4y f x f x π=++的单调增区间为A ．[,]()44k k k Z ππππ-+∈ B ．[,]()63k k k Z ππππ-+∈C ．[,]()36k k k Z ππππ-+∈ D ．[,]()2k k k Z πππ+∈【解析】由图像可知2A =，1,4612T T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，因为2T πω=，得到2ω= 代入,212π⎛⎫-- ⎪⎝⎭得sin 16πϕ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，得23k πϕπ=-，取0k =，则3πϕ=-所以函数()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2cos 243f x x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此()34y f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭2sin 223sin 2343x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝=⎭⎝⎭⎝⎭ 2sin 223sin 22sin 223233233x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=4sin 233x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭4sin2x =，则22222k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，得4sin 2y x =的单调递增区间，得44k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈.故选A 项.8．已知三棱锥 P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，且两两垂直，ABC V 是边长为2的正三角形，则球O 的体积为A ．86πB ．46πC ．6πD ．62π 【解析】由题中条件易得2PA PB PC ===，从而球O 的半径36222r =⨯=，体积3463V r ππ==， 故选：C ．9．已知函数2()43f x x x =-+.若方程2[()]()0f x bf x c ++=恰有七个不相同的实根，则实数b 的取值范围是 A ．()2,0-B ．()2,1--C ．()0,1D ．()0,2【解析】由题意，画出函数2()43f x x x =-+的图象，如图所示，可得()(1)(3)0,(2)1,0f f f f x ===≥，因为方程2[()]()0f x bf x c ++=恰有七个不同的实根，则方程20t bt c ++=的其中一个根为1，另一根在(0,1)内，设()2g t t bt c =++，则满足(1)0g =且(0)0g >且()02b g -<且012b<-<，即10b c ++=且0c >且2()()022b b b c -+⋅-+<且012b<-<，解得21b -<<-，即实数b 的取值范围是()2,1--， 故选B.第Ⅱ卷二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分．10．若复数z 满足2z i i ⋅=-，则z =_______．【解析】22.12,iz i i z i z i-⋅=-∴==-∴=Q 11．某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如下表：用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值x =______，病人等待时间方差的估计值2s =______.【解析】（1） 2.547.5812.5517.5222.519.520x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==；（2）222222(2.59.5)4(7.59.5)8(12.59.5)5(17.59.5)2(22.59.5)128.520s -⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯==12．已知向量a v 、b v 满足1a =v，||2b =v，且它们的夹角为120°，则向量2a b +vv 与向量a v 夹角的余弦值为________【解析】2a b +===r r ()112122cos 2,2a b a a b a a b a⎛⎫+- ⎪+<+>====+r r r g g g r r r r r r g13．已知球、母线和直径相等的圆柱、正方体，它们的体积依次为1V 、2V 、3V ，若它们的表面积相等，则222123::V V V =________（结果保留π）.【解析】设球的半径为R ，圆柱底面半径为r ，正方体的棱长为a ， 由它们的表面积相等，则222466R r a ππ==，则222111::::466R r a ππ=， 即2223232321234::():(2):()6:4:3V V V R r a πππ==. 14．已知0x >，0y >，141x y+=，不等式280m m x y ---<恒成立，则m 的取值范围是_______．（答案写成集合或区间格式） 【解析】因为0x >，0y >，141x y+=，则144()()559y x x y x y x y ++=++≥+=，（当且仅当3,6x y ==时取等号），9x y +≥，不等式280m m x y ---<恒成立，即：28m m x y -<+只需2289,890m m m m -<--<，则19m -<<，则m 的取值范围是(1,9)-.15．某省现行的高考招生制度规定除语、数、英之外，考生须从政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术这7门高中学考科目中选择3门作为高考选考科目，成绩计入高考总分.已知报考某高校A 、B 两个专业各需要一门科目满足要求即可，A 专业：物理、化学、技术；B 专业：历史、地理、技术.考生小李今年打算报考该高校这两个专业的选考方式有______ 种.（用数字作答）【解析】根据题意得到分情况：当考生选择技术时，两个专业均可报考，再从剩下的6门课中选择两科即可，方法有2615C =种；当学生不选技术时，可以从物理化学中选择一科，再从历史，地理选一科，最后从政治生物中选择一科，有2228⨯⨯=种方法；当学生同时选物理化学时，还需要选择历史，地理中的一科，有2中选择，当学生同时选择历史，地理时，需要从物理化学中再选择一科，也有2种方法，共有4种；最终加到一起共有：15+8+4=27种.四、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足222a c b ac +=-．()I 求角B 的大小；()II 若BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ，1AD ==，求sin BAC ∠的值．【解析】()I Q 在ABC V 中，222a c b ac +=-．∴由余弦定理可得：2221cos 222a cb ac B ac ac +--===-，()0,B π∈Q ，23B π∴=()IIQ 由正弦定理可得：sin sin AD BDB BAD =∠， 31sin 12sin 423BD B BAD AD ⨯⋅∴∠===， ()0,BAD π∠∈Q ，BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ，215cos 1sin BAD BAD ∴∠=-∠=， ()15sin sin 22sin cos 8BAC BAD BAD BAD ∴∠=∠=∠⋅∠=17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PBC V 是等腰三角形，且3PB PC ==.四边形ABCD 是直角梯形，//AB DC ，AD DC ⊥，5AB =，4AD =，3DC =.（Ⅰ）求证://AB 平面PDC ;（Ⅱ）当平面PBC ⊥平面ABCD 时，求四棱锥P ABCD -的体积;（Ⅲ）请在图中所给的五个点,,,,P A B C D 中找出两个点，使得这两点所在的直线与直线BC 垂直，并给出证明．．. 【解析】（Ⅰ）证明：∵AB ∥DC ，且DC ⊂平面PDC ，AB ⊄平面PDC ， ∴AB ∥平面PDC ；（Ⅱ）解：取BC 中点D ，∵PB=PC ，∴PD ⊥BC ， 又平面PBC ⊥平面ABCD ，且平面PBC∩平面ABCD=BC ， ∴PD ⊥平面ABCD ，则PD 为四棱锥P ﹣ABCD 的高， 在底面直角梯形ABCD 中，由AB=5，AD=4，DC=3， 得()1435162ABCD S =⨯⨯+=，且224(53)25+-=又PB=PC=3，∴PD=223(5)2-=． ∴13216233P ABCD V -=⨯⨯=； （Ⅲ）解：图中PA ⊥BC ． 证明如下：由（Ⅱ）知，PD ⊥BC ，作CG ⊥AB ，在直角三角形CGB 中，可得cos 5CBG ∠=， 在三角形ADB 中，由余弦定理可得22255(5)25520AD =+-⨯⨯⨯=， 则AD 2+BD 2=AB 2， ∴AD ⊥BC ，又AD∩PD=D ，∴BC ⊥平面PAD ，则PA ⊥BC ．18．某超市计划按月订购一种饮料，每天进货量相同，进货成本每瓶3元，售价每瓶5元，每天未售出的饮料最后打4折当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)℃有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[)20,25，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为100瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表： 最高气温 [)10,15[)15,20[)20,25[)25,30[)30,35[)35,40天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．(Ⅰ)求六月份这种饮料一天的需求量(X 单位：瓶)的分布列，并求出期望EX ； (Ⅱ)设六月份一天销售这种饮料的利润为(Y 单位：元)，且六月份这种饮料一天的进货量为(n 单位：瓶)，请判断Y 的数学期望是否在n EX =时取得最大值？【解析】(Ⅰ)由题意知X 的可能取值为100，300，500，()2161000.290P X +===， ()363000.490P X ===，()25745000.490P X ++===，X ∴的分布列为：()1000.23000.45000.4340E X =⨯+⨯+⨯=．(Ⅱ)由题意知六月份这种饮料的进货量n 满足100500n ≤≤，当300500n ≤≤时，若最高气温不低于25，则532Y n n n =-=，若最高气温位于[)20,25，则()530023003900Y n n n =⨯+--=-， 若最高气温低于20，则()510021003300Y n n n =⨯+--=-，()()()20.49000.43000.24200.2E Y n n n n ∴=⨯+-⨯+-⨯=+，此时，500n =时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元， 当100300n ≤≤时，若最高气温不低于25，则532Y n n n =-=， 若最高气温位于[)20,25，则532Y n n n =-=，若最高气温低于20，则()5100100300300Y n n =⨯---=-，()()()20.40.43000.260 1.4E Y n n n ∴=⨯++-⨯=+，此时，300n =时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为480元，340n ∴=时，Y 的数学期望值为：4200.2340488+⨯=不是最大值， 500n =时，y 的数学期望达到最大值，最大值为520元．19．已知椭圆2222:1()x y C a b o a b+=>>的焦距为2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为1-，为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设斜率为的直线与椭圆C 相交于,A B 两点，记AOB ∆面积的最大值为k S ，证明：12S S =【解析】（Ⅰ）由题意，得椭圆的半焦距1c =，右焦点()1,0F ，上顶点()0,M b ，所以直线MF 的斜率03tan 1014b k π-===--，解得1b =，由222a b c =+，得22a =，所以椭圆的方程为2212x y +=.（Ⅱ）证明：设直线l 的方程为y kx m =+，其中12k =或，()1122,),,Ax y B x y （，由方程组22{12y kx mx y =++=得()222124220kxkmx m +++-=，所以2216880k m ∆=-+> ()*，于是有2121222422,1212km m x x x x k k --+==++ ， 所以()222222222422114821121212km m k AB k k m k k k --+⎛⎫=+-⨯=-+ ⎪+++⎝⎭，因为原点O 到直线y kx m =+的距离 21m d k=+所以()22221221212AOB S AB d m k m k ∆=⋅=-++ 222S =()22299AOB S m m ∆=- 当1k =时，()22233AOB S m m ∆=-232m =时AOB S ∆的最大值12S =，验证知()*成立；292m =当2k =时，所以当时AOB S ∆的最大值，验证知()*成立；所以12S S =。
天津市静海县2019-2020学年高考数学四模考试卷含解析
天津市静海县2019-2020学年高考数学四模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知正四面体的内切球体积为v ，外接球的体积为V ，则Vv=（ ） A ．4 B ．8C ．9D ．27【答案】D 【解析】 【分析】设正四面体的棱长为1，取BC 的中点为D ，连接AD ，作正四面体的高为PM ，首先求出正四面体的体积，再利用等体法求出内切球的半径，在Rt AMN ∆中，根据勾股定理求出外接球的半径，利用球的体积公式即可求解. 【详解】设正四面体的棱长为1，取BC 的中点为D ，连接AD ， 作正四面体的高为PM ，则323,233AD AM AD ===， 2263PM PA AM ∴=-=， 1362312P ABC V -∴==， 设内切球的半径为r ，内切球的球心为O ， 则13443P ABC O ABC V V --==⨯， 解得：612r =； 设外接球的半径为R ，外接球的球心为N ，则MN PM R =-或R PM -，AN R =， 在Rt AMN ∆中，由勾股定理得：222AM MN AN +=，22163R R ⎛⎫∴+-= ⎪ ⎪⎝⎭，解得6R =， 3Rr∴=， 3327V R v r∴== 故选：D 【点睛】本题主要考查了多面体的内切球、外接球问题，考查了椎体的体积公式以及球的体积公式，需熟记几何体的体积公式，属于基础题.2．下列图形中，不是三棱柱展开图的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】根据三棱柱的展开图的可能情况选出选项. 【详解】由图可知，ABD 选项可以围成三棱柱，C 选项不是三棱柱展开图. 故选：C 【点睛】本小题主要考查三棱柱展开图的判断，属于基础题.3．要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各2节，自习课1节的功课表，其中上午5节，下午2节，若要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻），则不同的排法种数是（ ） A ．84 B ．54C ．42D ．18【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午；②语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午.分别求出每一种情况的安排方法数目，由分类加法计数原理可得答案． 【详解】根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午，要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻，将2节语文课和2节数学课分别捆绑，然后在剩余3节课中选1节到上午，由于2节英语课不加以区分，此时，排法种数为1233232218C A A A =种； ②语文和数学都一个安排在上午，一个安排在下午.语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午，但2节语文课不加以区分，2节数学课不加以区分，2节英语课也不加以区分，此时，排法种数为14242224C A A =种. 综上所述，共有182442+=种不同的排法. 故选：C ． 【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于中等题． 4．已知复数z 满足()11z i i +=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．i - B ．iC ．1D ．1-【答案】D 【解析】 【分析】根据复数z 满足()11z i i +=-，利用复数的除法求得z ，再根据复数的概念求解. 【详解】因为复数z 满足()11z i i +=-，所以()()()211111i iz i i i i --===-++-， 所以z 的虚部为1-. 故选：D. 【点睛】本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.5．如图，在平行四边形ABCD 中，O 为对角线的交点，点P 为平行四边形外一点，且AP OB P ，BP OA P ，则DP =u u u v（ ）A ．2DA DC +u u u v u u u vB ．32DA DC +u u uv u u u v C ．2DA DC +u u u v u u u vD ．3122DA DC +u u uv u u u v【答案】D 【解析】 【分析】连接OP ，根据题目，证明出四边形APOD 为平行四边形，然后，利用向量的线性运算即可求出答案 【详解】连接OP ，由AP OB P ，BP OA P 知，四边形APBO 为平行四边形，可得四边形APOD 为平行四边形，所以1122DP DA DO DA DA DC =+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 3122DA DC =+u u u r u u u r.【点睛】本题考查向量的线性运算问题，属于基础题6．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线经过圆22:240E x y x y ++-=的圆心，则双曲线C 的离心率为（ ） A 5 B ．5C 2D ．2【答案】B 【解析】 【分析】求出圆心，代入渐近线方程，找到a b 、的关系，即可求解. 【详解】 解：()1,2E -，()2222:10,0x y C a b a b-=>>一条渐近线b y x a =- ()21ba=-⨯-，2a b =()222222+b ,2,c a c a a e ==+=故选：B 【点睛】利用a b 、的关系求双曲线的离心率，是基础题.7．若||1OA =u u u v，||OB =u u u v 0OA OB ⋅=u u u v u u u v，点C 在AB 上，且30AOC ︒∠=，设OC mOA nOBu u u v u u u v u u u v =+(,)m n R ∈，则mn的值为（ ） A ．13B ．3 C．3D【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的数量积运算即可算出． 【详解】解：30AOC ︒∠=Qcos ,OC OA ∴<>=u u u r u u u rOC OA OC OA⋅∴=u u u r u u u r u u u r u u u r()2mOA nOB OA mOA nOBOA+⋅∴=+u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r2= 1OA =u u u r Q，OB =u u u r ，0OA OB ⋅=u u u r u u u r=229m n ∴=又C Q 在AB 上0m ∴>，0n >3m n∴= 故选：B 【点睛】本题主要考查了向量的基本运算的应用，向量的基本定理的应用及向量共线定理等知识的综合应用． 8．古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个“完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28恰好在同一组的概率为( ) A ．15B ．25C ．35D ．110【答案】B 【解析】 【分析】推导出基本事件总数，6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，由此能求出6和28恰好在同一组的概率． 【详解】解：将五个“完全数”6，28，496，8128，33550336，随机分为两组，一组2个，另一组3个， 基本事件总数2353C 10n C ==，6和28恰好在同一组包含的基本事件个数22123234m C C C C =+=， ∴6和28恰好在同一组的概率42105m p n ===． 故选：B ． 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 9．设命题p ：,a b R ∀∈，a b a b -<+，则p ⌝为 A ．,a b R ∀∈，a b a b -≥+ B ．,a b R ∃∈，a b a b -<+ C ．,a b R ∃∈，a b a b ->+ D ．,a b R ∃∈，a b a b -≥+【答案】D 【解析】 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可. 【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p ：,a b R ∀∈，a b a b -<+，则p ⌝为：,a b R ∃∈，a b a b -≥+.故本题答案为D. 【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题.10．相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调．如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程，若输入的x 的值为1，输出的x 的值为（ ）A ．6481B ．3227C ．89D ．1627【答案】B 【解析】 【分析】根据循环语句，输入1x =，执行循环语句即可计算出结果. 【详解】输入1x =，由题意执行循环结构程序框图，可得：第1次循环：23x =，24i =<，不满足判断条件； 第2次循环：89x =，34i =<，不满足判断条件；第4次循环：3227x =，44i =≥，满足判断条件；输出结果3227x =.故选：B 【点睛】本题考查了循环语句的程序框图，求输出的结果，解答此类题目时结合循环的条件进行计算，需要注意跳出循环的判定语句，本题较为基础.11．已知函数2(0x y a a -=>且1a ≠的图象恒过定点P ，则函数1mx y x n+=+图象以点P 为对称中心的充要条件是( ) A ．1,2m n ==- B ．1,2m n =-= C ．1,2m n == D ．1,2m n =-=-【答案】A 【解析】 【分析】由题可得出P 的坐标为(2,1)，再利用点对称的性质，即可求出m 和n . 【详解】 根据题意，201x y -=⎧⎨=⎩，所以点P 的坐标为(2,1)，又1()1mx m x n mn y m x n x n +++-===+++ 1mn x n-+， 所以1,2m n ==-. 故选：A. 【点睛】本题考查指数函数过定点问题和函数对称性的应用，属于基础题. 12．已知某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：根据该折线图可知，下列说法错误的是（ ） A ．该超市2018年的12个月中的7月份的收益最高 B ．该超市2018年的12个月中的4月份的收益最低C ．该超市2018年1-6月份的总收益低于2018年7-12月份的总收益D ．该超市2018年7-12月份的总收益比2018年1-6月份的总收益增长了90万元 【答案】D 【解析】 【分析】用收入减去支出，求得每月收益，然后对选项逐一分析，由此判断出说法错误的选项. 【详解】用收入减去支出，求得每月收益（万元），如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 收益203020103030604030305030所以7月收益最高，A 选项说法正确；4月收益最低，B 选项说法正确；16-月总收益140万元，712-月总收益240万元，所以前6个月收益低于后六个月收益，C 选项说法正确，后6个月收益比前6个月收益增长240140100-=万元，所以D 选项说法错误.故选D. 【点睛】本小题主要考查图表分析，考查收益的计算方法，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年天津市高考模拟考试文科数学试题与答案
2020年天津市高考模拟考试文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{}1,2A =，集合{}0,2B =，设集合{},,C z z xy x A y B ==∈∈，则下列结论中正确的是A. A C φ⋂=B. A C C ⋃=C. B C B ⋂=D. A B C =2. 若复数2(1)z m m m i =+++是纯虚数，其中m 是实数，则1z= A. i B. i - C. 2iD. 2i -3. 若1sin()43x π-=，则sin 2x = A.79B. 79-C.13D. 13-4. 在矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，若向该矩形内随机投一点P ，那么使ABP ∆与ADP ∆ 的面积都小于4的概率为 A.136B.112C.19D.495. 在等差数列{}n a 中，3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，则数列{}n a 的前11项和等于 A. 66B. 132C. -66D. -1326. 设函数2()23f x x x =--，若从区间[2,4]-上任取一个实数x ，则所选取的实数x 满足()0f x ≤的概率为A.12B.13C.23D.147. 设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l ⊂α,m ⊂β( ) A ．若l ⊥β，则α⊥β B ．若α⊥β，则l ⊥m C ．若l ∥β，则α∥β D ．若α∥β，则l ∥m8. 已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则 =aA. 2B.26C. 25D. 19. 函数ln ()xf x x=的图象大致为 A. B.C. D.10.已知函数532sin 2064y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象与一条平行于x 轴的直线有两个交点，其横坐标分别为1x ，2x ，则12x x =+ A.43πB.23π C.3π D.6π 11.已知三棱锥ABC D -四个顶点均在半径为R 的球面上，且22===AC BC AB ，，若该三棱锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为 A.81500π B. 9100π C. 925πD. π412. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分別为12,F F ，过2F 的直线与椭圆交于,A B 两点，若1F AB ∆是以A 为直角项点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为A B ．22 D -二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。