复杂网络的同步能力与传播动力学性态-PPT文档资料
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复杂网络基础8课件
复杂网络的重要性
揭示现实世界的内在规律
解决实际问题
复杂网络理论可以用于揭示各种自然 现象和社会现象的内在规律，如生态 系统的食物链、社交网络中的人际关 系等。
复杂网络理论可以用于解决许多实际 问题，如网络安全、交通拥堵、疾病 传播等，为政策制定和工程实践提供 理论支持。
推动跨学科研究
复杂网络理论涉及到数学、物理、计 算机科学等多个学科，可以促进这些 学科之间的交叉融合，推动科学技术 的进步。
提高网络鲁棒性的方法
1 2 3
增加冗余节点和边 在网络中增加冗余的节点和边可以提高网络的容 错性和恢复力，从而提高网络的鲁棒性。
优化节点和边的连接结构 优化节点和边的连接结构可以提高网络的连通性 和稳定性，从而提高网络的鲁棒性。
引入超边和超节点 在网络中引入超边和超节点可以提高网络的连通 性和稳定性，从而提高网络的鲁棒性。
技术网络分析
技术网络分析的概
念
技术网络分析是对技术系统中各 种要素之间相互作用的研究，包 括计算机网络、交通网络等。
技术网络分析的应
用
技术网络分析在计算机网络管理、 交通规划、故障诊断等领域有重 要作用，有助于提高技术系统的 可靠性和效率。
技术网络分析的工
具
技术网络分析工具包括Wireshark、 Gephi等，这些工具提供了丰富 的可视化功能和统计分析方法， 方便研究者进行深入分析。
复杂网络的应用领域
社会学
研究社交网络中的人际 关系、信息传播、群体
行为等。
生物学
研究生物体内的分子相 互作用、生态系统的食
物链等。
计算机科学
研究计算机网络的结构 和演化、计算机病毒的
传播等。
物理学
【推选】复杂网络上的传播动力学PPT实用
k
kp(k)
k k
kk
k
k k k
c
k2
c
c
k k
k2
三、复杂网络上带传播媒介的SIS模型的全 局稳定性分析
非齐次网络上带媒介的SIS模型包括三种状态：易感 者、感染者、传播媒介。
根据平均场理论可得模型如下：
dIdkt(t)Ik(t)k[1Ik(t)](t)1[1Ik(t)](t) dd(tt)(t)2[1(t)](t)
本报告首先简单介绍研究的背景、进展及我们的主要工作；接着介绍标准 SIS模型的动力学行为及免疫策略；然后讨论非齐次复杂网络上带传播媒介 的SIS模型及其地方病平衡点和无病平衡点的全局稳定性；最后谈谈非齐次 复杂网络上一类修正的带传播媒介的SIS模型，求出该模型的流行病阈值， 并证明当感染率大于该阈值时，只要模型存在初始感染节点，模型就总存在 唯一的正不动点，从而证明了该模型的传染过程的地方病平衡点和无病平衡 点的全局稳定性。
目录
一． 引言 二． 标准SIS模型及免疫策略 三． 复杂网络上带媒介的SIS模型及其地方病平衡点和
无病平衡点的全局稳定性 四． 复杂网络上一类修正的带媒介的SIS模型及其地方
病平衡点和无病平衡点的全局稳定性 五． 注记
摘要：复杂网络是由具有一定特征和功能的、相互关联及相互影响的基本单 元所构成的复杂集合体。在现实生活中，许多复杂问题都可用复杂网络来刻 画和建模。例如，流行病的传播与控制、计算机病毒在网络中的扩散、谣言 的流传、交通疏导等，都可以看作复杂网络上服从某种规律的传播行为。
衡点的全局稳定性分析； 2. 一类修正后的带传播媒介的SIS模型的地方病和无病
平衡点的全局稳定性问题。
二、标准SIS模型及免疫策略
PPT—复杂网络.ppt
20
三、社区结构
整个网络是由若干个“社区"或“组’’构成的。每个社 区内部的结点间的连接相对非常紧密，但是各个社区之间 的连接相对来说却比较稀疏（网络中的顶点可以分成组, 组内连接稠密而组间连接稀疏）。我们将复杂网络的这种 结构特征称之为复杂网络的社团结构或社区结构。
社区结构是复杂网络的一个重要的特性，社区也被称为簇， 大量研究表明网络是由各种不同类型的节点构成的，一般 情况下，在不同类型的节点间存在较少的边，而在相同类 型的节点间会有较多的边。位于一个子图内的节点和边组 成一个社团。 复杂网络社区结构还有一个很重要的特性,即是它的层次特
复杂网络的统计特征
网络的聚类系数C：所有节点i的聚类系数Ci的平均值。
（0C1） C=0网络中所有节点都是孤立点 C=1网络中任意节点间都有边相连
★ 网络节点间联系的密切程度, 体现网络的凝聚力
★ 许多大规模的实际网络都具有明显的聚类效应。事实 上，在很多类型的网络(如社会关系网络)中，你的朋友同 时也是朋友的概率会随着网络规模的增加而趋向于某个非 零常数，即当N→∞时，C=O(1)。这意味着这些实际的复杂 网络并不是完全随机的，而是在某种程度上具有类似于社 会关系网络中“物以类聚，人以群分”的特性。
性现实中的网络是由一个个较小的社团组成,而这些社团又可 以包括更小的社团。发现网络中的社团结构,对于了解网络结 构，分析网络特性都具有很重要的意义。
复杂网络研究内容
1）复杂网络模型 典型的复杂网络：随机网、小世界网、无标度网等； 实际网络及其分类。
2）网络的统计量及与网络结构的相关性 度分布的定义和意义，聚集性、连通性的统计量及其实际 意义等。
节点的数目。
★ 直观上看，一个节点的度越大就意味着这个节点在
三、社区结构
整个网络是由若干个“社区"或“组’’构成的。每个社 区内部的结点间的连接相对非常紧密，但是各个社区之间 的连接相对来说却比较稀疏（网络中的顶点可以分成组, 组内连接稠密而组间连接稀疏）。我们将复杂网络的这种 结构特征称之为复杂网络的社团结构或社区结构。
社区结构是复杂网络的一个重要的特性，社区也被称为簇， 大量研究表明网络是由各种不同类型的节点构成的，一般 情况下，在不同类型的节点间存在较少的边，而在相同类 型的节点间会有较多的边。位于一个子图内的节点和边组 成一个社团。 复杂网络社区结构还有一个很重要的特性,即是它的层次特
复杂网络的统计特征
网络的聚类系数C：所有节点i的聚类系数Ci的平均值。
（0C1） C=0网络中所有节点都是孤立点 C=1网络中任意节点间都有边相连
★ 网络节点间联系的密切程度, 体现网络的凝聚力
★ 许多大规模的实际网络都具有明显的聚类效应。事实 上，在很多类型的网络(如社会关系网络)中，你的朋友同 时也是朋友的概率会随着网络规模的增加而趋向于某个非 零常数，即当N→∞时，C=O(1)。这意味着这些实际的复杂 网络并不是完全随机的，而是在某种程度上具有类似于社 会关系网络中“物以类聚，人以群分”的特性。
性现实中的网络是由一个个较小的社团组成,而这些社团又可 以包括更小的社团。发现网络中的社团结构,对于了解网络结 构，分析网络特性都具有很重要的意义。
复杂网络研究内容
1）复杂网络模型 典型的复杂网络：随机网、小世界网、无标度网等； 实际网络及其分类。
2）网络的统计量及与网络结构的相关性 度分布的定义和意义，聚集性、连通性的统计量及其实际 意义等。
节点的数目。
★ 直观上看，一个节点的度越大就意味着这个节点在
PPT—复杂网络
随机图——节点42，边118
平均度为5.62，集聚系数为0.133。
ER模型
Erdös和Rényi （ER）最早提出随机网络 模型并进行了深入研究，他们是用概率统 计方法研究随机图统计特性的创始人。
给定N个节点，没有边，以概率p用边连接 任意一对节点，用这样的方法产生一随机 网络。
ER模型
小世界实验--- 六度分离
米尔格伦的实验过程是：他计划通过人传人的送信方式来统 计人与人之间的联系。
首先把信交给志愿者A，告诉他信最终要送给收信人S。如果 他不认识S，那么就送信到某个他认识的人B手里，理由是A认 为在他的交集圈里B是最可能认识S的。但是如果B也不认识S， 那么B同样把信送到他的一个朋友C手中，……，就这样一步 步最后信终于到达S那里。这样就从A到B到C到……最后到S连 成了一个链。斯坦利•米尔格伦就是通过对这个链做了统计后 做出了六度分离的结论。
性现实中的网络是由一个个较小的社团组成,而这些社团又可 以包括更小的社团。发现网络中的社团结构,对于了解网络结 构，分析网络特性都具有很重要的意义。
复杂网络研究内容
1）复杂网络模型 典型的复杂网络：随机网、小世界网、无标度网等； 实际网络及其分类。
2）网络的统计量及与网络结构的相关性 度分布的定义和意义，聚集性、连通性的统计量及其实际 意义等。
度(degree)：节点 i 的度 ki 定义为与该节点连接的其他
节点的数目。
★ 直观上看，一个节点的度越大就意味着这个节点在
某种意义上越“重要”（“能力大”）。
网络的平均度：网络中所有节点的度和的平均值
dv
vV G
，记作<k>。
p
度分布函数p(k):随机选定节点的度恰好为k的概率
19复杂动态网络同步与控制PPT课件
15
证明
16
证明（2）
e_i(t)趋于零。
17
鲁棒性
18
鲁棒性（2）
19
Outlines
复杂动态网络同步 时变复杂动态网络控制 时变复杂动态网络非脆弱控制 非一致节点复杂动态网络的同步控制算法
20
非脆弱性
定理4 在非脆弱线性反馈控制ui(t) = -[k+\Delta k]
ei(t)的作用下, 若K满足
7
网络同步
一方面, 在具有大规模节点的复杂网络中, 节点间的耦合关系错综复 杂, 这导致节点间耦合关系难以获知, 尤其在外界噪声等因素的干扰 下, 甚至无法确认两节点间是否存在耦合.
另一方面，由于传输速率和网络带宽有限而产生的拥塞等原因使得许 多复杂网络产生了不可避免的时滞现象. 所有这些不确定或未知因素 在建模的过程中或被忽略, 或假设作为先验知识给出, 极大地减弱了 这些同步准则的有效性.
4
网络同步
背景
• 同步现象也会有害，如2000年伦敦千年桥事件 • Internet同步化会引发网络拥塞现象； • 复杂动态网络（耦合动力学系统）中同步的早期
工作主要研究相位同步；后来研究集中在具有规 则拓扑结构的耦合印象格子和细胞神经网络的同 步上；近年来，各种复杂网络共有的小世界和无 标度特性的发现使得人们关注网络拓扑结构与网 络的同步化行为之间的关系。
在这些研究中, Wang, Chen等人提出了一致连结的动力学网络模型, 分别对具有小世界效应和无标度特性的网络进行分析, 给出了无界区 域的同步条件[4-5]. 考虑到现实网络更可能具有不同甚至时变的耦 合强度和拓扑结构, L¨u, Chen等人引入了一个时变的复杂网络模型, 并推导出该模型实现同步的准则[6-8]. 随后许多研究者对上述模型 作了进一步的改进或扩展[9-11], 以求对真实网络系统进行更加完美 地刻画和分析. 从这些已获得的同步准则来看, 判断复杂动力学网络 模型的同步需要相当苛刻的条件.
证明
16
证明（2）
e_i(t)趋于零。
17
鲁棒性
18
鲁棒性（2）
19
Outlines
复杂动态网络同步 时变复杂动态网络控制 时变复杂动态网络非脆弱控制 非一致节点复杂动态网络的同步控制算法
20
非脆弱性
定理4 在非脆弱线性反馈控制ui(t) = -[k+\Delta k]
ei(t)的作用下, 若K满足
7
网络同步
一方面, 在具有大规模节点的复杂网络中, 节点间的耦合关系错综复 杂, 这导致节点间耦合关系难以获知, 尤其在外界噪声等因素的干扰 下, 甚至无法确认两节点间是否存在耦合.
另一方面，由于传输速率和网络带宽有限而产生的拥塞等原因使得许 多复杂网络产生了不可避免的时滞现象. 所有这些不确定或未知因素 在建模的过程中或被忽略, 或假设作为先验知识给出, 极大地减弱了 这些同步准则的有效性.
4
网络同步
背景
• 同步现象也会有害，如2000年伦敦千年桥事件 • Internet同步化会引发网络拥塞现象； • 复杂动态网络（耦合动力学系统）中同步的早期
工作主要研究相位同步；后来研究集中在具有规 则拓扑结构的耦合印象格子和细胞神经网络的同 步上；近年来，各种复杂网络共有的小世界和无 标度特性的发现使得人们关注网络拓扑结构与网 络的同步化行为之间的关系。
在这些研究中, Wang, Chen等人提出了一致连结的动力学网络模型, 分别对具有小世界效应和无标度特性的网络进行分析, 给出了无界区 域的同步条件[4-5]. 考虑到现实网络更可能具有不同甚至时变的耦 合强度和拓扑结构, L¨u, Chen等人引入了一个时变的复杂网络模型, 并推导出该模型实现同步的准则[6-8]. 随后许多研究者对上述模型 作了进一步的改进或扩展[9-11], 以求对真实网络系统进行更加完美 地刻画和分析. 从这些已获得的同步准则来看, 判断复杂动力学网络 模型的同步需要相当苛刻的条件.
复杂网络ppt课件
介数（Betweenness）
★点介数：网络中通过该节点的最短路径的条数 ★ 边介数：网络中通过该边的最短路径的条数 ★反映了节点或边的作用和影响力。如果一对节点间共有B条不 同的最短路径，其中有b条经过节点i，那么节点i对这对节点的 介数的贡献为b/B。把节点i对所有节点对的贡献累加起来再除以 节点对总数，就可得到节点i的介数。类似的，边的介数定义为 所有节点对的最短路径中经过该边的数量比例。
复杂网络应用
电力系统复杂网络的应用：
电力系统复杂网络受到随意攻击
细胞复杂网络的应用：
肺部细胞形成一个复杂网络
因特网复杂网络的应用：
因特网形成的复杂网络
交通运输复杂网络的应用：
航
空
道
网
路
交
通 网
城 市
公
共
交
通
网
复杂网络的统计特征
u 度(degree)：节点 i 的度 ki 定义为与该节点连接的其 他节点的数目。
复杂网络的研究历史：
哥尼斯堡七桥——>随机图论——>小世界和无标度网络
v 自组织：如果一个系统靠外部指令而形成组织，就是他组 织；如果不存在外部指令，系统按照相互默契的某种规则， 各尽其责而又协调地自动地形成有序结构，就是自组织。
自相似：一种形状的每一部分在几何上相似于整体，一般对分形而言。
吸引子：相空间（可以表示出一个系统所有可能状态的空间）中稳 定的不动点集。
5）复杂网络的复杂结构 社团结构、层次结构、节点分类结构等。
6）网络控制 关键节点控制、主参数控制和控制的稳定性和有效性。
7）复杂网络建模 机理建模、数据建模和实际系统的复杂网络正向与逆向建模。
8）复杂逻辑网络 逻辑与高阶逻辑定义、分类、判定算法，高阶逻辑的实际 意义等等。
网络动力学课件
流行病传播的基本模型
需要采用不同的数学模型来表征不同的传播规律，它们是 复杂网络传播动力学研究的基础。 传播模型中的每一类个体都处于同一种状态。基本状态包 括：易感状态(S)，即健康的状态，但有可能被感染；感染 状态(I)，即染病的状态，具有传染性；移除状态(R)，即感 染后被治愈并获得了免疫力或感染后死亡的状态。处于移 除状态的个体不具有传染性，也不会再次被感染，即不再 对相应动力学行为产生任何影响，可以看作已经从系统中 移除。
在真实系统中不同种类的传染病具有不同的传播方式， 研 究它们的传播行为通常采用不同的传播模型
SIS模型 描述像感冒这类治愈后患者不能获得免疫力的疾病。此外 计算机病毒也属于这一类型。个体分为两类：易感人群(S) 和染病人群(I)。 染病人群为传染的源头，它通过一定的概率λ 把传染病传给 易感人群。染病人群本身也有一定的概率u可以被治愈；易 感人群一旦被感染，就又变成了新的传染源。SIS模型的感 染机制可以用下式表示：
复杂系统与复杂网络——网络动力学
6.1复杂网络上的物理传输过程动力学 6.2网络的同步
6.1 网络上的物理传输过程动力学
复杂网络上的传播动力学问题是复杂网络研究的一个重要 方向。 主要研究社会和自然界中各种复杂网络的传播机理与动力 学行为以及对这些行为高效可行的控制方法。 复杂网络上的传播过程可以分为两类：不符合物质或能量 守恒的过程以及符合物质或能量守恒的过程。 首先介绍复杂网络上的流行病传播机理，接着介绍复杂网 络的免疫策略，然后介绍复杂网络上的舆论传播，最后介 绍复杂网络上的数据包传递机理和拥塞控制。
k
k
对于非关联网络，概率P(k'｜k)满足：
复杂网络概述ppt课件
.
二、复杂网络中的基本概念
度(degree)：节点i的度 ki 定义为与该节点连接的其他节点的
数目,对于有向网络分为出度和入度。 ★ 直观上看，一个节点的度越大就意味着这个节点在
某种意义上越“重要”（“能力大”）。
网络的平均度：网络中所有节点的度和的平均值,记作<k>，并且 <k>=2M/N，M为网络中的边数，N为节点数。
二、复杂网络中的基本概念
最短路径（Shortest path）:两个节点之间边数最少
的路径，最短路径的长度称为两点间的距离，用dij 平均路径长度（特征路径长度）L：
所有节点对之间的距离的平均值。
★ 研究发现：尽管许多实际复杂网络的节点数巨大， 网络的平均路径长度却小的惊人。（小世界效应）
.
三、复杂网络的结构模型
.
一、复杂网络的定义
钱学森给出了复杂网 络的一个较严格的定义： 具有自组织、自相似、吸 引子、小世界、无标度中 部分或全部性质的网络称 为复杂网络。
.
一、复杂网络的定义
小世界特性： 小世界特性又被称之为是六度 空间理论或者是六度分割理论。 小世界特性指出：社交网络中 的任何一个成员和任何一个陌 生人之间所间隔的人不会超过 六个。
边的介数： Bij N lm eij / N lm 所l,有m l,mi;,ljm 式中，Nlm表示节点vl和vm之间的最短路径条数，Nlm （eij）表示节点vl和vm之间的最短路径经过边eij的条数
.
二、复杂网络中的基本概念
★ 许多大规模的实际网络都具有
明显的聚类效应。事实上，在很多类 型的网络(如社会关系网络)中，你的 朋友同时也是朋友的概率会随着网络 规模的增加而趋向于某个非零常数， 即当N→∞时，C=O(1)。这意味着这 些实际的复杂网络并不是完全随机的， 而是在某种程度上具有类似于社会关 系网络中“物以类聚，人以群分”的 特. 性。
二、复杂网络中的基本概念
度(degree)：节点i的度 ki 定义为与该节点连接的其他节点的
数目,对于有向网络分为出度和入度。 ★ 直观上看，一个节点的度越大就意味着这个节点在
某种意义上越“重要”（“能力大”）。
网络的平均度：网络中所有节点的度和的平均值,记作<k>，并且 <k>=2M/N，M为网络中的边数，N为节点数。
二、复杂网络中的基本概念
最短路径（Shortest path）:两个节点之间边数最少
的路径，最短路径的长度称为两点间的距离，用dij 平均路径长度（特征路径长度）L：
所有节点对之间的距离的平均值。
★ 研究发现：尽管许多实际复杂网络的节点数巨大， 网络的平均路径长度却小的惊人。（小世界效应）
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三、复杂网络的结构模型
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一、复杂网络的定义
钱学森给出了复杂网 络的一个较严格的定义： 具有自组织、自相似、吸 引子、小世界、无标度中 部分或全部性质的网络称 为复杂网络。
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一、复杂网络的定义
小世界特性： 小世界特性又被称之为是六度 空间理论或者是六度分割理论。 小世界特性指出：社交网络中 的任何一个成员和任何一个陌 生人之间所间隔的人不会超过 六个。
边的介数： Bij N lm eij / N lm 所l,有m l,mi;,ljm 式中，Nlm表示节点vl和vm之间的最短路径条数，Nlm （eij）表示节点vl和vm之间的最短路径经过边eij的条数
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二、复杂网络中的基本概念
★ 许多大规模的实际网络都具有
明显的聚类效应。事实上，在很多类 型的网络(如社会关系网络)中，你的 朋友同时也是朋友的概率会随着网络 规模的增加而趋向于某个非零常数， 即当N→∞时，C=O(1)。这意味着这 些实际的复杂网络并不是完全随机的， 而是在某种程度上具有类似于社会关 系网络中“物以类聚，人以群分”的 特. 性。
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网络同步与传播动力学
复杂网络动力学的特点： 网络规模大，结构复杂; 节点之间的连接方式多样，如，方向可以不 同，权重也可以不同; 网络具有时空复杂性，节点之间的复杂相互 作用可导致同步、复杂的传播行为等; 复杂网络科学有着广阔的应用前景。
两种同步网络的构造
同步最优网络： 新加入节点的连接方式与网络中节点的度 有关，需要注意的是，在同步最优网络生成的过程中，只是 在每条新边加入时网络的同步化性能达到最优，并不能保证 最终得到的整个网络的同步特性达到全局最优。这种同步最 优网络有极少量的节点与大量节点相连接，而其余大部分节 点的连接度数则很低。因此该网络同步化性能比无标度网络 强，但在恶意攻击下容易被破坏。 同步优先网络：新节点连接概率与得到的网络的同步化性能 成正比，它的连接度分布既不服从幂律分布又不服从指数分 布，具有很强的鲁棒性。 理论分析……
复杂网络的同步能力与传播动力学性态
傅新楚，朱杰
（上海大学理学院，上海 201944）
2019第六届全国复杂网络学术会议 ，苏州大学，2019年10月15-18日
摘
要
本文首先从无标度网络构造方式的区别开始，讨论了 网络在不同结构下的同步性和鲁棒性；随后，讨论了 传染病在无标度网络上的传染病阈值，以及在各种不 同免疫的条件下阈值的变化情况，并描述了在网络同 步的情况下传染病的传播动力学性态。该文还重点解 决了Physical Review E, 77 (2019) 036113一文中的 两个遗留数学问题，严格证明了不同免疫条件下阈值 比较的两个不等式。
c
1 ' ( 1) k (k) c
ABSTRACT: This paper discusses the different constructions of scale-free networks, then considers synchronization and robustness for networks with different topology structures. It then estimates epidemic thresholds for disease spreading on scale-free networks, and their variance under different immunization strategies. Finally, the interaction between spreading behavior of diseases and network synchronization is studied. And it also focus on solving two mathematical problems left behind in Physical Review E, 77 (2019) 036113 by proving the related two inequalities for the comparison of epidemic thresholds.
Key words: Scale-free networks; network synchronization; epidemic thresholds; immunization; spreading.
网络分类
规则网络: 规则网络具有很强规则性，例如全连接网络， 环形，链形，星形网络以及格点和分形图等 随机网络:随机网络是指按照某种明确的统计规律生成 的网络，与规则网络相对应，主要是经典的随机图模型 及其派生出来的相关模型 小世界网络: 主要有WS改边小世界网络和NW加边小世 界网络 无标度网络：BA无标度网络是第一个无标度网络。我 们将主要讨论此类网络上的同步与传播问题 可导航网络
目标免疫
在目标免疫中，定义一个整数 ，当节点的度大于它时 进行免疫，度小于它时，不进行免疫，等于它时，以一定 的概率进行免疫。 c o v ( , k ( k ) ) 在计算过程中， 的正负性用于描述目 k 标免疫相对与随机免疫的有效性，经过分析和数值模拟， 可以得到，它总大于零，那就说明了当免疫率相等时，目 标免疫比随机免疫更有效。 目标免疫的流行病阈值：
非零阈值的存在性
具有分片线性传染力的网络存在正的阈值。 可以假设传染力函数为： () k m i n ( kA , ) 免疫前的阈值为：
c
A
m
k
Hale Waihona Puke 1dk1 k dk Ak A m
dk
随机免疫
若在网络中对节点随机进行概率为 (0,1) 的免疫，则阈值 变为：
'c
k Pk () 1 1 1 k ( k ) Pk () 1
k k
c
可以看出免疫是有效的，但是，免疫具有随机性，并没有考 虑到复杂网络中节点的度对网络传播的影响，而且当传染病 阈值趋于足够大时，免疫率也要趋近于1，理论上要对所有 节点免疫才能够消除传染病，效率偏低。
关键词：无标度网络，网络同步，传染病阈值，免疫控制，同步传播
Synchronizability and propagation dynamics of complex networks
Xinchu Fu, Jie Zhu
（College of Sciences, Shanghai University, Shanghai 201944, China）
传播动力学
在SIS传染病模型中存在一个传染病阈值 c ,当传染 率大于该值时，感染个体能够将病毒传播扩散并使得 整个网络感染个体总数最终稳定于某一平稳状态，此 时称网络处于激活相态 ；如果有效传播率低于此临界 值，则感染个体数呈指数衰减，无法大范围传播，网 络此时处于吸收相态。 传染病阈值的大小决定了传染病在网络中传播的结果， 是传播动力学中的一个重要的参数。 不同的网络特性以及免疫方式对传染病阈值的影响也 不同。