机械系统动力学第1章 绪论
机械系统动力学课件
机械系统动力学基础课件
配套教材:机械原理（第七版）
教材主编:郑文纬 吴克坚（东南大学）
课件设计：刁彦飞 孔凡凯 课件制作：孔凡凯 应丽霞
1
绪Hale Waihona Puke 第一章 平面摩擦副及机械效率 第二章 机械的平衡 第三章 机器的运转及其速度波动的调节
2
课件特点：
• 《机械系统动力学基础课件 》是东南大学郑文纬主编的“九五” 国家级优秀教材《机械原理》（第七版）的配套电子教材。本 电子教材包含了采用多媒体技术制作的，涵盖教材全部内容及 课堂讲授扩展内容的各种媒体素材如图片、动画等，以及以知 识点、例题讲解主的单元素材。该课件的特点是： • 一、素材丰富，动画量大，有上千个二维和三维动画； • 二、既汲取了传统黑板教学的优点，可显示讲授提纲，又充分 发挥出了多媒体教学的优势，以知识点讲解为核心，一步一步 显示教学内容，着力体现教学过程，符合学生认知规律，实现 最优化教学效果。 • 三、该课件适合大屏幕投影大课教学，教师操作灵活方便，具 有开放和教师可编辑的特点，有利于教师发挥在教学中的主导 作用，激发学生积极思维，提高课堂教学效果和信息量。可满 足机类和近机类专业本科机械系统动力学基础的教学要求。
《机械原理》课件第1章绪论说课材料
常用机构的研究 已经非常深入 自动控制机构、机器人机构、仿生机构、机电光液 综合机构等进展也非常大 计算机的应用：计算机辅助设计、优化设计、大 型通用或专用的软件等
机械原理课程的性质与任务
是研究机械性能分析与设计的基本理论与 方法的专业基础课程之一。
机械原理的教学内容（归纳起来三大点）
动力机器
发电机等是能量变换的装置，即可将某种 形式的能量变换成机械能，或者把机械能 变换成其他形式的能量。例如：内燃机、 压气机、涡轮机、电动机等。
机器
工作机器 是完成有用的机械功或者是搬运物品。
例如：轧钢机、织布机、缝纫机、汽
车、飞机和金属切削加工机床等。
信息机器 是用来获得和变换信息的。例如：机 械式积分仪、计帐机、打字机和绘图 仪。
§1-3 如何进行本课程的学习
教学环节：
理论教学 课程设计
学习方法：
1. 在学习知识的同时，注重能力的培养。 2. 在重视逻辑思维的同时，加强形象思维能力的培养。 3. 注意先修课程的应用。 4. 理论联系实际，能够做到举一反三。
§1-4 机械原理学科的发展现状及趋势
机械工业发展方向：
高速、高精度、重载、高效率、低噪声 先进制造技术的应用、激光制造 自动生产线机器与其它来自置的主要区别是：机器一定要作机械运
动，并 通过运动来实现能量物料和信息的变换
机构（mechanism） 用来传递运动和力或改变运动形
式的构件系统
机构和机器的区别
• 机构只是一个构件系统，而机器除构件系 统外，还包含电气、液压等其它系统
• 机构只用来传递运动和力，而机器除传递 运动和力外，还具有变换或传递能量、物 料和信息的功能
1、研究机构的组成及具有确定运动的条件。
机器人动力学课程1
第一章 绪 论
• 1.2.2 动态仿真和优化设计 1) 根据连杆质量、负载大小、传动机构特征进 行动态仿真。仿真结果可用于选择适当尺寸 的传动机构，指导机械结构设计。 2) 在上述仿真基础上进行运动参数和机构结构 的综合优化。一般指标和要求是：运动速度 高，但惯性小，结构轻便。— 广义惯性球 GIE 。
• • 1) 2) 3)
第二章 惯性参数
• 2.2 惯性参数的计算 • 2.2.1 质量 1) 对于具有 n个质点p1 , p2 KK, pn 的质点系 s， n mi 为质点 pi 的质量； 有 m = ∑ mi ， i =1 2) 对于质量均匀分布的规则物体，有 m = ∫v ρdv ρ — 密度。 • 2.2.2 质心及质心位置 Ø 质心定义— 外力作用线通过物体上的一定点 时，物体仅作平动；外力作用线不通过这个 定点时，整个物体为随这个点的平动和绕该
2 2 G = m y + z i ω x − ∑ mi xi yiω y − ∑ mi z i xiω z x ∑ i i i =1 i =1 i =1 n n n 2 2 G x = −∑ mi xi yiω x + ∑ mi zi + xi ω y − ∑ mi yi ziω z i =1 i =1 i =1 n n n G = − m z x ω − m y z ω + m x 2 + y 2 ω ∑ ∑ ∑ i i i x i i i y i i i z x i =1 i =1 i =1
第一章 绪 论
• 1.1 研究范围 • 1.1.1、机器人动力学正问题 例：单自由度弹性体振动微分方程：
m 其中， — 质量，c— 阻尼， k— 刚度系数， F— 主动力， x— 位置坐标。 Ø 基本定义：对于给定的一组关节力和力矩，求 关节位移、速度和加速度。主要用于机器人动 态仿真和动力学优化。求解微分方程组— 难。
机械原理课件-绪论
§0－3 课程的性质和学习方法
课程性质： 技术基础课 作用： 承前启后
作为一名工程技术人员，同学们在今后的工 作岗位上将会接触各种各样的通用或专用机 械，因此必须掌握机械方面的基础知识。
先修课程：高等数学、普通物理、工程制图、理论力学
同时，通过本课程的学习，可为今后学习诸如机械 设计、机床夹具设计、机床、机械制造工艺学等专 业课程打下基础，
现能量、物料和信息的变换和传递。
机构
机械
原动机
机器 工作机
工作机组的组成：
原动部分－是工作机动力的来源，最常见的是电动机 和内燃机。
工作部分－完成预定的动作，位于传动路线的终点。
传动部分－联接原动机和工作部分的中间部分。
控制部分－保证机器的启动、停止和正常协调动作。
其关系如下
原动机
传动
工作
控制
分析自动洗衣机的组成：
20世纪中后期，以机电一体化技术为代表，在机器人， 航空航天，海洋舰船等领域开发出了众多高新机械产品， 如火箭、卫星、宇宙飞船、空间站、航空母舰、深海探测 器等
国际太空站
1961年4月12日苏联宇航员尤里·加加林驾
驶“东方”号飞船从拜科努尔发射场启程， 航天飞机正在利用机械臂施放哈勃
实现了人类的首次太空之旅。
绪论
本章教学内容
◆ 本课程研究的对象及内容 ◆ 学习本课程的目的 ◆ 如何进行本课程的学习
通过机械原理课程 将要学习什么？
本章重点
为什么要学 机械原理？
本章教学目的
◆ 使学生了解本课程研究的对象、内容 ◆ 了解本课程的地位、作用和任务 ◆ 了解机械原理学科的发展现状 ◆ 调动学生学习本课程的兴趣和积极性
侯风地动仪
第一章单自由度机械系统动力学建模解析
静力分析（static） 动态静力分析(kinetio-static) 动力分析(dynamic) 弹性动力分析(elastodynamic)
1 静力分析
对低速机械，运动中产生的惯性可以忽略不计，对机 械的运动过程中的各个位置，可以用静力学方法求出 为平衡载荷而需在驱动构件上施加的驱动力或力矩， 以及各运动副中的约束反力，可用此进行原动机功率 的计算、构件和运动副承载能力的计算。
v32
(M1
1
v3
F3 )v3
me
n i 1
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vsi v
2
等 J效si质 量vi
2 me
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n i 1
Fi
程,其维数等于机构的自由度数目; 另一类是含运动副约束反力的代数与微分混合型
方程,其维数大于机构的自由度数目。
机构动力学分析的发展与现状
建立复杂机构动力学模型的常用力学方法有: * 牛顿-欧拉(Newton-Euler)法 * 拉格朗日(Lagrange)法 * 虚功原理法 * 凯恩(Kane)法 * 旋量法和R-W法等。
机械系统动力学
绪论
机械系统动力学是应用力学的基本理论解决 机械系统中动力学问题的一门学科，其核心 问题是建立机械系统的运动状态与其内部参 数、外部条件之间的关系，找到解决问题的 途径
三体机械臂
可伸展卫星太阳能电池板
汽车
五轴并联机床
机械动力学研究内容 ：
机械原理由三部分组成：
机械结构学、机构运动学和机械动力学
4 弹性动力分析
随着机械系统向高速轻质化发展，构件的柔度加大，惯 性力急剧加大，构件的弹性变形可能给机械的运动输出 带来误差。机械系统柔度 系统的固有频率 ，机械 运转速度 激振频率 可能会发生共振，破坏运动精度 ，影响疲劳强度，引发噪声。
机械原理
上海交通大学 机械与动力工程学院机器人研究所 杭鲁滨 博士 副教授 Hanglb@
目录
本章教案
机械原理的研究对象及基本概念 机械设计概述 机械原理课程的地位和作用 机械原理学科的发展动向 思考题 习题
第 一 章 绪 论
基本要求
介绍机械原理的研究对象和内容； 机构、机器、机械的基本概念 机械运动方案设计的基本要求
本 节 内 容
机 械 原 理 的 研 究 对 象 及 基 本 概 念
机械原理的研究对象
机械原理－Machine Theory and Mechanism （机器理论与机构学）
研究机构和机器的运动及动力特性以及机械运动方 案设计的一门基础技术学科
机 械 原 理 的 研 究 对 象 及 基 本 概 念
机 械 设 计 概 述
机械设计概述
机 械设计的主要内容 机电一体化技术在机械运动方案设计中的作 用
机械设计的一般进程
机 械 设 计 概 述
机械设计过程并没有一个通用的固定顺 序，而必须按具体情况确定。机械设计的一 般进程。可分为四个阶段： 产品规划阶段 方案设计阶段 详细设计阶段 改进设计阶段
机械运动方案设计的主要内容
机械运动简图的型综合
若干个执行动作 机构型式 机构系统
机 械 设 计 概 述
机械运动简图的尺度综合
按机构型式 运动规律要求、动作配合 协调设计
由此看出，机械运动方案设计是机械产品设计中十分重要的内容，是决 定机械产品质量、水平、性能和经济效益的关键性一步。
机电一体化技术在机械运动方案设计中的作用
机械原理的基本概念
机构的定义：具有确定运动的构件系统 构件：是机器中运动的单元体 执行动作：完成机器工艺动作过程中的某一动作 执行构件：完成执行动作的构件 执行机构：完成执行动作的机构 执行机构系统：是机器的核心
机械原理第一章绪论CH01
机器和机构的概念(2/4)
机床用来变换物料的状态； 汽车、起重机用来传递物料； 计算机用来变换信息。 由于各种机器的主要组成部分都是各种机构，所以可以说， 机器乃是一种可用来变换或传递能量、物料与信息的机构组合。 机器按其用途可分为两类：凡将其他形式的能量转换为机械 能的机器称为原动机；凡利用机械能来变换和传递物料和信息的 机器称为工作机。
机器和机构的概念(4/4)
机构 1. 由各种材料制成的制造单元 （零件）经装配而成的组合体 2. 由零件组成的各运动单元 （构件）间有确定的相对运动
有关机械的基本理论
（1）机构的结构分析 1）研究机构是怎样组成的，其组成对运动的影响，以及机构 具有确定运动的条件。 2）研究机构的组成原理及机构的结构分类。
（1）机构
机器和机构的概念(1/4)
机构是指一种用来传递与变换运动和力的可动装置。如常 见的机构有带传动机构、链传动机构、齿轮机构、凸轮机构、 螺旋机构等。 这些机构一般认为是由刚性件组成的。而现代机构中除了刚 性件以外，还可能有弹性件和电、磁、液、气、声、光……等元 件。 故这类机构称为广义机构；而由刚性件组成的机构就称为狭 义机构。 （2）机器 机器是指一种执行机械运动装置，可用来变换和传递能量、 物料和信息。 例如： 电动机、内燃机用来变换能量；
（3）机器的结构
传统的机器由如下三个部分组成： 原动部分 传动部分 执行部分
机器和机构的概念(3/4)
现代机器一般由如下四个部分组成：
原动部分
传动部分 控制部分
执行部分
而现代先进的机器则由以下五个部分组成：
位形检测 控制系统 驱动-传动机构 智能系统 执行机构 工作系统
机器和机构的特征 机器 1. 由各种材料制成的制造单元 （零件）经装配而成的组合体 2. 由零件组成的各运动单元 （构件）间有确定的相对运动 3. 变换和传递能量、物料和信 息。
机械原理课程简介
第一章绪论介绍机械、机器、机构的基本概念，说明机械原理课程的研究对象、研究内容以及本课程在人才培养中的地位，建立机械原理课程是高等工科学校机械类专业中的重要技术基础课的概念。
第一节机械原理的研究对象一、机械的概念机械是伴随人类社会的不断进步逐渐发展与完善的。
从原始社会早期人类使用的诸如石斧、石刀等最简单的石制工具，到杠杆、辘轳、人力脚踏水车、兽力汲水车等简单木制工具，发展到较复杂的水力驱动和风力驱动的水碾和风车等都是机械。
18世纪英国的工业革命以后，蒸汽机、内燃机、电动机的问世，促进了机械制造业、交通运输业的快速发展，人类开始进入机械文明社会。
20世纪电子计算机的发明、自动控制技术、信息技术、传感技术的有机结合，使机械进入完全现代化阶段。
机器人、数控机床、高速运载工具，重型机械、微型机械等大量先进机械设备加速了人类社会的繁荣和进步，人类可以遨游太空、登陆月球，可以探索辽阔的大海深处，可以在地面以下居住和通行，所有这一切都离不开机械，机械的发展已进入智能化阶段。
机械已经成为现代社会生产和服务的五大要素（人、资金、能量、材料、机械）之一。
中国正在成为全世界的最大机械制造中心。
不同的历史时期，人们对机械的定义也有所不同。
从广义角度讲，凡是能完成一定机械运动的装置都是机械。
如螺丝刀、锤子、钳子、剪子等简单工具是机械，汽车、坦克、飞机、舰船、各类加工机床、机械手、机器人、复印机、打印机等高级复杂装备也是机械。
无论其结构和材料如何，只要是能实现一定的机械运动的装置，就称之为机械。
但是，在现代社会中，人们常把最为简单的、没有动力源的机械称为工具或器械。
如杠杆、钳子、剪子、手推车等最简单的机械常称为工具。
工具是最简单的机械。
本书所讨论的是至少要含有一个以上动力源的复杂机械。
工程中，常把每一个具体的机械称为机器。
就象日常生活中的“桌子”，是一个集合名词，是各种各样具体的桌子的统称。
办公桌、饭桌、课桌、写字台、计算机桌等各种各样的桌子才是具体的桌子。
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第一章绪论1.1机械系统动力学的研究内容机械系统动力学是研究机械结构在动态载荷作用下的动力学行为的科学，是20世纪中叶才发展起来的一门学科。
机械动力学与机械振动学是紧密相关的学科，它是进行机械结构动力优化设计的基础。
动态载荷作用于动态系统，就构成一个动态问题。
所谓动态载荷即迅速变化的载荷，它包括交变载荷与突变载荷。
当载荷的频率成分之一接近或超过系统的某一固有频率时，就必须作为一个动态问题，而不是静态问题来处理。
事实上，工程中的许多问题都必须看作动态问题。
与静态问题比较起来，动态问题具有以下特点：1.复杂性造成动态问题的复杂性的主要原因是其载荷作用的“后效性”与其响应对应于过去经历载荷的“记忆性”。
前者是指某时刻作用在系统上的载荷不仅只影响系统在该时刻的响应，而影响系统在此后各时刻的响应；后者则是指系统在任一时刻的响应不只由该时刻的载荷来决定，而是由在该时刻之前系统所经受的载荷的全部历程来决定，好像系统能记住它过去的经历一样。
动载荷对系统的作用是首先改变系统在各个时刻的初态，这些受扰的初态就按系统内在的模式，向前运动和发展，然后才能决定系统在其后各个时刻的总的响应。
由此可见，一个动态系统在受到外加扰动时，其响应并不是亦步亦趋地跟踪载荷的变化，而是力图表现出它的个性；对一个动态系统施加控制，只有顺应该系统的内在模式，才能收到预期的效果。
由于上述特性，使得对一个动态系统的辨识、响应预测或控制，都要比对静态问题复杂得多。
2.危险性动态系统可能十分危险，其危险性主要是由两种因素引起的：其一为共振现象，当扰动频率接近系统的固有频率时，微小的载荷可以引起“轩然大波”，在结构中激起比静态响应大很多倍的动态位移响应与应力响应，产生巨大的破坏力；其二为自激振动，在一定的条件下，一个动态系统(例如金属切削机床、轧钢机或飞机等等)，可以在没有外加交变激励的情况下，突然振动起来，振幅猛烈上升而产生巨大的破坏性。
例如机床上如果发生这种振动，便难于正常地进行切削加工，而飞机如果产生这种振动，往往会产生机毁人亡的后果。
这种振动即自激振动。
它似乎是“无缘无故”地发生的，对其机理的剖析及防治都比较困难。
3.超常性动态问题的现象、规律及其防治方法往往超越人们的生活常识之外，无法以直观的方法来说明和理解，而必须通过严谨的理论分析，才能得以解释和加以预测。
动态问题的许多解答当然是在乎道理之中，却往往又出人意料之外。
这里举一个很简单的例子。
例如，一个工作机械，受到一定频率的扰动，而扰动频率又正好等于机械结构的固有频率，于是产生强烈的共振，无法正常工作。
如果不是基于理论分析，而凭“想当然”，恐怕谁也不敢想象以下的消振方案：在该工作机械上再加装一个子系统，并使此子系统的固有频率正好等于扰动频率。
人们可能“直观”地以为，这样以来，振动将会加倍厉害。
但事实是工作机械的振动竟然完全被消除了，此即所谓“无阻尼调谐消振器”。
振动理论对其工作原理给出了满意的解释。
总之，动态问题在本质上不同于静态问题，不能归结为静态问题。
以静态的观点与方法来看待与处理动态问题这是非常危险的，而动态的观念与动态的知识不是自然而然地可以得到的，而必须经过刻苦的学习和钻研才能掌握。
机械结构或者机械系统是我们研究的一个客观实体，我们称之为系统。
外界对系统的作用可以是力(力矩)或称载荷，也可以是运动，我们通称为激励，前者为力激励，后者为运动激励。
系统受到激励后的行为我们则称之为响应。
一般用机械系统的某一个构件或某点的位移(线、角)、速度、加速度的时间函数来表示，其实机械中的各构件，运动副中受到的力，如应力应变也都属于响应。
现代机械动力学主要研究对象就是激励、系统和响应，而其主要研究内容就是三者的关系，归结为以下三个方面的问题：1.已知载荷和结构参数求结构的响应，称为响应预估问题，它是机械动力学的正问题，也是机械动力学研究的核心问题。
这类问题一般借助于多种动态分析方法(如模态分析法、机械阻抗法、有限元法等)对结构的动态特性进行研究。
即为已知激励和系统求响应。
2.已知载荷和结构响应求结构参数或数学模型，称为参数辨识或系统辨识问题，它是机械动力学的第一类逆问题。
这类问题通常要借助于模态分析的方法来识别结构参数，正确地建立结构的数学模型，并完成从模态参数到物理参数的转换，这样才能弄清结构的薄弱环节，为改进结构提供依据。
即为已知激励和响应求系统。
3.已知结构参数和响应求载荷，称为载荷辨识问题，它是机械动力学的第二类逆问题。
这类问题通常先进行第一类逆问题的计算和测试，求得结构参数，然后方能进行载荷辨识，以弄清外界扰动力的水平和规律。
即为已知系统和响应求激励。
1.2系统与机械系统现代的工程问题不仅要对系统进行动态特性的分析，而且还需要对系统进行综合，即将所要研究和处理的对象当作一个系统，看其中元素和元素之间的关联，并从整体的角度来协调好这种关联，使这个系统在我们所要求的某种性能指标下达到最佳状态，这正是系统论的基本思想。
从系统论的观点看，系统是一些元素的组合，这些组合在一起的元素通过相互作用共同完成给定的任务。
系统的概念不仅适用于物理系统，而且可以推广到任何动态现象，包括自然系统(例如太阳系统，生态系统)和人工系统(例如经济系统，交通运输系统、商业系统)等。
本书所要研究的是由机械元件组成的机械系统，例如平面连杆机构系统，由凸轮元件组成的凸轮机构系统，由齿轮元件组成的齿轮系统等等。
这些元件常与电气系统，液压系统相结合一种新的系统。
如机和电形成的机电一体化系统，机械和液压结合形成的机液控制系统等。
因此，机械系统动力学也常常研究这些系统的动力学问题，所以研究机械系统动力学具有极其重要的意义。
分析任何一种动态系统，都应首先建立它的数学模型，建立一个合理的数学模型是分析过程的关键。
机械系统的数学模型是指对机械系统动态特性的数学描述，通常机械系统的数学模型是用微分方程来描述的。
机械系统的数学模型通常可分为离散系统和连续系统两大类，也可以根据描述系统的微分方程是否为线性的，分为线性系统和非线性系统。
有时也根据其数学模型的确定性、随机性和模糊性进行分类。
1.3离散系统和连续系统机械系统动力学是借助于模型进行研究，模型是将实际事物抽象化而得到的。
例如质点、刚体、梁、板、壳、弹簧-质量系统等等都是抽象化的模型。
抽象化的方法并不是脱离实际，而是为了抓住事物的主要因素，忽略次要因素，在一定的条件下更能深刻地反映客观实际。
任何机器、结构或它们的零部件都具有弹性与质量。
若机械各构件的弹性变形很小，以致可以忽略不计，则可近似认为系统是由刚体构件组成的，当构件的弹性变形不能忽略时，则机械系统的动力学模型可分为离散系统(或称集中参数系统)和连续系统(或称分布参数系统)两大类。
离散系统是由集中参数元件组成的，基本的集中参数有三种，即质量，弹簧与阻尼器。
如图1-1a所示的安装在混凝土基础上的精密机器，为了隔振，在基础下面一般装有弹性衬垫。
在隔振分析中需要考察机器与基础的整体振动，这时机器与基础可视为一个刚体。
起着质量的作用具有惯性，弹性衬垫起着弹簧的作用，衬垫的内摩擦以及基础与周围约束之间的摩擦起着阻尼的作用。
因而这一系统可以简化成图l-1b所示的集中参数系统。
离散系统的运动在数学上用常微分方程来描述。
再如图1-2所示简支梁系统，当研究梁在垂直平面内的振动时，若只考虑梁作为一个整体而振动，且简化质心点取在梁的中点处时，梁有总体重量m和纵向方向的变形，可简化为图1-2b所示的具有m和k集中参数元件的系统，即用离散系统来研究和分析。
而要研究每一点的振动特性时，由于梁具有分布的空间质量和每点都有不同的变形，故用图1-2a作为连续系统来处理。
m Array Array k ca) b)a) b)图1-1 机床系统图1-2 简支梁系统连续系统是由弹性元件组成的。
典型的弹性元件有杆、梁，轴，板、壳等。
弹性体的惯性，弹性和阻尼实际上是连续分布的，亦称为分布参数系统，连续系统的运动在数学上用偏微分方程来描述。
机械系统中有不少问题需要简化为连续系统的模型。
离散系统和连续系统形式上代表不同类型的系统，似乎它们具有不同的动态特性，但事实上恰恰相反，因为离散系统和连续系统只不过是表示同一物理系统的两个数学模型而已，由此推测它们应具有类似的动力学性态。
尽管这两种系统分别是由常微分方程和偏微分方程来描述的，但它们的性态实际上是相似的。
为了论证这一点，我们将从杆的纵向振动微分方程的导出来说明它们之间的内在联系。
a )1-Ti F Ti Fb ) 图1-3 连续系统与离散系统现在我们讨论如图1-3a 所示的两端固定的杆的纵向振动方程。
取杆的纵向作为x 轴，各个截面的纵向位移表示为u (x ，t )，见图1-3a 。
杆的微元dx 在自由振动中的受力图也在图1-3a 中给出。
设杆单位体积的质量为ρ、杆长为l 、截面面积为A 、材料的弹性模量为E ，杆在x 截面处的纵向应变为ε(x )，纵向张力为F T (x )。
由材料力学可知，在x 截面处有：xu x ∂∂=)(ε x u AE AE x F T ∂∂==ε)( 而在x +d x 截面处的张力则为：)(22dx xu x u AE dx x F F T T ∂∂+∂∂=∂∂+ 杆的微元dx 的运动微分方程为：dx x uAE t u Adx 2222∂∂=∂∂ρ令c 2=E/ρ，则上式可化为：222221t uc x u∂∂=∂∂ (1-1)式(1-1)称为波动方程。
杆的纵向振动除要满足上述波动方程外，还必须满足下列边界条件：u (0，t )=u (l ，t )=0 （1-2）方程式(1-1)和(1-2)即为用连续系统模型导出的杆的纵向振动偏微分方程。
在第八章中将说明它们构成了所谓的边值问题，其解法亦将在那里进行讨论。
以下，我们将改用离散系统模型来研究上述问题，并指出当离散系统模型取极限时，它将趋近于上述连续系统模型。
首先将系统简化为图1-3b 所示的由无质量弹簧k i (i =1，2，…，n +1)和集中质量m i (i =1，2，…，n )组成的系统。
为了导出有代表性的质量m i 的运动微分方程，可研究图1-3b 中的三个相邻质量m i -1，m i 和m i +1。
连结m i 和m i -1及m i 和m i +1的线段中的张力分别用F Ti-1及F Ti 表示，这二线段分别为Δx i -1和Δx i 。
由牛顿第二定律，质量m i 在水平方向的运动方程为：22111)()(dt u d m u u k u u k ii i i i i i i =----++ (1-3)方程式(1-3)适用于任一质量m i (i =2，3，…，n -1)，也可用于i =1和i =n ，但必须附加一些规定以反映系统的支承形式，因为方程式(1-3)对i =1和i =n 分别包含位移u 0和u n +1，如果杆两端固支，方程式(1-3)中必须令u 0(t )=u n +1(t )=0为了得到离散系统和连续系统的相似性，我们有必要对方程式(1-3)作进一步讨论。