非线性动力学复习参考
非线性动力学导论讲义02(二阶系统简介)-岳宝增 (1)
的单参数曲线族；称为系统的相图，这些曲线称为相轨线。
此外，(5b)式还表示系统有如图所示的2 π 周期性；还有
.
轨线的方向性(后面讨论)。给定一对值（x,y）或（x,x ） 则对应相图上的某一点P,称为系统的一个状态。某一状态 给出了某一特定摆角为x时其角速度为x =y，这两个变量 正是我们某一特定时刻观察摆的摆动时所感知的对象的量 化表示。对给定的一对值（x,x ）亦可以作为微分方程的 初始时刻；因此，任一给定的状态可以确定所有其后续的 状态,而这些状态都位于通过P（x,y)点（初始状态）的相 轨线上。上图中用箭头标定了随着时间的变化，轨线应行 进的方向；该方向可由方程（5a）确定： 当y>0时，则x >0,所以x必然随着t的增加而增大；这表明 在上半平面轨线的方向必须是从左到右；同理，在下半平
关于x积分得：
2 2
2
cos x C x
（3）
其中C是任意的常数。注意到，上面的方程表示系统任 一特定运动的能量守恒关系；这是因为，如果将（3） 两端乘以mʟ2，则： 1 2 2
2
mgl cos x E ml x
其中E是另一任意的常数，上式符合如下形式： E=m的动能+m的势能； 并且任意特定的E值对应于一特定的自由（单摆）运动。 由（3）式中的x 可由x表出：
.
2 x 2(C cos x)
（4）
这是关于x(t)的一阶微分方程。该方程的解不能用初等 直接揭示其解的特性。引入新的变量y，定义如下：
函数表示；我们下面将不通过求解方程而是由方程（4）
yy sin x x
2
（5a） （5b）
则由方程（4）可表示为：
y 2(C 2 cos x）
课程名称非线性动力学
课程名称：非线性动力学一、课程编码：0100016课内学时：32学分：2二、适用学科专业：动力学与控制、航空及航天学科相关专业三、先修课程：理论力学，非线性振动力学，积分变换四、教学目标通过本课程的学习使学生理解非线性动力学中的平衡点、稳定性、分岔、混沌等基本概念和基础理论；掌握非线性动力系统的几何分析原理和计算机数值仿真的基本方法；提升学生对复杂非线性动力学系统的建摸和动力学分析能力。
五、教学方式课堂讲授与课堂讨论六、主要内容及学时分配1.绪论6学时1.1非线性动力学学科的发展及其与经典力学的关系1.2非线性动力学系统的基本特征和工程应用1.3非线性系统研究的基本方法2.线性系统动力学简介4学时2.1二阶系统中状态方程2.2平衡点的基本概念及分类2.3相平面与几何方法2.4单摆动力学初步3.保守系统动力学4学时3.1保守系统基本特征3.2首次积分与能量方法3.3典型的几种保守系统4.分岔的基本理论4学时4.1稳定性及分岔的基本概念4.2基本分岔类型4.3极限环与霍夫分岔4.4倍周期分岔5.混沌动力学8学时5.1混沌的基本概念5.2连续系统及离散系统混沌简介5.3李亚普诺夫指数5.4受外激励的单摆系统非线性动力学6.分形动力学2学时6.1分形的基本概念6.2分形的特征6.3分形维度7.非线性动力学系统动的控制4学时7.1非线性控制的基本理论和方法7.2分岔的控制与切换7.3混沌的控制与同步7.4同宿环及异宿环动力学与控制七、考核与成绩评定成绩以百分制衡量。
成绩评定依据:平时作业成绩占10%，专题讨论20%，期末笔试成绩占80%。
八、参考书及学生必读参考资料参考书1.刘秉正.《非线性动力学》[M].北京：高等教育出版社，20042.Nayfeh A H.Applied Nonlinear Dynamics.New York,1995必读参考资料：3．胡海岩.《应用非线性动力学》[M].北京：航空工业出版社，20004.龙运佳.《混沌振动研究》[M].北京：清华大学出版社，1996九、大纲撰写人：岳宝增。
非线性动力学讲义02(绪论2)-2-岳宝增
限制性三体问题
三体问题的特殊情况。当所讨论的三个天体中 ﹐有一个天体的质量与其他两个天体的质量相比 ﹐ 小到可以忽略时 ﹐这样的三体问题称为限制性三体 问题。一般地把这个小质量的天体称为无限小质量 体 ﹐或简称小天体﹔把两个大质量的天体称为有限 质量体。
Байду номын сангаас
把小天体的质量看成无限小﹐就可不考虑它对
两个有限质量体的吸引 ﹐也就是说 ﹐它不影响两个 有限质量体的运动。于是 ﹐对两个有限质量体的运 动状态的讨论 ﹐仍为二体问题 ﹐其轨道就是以它们
尽管这两个问题在当时还没有被解决，希尔伯特并没有把 他们列进他的问题清单。但是在整整一百年后回顾，这两 个问题对于二十世纪数学的整体发展所起的作用恐怕要比 希尔伯特提出的 23 个问题中任何一个都大。费尔马猜想经
过全世界几代数学家几百年的努力，终于在 1994 年被美国
普林斯顿大学(Princeton University)怀尔斯(Andrew Wiles) 最终解决，这被公认为二十世纪最伟大的数学进展 之一，因为除了解决一个重要的问题，更重要的是在解决 问题的过程中好几种全新的数学思想诞生了，难怪在问题 解决后也有人遗憾地感叹一只会生金蛋的母鸡被杀死了。
Lagrange ， 1736 ， 1 ， 25 － 1813 ， 4 ， 11) 是数学和 力学史上的一位重要人物
。他的一生可分为三个时
期，即早期在意大利的都 灵（ 1736 － 1766 ），中期 在普鲁士的柏林（ 1766 － 1787 ），后期在法国的巴
黎（1787－1813〕。
用，那么在给定它们的初始位置和速度的条件下，
它们会怎样在空间中运动。
三体问题
最简单的例子就是太阳系中太阳，地球和月球的运 动。在浩瀚的宇宙中，星球的大小可以忽略不记， 所以我们可以把它们看成质点。如果不计太阳系其 他星球的影响，那么它们的运动就只是在引力的作
第六章 非线性动力学
现代物化 非线性动力学
第13页
2015年5月5日星期二
FKN机理
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2015年5月5日星期二
铈离子起催化剂作用，在反应过程中并无消耗，也不出现在总的 反应式中。由于BrO3-并不和有机酸直接反应，因此在B—Z反应过程中 ，包含着若干中间反应步骤，FkN机理包括的主要中间反应步骤列在表 1．1中，其中ki是第i个反应步骤的速率系数，vi是第i个反应步骤的 速率，M代表摩尔浓度，s代表秒，MA和BrMA分别为CH 2(COOH)2和 BrCH(COOH)2的缩写。按照FKN机理解释、引起反应体系呈现振荡行为 的关键组分是中间化合物HBrO2，Br-和Ce4+。其中，Br-起到控制过程 的作用，HBrO2起到切换开关的作用，而Ce4+起到再生Br—的作用。
主要技术
曲 线 参 数
促进
抑制
应用体系
物资浓度
优点
现代物化 非线性动力学
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2015年5月5日星期二
应用举例 • 金属离子的检测
有人提出机理认为条件
Ru(Ⅲ) 和Ru(Ⅳ) 的硫酸盐可增加B-Z振荡的频率， 是金属离子必须有两个 Ru浓度与振荡周期的减少呈线性关系;Hg(Ⅱ)和Ti 稳定氧化态，且只能转 ( Ⅰ)可以通过增加B-Z反应的诱导期而能被测得； 移一个电子。 其他金属离子原理类似。
过程中,如CO的气相氧化，烃类燃烧中的热振荡等。有人认为爆炸反应亦
属此类。 尤其值得注意的是振荡现象发生在许多生物化学反应系统中。在
这里细胞起着化学反应器的作用。例如，振荡反应保持着心跳的节奏，振
荡反应出现在葡萄糖转化为ATP(三磷酸腺甙)的糖解循环中等等。因而更 加引起人们的关注。 现代物化 非线性动力学 第22页 2015年5月5日星期二
第一章 非线性动力学分析方法
第一章非线性动力学分析方法（6学时）一、教学目标1、理解动力系统、相空间、稳定性的概念；2、掌握线性稳定性的分析方法；3、掌握奇点的分类及判别条件；4、理解结构稳定性及分支现象；5、能分析简单动力系统的奇点类型及分支现象。
二、教学重点1、线性稳定性的分析方法；2、奇点的判别。
三、教学难点线性稳定性的分析方法四、教学方法讲授并适当运用课件辅助教学五、教学建议学习本章内容之前，学生要复习常微分方程的内容。
六、教学过程本章只介绍一些非常初步的动力学分析方法，但这些方法在应用上是十分有效的。
1.1相空间和稳定性一、动力系统在物理学中，首先根据我们面对要解决的问题划定系统，即系统由哪些要素组成。
再根据研究对象和研究目的，按一定原则从众多的要素中选出最本质要素作为状态变量。
然后再根据一些原理或定律建立控制这些状态变量的微分方程，这些微分方程构成的方程组通常称为动力系统。
研究这些微分方程的解及其稳定性以及其他性质的学问称为动力学。
假定一个系统由n 个状态变量1x ，2x ，…n x 来描述。
有时，每个状态变量不但是时间t 的函数而且也是空间位置r的函数。
如果状态变量与时空变量都有关，那么控制它们变化的方程组称为偏微分方程组。
这里假定状态变量只与时间t 有关，即X i ＝X i (t)，则控制它们的方程组为常微分方程组。
),,,(2111n X X X f dtdX ⋅⋅⋅=λ ),,,(2122n X X X f dtdX ⋅⋅⋅=λ (1.1.1)…),,,(21n n nX X X f dtdX ⋅⋅⋅=λ 其中λ代表某一控制参数。
对于较复杂的问题来说，i f (i ＝l ，2，…n)一般是{}i X 的非线性函数，这时方程(1.1.1)就称为非线性动力系统。
由于{}i f 不明显地依赖时间t ，故称方程组(1.1.1)为自治动力系统。
若{}i f 明显地依赖时间t ，则称方程组(1.1.1)为非自治动力系统。
第五章非线性药物动力学(药物代谢动力学)
非线性药动学的定义
• 临床上某些药物存在非线性的吸收或分布（如抗坏血酸，甲氧萘丙 酸）；还有一些药物以非线性的方式从体内消除，过去发现有水杨酸、 苯妥英钠和乙醇等。这主要是由于酶促转化时药物代谢酶具有可饱和 性，其次肾小管主动转运时所需的载体也具有可饱和性，所以药物在 体内的转运和消除速率常数呈现为剂量或浓度依赖性（dose dependent），此时药物的消除呈现非一级过程，一些药动学参数如 药物半衰期、清除率等不再为常数，AUC、Cmax等也不再与剂量成 正比变化。上述这些情况在药动学上被称之为非线性动力学 （nonlinear pharmacokinetics）
研究目的与意义
• 非线性药物动力学的研究对临床上一些治 疗指数较窄的药物（如苯妥英等）来说意 义非常重大，了解它们的药动学特征，有 利于避免出现药物不良反应和保证临床疗 效。目前新药的药动学研究中规定，必须 对药动学性质的进行研究，即研究不同剂 量下药物的药动学行为是否发生变化，有 时还需研究药物在中毒剂量下的药动学性 质。
浓度与消除速度的关系
• 1．当剂量或浓度较低时，C《Km, 此时米氏方程
•
• 分母中的C可以忽略不计，则上式可简化为
•
dC/dt = k´C
• 此时相当于一级过程。由图7-1可见，低浓度时logC-t为一直线。
• 2．当剂量或浓度较高时，C》Km
• 分母中的Km可以忽略不计，则米氏方程可简化为：
•
比例，MRT也随剂量增加而延长，类似的情况也在抗微生
物药voriconazole，抗老年痴呆症药rivastigmine, 降血脂
药氟伐他汀(fluvastatin), 抗癌药表皮生长因子抗体
非线性动力学
t∈R
x∈ Rn
的解，则显然它是不仅是时间的函数，而且也是初值的函数，即解随着初值的改变而改变， 可以将解记为
φ(t, x0 )
当 x0 是 R n 中的某一点时，φ (t, x0 ) 代表了 1 条解轨线，而
{φ(t, x0 ) x0 ∈ D}
则代表了一族轨线。将φ看成是一个映射，即
φ : R× Rn → Rn
运动行为，它在物理上对应了这样的一个观点：在系统的最初阶段，系统由于外界的初始干 扰，将呈现相当复杂的运动形式，但随着时间的延续，运动将进入平稳状态，而这种平稳状 态体现了动态系统的本质结构。
微分方程解的最终形态通常有： (1) 平衡点 (2) 周期解 (3) 拟周期解 (4) 混沌解
6.4.1 平衡点
图 6-7 所示是 2 维线性系统的相轨线，坐标原点是系统的平衡点，图 6-7a、b 中的平衡 点是稳定的，称为稳定结点，图 6-7c 中的平衡点是不稳定的，称为鞍点。
图 6-7 2 维线性系统的相轨线
6.5.2 任意解的稳定性
设 x = ψ (t)是微分方程 x& = F(t, x)
第 6 章 非线性动力学
-0.5
-1
-1.5
0.5
1
1.5
图 6-2 例 1 相图
例2
如图 6-3 所示是微分方程
&y& + 0.2 y& + y = 0
在相平面 (x1, x2 ) ，
x1 = y
x2 = y&
上的轨线图，平衡点为 (0,0)，当 t → ∞ 时，解轨线趋于平衡点。
0.6 0.4 0.2
-0.6
-0.4
-0.2 -0.2
第七章 非线性动力学及混沌 讲义
i (t ) fi ( x10 1, x20 2 x j 0 j ) x
n
f f i ( x10 , x20 , , xn 0 ) ( i ) 0 j j 1 x j (t ) i 0 (t ) x i
f i i ( )0 j j 1 x j
1883年，英国流体力学家雷诺(Reynolds)的湍流实验。 （香烟） 1903年，法国数学家昂利•庞伽莱（Henri Poincare）从动力系统 和拓扑学的全局思想出发，指出动力学系统可能存在混沌特征。 1963，美国气象学家洛仑兹（Lorenz）在研究天气预报中大气流 动问题时发现了天气“对初始条件的极端敏感性”，将使长时间 的预测无法进行。后被形象地称为“蝴蝶效应” ：一只蝴蝶在巴 西扇一下翅膀，就可能在美国得克萨斯州引起龙卷风。
1 x2 x 2 x x1 2 0
2 x12 x2 1 2 2 A ( A0 )
x
x2
t
时空轨迹 相图
x1
阻尼弹簧振子
通解
2x x 0 x
2 0
x Aet
2 0
2 2 0
1 x2 x 2 x 0 x1 2 x2 2
第七章 非线性动力学与混沌 Chapter 7 Nonlinear Dynamics and Chaos
宋若龙 songrl@ 吉林大学物理学院
参考书
刘秉正， 《非线性动力学与混沌基础》， 东北师范大学出版社，1994
林振山，《非线性力学与大气科学》，南 京大学出版社，1993 刘式达，刘式适，《非线性动力学和复杂 现象》，气象出版社，1989
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非线性动力学复习参考1、简述绘制相轨线的原理及其作用。
解：单自由度机械系统的自由振动，其动力学方程的一般形式为x f (x, x) = 0 (1)引入新的变量y表示速度xv 二丁(2)则系统的运动状态由位置x及速度y所体现,x和y构成系统的状态变量，方程(1)可写为状态变量的一阶微分方程组：x 二y,厂-f (x, y) (3)设状态变量的初始条件为r - 0：」(())-= y讣(4)方程⑶ 的满足初始条件⑷ 的解x(t)和y(t)完全确定系统的运动过程。
以x和y为直角坐标建立(x,y)平面，称为系统的相平面。
与系统的运动状态---- 对应的相平面上的点称为系统的相点。
系统的运动过程可以用相点在相平面上的移动过程来描述。
相点移动的轨迹称为相轨迹。
不同初始条件的相轨迹组成相轨迹族。
现在我们来推导，如何利用该微分方程组得到相轨迹族。
将方程组(1.2.3＞中两式相除「消去时间微分dr后即得到确定相轨迹族的一阶微分方程(E2.5) d-ry给定系统的作用力，即函数f(x.y)指定以后「方程U.2.5)确定相平面(x t y)内各点的向量场.构成相轨迹族.如图1.7所示a在上半平面内$'0即j >0. 随着时间的推移，相点从左到右移动a下半平面内y<Q t即^<0 f相点从右到左移动' 在横坐「标轴上各点处有y = Q t0IJ( dyf 相轨迹与横坐标轴正交彳绘制相轨迹线的作用：相轨迹线可以帮助我们定性地了解系统在不同初始条件下的运动全貌。
当系统是强非线性振动的时候，近似解析法(如小参数摄动法，多尺度法)不再适用，此时可以采用相轨迹法来研究。
相轨迹的奇点和极限环分别对应于系统的平衡状态和周期运动分析。
奇点和极限环的类型可以判断平衡状态和周期运动的稳定性，以及受扰动后可能具有的振动特性。
6、简述非线性单自由度保守系统自由振动的主要特点及其与线性系统的区别解：(1)非线性保守系统的动力学方程的一般形式为X，f(x)=0,化为状态方程为对应的相轨迹微分方程为(2)相轨迹线在平面上，只有当总能量大于势能时，速度才有实数解，而且y 关于X轴对称;(3)相轨迹微分方程决定了相平面上的一个方向场f(x)=O 处有水平切线，y=0时，有竖直切线；当f(x),y同时为零时，相轨线的斜率不定，称这一点为奇点，奇点的速度、加速度都为零，代表了平衡点，其它各点的斜率都是确定的，称为正常点，所以保守系统的相轨线在正常点是互不相交的。
(4)势能函数在局部是单调函数；有孤立的极大值(鞍点)；有孤立的极小值(中心)；(5)保守系统自由振动的周期，一般情况下随初始条件的不同而变化；(6)保守系统的势能在平衡状态处有非孤立极小值，则平衡状态不稳定；⑺ 恢复力与位移不成线性比例或阻尼力与速度不成线性比例；(8)非线性单自由度保守系统自由振动的机械能守恒。
非线性系统与线性系统的区别：(1)非线性保守系统振动周期随初始条件的不同而变化；而线性保守系统的振动周期与初始条件无关。
(2)线性系统，质量不变、弹性力和阻尼力与运动参数成线性关系，其数学描述为线性常系数常微分方程。
而非线性系统不满足此条件。
7、简述非线性单自由度系统在简谐激励下的强迫振动特点解：在各种近似解析方法中，谐波平衡法是最简单明了的，其基本思想是将振动系统的激励项和方程的解都展成傅里叶级数。
从物理意义考虑，为保证系统的作用力与惯性力的各阶谐波分量自相平衡，必须令动力学方程两端的同阶谐波的系数相等，从而得到包含未知系数的一系列代数方程，以确定待定的傅里叶级数的系数。
非线性单自由度系统在简谐激励下的强迫振动特点：（1）弱非线性系统是本章讨论的主要对象和单自曲度弱非线性系统的动力学方程可写为x + 却;工-F" ） | （2.1,9）其中叮｛丄」为非线性项丄是足够小的与工”空"无关的独立参数” 称为小参数，当£=0时.方程（24,9）化为线性系统的壹迫振动方程：（2）自由振动的频率随振幅改变，而不同于线性系统的固有频率；（3）周期解中除基频为w的谐波以外，还有频率为3w,5w…的高次谐波存在，是非线性系统区别于线性系统的本质特点；（4）振幅突然变化的现象一一突跳现象，也是非线性系统特有的现象之一；（5）在非线性系统中，当干扰力频率在派生系统固有频率附近变化而受迫振动振幅很大时，发生主共振。
一定条件下还会发生超谐共振、亚谐共振、组合共振等非主共振现象。
8简述自激振动产生的主要原因及其特点解：自激振动靠系统外的来源补充能量，但能源是恒定的，而不是周期变化的，系统以自己的运动状态作为调节器，以控制能量的输入。
这类系统能自主地从定常的能源汲取能量，调节器的作用使输入的能量具有交变性。
当输入的能量与耗散的能量达到平衡时，系统即可维持等幅振动。
自振系统由三部分构成，即:（1）恒定的能源；（2）耗散的振动系统；（3）受系统运动状态反馈的调节器自振系统框图自激振动有以下特征：（1）振动过程中，存在能量的输入与耗散，因此自振系统为非保守系统。
（2）能源恒定，能量的输入仅受运动状态，即振动系统的位移和速度的调节，因此自振系统不显含时间变量，为自治系统。
（3）振动的特征量，如频率和振幅，由系统的物理参数确定，与初始条件无关。
（4）自治的线性系统只能产生衰减自由振动，无耗散时也只能产生振幅由初始条件确定的等幅自由振动。
因此自振系统必为非线性系统。
（5）自激振动的稳定性取决于能量的输入与耗散的相互关系。
若振幅偏离稳态值时，能量的增减能促使振幅回至稳态值，则自激振动稳定。
（如图a）反之，自激振动不稳定（如图b）自振系统能量振幅关系曲线10.简述非线性系统的分叉和混沌现象。
解：分岔现象是指振动系统的定性行为随着系统参数的改变而发生质的变化，它起源于力学失稳现象的研究。
突然变化，则称这种变化为分岔.因此可将分茁的定义叙述为：对于含参数的系统：i二»）（5AA）其中为状态变量’为分岔参数，即§ 1.2.4中定义的分岔参数在纳维情形的拓广“当参数连续地变动时，若系统（5,1.1）的相轨迹的拓扑结构在卩二卩。
处发生突然变化「则称系统（5.M）在卩二拠处岀现分岔。
声。
称为分岔值或临界值口（工川（J）称为分岔点。
在参量"的空间蹲中'由分岔值构成的集合称为分岔集，在（工,耐的空间ff-Xg"*中「平衝点和极限环随参数卩变化的图形称为分岔图。
在一些应用问题中，有时只需要研究平衡点和闭轨迹附近相轨迹的变化，即在平衡点或闭轨迹的某个邻域中的分岔，这类分岔问题称为局部分岔。
如果需要考虑相空间中大范围的分岔性态，则称为全局分岔。
显然，系统的“局部”和“全局”性质是密切相关的，局部分岔本身也是全局分岔研究的重要内容。
如果只研究平衡点个数和稳定性随参数的变化，则称为静态分岔, 动态分岔是指静态分岔之外的分岔现象.分岔现象的研究主要可以概括为四个方面。
（1）确定分岔集，即建立分岔的必要条件和充分条件；（2）分析分岔的定性性态，即出现分岔时系统拓扑结构随参数变化情况（3）计算分岔解，尤其是平衡点和极限环（4）考察不同分岔的相互作用，以及分岔与混沌等其它动力学现象的关系.分岔理论的重要方面是系统的降维，即将原来需要研究的高维系统转化为较低维数的系统而保持分岔特性不变。
李雅普诺夫施密特约化（简称LS 约化）是将高维非线性系统平衡点分岔问题等效地简化为低维系统问题的一种方法。
中心流形方法是非线性系统理论的重要内容。
中心流形是线性系统的中心子空间概念在非线性系统中的推广。
在高维非线性系统非双曲平衡点的邻域内，存在一类维数较低的局部不变流形，当系统的相轨迹在此流形上时可能存在分岔，而在该流形之外，动力学行为非常简单，例如以指数方式被吸引到该流形。
分岔理论的另一重要问题是降维以后所得到系统的简化，在保持分岔特性的前提下尽可能转化为较为简单和规范的形式。
在分岔理论中系统的简化主要有两种方法即庞加莱--- 伯克霍夫范式和奇异性理论。
在分岔研究中，一般只考虑参数在分岔值附近时系统定性性态的变化。
然而，在分岔参数的整个变化范围内，系统可能在不同的分岔值处相继地出现分岔。
这种相继地分岔对于研究系统随参数演变的全局过程起重要作用。
分岔理论的研究不仅揭示了系统的各种运动状态之间的相互联系和转化，而且与混沌密切相关，成为非线性动力学的重要组成部分线性系统与非线性系统存在许多本质差别，非线性振动系统中的混沌称为混沌振动，也简称为混沌。
混沌振动是非线性系统特有的一种振动形式，是产生于确定性系统的敏感依赖于初始条件的往复性非周期运动，类似于随机振动而具有长期不可预测性。
混沌振动的往复非周期特性可以利用相平面图的几何方法表示出来。
周期运动每隔一个周期就要重复以前的运动，即存在常数T满足x(t) = x(i+ T)故周期运动的相轨迹曲线jc(r) = 十T)是闭曲线。
混沌不具有周期性，因而混沌振动的相轨迹曲线是不封闭的曲线，而运动的往复性则反映在相轨迹曲线局限于一有界区域内，不会发散到无穷远倍周期片盆是一种广泛存在的产主混沌悵动的典型途径设系统有参数N只考虑单参数井不失一股性「当系统肓多个裁数时，可以设定其余参数而仅让其中一个变化，如果厂珂时系统的稳态振动有周期T, 陥首严变化到卩二严|时’稳态振动变为周期2T.这种运动性质的究然改变即是倍周期分岔一般地，厂忤时稳态振动的周離为”丁•则p二円*J丈稳态振动变为周期2Ml T由于罔期不斷加倍.谥后蛮为氏期无穷大的运动，也就是非周期运动从庞加菜映射可规察到订个点变为2个点，2个点变为4个点■等等•琥善倍周期分酋的不断出现，最终变为无夯点周期运动相应地转化为混丸运动：值得注蕙的是，倍周期分叉值出所构成无穷序列|冲|的差商根限：$ = lim —~1 16. L1)****严屜*】-尸*是一个常数.而目几类不同的系统可能有相同的常数”因此被称为晋适常数普适常数的存在反映了借周期分岔产生混沌途径的特点倍周聲分岔产生混沌这一途径是1978年由费粮鲍妞(FJ Feigcnbaum)对映射的硏究所发现’并弓I起人tors注意。
随着对混沌研究的深入，可以从不同的角度对混沌概念进行拓广：前述混沌概念是针对非线性系统的稳态运动而言，但一些非线性系统可能具有很长的过渡性动力学行为，最后呈现周期性的稳态运动。
这种相当长的过渡过程若为具有初态敏感性的往复非周期运动，可称为暂态混沌。
在系统达到稳态运动之前，暂态混沌与真正的混沌极难区分。
弹性体和流体等分布参数力学系统的自由度数为无穷多，因而称为无穷维系统。
无穷维系统的运动不仅与初值条件有关，而且与边界条件有关。
若无穷维系统的动力学行为对边界条件具有敏感性，称这种运动为空间混沌。