数值分析第1章 绪论教案
数值分析第1章 绪论01
1
e x dx S 4 ,
2
则 R4
1 1 1 1 由留下部分 称为截断误差 4! 9 5! 11 引起 1 1 这里 R4 0 .005 由截去部分 4! 9 1 1 1 S4 1 1 0 .333 0 .1 0 .024 引起 0 .743 3 10 42
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1 1 n x 例 2 计算 I n x e dx , n 0 , 1, 2 , ...... e 0
公式一： I n 1 n I n1
记为 * 1 1 x 1 I 0 e dx 1 0 .63212056 I0 0 注意此公式精确成 e e 8 立 则初始误差 E0 I 0 I 0 0.5 10
解 ：将 e 作Taylor展开后再积分 大家一起猜？ 4 6 1 1
x2
0
e
x2
x x x8 dx (1 x ) dx 0 4! 12 ! 2 3!
2
e 1dx 1 1 1 1 1 1 1 11 /e 0 3 2! 5 3! 7 4! 9
0.b1b2
其中 b j ( j 2,
bt 2m
, t ) 是 1 或 0 ， b1 1 ；
t
即
称为计算机的字长；
阶码
m 有固定的上、下限，
L m U
随计算机的不同而不同.
L、U 和 t
上述形式的数称为机器数.
机器数的全体记为 F (2, t , L,U ) ， 称为机器数系.
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即 x 的二进制表示为：
x (11101101) 2
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数值分析课件 第一章 绪论
1 e 0 1 x n e 0 d I n x 1 e 0 1 x n e 1 d x e 1 1 ( ) I n n n 1 1
公式一：I n 1 e [ x n e x 1 0 n 0 1 x n 1 e x d x ] 1 n I n 1
I01 e 01exdx11 e0.63212 记为0I5 0* 6 此公式精确成
初始的小扰动 |E 0|0.51 0 8迅速积累，误差呈递增趋势。 造成这种情况的是不稳定的算法 /* unstable algorithm */ 我们有责任改变。
公式二： I n 1 n I n 1 I n 1 n 1 ( 1 I n )
方法：先估计一个IN ,再反推要求的In ( n << N )。 注 意在e此理(N 公论1 式上1)与等公价IN 式。一N 1 1
)
0 .0 6 6 8 7 0 2 2 0
I
12
1 (1 13
I
13
)
0 .0 7 1 7 7 9 2 1 4
I
11
1 (1 12
I
12
)
0 .0 7 7 3 5 1 7 3 2
I
10
1 11
(1
I
11
)
0 .0 8 3 8 7 7 1 1 5
I
1
1 2
(1
I
2
)
0 .3 6 7 8 7 9 4 4
0
2! 3! 4!
11/1e111 e1 x 2d1x11 1 3 2! 50 3! 7 4! 9
取 01ex2dxS4 ,
S4
R4 /* Remainder */
则 R 44 1 !1 9 由 留5 1 !下1 部1 分1 称为截断误差 /* Truncation Error */
数值分析关冶版第一章教案
授课题目: 第一章引论§1数值分析的研究对象（1学时）教学目标: 使学生了解数值分析的研究对象、作用与特点、数值算法教学重点：数值分析的研究对象、作用与特点教学难点: 数值分析的研究对象教学过程:一、数值分析的研究对象、作用数值分析——也称计算数学，是数学科学的一个分支，主要研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现.主要研究：算法设计，有数学模型给出数值计算方法；上机实现，根据计算方法编制算法程序并计算结果二、数值分析的作用：重点研究数学问题的数值方法及其理论。
作用领域广，形成许多交叉学科。
科学计算与理论研究和科学实验是三种科学手段最重要作用——计算模型数值解三、数值分析的特点面向计算机，根据计算机特点提供有效算法。
有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求。
要有好的计算复杂性——时间和空间复杂性。
要有数值实验。
证明其有效性。
练习：思考：作业:教学反思:授课题目: §2 数值计算的误差（1学时）教学目标: 使学生掌握误差、有效数字及其关系、误差估计教学重点：误差、有效数字及其关系、误差估计教学难点: 误差估计教学过程:误差来源与分类截断误差例如，可微函数f(x)的泰勒(Taylor)多项式则数值方法的截断误差是舍入误差例如，用3.14159代替π，产生的误差●由原始数据或机器中的十进制数转化为二进制数产生的初始误差。
●在用计算机做数值计算时，受计算机字长的限制产生的误差。
误差与有效数字定义1 设x为准确值，x*为x的一个近似值，称为近似值的绝对误差，简称误差。
通常准确值x 是未知的，因此误差e *也是未知的。
若能根据测量工具或计算情况估计出误差绝对值的一个上界，即则ε*叫做近似值的误差限 也可表示成把近似值的误差e *与准确值x 的比值称为近似值x *的相对误差，记作e r ∗它的绝对值上界叫做相对误差限,记作εr ∗,定义2 若近似值x *的误差限是某一位的半个单位，该位到x *的第一位非零数字共有n 位，就说x * 有n 位有效数字.其中a i 是0到9中的一个数字，m 为整数，且定理1设近似数x *表示为x x e -=*****ε≤-=x x e *,***εε+≤≤-x x x .**ε±=x x x xx x e -=*******x xx x e e r-==.***x r εε=其中a i 是0到9中的一个数字，m 为整数，若x *具有n 位有效数字，则其相对误差限为反之，若x *的相对误差限则x *具有n 位有效数字。
数值分析讲义
由于除数很小,将导致商很大,有可能出现“溢出”现 象另外. ,设x* ,y* 的近似值分别为x,y，则z=x÷y是z*=x*÷y*
的近似值.此时，z的绝对误差满足估计式
e(z) z* z (x* x) y x( y y* ) y e(x) x e( y)
yy*
y2
可见,若除数太小,则可能导致商的绝对误差很大。
n k, k 1,...2,1
类似地可得
Ik
I
* k
(1) nk
k!( n!
I
n
I
* n
)
,
k n, n 1,...,1,0
可见，近似误差Ik-I*k是可控制的，算法是数值稳定的。
例如，由于
e 1 10
01 x9e1dx
I9
01 x9dx
1 10
取近似值 I9
1 (e1 1 ) 0.0684 2 10 10
§3 绝对误差、相对误差和有效数字
设x是精确值x*的一个近似值，记 e=x*-x
称e为近似值x的绝对误差，简称误差。如果满足 |e|≤
则称为近似值x的绝对误差限，简称误差限。 精确值x* 、近似值x和误差限之间满足： x-≤x*≤x+
通常记为 x*=x±
绝对误差有时并不能很好地反映近似程度的好坏，如
随着计算机的飞速发展，数值分析方法已深入到计算 物理、计算力学、计算化学、计算生物学、计算经济学等 各个领域。本课仅限介绍最常用的数学模型的最基本的数 值分析方法。
§2 误差的来源和分类
误 1.差模是型描误述差数值数计学算模之型中通近常似是值由的实精际确问程题度抽，象在得数到值的， 计一般算带中有十误分差重，要这，种误误差差按称来为源模可型分误为差模。型误差、观测误差、 截断误2.差观和测舍误入差误差数四学种模。型中包含的一些物理参数通常是 通过观测和实验得到的，难免带有误差，这种误差称为观 测误差。
第1章数值分析-绪论
实际运算 Er (a) (x a) / a
r / a
例5 a=3.14是π的近似值。
E(a) 3.14 0.002
Er
(a)
0.002
0.002 3.14
6.36942104
三、有效数字 例如 3.14159265...
取3位,a=3.14,δ≤0.002 取5位,a=3.1416,δ≤0.000008
a 10m 0.a1a2...an
a1是1到9中的一个整数， a2,…,an为0到9中的任
意整数。m为整数，
且
E(a) x a 1 10mn 2
成立,
ห้องสมุดไป่ตู้
则称a近似 x 有n位有效数字。
【注】 近似数的有效数字不但给出了近似值的大小, 而且还指出了它的绝对误差限。
数值分析——绪论
例6 设 x 0.002567, a 0.00256 102 0.256 则 x a 0.00005 1 104
2
因为m=-2,所以n=2， 即a有2位有效数字。
若 a 0.00257 102 0.257
则
x a 0.000003 0.000005 1 105 2
因为m=-2,所以n=3， 即a有3位有效数字。
例7 设x =8.00001，则a=8.0000具有5位有效数字。
例如，用毫米刻度的米尺测量一长度 x ， 读出和该长度接近的刻度 a, a 是 x
的近似值，它的误差限是0.5mm.如读出的长度 是765mm，则
x 765 0.5 764.5 x 765.5
数值分析——绪论
对于一般情形 x a 即
a x a ，有时记为 x=a
例4 绝对误差的局限性例子。
数值分析原理课件第一章
第一章 绪 论本章以误差为主线，介绍了计算方法课程的特点，并概略描述了与算法相关的基本概念，如收敛性、稳定性，其次给出了误差的度量方法以及误差的传播规律，最后，结合数值实验指出了算法设计时应注意的问题．§1.1 引 言计算方法以科学与工程等领域所建立的数学模型为求解对象，目的是在有限的时间段内利用有限的计算工具计算出模型的有效解答。
由于科学与工程问题的多样性和复杂性，所建立的数学模型也是各种各样的、复杂的. 复杂性表现在如下几个方面：求解系统的规模很大，多种因素之间的非线性耦合，海量的数据处理等等，这样就使得在其它课程中学到的分析求解方法因计算量庞大而不能得到计算结果，且更多的复杂数学模型没有分析求解方法． 这门课程则是针对从各种各样的数学模型中抽象出或转化出的典型问题，介绍有效的串行求解算法，它们包括(1)非线性方程的近似求解方法；(2)线性代数方程组的求解方法；(3)函数的插值近似和数据的拟合近似；(4)积分和微分的近似计算方法；(5)常微分方程初值问题的数值解法；(6)优化问题的近似解法；等等从如上内容可以看出，计算方法的显著特点之一是“近似”． 之所以要进行近似计算，这与我们使用的工具、追求的目标、以及参与计算的数据来源等因素有关．计算机只能处理有限数据，只能区分、存储有限信息，而实数包含有无穷多个数据，这样，当把原始数据、中间数据、以及最终计算结果用机器数表示时就不可避免的引入了误差，称之为舍入误差．我们需要在有限的时间段内得到运算结果，就需要将无穷的计算过程截断，从而产生截断误差． 如的计算是无穷过程，当用作为的 +++=!21!111e !1!21!111n e n ++++= e 近似时，则需要进行有限过程的计算，但产生了截断误差．e e n - 当用计算机计算时，因为舍入误差的存在，我们也只能得到的近似值，也就是n e n e *e 说最终用近似，该近似值既包含有舍入误差，也包含有截断误差．*e e 当参与计算的原始数据是从仪器中观测得来时，也不可避免得有观测误差．由于这些误差的大量存在，我们得到的只能是近似结果，进而对这些结果的“可靠性”进行分析就是必须的，它成为计算方法的第二个显著特点． 可靠性分析包括原问题的适定性和算法的收敛性、稳定性．所谓适定性问题是指解存在、惟一，且解对原始数据具有连续依赖性的问题． 对于非适定问题的求解，通常需要作特殊的预处理，然后才能做数值计算． 在这里，如无特殊说明，都是对适定的问题进行求解．对于给定的算法，若有限步内得不到精确解，则需研究其收敛性． 收敛性是研究当允许计算时间越来越长时，是否能够得到越来越可靠的结果，也就是研究截断误差是否能够趋于零．对于给定的算法，稳定性分析是指随着计算过程的逐步向前推进，研究观测误差、舍入对于同一类模型问题的求解算法可能不止一种，常希望从中选出高效可靠的求解算法． 如我国南宋时期著名的数学家秦九韶就提出求n 次多项式值0111a x a x a x a n n nn ++++-- 的如下快速算法；n a s =； k n a t -=t sx s +=),,2,1(n k =它通过n 次乘法和n 次加法就计算出了任意n 次多项式的值． 再如幂函数可以通过如下64x 快速算法计算出其值；x s =；循环6次s s s ⋅=如上算法仅用了6次乘法运算，就得到运算结果．算法最终需要在计算机上运行相应程序，才能得到结果，这样就要关注算法的时间复杂度(计算机运行程序所需时间的度量)、空间复杂度(程序、数据对存储空间需求的度量)和逻辑复杂度(关联程序的开发周期、可维护性以及可扩展性)． 事实上，每一种算法都有自己的局限性和优点，仅仅理论分析是很不够的，大量的实际计算也非常重要，结合理论分析以及相当的数值算例结果才有可能选择出适合自己关心问题的有效求解算法． 也正因如此，只有理论分析结合实际计算才能真正把握准算法．§1.2 误差的度量与传播一、误差的度量误差的度量方式有绝对误差、相对误差和有效数字．定义1.1 用作为量的近似，则称为近似值的绝对误差．*x x )(:**x e x x =-*x 由于量x 的真值通常未知，所以绝对误差不能依据定义求得，但根据测量工具或计算情况，可以估计出绝对误差绝对值的一个较小上界，即有ε (1.1)ε≤-=x x x e **)(称正数为近似值的绝对误差限，简称误差． 这样得到不等式ε*x εε+≤≤-**x x x 工程中常用ε±=*x x 表示近似值的精度或真值x 所在的范围．*x 误差是有量纲的，所以仅误差数值的大小不足以刻划近似的准确程度． 如量 (1.2)m m cm s μ50001230000005.023.15.0123±=±=±=为此，我们需要引入相对误差定义1.2 用作为量的近似，称为近似值的相对误差． 当0*≠x x )(:**x e xxx r =-*x 是x 的较好近似时，也可以用如下公式计算相对误差*x (1.3)***)(xx x x e r -= 显然，相对误差是一个无量纲量，它不随使用单位变化． 如式(1.2)中的量s 的近似，无论使用何种单位，它的相对误差都是同一个值．同样地，因为量x 的真值未知，我们需要引入近似值的相对误差限，它是相*x )(*x r ε对误差绝对值的较小上界． 结合式(1.1)和(1.3)，相对误差限可通过绝对误差限除以近似*x 值的绝对值得到，即(1.4)***)()(xx x r εε=为给出近似数的一种表示法，使之既能表示其大小，又能体现其精确程度，需引入有效数字以及有效数的概念．定义1.3 设量的近似值有如下标准形式x *x p n ma a a a x 21*.010⨯±= (1.5)()pm p n m n m m a a a a ----⨯++⨯++⨯+⨯±101010102211 ＝其中且，m 为近似值的量级． 如果使不等式}9,,1,0{}{1 ⊂=pi i a 01≠a (1.6)n m x x -⨯≤-1021*成立的最大整数为n ，则称近似值具有n 位有效数字，它们分别是、、… 和 ． *x 1a 2a n a 特别地，如果有，即最后一位数字也是有效数字，则称是有效数．p n =*x 从定义可以看出，近似数是有效数的充分必要条件是末位数字所在位置的单位一半是绝对误差限． 利用该定义也可以证明，对真值进行“四舍五入”得到的是有效数． 对于有效数，有效数字的位数等于从第一位非零数字开始算起，该近似数具有的位数． 注意，不能给有效数的末位之后随意添加零，否则就改变了它的精度．例1.1 设量，其近似值，，． 试回答这三个近π=x 141.3*1=x 142.3*2=x 722*3=x 似值分别有几位有效数字，它们是有效数吗？解 这三个近似值的量级，因为有1=m 312*110211021005.000059.0--⨯=⨯=≤=- x x 413*2102110210005.00004.0--⨯=⨯=≤=- x x571428571428.3*3=x 312*310211021005.0001.0--⨯=⨯=≤=- x x 所以和都有3位有效数字，但不是有效数． 具有4位有效数字，是有效数．*1x *3x *2x 二、误差的传播这里仅介绍初值误差传播，即假设自变量带有误差，函数值的计算不引入新的误差． 对于函数有近似值，利用在点处),,,(21n x x x f y =),,,(**2*1*n x x x f y =),,,(**2*1n x x x 的泰勒公式(Taylor Formula)，可以得到 )(),,,()(*1**2*1**i i ni n i x x x x xf y y y e -≈-=∑=(1.7))(),,,(*1**2*1i ni n i x e x x xf ∑== 其中，是的近似值，是的绝对误差． 式(1.7)表明函ii x f f ∂∂=:*i x i x )(*i x e *i x ),,2,1(n i =数值的绝对误差近似等于自变量绝对误差的线性组合，组合系数为相应的偏导数值． 从式(1.7)也可以推得如下函数值的相对误差传播近似计算公式 (1.8))(),,,()(***1**2*1*i r i ni ni r x e yx x x x f y e ∑=≈对于一元函数，从式(1.7)和(1.8)可得到如下初值误差传播近似计算公式)(x f y = (1.9))()()(***x e x f y e '≈ (1.10))()()(*****x e yx x f y e r r '≈式(1.9)表明，当导数值的绝对值很大时，即使自变量的绝对误差比较小，函数值的绝对误差也可能很大．例1.2 试建立函数的绝对误差(限)、相对误差n n x x x x x x f y +++== 2121),,,(的近似传播公式，以及时的相对误差限传播公式．{}ni i x 1*0=> 解 由公式(1.7)和(1.8)可分别推得和的绝对误差、相对误差传播公式如下(1.11)∑∑==≈ni i ini nix e x e x x xf y e 1**1**2*1*)()(),,,()(＝ (1.12)∑∑==≈ni i r i i r i ni ni r x e yx x e y x x x x f y e 1******1**2*1*)()(),,,()(＝ 进而有∑∑∑===≤≤≈ni i n i ini ix x e xe y e 1*1*1**)()()()(ε于是有和的绝对误差限近似传播公式 ∑=≈ni ixy 1**)()(εε当时，由式(1.3)推得相对误差限的近似传播公式{}ni i x 1*=>)(max )(max )(max )()()(*11***11***11****1**i r ni ni i ir n i ni i i r n i ni i r i ni ir x yx x yx x x y x yxy εεεεεε≤≤=≤≤=≤≤====≤=≈∑∑∑∑ 例1.3使用足够长且最小刻度为1mm 的尺子，量得某桌面长的近似值3.1304*=a mm ，宽的近似值mm (数据的最后一位均为估计值)． 试求桌子面积近似值的绝8.704*=b 对误差限和相对误差限．解 长和宽的近似值的最后一位都是估计位，尺子的最小刻度是毫米，故有误差限 mm ，mm 5.0)(*=a ε5.0)(*=b ε面积，由式(1.7)得到近似值的绝对误差近似为ab S =***b a S = )()()(*****b e a a e b S e +≈进而有绝对误差限 mm 255.10045.03.13045.08.704)()()(*****=⨯+⨯=+≈b a a b S εεε相对误差限 %11.00011.08.7043.130455.1004)()(***=≈⨯=≈S S S r εε§1.3 数值实验与算法性能比较本节通过几个简单算例说明解决同一个问题可以有不同的算法，但算法的性能并不完全相同，他们各自有自己的适用范围，并进而指出算法设计时应该注意的事项． 算例1.1 表达式，在计算过程中保留7位有效数字，研究对不同)1(1111+=+-x x x x 的x ，两种计算公式的计算精度的差异．说明1：Matlab 软件采用IEEE 规定的双精度浮点系统，即64位浮点系统，其中尾数占52位，阶码占10位，尾数以及阶码的符号各占1位． 机器数的相对误差限(机器精度)eps=2－52≈2.220446×10－16，能够表示的数的绝对值在区间(2.2250739×10－308，1.797693×10308)内，该区间内的数能够近似表达，但有舍入误差，能够保留至少15位有效数字． 其原理可参阅参考文献[2, 4]．分析算法1： 和算法2： 的误差时，精确解用双精111)(1+-=x x x y )1(1)(2+=x x x y 度的计算结果代替． 我们选取点集中的点作为x ，比较两种方法误差的差异．301}{=i i π 从图1.1可以看出，当x 不是很大时，两种算法的精度相当，但当x 很大时算法2的精度明显高于算法1． 这是因为，当x 很大时，和是相近数，用算法1进行计算时出x 111+x 现相近数相减，相同的有效数字相减后变成零，于是有效数字位数急剧减少，自然相对误差增大． 这一事实也可以从误差传播公式(1.12)分析出． 鉴于此，算法设计时，应该避免相近数相减．在图1.2中我们给出了当x 接近时，两种算法的精度比较，其中变量x 依次取为1-． 从图中可以看出两种方法的相对误差基本上都为，因而二者的精度相当．{}3011=--i iπ710-图1.1 算例1.1中两种算法的相对误差图（）+∞→x图1.2 算例1.1中两种算法的精度比较)1(-→x 算例1.2 试用不同位数的浮点数系统求解如下线性方程组⎩⎨⎧=+=+2321200001.02121x x x x 说明2：浮点数系统中的加减法在运算时，首先按较大的阶对齐，其次对尾数实施相应的加减法运算，最后规范化存入计算机．算法1 首先用第一个方程乘以适当的系数加至第二个方程，使得第二个方程的的系1x 数为零，这时可解出；其次将带入第一个方程，进而求得(在第三章中称该方法为高2x 2x 1x 斯消元法)． 当用4位和7位尾数的浮点运算实现该算法，分别记之为算法1a 和算法1b ． 算法 2 首先交换两个方程的位置，其次按算法1计算未知数 (第三章中称其为选主元的高斯消元法)． 当用4位和7位尾数的浮点运算实现该算法，分别记之为算法2a 和算法2b ．方程组的精确解为， ，用不同的算法计算出的...25000187.01=x ...49999874.02=x 结果见表1.1．表1.1 对算例1.2用不同算法的计算结果比较算例1.2*1x )(*1x r ε*2x )(*2x r ε算法1a 0.00000.10×1010.50000.25×10－7算法2a 0.25000.75×10－70.50000.25×10－7算法1b 0.26000000.40×10－10.49999870.10×10－6算法2b0.25000200.50×10－80.50000000.25×10－7对于算例1.2，表中的数据表明，当用4位尾数计算时，算法1给出错误的结果，算法2则给出解很好的近似． 这是因为在实现算法1时，需要给第一个方程乘以加00001.0/2－至第二个方程，从而削去第二个方程中的系数，但在计算的系数时需做如下运算1x 2x(1.13)661610000003.0104.0103.0104.03200001.02⨯⨯⨯⨯=+⨯＋＝－＋－－对上式用4位尾数进行计算，其结果为． 因为舍入误差，给相对较大的数加以6104.0⨯－相对较小的数时，出现大数“吃掉”小数的现象． 计算右端项时，需做如下运算(1.14)661610000002.0102.0102.0102.02100001.02⨯⨯⨯⨯=+⨯＋＝－＋－－同样出现了大数吃小数现象，其结果为． 这样，得到的变形方程组6102.0⨯－⎩⎨⎧⨯-=⨯-⨯=⨯+⨯62612114102.0104.0101.0102.0101.0x x x 中没有原方程组中第二个方程的信息，因而其解远偏离于原方程组的解． 该算法中之所以出现较大数的原因是因为运算，因而算法设计中尽可能避免用绝对值较大的数00001.0/2－除以绝对值较小的数． 其实当分子的量级远远大于分母的量级时，除法运算还会导致溢出，计算机终止运行．虽从单纯的一步计算来看，大数吃掉小数，只是精度有所损失，但多次的大数吃小数，累计起来可能带来巨大的误差，甚至导致错误． 例如在算法1a 中出现了两次大数吃小数现象，带来严重的后果． 因而尽可能避免大数吃小数的出现在算法设计中也是非常必要的． 当用较多的尾数位数进行计算，舍入误差减小，算法1和2的结果都有所改善，算法1的改进幅度更大些．算例1.3 计算积分有递推公式，已知⎰+=1055dx x x I n ),2,1(511 =-=-n I nI n n ． 采用IEEE 双精度浮点数，分别用如下两种算法计算的近似值．56ln 0=I 30I算法1 取的近似值为，按递推公式计算0I 6793950.18232155*0=I *1*51--=n n I nI *30I 算法2 因为，取的近似值为)139(5156)139(611039103939+⨯=<<=+⨯⎰⎰dx x I dx x 39I ，按递推公式计算3333330.004583332001240121*39≈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=I ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-**1151n n I n I *30I 算法1和算法2 的计算结果见表1.2． 误差绝对值的对数图见图1.3．表1.2 算例1.3的计算结果算法1算法2n *nI n n I I -*n *nI nn I I -*18.8392e-002 1.9429e-01639 4.5833e-0033.9959e-0042 5.8039e-0029.8532e-016384.2115e-0037.9919e-0053 4.3139e-002 4.9197e-01537 4.4209e-003 1.5984e-0054 3.4306e-002 2.4605e-01436 4.5212e-003 3.1967e-0065 2.8468e-002 1.2304e-01335 4.6513e-003 6.3935e-0076 2.4325e-002 6.1520e-01334 4.7840e-003 1.2787e-007………33 4.9255e-003 2.5574e-00825 1.1740e+001 1.1734e+00132 5.0755e-003 5.1148e-00926-5.8664e+001 5.8670e+00131 5.2349e-003 1.0230e-00927 2.9336e+002 2.9335e+002 305.4046e-003 2.0459e-01028-1.4667e+003 1.4668e+003 297.3338e+0037.3338e+003 30-3.6669e+004 3.6669e+004图1.3 算例1.3用不同算法计算结果的误差绝对值的对数图从表1.2中的计算结果可以看出，算法1随着计算过程的推进，绝对误差几乎不断地以5的倍数增长，即有0*02*221*1*555I I I I I I I I n n n n n n n -≈≈-≈-≈----- 成立． 对于逐步向前推进的算法，若随着过程的进行，相对误差在不断增长，导致产生不可靠的结果，这种算法称之为数值不稳定的算法． 对于算法1绝对误差按5的幂次增长，但真值的绝对值却在不断变小且小于1，相对误差增长的速度快于5的幂次，导致产生错误的结果，因而算法1数值不稳定，不能使用． 而算法2随着计算过程的推进，绝对误差几乎不断地缩小为上一步的1/5，即有m m n m n n n n n n n I I I I I I I I 5/5/5/*22*21*1*++++++-≈≈-≈-≈- 成立． 绝对误差不断变小，真值的绝对值随着过程向前推进却在变大，这样相对误差也越来越小，这样的方法称之为数值稳定的算法． 算法1和算法2的误差对数示意图见图1.3． 这个算例告诉我们应该选用数值稳定的算法．知识结构图⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧算法设计要点数值方法的稳定性数值方法的收敛性算法多元函数一元函数传播有效数字相对误差（限）绝对误差（限）度量截断误差舍入误差误差的产生误差误差与算法习题一1 已知有效数，，． 试给出各个近似值的绝对误105.3*1-=x 4*210125.0⨯=x 010.0*3=x 差限和相对误差限，并指出它们各有几位有效数字．2 证明当近似值是x 的较好近似时，计算相对误差的计算公式和相差一个*x x x x -***xxx -和同阶的无穷小量．2*⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x x x 3 设x 的近似值具有如式(1.5)的表示形式，试证明*x 1)若具有n 位有效数字，则相对误差；*x n r a x e -⨯≤11*1021)(2)若相对误差，则至少具有n 位有效数字．n r a x e -⨯+≤11*10)1(21)(*x 4 试建立二元算术运算的绝对误差限传播近似计算公式．5 试建立如下表达式的相对误差限近似传播公式，并针对第1题中数据，求下列各近似值的相对误差限．1) ； 2) ； 3) *3*2*1*1x x x y +=3*2*2x y =*3*2*3/x x y =6若例题1.3中使用的尺子长度是80mm ，最小刻度为1mm ，量得某桌面长的近似值mm ，宽的近似值mm ． 试估计桌子长度、宽度的绝对误差限，并3.1304*=a 8.704*=b 求用该近似数据计算出的桌子面积的绝对误差限和相对误差限．7 改变如下计算公式，使其计算结果更为精确．1) 且0,cos 1≠-x xx1<<x 2)1,1ln )1ln()1(ln 1>>--++=⎰+N N N N N xdx N N3) 1,133>>-+x x x 8 (数值试验)试通过分析和数值试验两种手段，比较如下三种计算近似值算法的可靠性．1-e 算法1 ；∑=--≈mn nn e 01!)1( 算法2 ；101!1-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛≈∑m n n e算法3 ；101)!(1-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≈∑m n n m e9 (数值试验)设某应用问题归结为如下递推计算公式 ，，72.280=y 251-=-n n y y,2,1=n 在计算时取为具有5位有效数字的有效数． 试分析近似计算公式的2*c **1*5c y y n n -=-绝对误差传播以及相对误差传播情况，并通过数值实验验证 (准确值可以用IEEE 双精度浮点运算结果代替)，该算法可靠可用吗？。
数值分析教案
数值分析教案教师教案（2009 — 2010 学年第 2 学期)课程名称：数值分析授课学时：32授课班级：任课教师：师君教师职称：讲师教师所在学院：电⼦⼯程电⼦科技⼤学教务处第⼀章⼀、教学内容及要求（按节或知识点分配学时，要求反映知识的深度、⼴度，对知识点的掌握程度（了解、理解、掌握、灵活运⽤），技能训练、能⼒培养的要求等）教学内容：1）数值分析简介（了解）数值分析的原理和基本思想介绍；应⽤实例分析。
2）误差与有效数字（理解）误差、误差限、相对误差、相对误差限和有效数字的定义及相互关系；误差的来源和误差的基本特性；误差计算（估计）的基本⽅法。
3）算法的适定性问题（理解）数值分析中的病态和不稳定性问题介绍；病态问题和不稳定算法的实例分析；避免误差危害的若⼲原则。
教学要求：熟悉和了解数值分析的基本概念，掌握误差分析的基本⽅法，了解数值计算算法设计中应当关注的基本问题。
学时数分配：2学时⼆、教学重点、难点及解决办法（分别列出教学重点、难点，包括教学⽅式、教学⼿段的选择及教学过程中应注意的问题；哪些内容要深化，那些内容要拓宽等等）重点与难点：1）数值分析的概念与其在科学研究中的地位了解数值分析的概念与其在科学研究中的地位对于建⽴学⽣学习兴趣，明确学习⽬标⾄关重要。
教学⽅式与⼿段：采⽤多媒体教学，从学⽣前期课程中遇到的问题⼊⼿，展⽰如何利⽤数值分析⼿段解决上述问题，培养学⽣对本学科的兴趣。
2）算法的概念数值分析是研究算法的学科，在教学过程中必须给学⽣建⽴起算法的概念。
教学⽅法和⼿段：采⽤多媒体教学，通过定义释义和举例⼦，在学⽣中建⽴起算法的概念，明确算法研究中的所需要考虑的问题，主要包括算法的有效性、误差、运算量和稳定性的概念，并从正反两⽅⾯举例，说明上述问题在实际⼯程问题中的作⽤。
3）误差的概念误差分析是算法研究的关键问题之⼀，需要给学⽣明确误差的定义及⼯程中误差的来源。
教学⽅法和⼿段：采⽤多媒体教学，通过不同概念：绝对误差、绝对误差限、相对误差，相对误差限及有效数字的对⽐举例，加深学⽣对上述概念的把握。
数值分析第1章绪论
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算法创新
在数值分析中，创新算法的提出是推 动学科发展的重要动力。新的算法可 以解决传统算法难以处理的问题，提 高计算效率和精度。
Part
05
Байду номын сангаас
数值分析的展望与启示
数值分析与其他学科的交叉研究
数值分析与物理学的交叉
数值分析在解决物理问题中扮演着重要角色，如流体动力学、电磁学和量子力学等领域。 通过数值模拟和计算，可以更深入地理解物理现象和预测新现象。
Part
04
数值分析的挑战与未来发展
数值稳定性的挑战
数值稳定性问题
在数值分析中，算法的数值稳定性是一个重要的问题。不稳定的算法可能会导致计算结果的误差累积，从而影响 结果的精度。
解决方法
为了提高数值稳定性，可以采用多种方法，如改进算法、增加迭代次数、使用稳定的数据类型等。
高性能计算的需求
高性能计算的重要性
或最小化线性目标函数问 题，如单纯形法等。
微分法
数值微分
利用已知函数值估计函数在某点 的导数值。
偏微分方程数值解
通过有限差分法、有限元法等求 解偏微分方程的数值解。
数值积分
利用已知函数值计算函数在某个 区间的积分值。
常微分方程数值解
通过离散化方法求解常微分方程 的数值解，如欧拉法、龙格-库塔 法等。
逼近法
最佳平方逼近
利用已知的离散数据点构造一个多项式，使得该 多项式在最小二乘意义下逼近目标函数。
傅里叶逼近
利用傅里叶级数的性质进行逼近，适用于周期函 数的逼近。
ABCD
切比雪夫逼近
利用切比雪夫多项式的性质进行逼近，具有最佳 逼近和一致逼近的特点。
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第1章 绪论
表示近似值的精度或准确值的所在范围。在实际 问题中,绝对误差一般是有量纲的。例如测得某一物件 的长度为5m,其误差限为0.01m,通常将准确长度s记为
《 计 算 方 法 》
s=5±0.01 即准确值在5m左右,但不超过0.01m的误差限。
第1章 绪论
1.3 相对误差和相对误差限
绝对误差并不足以表示近似值的好坏。例如设 x1=100±1
第1章 绪论
例1 给定
g(x)=107(1-cosx),试用四位数学用表求g(2°)的近似 值。
《 计 算 方 法 》
甲 用下列步骤解题:由于 cos2°≈0.9994,故
g(2°)=107(1-cos2°)
≈ 107(1-0.9994) =6000
第1章 绪论
乙 用另法计算:由于
g(x)=107(1-cosx)≡2×107sin2 查表sin1°≈0.0175,故
α=0.001253±10-6
β=0.000068±10-6
第1章 绪论
于是知,l t -Lt 为模型误差,10-6 是观测α 、 β 而产生的误差, 因
此为“测量误差”。
《 计 算 方 法 》
在计算过程中,我们常用收敛无穷级数的前几项代替无穷 级数,即抛弃了无穷级数的后段。这样得到的误差称为 “截断误差”。
《 计 算 方 法 》
x2=1000±1 近似值x*1=100的绝对误差限与x*2=1000的绝对误差
限相同,不过100的误差为1与1000的误差为1比较,后者
应比前者精确。
第1章 绪论
定义 我们把绝对误差与准确值之比
x x* r ( x) , x x
《 计 算 方 法 》
( x)
0
1
《 计 算 方 法 》
利用分部积分法可得
En x e
从而有递推公式
n x 1 1 0
n x n 1e x 1dx
0
1
En 1 nEn 1 n 2,3, ,9 E1 1/ e
(1―24)
第1章 绪论 表 1―1
《 计 算 出了四位数字 ,它准确到小数后第三
位,而第四位是经过“四舍五入”得到的,即有
1 4 A A * 10 2 1 4 B B * 10 2
第1章 绪论
1.4 有效数字
对于一个近似值,我们还希望知道它的准确程度,为 此,再引进有效数字的概念。
《 计 算 方 法 》
定义将近似数x写成 x=±10m+1(α1×10-1+α2×10-2+
《 计 算 方 法 》
（1）数值问题举例 曲线拟合。 （2）数值算法举例 S=1+2+3+……+100。 ex=1+x+x2/2!+……+xn/n!. ax2+bx+c=0，求根。
第1章 绪论
§3 误差
《 计 算 方 法 》
1.1误差的来源 用数值计算方法解决科学技术中的实际问题 , 必须 首先建立数学模型。而数学模型又只能在感性认识的 基础上,抓住主要因素,忽略次要因素的情况下获得,故只 能近似地描述所给的实际问题,其与实际问题之间有一
字为 x1=99999.999990
《 计 算 方 法 》
x2=0.000010000000001 而在字长为8,基底为10的计算机上直接用上述公式
计算的结果为
x1=100000.00 x2=0
第1章 绪论
结果x1很好,而x2很不理想。这说明直接用上述公 式计算第二个根是不稳定的。但是若用根与系数的关 系,因为 x1x2=-q=1
x0
(1―4)
称为x*的相对误差。由于准确值x往往是不知道的, 因此在实际问题中,常取
r ( x)
( x)
x
*
第1章 绪论
由式(1― 4) 可知,相对误差可以由绝对误差求出 ; 反
之,绝对误差也可由相对误差求出。其关系是 ε(x)=xεr(x)
《 计 算 方 法 》
(1―5)
在讨论对近似值进行运算结果的误差分析时,相对 误差更能反映出误差的特征。因此在误差分析中相对
1 1
En x e dx x ndx
n x 1 0 0
1/(n 1)
第1章 绪论
表 1―2
《 计 算 方 法 》
第1章 绪论
4.2 改善算法的例子
例1 对于充分大的x计算
x 1 x
《 计 算 方 法 》
x 很接近,直接计 算会造成有效数字的严重损失,可将原式化为一个等价 的公式来计算,也即 1 x 1 x x 1 x
第1章 绪论
1.2 绝对误差和绝对误差限 定义假设某一量的准确值为x,近似值为x*,则x与x* 之差 的绝对误差(简称误差),记为ε(x),即
《 计 算 方 法 》
ε(x)=x-x*
(1―1)
｜ε(x)｜的大小标志着x*的精确度。一般地,在同一
量的不同近似值中,｜ε(x)｜越小,x*的精确度越高。
第1章 绪论
由于准确值x一般不能得到,于是误差ε(x) 的准确值
也无法求得,但在实际测量或计算时,可根据具体情况事 先估计出它的大小范围。也就是指定一个适当小的正
数ξ,使得
《 计 算 方 法 》
|ε(x)|=｜x-x*｜≤ξ x=x*±ξ
(1―2) (1―3)
我们称ξ为近似值x的绝对误差限。有时也用
这样,计算E9时所产生的误差约为
9!ε=9!×4.412×10-7≈0.1601 如果采用新的算法,把上述递推关系改写成
《 计 算 方 法 》
1 En En 1 , n ,3, 2 (1―25) n 从后向前计算,则En中的误差下降为原来的1/n。所以,
若取n足够大,误差逐步减小,其影响愈来愈小。为了 得到出发值,可考虑关系
误差比绝对误差显得更为重要。
第1章 绪论
在实际计算中,由于ε(x)与x都不能准确地求得,因此 相对误差 εr(x)也不可能准确地得到 , 于是也像绝对误差 那样,只能估计它的大小范围。即指定一个适当小的正
《 计 算 方 法 》
数η,使
r
( x)
x
(1―6)
称η为近似值x*的相对误差限。
§1 计算方法的任务与特点
1.3 计算方法研究的问题 （1）计算方法的分类 分方程数值解法。 （2）计算方法研究的问题 计算问题：建筑设计、力学结构计算。 数值代数、数值逼近与微
《 计 算 方 法 》
数值模拟：人口系统、生态系统、弹道轨迹。
最优化问题：人口控制、系统最优化设计。
第1章 绪论
§2 数值问题与数值算法
第1章 绪论
在京东商城或其它购买： 数值计算方法
《 计 算 方 法 》
作者 杨一都
计算方法授课32学时；实验16学时， 分8次，每次2学时
第1章 绪论
第一章
《 计 算 方 法 》
绪 论
§1 计算方法的任务与特点 §2 数值问题与数值算法 §3 误差 §4 算法的稳定性 §5 如何学习计算方法
第1章 绪论
α3×10-3+…+αn×10-n)
(1―7)
第1章 绪论
§4 算法的数值稳定性
《 计 算 方 法 》
4.1 算法稳定的若干原则 例1一元二次方程 x2+2px-q=0 的两个根分别为
x1 p p 2 q x2 p p q
2
第1章 绪论
当p=-0.5×105,q=-1时,方程的两个根取11位有效数
《 计 算 方 法 》
则 x2=1/x1
(1―23)
因此,如果仍用前述方法算出x1,然后用公式 (1―23) 计算x2便得到 x1=100000.00 x2=0.000010000000 该结果是非常好的。这就说明后一种算法有较好的 数值稳定性。
第1章 绪论
例2 计算积分
En x n e x 1dx, n 1, 2, ,9
§1 计算方法的任务与特点
《 计 算 方 法 》
1.1什么叫计算方法 （ 1 ）举例 f(x)=0。 （2）定义：计算方法是对科学技术中的实际问题进行 数值求解的方法。 计算人体身高、气温描述、两分法求根
1.2计算方法与计算机的关系
（1）计算方法的产生。 （2）计算方法与计算机的关系。
第1章 绪论
定的差异 , 从而出现误差。这种误差称之为“模型误
差”。
第1章 绪论
在数学模型中 ,常常包含了若干参变量 , 如比重、加
速度、阻力系数等,这些量一般是通过观测得来的,而观 测的结果不可能绝对准确 ,因而就产生了误差。这种误
《 计 算 方 法 》
差通常称为“测量误差”。 例 设某金属棒在温度t时的长度为lt(0℃时金属棒的长度 为l0),则 lt≈Lt=l0(1+αt+βt2) 这里l0≡1,α、β为参数,可估计为
《 计 算 方 法 》
x 2
g(2°)=2×107sin21°≈2×107(0.0175)2 ≈6125
第1章 绪论
甲、乙都用一本数学手册,表的每一个数都准确到
小数后第四位 ,答案为什么不一致 ? 谁的答案较正确呢 ? 下面我们来分析甲、乙算题时各自的相对误差:记
《 计 算 方 法 》
t1=(1-A)107,其中A=cosx, t2=2×107B2,其中B=sin(x/2),
5.1 计算方法课程特点 ① 数学基础 算机语言。 ② 内容抽象 公式推导复杂、计算繁琐。 ③ 理论与实际具有一定偏差，计算时需灵活掌握。 高等数学、线性代数、微分方程、计
第1章 绪论