高三数学解析三轮复习(学生版)
2023年高考数学三轮复习解析几何(解析版)
查补易混易错点06解析几何1．不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系，导致由斜率的取值范围确定倾斜角的范围时出错．2．易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两轴上的截距相等设方程时，忽视截距为0的情况，直接设为xa ＋ya＝1；再如，过定点P(x0，y0)的直线往往忽视斜率不存在的情况直接设为y－y0＝k(x－x0)等．3．讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时，一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0.当两条直线的斜率相等时，两直线平行或重合，易忽视重合．4致错解．5．利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件．如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a<|F1F2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支．6．易混淆椭圆的标准方程与双曲线的标准方程，尤其是方程中a，b，c三者之间的关系，导致计算错误．7．已知双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时，易忽视讨论焦点所在坐标轴导致漏解．8．直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零，判别式Δ≥0的限制．尤其是在应用根与系数的关系解决问题时，必须先有“判别式Δ≥0”；在求交点、弦长、中点、斜率、对称或存在性问题时都应在“Δ>0”下进1．（2023·吉林·统考三模）已知圆C：线l的距离为（）123．（2023·甘肃兰州则a 的取值范围是（A ．[12,12]-+C ．[2,12)+【答案】B【解析】2y =-即曲线2y x =--作出曲线2y =-4．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）设()4,0B ，若AF BF =，则AB A ．2B ．22A．2B 【答案】DPQ=【解析】因为24A ．22194y x -=B ．22124y x -【答案】B【解析】双曲线(222104y x a a -=>以原点为圆心，双曲线虚半轴长为半径长的圆的方程为A ．23B 【答案】D【解析】以A 为坐标原点，可建立如图所示平面直角坐标系，由题意知：NQ a c =+，则直线:134xy PR -+=，即设()(),03Q n n <-，则M ∴点M 到直线PR 的距离71322QR ∴=-+=，即a -设直线(:4PN y kx k =+>∴点M 到直线PN 的距离又直线PN PR k k <，15k ∴=令0y =，解得：152x =-715422NQ ∴=-+=，即将()MAy k x a =+与by x a =-联立，解得将()MA y k x a =+与by x a =联立，解得因为线段MA 被两条渐近线三等分，所以212y y =，即MA MAk abb ak=-对于B ：设()00,M x y ，则15．（多选题）（2023·广东左、右焦点分别为1F ，2F ，A ．若()2,1P ，且2PF x ⊥B ．若C 的一条渐近线方程是C ．若点P 在C 的右支上，D ．若12sin sin PF F e PF ∠=⋅∠【答案】AD【解析】对于A ，若(2,1P 所以()221221PF PF -=+221x y -=，故A 正确；对于B ，若C 的一条渐近线方程是确；对于C ，若C 的离心率为等腰三角形，则1PO OF =18．（2023·山东聊城·统考模拟预测）已知双曲线2F ，且124F F =，(3,2)P 是(1)求C 的方程；(2)不垂直于坐标轴的直线l 轴于点D ，若||||2|AM AN ⋅=【解析】（1）设C 的焦距为由双曲线的定义，得2a PF =即3a =，所以22b c a =-=故C 的方程为2213x y -=；（2）设(),0A s ，()11,M x y ，联立2213x ty s x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得(2t -由题意，得222230Δ44(3)(t s t t ⎧-≠⎨=--⎩则12223st y y t -+=-，212233s y y t -=-()(1AM AN AM AN x s ⋅=⋅=-由OA OB ⊥得直线OB 方程为：由24y kx y x =⎧⎨=⎩，解得244,A k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭。
2023届高考数学重点专题三轮冲刺双空题小题压轴练(解析版)
双空题小题压轴练-新高考数学复习分层训练(新高考通用)1.(2023秋·广东清远·高三统考期末)设函数f x =-x 2+4x ,x ≤4,log 2x -4 ,x >4, 若关于x 的方程f x =t 有四个实根x 1，x 2，x 3，x 4且x 1<x 2<x 3<x 4，则x 3x 4-4x 3+x 4 =，2+x 1 2-x 2 +4x 3+14x 4的最小值为.【答案】 -15 15【分析】画出f x 的图象，结合图象求得x 1，x 2，x 3，x 4的关系式，根据基本不等式求得正确答案.【详解】画出f x 的图象如下图所示.由图可知x 1+x 2=4，其中x 2>2>x 1>0.因为-log 2x 3-4 =log 2x 4-4 ，即x 3-4 x 4-4 =1，整理得x 3x 4-4x 3+x 4 =-15.且x 4>5>x 3>4，所以2+x 1 2-x 2 =-2+x 1 -2+x 2 ≥-2+x 1-2+x 222=-4，当且仅当2+x 1=-2+x 2,x 1=2-2,x 2=2+2时等号成立，此时t =2，又因为4x 3+14x 4=4x 3-4 +14x 4-4 +17≥24x 3-4 ⋅14x 4-4 +17=19，当且仅当4x 3-4 =14x 4-4 ,x 3=174,x 4=8时等号成立，此时t =2.所以2+x 1 2-x 2 +4x 3+14x 4的最小值为-4+19=15.故答案为：-15；15【点睛】解决含有绝对值的对数函数的问题，可结合函数图象来进行研究.求解最值问题，可考虑利用基本不等式或二次函数的性质来进行求解.二次函数的图象具有对称性.2.(2023春·广东惠州·高三校考阶段练习)已知抛物线C :y 2=2px (p >0)，过其焦点F 的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点(点P 在第一象限)，PF =3FQ ，则直线l 的斜率为若FQ =1，点A 为抛物线C 上的动点，且点A 在直线l 的左上方，则△APQ 面积的最大值为.【答案】33【分析】空1：设直线l 的方程为x -p2=my ，联立抛物线方程得到韦达定理式，根据线段比例关系得到两交点纵坐标关系，联立即可解出斜率；空2：根据三角形底为弦长PQ，若面积最大，则高最大，则点A到直线l的距离最大，则转化为直线与抛物线相切的问题.【详解】设直线l的方程为x-p2=my，P x1,y1，Q x2,y2，联立抛物线方程y2=2px p>0得y2-2pmy-p2=0，故y1+y2=2pm①，y1y2=-p2②，∵|PF|=3|FQ|，则y1=-3y2，代入②式得-3y22=-p2，解得y2=±33p，∵P在第一象限，故Q在第四象限，故y1>0,y2<0，故y2=-33p，y1=3p，则y1+y2=3p-33p=2pm，解得m=33，故直线l的斜率k=3，∵y22=2px2，即13p2=2px2，则x2=16p，若|FQ|=1，则|FQ|=16p+p2=1，则p=32，故抛物线方程为y2=3x，此时y1=332，x1=94，x2=16p=14，而PQ=x1+x2+p=14+94+32=4，若要△APQ的面积最大，则只需将直线沿着左上方平移直至与抛物线相切，此时切点位置即为A点位置，故设切线方程为：x-t=33y，t<33，将切线方程与抛物线方程联立得y2-3y-3t=0，则Δ=3+12t=0，解得t=-14，此时切线方程为：x-33y+14=0，直线l的方程为x-33y-34=0，则两直线的距离d=14+341+13=32，此时△APQ面积最大值为12×4×32=3.故答案为：3；3.【点睛】结论点睛：设抛物线方程为y2=2px p>0，若倾斜角为α直线l经过焦点F交抛物线于P x1,y1,Q x2,y2，则有以下结论：(1)x1x2=p24；(2)y1y2=-p2；(3)PQ=2psin2α=x1+x2+p.3.(2023·广东深圳·统考一模)设a>0，A2a,0，B0,2，O为坐标原点，则以OA为弦，且与AB相切于点A的圆的标准方程为；若该圆与以OB为直径的圆相交于第一象限内的点P(该点称为直角△OAB 的Brocard 点)，则点P 横坐标x 的最大值为．【答案】 x -a 2+y +a 2 2=a 2+a 445##0.8【分析】以OA 为弦的圆的圆心记作D ，易得圆心在线段OA 的垂直平分线，且通过DA ⊥AB 可得k DA =a ，得到直线DA 的方程即可求出圆的方程；先求出以OB 为直径的⊙C ，然后两圆进行相减得到公共弦方程y =aa 2+1x ，代入⊙C 可得点P 横坐标x =2a 2+1a+a a 2+1，然后用对勾函数即可求得最值【详解】以OA 为弦的圆的圆心记作D ，且圆心在线段OA 的垂直平分线x =a 上，⊙D 与直线AB 相切于A ，则DA ⊥AB ，由k AB =2-00-2a =-1a可得k DA =a ，所以直线DA 为y =a x -2a ，将x =a 代入直线DA 可得圆心为D a ,-a 2 ，r D =AD =2a -a2+0+a 2 2=a 2+a 4，所以所求的圆的标准方程为x -a 2+y +a 2 2=a 2+a 4①；以OB 为直径的圆的圆心C 0,1 ，半径为1，则⊙C 的方程为x 2+y -1 2=1②，①-②可得-2ax +2a 2+1 y =0，即y =aa 2+1x 为⊙C 与⊙D 的公共弦所在直线的方程，将y =a a 2+1x 代入⊙C 可得1+aa 2+12x 2-2a a 2+1x =0，因为交点P 在第一象限，所以x ≠0，所以x =2a 2+1a+aa 2+1，令m =a 2+1a =a +1a ≥2，(当且仅当a =1时取等号)则1m =aa 2+1所以交点P 的横坐标x =2m +1m ,m ≥2由对勾函数可得y =m +1m 在2,+∞ 内单调递增，所以当m =2时，y =m +1m取得最小值，为52，所以交点P 的横坐标的最大值为x =252=45故答案为：x -a 2+y +a 2 2=a 2+a 4；45【点睛】关键点睛：本题的关键是求出交点P 的横坐标x =2a 2+1a+a a 2+1后，利用换元法、构造函数法，结合对勾函数的单调性进行解题.4.(2023秋·广东·高三校联考阶段练习)数学家康托(Cantor )在线段上构造了一个不可数点集--康托三分集.将闭区间0,1 均分为三段，去掉中间的区间段13,23，余下的区间段长度为a 1；再将余下的两个区间0,13，23,1分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，余下的区间段长度为a 2.以此类推，不断地将余下各个区间均分为三段，并各自去掉中间的区间段.重复这一过程，余下的区间集合即为康托三分集，记数列a n 表示第n 次操作后余下的区间段长度.(1)a 4=；(2)若∀n ∈N *，都有n 2a n ≤λa 4恒成立，则实数λ的取值范围是.【答案】1681； 503,+∞ .【分析】由题意直接求出a 1，a 2，a 3，a 4.归纳出数列a n 为等比数列，求出a n =23n.利用分离常数法得到λ≥n 2⋅23n -4.记g n =n 2⋅23n -4,n ∈N ∗ ，判断出单调性，求出g 5 =503最大，即可求出λ的取值范围.【详解】由题意可知：a 1=23，a 2=a 1×23=232，a 3=a 2×23=233，a 4=a 3×23=234.所以a 4=1681.所以数列a n 为首项a 1=23，公比q =23的等比数列，所以a n =a 1×q n -1=23n.因为∀n ∈N *，都有n 2a n ≤λa 4恒成立，且a 4=1681，所以λ≥n 2⋅23n⋅8116=n 2⋅23n -4恒成立，只需λ≥n 2⋅23n -4max记g n =n 2⋅23n -4,n ∈N ∗ ，显然，g n >0.所以g n +1g n =n +1 2⋅23 n +1-4n 2⋅23n -4=2n +1 23n2.令g n +1 g n ≤1，即2n +1 23n2≤1，即n 2-4n -2≥0，解得：n ≥2+6.因为n ∈N ∗，所以n ≥2+6，可以取包含5以后的所有正整数，即n ≥5以后g n =n 2⋅23n -4,n ∈N ∗递减.而g 1 =12⋅231-4=278,g 2 =22⋅232-4=9,g 3 =32⋅233-4=812,g 4 =42⋅234-4=16,g 5 =52⋅235-4=503，所以g 1 <g 2 <g 3 <g 4 <g 5 .综上所述：当n =5时，g 5 =503最大.所以λ≥503，所以实数λ的取值范围是503,+∞ .故答案为：1681；503,+∞.【点睛】求数列最值的方法：(1)利用函数单调性求出最值；(2)利用数列的性质求出最大项或最小项.5.(2023·广东湛江·统考一模)已知函数f x =2x +1，记f 2x =f f x =22x +1 +1=4x +3为函数f x 的2次迭代函数，f 3x =f f f x =42x +1 +3=8x +7为函数f x 的3次迭代函数，⋯，依次类推，f nx =f f f ⋅⋅⋅f x ⋅⋅⋅ n 个为函数f x 的n 次迭代函数，则f nx =；f 10032 除以17的余数是．【答案】 2n x +1 -1 0【分析】第一空，根据题意结合等比数列的前n 项和公式即可推出f nx 的表达式；第二空，将f 10032 化为33×17-125-1，利用二项式定理展开，化简即可求得答案.【详解】由题意，f nx =2nx +2n -1+2n -2+⋅⋅⋅+20=2nx +1-2n1-2=2n x +1 -1，所以f 10032 =33×2100-1=33×1625-1=33×17-1 25-1=33C 25251725-C 24251724+C 23251723-C 22251722+⋯+C 12517-1 -1=33C 25251725-C 24251724+C 23251723-C 22251722+⋯+C 12517 -34=1733C 25251724-C 24251723+C 23251722-C 22251721+⋯+C 125 -2又33C 25251724-C 24251723+C 23251722-C 22251721+⋯+C 125 -2为正整数，所以f 10032 除以17的余数为0，故答案为：2n x +1 -1;0【点睛】关键点睛：解答本题中函数迭代问题，要结合题设找到迭代规律，即可求出函数表达式，解决余数问题的关键在于将f 10032 利用二项式定理展开化简转化为17的倍数的形式，即可求得答案.6.(2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模)如图，椭圆x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 与双曲线x 2m 2-y 2n 2=1m >0,n >0 有公共焦点F 1-c ,0 ，F 2c ,0 c >0 ，椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，点P 为两曲线的一个公共点，且∠F 1PF 2=60°，则1e 21+3e 22=；I 为△F 1PF 2的内心，F 1,I ,G 三点共线，且GP ⋅IP =0，x 轴上点A ,B 满足AI =λIP ，BG =μGP ，则λ2+μ2的最小值为．【答案】 4 1+32【分析】第一空：利用椭圆与双曲线的定义及性质，结合图形建立方程，求出PF 1 ,PF 2 ，在利用余弦定理建立关于离心率的齐次方程解出即可；第二空：由I 为△F 1PF 2的内心，得出角平分线，利用角平分线的性质结合平面向量得出λ =e 1及μ =e 2，代入λ2+μ2中利用基本不等式求最值即可.【详解】①由题意得椭圆与双曲线的焦距为F 1F 2 =2c ，椭圆的长轴长为2a ，双曲线的实轴长为2m ，不妨设点P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义：PF 1 -PF 2 =2m ，由椭圆的定义：PF 1 +PF 2 =2a ，可得：PF 1 =m +a ,PF 2 =a -m ，又∠F 1PF 2=60°，由余弦定理得：PF 12+PF 2 2-PF 1 ⋅PF 2 =FF 2 2=4c 2，即m +a 2+a -m 2-m +a ⋅a -m =4c 2，整理得：a 2+3m 2=4c 2，所以：a 2c 2+3m 2c 2=4⇒1e 21+3e 22=4；②I 为△F 1PF 2的内心，所以IF 2为∠PF 1F 2的角平分线，则有PF 1 AF 1=IP AI，同理：PF 2AF 2=IP AI，所以PF 1 AF 1 =PF 2 AF 2=IP AI，所以IP AI=PF 1 +PF 2 AF 1 +AF 2=2a 2c =1e 1，即AI =e 1IP ，因为AI =λIP，所以AI =λ IP ，故λ =e 1，I 为△F 1PF 2的内心，F 1,I ,G 三点共线，即F 1G 为∠PF 1B 的角平分线，则有GB PG=BF 2 PF 2=BF 1 PF 1，又BF 2 ≠BF 1 ，所以BGPG =BF 1 -BF 2PF 1 -PF 2=2c2m =e 2，即BG =e 2GP ，因为BG =μGP ，所以BG =μ GP ，故μ =e 2，所以λ2+μ2=e 21+e 22=14e 21+e 22 1e 21+3e 22=141+3+3e 21e 22+e 22e 21≥144+23e 21e 22⋅e 22e 21=1+32，当且仅当3e 21e 22=e 22e 21⇒e 2=3e 1时，等号成立，所以λ2+μ2的最小值为1+32，故答案为：4，1+32.【点睛】方法点睛：离心率的求解方法，(1)直接法：由题意知道a ,c 利用公式求解即可；(2)一般间接法：由题意知道a ,b 或b ,c 利用a ,b ,c 的关系式求出a ,c ，在利用公式计算即可；(3)齐次式方程法：建立关于离心率e 的方程求解.7.(2023春·江苏扬州·高三扬州市新华中学校考开学考试)侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上．设外围第一个正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，往里第二个正方形为A 2B 2C 2D 2，⋯，往里第n 个正方形为A n B n C n D n ．那么第7个正方形的周长是，至少需要前个正方形的面积之和超过2．(参考数据：lg2=0.301，lg3=0.477)．【答案】5007294【分析】根据已知，利用勾股定理、正方形的周长公式、面积公式以及等比数列的通项、前n 项和公式进行求解.【详解】因为每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，且外围第一个正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，所以A 2B 1=23，B 2B 1=13,由勾股定理有：A 2B 2=A 2B 1+B 1B 2=232+132=53，设第n 个正方形A n B n C n D n 的边长为l n ，则l 1=1，l 2=23l 12+13l 1 2=53l 1，⋯⋯，l n =23l n -12+13l n -1 2=53l n -1，所以l n =53n -1l 1=53n -1，所以第7个正方形的周长是4l 7=4×536=4×5336=4×125729=500729，第n 个正方形的面积为ln 2=532n -2=59n -1，则第1个正方形的面积为l 12=59=1，则第2个正方形的面积为l 22=591=59，则第3个正方形的面积为l 32=59 2，⋯⋯则第n 个正方形的面积为l n 2=59n -1，前n 个正方形的面积之和为S n =1+591+⋯+59n -1=1-59 n1-59=941-59n，当n =1时，S 1=941-591=1，当n =2时，S 2=941-592=149，当n =3时，S 3=941-593=15181，当n =4时，S 4=941-594=1484729>2，所以至少需要前4个正方形的面积之和超过2．故答案为：500729，4.8.(2023春·云南曲靖·高三宣威市第三中学校考阶段练习)△ABC 中，AB =AC =3,BC =2，沿BC 将△ABC 折起到△PBC 位置，P 点不在△ABC 面内，当三棱锥P -ABC 的体积最大时，三棱锥P -ABC 的外接球半径是；当PA =2时，三棱锥P -ABC 的外接球表面积是.【答案】654 15815π【分析】根据图形，得出面ABC 外接圆的半径为r ，而后利用勾股定理求出三棱锥P -ABC 的外接球半径；结合余弦定理，二倍角公式以及同角关系，求出OE ，再由勾股定理得出R 2，进而求出三棱锥P -ABC 的外接球表面积.【详解】由题知，取BC 中点D ，连接AD ，PD ，设△ABC 的外接圆的圆心为E ，△PBC 的外接圆的圆心为F ，三棱锥外接球的球心为O ，半径为R ，连接OE ，OF 如图所示，要使三棱锥P -ABC 的体积最大时，即要使得点P 到平面ABC 的距离最大，只有当平面ABC ⊥平面PBC 时，体积最大，即点P 到BC 的距离最大，三棱锥体积最大.此时，四边形OEDF 是正方形，假设△ABC 外接圆的半径为r ，则在△BDE 中，由勾股定理得：r 2-1+r =AD =22，解得r =928，所以OE =DF =DE =r 2-1=728，∴R =OE 2+r 2=654.当PA =2时，由上述可知，结合余弦定理cos ∠EDF =8+8-22×22×22=78，由二倍角公式cos ∠ODE =154，∴tan ∠ODE =1515，∴OE =1515×728=730120，∴R 2=OE 2+r 2，∴三棱锥P -ABC 的外接球表面积为S =4πR 2=158π15.故答案为：654；158π15.9.(2023春·云南·高三校联考开学考试)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点M ，N 的距离之比为定值λ(λ≠1,λ>0)的点的轨迹是圆”，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy 中，M (-2,0),N (4,0)，点P 满足|PM ||PN |=12．则点P 的轨迹方程为；在三棱锥S -ABC 中，SA ⊥平面ABC ，且SA =3,BC =6,AC =2AB ，该三棱锥体积的最大值为．【答案】 (x +4)2+y 2=16 12【分析】利用求点的轨迹方程的步骤及两点间的距离公式即可求解；根据已知条件及阿波罗尼斯圆的特点，结合棱锥的体积公式即可求解.【详解】设P (x ,y ),|PM ||PN |=12，所以(x +2)2+y 2(x -4)2+y 2=12，所以x 2+8x +y 2=0，即(x +4)2+y 2=16，所以点P 的轨迹方程为(x +4)2+y 2=16；三棱锥的高为SA =3，当底面△ABC 的面积最大值时，三棱锥的体积最大，BC =6，AC =2AB ，取BC 靠近B 的一个三等分点为坐标原点O ，BC 为x 轴建立平面直角坐标系，不妨取B (-2,0),C (4,0)，由题设定义可知A (x ,y )的轨迹方程为(x +4)2+y 2=16，所以A 在圆(x +4)2+y 2=16的最高点处(-4,4)，S △ABC =12×6×4=12，此时，V S -ABC max =13×3×12=12．故答案为：(x +4)2+y 2=16；12.【点睛】解决此题的关键是第一空主要利用求点的轨迹方程的步骤即可；第二空要使该三棱锥体积的最大值，只需要将问题转化为求底面△ABC 的面积最大值，再利用阿波罗尼斯圆的特点即可.10.(2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习)已知抛物线E ：x 2=2py p >0 的焦点为F ，现有不同的三点A ，B ，C 在抛物线E 上，且AF +BF +CF =0，AF +BF +CF=12，则p 的值是；若过点P 1,-2 的直线PM ，PN 分别与抛物线E 相切于点M ，N ，则MN =.【答案】 4172##8.5【分析】根据向量的坐标运算化简可得y A +y B +y C =32p ，再利用抛物线的定义求出p ，根据切线的方程可求出直线MN 的方程，根据直线过焦点利用弦长公式y 1+y 2+p 求解.【详解】设A (x A ,y A ),B (x B ,y B ),C (x C ,y C ),F 0,p2，则AF +BF +CF =-x A -x B -x C ,p 2-y A +p 2-y B +p2-y C =0,∴p 2-y A +p 2-y B +p 2-y C =0，即y A +y B +y C =32p ，又AF +BF +CF =y A +p 2+y B +p 2+y C +p 2=32p +32p =3p =12，解得p =4.设M (x 1,y 2),N (x 2,y 2)，由x 2=8y 可得y =x4，则k PM =x 14,k PN =x 24，所以直线PM 的方程为y -y 1=x14(x -x 1),即x 1x =4(y +y 1)①，同理直线PN 的方程为x 2x =4(y +y 2)②由直线均过点P 可得x 1=4(-2+y 1)，x 2=4(-2+y 2)，即直线MN 的方程为x =4(-2+y )，过焦点F (0,2)，联立x 2=8y x =4(-2+y ) ，消元得2y 2-9y +8=0，所以y 1+y 2=92，∴MN =y 1+y 2+p =92+4=172，故答案为：4；17211.(2023·安徽淮北·统考一模)已知双曲线C ：x 22-y 26=λ过点5,3 ，则其方程为，设F 1，F 2分别为双曲线C 的左右焦点，E 为右顶点，过F 2的直线与双曲线C 的右支交于A ，B 两点(其中点A 在第一象限)，设M ，N 分别为△AF 1F 2，△BF 1F 2的内心，则ME -NE 的取值范围是．【答案】 x 24-y 212=1 -433,433【分析】①将点代入方程中求出λ，即可得答案；②据圆的切线长定理和双曲线的定义可推得△AF 1F 2，△BF 1F 2的内切圆与x 轴切于双曲线的右顶点E ，设直线AB 的倾斜角为θ，可用θ表示ME -NE ，根据A ,B 两点都在右支上得到θ的范围，利用θ的范围可求得ME -NE 的取值范围【详解】①由双曲线C ：x 22-y 26=λ过点5,3 ，所以52-36=λ⇒λ=2所以方程为x 24-y 212=1②如图：设△AF 1F 2的内切圆与AF 1,AF 2,F 1F 2分别切于H ,D ,G ，所以|AH |=|AD |,|HF 1|=|GF 1|,|DF 2|=|GF 2|，所以|AF 1|-|AF 2|=|AH |+|HF 1|-|AD |-|DF 2|=|HF 1|-|DF 2|=|GF 1|-|GF 2|=2a ，又|GF 1|+|GF 2|=2c ，所以|GF 1|=a +c ,|GF 2|=c -a ，又|EF 1|=a +c ,|EF 2|=c -a ，所以G 与E (a ,0)重合，所以M 的横坐标为a ，同理可得N 的横坐标也为a ，设直线AB 的倾斜角为θ.则∠EF 2M =π-θ2，∠EF 2N =θ2，|ME |-|NE |=c -a tan π-θ2-c -a tanθ2=c -a ⋅sin π2-θ2 cos π2-θ2 -sin θ2cos θ2=c -a ⋅cos θ2sin θ2-sin θ2cos θ2 =(c -a )⋅cos 2θ2-sin 2θ2sin θ2⋅cos θ2=c -a 2cos θsin θ，当θ=π2时，|ME |-|NE |=0，当θ≠π2时，由题知，a =2.c =4.ba=3.因为A ,B 两点在双曲线的右支上，∴π3<θ<2π3，且θ≠π2，所以tan θ<-3或tan θ>3，∴-33<1tan θ<33.且1tan θ≠0，ME -NE =4-2 ⋅2tan θ=4tan θ∈-433,0 ∪0,433，综上所述，|ME |-|NE |∈-433,433.故①答案为：x 24-y 212=1;-433,433【点睛】关键点点睛：第一问相对简单，代点求出即可；第二问难度较大，主要根据圆的切线长定理和双曲线的定义推出△AF 1F 2，△BF 1F 2的内切圆与x 轴同时切于双曲线的右顶点E ,并将ME -NE 用直线AB 的倾斜角θ表示出来是解题关键.12.(2023春·重庆·高三统考开学考试)定义：若A ，B ，C ，D 为球面上四点，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，则把以EF 为直径的球称为AB ，CD 的“伴随球”.已知A ，B ，C ，D 是半径为2的球面上四点，AB =CD =23，则AB ，CD 的“伴随球”的直径取值范围为；若A ，B ，C ，D 不共面，则四面体ABCD 体积的最大值为.【答案】 0,2 4【分析】设O 为A ,B ,C ,D 所在球面的球心，则由题可知E 、F 均是以O 为球心，1为半径的球面上的点，据此即可求出EF 范围；根据V A -BCD =2V A -CDE =23S △CDE⋅d (d 为点A 到平面CDE 距离，)，求出S △CDE ,d 的最大值即可得体积最大值.【详解】设O 为A ,B ,C ,D 所在球面的球心，∴OA =OC =2.∵AB =CD =23，且E ,F 分别是AB ,CD 的中点，∴OE ⊥AB ，OE ⊥CD ，且AE =CF =3，∴OE =OF =1，则E 、F 均是以O 为球心，1为半径的球面上的点，若以EF 为直径作球，则0<EF ≤OE +OF =2，即AB ，CD 的“伴随球”的直径取值范围是(0，2]；∵E 是AB 中点，∴V A -BCD =2V A -CDE =23S △CDE⋅d ，d 为点A 到平面CDE 距离，d ≤AE =3，又S △CDE =12CD ⋅h ，h 为点E 到CD 距离，h ≤EF ≤2，∴V A -BCD ≤23×23×22×3=4，当且仅当E ,O ，F 三点共线，且AB ⊥CD 时，等号成立.故答案为：(0，2]；4.【点睛】本题关键是根据已知条件确定E 和F 的轨迹，数形结合可得EF 的范围；根据E 是AB 中点，则A 与B 到平面CDE 的距离相等，据此将三棱锥A -BCD 的体积转化为三棱锥A -CDE 体积的2倍，再数形结合即可求得最值.对空间想象能力的要求很高，属于难题.13.(2023·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习)已知抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ，准线交x 轴于点D ，过点F 作倾斜角为θ(θ为锐角)的直线交抛物线于A ，B 两点，如图，把平面ADF 沿x 轴折起，使平面ADF ⊥平面BDF ，则三棱锥A -BDF 体积为；若θ∈π6,π3，则异面直线AD ，BF 所成角的余弦值取值范围为．【答案】4377,155【分析】根据抛物线焦点弦的性质可得AF =p 1-cos θ，BF =p1+cos θ，进而根据面面垂直即可求三棱锥的高，进而利用体积公式即可求解，建立空间直角坐标系，利用向量的夹角就可求解异面直线的夹角.【详解】过B 作BM ⊥x ,BN ⊥准线，垂足为M ,N ,在Rt △BMF 中，MF =BF cos θ，又BN =BF =DF -MF =p -BF cos θ⇒BF =p 1+cos θ，MB =BF sin θ=p sin θ1+cos θ同理可得，AF =p1-cos θ过A 作AH ⊥x 于H ,由于平面ADF ⊥平面BDF ，且交线为DF ，AH ⊂平面ADF ,所以AH ⊥平面BDF ,且AH =AF sin θ=p sin θ1-cos θ，故三棱锥的体积为13S △BDF AF =13×12DF BM AH =16p p sin θ1+cos θp sin θ1-cos θ=p 36=86=43，AD =p 1-cos θ 2+p sin θ1-cos θ2=p 1-cos θ1+sin 2θ，BF =p1+cos θ且MB =p sin θ1+cos θ，FH =p cos θ1-cos θ，所以建立如图所示的空间直角坐标系，B p 2-p cos θ1+cos θ,-p sin θ1+cos θ,0 ,A p 2+p cos θ1-cos θ,0,p sin θ1-cos θ，p =2即B 1-cos θ1+cos θ,-2sin θ1+cos θ,0 ,A 1+cos θ1-cos θ,0,2sin θ1-cos θ ，D -1,0,0 ,F 1,0,0 ,DA =21-cos θ,0,2sin θ1-cos θ ,BF =2cos θ1+cos θ,2sin θ1+cos θ,0 ,DA ⋅BF =21+cos θ 2cos θ1-cos θ =4cos θsin 2θ所以cos DA ,BF =DA ⋅BFDA BF =4cos θsin 2θp 1-cos θ1+sin 2θp 1+cos θ=cos θ1+sin 2θ=1-sin 2θ1+sin 2θ=-1+21+sin 2θ，当θ∈π6,π3时，sin θ∈12,32 ⇒sin 2θ∈14,34 ⇒1+sin 2θ∈54,74 ，所以cos DA ,BF =-1+21+sin 2θ∈77,155 ，由于DA ,BF为锐角，所以异面直线AD ，BF 所成角的角等于DA ,BF ，故异面直线AD ，BF 所成角的余弦值取值范围为77,155故答案为：43，77,155【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用．另外在解析几何中还要注意向量的应用，如本题中根据向量的共线得到点的坐标之间的关系，进而为消去变量起到了重要的作用14.(2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)已知数列a n 满足：①a 1=5；②a n +1=a n +2,n 为奇数3a n +2,n 为偶数 .则a n 的通项公式a n =；设S n 为a n 的前n 项和，则S 2023=.(结果用指数幂表示)【答案】 a n =3n +32-4,n 为奇数 3n +22-2,n 为偶数2×31013-6079【分析】当n 为奇数时令n =2k -1,k ∈N *可得a 2k =a 2k -1+2，当n 为偶数时令n =2k ,k ∈N *，可得a 2k +1+4=3a 2k -1+4 ，即可得到a 2k -1+4 是以9为首项，3为公比的等比数列，从而求出通项公式，再利用分组求和法计算可得.【详解】当n 为奇数时a n +1=a n +2，令n =2k -1,k ∈N *，则a 2k =a 2k -1+2，当n 为偶数时a n +1=3a n +2，令n =2k ,k ∈N *，则a 2k +1=3a 2k +2=3a 2k -1+2 +2=3a 2k -1+8，则a 2k +1+4=3a 2k -1+4 ，当k=1时a1+4=9，所以a2k-1+4是以9为首项，3为公比的等比数列，所以a2k-1+4=9×3k-1=3k+1，所以a2k-1=3k+1-4，则a2k=a2k-1+2=3k+1-4+2=3k+1-2，当n为奇数时，由n=2k-1,k∈N*，则k=n+12，所以a n=3n+12+1-4=3n+32-4，当n为偶数时，由n=2k,k∈N*，则k=n2，所以a n=3n2+1-2=3n+22-2，所以a n=3n+32-4,n为奇数3n+22-2,n为偶数，所以S2023=a1+a3+⋯+a2023+a2+a4+⋯+a2022=32+33+⋯+31013-4×1012+32+33+⋯+31012-2×1011=321-310121-3-4×1012+321-310111-3-2×1011=2×31013-6079故答案为：a n=3n+32-4,n为奇数3n+22-2,n为偶数，2×31013-607915.(2023秋·河北张家口·高三统考期末)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=4，c=3b，则△ABC面积的最大值是；若r，R分别为△ABC的内切圆和外接圆半径，则rR的范围为．【答案】 3；34,2 .【分析】对于第一空，利用余弦定理表示出cos A，再表示出sin A，再利用S△ABC=12bc sin A可得答案；对于第二空，利用r=2S△ABCabc，R=12⋅asin A可得答案.【详解】因a，b，c在三角形中，则由三角形三边关系可得c+b=4b>4c-b=2b<4⇒1<b<2，又利用余弦定理有：cos A=b2+c2-a22bc =10b2-166b2，又cos2A+sin2A=1，sin A>0，则sin A=1-cos2A=1-100b4+256-320b236b4=4-b4+5b2-43b2.得S△ABC=12bc sin A=2-b4+5b2-4=2-b2-522+94≤3，当且仅当b2=52，即b=102时取等号.则△ABC面积的最大值是3；对于第二空，因S△ABC=12a+b+cr，则r=2S△ABCa+b+c=bc sin A4+4b=3b2sin A4+4b，又asin A=2R⇒R=a2sin A=2sin A，则rR=6b24+4b=32⋅b21+b=32⋅1+b-121+b=32b+1+1b+1-2，因1<b<2，则2<b+1<3.令f x =x+1x，其中x∈2,3，因f x =x2-1x2>0，则f x 在2,3上单调递增，故52<b+1+1b+1<103，得rR∈34,2.故答案为：3；3 4 ,2.16.(2023秋·河北保定·高三统考期末)定义在R上的两个函数f x 和g x ，已知f x +g1-x=3，g x +f x-3=3．若y=g x 图象关于点1,0对称，则f0 =，g1 +g2 +g3 +⋯+g1000=．【答案】 3 0【分析】①根据题意，利用方程法得到f x =f-2-x，通过赋值得到f0 =f-2，根据y=g x 的图象关于点1,0对称得到g1-x+g1+x=0，即可得到f x -g1+x=3，再利用方程法得到f x +f x-2=6，令x=0，得到f0 +f-2=6，然后求f0 即可；②利用方程法得到g x =-g x-2，整理可得g x =g x-4，得到4是g x 的一个周期，然后根据g x =-g x-2得到g1 +g2 +g3 +g4 =0，最后再利用周期求g1 +g2 +g3 +⋯+g1000即可.【详解】由g x +f x-3=3可得g1-x+f-2-x=3，又f x +g1-x=3，所以f x =f-2-x，令x=0，所以f0 =f-2；因为y=g x 的图象关于点1,0对称，所以g1-x+g1+x=0，又f x +g1-x=3，所以f x -g1+x=3，因为g x +f x-3=3，所以g1+x+f x-2=3，f x +f x-2=6，令x=0，所以f0 +f-2=6，则f0 =3；因为f x -g1+x=3，所以f x-3-g x-2=3，又g x +f x-3=3，所以g x =-g x-2，g x-2=-g x-4，则g x =g x-4，4是g x 的一个周期，因为g3 =-g1 ，g4 =-g2 ，所以g1 +g2 +g3 +g4 =0，因为g x 周期是4，所以g1 +g2 +g3 +⋯+g1000=0.故答案为：3，0.17.(2023秋·江苏·高三统考期末)已知数列a n､b n满足b n=a n+12,n=2k-1a n+1,n=2k其中k∈N*，b n 是公比为q的等比数列，则a n+1a n=(用q表示)；若a2+b2=24，则a5=.【答案】 q2 1024【分析】根据已知得出a k=b2k-1，则a n+1a n=b2n+1b2n-1，即可得出a n+1a n=q2，根据已知得出a2=b3，可得到b1q1+q=24，根据已知得出a3=b2,b5=a3，结合条件即得.【详解】∵n=2k-1时，b n=a n+12，即a k=b2k-1，k∈N*，则a n+1a n=b2n+1b2n-1，∵b n是公比为q的等比数列，∴b2n+1b2n-1=q2，即a n+1a n=q2；∵q2>0，∴a n中的项同号，∵n=2k时，b n=a n+1，∴a n+1≥0，则a n中的项都为正，即a n>0，∴b n=a n+12>0，∴q>0，∵b n=a n+12,n=2k-1a n+1,n=2k，∴a2=b3，∴a2+b2=b2+b3=24，∴b1q1+q=24，∵b n=a n+12,n=2k-1a n+1,n=2k，∴a3=b2,b5=a3，∴b22=b5，即b21q2=b1q4，∴b1=q2，∴q31+q=24,q4-16+q3-8=0，解得q=2，∴a5=b24=q10=1024.故答案为：q 2；1024.18.(2023秋·山东潍坊·高三统考期中)在△ABC 中，点D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ,△ABD 面积是△ADC 面积的2倍，且AD =λAC ，则实数λ的取值范围为；若△ABC 的面积为1，当BC 最短时，λ=.【答案】 0,43 2105##2510【分析】过C 作CE ⎳AB 交AD 延长线于E ，由题设易得BD =2DC 、AC =EC 、△ADB ∼△EDC ，在△ACE 中应用三边关系求λ的取值范围，若∠BAD =∠CAD =θ∈0,π2，由三角形面积公式得b 2sin2θ=1，且AE =2AC ⋅cos θ得cos θ=3λ4，进而可得b 2=83λ16-9λ2，应用余弦定理得到BC 关于λ的表达式，结合其范围求BC 最小时λ对应值即可.【详解】由△ABD 面积是△ADC 面积的2倍，即BD =2DC ，如上图，过C 作CE ⎳AB 交AD 延长线于E ，又AD 平分∠BAC ，所以∠BAE =∠CAE =∠AEC ，即AC =EC ，且△ADB ∼△EDC ，故ED AD=CD BD =12，若AC =EC =b ，又AD =λAC ，则AD =λb 且λ>0，ED =λb2，△ACE 中，AC +EC =2b >AE =3λb 2，可得λ<43，故0<λ<43；由角平分线性质知：S △ABD S △ACD =ABAC =2，则AB =2AC =2b ，若∠BAD =∠CAD =θ∈0,π2 ，则S △ABC =12AB ⋅AC sin2θ=b 2sin2θ=1，又AE =2AC ⋅cos θ，即3λb 2=2b cos θ，则cos θ=3λ4，故sin θ=16-9λ24，所以b 2sin2θ=2b 2sin θcos θ=3λb 216-9λ8=1，可得b 2=83λ16-9λ2，由BC 2=5b 2-4b 2cos2θ=9b 2-8b 2cos 2θ=12(2-λ2)λ16-9λ2=12⋅(λ2-2)2-9(λ2-2)2-20(λ2-2)-4，令t =1λ2-2∈-92,-12 ，则BC 2=12⋅1-9-20t-4t 2=12-141t+522-16，所以t =-52时BC 2min =12×14=3，即BC min =3，此时λ2=85，即λ=2105.故答案为：0<λ<43，2105.【点睛】关键点点睛：注意过C 作CE ⎳AB 交AD 延长线于E ，应用三角形三边关系求参数范围，根据已知条件得到BC 关于λ的表达式是求最值的关键.19.(2023秋·山东德州·高三统考期末)如图所示，已知F 1、F 2分别为双曲线x 24-y 212=1的左、右焦点，过F 2的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，则∠AF 2O 的取值范围为；记△AF 1F 2的内切圆O 1的面积为S 1，△BF 1F 2的内切圆O 2的面积为S 2，则S 1+S 2的取值范围是．【答案】π3,2π3 8π,403π【分析】分析可知直线AB 与x 轴不重合，设直线AB 的方程为x =my +4，将直线AB 的方程与双曲线的方程联立，利用韦达定理结合已知条件求出m 的取值范围，可求得∠AF 2O 的取值范围；设圆O 1切AF 1、AF 2、F 1F 2分别于点M 、N 、G ，分析可知直线AB 的倾斜角取值范围为π3,2π3，推导出圆O 1、圆O 2的半径r 1、r 2满足r 1r 2=4，求得r 1∈233,23 ，利用双勾函数的单调性可求得S 1+S 2的取值范围.【详解】设直线AB 的倾斜角为α，在双曲线x 24-y 212=1中，a =2，b =23，则c =a 2+b 2=4，故点F 24,0 ，若直线AB 与x 轴重合，则直线AB 与双曲线交于该双曲线的两个实轴的端点，不合乎题意，所以，直线AB 与x 轴不重合，设直线AB 的方程为x =my +4，设点A x 1,y 1 、B x 2,y 2 ，联立x =my +43x 2-y 2=12可得3m 2-1 y 2+24my +36=0，由题意可得3m 2-1≠0Δ=242m 2-4×36×3m 2-1 >0 ，解得m 2≠13，由韦达定理可得y 1+y 2=-24m 3m 2-1，y 1y 2=363m 2-1，x 1+x 2=m y 1+y 2 +8=-24m 23m 2-1+8=-83m 2-1>0，可得m 2<13，x 1x 2=my 1+4 my 2+4 =m 2y 1y 2+4m y 1+y 2 +16=-12m 2+163m 2-1>0，可得m 2<13，所以，-33<m <33，且α∈0,π 当-33<m <0时，tan α=1m ∈-∞,-3 ，此时α∈π2,2π3，当m =0时，AB ⊥x 轴，此时α=π2，当0<m <33时，tan α=1m ∈3,+∞ ，此时α∈π3,π2 ，综上，π3<α<2π3，不妨设点A 在第一象限，则∠AF 2O =α∈π3,2π3；设圆O 1切AF 1、AF 2、F 1F 2分别于点M 、N 、G ，过F 2的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，可知直线AB 的倾斜角取值范围为π3,2π3，由切线长定理可得AM =AN ，F 1M =F 1G ，F 2G =F 2N ，所以，AF 2 +F 1F 2 -AF 1 =AN +F 2N +F 1G +F 2G -AM +F 1M =F 2N +F 2G =2F 2G =2c -2a ，则F 2G =c -a =2，所以点G 的横坐标为4-2=2.故点O 1的横坐标也为2，同理可知点O 2的横坐标为2，故O 1O 2⊥x 轴，故圆O 1和圆O 2均与x 轴相切于G 2,0 ，圆O 1和圆O 2两圆外切.在△O 1O 2F 2中，∠O 1F 2O 2=∠O 1F 2G +∠O 2F 2G =12∠AF 2F 1+∠BF 2F 1 =90°，O 1O 2⊥F 2G ，∴∠GO 1F 2=∠F 2O 1O 2，∠O 1GF 2=∠O 1F 2O 2=90°，所以，△O 1GF 2∽△O 1F 2O 2，所以，O 1G O 1F 2=O 1F 2 O 1O 2，则O 1F 2 2=O 1G ⋅O 1O 2 ，所以F 2G 2=O 1F 2 2-O 1G 2=O 1G ⋅O 1O 2 -O 1G 2=O 1G ⋅O 2G ，即c -a 2=r 1⋅r 2，则r 1⋅r 2=4，由直线AB 的倾斜角取值范围为π3,2π3 ，可知∠AF 2F 1的取值范围为π3,2π3，则∠O 1F 2F 1=12∠AF 2F 1∈π6,π3，故r 1=F 2G ⋅tan ∠O 1F 2F 1=2tan ∠O 1F 2F 1∈233,23，则S 1+S 2=πr 21+r 22 =πr 21+16r 21，其中r 1∈233,23 ，令f x =x +16x ，其中x ∈43,12 ，则f x 在43,4 单调递减，在4,12 单调递增.因为f 4 =8，f 43=f 12 =403，则当x ∈43,12 时，f x ∈8,403 ，故S 1+S 2=πr 21+16r 21∈8π,40π3 .故答案为：π3,2π3；8π,40π3.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.20.(2023春·山东滨州·高三山东省北镇中学校考阶段练习)如图所示，一个平面内任意两两相交但不重合的若干条直线，直线的条数与这些直线将平面所划分的区域个数满足如下关系：1条直线至多可划分的平面区域个数为2；2条直线至多可划分的平面区域个数为4；3条直线至多可划分的平面区域个数为7；4条直线至多可划分的平面区域个数为11；一般的，n n ∈N * 条直线至多可划分的平面区域个数为；在一个平面内，对于任意两两相交但不重合的若干个圆，类比上述研究过程，可归纳出：n 个圆至多可划分的平面区域个数为.【答案】 n 2+n +22n 2-n +2【分析】根据当直线两两相交且任意三条直线均不交于同一点时，可划分的平面区域个数最多，设n 条直线可划分的平面区域个数为a n ，推导出a n =a n -1+n n ≥2 ，利用累加法求得a n ；利用类比的方法可求得n 个圆至多可划分的平面区域个数.【详解】当这些直线两两相交且任意三条直线均不交于同一点时，可划分的平面区域个数最多，设这样的n 条直线可划分的平面区域个数为a n ，已知a 1=2,a 2=4，当n ≥2时，因为第n 条直线l 与前n -1条直线至多新增n -1个交点，且新增的这n -1个交点均在l 上，按沿l 的方向向量方向排布将这n -1个交点依次记为A 1,A 2,⋯，A n -1，对于线段A m -1A m m ∈N * ，且2≤m ≤n -1 ，和以A 1和A n -1为端点且不经过A 2,A 3⋯,A n -2的两条射线，均能将前n -1条直线所划分的区域一分为二，故将新增n 个区域，故a n =a n -1+n n ≥2 ，故a n =a 1+a 2-a 1 +a 3-a 2 +⋯+a n -a n -1 =2+2+3+⋯+n =1+n n +1 2=n 2+n +22，故n 条直线至多将平面划分的区域个数为n 2+n +22；同理，当这些圆两两相交，且任意三个圆均不交于同一点时，可划分的平面区域个数最多，设这样的n 个圆可划分的平面区域个数为b n ，已知b 1=2,b 2=4，当n ≥2时，因为第n 个圆C 与前n -1个圆至多新增2n -1 个交点，且新增的这2n -2个交点均在C 上，按沿C 的逆时针方向排布将这2n -2个交点依次记为B 1,B 2,⋯,B 2n -2，对于弧B k -1Bk (k ∈N *，且2≤k ≤2n -2)，和弧B 2n -2B 1，每一段弧均能将前n -1个圆所划分的区域一分为二，故将新增2n -2个区域，故有b n =b n -1+2n -2n ≥2 ，故b n =b 1+b 2 -b 1 +b 3-b 2 +⋯+b n -b n -1=2+2+4+⋯+2n -2 =2+n n -1 =n 2-n +2，故n 个圆至多可划分的平面区域个数为n 2-n +2.故答案为：n 2+n +22;n 2-n +2.【点睛】关键点点睛：确定当直线两两相交且任意三条直线均不交于同一点时，可划分的平面区域个数最多，设这样的n 条直线可划分的平面区域个数为a n ，关键点就是要推导出当增加一条直线时新增的区域个数，从而得到a n =a n -1+n n ≥2 .21.(2023·山东青岛·统考一模)设函数f x 是定义在整数集Z 上的函数，且满足f 0 =1，f 1 =0，对任意的x ，y ∈Z 都有f x +y +f x -y =2f x f y ，则f 3 =；f 12+22+⋅⋅⋅+20232f 12+f 22 +⋅⋅⋅+f 20232=．【答案】 011011【分析】由f x +y +f x -y =2f x f y 结合已知函数值，通过代入特殊值计算f 3 ；推导出函数f x 周期T =4，通过已知函数值，分析f 12+22+⋅⋅⋅+20232 f 12 +f 22 +⋅⋅⋅+f 20232中自变量的数据特征求值.【详解】令x =y =1，f (2)+f (0)=2f 2(1)，∴f 2 =-1，。
2014年高考三轮复习数学思想方法专题一 函数与方程思想学生版
数学思想方法专题一 函数与方程思想1． (2013·陕西)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范 围是( )A ．[15,20]B ．[12,25]C ．[10,30]D ．[20,30] 2． (2012·浙江)设a >0，b >0，e 是自然对数的底数( )A ．若e a ＋2a ＝e b ＋3b ，则a >bB ．若e a ＋2a ＝e b ＋3b ，则a <bC ．若e a －2a ＝e b －3b ，则a >bD ．若e a －2a ＝e b －3b ，则a <b 3． (2013·安徽)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．题型一 利用函数与方程思想求解最值、范围问题例1 设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M 、N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A ．1 B.12 C.52 D.22变式训练1 若点O 和点F (－2,0)分别是双曲线x2a2－y 2＝1 (a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为 ( )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫－74，＋∞ D ．⎣⎡⎭⎫74，＋∞ 题型二 利用函数与方程思想研究方程根的问题例2 如果方程cos 2x －sin x ＋a ＝0在(0，π2]上有解，求a 的取值范围．变式训练2 已知方程9x －2·3x ＋(3k －1)＝0有两个实根，求实数k 的取值范围． 题型三 利用函数与方程思想求解不等式问题例3 已知f (t )＝log 2t ，t ∈[2，8]，对于f (t )值域内的所有实数m ，不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立，求x 的取值范围．变式训练3 设不等式2x －1>m (x －1)对满足|m |≤2的一切实数m 的取值都成立，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，34B ．(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫34，＋∞ D ．(－∞，2)题型四 利用函数与方程思想解决数列问题例4 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2－4n ＋4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n 2n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：14≤T n<1.典例 (14分)(2012·北京)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程． (2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值． 规范解答解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝ 2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.[4分](2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 22＝1得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.[5分]设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2.[8分]所以|MN |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2(1＋k 2)(4＋6k 2)1＋2k 2.[10分]又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k 2， 所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2.[12分]由|k |4＋6k 21＋2k2＝103，解得k ＝±1.∴k 的值为1或－1.[14分] 评分细则 (1)不列方程没有a 2＝b 2＋c 2，扣1分；(2)求|MN |时直接使用弦长公式没有中间变形，扣1分；(3)最后结论不写不扣分．阅卷老师提醒(1)本题易错点：不会整合题目条件，没有列出方程求b 、c ；运算能力较差，用弦长表示面积出现计算错误；(2)阅卷中发现考生的快捷解法：直线y ＝k (x －1)过定点T (1,0)，则S △AMN＝12·|AT |·|y 1－y 2|， 大大简化运算过程．1． 在正实数集上定义一种运算“*”：当a ≥b 时，a *b ＝b 3；当a <b 时，a *b ＝b 2，则满足3*x =27的x 的值为( )A ．3B ．1或9C ．1或 2D ．3或3 32． (2012·课标全国)设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为 ( )A.12B.23C.34D.453． 方程x 2－32x －m ＝0在x ∈[－1,1]上有实根，则m 的取值范围是 ( )A ．m ≤－916B ．－916<m <52C ．m ≥52D ．－916≤m ≤524． 已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x，等比数列{a n }的前n 项和为f (n )－c ，则a n 的最小值为 ( )A ．－1B ．1 C.23 D ．－235． 对于满足0≤p ≤4的实数p ，使x 2＋px >4x ＋p －3恒成立的x 的取值范围是__________．专题限时规范训练一、选择题1． 函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)2． 若函数f (x )、g (x )分别为R 上的奇函数、偶函数，且满足f (x )－g (x )＝e x ，则有 ( )A ．f (2)<f (3)<g (0)B ．g (0)<f (3)<f (2)C ．f (2)<g (0)<f (3)D ．g (0)<f (2)<f (3)3． 设函数D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则下列结论错误的是( )A ．D (x )的值域为{0,1}B ．D (x )是偶函数C ．D (x )不是周期函数D ．D (x )不是单调函数4． 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，若a 1＝1，则S 4等于( )A ．7B ．8C ．15D ．165． (2012·陕西)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( )A.32B.22C.12 D ．－126． 若a >1，则双曲线x 2a 2－y2(a ＋1)2＝1的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，5)C ．[2，5]D ．(3，5)7． 设函数f (x )＝x 3＋sin x ，若0≤θ≤π2时，f (m cos θ)＋f (1－m )>0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(－∞，0) C ．(－∞，1) D.⎝⎛⎭⎫－∞，12 8． 若不等式ax －1x ＋b >0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式bx ＋1ax ＋1<0的解集是 ( )A ．{x |12<x <1}B ．{x |x <12或x >2}C ．{x |－12<x <1}D ．{x |x <－1或x >2}.二、填空题9． 若关于x 的方程(2－2－|x －2|)2＝2＋a 有实根，则实数a 的取值范围是________．10．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是____________．11．已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________． 12．已知数列{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________． 三、解答题13．椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，短轴长为2，离心率为22，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝3PB →.(1)求椭圆C 的方程； (2)求m 的取值范围．。
新高考知识点总结清单-2024届高三数学三轮复习
第一节 集合与常用逻辑用语一、集合的含义与表示1、 集合中元素的性质： 、 、 .2、 集合A 、元素a 的关系：a A 或 a A .3、 常用数集符号：正整数集： ；自然数集： ；整数集： ；有理数集： ；实数集： .4、 集合的表示方法：列举法、描述法（形式可具有多样性）、图示法（一种解题工具或方法，常用的有数轴和韦恩图）、区间法（可用于表示某些数集）. 二、集合间的基本关系 1、集合A 与集合B 的关系①子集：若x A ∀∈，都有x B ∈，则记为 .规定：空集（∅）是任何集合的 . ②集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等.③真子集： 如果集合B A ⊆，但x B ∃∈，且A x ∉，则记为 ，等价于B A ⊆且 . 空集（∅）是任何非空集合的 .2、若集合A 有(1)n n ≥个元素，则集合A 的所有子集个数为 ，所有真子集的个数为 ，所有非空子集的个数为 ，所有非空真子集的个数为 . 三、集合间的基本运算1、交集：{},x x A x B ∈∈且，记作： ，韦恩图： . 2、并集：{},x x A x B ∈∈或，记作： ，韦恩图： . 3、补集：{},x x U x A ∈∉且，记作： ，韦恩图： . 四、充要条件的判断：p q ⇒，p 是q 的 条件，q 是p 的 条件；q p ⇒，p 是q 的 条件，q 是p 的 条件；p q ⇔，,p q 互为 条件.若命题p 对应集合A ，命题q 对应集合B ，则p q ⇒等价于 ，p q ⇔等价于 . 注意区分：“甲是乙的充分条件（甲⇒乙）”与“甲的充分条件是乙（乙⇒甲）”； 五、全称量词与存在量词：1、全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用∀表示；全称量词命题p ：)(,x p M x ∈∀；全称量词命题p 的否定p ¬： ； 2、存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等，用∃表示；存在量词命题p ：)(,x p M x ∈∃；存在量词命题p 的否定p ¬： .第二节不等式一、二次函数、一元二次方程、一元二次不等式1、二次函数cbxaxy++=2（a≠0）的图象的对称轴方程是，顶点坐标是；判别式acb42−=∆；0>∆时，图象与x轴有个交点；0=∆时，图象与x轴有个交点；<∆时，图象与x轴交点.2、韦达定理：若21,xx是一元二次方程)0(02≠=++acbxax的两个根（前提：0≥∆），则=+21xx，=21xx，=−21xx.二、不等式的性质1、传递性：,a b b c>>⇒；2、对称性：a b b a>⇔<；3、可加性：a b a c b c>⇔+>+；4、同向可加性：,a b c d>>⇒；5、可乘性:,0a b c>>⇒；,0a b c>=⇒；,0a b c><⇒；6、同正同向可乘性：0,0a b c d>>>>⇒；7、正数的可乘方、可开放性：*0,a b n N>>∈⇒，；8、倒数性：11,0aba b>>⇒；11,0aba b><⇒.三、基本不等式1、重要不等式：,a b R∈，，当且仅当时，等号成立.2、基本不等式：,a b，2a b+≥，当且仅当时，等号成立.>∆0=∆0<∆二次函数2(0)y ax bx c a++>的图象一元二次方程的根20(0)ax bx c a++=>的解集)0(2>>++acbxax的解集)0(2><++acbxax其中，2a b+称为,a b 的称为,a b 的 平均数. 常用变形：a b + （前提：,0a b >，取等条件：当且仅当 时，等号成立） ab （,a b R ∈，取等条件：当且仅当 时，等号成立） 记忆口诀：一正．二定．三相等．．口诀解读：正．是前提，在正的条件下才能使用基本不等式，因此使用前先看“,a b ”是否满足大于0；定．是关键，构造出“和”或“积”为定值，或者利用已知的定值构造出所求形式，“积”定“和”最小，“和”定“积”最大；相等．．是要检验能否取得最值，尤其是用了两次不等式时，要看两次的取等条件是否一致. 3、常用不等式链： 4、应用基本不等式求最值：已知y x ,都是正数，则有：(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当==y x 时，和y x +有最小值 ； (2)如果和y x +是定值s ，那么当且仅当==y x 时，积xy 有最大值 . 5、对勾函数()0,0by ax a b x=+>>的图像，画出下列函数图象.第三节 函数与导数一、函数的性质 1、单调性（1）增函数：定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有 ，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数；减函数：定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有 ，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数； 注意：求单调性和求单调区间答法不同 .（2）定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，且12x x ≠，那么：（填“增”、“减”）()()()12120x x f x f x −−> ⇔()()12120f x f x x x −>−⇔()f x 在区间D 上是 函数； ()()()12120x x f x f x −−< ⇔()()12120f x f x x x −<−⇔()f x 在区间D 上是 函数；（3）如果0)(>′x f ，则)(x f 为 函数；0)(<′x f ，则)(x f 为 函数； （4）复合函数的单调性：根据“同 异 ”来判断原函数在其定义域内的单调性.（5）常用性质：增＋增＝ ，减＋减＝ ，增－减＝ ，减－增＝ ，增＋减＝ ． 2、偶函数：对于函数()x f 的定义域内任意．．一个x ，都有 ，那么就称函数()x f 为偶函数，偶函数图象关于 对称.奇函数：对于函数()x f 的定义域内任意．．一个x ，都有 ，那么就称函数()x f 为奇函数，奇函数图象关于 对称.注：要判断函数的奇偶性先判断定义域是否关于 对称； 常用性质：①()f x 为奇函数且在0x =处有定义，则(0)f = ；②()f x 为偶函数，则()()()f x f x fx =−=；③在关于原点对称的单调区间内：奇函数有 的单调性，偶函数有 的单调性；④奇±奇＝ ，偶±偶＝ ，奇±偶＝ ，奇×奇＝ ，偶×偶＝ ，奇×偶＝ ． 3、函数的周期性与对称性（1）若函数()x f y =在定义域内都有()()x b f a x f +=+成立，则()x f 是周期函数，周期T = ； （2）若函数()x f y =在定义域内都有()()x f a x f −=+或()()x f a x f 1=+或()()x f a x f 1−=+成立，则()x f 是周期函数，周期T = ；（3）若函数()x f y =在定义域内都有()()x b f a x f −=+成立，则()x f 关于 对称； （4）若函数()x f y =在定义域内都有()()c x b f a x f =−++成立，则()x f 关于 对称； 二、指对数的运算1、当n = ；当n = .2、根式与分数指数幂的互化()1,,,0*>∈>m N n m a ①nma= ；②n ma−= .3、运算性质：(),0,,a b r s Q >∈ ①rsa a = ；②rsa a ÷= ；③()sr a= ；④()rab = .4、指数式与对数式的互化：x a N =⇔ (0,1,0)a a N >≠>．5、几个重要的对数恒等式 log 1a = ，log a a = ，log ba a = ，log a ba = ．6、两种特殊对数：常用对数： ，即10log N ；自然对数： ，即log e N （其中 2.71828e =…）． 7、对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么：①log log a a M N +=；② log log a a M N −= ；③log n a M = ()n R ∈； ④换底公式：log a b = (01,b 0,01)a a c c >≠>>≠且且， 推论：log log a b b a ⋅= ，即log a b = ；log m na b = ． 三、基本初等函数 1、指数函数及其性质2、对数函数及其性质定义函数 (0a >且1)a ≠叫做对数函数图象1a > 01a <<定义域、值域、定点定义域： ，值域： ，必过点单调性a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越往右3、幂函数（1）幂函数的定义：一般地，函数y = 叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数，R α∈．（2）图象（五个典型的幂函数：y x =，2y x =，3y x =，1y x=，y =），在下列图象中标出对应函数 （3）幂函数的性质①图象必过第一象限，必不过第四象限，一定过点 ； ②单调性：α ，y x α=在()0,+∞上单调递增； α ，y x α=在()0,+∞上单调递减.③奇偶性：α=奇数或α=奇数奇数时，y x α=为 函数； t α=偶数或α=偶数奇数时，y x α=为 函数；α=奇数偶数时，y x α=为 函数．四、方程的根与函数的零点1、函数的零点：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点． 注意：函数的零点不是 ．2、函数)(x f y =的零点⇔方程0)(=x f 的实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴交点的 ．3、零点存在性定理：如果函数()x f y =在区间[]b a ,上的图象是 的一条曲线，并且满足 ，则函数()x f y =在区间()b a ,内有零点，即()b a x ,0∈∃，使得()00=x f ，这个0x 也就是方程()0=x f 的根．4、函数零点个数的常用方法：①（代数法）求方程 的实数根，有几个解则有几个零点；②（数形结合法）将0)(=x f 移项转化为()()g x h x =，画出 和 的图象，有几个交点则函数)(x f 有几个零点． 五、函数的图象图象的变换：（在箭头上填写．．．．．．图象．．是如何变换的．．．．．．，下列0a >） （1）图象的平移:()y f x =()y f x a +；(y f x =()y f x a +；（2）图象的伸缩(y f x =()y f ax =；（3）图象的翻折：(y f x=()y f x =；()y f x =()y fx =；（4）图象的对称：(y f x =()y f x =−；(y f x =()y f x =−；()y f x =()y f x =−−；y x x y a ==← →关于对称.六、导数1、平均变化率：()y f x =从1x 到2x 的平均变化率定义式：()()2121f x f x x x −−.2、导数（瞬时变化率）（1）定义式：()00'|x x f x y ===()()000lim x f x x f x x∆→+∆−∆，（2）几何意义： . 曲线的切线方程：函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率为 ， 相应的切线方程是 .练习：求函数x y e =在0x =处的切线方程 ，所以1xe x ≥+，可用于放缩证明不等式；求函数ln y x =在1x =处的切线方程 ，所以ln 1x x ≤−，可用于放缩证明不等式． 3、基本初等函数的导数公式 ()()'f x g x ±= ，()()'f x g x ⋅=，()'c f x ⋅= ，()()'f x g x=． 5、复合函数的求导公式（1）定义：一般形式()()y f g x =，可分解为()y f u =和()u g x =，（2）求导法则：'x y = 6、导数与函数的单调性：在某区间[],a b 上，()'0f x >（()'0f x <）是()f x 在[],a b 上单调递增（减）的 条件， 在某区间[],a b 上，()'0f x ≥（()'0f x ≤）是()f x 在[],a b 上单调递增（减）的 条件 （填：“充要”、 “充分不必要”、 “必要不充分或既不充分也不必要”）；即：在某区间[],a b 上， ⇒()f x 在[],a b 上单调递增⇒在某区间[],a b 上， ． 导函数()'f x 的正负可以反映原函数()y f x =的增减，()'f x 的大小还能体现原函数()y f x =的变化快慢，()'f x 的值从 到 ，则()y f x =的图象从“平缓”到“陡峭”（反之同理）． 7、导数与函数的极值： （注意：函数的极值点不是 ．）()0'0f x =，且0x 左边()'0f x <，0x 右边()'0f x >，则0x 是()y f x =的 ，()0f x 是()y f x =的 ；()0'0f x =，且0x 左边()'0f x >，0x 右边()'0f x <，则0x 是()y f x =的 ，()0f x 是()y f x =的 ．()0'0f x =是0x 为()y f x =的极值点的 条件．8、画出常见函数大致的走势图一、弧度制1、角度与弧度的转化：360°= rad ，180°= rad ，1°= rad ，1rad= ≈ .2、扇形的弧长l = ，面积S = = ，周长C = （圆心角的弧度为α，半径为r ） 二、三角函数1、角α终边上任意一点(),P x y ，则sin α= ，cos α= ，tan α= . 特别的：角α终边与单位圆交于点(),P x y ，则sin α= ，cos α= ，tan α= .2、三角函数值在各象限的符号：sin α cos α tan α3、诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）、变名公式（变名公式就是诱导公式的逆用）sin cos 2παα = ，cos sin 2παα=（填“+”或“−”）. 4、同角三角函数的关系①平方关系： ，商数关系： ；②()2sin cos αα±= ，()()22sin cos sin cos αααα++−= ； ③应用：“1”的妙用，弦切互化，齐次式（同除cosnα弦化切）：（用tan α表示 ） sin cos αα⋅=，2sin α= ，2cos α= ； 三、三角恒等变换 1、两角和差公式：()sin αβ±= ，()cos αβ±= ，()tan αβ±= .2、二倍角公式：sin 2α= ，cos 2α= = = ，tan 2α= .3、降幂公式（由二倍角公式推导而来）sin cos αα⋅= ，2sin α= ，2cos α= .4、辅助角公式：sin cos a x b x ωω+= （其中sin ϕ= ，cos ϕ= ，tan ϕ= ）. 四、三角函数的图像及性质1、三角函数的图像及性质（以下k ∈Z ）函数sin y x =cos y x =tan y x =图像定义域 值域 奇偶性 最小正周期 单调性 对称轴 对称中心2、利用图像记忆特殊的三角函数值：角α 0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°弧度αsinαcos αtan3、函数()sin yA xB ωϕ++()0,0A ω>>的图象及性质：（1）五点作图法（列表，描点),(x ，连线）（2）函数()sin yA xB ωϕ++()0,0A ω>>的性质：①x R ∈时，最值：()sin yA xB ωϕ++的最大值为 ，最小值为 ；②周期性：最小正周期T = （ω指的是x 的 ）； ③奇偶性：0B =时，当ϕ= 时，()sin yA x ωϕ+为奇函数；当ϕ= 时，()sin yA x ωϕ+为偶函数；④单调性： 求()sin yA xB ωϕ++的单调增区间，将x ωϕ+代入正弦函数的单调增区间，即： x ωϕ≤+≤ ()k Z ∈，解出的x 的区间就是函数的()sin y A x B ωϕ++的单调增区间；求()sin yA xB ωϕ++的单调减区间，将x ωϕ+代入正弦函数的单调减区间，即： x ωϕ≤+≤ ()k Z ∈，解出的x 的区间就是函数的()sin y A x B ωϕ++的单调减区间；注意：若0,0A ω><，乘以负数单调性相反，求单调区间时，反着代入. ⑤对称性：求()sin y A x B ωϕ++的对称轴，令x ωϕ+= 解出x ，则对称轴为 ；求()sin yA xB ωϕ++的对称中心，令x ωϕ+= 解出x ，则对称中心为 . 4、三角函数的图像平移伸缩变换： ①左右平移（左加右减）：由sin y x ω=得到()sin y x ωϕ+是向左（或右）平移了 个单位；将sin y xω=向右平移m 个单位得 ；②横坐标伸缩：由sin y x =得到sin y x ω=是横坐标伸长（或缩短）为原来的 倍；将()sin y x ϕ+横坐标伸长（或缩短）为原来的ω倍得 ； ③纵坐标伸缩：由()sin yx ωϕ+得到()sin y A x ωϕ+是纵坐标伸长（或缩短）为原来的 倍；④上下平移（上加下减）：由()sin y A x ωϕ+得到()sin yA xB ωϕ++是向上（或向下）平移 个单位；五、解三角形1、正弦定理： （其中R 为ABC ∆的 圆半径，几何中有时也用到正弦定理）. 变形：①边化正弦：a = ，b = ，c = ； ②正弦化边：sin A = ，sin B = ，sin C = ； ③2sin sin sin sin sin sin sin sin ab c a b a b c R A B C A B A B C+++=====+++ 2、余弦定理：2a = ，常见变形：()22a b c =+− , 余弦定理的推论：cos A = .3、面积公式：S = = = .4、诱导公式在三角形中的应用（利用内角和A B C π++=和诱导公式）： ()sin A B +=()sin sin C C π−=，()cos A B +=，()tan A B += ， sin2A B+= ，cos2A B += . 5、正弦定理可用于解已知什么条件的三角形：①已知两角及任意一边 ；（已知两角等价于已知三个角，利用内角和为180°）②已知两边及一边的对角； 余弦定理可用于解已知什么条件的三角形：①已知三条边 ；②已知两边及其夹角 ；③已知两边及一边的对角 ；（由②③可知已知两边及任意一角都可以用余弦定理来解三角形，先求出第三边，用哪个余弦定理是由已知的角决定的）第五节 向量一、向量的概念1、向量：既有大小又有方向的量，用有向线段表示，记作： 或 （其中A 为起点，B 为终点）；表示向量的有向线段的长度叫做该向量的模，记作： 或 .2、两个特殊的向量：①零向量：长度为 ，方向任意的向量，记作： ；②单位向量：长度为 ，任意方向上都有单位向量，与a同向的单位向量为 .3、平行向量（共线向量）：方向 或者 的两个非零向量叫做平行向量，也叫共线向量。
山东齐河县实验中学高考数学三轮知识点冲刺数列的综合应用-解析版
数列的综合应用一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 在公差大于0的等差数列中，，且，，成等比数列，则数列的前21项和为A. 21B.C. 441D.（正确答案）A解：公差d大于0的等差数列中，，可得，即，，，成等比数列，可得，即为，解得负值舍去则，，数列的前21项和为．故选：A．设公差为，运用等差数列的通项公式，可得首项为1，再由等比数列的中项的性质，解方程可得公差d，进而得到等差数列的通项，再由并项求和即可得到所求和．本题考查数列的求和，注意运用并项求和，考查等差数列的通项公式和等比数列的中项的性质，考查运算能力，属于中档题．2. 张丘建算经中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织5尺布，一月按30天计共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织尺布．A. B. C. D.（正确答案）D解：设此等差数列的公差为d，则，解得，故选：D．利用等差数列的求和公式即可得出．本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3. 中国古代数学著作算法统宗中记载了这样一个问题：“三百七十八里关，出行健步不为难，次日脚疼减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚疼每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”问此人第二天天走了里？A. 76B. 96C. 146D. 188（正确答案）B解：由题意可得：此人每天所走的路形成等比数列，其中，．则，解得．所以．故选：B．由题意可得：此人每天所走的路形成等比数列，其中，利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4. 成等差数列的三个正数的和等于6，并且这三个数分别加上3、6、13后成为等比数列中的、、，则数列的通项公式为A. B. C. D.（正确答案）A解：设成等差数列的三个正数为，a，，即有，解得，由题意可得，，成等比数列，即为，8，成等比数列，即有，解得舍去，即有4，8，16成等比数列，可得公比为2，则数列的通项公式为．故选：A．设成等差数列的三个正数为，a，，由题意可得，再由等比数列的中项的性质，可得，求得公比为2，由等比数列的通项公式计算即可得到所求．本题考查等差数列和等比数列的中项的性质，考查等比数列的通项公式的运用，以及运算能力，属于中档题．5. 已知各项都为正的等差数列中，，若，，成等比数列，则A. 19B. 20C. 21D. 22（正确答案）A【分析】本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．设出等差数列的公差d，由，可得，即，由已知列式求得首项和公差，再求解即可．【解答】解：设公差为d，由，即，，，又，，成等比数列，可得：解得：或．等差数列是正项数列舍去．．，．故选A．6. 已知等比数列中，，，成等差数列，则公比A. 2B. 或C. 或2D.（正确答案）C解：设等比数列的公比为，，，成等差数列，，，，解得或．故选：C．根据等差数列与等比数列的通项公式，列出方程即可求出公比q的值．本题考查了等差与等比数列的通项公式的应用问题，是基础题．7. 设为等比数列的前n项和，若，，成等差数列，则等比数列的公比A. B. C. D.（正确答案）C解：等比数列的前n项和为，，，成等差数列，即为，依题意有，由于，故，又，解得．故选：C．依题意有，从而，由此能求出的公比q．本题考查等比数列的公比的求法，是基础题，解题时要注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．8. 已知等比数列的各项都是正数，且，，成等差数列，则A. 1B. 3C. 6D. 9（正确答案）D解：设各项都是正数的等比数列的公比为q，由题意可得，即，解得舍去，或，故．故选：D．设各项都是正数的等比数列的公比为q，，由题意可得关于q的式子，解之可得q，而所求的式子等于，计算可得．本题考查等差数列和等比数列的通项公式，求出公比是解决问题的关键，属基础题．9. 若等比数列，前n项和，且，为与的等差中项，则A. 29B. 30C. 31D. 33（正确答案）B解：设等比数列的公比为q，，为与的等差中项，可得，，解得，，则．故选：B．设等比数列的公比为q，运用等比数列的通项公式和等差数列中项的性质，解方程可得首项和公比，运用等比数列的求和公式，即可得到所求和．本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查等差数列中项的性质，化简整理的运算能力，属于中档题．10. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若A，B，C成等差数列，2a，2b，3c成等比数列，则A. 0B.C.D.（正确答案）A解：由题意可得A，B，C成等差数列，可得，2a，2b，3c成等比数列，，由正弦定理可得，，，，故选：A．由等比数列和正弦定理可得，进而利用两角和的余弦函数化简，代已知数据计算即可；本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及等比数列和正弦定理，属中档题．11. 已知定义在R上的函数是奇函数且满足，，数列满足，且，其中为的前n项和则A. B. C. 3 D. 2（正确答案）C解：函数是奇函数，是以3为周期的周期函数．数列满足，且，，且，，故选C．先由函数是奇函数，，推知，得到是以3为周期的周期函数再由，且，推知，计算即可．本题主要考查函数性质的转化与应用以及数列的通项及求和公式，在函数性质综合应用中相互结合转化中奇偶性，对称性和周期性之间是一个重点．12. 已知，，，成等比数列，且，若，则A. ，B. ，C. ，D. ，（正确答案）B解：，，，成等比数列，由等比数列的性质可知，奇数项符号相同，偶数项符号相同，，设公比为q，当时，，，不成立，即：，，，，不成立，排除A、D．当时，，，等式不成立，所以；当时，，，不成立，当时，，，并且，能够成立，故选：B．利用等比数列的性质以及对数函数的单调性，通过数列的公比的讨论分析判断即可．本题考查等比数列的性质的应用，函数的值的判断，对数函数的性质，考查发现问题解决问题的能力，难度比较大．二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 若是数列的前n项的和，且，则数列的最大项的值为______ ．（正确答案）12解：当时，取最大值16．，．此时．数列的最大值的值为：12．故答案为：12．将数列的前n项和进行配方，根据二次函数的特性可求出相应的然后求解数列的最大值．本题主要考查了数列的应用，以及灵活运用二次函数求最值的方法解决实际问题，注意n为正自然数，属于基础题．14. 若等差数列和等比数列满足，，则 ______ ．（正确答案）1解：等差数列和等比数列满足，，设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．可得：，，；，解得，．可得．故答案为：1．利用等差数列求出公差，等比数列求出公比，然后求解第二项，即可得到结果．本题考查等差数列以及等比数列的通项公式的应用，考查计算能力．15. 已知a，b，成等差数列，将其中的两个数交换，得到的三数成等比数列，则的值为______ ．（正确答案）20解：设等差数列的公差为d，交换这三个数的位置后：若b是等比中项，则解得，不符合；若是等比中项则解得，此时三个数为，b，4b，，则的值为20．若是等比中项，则同理得到此时三个数为4b，b，则的值为20．故答案为：20设等差数列的公差为d，通过讨论哪一个数是等比中项，分三种情况列出方程求出三个数，再求值．解决等差数列、等比数列的问题时，常采用设出首项、公差、公比，利用基本量的方法列出方程组来解．16. 设为等比数列的前n项和，若，且，，成等差数列，则 ______ ．（正确答案）解：设等比数列的公比为q，为等比数列的前n项和，若，且，，成等差数列，可得，，即，．．故答案为：．利用已知条件列出方程求出公比，然后求解等比数列的通项公式．本题考查等差数列以及等比数列的应用，基本知识的考查．三、解答题（本大题共3小题，共40分）17. 已知是等比数列，前n项和为，且，．求的通项公式；若对任意的，是和的等差中项，求数列的前2n项和．（正确答案）解：设的公比为q，则，即，解得或．若，则，与矛盾，不符合题意，，．．是和的等差中项，．．是以为首项，以1为公差的等差数列．设的前2n项和为，则．根据等比数列的通项公式列方程解出公比q，利用求和公式解出，得出通项公式；利用对数的运算性质求出，使用分项求和法和平方差公式计算．本题考查了等差数列，等比数列的性质，分项求和的应用，属于中档题．18. 已知等差数列满足，前3项和．Ⅰ求的通项公式；Ⅱ设等比数列满足，，求前n项和．（正确答案）解：Ⅰ设等差数列的公差为d，则由已知条件得：，解得．代入等差数列的通项公式得：；Ⅱ由Ⅰ得，．设的公比为q，则，从而，故的前n项和．Ⅰ设等差数列的公差为d，则由已知条件列式求得首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案；Ⅱ求出，再求出等比数列的公比，由等比数列的前n项和公式求得前n项和．本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了等差数列和等比数列的前n项和，是中档题．19. 已知数列的前n项和，点在函数的图象上求的通项公式；设数列的前n项和为，不等式对任意的正整数恒成立，求实数a的取值范围．（正确答案）解：，当得当，；由知，则，数列单调递增，．要使不等式对任意正整数n恒成立，只要．，．，即．，再写一式，即可求的通项公式；由知，利用裂项法可求，从而可求得，由，可判断数列单调递增，从而可求得a的取值范围．本题考查数列的通项与求和，着重考查等差关系的确定及数列的单调性的分析，突出裂项法求和，突出转化思想与综合运算能力的考查，属于难题．。
【高考冲刺押题】高考数学三轮 基础技能闯关夺分必备 不等式综合(含解析).pdf
不等式综合 【考点导读】 能利用不等式性质、定理、不等式解法及证明解决有关数学问题和实际问题，如最值问题、恒成立问题、最优化问题等. 【基础练习】 1.若函数，则与的大小关系是 2.函数在区间上恒为正，则的取值范围是0＜a＜2 3.当点在直线上移动时，的最小值是7 4.已知f(x)、g(x)都是奇函数，f(x)＞0的解集是(a2，b)，g(x)＞0的解集是(，)，则f(x)·g(x)＞0的解集是m≤4的m，不等式x2+mx＞4x+m－3x的取值范围是x＞3或x＜1 【范例导析】 例1、已知集合，函数的定义域为Q （1）若，求实数a的取值范围。
（2）若方程在内有解，求实数a的取值范围。
分析：问题（1）可转化为在内有有解；从而和问题（2）是同一类型的问题，既可以直接构造函数角度分析，亦可以采用分离参数. 解：（1）若，在内有有解 令 当时， 所以a>-4,所以a的取值范围是 （2）方程在内有解 则在内有解 当时， 所以时，在内有解 点拨：本题用的是参数分离的思想 例2.已知f(x)是定义在[—1，1]上的奇函数，且f (1)=1，若m、n∈[—1，1]，m+n≠0 （1）判断f (x)在[—1，1]上的单调性，并证明你的结论； （2）解不等式:； （3）若f (x)≤对所有x∈[—1，1]，∈[—1，1]恒成立，求实数t的取值范围． 分析：可利用定义法判断单调性，再利用单调性解决问题（2），问题（3）只要f (x)max≤ 解：(1)任取—1≤x1<x2≤1，则 f (x1)—f (x2)=f (x1)+f (－x2)=∵—1≤x1<x2≤1，∴x1+（－x2）≠0， 由已知＞0，又x1－x2＜0， ∴f (x1)—f (x2)＜0，即f (x)在[—1，1]上为增函数． （2）∵f (x)在[—1，1]上为增函数，故有 （3）由(1)可知：f（x）在[—1，1]上是增函数，且f (1)=1，故对x∈[—l，1]， 恒有f（x）≤1． 所以要使f（x）≤，对所有x∈[—1，1]， ∈[—1，1]恒成立， 即要≥1成立，故≥0成立． 记g()=对 ∈[—1，1]，g()≥0恒成立，只需g()在[—1，1]上的最小值 大于等于零． 故 解得：t≤—2或t=0． 点拨：一般地，若与若分别存在最大值和最小值，则恒成立等价于. 例3.甲、乙两地相距，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度的平方成正比，且比例系数为；固定部分为元． （1）把全程运输成本元表示为速度的函数，并指出这个函数的定义域； （2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 分析：需由实际问题构造函数模型，转化为函数问题求解 解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为，全程运输成本为 ． 故所求函数为，定义域为． （2）由于都为正数， 故有， 即． 当且仅当，即时上式中等号成立． 若时，则时，全程运输成本最小； 当，易证，函数单调递减，即时，． 综上可知，为使全程运输成本最小， 在时，行驶速度应为； 在时，行驶速度应为． 点拨：本题主要考查建立函数关系式、不等式性质（公式）的应用．也是综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的一道优秀试题． 反馈练习： 1.设，函数，则使的的取值范围是 2.一个直角三角形的周长为2P，其斜边长的最小值 3.首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是 4.如果函数的单调递增区间是(-∞，a]，那么实数a的取值范围是____ a<-1____ 5.若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为 6.设实数m,n,x,y满足的最大值 7．已知关于x的方程sin2x+2cosx+a=0有解，则a的取值范围是［－2，2］0≤p≤4的所有实数p，使不等式都成立的x的取值范围 9..三个同学对问题“关于的不等式＋25＋|－5|≥在[1，12]上恒成立，求实数的取值范围”提出各自的解题思路． 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”． 乙说：“把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值”． 丙说：“把不等式两边看成关于的函数，作出函数图像”． 参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的取值范围是 a≤10 10.设曲线在点处的切线斜率为，且,对一切实数，不等式恒成立（） , ， 又， 即 11.已知二次函数f (x)=,设方程f (x)=x的两个实根为x1和x2． （1）如果x1<2＜x2<4，且函数f (x)的对称轴为x=x0，求证：x0＞—1； （2）如果x10，即 ∴ （2）由g(x)=． ①若0<x12，∴g(2)=4a+2b—1<0， 又，代入上式得 ②若-2<x1<0，则x2=－2+x1<-2，∴g（-2）<0，即4a－2b+3<0，同理可求得． 故当0<x1<2时， ；当-2<x1<0时，． 12.已知A、B两地相距200km，一只船从A地逆水到B地，水速为8km/h，船在静水中的速度为v km/h(80)，则 当v=12时，y1=720 得k=5 设全程燃料费为y，依题意有 当，即v=16时取等号 8<v 所以当时，v=16时全程燃料费最省 当时，令 任取 则 即在上为减函数，当v=v0时，y取最小值 综合得：当时，v=16km/h，全程燃料费最省，32000为元，当时，当v=v0时，全程燃料费最省，为元。
高考数学三轮专项模拟试卷理(解析几何)(含解析)新人教A版
高考数学三轮专项模拟试卷理（分析几何）（含分析）新人教 A版本试卷分第Ⅰ卷( 选择题 ) 和第Ⅱ卷 ( 非选择题 ) 两部分，共150 分，考试时间120 分钟．第Ⅰ卷一、选择题 ( 本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 )1．(2013 ·济南模拟) 若k，－ 1，b三个数成等差数列，则直线y＝kx＋b必经过定点() A． (1 ，－ 2)B． (1,2)C． ( － 1,2)D．( － 1，－ 2)【分析】依题意，k ＋＝－ 2，∴ ＝－ 2－，b b k∴y＝ kx＋b＝ k( x－1)－2，∴直线 y＝k( x－1)－2必过定点(1，－2)．【答案】A2．(2013 ·福建高考) 已知会合A＝ {1 ，a} ，B＝ {1,2,3}，则“ a＝3”是“ A?B”的() A．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件【分析】∵ A＝{1， a}，B＝{1,2,3}，A?B，∴ a∈B且a≠1，∴ a＝2或3，∴“ a＝3”是“ A? B”的充足而不用要条件．【答案】A3．(2013 ·陕西高考) 设z1，z2是复数，则以下命题中的假．命题是 ()A．若 | z1－z2| ＝ 0，则z1＝z2B．若z1＝z2，则z1＝z2C．若 | z1| ＝ | z2| ，则z1·z1＝z2·z2D．若 | z1| ＝ | z2| ，则22 z1＝ z2【分析】A， |z 1－2|＝0?z1－2＝0?z1＝ 2?z1＝z2，真命题；z z zB，z＝z2? z＝ z＝ z ，真命题；1122C， | z1| ＝ | z2| ?| z1| 2＝ | z2| 2?z1· z 1＝ z2· z2，真命题；D，当 | z1| ＝ | z2| 时，可取z1＝2222，假命题．1，z2＝i ，明显z1＝ 1，z2＝－ 1，即z1≠z2【答案】Dx2y24．(2013 ·北京高考 ) 若双曲线a2－b2＝ 1 的离心率为3，则其渐近线方程为 () A．y＝±2x B．y＝±2x12C．y＝±2x D．y＝±2x【分析】∵ e ＝ 3，∴ c＝2＋23，即 a2b＝ 3，aa2 2∴ b 2＝ 2a 2，∴双曲线方程为 x2－ y2＝ 1， a2a∴渐近线方程为y ＝± 2.x【答案】B5．(2013 ·课标全国卷Ⅱ ) 设抛物线 C ：y 2＝2px ( p ≥0) 的焦点为 F ，点 M 在 C 上， | MF |＝ 5.若以为直径的圆过点 (0,2) ，则C 的方程为 ()MFA ． y 2＝ 4x 或 y 2＝ 8xB ． y 2＝ 2x 或 y 2＝ 8xC ． y 2＝ 4x 或 y 2＝ 16xD ． y 2＝ 2x 或 y 2＝ 16x【分析】 设 M ( x ，y ) ， A (0,2) ， MF 的中点为 N .0 0由 y 2＝ 2px ， F p， 0 ，2py 0∴ N 点的坐标为x ＋22 ， 2 .p由抛物线的定义知，x 0＋ ＝ 5，2pp∴ x 0＝ 5－ . ∴ y 0＝2p5－ .22| |5 25∵| AN | ＝ MF ＝，∴|AN | 2＝ .224px 0＋y 025∴22 ＋22－2＝ .245－ p ＋p 22 5－p2 2p2225即 4＋2－2 ＝ 4 .p∴2p 5－ 2 － 2＝ 0. 整理得 p 2－ 10p ＋16＝0. 2解得 p ＝ 2 或 p ＝ 8. ∴抛物线方程为 y 2＝ 4x 或 y 2＝ 16x .【答案】Cx ＋ y ≤2，6．若变量 x ， y 知足拘束条件 x ≥1，y ≥0，则 z ＝ 2x ＋y 的最大值和最小值分别为 () A ．4和 3B ．4和2C ．3和 2D ．2和0【分析】作直线 2＋ ＝ 0，并向右上平移， 过点A 时 z 取最小值， 过点B 时 z 取最大值，x y可求得 A (1,0) ， B (2,0) ，∴ z min ＝2， z max ＝ 4.【答案】 B7．(2013 ·北京高考 ) 直线 l 过抛物线 C ： x 2＝4y 的焦点且与 y 轴垂直，则 l 与 C 所围成的图形的面积等于 ()4A. 3B ． 2816 2 C. 3D. 3【分析】由 C ： x 2＝ 4y ，知焦点 P (0,1) ．直线 l 的方程为 y ＝1.所求面积＝2－1－ x 2d x ＝x －x 32 ＝824 12－ 23.S【答案】C8．(2013 ·杭州质检 ) 已知椭圆 C 的方程为x 2 ＋ y 22 x 与椭圆的16 2＝ 1( m ＞0) ，假如直线 y ＝ 2m一个交点 M 在 x 轴上的射影恰巧是椭圆的右焦点F ，则 m 的值为 ()A ． 2B ． 2 2C ． 8D ． 2 3【分析】依据已知条件 c ＝222 2x 2y 216－ m ，则点 (16－ m ，16－ m ) 在椭圆＋ 2＝ 1( m ＞216m0) 上，22∴ 16－ m ＋16－2m ＝ 1，可得 m ＝ 2 2.162m【答案】B第Ⅱ卷二、填空题 ( 本大题共7 小题，每题 5 分，共 35 分，把答案填在题中横线上 )9．若圆心在 x 轴上、半径为 5的圆 O 位于 y 轴左边，且与直线 x ＋ 2y ＝ 0 相切，则圆 O的方程是 ________．【分析】设圆心为 (a, 0)( a <0) ，则 r＝ | a ＋2×0| ＝ 5，解得＝－ 5，所以，所求圆的12 ＋22 a方程为： ( x ＋ 5) 2＋ y 2＝ 5，应选 D.【答案】( x ＋ 5) 2＋y 2＝ 52x210．已知点 M ( 3， 0) ，椭圆 ＋ y ＝ 1 与直线 y ＝k ( x ＋3) 交于点 A 、 B ，则△ ABM 的周长为 ________．【分析】因为直线过椭圆的左焦点( － 3，0) ，所以△ ABM 的周长为 | AB | ＋ | AM |＋ | BM |＝ 4a ＝8.【答案】 82 211．(2013 ·皖南八校联考 ) 双曲线 x－y ＝ 1( ＞ 0， ＞ 0) 的离心率为 2，有一个焦点与抛mn mn物线 y 2＝ 4mx 的焦点重合，则 n 的值为 ________．【分析】抛物线焦点 F ( m,0) 为双曲线的一个焦点，2∴ m ＋ n ＝ m . 又双曲线离心率为 2，n∴ 1＋ ＝ 4，即 n ＝ 3m .m2所以 4m ＝ m ，可得 m ＝ 4， n ＝12.【答案】1212． 1， l 2 是分别经过(1,1)， (0 ，－ 1) 两点的两条平行直线，当l1， 2 间的距离最大时，l ABl直线 l 1 的方程是 ________．【分析】当 AB ⊥ l 1，且 AB ⊥l 2 时， l 1 与 l 2 间的距离最大．－ 1－1又 k AB ＝ 0－ 1 ＝ 2，∴直线 l11的斜率 k ＝－ 2，则 l11的方程是 y － 1＝－ 2( x － 1) ，即 x ＋2y － 3＝ 0.【答案】x ＋ 2y －3＝ 0x 2213．(2013 ·福建高考改编 ) 双曲线 4 －y ＝ 1 的极点到其渐近线的距离等于 ________．x 22【分析】由 4 － y ＝1 知极点 (2,0)，渐近线 x ±2y ＝ 0，22 5∴极点到渐近线的距离 d ＝ 5＝ 5 .2 5 【答案】514．履行如图 1 所示的程序框图，若输入 n 的值为 4，则输出 s 的值为 ________．图 1【分析】i ＝1， s＝1→ s＝1， i ＝2→ s＝2， i ＝3→ s＝4， i ＝4→ s＝7，i ＝5结束．【答案】715．三角形中，已知→·→＋→·→＋→·→＝－ 6，且角C为直角，则角C的对边cABC AB BC BC CA CA AB 的长为 __________ ．【分析】→→→→→ →由 AB· BC＋ BC· CA＋CA· AB＝－6，得→→→＋→·→＝－ 6，·( ＋)AB BC CA BC CA→→→→即 AB· BA＋BC· CA＝－6，∵＝90°，∴－c 2＝－ 6，c＝ 6.C【答案】6三、解答题 ( 本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16． ( 本小题满分12 分 ) 已知圆C的方程为：x2＋y2－ 2mx－ 2y＋ 4m－ 4＝ 0( m∈R) ．(1)试求 m的值，使圆 C的面积最小；(2)求与知足 (1) 中条件的圆C相切，且过点 (1 ，－ 2) 的直线方程．【解】圆 C的方程：( x－m)2＋ ( y－ 1)2＝ ( m－ 2) 2＋ 1.(1)当 m＝2时，圆的半径有最小值1，此时圆的面积最小．(2)当＝ 2时，圆的方程为 (－ 2)2＋ (y －1) 2＝1，m x设所求的直线方程为y＋2＝ k( x－1)，即 kx－ y－k－2＝0，|2 k－ 1－k－ 2|4由直线与圆相切，得k2＋1＝1，k＝3，所以切线方程为4y＋2＝( x－1)，即4x－3y－10＝0，3又因为过点 (1 ，－ 2) 且与x轴垂直的直线x＝1与圆也相切，所以所求的切线方程为x＝1或4x－3y－10＝0.17．( 本小题满分12 分)(2013 ·山东高考改编 ) 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 C的中心在原点，焦点在x 轴上，短轴长为 2，离心率为2.O2(1)求椭圆 C的方程；(2) 设A，B是椭圆C上的两点，△AOB的面积为6. 若A、B两点对于x轴对称，E为线段4AB 的中点，射线交椭圆C于点. 假如→＝→ ，务实数t的值．OE P OP tOE22【解】(1)设椭圆C的方程为：x2＋y2＝1(＞＞0) ，a b a bc2＝a2－ b2，则c2解得 a＝2，b＝1，a＝2，2b＝2，x22故椭圆 C的方程为＋ y＝ 1.2(2) 因为、B两点对于x轴对称，可设直线的方程为x＝ ( －2＜＜2，且≠0) ．A AB m x m2将 x＝ m代入椭圆方程得| y|＝2－m2，所以 S＝ | m|2＝ .△AOB2－m6242321解得 m＝2或 m＝2.①又→ ＝→＝ 1(→＋→)＝1(20) ＝(mt,0) ，OP tOE2tOA OB2tm,mt2又点 P 在椭圆上，所以＝1. ②2由①②得 t 2＝4或 t2＝4.32 3又因为 t ＞0，所以 t ＝2或 t ＝3.18． ( 本小题满分12 分 ) 如图 2，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面 ABCD是正方形， O为底面中心， A1O⊥平面 ABCD， AB＝ AA1＝ 2.图 2(1)证明： A1C⊥平面 BB1D1D；(2)求平面 OCB1与平面 BB1D1D的夹角θ的大小．【解】(1) 证明法一：由题设易知OA，OB，OA1两两垂直，以 O为原点成立如下图的空间直角坐标系．6∵AB＝ AA1＝2，∴OA＝ OB＝OA1＝1，∴ A(1,0,0)， B(0,1,0)， C(－1,0,0)， D(0，－1,0)， A (0,0,1)．1→→－ 1,1,1) ．由AB＝AB，易得 B(111→→，－ 2,0)→，∵AC＝( －1,0 ，－ 1) ， BD＝ (0，BB＝ ( －1,0,1) 11→·→→·→∴ 1＝0，11＝0，A C BD AC BB∴AC⊥BD，AC⊥BB，111又 BD∩ BB1＝ B， A1C?平面BB1D1D，∴ A1C⊥平面 BB1D1D.法二：∵ A1O⊥平面 ABCD，∴ A1O⊥ BD.又∵ ABCD是正方形，∴ BD⊥ AC，∴BD⊥平面 A1OC，∴ BD⊥ A1C.又 OA1是 AC的中垂线，∴ A1A＝ A1C＝2，且AC＝ 2，222∴ AC＝ AA1＋A1C，∴△ AA1C是直角三角形，∴AA1⊥A1C.又 BB1∥ AA1，∴ A1C⊥ BB1，∴ A1C⊥平面 BB1D1D.(2) 设平面OCB1的法向量n＝ ( x，y，z) ．→→，∵ OC＝(－1,0,0)，OB1＝(－1,1,1)→n· OC＝－ x＝0，∴→n· OB1＝－ x＋ y＋z＝0，x＝0，∴y＝－ z.取 n＝(0,1，－1)，由(1)→知， A1C＝(－1,0，－1)是平面 BB1D1 D的法向量，→11∴ cos θ＝|cos 〈n，A1C〉 | ＝＝ .2× 22ππ又∵ 0≤θ≤2，∴θ＝3 .19．( 本小题满分13 分)(2013 ·广东高考 ) 设各项均为正数的数列{ a n } 的前n项和为S n，满足 4n＝2n *，且2， 5， 14 组成等比数列．n＋ 1－4－1，∈NS a n a a a (1) 证明：a＝4a＋ 5；21(2) 求数列 { a n } 的通项公式；(3) 证明：对全部正整数，有1111＋＋ ＋< .na 1a 2 a 2a 3a n a n ＋1 2【解】(1) 证明：由224S ＝ a－ 4n － 1，得 4S ＝a － 4－ 1，nn ＋ 11 22 2即 4a ＝ a －4－ 1，所以 a ＝ 4a ＋ 5.1221因为 a n >0，所以 a 2＝4a 1＋ 5.2(2) 因为 4S n ＝ a n ＋1－ 4n － 1，①2所以当 n ≥2时， 4S n －1＝ a n －4( n － 1) － 1，②由①－②得 224a n ＝ a n ＋ 1－ a n － 4，即 a 2 2 a 2n ≥2) ．n ＋ 1＝ n ＋ 4 n ＋ 4＝( n ＋ 2) (a a因为 a n >0，所以 a n ＋ 1＝ a n ＋ 2，即 a n ＋ 1－a n ＝ 2( n ≥2) ．因为 a ， a ，a 成等比数列，所以 2 14 a ＝ a a ，2 5 52 14即 ( a 2＋3×2) 2＝ a 2( a 2＋12×2) ，解得 a 2＝ 3.又由 (1) 知 a 2＝4a 1 ＋5，所以 a 1＝ 1，所以 a 2－a 1 ＝2. 综上知 a n ＋ 1－ a n ＝2( n ∈ N * ) ，所以数列 { a n } 是首项为 1，公差为 2 的等差数列．所以 a n ＝ 1＋ 2( n － 1) ＝ 2n － 1.所以数列 { a n } 的通项公式为a n ＝ 2n － 1( n ∈N * ) ．(3) 证明：由 (2)11知n n ＋ 1＝2 － 12 ＋ 1a ann11－12n ＋ 1 ，＝2 2n － 1所以 1＋ 1＋ ＋1a a a a a an ＋11 22 3n11－ 1 1 1 ＋ ＋ 1 1＝＋ － －2 3 3 5 2n － 1 2n ＋ 1 11－1111＝2n ＋ 1＝ －< .22 4n ＋ 2 2x 2 y 220． ( 本小题满分 13 分)(2013 ·安徽高考 ) 设椭圆 E ： a 2＋ 1－a 2＝ 1 的焦点在 x 轴上． (1) 若椭圆 E 的焦距为 1，求椭圆 E 的方程；(2) 设 F 1、 F 2分别是椭圆 E 的左、右焦点， P 为椭圆 E 上第一象限内的点，直线F 2P 交 y 轴于点 Q ，而且 F 1P ⊥ F 1Q . 证明：当 a 变化时，点 P 在某定直线上．【解】(1) 因为椭圆的焦点在x 轴上且焦距为 1，所以 221 a 25 － 1＝ ，解得＝ .a488x 2 8y 2故椭圆 E 的方程为 5 ＋ 3 ＝1.(2) 证明设 P ( x 0， y 0) ， F 1( － c, 0) ， F 2( c, 0) ，此中 c ＝ 2a 2 －1.y 0由题设知 x 0≠ c ，则直线 F 1P 的斜率 kF 1P ＝x 0＋ c ，y 0直线 F 2P 的斜率 kF 2P ＝x 0－ c .y 0故直线 F 2P 的方程为 y ＝ x 0－ c ( x － c ) ．当 x ＝ 0 时， y ＝cy 00，cy 0 ，即点 Q 坐标为 .c －x 0c － x 011y 0所以，直线 F Q 的斜率为 k Q ＝c － x 0y 0y 0因为 F 1P ⊥ F 1Q ，所以 kF 1 P · kF 1Q ＝ x 0＋c · c － x 0＝－ 1.2 ＝x 22化简得 y－ (2 a － 1) ．①将①代入椭圆 E 的方程，因为点 022P ( x ，y ) 在第一象限，解得 x ＝ a ，y ＝ 1 － a ，即点 P 在定直线 x ＋ y ＝ 1 上．21．( 本小题满分 13 分 ) 在平面直角坐标系 xOy 中， F 是抛物线 C ：x 2＝2py ( p >0) 的焦点， M是抛物线 C 上位于第一象限内的随意一点，过 M ， F ， O 三点的圆的圆心为 Q ，点 Q 到抛物线 C3的准线的距离为 4.(1) 求抛物线 C 的方程；(2) 能否存在点 M ，使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M ？若存在， 求出点 M 的坐标； 若不存在，说明原因．pp【解】(1) 依题意知 F (0 ， 2) ，圆心 Q 在线段 OF 的垂直均分线 y ＝ 4上，p因为抛物线C 的准线方程为y ＝－，23p 3所以 4 ＝ 4，即 p ＝ 1.所以抛物线 C 的方程为 x 2＝ 2y .2x 0(2) 假定存在点 M ( x 0， 2 )( x 0>0) 知足条件，抛物线C 在点 M 处的切线斜率为 y ′|x ＝ x 0＝x 2( 2 ) ′|x ＝ x 0＝ x 0，2x 0所以直线 MQ 的方程为 y － 2 ＝x 0( x － x 0) ．1 x 0 1 令 y ＝ 得 x ＝＋，4Q24x 0x 011所以 Q ( ＋， ) ．2 4x 0 4 又 || ＝ | | ，QM OQ高考数学三轮专项模拟试卷理(分析几何)(含分析)新人教A版1－x1211 020202故 () ＋ ( －x) ＝ (＋x) ＋，4x02424x021621x029所以(－)＝.4 216又 x0>0，所以 x0＝2，此时M(2， 1) ．故存在点 M(2， 1) ，使得直线MQ与抛物线 C相切于点 M.10。
高三数学解析三轮复习(学生版)
2009潞河中学高三解析几何三轮训练题1已知抛物线拱桥的顶点距水面2米，测量水面宽度为8米，当水面上升1米后，求此时水面的宽度. 2．（本小题满分14分）2008年北京奥运会中国跳水梦之队取得了辉煌的成绩。
据科学测算，跳水运动员进行10米跳台跳水训练时， 身体（看成一点）在空中的运动轨迹（如图所示）是 一经过坐标原点的抛物线（图中标出数字为已知条件）， 且在跳某个规定的翻腾动作时，正常情况下运动员在空 中的最高点距水面2103米，入水处距池边4米，同时 运动员在距水面5米或5米以上时，必须完成规定的 翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误。
(Ⅰ)求这个抛物线的解析式；(Ⅱ)在某次试跳中，测得运动员在空中的运动轨迹 为(Ⅰ)中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时 距池边的水平距离为335米，问此次跳水会不会失误？ 请通过计算说明理由；(Ⅲ)某运动员按(Ⅰ)中抛物线运行，要使得此次跳水成功，他在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离至多应为多大？3已知定圆,16)3(:22=++y x A 圆心为A ，动圆M 过点)0,3(B ，且和圆A 相切，动圆的圆心M 的轨迹记为C ． (Ⅰ)求曲线C 的方程；(Ⅱ)若点),(00y x P 为曲线C 上一点，探究直线044:00=-+y y x x l 与曲线C 是否存在交点? 若存在则求出交点坐标, 若不存在请说明理由．4. 已知点N （1，2），过点N 的直线交双曲线1222=-y x 于A 、B 两点，且)(21OB OA ON +=（1）求直线AB 的方程；（2）若过N 的直线l 交双曲线于C 、D 两点，且0=⋅，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆？为什么？5. 已知点C （-3，0），点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足PM PM 21,0==⋅ （1）当点P 在y 轴上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；（2）是否存在一个点H ，使得以过H 点的动直线L 被轨迹C 截得的线段AB 为直径的圆始终过原点O 。
高考数学三轮复习法汇总1篇
高考数学三轮复习法汇总1篇高考数学三轮复习法 11. 全体学生分层教学，在一轮当中将全班同学分为“?a、b、c?”三组，进行管理.三个组完成数学练习的量及时间要求不同?2. 分组监督，促进到每一个个体，在分层教学的大前提下，全班同学分为六个大组，每组设组长一名，对本组同学的学业任务完成情况进行监督，并及时收集同学学习中的问题反馈给教师.?3. 学习对手与“121”互帮小组.?4. “学习主题日”活动及讲题小组.?5. 学生及时总结建立《集错笔记》.将学习中发现的问题及时总结提升记到笔记本上，并归纳总结寻求共性及突破办法.?6. 对于学习数学有问题的学生进行重点培养.?7. 纵向对比，归纳提升.?8. 做好“中等生”数学促进工作.?正文:?学生一路斩荆披棘，冲到高三非常不易，面对高考压力巨大.现在教辅资料满天飞，如何能将学生从书山题海中捞出来，突出重围，寻求一条高三备考的轻便车道，这是我这些年带高三数学课一直苦苦思索的问题.“删繁就简，返璞归真，回归书本”是经过这么多年我感受到的一个基本原则.?我们学校经过多年的实践，高三数学复习一般分为三轮进行：第一轮，从第一年的7月份一直持续到第二年的3月中旬，这轮的主要形式是分章节来讲，夯实基础，将知识系统化、网络化，让学生掌握基本知识、基本题型;第二轮复习从第二年3月下旬到5月，本轮为专项突破，分题型板块专门训练，对于重点知识专题讲解，力求学生对于所掌握知识再进一步深化了解;第三轮复习，由5月初开始至高考前，本轮为模拟套题训练，主要培养学生对知识的综合应用能力.这种“三轮复习”模式为我校高考成绩的提高提供了有力的保障.?在具体实施中，怎样能有效地开展数学复习，首要一点还是要抓好课堂教学这一关，必须充分研究学情，做到有的放矢.课堂教学要目的性强，本节课针对什么问题，解决什么问题，要充分搭建师生互动的平台，创设合理情景，让学生主动动起来，去掌握知识. 课后巩固练习配置一定要少而精,与课堂知识相协调配套.让学生通过题目这一载体更加深化对知识的理解.?高考备考复习要注重体现新课程理念，调动学生学习数学的`积极性.新的课程改革要求数学教学体现以下理念：?1. 构建共同基础，提供发展平台.?在义务教育阶段之后，为学生适应现代生活和未来发展提供更高水平的数学基础，使他们获得更高的数学素养;为学生进一步学习提供必要的数学准备.?2. 提供多样课程，适应个性选择.?在复习中，针对不同层次学生，选择不同梯度题目，让每个学生都能获得发展.?3. 倡导积极主动，勇于探究的学习方式.?4. 注重提高数学思维能力.?高中数学复习应注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一.人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程，提高知识运用能力，解决问题的能力.?5. 发展学生的数学应用意识.?“做中学”，学生只有自己动手实践才能将所学知识进一步深化、理解，形成自己易于接受的理论.?只有在新课程理念的指引下，才能提高一轮复习的有效性.?在二轮复习中，专题复习应针对目前我省的高考命题形式，深入研读考纲及考试说明.要求学生必须掌握三角函数、立体几何、概率统计、数列这四个基本知识点，力求突破函数问题及圆锥曲线问题.?就目前陕西高考的形势而言，这些题目经常以“一大一小”的形式出现，所以二轮中应分为选择、填空专项训练.这个训练应持续两周左右，进一步巩固知识，扩大学生的视野，提高效率、准确率，保证学生高考时在选择填空上至多错一到两道题.?在解答题的训练中，主要分题目进行.分为三角函数专项、立体几何专项、概率统计专项、数列专项这四个板块.将常考题型模式化，要求学生熟练地掌握这些题型的一般方法，在高考中全分拿下这四个板块的命题.?对于圆锥曲线板块，在复习中应以基本知识为主，让学生明确三种基本圆锥曲线模型：抛物线、双曲线、椭圆，各自定义及性质要讲透彻.学生应能够熟练地掌握他们定以及解析式.力求解决圆锥曲线与直线的综合问题.函数问题：集中考察单调性、极最值.通过分题型训练，要求掌握单调区间的求法，会分情况讨论参数.二轮专项要有重点，有提高，所以只要能抓住以上环节，这一目标就能实现.?在第三轮模拟中，应选择题型相符的试题，目标在10套题左右，应坚持套题与单元专项训练相结合的原则，通过套题运算，发现学生的缺点，及时对本板块进行单元强化训练.这一块教学应坚持讲解，“精、慢、细、透”，力求每一个学生都能听懂、掌握.?在进行高考数学三轮复习中，是否有效落实课堂教学目标是关键，所以学生的教学管理非常重要.在这些年的实践，我总结一些较有效的举措：?1. 全体学生分层教学，在一轮当中将全班同学分为“?a、b、c?”三组，进行管理.三个组完成数学练习的量及时间要求不同.?不同层次学生设定不同的目标，与学生签订《目标责任书》，将学生要努力达到的成绩及实施措施明确化，力求将全班同学思想统一，“人人有目标，个个有干劲”!?2. 分组监督，促进到每一个个体，在分层教学的大前提下，全班同学分为六个大组，每组设组长一名，对本组同学的学业任务完成情况进行监督，并及时收集同学学习中的问题反馈给教师.?3. 学习对手与“121”互帮小组.每人确定一名与自己分数差在5分左右的同学为自己的学习对手，互比互学.再将1名优生，2名中等生，1名后进生4人分为一个学习小组，优生辅导，中等生督促，捆绑式培养，力求学习目标能落实到每一个同学，促进每一个个体的成长.?。
高三数学第三轮复习知识点
高三数学第三轮复习知识点高三是每个学子的转折点，也是备战大学入学考试的关键时期。
而在备战期间，数学是让许多学生感到头疼的学科之一。
为了帮助高三学生更好地复习数学知识，我们将在本文中介绍高三数学第三轮复习的重点知识点。
一、复数复数是高中数学中一个非常重要的概念。
它包括实数和虚数。
实数就是我们通常所说的实际数值，虚数则是以i为单位的平方根（i^2=-1）。
复数的表示形式为 a+bi，其中a为实部，b为虚部。
在复数的运算中，有加法、减法、乘法和除法。
同时，复数也可以表示为极坐标形式，即r(cosθ + isinθ) ，其中 r 和θ 分别为复数的模长和辐角。
二、函数函数是高中数学的核心概念之一。
函数是一种特殊的对应关系，即对于每一个自变量，都唯一对应一个因变量。
常见的函数形式包括数学表达式、图像和函数关系式。
函数的图像是通过将不同的自变量代入函数，得到相应的因变量值，然后将这些数对绘制出来而得到的。
函数之间有加减乘除和复合等运算。
在复习阶段，需要重点掌握常见函数的性质和图像特征，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
三、三角函数三角函数是数学中的一类特殊函数，以角度为自变量，值域为实数。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
它们与圆的关系密切，通过给定角度的对应弧长，可以定义三角函数的值。
同时，三角函数也具有周期性和奇偶性的特点。
在高三数学复习中，需要掌握三角函数的基本性质，如定义域、值域、单调性、周期和对称轴等。
四、导数与微分导数是微积分的重要概念之一。
它表示函数在某一点的变化速率。
导数的定义是通过极限的方法得到的，即刻画了函数在该点处的切线斜率。
导数有几何意义和物理意义，可以用来求函数的极值和拟合直线。
与导数相关的概念还有微分，微分表示函数在某一点附近的变化。
在高三数学的复习中，需要掌握导数和微分的计算方法，以及应用于函数的最值和曲线若干性质的求解。
五、概率与统计概率和统计是数学中应用性较强的分支，也是高中数学中的一个考察点。
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2009潞河中学高三解析几何三轮训练题1已知抛物线拱桥的顶点距水面2米，测量水面宽度为8米，当水面上升1米后，求此时水面的宽度. 2．（本小题满分14分）2008年北京奥运会中国跳水梦之队取得了辉煌的成绩。
据科学测算，跳水运动员进行10米跳台跳水训练时， 身体（看成一点）在空中的运动轨迹（如图所示）是 一经过坐标原点的抛物线（图中标出数字为已知条件）， 且在跳某个规定的翻腾动作时，正常情况下运动员在空 中的最高点距水面2103米，入水处距池边4米，同时 运动员在距水面5米或5米以上时，必须完成规定的 翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误。
(Ⅰ)求这个抛物线的解析式；(Ⅱ)在某次试跳中，测得运动员在空中的运动轨迹 为(Ⅰ)中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时 距池边的水平距离为335米，问此次跳水会不会失误？ 请通过计算说明理由；(Ⅲ)某运动员按(Ⅰ)中抛物线运行，要使得此次跳水成功，他在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离至多应为多大？3已知定圆,16)3(:22=++y x A 圆心为A ，动圆M 过点)0,3(B ，且和圆A 相切，动圆的圆心M 的轨迹记为C ． (Ⅰ)求曲线C 的方程；(Ⅱ)若点),(00y x P 为曲线C 上一点，探究直线044:00=-+y y x x l 与曲线C 是否存在交点? 若存在则求出交点坐标, 若不存在请说明理由．4. 已知点N （1，2），过点N 的直线交双曲线1222=-y x 于A 、B 两点，且)(21OB OA ON +=（1）求直线AB 的方程；（2）若过N 的直线l 交双曲线于C 、D 两点，且0=⋅，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆？为什么？5. 已知点C （-3，0），点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足PM PM 21,0==⋅ （1）当点P 在y 轴上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；（2）是否存在一个点H ，使得以过H 点的动直线L 被轨迹C 截得的线段AB 为直径的圆始终过原点O 。
若存在，求出这个点的坐标，若不存在说明理由。
6. 如图，已知定点(1,0)⊥交x轴于点M，延长F，动点P在y轴上运动，过点P作PM PF Array MP到N，使.=PN PM⑴求动点N的轨迹C的方程；⑵设直线l与动点N的轨迹C交于A，B两点，若 4.OA OB⋅=-若线段AB的长度满足：AB≤，求直线l的斜率的取值范围。
7. 在OAB ∆中,,4||||==OB OA 点P 分线段AB 所成的比为3,以OA 、OB 所在的直线为渐近线且离心率为2的双曲线M 恰好经过点P . ⑴求双曲线M 的标准方程;⑵若直线)0(≠+=mk m kx y 与双曲线M 交于不同的两点E 、F ,且E 、F 两点都在以点)3,0(-Q 为圆心的同一圆上,求实数m 的取值范围.8. 椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，离心率e =22，椭圆上的点到焦点的最短距离为1-e, 直线l 与y 轴交于点P （0，m ），与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且λ=．（1）求椭圆方程；（2）点P (,)x y 是椭圆上一点，求22x y +的最值； （3）若4=+λ，求m 的取值范围．9. 已知正方形的外接圆方程为22240x y x a +-+=，A 、B 、C 、D 按逆时针方向排列，正方形一边CD 所在直线的方向向量为(3，1)．（1）求正方形对角线AC 与BD 所在直线的方程；（2）若顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线E 经过正方形在x 轴上方的两个顶点A 、B ，求抛物线E 的方程．解析几何训练题答案1已知抛物线拱桥的顶点距水面2米，测量水面宽度为8米，当水面上升1米后，求此时水面的宽度.解:以拱桥的顶点为原点，建立坐标系如图，设抛物线方程为)0(22>-=p py x ， 取点A(4,-2)代入方程得p=4, 所以抛物方程为y x 82-= 故当水面上升1米时，即y=-1 此时22=x ,则水宽度为242．（本小题满分14分）2008年北京奥运会中国跳水梦之队取得了辉煌的成绩。
据科学测算，跳水运动员进行10米跳台跳水训练时， 身体（看成一点）在空中的运动轨迹（如图所示）是 一经过坐标原点的抛物线（图中标出数字为已知条件）， 且在跳某个规定的翻腾动作时，正常情况下运动员在空 中的最高点距水面2103米，入水处距池边4米，同时 运动员在距水面5米或5米以上时，必须完成规定的 翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误。
(Ⅰ)求这个抛物线的解析式；(Ⅱ)在某次试跳中，测得运动员在空中的运动轨迹 为(Ⅰ)中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时 距池边的水平距离为335米，问此次跳水会不会失误？ 请通过计算说明理由；(Ⅲ)某运动员按(Ⅰ)中抛物线运行，要使得此次跳水成功，他在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离至多应为多大？.解：(Ⅰ) 由题设可设抛物线方程为2()(0)y f x ax bx c a ==++<,且(0)0(2)10f f =⎧⎨=-⎩∴0,52c b a ==--;即22252(52)()(52)()(0)24a a y f x ax a x a x a a a ++==-+=--< ∴2max (52)2[()](0)43a f x a a +=-=<且5202a a +>,得(625)(23)0a a ++=且52a <- ∴2510,63a b =-=,所以解析式为：2251063y x x =-+ (Ⅱ) 当运动员在空中距池边的水平距离为335米时，即383255x =-=时，2825810816()()565353y f ==-⨯+⨯=-所以此时运动员距水面距离为161410533-=<，故此次跳水会出现失误 (Ⅲ) 设要使跳水成功,调整好入水姿势时,距池边的水平距离为(2)m m >, 则(2)5f m -≥-.∴22510(2)(2)563m m --+-≥-,即2524220m m -+≤∴2m <≤米。
3已知定圆,16)3(:22=++y x A 圆心为A ，动圆M 过点)0,3(B ，且和圆A 相切，动圆的圆心M 的轨迹记为C ． (Ⅰ)求曲线C 的方程；(Ⅱ)若点),(00y x P 为曲线C 上一点，探究直线044:00=-+y y x x l 与曲线C 是否存在交点? 若存在则求出交点坐标, 若不存在请说明理由． 解：(Ⅰ) 圆A 的圆心为4),0,3(1=-r A 半径，设动圆M 的圆心为.||,,),,(22MB r r y x M =依题意有半径为由|AB|=32，可知点B 在圆A 内，从而圆M 内切于圆A ，故|MA|=r 1-r 2， 即|MA|+|MB|=4，所以，点M 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，设椭圆方程为12222=+by a x ，由.1,4,322,4222====b a c a 可得故曲线C 的方程为.1422=+y x (Ⅱ)当2,14,0020200±==+=x y x y 可得由时，)..0,2(,2,0,2000有且只有一个交点与曲线直线的方程为直线时当C l x l y x ===).0,2(,2,0,2000--==-=有且只有一个交点与曲线直线的方程为直线时当C l x l y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-=≠.14,44:,44,02200000y x y x x y y x x y l y 联立方程组的方程为直线时当 …消去.016168)4(,20022020=-+-+y x x x x y y 得 ① 由点),(00y x P 为曲线C 上一点，.44.1420202020=+=+x y y x 可得得 于是方程①可以化简为.022002=+-x x x x 解得0x x =，),,(,44000000y x P C l y y y xx y x x 有且有一个交点与曲线故直线可得代入方程将=-== 综上，直线l 与曲线C 存在唯一的一个交点，交点为),(00y x P . …………… 14分4. 已知点N （1，2），过点N 的直线交双曲线1222=-y x 于A 、B 两点，且)(21OB OA ON +=（1）求直线AB 的方程；（2）若过N 的直线l 交双曲线于C 、D 两点，且0=⋅AB CD ，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆？为什么？4. （1）设直线AB ：2)1(+-=x k y 代入1222=-y x 得 02)2()2(2)2(222=------k x k k x k （＊） 令A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1、x 2是方程的两根∴ 022≠-k 且 2212)2(2k k k x x --=+∵ )(21+= ∴ N 是AB 的中点 ∴1221=+xx∴ 2)2(2+-=-k k k k = 1 ∴AB 方程为：y = x + 1 （2）将k = 1代入方程（＊）得0322=--x x 1-=x 或3=x由1+=x y 得01=y ，42=y ∴ )0,1(-A ，)4,3(B∵ 0=⋅AB CD ∴ CD 垂直平分AB ∴ CD 所在直线方程为 2)1(+--=x y 即x y -=3代入双曲线方程整理得01162=-+x x 令),(33y x C ，),(44y x D 及CD 中点),(00y x M则643-=+x x ，1143-=⋅x x ， ∴32430-=+=x x x ， 60=y|CD | =104，102||21||||===CD MD MC102||||==MB MA ，即A 、B 、C 、D 到M 距离相等 ∴ A 、B 、C 、D 四点共圆.5. 已知点C （-3，0），点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足PM PM 21,0==⋅ （1）当点P 在y 轴上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；（2）是否存在一个点H ，使得以过H 点的动直线L 被轨迹C 截得的线段AB 为直径的圆始终过原点O 。
若存在，求出这个点的坐标，若不存在说明理由。
解（1）设M(x,y), P(0, t), Q(s, 0)则),(),,3(t s t -== 由0=⋅得3s —t 2=0………………① 又由MQ PM 21=得),(21),(y x s t y x --=- ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=∴)(21)(21y t y x s x ， ⎪⎩⎪⎨⎧==∴y t x s 233……………………②把②代入①得2)23(9y x -=0，即y 2=4x ，又x ≠0 ∴点M 的轨迹方程为：y 2=4x （x ≠0）（2）如图示，假设存在点H ，满足题意，则0=⋅⊥即设),4(),,4(222121y yB y y A ，则由0=⋅可得016212221=+y y y y 解得1621-=y y 又21212212444y y y y y y k AB +=--=则直线AB 的方程为：)4(421211yx y y y y -+=-即212121214)(y x y y y y y y -=--+把1621-=y y 代入，化简得0)()164(1=+--y y y x令y=0代入得x=4，∴动直线AB 过定点（4，0）答，存在点H （4，0），满足题意。