4机械臂的雅可比-机器人技术基础(熊有伦)
机器人技术华中科技大学熊有伦复习提纲及部分题库详细解答教材
机器人技术复习提纲一．简答题1.机器人内部传感器与外部传感器的作用是什么，它们都包括哪些？答：内部传感器主要用于检测机器人自身状态；包括位移传感器角数字编码器、角速度传感器；外部传感器主要用于检测机器人所处的外部环境和对象状况等；包括：力或力矩传感器触觉传感器、接近绝传感器、滑觉传感器、视觉传感器、听觉传感器、嗅觉传感器、味觉传感器。
2.机器人的速度与加速度测量都常用哪些传感器？答：速度：测速发电机、增量式码盘；加速度：压电式加速度传感器、压阻式加速度传感器。
3.机器人的力觉传感器有哪几种，机器人中哪些方面会用到力觉传感器？答：种类：电阻应变片式、压电式、电容式、电感式、各种外力式传感器。
有三方面：1.装在关节驱动器上的力传感器。
2.装在末端执行器和机器人最后一个关节之间的力传感器。
3.装在机器人手抓指关节上的力传感器。
4.机器人的视觉传感器常用哪些方法，图像如何获取和处理？答：图像的获取：1.照明2.图像聚焦成像3.图形处理形成输出信号。
处理：1.图像的增强2.图像的平滑3.图像的数据编码和传输4.边缘锐化5.图像的分割。
5.能否设想一下，一个高智能类人机器人大约会用到哪些传感器技术？答：位置传感器，速度传感器，触觉传感器，接近觉传感器，视觉传感器，听觉传感器，嗅觉传感器，味觉传感器。
6.编码器有哪两种基本形式？各自特点是什么？两种基本形式：增量式、绝对式增量式：用来测量角位置和直线位置的变化，但不能直接记录或指示位置的实际值。
在所有利用增量式编码器进行位置跟踪的系统中，都必须在系统开始运行时进行复位。
绝对式：每个位置都对应着透光与不透光弧段的惟一确定组合，这种确定组合有惟一的特征。
通过这特征，在任意时刻都可以确定码盘的精确位置。
7.简述直流电动机两种控制的基本原理答：直流伺服电动机的控制方式主要有两种：一种是电枢电压控制，即在定子磁场不变的情况下，通过控制施加在电枢绕组两端的电压信号来控制电动机的转速和输出转矩，定子磁场保持不变，其电枢电流可以达到额定值，相应的输出转矩也可以达到额定值，因而这种方式又被称为恒转矩调速方式。
3.4机器人运动学雅可比矩阵
r f ( )
一般情况：
r f ( )
T m1 n1
r r1 , r2 , , rm R
1 , 2 , , n R
rj f j (1,2 ,,n )
j 1,2,, m
若n>m，手爪位置的关节变量有无限 个解，通常工业用机器人有3个位置变量 和3个姿态变量，共6个自由度（变量）。
f1 n m n R f m n
2、与平移速度有关的雅可比矩阵
相对于指尖坐标系的平移速度，是通过把坐标 原点固定在指尖上，指尖坐标系相对于基准坐 标系的平移速度来描述
O0 x0 y0 z0 Oe xe ye ze
：基准坐标系
：指尖坐标系
机器人雅可比矩阵机器人运动学机器人逆运动学雅可比矩阵matlab雅可比矩阵机器人正逆运动学雅克比矩阵机器人雅可比迭代矩阵家可比矩阵安堂机器人
3.4
机器人的雅可比矩阵
微分运动与速度
1、
微分运动指机构的微小运动，可用来推导不 同部件之间的速度关系。 机器人每个关节坐标系的微分运动，导致机 器人手部坐标系的微分运动，包括微分平移与微 分旋转运动。将讨论指尖运动速度与各关节运动 速度的关系。 前面介绍过机器人运动学正问题
J J1 J2
nm6
r f ( )
对位置方程进行求微分得：
dr J d r J dt dt
两边乘以dt，可得到微小位移之间的关系式
dr Jd
J 表示了手爪的速度与关节速度之间关系， 称之为雅克比矩阵。
f1 1 f J T f m 1
ze
z0
P e
Oe
xe
机器人技术基础实验报告
实验一、Matlab 验证斯坦福机械手雅可比矩阵 一、实验目的1.加深对雅可比矩阵的认识，熟练其计算原理；2.熟练掌握D-H 连杆坐标系的确定方法和过程及各种变换矩阵；3.熟悉Matlab 的操作与运用。
二、实验原理对机械手的操作和控制，除了需要确定机械手操作空间与关节空间之间静态位资的映射转换关系以外，还需要对某一时刻机械手运动速度和关节速度之间的关系进行转换和分析，也就是机械手瞬时速度分析。
而我们利用雅可比矩阵来对机械手的速度进行了分析。
其中雅可比矩阵包括了两个方面：1.雅可比矩阵平移速度部分的分析；2.雅可比矩阵旋转速度部分的分析。
T 矩阵由以下公式计算可得：1111111111s 0001iii i i i i i i i i ii i i i i i c a s c c c s s d T s s c s c c d θθθαθαααθαθααα-----------⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦三、实验步骤1、已知计算各级T 矩阵665544445436546655221132210321220000000010001000000000100001000100011000000000100101000001001---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-c s c s c s s c T T T s c s c c s c s d d T T T s c 1100001001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦s c 2、计算出各连杆坐标系到基坐标系0的变换矩阵：11110111212112112121121022221211213212121121321203222000000001010010000000100-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦---+++=-可知可知c s s c T z c c c s s s d s s c s s c c d c T z s c c c s c s c d s s d s c c s s s d s c d T s c c d 12123320010⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦可知c s s s z c 1241412414121231212414124141212312042424223124141251241451251241412312124145050001()()()----⎡⎤⎢⎥+-++⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦--------+-=++c c c s s c c s s c c s c s d s d s c c c s s c s c c s s s s d c d T s c s s c c d c c c s s c s s c c c s s s c s c c c s s c c s d s d s c c c s c s T 12512414512512414123122423124514512512312124514512512312062455223()2452524525000112345600⎡⎤⎢⎥-+--+--+++⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦-+-++++=-s s s c c c s s s s c s c s c c s s d c d s c c c s s c s c c s s c d X X c c c s s s s c s c c s d s d X X s c c s c s s s s c s s d c d T X X s c s c c c d 01⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Matlab 计算过程如下：>> clear>> syms c1 s1 c2 s2 c3 s3 c4 s4 c5 s5 c6 s6 d1 d2 d3 d4 d5 d6 a1 a2 a3 a4 a5 a6>> T10=[c1 -s1 0 0;s1 c1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1]>> T21=[c2 -s2 0 0;0 0 1 d2;-s2 -c2 0 0;0 0 0 1] >> T32=[1 0 0 0;0 0 -1 -d3;0 1 0 0;0 0 0 1] >> T43=[c4 -s4 0 0;s4 c4 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1] >> T54=[c5 -s5 0 0;0 0 1 0; -s5 -c5 0 0;0 0 0 1] >> T65=[c6 -s6 0 0;0 0 -1 0;s6 c6 0 0;0 0 0 1]>> T20=T10*T21； >> T30=T20*T32； >> T40=T30*T43； >> T50=T40*T54； >> T60=T50*T65；>> T60=simplify(T60)3、用速度矢量合成的方法计算雅可比矩阵Jv 部分：356124123456102040506016263465666124561020162631245600000⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⨯⨯⨯⨯⨯=⎢⎥⎣⎦⎡⎤⨯⨯=⎢⎥⎣⎦v v v v v v J J J J J J J J J J J J J z p z p z z p z p z p z z z z z z p z p z z z z z z ωωωωωω 1） 计算1016⨯z p1z 为连杆1坐标系的z 轴单位向量在基坐标系0中的描述；16p 为连杆1坐标系原点到连杆6坐标系原点连线矢量16O O，在基坐标系0中的描述，计算过程为：计算矩阵T61，T61的第四列即为16O O，由于坐标系1相对于坐标系0有绕Z 轴的转动，故需要对其进行转换，转换方法为；0116O O ⋅ R ，01R为T10中旋转部分注：Matlab 中向量叉积方法：e=cross (a,b)>> T61=T21*T32*T43*T54*T65 %计算出16O O在坐标系1中的描述>> P161=[s2*d3;d2;c2*d3]>> Rot10=[c1 -s1 0;s1 c1 0;0 0 1] %由T10知道旋转部分变换3*3矩阵 >> P160= Rot10* P161 % 与P60最后一列比较 >> z1=[0;0;1]>> e=cross(z1,P160) %可得到Jv 第一列： e =[ -s1*s2*d3-c1*d2; c1*s2*d3-s1*d2;0]2） 计算2026⨯z p2z 为连杆2坐标系的z 轴单位向量在基坐标系0中的描述；206p 为连杆2坐标系原点到连杆6坐标系原点连线矢量26O O，在基坐标系0中的描述，计算过程为：计算矩阵P62，P62的第四列即为26O O，由于坐标系2相对于坐标系0有姿态变化，故需要对其进行转换，转换方法为；0226O O ⋅ R ，02R为T20中旋转部分注：Matlab 中向量叉积方法：e=cross (a,b)>> T62= T32*T43*T54*T65 %计算出26O O在坐标系2中的描述>> P262=[0;-d3;0]>> Rot20=[c1*c2 -c1*s2 -s1;s1*c2 -s1*s2 c1;-s2 -c2 0] %由T20知旋转部分变换3*3矩阵>> P260= Rot20* P262 >> z2=[-s1;c1;0]>> e=cross(z2, P260) %可得到Jv 第一列：e =[c1*c2*d3; s1*c2*d3; -s1^2*s2*d3-c1^2*s2*d3]3） 由于连杆3坐标系为移动坐标系，故起对连杆6的速度贡献不能计算为3036⨯z p ，而应该为Z3的单位向量在基坐标系0中的表示；故由T30直接可得Jv 第三列为：1212320⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦c s s s z c4)由于坐标系4、5、6和坐标系6的坐标原点重合故对应6066)=⨯=⨯ i i ()q(q i i O i i i v z O O z p 的计算结果均为0 ，于是可得 35612412345612123123121212312312232112414124141245145125112414124141245000000000000⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦---+-=------+-+-++v v v v v v J J J J J J J J J J J J J c d s s d c c d c s s d c s d s c d s s s d c s c c s s c c c s s c c c c s s s s c s c c s c s c c s c s c c s c c s c ωωωωωω14512524242455210⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦s s s s c s s s s s c s c c 5) 用直接求导的方法验证上面Jv 的计算的正确性：在matlab 中用B=jacobian(f,v)方法直接求导可以获取雅可比矩阵四、实验总结机器人雅可比矩阵能够很好地反映出操作空间与关节空间的速度映射关系，而Matlab 则很好的简化了这种关系求导手段。
四自由度机械手臂运动学分析及雅可比矩阵求解
第 6期
吴
磊等 : 四自 由度机械手臂运动学分析及雅可比矩阵求解
765
设计提供理论依据。 1 机械手臂运动学分析 1 1 正向运动学分析 该机械手臂由 4 个转动关节和 3 个连杆组成 , 终端有一个夹持器。用 D-H 方法建立杆件坐标系。 因为无论转动关节 0 如何旋转, 关节 0 的长度对机 械手臂的运动均无影响 , 所以令基准坐标系 0 与坐 标系 1 原点重 合, 取在关 节 0 与关节 1 的交点处。 原点 O 2 位于关节 2的中心位置 , Z 2 轴沿着关节 2的 方向向右, X 2 轴垂直于关节 1 和关节 2 构成的平面 指向上方。 坐标系 3 与坐标系 4原点重合。 X 3 轴垂直 于关节 2 和关节 3 构成的平面指向上方, X 4 轴垂直 于夹持器所在平面, 如图 1 所示。
[ 2, 3] [ 1]
中, 因为引入了多余的参数 , 使方程复杂度增加, 甚 至会引起无解或者无穷多解的情况 , 需要通过 观察和经验判断才能得出正确的解 , 既给运动学分 析带来了不 便, 又 增加了 机器 人控 制程 序编写 难 度
[ 8~ 11] [ 4~ 7]
。传统建立机械
手臂坐标系的方法是将固定在大地上的笛卡尔坐标 系作为参考坐标系 。这种方法容易引入不必要 的参数 , 增加计算量 , 引起计算误差增大, 使机器人 不能够精确控制。特别是在解机器人逆运动学方程
Abstract : In order to reduce the com p le x ity of k in e m atics and inverse k in e m atics equat io n so lv ing process, i m prove th e accuracy of contro , l and ca lculate the in verse kinem at ic s equation s analyt ica l so lutio n fast and prec isely , an opt i m al m ethod o f setting th e coord in ate system has been put for w ard according to the theo ry o f a robot s 4-DOF m e chanical ar m. The k in e m atics and in verse k in em atics equat io ns of the 4 -DOF m echanical ar m w ere established based on this coord in ate system. The positions of itsm ov ing elem ents and end -effectors w ith the ir re latio nship w ere presented ; th ese m ade the robo t m ove in accordance w ith a scheduled program. F in a lly , the Jacob ia n m atrix w as solved, prov idin g theoret ical basis for realizin g the m echan ica l ar m s program desig n o f velocity control in the C arte sian space . K ey w ord s : m echanical ar m; D-H param eters ; kinem at ics; in verse k in em atics ; Jacob ian m atr ix 机器人运动学着重研究了机器人各个坐标系之 间的运动关系。为了控制机器人的运动, 首先需要 在机器人中建立相应 的坐标系
第4章 机械臂雅克比矩阵
s12 c12 0 0
0 l1c1 l2 c12 0 l1s1 l2 s12 1 0 0 1
9
机电学院机械电子工程系
机电学院机械电子工程系
南京航空航天大学
4.2 微分转动与角速度 两自由度机械手
南京航空航天大学
4.2 微分转动与角速度 两自由度机械手
x l1c1 l2c12
J 0 时，J-1矩阵至少有一个特征值趋向于无穷大。
J l1l2 sin 2
至少有一个关节的速度趋向于无穷大。
J 0 时， 2 0,180
机电学院机械电子工程系
14
机电学院机械电子工程系
15
南京航空航天大学
南京航空航天大学
在机器人学中，J是一个把关节速度向量
i 变 q
对于三维空间运行的机器人则不完全适用。从 三维空间运行的机器人运动学方程，可以获得直角 坐标位置向量 ( x, y, z )T 的显式方程，因此，J的前三 行可以直接微分求得，但不可能找到方位向量 ( x , y , z )T 的一般表达式。找不出互相独立的、无 顺序的三个转角来描述方位．绕直角坐标轴的连续 角运动变换是不可交换的，而对角位移的微分与对 角位移的形成顺序无关，故一般不能运用直接微分 法来获得J的后三行。因此，常用构造性方法求雅可 比J。
2
机电学院机械电子工程系
机电学院机械电子工程系
3
南京航空航天大学
南京航空航天大学
微分变换
为了补偿机器人末端执行器位姿与目标物体之间的 误差，以及解决两个不同坐标系之间的微位移关系问 题，需要讨论机器人杆件在作微小运动时的位姿变化。
变换的微分 假设一变换的元素是某个变量的函数，对该变换的微分就是 该变换矩阵各元素对该变量的偏导数所组成的变换矩阵乘以该变 量的微分。
机器人运动学熊有伦机器人技术基础
s
i 1
dici1
1
3.1.4操作臂运动学方程
T i1 i
{R}
{P}
变换矩阵：i1P i1RT RQT QPT PiT i P
{Q}
化简： 这里：
i 1 P
i1iT i P
T i1 i
i1RT RQT QPT PiT
根据变换 过程：
T i1 i
Rot(
c4c5s6 s4c6
c4 s 5
a3
36T
34T
46T
s5 s6
s4c5c6
c4 s6
s5s6 s4c5s6 c4c6
c5 s4 s5
d4 0
0
0
0 1
c23 s23 0 a2c2
13T
21T
23T
0
s23 0
描述连杆连接的两个参数: 1) link offset 连杆偏距di. 相邻两个连杆之间有一个公
共的关节, 沿着两个相邻连杆公共法线
线的距离可以用一个参数描 述为连杆偏2)距jodini. t angle 关节角θi. 当一i为变移量动. 关节当描时i述为,连两转杆个动偏相关距邻节为连时杆,关绕节公角共为轴一线变旋量转. 的夹角θi.
T i1 i {P}
1.坐标系{i-1}相对于坐标系{i}的变换是由连杆四个参数构成
的函数，其中只有一个变量。
{Q}
2.为求解
T i 1 i
，对每个连杆建立坐标系，分解成4个变换子
问题，每个子变换只包含一个连杆参数。
机器人雅可比矩阵
上式中，66的偏导数x 矩阵J(Jq (q)q ) 叫做雅可比矩阵。其中
Ji
jq
xi q
qj
雅可比矩阵
机器人关节数
*雅可比矩阵的行数取决于机器人的类型
雅可比矩阵在机器人中的应用
可以把雅可比矩阵看作是关节的速度 q变换到 操作速度V的变换矩阵
在任何特定时刻，q具有某一特定值，J(q)就是一个 线性变换。在每一新的时刻，q已改变，线性变换 也因之改变，所以雅可比矩阵是一个时变的线性变 换矩阵。
C再对时间求导，得到：
C Jq J q
J是雅克比矩阵对时间的导数，可记为
J J / q q。
用系统的运动方程替代 q，得到 C Jq J W(Q Qˆ )
设 C为零，有
J W Qˆ Jq J W Q
如果未知量数目大于方程数目，需要引入虚功原理。合法速度（不改变约束C 的速度）必须满足J q＝0。为确保约束力不做功，要求
Qˆ T q 0 q| J q 0 Qˆ 矢量满足上式要求的充分必要条件，可以表示为下面的形式
Qˆ ＝JT 其中， 是一个与C 的维数相同的矢量，JT 为 J 的转置矩阵。
为了要理解这个表达式的含义，可把矩阵 JT 视为矢量 的集合
JT
C1
q
C2 q
Cm
q
其中，每个矢量Ci/q是标量约束函数Ci的梯度矢量。 既然我们的基本要求是C＝0，这些梯度是约束超曲面的
在机器人学领域内，通常谈到的雅可比矩阵是 把关节角速度和操作臂末端的直角坐标速度联 系在一起的。
必须注意到，对于任何给定的操作臂的结构和
外形，关节速度是和操作臂末端的直角坐标速 度成线性关系，但这只是一个瞬间关系。
例4.1 平面2R机械手的运动学方程为
《机器人学》教学大纲
《机器人学》课程教学大纲、课程基本信息二、课程目标（一）总体目标:机器人学是智能制造工程专业培养计划中一门高度交叉、前沿的重要专业必修课程，融合了运动学/动力学分析、机械学、控制理论与工程、计算机技术、人工智能等多学科内容的综合性新技术应用课程.通过该课程的学习，使学生了解并掌握机器人学相关的基本理论和方法，具有现代机器人系统设计、分析、应用等基本能力和以后从事相关科学研究和技术工作的能力。
本课程针对智能制造工程专业的特点，主要介绍机器人数学基础、工业机器人、服务机播人的基本机械结构设计、运动学与动力学分析，以及机器人传感器和控制技术等基础理论和技术基础知识，并以实际工程应用为背景，安排各类机器人实样参观、专题讲座、实验等内容。
通过本课程教学，不但使学生掌握机器人技术的基本理论知识，使学生对各类机器人技术和开发方法有所了解，同时通过课程设计等活动培养其在逻辑思维、科学研究和设计实践上的能力，从而培养学生综合运用机器人技术解决智能制造领域实际工程问题的能力。
（二）课程目标：课程目标1：学习并掌握现代机器人的基本理论及方法，具有应用机器人解决工程问题的创新意识和能力；（支撑毕业要求1）课程目标2：学习并掌握工业机器人、服务机器人的状态检测和控制技术，具有利用先进控制理论和方法进行机器人控制并完成具体工程应用的能力；（支撑毕业要求2）课程目标3：学习并掌握现代机器人的总体设计、技术设计和详细结构设计及控制系统设计等内容,具有根据实际工程问题设计相应机器人解决方案的能力：（支撑毕业要求3）课程目标4：评定方法包括课后作业（15%）、实验（20%）、项目研究（15%）和期末考试（50%）环节,总评成绩以百分计，满分100分，各考核环节所占分值比例和根据具体情况微调。
2.（三）评分标准通过机器人的实验，获得相关实验设计和实验技能的基本训练，具有应用相关实验方法解决实际工程问题的能力。
（支撑毕业要求5）（三）课程目标与毕业要求、课程内容的对应关系三、教学内容第1章：绪论（3学时）通过本章内容的教学，使学生了解机器人学的起源与发展，讨论机器人学的定义，分析机器人的特点、结构与分类。
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(4.4)
y T x
T
x
0
0 0
dx T dy T dz 0
T
4.1.1微分运动
刚体或坐标系的微分运动矢量由微分移动矢量和微分转动矢 量组成 T d
D
dx , d y , dz , x , y , z δ
d id x jd y kd z , δ i x j y k z
0
f z f x vers f y s f z f y vers f x s f z f z vers c 0
0 0 0 1
对于微分变化， limsin ,limcos 1,lim vers 0, 代入上式
1 f d Rot ( f , d ) z f y d 0 f z d 1 f x d 0 f y d f x d 1 0 0 0 0 1
4.1.1微分运动
Trans (d x , d y , d z ) Rot ( f , d ) I 0 0 dx 1 f z d f y d 0 1 0 f d 0 1 1 0 dy 1 f d 0 x z 0 1 d z f y d f x d 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 f z d f y d d x 0 0 z y f d 0 f x d d y 0 x z z f y d f x d 0 dz y x 0 0 0 0 0 1 0 = 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1
f x f x vers c f f vers f s z Rot ( f , ) x y f x f z vers f y s 0
0 0
f y f x vers f z s f y f y vers c f y f z vers f x s 0
4.1.1微分运动
【例题】已知坐标系{A}和对基系的微分平移和微分旋转为
0 0 1 10 1 0 0 5 , d 1i 0 j 0.5k , δ 0i 0.1 j 0k A 0 1 0 0 0 0 0 1 试求微分变换dA 0 0 0.1 1 0 0 0 0 ，由dT T , 解： = -0.1 0 0 0.5 1 0 0 0.1 1 0 0 1 10 0 0.1 0 0 0 0 0 00 00 1 0 0 5 0 0 0 0 有dA A -0.1 0 0 0.5 0 1 0 0 0 0 0.1 0.5 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
z a y + y az z ax + x az z a y + y az 0
( δ o) x ( δ o) y ( δ o) z 0
(δ p d ) x (δ p d ) y (δ p d ) z 0
4.1.1微分运动和广义速度
ny oy ay 0 0 0
nz oz az 0 0 0
( p n) x ( p o) x ( p a)x nx ox ax
( p n) y ( p o) y ( p a) y ny oy ay
( p n) z d x d ( p o) z y ( p a)z d z nz x oz y az z
d y =δ ( p o) d o T d x T d z =δ ( p a ) d a T d y
T T T
x =δ n， y =δ o， z =δ a
nx o x T d z ax T x 0 T y 0 T z 0
dT =[Trans(d x , d y , d z ) Rot ( f , d ) I ]T =T (4.2)
(4.1)
4.1.1微分运动
1 0 Trans(d x , d y , d z ) 0 0 0 1 0 0 0 dx 0 dy , 微分平移矢量d id x jd y kd z 1 dz 0 1
T
由a (b c) b (c a), a (a c) 0
4.1.1微分运动和广义速度 d =δ ( p n) d n d =n ((δ p) d )
T T x x
由矢量性质a (b c ) c (a b)
0 T z T z 0 T 对比 T y T x 0 0 T d x =δ ( p n) d n
z ny + y nz n + n = z x x z z ny + y nz 0 (δ n) x (δ n) y = (δ n) z 0
z oy + y oz z ox + x oz z oy + y oz 0 (δ a ) x (δ a ) y (δ a ) z 0
dT =T [Trans( T d x , T d y , T d z ) Rot ( T f , d ) I ] T T
0 T z T 类似地可得： T y 0 T z 0
T
(4.3)
Trans( T d x , T d y , T d z )表示对于给定坐标系{T }的微分平移变换，
工业机器人技术
机电工程学院 黎萍
4. 操作臂的雅可比
在位移研究的基础上，进行速度分析，研究操作空间速度
与关节空间速度之间的线性映射关系----雅可比矩阵。
4.1 雅可比矩阵
4.2 力雅可比 4.3 雅可比的若干问题讨论
4.1 雅可比矩阵
• 微分运动 • 雅可比矩阵的定义及意义 • 雅可比矩阵的构造
0
0
0
dx dy dz 0
绕f 的微分旋转d 等价于分别绕三个轴x, y和z的微分旋转， x， y 和 z f x d x , f y d y , f z d z
4.1.1微分运动
也可用对于给定坐标系{T }的微分平移和微分旋转来表示微分变换 T +dT =TTrans( T d x , T d y , T d z ) Rot ( T f , d ) Rot ( T f , d )表示给定坐标系绕f 轴的微分旋转d 的变换。
4.1.1微分运动
则相对坐标系{T}的微分运动为：
d x nx o T dy x T d z ax T x 0 T y 0 T z 0
T
y T x
T
0 0
T T d y =δ ( p o) d o d y =o (( δ p) d ) T 0 δ a Tδ o δ δ ( p n ) d n d x T d =δ ( p a ) d a d = a (( p ) d ) z z δa T 0 δ n δ ( p o ) d o d T T T y = δ n ， 和 x =n δ， x T δ o δ n T 0 δ ( p a) d a d zT y =o δ， y =δ o， 0 0 0 0 0 T =δ a T =a δ z z
y x
0 0
x
0
d x nx n dy y d z nz 0 0
ox oy oz 0
ax ay az 0
px py pz 1
z p y + y pz +d x z px + x pz +d y y px + x p y +d z 0
• PUMA560的雅可比
4.1.1微分运动
对机械手进行操作时，经常涉及到机械手位置或姿态的微小 变化，这些变化可由描述机械手位置的齐次变换矩阵的微小 变化来表示。
把对于一个坐标系微分旋转
已知坐标系{T },可表示T +dT 为 T +dT =Trans( d x , d y , d z ) Rot ( f , d )T Trans(d x , d y , d z )表示基系中微分平移d x , d y , d z 变换， Rot ( f , d )表示基系中绕f 轴的微分旋转d 的变换。
T -1T 0 n δ p (n (o ) n) δ (a n) δ (( p n )d n p d ) n n δ ( δ o ) δ a ) ( δ n x y z x x x x o δ o (δ n (n o o) o p0 δ (( o a )) δ ( p o )d o p d ) ) δ o ( δ a ) ( δ y z y y y y =x = p d ) δa (a an) a δ ( o a ) n) 0 δ (( p a )d a a p ( δ ( δ o ) δ a ) ( δ x y z z z z z 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 n) δ a(δ δ ( pa d n n o )o n δ (δ ) n) n (δ p d ) (δ n δa o 0 δ n δ ( p o ) d o ( δ n ) o ( δ o ) o ( δ a ) o ( δ p d ) = a on) δ a n ( pa d a (δ δ (δ o0 ) a δ (δ ) a )a (δ p d ) 0 0 0 0 0 0 0 0