炎德英才四大名校大联考2019年高三考前演练理数(试题)
炎德·英才大联考长沙市一中2019届高三月考试卷(六)数 学(理科)
炎德·英才大联考长沙市一中2019届高三月考试卷(六)数 学(理科)长沙市一中高三理科数学备课组组稿(考试范围：集合与逻辑、算法、函数、导数、三角函数、平面向量、复数、数列、推理与证明、不等式、计数原理、二项式定理、概率与统计、直线、平面、简单几何体、空间向量)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页。
时量120分钟。
满分150分。
得分：一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若M ＝{x ||x －1|<2}，N ＝{x |x (x －3)<0}，则M ∩N ＝ A.{x |0<x <3} B.{x |－1<x <2} C.{x |－1<x <3} D.{x |－1<x <0}2.已知函数f (x )＝sin(2x －π4)，若存在α∈(0，π)，使得f (x ＋α)＝f (x ＋3α)恒成立，则α的值是A.π6B.π3C.π4D.π23.已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，又知α∩β＝m ，且n ⊄α，n ⊄β，则“n ∥m ”是“n ∥α且n ∥β”的A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.6名同学安排到3个宿舍，每个宿舍两人，其中甲必须在一号宿舍，乙和丙均不能到三号宿舍，则不同的安排方法种数为A.6B.9C.12D.185.若f (x )＝f 1(x )＝x1＋x ，f n(x )＝f n －1[f (x )](n ≥2，n ∈N *)，则f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＋f 1(1)＋f 2(1)＋…＋f n (1)＝A.nB.9n ＋1C.nn ＋1D.16.已知m 是一个给定的正整数，如果两个整数a ，b 被m 除得的余数相同，则称a 与b 对模m 同余，记作a ≡b (mod m )，例如：5≡13(mod4).若22019≡r (mod7)，则r 可以为A.2019B.2019C.2019D.20197.在△ABC 所在的平面内有一点P ，满足P A ＋PB ＋PC ＝AB ，则△PBC 与△ABC 的面积之比是A.13B.12C.23D.348.若函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈(－1,1]时，f (x )＝1－x 2，函数g (x )＝{ lg|x |(x ≠0)1(x ＝0)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,10]内零点的个数为A.12B.14C.13D.8选择题答题卡二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9.已知a 是实数，(a －i)(1－i)i是纯虚数，则a 的值是 .10.若x 1，x 2，x 3，…，x 2019，x 2019的方差是2，则3(x 1－1),3(x 2－1)，…，3(x 2019－1),3(x 2019－1)的方差是 .11.已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示，则在下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形为 (填你认为正确的图序号)12.已知函数f (x )＝－x 2＋ax －2b .若a ，b 都是区间[0,4]内的数，则使f (1)>0成立的概率是 .13.某机构对小学生作业负担的情况进行调查，设每个学生平均每天作业的时间为x (单位：分钟)，且x ～N (60,100)，已知P (x ≤50)＝0.159.现有1000名小学生接受了此项调查，下图是此次调查中某一项的流程图，则输出的结果大约是 .14.已知关于x 的方程9x －(4＋a )·3x ＋4＝0有两个实数解x 1，x 2，则x 21＋x 22x 1x 2的最小值是 .15.对有10个元素的总体{1,2,3，…，10}进行抽样，先将总体分成两个子总体A ＝{1,2,3,4}和B ＝{5,6,7,8,9,10}，再从A 和B 中分别随机抽取2个元素和3个元素组成样本，用P ij 表示元素i 和j 同时出现在样本中的概率，则P 15＝ ，所有P ij (1≤i <j ≤10)的和等于 .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)已知向量m ＝(3sin x 4，1)，n ＝(cos x 4，cos 2x4)，f (x )＝m ·n .(1)若f (x )＝1，求cos(2π3－x )的值；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 且满足a cos C ＋12c ＝b ，求函数f (B )的取值范围.在高三年级某班组织的欢庆元旦活动中，有一项游戏规则如下：参与者最多有5次抽题并答题的机会.如果累计答对2道题，立即结束游戏，并获得纪念品；如果5次机会用完仍未累计答对2道题，也结束游戏，并不能获得纪念品.已知某参与者答对每道题答对的概率都是23，且每道题答对与否互不影响.(1)求该参与者获得纪念品的概率；(2)记该参与者游戏时答题的个数为ξ，求ξ的分布列及期望.如图，在体积为1的三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ⊥AC ，AC ＝AA 1＝1，P 为线段AB 上的动点.(1)求证：CA 1⊥C 1P ；(2)当AP 为何值时，二面角C 1－PB 1－A 1的大小为π6已知函数f (x )＝－x 2＋ax －ln x (a ∈R ).(1)求函数f (x )既有极大值又有极小值的充要条件；(2)当函数f (x )在[12，2]上单调时，求a 的取值范围.某旅游景区的观景台P 位于高(山顶到山脚水平面M 的垂直高度PO )为2km 的山峰上，山脚下有一段位于水平线上笔直的公路AB ，山坡面可近似地看作平面P AB ，且△P AB 为等腰三角形.山坡面与山脚所在水平面M 所成的二面角为α(0°＜α＜90°)，且sin α＝25.现从山脚的水平公路AB 某处C 0开始修建一条盘山公路，该公路的第一段、第二段、第三段…，第n －1段依次为C 0C 1，C 1C 2，C 2C 3，…，C n －1C n (如图所示)，且C 0C 1，C 1C 2，C 2C 3，…，C n －1C n 与AB 所成的角均为β，其中0＜β＜90°，sin β＝14.试问：(1)每修建盘山公路多少米，垂直高度就能升高100米.若修建盘山公路至半山腰(高度为山高的一半)，在半山腰的中心Q 处修建上山缆车索道站，索道PQ 依山而建(与山坡面平行，离坡面高度忽略不计)，问盘山公路的长度和索道的长度各是多少？(2)若修建x km 盘山公路，其造价为x 2＋100 a 万元.修建索道的造价为22a 万元/km.问修建盘山公路至多高时，再修建上山索道至观景台，总造价最少.已知正项数列{a n}的首项a1＝12，函数f(x)＝x1＋x，g(x)＝2x＋1x＋2.(1)若正项数列{a n}满足a n＋1＝f(a n)(n∈N*)，证明：{1a n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；(2)若正项数列{a n}满足a n＋1≤f(a n)(n∈N*)，数列{b n}满足b n＝a nn＋1，证明：b1＋b2＋…＋b n<1；(3)若正项数列{a n}满足a n＋1＝g(a n)，求证：|a n＋1－a n|≤3 10·(37)n－1.炎德·英才大联考长沙市一中2019届高三月考试卷(六)数学(理科)参考答案一、选择题1.A2.D3.C4.B5.A6.C7.C 解：由P A ＋PB ＋PC ＝AB 得P A ＋PB ＋BA ＋PC ＝0，即PC ＝2AP ，所以点P 是CA 边上的三等分点，故S △PBC ∶S △ABC ＝2∶3.8.B 解：如图，当x ∈[0,5]时，结合图象知f (x )与g (x )共有5个交点，故在区间[－5,0]上共有5个交点；当x ∈(0,10]时，结合图象知共有9个交点，故函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,10]上共有14个零点.二、填空题9.－1 10.18 11.①② 12.96413.15914.2 解：原方程可化为(3x )2－(4＋a )·3x ＋4＝0，∴3x 1·3x 2＝4，∴x 1＋x 2＝2log 32，∴x 1x 2≤(log 32)2.∴x 21＋x 22x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2x 1x 2＝4(log 32)2x 1x 2－2≥2. 15.1410 解：(1)由题意有：P 15＝C 13·C 25C 24·C 36＝14.(2)当1≤i <j ≤4时，P ij ＝1C 24＝16，这样的P ij 共有C 24个，故所有P ij (1≤i <j ≤4)的和为16·6＝1；当5≤i <j ≤10时，P ij ＝C 14·C 22C 36＝15.这样的P ij 共有C 26＝15个，故所有P ij (5≤i <j ≤10)的和为15·15＝3； 当1≤i ≤4,5≤j ≤10时，P ij ＝14，这样的P ij 共有4·6＝24，所有P ij (1≤i ≤4,5≤j ≤10)的和为24·14＝6，综上所述，所有P ij (1≤i <j ≤10)的和等于1＋3＋6＝10. 三、解答题16.解：(1)∵f (x )＝m ·n ＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin(x 2＋π6)＋12，而f (x )＝1，∴sin(x 2＋π6)＝12.(4分)又∵2π3－x ＝π－2(x 2＋π6)，∴cos(2π3－x )＝－cos2(x 2＋π6)＝－1＋2sin 2(x 2＋π6)＝－12.(6分)(2)∵a cos C ＋12c ＝b ，∴a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋12c ＝b ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝12.又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3.(10分)又∵0<B <2π3，∴π6<B 2＋π6<π2，∴f (B )∈(1，32).(12分)17.解：(1)设“参与者获得纪念品”为事件A ，则P (A )＝1－P (A )＝1－[(13)5＋C 15(13)4(23)]＝232243.(4分) 故该参与者获得纪念品的概率为232243.(5分)(2)ξ的可能取值为2,3,4,5，P (ξ＝2)＝(23)2＝49；P (ξ＝3)＝C 1223·13·23＝827； P (ξ＝4)＝C 1323(13)223＝427；P (ξ＝5)＝C 14(23)(13)3＋C 04(13)4＝19.(8分) 故ξ(10分)Eξ＝2×49＋3×827＋4×427＋5×19＝7927.(12分)18.解：(1)证明：∵AA 1⊥底面ABC ，∴AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB . 又∵AB ⊥AC ，∴以A 为原点，AC ，AB ，AA 1所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系.又∵VABC －A 1B 1C 1＝12AB ×AC ×AA 1＝1，∴AB ＝2.(2分)设AP ＝m ，则P (0，m,0)，而C 1(1,0,1)，C (1,0,0)，A 1(0,0,1)， ∴CA 1＝(－1,0,1)，C 1P ＝(－1，m ，－1)， ∴CA 1·C 1P ＝(－1)×(－1)＋0×m ＋1×(－1)＝0， ∴CA 1⊥C 1P .(6分)(2)设平面C 1PB 1的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则{n ·B 1C1＝0n ·C 1P ＝0，即{ x －2y ＝0－x ＋my －z ＝0.令y ＝1，则n ＝(2,1，m －2)，(9分) 而平面A 1B 1P 的一个法向量AC ＝(1,0,0)， 依题意可知cos π6＝|n ·AC ||n ||AC |＝2(m －2)2＋5＝32，∴m ＝2＋33(舍去)或m ＝2－33. ∴当AP ＝2－33时，二面角C 1－PB 1－A 1的大小为π6.(12分)19.解：(1)∵f ′(x )＝－2x ＋a －1x ＝－2x 2＋ax －1x(x >0)，∴f (x )既有极大值又有极小值⇔方程2x 2－ax ＋1＝0有两个不等的正实数根x 1，x 2. (3分)∴⎩⎨⎧Δ＝a 2－8>0x 1＋x 2＝a 2>0x 1·x 2＝12>0，∴a >22， ∴函数f (x )既有极大值又有极小值的充要条件是a >2 2.(6分)(2)f ′(x )＝－2x ＋a －1x ，令g (x )＝2x ＋1x ，则g ′(x )＝2－1x 2，g (x )在[12，22)上递减，在(22，2]上递增.(8分)又g (12)＝3，g (2)＝92，g (22)＝22，∴g (x )max ＝92，g (x )min ＝2 2.(10分)若f (x )在[12，2]单调递增，则f ′(x )≥0即a ≥g (x )，∴a ≥92.若f (x )在[12，2]单调递减，则f ′(x )≤0，即a ≤g (x )，∴a ≤2 2.所以f (x )在[12，2]上单调时，则a ≤22或a ≥92.(13分)20.解：(1)在盘山公路C 0C 1上任选一点D ，作DE ⊥平面M 交平面M 于E ，过E 作EF ⊥AB 交AB 于F ，连结DF ，易知DF ⊥C 0F .sin∠DFE ＝25，sin ∠DC 0F ＝14.∵DF ＝14C 0D ，DE ＝25DF ，∴DE ＝110C 0D ，所以盘山公路长度是山高的10倍，索道长是山高的52倍，所以每修建盘山公路1000米，垂直高度升高100米.从山脚至半山腰，盘山公路为10km.从半山腰至山顶，索道长2.5km.(6分)(2)设盘山公路修至山高x (0＜x ＜2)km ，则盘山公路长为10x km ，索道长52(2－x )km.设总造价为y 万元，则y ＝(10x )2＋100a ＋52(2－x )·22a ＝(10x 2＋1－52x )a ＋102a .令y ′＝10axx 2＋1－52a ＝0，则x ＝1.当x ∈(0,1)时，y ′＜0，函数y 单调递减；当x ∈(1,2)时，y ′>0，函数y 单调递增，∴x ＝1，y 有最小值，即修建盘山公路至山高1km 时，总造价最小，最小值为152a 万元.(13分)21.证明：(1)∵a n ＋1＝f (a n )＝a n 1＋a n ，∴1a n ＋1＝1＋a n a n ＝1a n ＋1，即1a n ＋1－1a n＝1，∴{1a n }是以2为首项，1为公差的等差数列. ∴1a n ＝2＋(n －1)，即a n ＝1n ＋1.(3分) (2)证明：∵a n ＋1≤a n 1＋a n ，a n >0，∴1a n ＋1≥1＋a n a n ，即1a n ＋1－1a n≥1.当n ≥2时，1a n －1a 1＝(1a 2－1a 1)＋(1a 3－1a 2)＋…＋(1a n －1a n －1)≥n －1，∴1a n ≥n ＋1，∴a n ≤1n ＋1. 当n ＝1时，上式也成立，∴a n ≤1n ＋1(n ∈N *)，∴b n ＝a n n ＋1≤1(n ＋1)2<1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴b 1＋b 2＋…＋b n <(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)＝1－1n ＋1<1.(8分)(3)∵a 1＝12，a 2＝g (a 1)＝45，a 2－a 1＝45－12＝310>0.又∵a n ＋1－a n ＝2a n ＋12＋a n －2a n －1＋12＋a n －1＝3(a n －a n －1)(a n ＋2)(a n －1＋2)，由迭代关系可知，a n ＋1－a n >0，∴a n ≥a 1＝12. 又∵(2＋a n )(2＋a n －1)＝(2＋2a n －1＋12＋a n －1)(2＋a n －1)＝5＋4a n －1≥7， ∴3(2＋a n )(2＋a n －1)≤37， ∴|a n ＋1－a n |＝3(2＋a n )(2＋a n －1)|a n －a n －1|≤37|a n －a n －1|， ∴|a n ＋1－a n |≤37|a n －a n －1|≤(37)2|a n －1－a n －2|≤…≤(37)n －1|a 2－a 1|＝310(37)n －1.(13分)。
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四省名校2019届高三第三次大联考数学(理)试题Word版含解析
四省名校2019届高三第三次大联考数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z 满足i z i =-)1(（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．21-B ．21C ．i 21-D ．i 212．某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形，若该几何体的体积为1442cm ，则=d （ ）A ．14cmB ．13cmC ．12cmD ．11cm 3．设集合}2|{},20|{2x x R x N x R x M ≥∈=≤<∈=，则（ ） A ．M x N x ∈∈∀, B ．N x M x ∈∈∀, C ．M x N x ∈∉∃00, D ．N x M x ∉∈∃00,4．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得面包成等差数列，且较大的三份之和的71等于较小的两份之和，问最小的一份为（ ） A ．35 B ．310 C ．65 D ．6115．对任意实数x ，有6622105)1)((x a x a x a a x x a ++++=-+ ，若2302=-a a ，则（ ）A ．2B ．2-C ．1123 D ．928- 6．双曲线)0(1222>=-b by x 的一条渐近线截圆0422=-+y y x 为弧长之比是1:2的两部分，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．37．阅读如图所示的程序，若运行结果为35，则程序中a 的取值范围是（ ）A ．]7,6(B ．]7,6[C ．)7,6[D ．)7,6( 8．设215,2ln ,23-===z y x，则（ ）A ．z y x <<B ．x z y <<C ．y x z <<D ．x y z <<9．设函数)0)(3cos(2)(πθθ<<+=x x f ，)('x f 为)(x f 的导函数，若函数)(')()(x f x f x g +=的图象关于原点对称，则=θcos （ ） A ．21-B ．23-C ．21D ．2310．近年来，由于大学生不理智消费导致财务方面的新闻层出不穷，无力偿还校园贷，跳楼自杀也偶有发生，一时间人们对大学生的消费观充满了质疑.为进一步了解大学生的消费情况，对S 城某大学的10000名（其中男生6000名，女生4000名）在校本科生，按性别采用分层抽样的方式抽取了1000名学生进行了问卷调查，其中有一项是针对大学生每月的消费金额进行调查统计，通过整理得如图所示的频率分布直方图.已知在抽取的学生中，月消费金额超过2000元的女生有150人.根据上述数据和频率分布直方图，判断下列说法正确的是（ ）参考数据与参考公式：1305.05.7sin ,258.015sin ,732.1300≈≈=.A ．月消费金额超过2000元的女生人数少于男生人数B ．所调查的同学中月消费金额不超过500元的共有4人C ．样本数据的中位数约为1750元D ．在犯错的概率不超过0.1%的情况下认为月消费金额在2000元以上的大学生与性别有关11．如图，已知抛物线x y E 4:2=的焦点为F ，准线l 与x 轴交于K 点，过点K 的直线m 与抛物线E 相交于不同两点B A ,，且23||=AF ，连接BF 并延长准线l 于C 点，记ACF ∆与ABC ∆的面积为21,S S ，则=21S S （ ）A ．74 B ．54 C ．32 D ．107 12．设函数e xe xf x()(=为自然常数)，x x x g ln )(-=，有下列命题： ①)(x f 有极小值e f =)1(；②),0(0+∞∈∃x ，使得不等式0002)(')(x x g x f +≤（)('x g 为)(x g 的导函数）成立； ③若关于x 的方程0)(=-t x f 无解，则t 的取值范围为),0[e ；④记)()()(x g x f x F λ-=，若)(x F 在)2,21(∈x 上有三个不同的极值点，则λ的取值范围为)2,(e e . 其中真命题的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥+≤052301y x y x x ，y x z -=2，则z 的最小值为 ．14．设}{n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，若362a a =，则=36S S ． 15．已知直三棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）111C B A ABC -各顶点都在同一球面上，且1AA AC AB ==，0120=∠BAC ，若此球的表面积等于π20，则=AB ．16．如图，在ABC ∆中，已知21=，P 为AD 上一点，且满足m 94+=，若ABC ∆的面积为3，3π=∠ACB ，则||的最小值为.三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知函数)sin 3(cos cos 2)(x x x x f +=. （1）当]127,24[ππ∈x 时，求)(x f 的值域；（2）在ABC ∆中，若A B BC B f sin 3sin ,3,1)(==-=，求ABC ∆的面积.18．在如图所示的几何体中，⊥EA 平面ABCD ，四边形ABCD 为等腰梯形，BC AD //，BC AD 21=，1=AD ，060=∠ABC ，AC EF //，AC EF 21=.（1）证明：CF AB ⊥；（2）当二面角D EF B --的余弦值为1010时，求线段CF 的长. 19．2018年6月14日，第二十一届世界杯足球赛将在俄罗斯拉开帷幕.某地方体育台组织球迷对德国、西班牙、阿根廷、巴西四支热门球队进行竞猜，每位球迷可从四支球队中选出一支球队，现有三人参与竞猜. （1）若三人中每个人可以选择任何一支球队，且选择每个球队都是等可能的，求四支球队中恰好有两支球队有人选择的概率；（2）若三人中有一名女球迷，假设女球迷选择德国队的概率为31，男球迷选择德国队的概率为52，记ξ为三人中选择德国队的人数，求ξ的分布列和数学期望.20.如图，在平面直角坐标系中，已知点)0,1(F ，过直线l ：2=x 左侧的动点P 作l PH ⊥于点H ，HPF ∠的角平分线交x 轴于点M ，且||2||MF PH =，记动点P 的轨迹为曲线Γ.（1）求曲线Γ的方程；（2）过点F 作直线m 交曲线Γ于B A ,两点，点C 在l 上，且//BC x 轴，试问：直线AC 是否恒过定点？请说明理由.21．设函数))(1(ln )1()(R a x a x x x f ∈--+=.（1）当1=a 时，求)(x f 的单调区间；（2）若0)(≥x f 对任意),0[+∞∈x 恒成立，求实数a 的取值范围； （3）当)2,0(πθ∈时，试比较)ln(tan 21θ与)4tan(πθ-的大小，并说明理由. 22．在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程化为θρsin 6=，点P 的极坐标为)4,2(π，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系.（1）求曲线C 的直角坐标方程和点P 的直角坐标；（2）过点P 的直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，若||2||PB PA =，求||AB 的值. 23.已知函数|12||2|)(-++=x a x x f ,1256)(--=x x x g . （1）当3=a 时，解不等式6)(≤x f ；（2）若对任意]25,1[1∈x ，都存在R x ∈2，使得)()(21x f x g =成立，求实数a 的取值范围.四省名校2019届高三第三次大联考数学（理）试题答案一、选择题1-5：BCBAB 6-10：CACDD 11、12：CC 二、填空题13．3- 14．3 15．2 16．34三、解答题17．解：（1）)]12(cos 212sin 23[2)(++=x x x f 1)62sin(2++=πx∵]127,24[ππ∈x ，∴]34,4[62πππ∈+x当262ππ=+x ，即6π=x 时，)(x f 取得最大值3；当3462ππ=+x ，即127π=x 时，)(x f 取得最小值31-，故)(x f 的值域为]3,31[-. （2）设ABC ∆中角C B A ,,所对的边分别为c b a ,, ∵,1)(-=B f ∴1)62sin(-=+πB ，∵π<<B 0，即62626ππππ+<+<B ，∴2362ππ=+B ，得π32=B .又∵3=BC ，即3=a ，A B sin 3sin =，即a b 3=，∴3=b 由正弦定理得Bb A a sin sin =，解得21sin =A∵30π<<A ，∴6π=A ，∴6π=C∴433213321sin 21=⨯⨯⨯==∆C ab S ABC .18.解：(1)由题知⊥EA 平面ABCD ，⊂BA 平面ABCD ,∴AE BA ⊥过点A 作BC AH ⊥于H 点，在ABH Rt ∆中，060=∠ABH ，21=BH ，得1=AB ， 在ABC ∆中，360cos 20222=⋅-+=BC AB BC AB AC ∴22BC AC AB =+∴AC AB ⊥且A EA AC = ， ∴⊥AB 平面ACFE 又∵⊂CF 平面ACFE ∴CF AB ⊥.（2）以A 为坐标原点，AE AC AB ,,分别为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系，设)0(>=a a AE ，则)0,0,1(B ，),0,0(a E ，),23,0(a F ，)0,23,21(-D ， ∴),0,1(a -=，),23,1(a -=，),23,21(a -=，),0,21(a = 设),,(z y x =为平面BEF 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=++-=⋅=+-=⋅023az y x az x ，令a x =得)1,0,(a =，同理可求得平面DEF 的一个法向量)1,0,2(-=a ，1010|14112||||||||,cos |222=+⨯+-==><a a a n m n m ， 化简得015424=+-a a 解得1=a 或21=a ∵二面角D EF B --为锐二面角，经验证21=a 舍去， ∴1=a .作AC FM ⊥于M 点，则M 为AC 中点， ∴2722=+=CM FM CF . 19.解：（1）设恰好有两支球队被人选择为事件A ，由于三人等可能的选择四支球队中的任意一支，有34种不同选择，每种选择可能性相等，故恰好有两支球队被人选择有2423C C 种不同选择，所以1694)(32423==C C A P . 由题知3,2,1,0=ξ，且256)53(32)0(2=⨯==ξP ，2511258253535232)53(31)1(122=+=⨯⨯⨯+⨯==C P ξ，154758254)53(32535231)2(212=+=+⨯⨯⨯==C P ξ, 754)53(31)3(2=⨯==ξP ∴ξ的分布列为∴151775431542251112560)(=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE . 20、（1）设),(y x P ，由题可知||||PF MF =，所以22||||||||==PH MF PH PF ，即22|2|)1(22=-+-x y x ，化简整理得1222=+y x ， 即曲线Γ的方程为1222=+y x . （2）由已知可得直线m 的斜率不为0， ∴可设直线m 的方程为1+=ny x ，联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=12122y x ny x 消去x得012)2(22=-++ny y n ，0>∆恒成立， 记),(),,(2211y x B y x A ，则),2(2y C ， 则1,21,2211221221+=+-=+-=+ny x n y y n n y y ， ∴直线AC 的斜率为2121--=x y y k ，直线AC 的方程为)2(21212---=-x x y y y y ， 即])2(2[22112121y y x y x x y y y --+---=， 又21)2(22222)1()2(222222122112=++++=-+--=--y n n n ny y n n ny y y y x y ，∴直线AC 的方程为)23(2)212(2121121---=+---=x x y y x x y y y ，∴直线AC 过定点)0,23(N .21.解：（1）当1=a 时，)1(ln )1()(--+=x x x x f ，x x x f 1ln )('+=， 设)0(,1ln )(>+=x x x x g则21)('x x x g -=，当)1,0(∈x 时，)(x g 单调递减，当),1(+∞∈x 时，)(x g 单调递增，01)1()(min >==g x g ，∴0)('>x f ，)(x f 在区间),0(+∞上单调递增，无单调递减区间.（2）a x g a xx x f -+=-++=1)(11ln )('，由（1）可知)(x g 在区间),1[+∞上单调递增， 则1)1()(=≥g x g ，即)('x f 在区间),1[+∞上单调递增，且a f -=2)1('①当2≤a 时，0)('≥x f ，)(x f 在区间),1[+∞上单调递增，∴0)1()(=≥f x f 满足条件；②当2>a 时，设)1(11ln )(≥-++=x a x x x h ，则22111)('xx x x x h -=-=， ∴)(x h 在区间),1[+∞上单调递增，且02)1(<-=a h ，01)(>+=-a a ee h∴],1[0a e x ∈∃使得0)(0=x h ∴当),1[0x x ∈时，0)(<x h ，)(x f 单调递减，即),1(0x x ∈时，0)1()(=<f x f ，不满足题意. 综合上述，实数a 的取值范围为]2,(-∞.（3）由（2）可知，取2=a ，当1>x 时，0)1(2ln )1()(>--+=x x x x f ，即11ln 21+->x x x ， 当10<<x 时，11>x， ∴112ln 11111ln 21+-<⇔+->x x x xx x ， 又∵1tan 1tan )4tan(+-=-θθπθ， ∴当40πθ<<时，)4tan()ln(tan 21,1tan 0πθθθ-<<<； 当4πθ=时，)4tan()ln(tan 21,1tan πθθθ-==； 当24πθπ<<时，1tan >θ，)4tan()ln(tan 21πθθ->. 22、（1）θρsin 6=，即θρρsin 62=，由θρθρsin ,cos ==y x ，有y y x 622=+，∴曲线C 的直角坐标方程为9)3(22=-+y x ， P 点的直角坐标为)1,1(.（2）设直线l 的倾斜角为)0(πθθ<≤，则直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+=+=θθsin 1cos 1t y t x （t 为参数）， 将其代入y y x 622=+，可得04)sin 2(cos 22=--+t t θθ，记21,t t 为方程的两根，由0>∆，得),0[πθ∈，421-=t t∵||2||PB PA =，∴212t t -=或122t t -=，当212t t -=时，2,2221-==t t 或2,2221=-=t t ∴23||||21=-=t t AB ，当122t t -=时，同理23||=AB ， ∴23||=AB .23.解：（1）当3=a 时，|12||32|)(-++=x x x f ， ⎪⎩⎪⎨⎧≤-++--<⇔≤621)32(236)(x x x x f 或⎪⎩⎪⎨⎧≤-++≤≤-621322123x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤-++>612)32(21x x x 解得12≤≤-x即不等式解集为}12|{≤≤-x x .（2）∵|1||122||12||2|)(+=+-+≥-++=a x a x x a x x f ， 当且仅当0)12)(2(≤-+x a x 时，取等号，∴)(x f 的值域为)|,1[|+∞+a又1256)(--=x x x g 1223--=x 在区间]25,1[上单调递增， ∴)25()()1(f x g g ≤≤，即)(x g 的值域为]25,1[， 要满足条件，必有)|,1[|]25,1[+∞+⊆a ， ∴1|1|≤+a ，解得02≤≤-a∴a 的取值范围为]0,2[-.。
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第卷
本卷包括必考题和选 考 题 两 部 分!第 !'#! 题 为 必 考 题每 个 试 题 考 生 都 必 须 作
答!第###'题为选考题考生根据要求作答!
二填空题本大题共(小题每小题"分共#$分!
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'&回答第卷时将答案写在答题卡上写在本试卷上无效 (&考试结束后将本试卷和答题卡一并交回
第卷
一选择题本题共小题每小题分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合
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以坐标原点为极点$# 轴的正半轴为极轴建立极坐标系$圆 ( 的极坐标方程为) *(9:4$已知直线/与圆( 交于+ $: 两点$#+:#)槡7! !!"求的值+ !#"已知2!!$$"$若直线/与圆( 交于"$$ 两点$求#2!"#,#2!$#的值! #'!本小题满分!$分 已知实数,)$$函数.!#")##,##*###*,#! !!"当,)!时$求不等式.!#")!的解集+ !#"若.!#"的图象与# 轴围成的平面区域的面积大于6小于!#$求,的取值范围!
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('*%)$对称!对于! 中的任意点" 与# 中的任意点$$#"$#的最小值等于!!
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!6!已知数列&,3'满足,!)!$,#)! ($若,3!,3*!,#,3,!")',3*!-,3,!!3$#$3(1 "$
则数列&,3'的通项,3)!!!!!!! 三解答题共7$分!解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤!
姓!!名!!!!!!
准考证号!!!!!!
绝密"启用前
#$!%年普通高等学校招生全国统一考试考前演练 二
数 学 理科
注意事项
!&本试卷分第卷 选择题和第卷 非选择题两部分答卷前考生务必将自 己的姓名准考证号填写在答题卡上
#&回答第卷时选出每小 题 答 案 后 用 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 如需改动用橡皮擦干净后再选涂其它答案标号写在本试卷上无效
+&可正可负
.&恒大于$/&可能为$0 Nhomakorabea恒小于$
%!已知直线/*平面$直线 0+平面$则下列命题正确的是
+&若*$则/+0
.&若/*0$则+
/&若/+$则 0*
0&若+$则/*0
!$!已知1!$1# 是双曲线,###*-'##)!!,)$$-)$"的左右焦点$点 2 在双曲线上且不与顶
!7!本小题满分!#分
在2"$( 中$内角"$$$( 的对边分别为,$-$4$且!#,*4"9:4$)-9:4(!
!!"求角$ 的大小+
!#"若-)'$当2"$( 的面积取得最大值时$求2"$( 内切圆的半径!
数学 !理科"试题 第'!页 !共"页"
!8!本小题满分!#分 我国是世界上严重 缺 水 的 国 家 之 一$城 市 缺 水 问 题 较 为 突 出!某 市 为 了 节 约 生 活 用 水$计划在本市试行居民生活用水定额管理!即确定一个居民月均用水量标准*用水 量不超过,的部分按照平价收费$超过, 的部分按照议价收费"!为了较为合理地确 定出这个标准$通过抽样获得了!$$位居民某年的月均用水量!单位*吨"$制作了频 率分布直方图$
!'!已知向量$$且##)!$##)#$则#'*##的取值范围是!!!!!!!
!(!已知!##,!"!#*#"%),$,,!!#*!",,#!#*!"#,,,,!!!#*!"!!$则,!,,#,, ,,!!的值为!!!!!!#
/'$# !"!设不等式组.#$!
所表示的平面区域是!$平面区域# 与! 关于直线"#*
!!"用样本估计总体$如果希望8$<的居民每月的用水量不超出标准$则月均用水量 的最低标准定为多少吨$并说明理由+
!#"若将频率视为概率$现从该市某大型生活社区随机调查(位居民的月均用水量$ 其中月均用水量不超过!!"中最低标准的人数为 5$求 5 的分布列和数学期望!
!%!本小题满分!#分 如图$在四棱锥2*"$() 中$2"*平面 "$()$,"$() ,"())%$=$,$"(),("))6$=$"()"2)($* 是2) 的中点! !!"求证*2(*"*+ !#"求二面角"*(**) 的余弦值!
#!!本小题满分!#分 已知函数.!#")(#*,25#*! ###*#$其中, 为正实数! !!"求函数').!#"的单调区间+ !#"若函数').!#"有两个极值点#!$##$求证*.!#!",.!##"&6*25,!