2015 年“认证杯”数学中国数学建模A题
2015年数学建模国赛A题
二、 问题分析
问题一要建立直杆影子长度变化的数学模型， 首先需知道太阳影子长度计算 公式，故引入太阳高度角[1]这个概念。即若已知某时刻太阳高度角的大小和直 杆高度，根据其满足的三角函数关系便可得到此时太阳影子长度。太阳高度角与 观测地地理纬度、地方时角和太阳的赤纬[2]相关。其中太阳赤纬是太阳直射点 所在纬度，与日期有关；时角由当地经度及其所用时区时间决定，故根据影长、 太阳赤纬、时角计算公式可求得直杆影子长度变化模型，并根据模型分析影子长 度关于各参数的变化规律。将附件一中直杆的有关数据直杆影长变化模型中，可 求出该直杆的具体影长变化公式。根据所建立的模型，运用 MATLAB 软件便可得 到影子长度随时间的变化曲线。 问题二需根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据， 建立数学 模型确定直杆所处的地点。首先由问题一可推测影子长度与时间的关系，故可将 太阳影子长度与对应时间进行拟合，得到影长与时间关系模型。当某个时刻影长 得到极小值时，该时刻为太阳与直杆距离最近，即地方时正午 12 时，结合当地 所使用的标准时间便可得到当地经度。 最后利用太阳高度角与直杆长度以及影长 满足的三角关系式，便可得到影长关于直杆高度、直杆所在地点的纬度的函数关 系式，即得到了有关太阳影子顶点坐标与直杆地点经纬度的模型。将附件一中影 子顶点坐标数据应用于该直杆位置模型，可得到直杆所在位置。用相对误差分析 法分析误差[3](168-169 页)，若所得的相对误差小于 2.5%，认为得到的模型合 理。 问题三可根据光照成影原理和太阳高度角计算公式建立影长与时间变 化模型，根据相关数据，运用 MATLAB 软件拟合可得到直杆所在位置的经纬 度。令年份均为 2015 年，根据太阳赤纬角计算公式，可求解具体的日期。 将附件 2 和附件 3 时间和对应直杆影长数据分别代入模型中，通过拟合计
2015 年“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛 第一阶段 A 题绳结
2015 年“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛
第一阶段
A 题绳结
给绳索打结是人们在日常生活中常用的技能。
对登山、航海、垂钓、野
外生存等专门用途，结绳更是必不可少的技能之一。
针对不同用途，有多种绳结的编制方法。
最简单的绳结，有时称为单结，死结或反手结，英文称为Overhand Knot，是最常用的绳结之一，在各种复杂绳结中也是经常出现的
基本元素。
图1: 单结的一种打法
这种绳结有两种打法，在三维空间中分别是对方的镜像。
图2: 单结的另一种打法
这种结有一个特点，如果用于捆扎物体，由于无法彻底拉紧，所以很容易
松脱，无法单独使用。
但如果能够彻底拉紧，对较软和细的绳子而言，相当难以解开。
所以用于捆扎物体时，可以连打两次单结，并将第二个结彻底拉紧，
图3: 拉紧后的单结
这就构成一个难以自动松开的结。
最常见的系鞋带方法，在本质上就是连打两次单结。
为了便于解开，所以在打第二次结的时候需要把鞋带折成双股。
第一阶段问题：
1. 在连打两次单结的时候，两次使用相同的打法还是互为镜像，得到的
结果是不同的。
结的结构不同，是否容易自动松脱的性质可能也有区别。
这
可以来判断系紧的鞋带是否容易自动松开。
请你建立合理的数学模型，分析
这两种打法中，哪种更容易自动松脱。
2. 一般的经验表明，绳索的直径、软硬和表面的摩擦力等机械性能都会
影响打的绳结是否容易自动松脱。
请你建立合理的数学模型，向大家解释在
不同的打结方法下，绳索的机械性能与绳结是否容易自动松脱之间的关系。
2015年全国大学生数学建模竞赛A题
§ 3 模型的假设
1、所收集的数据资料都是真实可靠的；
2
2、文章所统计的出租车均正常运营； 3、出租车和乘客不会中途中断交易； 4、假设乘客使用打车软件均呼叫出租车； 5、匹配程度只与乘客对打车软件服务平台的需求量与司机对打车软件服务平台的供给 量有关。
§ 4 名词解释与符号说明
一、名词解释 出行强度：每人每天出行次数，它可以反映城市交通服务水平； 出租车使用率：在各种出行方式中，选择出租车出行所占比例； 二、符号说明 序号 符号 含义 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 qij xi λi ci tj pij bj Amn α β y1 y2 te 表示第 i 个城市第 j 个时段出租车的需求量 表示第 i 个城市的人口数 表示第 i 个城市出行强度 表示第 i 个城市出租车使用率 表示第 j 个时段出租车需求比 表示第 i 个城市第 j 时段的匹配程度 表示第 j 个城市出租车总量 表示准则层对方案层的判断矩阵 表示乘客使用打车软件打车意愿 表示司机使用打车软件接单意愿 表示打车软件公司对乘客的补贴金额 表示打车软件公司对司机的补贴金额 表示某一时段出租车需求比
§ 5 模型的建立与求解
问题一的分析与求解 1、匹配程度时间函数模型 日常生活中，当需求与供给越接近，既不会造成需求得不到满足，也不会造成资源
3
浪费，同时表示此时匹配程度较好。由此说明匹配程度由需求和供给共同决定。所以建 立出租车匹配程度时间函数，需要出租车在所有出行方式中的占用率和出租车的总量。 查阅相关文献[1-2]可得以下数据，如表格 1 所示。 表格 1 基本数据 人口数 （万人） 出行强度 （次/人.天） 出 租 车 占 用 率 出租车总量（万 （%） 辆） 北京（1） 1917 2.64 9.01 6.6646 广州（2） 625.33 1.86 6.25 2.0300 成都（3） 533.96 2.56 7.60 1.4898 济南（4） 360 1.88 15.04 0.8043 哈尔滨（5） 495 2.54 18.23 1.4300 人们每日日常生活，相对比较规律，所以在出行规律也存在一定的相似性。我们通 过查阅相关文献[3]，做出每天从早上 6:30 至晚上 22:00 每隔半小时的出租车需求百分比 图，如图 1 所示。
2015全国大学生数学建模竞赛A题解析
V
是' 无变位时的显示储油量。
i
以下为附加内容
不需要的朋友下载后 可以编辑删除，谢谢
让更多的农民成为新型职业农民 中央农业广播电视学校 刘天金
2013˙05˙07 陕西
农业部部长韩长赋： 这是一项基础性工程、创新性工作，
要大抓特抓、坚持不懈。
——让更多的农民成为新型职业农民（目标） ——生产更多更好更安全的农产品供给社会（方向）
由于本问较复杂，需要分情况建立模型，可以先考 虑只发生纵向变位的情况。
三、解题思路（续）
球冠Ⅰ的体积表达式为：
其中
三、解题思路（续）
球冠III的体积表达式为：
其中
三、解题思路（续）
圆柱体II的体积表达式为：
其中
三、解题思路（续）
在不考虑罐体横向变位的情况下（即 ） ，0 储油罐 的体积与辅助变量 的H 关1 系表达式为：
2r,
r(1cos)h纵2r
由于罐体只产生纵向变位时油位高度 与h 纵储油量 V (, h纵) 的对应关系已得到，再根据上面推导出的 h 与纵 同 时发生纵向和横向变位时油位高h，就可以求出一般情 况下，即罐体同时产生纵向和横向变位的油位高h与储
油量V之间的关系模型 VF(。,,h)
三、解题思路（续）
二、问题分析（续）
（3）对于（2）得到的实验罐在纵向倾斜变位情形 下油位高度与储油量的模型，将变位参数 4.1 代入 计算，得出修正后的油位高度间隔为1cm的罐容表标定 值。并与原标定值比较，分析罐体变位的影响。
第二部分：根据实际检测数据，识别实际储油罐罐 体是如何变位的，估计出变位参数，给出实际罐罐容表 的修正标定方法和结果。并分析检验模型的正确性和方 法的可靠性。
2015认证杯数学中国数学建模网络挑战赛第二阶段成绩初稿
了一定的
方法探
讨，但是
73
三等奖
结论不够 清晰，缺
本科组
尹鑫卫
贺治杰
高亚平
少问题二
的结论和
实施方案
。
模型建立
过程较详
66
三等奖
细，仿真 结果尚
本科组
翟婷婷
崔广智
陈宜
可，分析
不佳
一些重要
数据来自
60 优秀奖 文献，并 本科组 王士林 曲文雅 张振振
没有给出
合理说明
单纯基于
单字母频
率的破
译, 在噪
70
二等奖
通过三种
方法进行
69
三等奖
破译，内 容表述较
本科组
褚柯
黄晶晶 林雄
为充分，
参考不佳
主要基于
退火算法
等进行研
66 三等奖 究，算法 本科组 王怡璐 张苗苗 姚驍玲
主体来源
文献，分
析不完整
摘要还可
以，参考
了一些文
60 优秀奖 献，但是 本科组 蒯杨 黄达梦 文翰锋
问题二明
显深入不
够
思路较
好，分析
的也比较
声干扰下 是很困难
本科组
吴兴蛟
刘智文
南峰涛
的.缺少
算法破译
效果评价
方法.
思路比较
清晰，分
析细致，
75
二等奖
但是模型 实用性不
本科组
赵伟
苏素珠 王兴执
强，论文
排版效果
不好。
摘要不应
该超过一
页，目录
不应该和
正文处在
74
二等奖
一页，问 题二的深
2015年全国大学生数学建模竞赛A题全国二等奖优秀论文设计
太阳影子定位摘要如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法，该技术的日益成熟将有利于对视频中的场景进行大致定位和推算出拍摄时间。
可能会对部分案件的破解等事件产生极大的帮助。
为了更精确的计算视频中的拍摄地点和摄影时间，本文主要基于 MATLAB 与Excel处理软件，运用了遗传优化算法与模拟退火算法等，采用了视频数据化法、图片灰度化等处理手法，使计算更简便精确，使模型更完整可靠。
针对问题一，根据权威文献给出的太阳高度角算法建立模型一，先计算出太阳时角和太阳赤纬角后得到太阳高度角，再经过三角函数转换得到直杆的影长。
随后我们还考虑到因地球的大气状态并非真空状态会使到达地球的阳光折射，于是对太阳高度角进行了修正，使结果更加精确。
针对问题二，可以把这个问题当做是第一问的逆过程。
直杆影子的理论值与实际值的最小误差所对应的经纬度即为最优解。
在模型一的基础上，建立模型二并利用遗传算法计算此优化模型。
利用所给的21组坐标数据得到最优的直杆地点若干。
针对问题三，相较于问题二多了一个未知参数，在问题二的模型中加入这个未知参数即可得到模型三，得到最优的直杆地点与日期若干。
针对问题四，第一问中，利用 MATLAB 将视频每隔1min截取一张图片，把图片灰度化，测出影子、直杆底端与顶端的坐标，算得图中影长。
再根据已知图中影长、直杆实际长度与图中直杆长度的比例算出影长，运用模型二并进行优化后得出结果。
第二问中，运用模型三得到最优的视频的拍摄地点与日期若干，再进行优化得到最后结果关键词：遗传算法太阳高度角模拟退火算法最小二乘拟合问题粒子群算法1一、问题重述如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析技术的一个重要方面。
太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。
现需通过数学建模解决以下四个问题。
2015年数学建模竞赛题目
2015年数学建模竞赛题目（原创实用版）目录1.2015 年数学建模竞赛概述2.竞赛题目分类及解析3.竞赛题目解答思路及方法4.竞赛对学生的意义和影响正文【2015 年数学建模竞赛概述】2015 年数学建模竞赛，即全国大学生数学建模竞赛，是我国面向全国大学生的一项重要的学科竞赛活动。
该竞赛旨在激发大学生学习数学的积极性，提高他们的创新意识和运用数学知识解决实际问题的综合能力，推动大学数学教学体系、教学内容和方法的改革。
【竞赛题目分类及解析】2015 年数学建模竞赛共有 A、B、C 三个题目，分别涉及不同的领域。
A 题：飞行器设计优化题目要求：根据给定的飞行器参数，建立数学模型，并求解最优设计方案。
解析：此题属于优化问题，需要运用线性规划、非线性规划等相关知识。
B 题：水质监测与评价题目要求：分析给定的水质监测数据，建立评价模型，对水质进行评价。
解析：此题涉及数据处理、统计分析、模糊评价等知识。
C 题：智能家居系统题目要求：设计一个智能家居系统，满足给定的功能需求。
解析：此题需要了解图论、动态规划等知识，以解决网络拓扑结构、任务调度等问题。
【竞赛题目解答思路及方法】1.对题目进行仔细阅读，理解题意，明确题目要求。
2.分析题目涉及的领域和知识点，确定解题思路。
3.利用相关数学方法和工具，建立数学模型。
4.求解模型，得到结果。
5.对结果进行分析和检验，撰写论文。
【竞赛对学生的意义和影响】参加数学建模竞赛，对学生具有重要的意义和影响。
首先，它可以激发学生学习数学的兴趣，提高他们的数学素养。
其次，通过解决实际问题，学生可以锻炼自己的创新能力和团队协作能力。
最后，竞赛成绩优秀的学生，还有机会获得奖学金、保研等优惠政策。
总之，2015 年数学建模竞赛题目涉及多个领域，对参赛学生的知识储备和解题能力提出了较高的要求。
2015年数学建模国赛A题全国优秀论文40
三．模型假设
1.假设一天中的太阳赤纬角保持不变； 2.假设附件 4 中视频里的时间为北京时间； 3.假设大气层对太阳光的折射率保持不变； 4.假设影子长度和角度与该点的海拔无关；
四．符号说明
符号
h
表示含义 表示太阳高度角 表示修正后的太阳高度角 表示杆子的长度 表示杆子的影长 表示太阳赤纬角 表示某点的地理纬度 表示某点的地理经度 表示太阳时角 表示大气层的折射率 表示日期 表示某一具体时刻 表示太阳方位角
1
一．问题的背景与重述
1.1 问题的背景 早在 15 世纪时， 定位技术就已经随着海洋探索的开始而产生。 随着社会和科技的不 断发展，我们对定位的需求已不再局限于航海、航空等领域，对于地球上的精确坐标定 位已逐渐成为人们关注的热点问题。对于地球表面经纬度的精确定位，可利用变化的太 阳影子来进行分析，其作为一种直观简便的定位技术，已受到广泛关注。 1.2 问题的重述 太阳影子定位技术是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和 日期的一种方法，请建立合理的数学模型解决以下问题： 1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并根据 建立的模型画出 2015 年 10 月 22 日北京时间 9:00-15:00 之间天安门广场 （北纬 39 度 54 分 26 秒,东经 116 度 23 分 29 秒）3 米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。 2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆 所处的地点，并将模型应用于附件 1 的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。 3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据， 建立数学模型确定直杆 所处的地点和日期，并将模型分别应用于附件 2 和附件 3 的影子顶点坐标数据，给出若 干个可能的地点与日期。 4．附件 4 为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直 杆的高度为 2 米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用该模型给出若干个可能 的拍摄地点。如果拍摄日期未知，是否可以根据视频确定出拍摄地点与日期。
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2015 年“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛第一阶段
A 题绳结
给绳索打结是人们在日常生活中常用的技能。
对登山、航海、垂钓、野
外生存等专门用途，结绳更是必不可少的技能之一。
针对不同用途，有多种绳结的编制方法。
最简单的绳结，有时称为单结，死结或反手结，英文称为Overhand Knot，是最常用的绳结之一，在各种复杂绳结中也是经常出现的
基本元素。
图1: 单结的一种打法
这种绳结有两种打法，在三维空间中分别是对方的镜像。
1
图2: 单结的另一种打法
这种结有一个特点，如果用于捆扎物体，由于无法彻底拉紧，所以很容易
松脱，无法单独使用。
但如果能够彻底拉紧，对较软和细的绳子而言，相当难以解开。
所以用于捆扎物体时，可以连打两次单结，并将第二个结彻底拉紧，图3: 拉紧后的单结
这就构成一个难以自动松开的结。
最常见的系鞋带方法，在本质上就是连打2
两次单结。
为了便于解开，所以在打第二次结的时候需要把鞋带折成双股。
第一阶段问题：
1. 在连打两次单结的时候，两次使用相同的打法还是互为镜像，得到的
结果是不同的。
结的结构不同，是否容易自动松脱的性质可能也有区别。
这可以来判断系紧的鞋带是否容易自动松开。
请你建立合理的数学模型，分析这两种打法中，哪种更容易自动松脱。
2. 一般的经验表明，绳索的直径、软硬和表面的摩擦力等机械性能都会
影响打的绳结是否容易自动松脱。
请你建立合理的数学模型，向大家解释在不同的打结方法下，绳索的机械性能与绳结是否容易自动松脱之间的关系。
3。