量子力学1-2

§2 电流和静磁场
一、电荷守恒定律
1、电流强度和电流密度（矢量） 电流强度和电流密度（矢量） I： 单位时间通过空间任意曲面的电量（单位：安培） 单位时间通过空间任意曲面的电量（单位：安培）
v J:
大小：单位时间垂直通过单位面积的电量 大小： 方向：沿导体内该点上的电流方向 方向：
r r 两者关系： 两者关系： I = dI = J ⋅ dS ∫ ∫
二、毕奥萨伐尔定律
1、毕奥萨伐尔定律（电流决定磁场的实验定律） 毕奥萨伐尔定律（电流决定磁场的实验定律） r v v v v r 上的电流密度， 设 J (x′)为源点 x′上的电流密度，r 为由 x′点到场点 x 的距离， 的距离，则
r 线电流元为： 线电流元为： Idl
r 体电流元为： 体电流元为： JdV
µ0 I r µ0 I = − + e =0 2 2 z 2π r 2π r
(r > a)
(r < a)
r r µ0 I r ∇× B = 2 ez = µ0 J πa
意义： 意义：某点邻域上的磁感应强度的旋度只和该点上的电流密度有 虽然对任何包围着导线的回路都有磁场环量， 关，虽然对任何包围着导线的回路都有磁场环量，但是磁场的旋 度只存在于有电流分布的导线内部， 度只存在于有电流分布的导线内部，而在周围空间中的磁场是无 旋的。 旋的。
又 ∵
Q = ∫ ρdV
V
dQ d ∂ρ ∴ = ∫ ρdV = ∫ dV V ∂t dt dt V
所以有： 所以有：
∫
S
r r J ⋅ dS = −
∫
∂ρ dV V ∂t
d dQ = 0 Q=C ρdV = 0 全空间总电荷守恒 ∫V dt dt
r r r ∂ρ J ⋅ dS = ∫ ∇⋅ JdV = ∫V − dV S ∫ V ∂t r ∂ρ 是任意的， 而V是任意的， ∴ ∇⋅ J = − 是任意的 ∂t ∂ρ r ∂ρ =0 或 ∇⋅ J + =0 ∂t ∂t
r r 当 r > a 时， B ⋅ dl = 2π rB = µ0 I ∫
当 r <a
2 r r µ0 Ir B⋅ dl = 2πrB = a2 ∫
r µ0 I r B= eθ 2π r r µ0 Ir r B= e 2 θ 2π a
r 1 ∂Az ∂A r ∂Ar ∂Az r 1 ∂ 1 ∂Ar r θ ∇× A = ( − )er + ( − )eθ + (rA ) − θ ez r ∂θ ∂z ∂z ∂r r ∂θ r ∂r r ∂Bθ r 1 ∂ r ∂Bθ 1 r ∴∇× B = − er + ( rBθ ) ez = 0 + + Bθ ez ∂z r ∂r ∂r r
r r r r 2 ∴∇× B =∇(∇⋅ A) −∇ A = µ0 J (x′)
五．静磁场的基本方程 u v u v 微分形式： 微分形式： ∇× B = µ0 J
积分形式： 积分形式：
r r B⋅ dl = µ0 0 ∫
S
u v ∇⋅ B = 0
反映静磁场为无源有旋场，磁力线总闭合。它 反映静磁场为无源有旋场，磁力线总闭合。 的激发源仍然是运动的电荷。 的激发源仍然是运动的电荷。 注意：静电场可单独存在，稳恒电流磁场不能 注意： 静电场可单独存在， 单独存在（永磁体磁场可以单独存在， 单独存在 （永磁体磁场可以单独存在 ，且没有 宏观静电场） 宏观静电场）。
S S
r dS θ
v J
v J =
dI dS cosθ
r r r dI = J cosθdS = J ⋅ dS
如果电流由一种带电粒子构成， 如果电流由一种带电粒子构成，设带电粒子的电荷 密度为 ρ ，平均速度为 v 则电流密度为： 则电流密度为：
r r J = ρv
如果有几种带电粒子构成，其电荷密度分别为 ρi ， 如果有几种带电粒子构成， 平均速度为 v
r r r dF = Idl × B
r r r dF = JdV × B
r r r F = J × BdV ∫
三、磁场的环量和旋度方程
1、环路定理
L
r r B⋅ dl = µ0I ∫
式中I 为 通过以L 为边界的任意曲面的电流强度。 为边界的任意曲面的电流强度。
r r r v v v B⋅ dl = ∫ (∇× B) ⋅ dS = µ0I = µ0 ∫ J ⋅ dS ∫
L s s
u v u v ∇× B = µ0 J
磁场的旋度 方程
r J
S
L
2、旋度方程
u v u v ∇× B = µ0 J
1）稳恒磁场为有旋场。 稳恒磁场为有旋场。 应用该公式必须在电流连续分布区域， 2）应用该公式必须在电流连续分布区域， 不连续区只有用环路定理； 不连续区只有用环路定理； 该方程可直接由毕萨定律推出； 3）该方程可直接由毕萨定律推出； 4）它有三个分量方程，但只有两个独立； 它有三个分量方程，但只有两个独立； 它只对稳恒电流磁场成立。 5）它只对稳恒电流磁场成立。
微分形式： 微分形式： ∵由高斯定理
r ∇⋅ J = 0
⑴ 反映空间某点电流与电荷之间的关系，电流线一般不闭合 反映空间某点电流与电荷之间的关系， 若空间各点电荷与时间无关，则为稳恒电流。 ⑵ 若空间各点电荷与时间无关，则为稳恒电流。 即稳恒电流 分布是无源的，其流线必为闭合曲线，没有发源点和终止点。 分布是无源的，其流线必为闭合曲线，没有发源点和终止点。 即恒定电流只能够在闭合回路中通过。 即恒定电流只能够在闭合回路中通过。
i
则电流密度为： 则电流密度为：
v v J = ∑ρivi
i
2、电荷守恒定律
封闭系统内的总电荷严格保持不变。 封闭系统内的总电荷严格保持不变。对于开放系 统单位时间流出区域V的电荷总量等于V 统单位时间流出区域V的电荷总量等于V内电量的减少 率。
r r 积分形式： 积分形式： 单位时间流出封闭曲面总电量为 J ⋅ dS ∫S dQ （流出为正， 流出为正， 闭合曲面内电量的减少率为 − dt 流入为负）， 流入为负），
r µ0 r 1 ∇⋅ A = − ∫ J (x′) ⋅∇′ dV ′ 4π r r r r ∇′ ⋅ (ϕ f ) = (∇′ϕ) ⋅ f +ϕ∇′ ⋅ f
r r µ0 µ0 1 r 1 ∴∇⋅ A = − ∫ ∇′ ⋅[J (x′) ]dV ′ + ∫ r∇′ ⋅ J (x′)dV′ 4π r 4π
v 2 v 2 v 2 v 已知电流密度矢量 J = 10y zex − 2x yey + 2x zez /m2， Ａ/m2，试求 v １）穿过面积 x = 3,2 ≤ y ≤ 3,3.8 ≤ z ≤ 5.2 ，沿 ex 方向的总电流。 方向的总电流。 在上述面积中心处电流密度的大小。 ２）在上述面积中心处电流密度的大小。 ３）在上述面积上电流密度 x 方向的分量的平均 值 Jx 。
例1．电流I均匀分布于半径为a的无穷长直导线内，求空 电流I均匀分布于半径为a的无穷长直导线内， 间各点的磁场强度，并由此计算磁场的旋度。 间各点的磁场强度，并由此计算磁场的旋度。 在与导线垂直的平面上作一半径为r 的圆， 解：在与导线垂直的平面上作一半径为r 的圆，圆心在导 线轴上。由对称性， 线轴上。由对称性，在圆周各点的磁感应强度有相同 数值，并沿圆周环绕方向。 数值，并沿圆周环绕方向。 由安培环路定律得： 由安培环路定律得：
闭合导体
3、安培作用力（通电物体在磁场中受力大小的实验定律） 安培作用力（通电物体在磁场中受力大小的实验定律） 闭合导线 闭合导体
V L 注意:两电流元之间的相互作用力不满足牛顿第三定律。 注意:两电流元之间的相互作用力不满足牛顿第三定律。但两通电闭合导体之 间满足第三定律. 间满足第三定律.
r r r F = Idl × B ∫
四、磁场的散度方程
1、磁场的通量
u u v v B⋅ dS = 0 ∫
S
u v ∇⋅ B = 0
2、磁场的散度方程
u v ∇⋅ B = 0
1）静磁场为无源场 2）它不仅适用于静磁场，也适用于变化磁场。 它不仅适用于静磁场，也适用于变化磁场。
五、磁场旋度和散度公式的证明
r r r µ0 J (x′) × r µ0 r 1 QB = dV ′= − ∫ J (x′) ×∇ dV ′ 4π r 4π ∫ r3 r r r µ0 J (x′) µ0 J (x′) 令 A= = ∇× ∫ dV ′ ∫ r dV′ 4π 4π r
r Idl
r dB
r r
场点上的磁感应强度为： 场点上的磁感应强度为：
r r µ0 Idl × r dB = 4π r3 r r r µ0 Idl × r B= ∫L 4π r3
闭合导线 r
r
r r r µ0 JdV × r dB = 3 4π r r r r µ0 J × r B = 3 dV 4π ∫V r
r ∇⋅ A = 0
r r µ0 r r µ0 r 2 21 ∇ A= ∫ J (x′)∇ r dV ′ = − 4π ∫ J (x′)∇⋅ r3 dV′ 4π r r r r 21 ∇ = －∇⋅ 3 ＝-4πδ ( x − x′) r r
v r −µ0 J 2 ∇ A= 0
v v x = x′ v v x ≠ x′
r =∇× A
r u v ∇⋅ B = ∇⋅ ∇× A = 0
r r r r 2 Q∇× B = ∇× (∇× A) = ∇(∇⋅ A) −∇ A
(
)
r r µ0 µ0 r 1 J (x′) Q∇⋅ A = ∇⋅ dV ′ = ∫ J (x′) ⋅∇ rdV ′ 4π 4π ∫ r