2020学年高中数学第1章导数及其应用1.2导数的运算1.2.3简单复合函数的导数课件苏教版选修2_2
判断复合函数的复合关系的一般方法是从外向里分析，最外层的 主体函数结构是以基本函数为主要形式，各层的中间变量结构也 都是基本函数关系，这样一层一层分析，最里层应是关于自变量 x 的基本函数或关于自变量 x 的基本函数经过有限次四则运算而 得到的函数．
1.指出下列函数的复合关系： (1)y＝cos( 3x＋1)；(2)y＝e3x2＋2；(3)y＝(1＋15x)3.
第1章 导数及其应用
1.2.3 简单复合函数的导数
第1章 导数及其应用
1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则． 2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则 进行一些简单复合函数的求导(仅限于形如 f(ax＋b)的导数)．
1．复合函数的概念 由基本初等函数复合而成的函数，称为复合函数．如 y＝sin 2x 由 y＝sin u 及 u＝_2_x__复合而成． 2．复合函数的求导法则 若 y＝f(u)，u＝ax＋b，则 yx′＝__y_u_′·_u_x_′ _____，即 yx′＝___y_u_′·_a___． 其中 yx′，yu′分别表示 y 关于 _x__的导数及 y 关于_u__的导数．
1．函数 y＝(3x－2)2 的导数 y′＝________． 解析：y′＝2(3x－2)·(3x－2)′＝6(3x－2)． 答案：18x－12
2．若 f(x)＝sin3x＋π4，则 f′π4＝________． 解析：f′(x)＝3cos3x＋π4，所以 f′π4＝－3. 答案：－3
3．设曲线 y＝eax 在点(0，1)处的切线与直线 x＋2y＋1＝0 垂直， 则 a＝________． 解析：由题意知 y′|x＝0＝aeax|x＝0＝a＝2. 答案：2
(2)设 y＝cos u，u＝53π－7x.
则 yx′＝yu′·ux′＝－sin u×(－7)＝7sin53π－7x.
(3)y′＝2
21x－1·(2x－1)′＝
1 2x－1.
(4)y′＝2cos x·(cos x)′＝－2cos x·sin x＝－sin 2x.
复合函数导数的综合应用 已知函数 f(x)＝ln11＋ －xx.求曲线 y＝f(x)在点(0，f(0))处的切 线方程． 【解】 因为 f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)， 所以 f′(x)＝1＋1 x＋1－1 x，f′(0)＝2. 又因为 f(0)＝0，所以曲线 y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为 y ＝2x.
复合函数的概念 指出下列函数的复合关系： (1)y＝(a＋bxn)m；(2)y＝(x2＋4x)3； (3)y＝e2＋x2；(4)y＝2sin(2－x2)．
【解】 (1)y＝um，u＝a＋bxn. (2)y＝u3，u＝x2＋4x. (3)y＝eu，u＝2＋x2. (4)y＝2sin u，u＝2－x2.
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求复合函数的导数的步骤
2.求下列函数的导数． (1)y＝5log2(2x＋1)； (2)y＝cos53π－7x； (3)y＝ 2x－1； (4)y＝cos2x.
解：(1)设 y＝5log2u，u＝2x＋1. 则 yx′＝yu′·ux′＝ul5n 2×2＝ul1n02＝(2x＋110)ln 2.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)下列函数都是复合函数．( × ) ①y＝－x3－1x＋1；②y＝cosx＋π4；③y＝ln1x；④y＝(2x＋3)4. (2)函数 y＝(3x－1 1)2的导数 y′＝－(3x－6 1)3.( √ ) (3)函数 y＝x(1－ax)2(a＞0)，且 y′|x＝2＝5，则实数 a 的值为 1.( √ )
求复合函数的导数的关键是要分清函数的复合关系，也就是明确 复合函数是由哪些基本初等函数复合而成，适当选定中间变量．
3.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成 其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变，假设在放射性
同位素铯 137 的衰变过程中，其含量 M(单位：太贝克)与时间 t(单
t
位：年)满足函数关系：M(t)＝M02－30，其中 M0 为 t＝0 时铯 137 的含量，已知 t＝30 时，铯 137 含量的变化率为－10ln 2(太贝克/ 年)，求 M(60)的值．
2．函数 y＝x2cos 2x 的导数 y′＝________． 答案：2xcos 2x－2x2sin 2x
3．函数 y＝(2 017－8x)3 的导数 y′＝________． 答案：－24(2 017－8x)2
4．曲线 y＝cos2x＋π6在 x＝π6处切线的斜率为________． 答案：－2
(1)①易把复合函数的结构搞错，意识不到“sinn x”“cos nx”均为 复合函数． ②易将求导公式、求导法则用错． ③最后结果易因化简不到位致误． (2)求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复 合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应 注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．
解：(1)y＝cos u，u＝ 3x＋1； (2)y＝eu，u＝3x2＋2； (3)y＝u－3，u＝1＋5x.
求复合函数的导数 求下列函数的导数． (1)y＝(2x＋3)2； (2)y＝e－2x； (3)y＝sin(πx＋φ)(其中 π，φ 均为常数)．
【解】 (1)函数 y＝(2x＋3)2 可以看作函数 y＝u2 和 u＝2x＋3 的 复合函数．根据复合函数求导法则有 y′x＝y′u·u′x＝(u2)′·(2x＋3)′＝4u＝8x＋12. (2)函数 y＝e－2x 可以看作函数 y＝eu 和 u＝－2x 的复合函数．根据 复合函数求导法则有 y′x＝y′u·u′x＝(eu)′(－2x)′＝－2eu＝－2e－2x. (3)函数 y＝sin(πx＋φ)可以看作函数 y＝sin u 和 u＝πx＋φ 的复合 函数，根据复合函数求导法则有 y′x＝y′u·u′x＝(sin u)′·(πx＋φ)′ ＝πcos u＝πcos(πx＋φ)．
(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数 的导数，并把中间变量转换成自变量的函数，如求 y＝sin2x＋π3 的导数，设 y＝sin u，u＝2x＋π3，则 y′x＝y′u·u′x＝cos 2＝ 2cos2x＋π3.
求 y＝sinn xcos nx 的导数．
【解】 y′＝(sinnx)′cos nx＋sinnx(cos nx)′ ＝nsinn－1x·(sin x)′·cos nx＋sinnx·(－sin nx)·(nx)′ ＝nsinn－1x·cos x·cos nx－sinnx·(sin nx)·n ＝nsinn－1x(cos xcos nx－sin xsin nx) ＝nsinn－1xcos[(n＋1)x]．
解：因为
M′(t)＝－310ln
t
2×M02－30，所以
M′(30)＝－310ln
2×
M02－3300＝－10ln
2，解得
M0＝600，所以
t
M(t)＝600×2－30，所以
t＝60 时，铯 137 的含量为 M(60)＝600×2－6300＝600×14＝150(太
贝克)．
(1)求复合函数的导数的关键是要分清函数的复合关系，也就是明 确复合函数是由哪些基本初等函数复合而成，适当选定中间变量． (2)求复合函数的导数时，分步求导中的每一步都要明确是对哪个 变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的系数，如(cos 2x)′ ＝－2sin 2x，而(cos 2x)′≠－sin 2x.
2019-2020年人教版高中数学第一章1.2第3课时复合函数的求导问题
（x2＋b）2
，
－a－6
＝－2，
1＋b
所以
a（1＋b（）1＋＋2b（）－2 a－6）＝－12，
解得 a＝2，b＝3(因为 b＋1≠0，所以舍去 b＝－1)，
2x－6 所以所求函数的解析式为 f(x)＝x2＋3.
归纳升华 本题中已知切线方程求解析式，关键在于利用导数与 斜率的关系以及点在曲线上列出关于参数 a，b 的方程组， 求出 a，b，使问题得以解决．
2019/7/18
最新中小学教学课件
29
thank
you!
2019/7/18
最新中小)的导数，实质是运用整体思 想，先把简单复合函数转化为常见函数 y＝f(u)，u＝ax ＋b 的形式，然后再分别对 y＝f(u)与 u＝ax＋b 分别求导， 并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为 y＝ f(u)，u＝ax＋b 的形式是求解的关键．
类型 2 切线方程的综合问题 [典例 2] 已知函数 f(x)＝axx2＋－b6的图象在点 M(－1， f(－1))处的切线方程为 x＋2y＋5＝0，求函数的解析式． 解：由题意得－1＋2f(－1)＋5＝0， 即 f(－1)＝－2，f′(－1)＝－12.
a（x2＋b）－2x（ax－6）
因为 f′(x)＝
数.
[思考尝试·夯基]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)函数 y＝ln (x＋1)的导数是 y′＝1x.( ) (2)函数 y＝e2x 的导数是 y′＝2e2x.( ) (3)函数 y＝(2x－1)2 的导数是 y′＝2(2x－1)．( ) 解析：(1)错，函数 y＝ln (x＋1)的导数是 y′＝ 1 .
[正确解答] (1)y＝(ax＋b)n 可以看作函数 y＝un 和 u
2020学年高中数学第1章导数及其应用1.1导数的概念1.1.2瞬时变化率——导数(一)课件苏教版选修2_2
【解】 (1)因为物体在 t∈[3，5]内的时间变化量为 Δt＝5－3＝2， 物体在 t∈[3，5]内的位移变化量为 Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， 所以物体在 t∈[3，5]上的平均速度为ΔΔst＝428＝24(m/s)．
(2)因为物体在 t＝0 附近的平均变化率为 ΔΔst＝f(0＋ΔΔt)t－f(0)＝29＋3[(0＋Δt)－Δ3]t2－29－3(0－3)2 ＝3Δt－18， 因为 Δt 无限趋近于 0 时， ΔΔst＝3Δt－18 无限趋近于－18， 所以物体的初速度 v0 为－18 m/s.
曲线上某一点处的切线 已知曲线 y＝13x3 上一点 P2，83，求： (1)点 P 处的切线斜率； (2)点 P 处的切线方程．
【解】 (1)由 y＝13x3， ΔΔxy＝13(x＋ΔΔxx)3－13x3＝13×3x2Δx＋3xΔ(Δxx)2＋(Δx)3 ＝13[3x2＋3xΔx＋(Δx)2]， 当 Δx 无限趋近于 0 时，ΔΔxy无限趋近于 x2， 所以点 P 处的切线的斜率等于 4. (2)在点 P 处的切线方程是 y－83＝4(x－2)． 即 12x－3y－16＝0.
解
析
：
因
为
Δy Δx
＝
a(x＋Δx)2＋b(x＋Δx)－7－ax2－bx＋7 Δx
＝
aΔx
＋
2ax＋b，所以当 Δx→0 时，ΔΔxy＝2ax＋b，即点(1，1)处的切线的
斜率为 2a＋b.
由已知可得a2＋a＋b－b＝7＝4 1，解得 a＝－4，b＝12.
答案：－4 12
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3．曲线 y＝x3－2x2－4x＋2 在点(1，－3)处的切线方程是______． 解析：因为 y＝x3－2x2－4x＋2，所以 ΔΔxy＝(1＋Δx)3－2(1＋Δx)2－4(1＋ΔΔxx)＋2－(13－2×12－4×1＋2) ＝(Δx)3＋(ΔΔxx)2－5Δx＝(Δx)2＋Δx－5， 所以当 Δx→0 时，ΔΔxy→－5，所以点(1，－3)处切线斜率为－5， 所以切线方程为 y＋3＝－5(x－1)，即 5x＋y－2＝0. 答案：5x＋y－2＝0
高中数学 第一章 导数及其应用 1.2 导数的计算 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算
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1.2。
2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则【学习目标】1．能利用导数的四则运算法则求解导函数。
2．能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导。
重点:利用导数的四则运算法则求导。
难点:复合函数的求导。
【使用说明与学法指导】1。
课前用20分钟预习课本P14-17内容.并完成书本上练习题及导学案上的问题导学.2.独立思考,认真限时完成，规范书写.课上小组合作探究,答疑解惑。
【问题导学】1．导数的运算法则设两个函数分别为f（x）和g（x）2．复合函数【合作探究】探究一 求函数的导数1．求下列函数的导数（1）23cos y x x x =+（2）21lg y x x =-（3）11x y x -=+（4）(1)(2)(3)y x x x =+++（5）2323y x x =+(6)5sin x x xy ++=探究二 求函数的导数2．求下列函数的导数(1）sin3y x = （2)212y x =-（3)2lg(231)y x x =++ (4)2sin (2)3y x π=+探究三求曲线的切线方程3．已知曲线方程2y x，求过点B（3,5)且与曲线相切的直线方程.【学习评价】●自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A 。
2019_2020学年高中数学第1章导数及其应用1.2导数的计算1.2.1几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数公式修2_2
§1.2.1 几个常用函数的导数 §1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)[限时50分钟，满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分) 1．下列结论不正确的是 A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若y ＝1x，则y ′＝－x2C ．若y ＝x ，则y ′＝12xD ．若y ＝x ，则y ′＝1解析 对于A ，常数的导数为零，故A 正确；对于B ，y ′＝(x -12)′＝－12x -32＝－12x 3，故B 错误； 对于C ，y ′＝(x 12)′＝12x -12＝12x ，故C 正确；对于D ，y ′＝x ′＝1，故D 正确． 答案 B2．已知曲线f (x )＝x 3的切线的斜率等于3，则切线有 A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．不确定解析 ∵f ′(x )＝3x 2＝3，解得x ＝±1， 切点有两个，即可得切线有两条． 答案 B3．曲线y ＝e x在点A (0，1)处的切线斜率为 A ．1 B ．2 C ．eD.1e解析 由条件得y ′＝e x，根据导数的几何意义， 可得k ＝y ′|x ＝0＝e 0＝1. 答案 A4．曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1，0)处的切线方程为 A ．y ＝x －1B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝2x －2D ．y ＝－2x ＋2解析 由题意，得y ′＝3x 2－2， 所以切线的斜率k ＝f ′(1)＝3－2＝1. 由直线的点斜式方程，得切线方程为y ＝x －1. 答案 A5．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax .若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x解析 通解 因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 所以(－x )3＋(a －1)(－x )2＋a (－x )＝－[x 3＋(a －1)x 2＋ax ]，所以2(a －1)x 2＝0，因为x ∈R，所以a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1.所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x .故选D.优解一 因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以f (－1)＋f (1)＝0，所以－1＋a －1－a ＋(1＋a －1＋a )＝0，解得a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x .故选D.优解二 易知f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ＝x [x 2＋(a －1)x ＋a ]，因为f (x )为奇函数，所以函数g (x )＝x 2＋(a －1)x ＋a 为偶函数，所以a －1＝0，解得a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x .故选D.答案 D6．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为 A ．4x －y －3＝0 B ．x ＋4y －5＝0 C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0解析 y ′＝(x 4)′＝4x 3.设切点为(x 0，y 0)，则4x 30×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－1，∴x 0＝1.∴切点为(1，1)．∴l 的方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0，故选A. 答案 A二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知f (x )＝x 2＋2xf ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝________．解析 对f (x )求导，得f ′(x )＝2x ＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13， f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝23.答案 238．已知f (x )＝ln x ，且f ′(x 0)＝1x 20，则x 0＝________．解析 f ′(x )＝1x ，所以f ′(x 0)＝1x 0，又f ′(x 0)＝1x 20，所以1x 0＝1x 20，x 0＝1.答案 19．若曲线y ＝x α＋1(α∈R)在点(1，2)处的切线经过坐标原点，则α＝________． 解析 因为y ′＝α·xα－1，所以在点(1，2)处的切线斜率k ＝α，则切线方程为y －2＝α(x －1)．又切线过原点，故0－2＝α(0－1)，解得α＝2. 答案 2三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)已知抛物线f (x )＝ax 2＋bx －7经过点(1，1)，且过点(1，1)的抛物线的切线方程为4x －y －3＝0，求a ，b 的值．解析 ∵抛物线f (x )＝ax 2＋bx －7经过点(1，1)， ∴1＝a ＋b －7，即a ＋b －8＝0.又∵经过点(1，1)的抛物线的切线方程为4x －y －3＝0，其斜率为4，f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(1)＝4，即2a ＋b －4＝0，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －8＝0，2a ＋b －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝12.11．(12分)已知函数f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，a ∈R ，若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )相交，且在交点处有相同的切线，求a 的值及该切线的方程．解析 设两曲线的交点为(x 0，y 0)，f ′(x )＝12x，g ′(x )＝ax，x ＞0，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝a ln x 0，12x 0＝ax 0， 解得a ＝12e ，x 0＝e 2.∴两条曲线的交点坐标为(e 2，e)， 切线的斜率为k ＝f ′(e 2)＝12e， 所以切线方程为y －e ＝12e (x －e 2)，即x －2e y ＋e 2＝0.12．(13分)设抛物线y ＝x 2与直线y ＝x ＋a (a 是常数)有两个不同的交点，记抛物线在两交点处的切线分别为l 1，l 2，求a 值变化时l 1与l 2交点的轨迹．解析 将y ＝x ＋a 代入y ＝x 2整理得x 2－x －a ＝0，① 为使直线与抛物线有两个不同的交点， 必须Δ＝(－1)2＋4a >0，所以a >－14.设此两交点为(α，α2)，(β，β 2)，α<β，由y ＝x 2知y ′＝2x ，则切线l 1，l 2的方程为y ＝2αx －α2，y ＝2βx －β 2.设两切线交点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝α＋β2y ＝αβ.② 因为α，β是①的解，由根与系数的关系， 可知α＋β＝1，αβ＝－a .代入②可得x ＝12，y ＝－a <14.从而，所求的轨迹为直线x ＝12上的y <14的部分．。
高中数学 第1章 导数及其应用 1.2 导数的运算 1.2.3 简单复合函数的导数讲义(含解析)苏教
1．2.3 简单复合函数的导数[对应学生用书P11]已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，g (x )＝(3x ＋2)2.问题1：这两个函数是复合函数吗？ 提示：是复合函数．问题2：试说明g (x )＝(3x ＋2)2是如何复合的？提示：函数g (x )＝(3x ＋2)2是由g (u )＝u 2，u ＝3x ＋2复合而成的． 问题3：试求g (x )＝(3x ＋2)2，g (u )＝u 2，u ＝3x ＋2的导数．提示：g ′(x )＝[(3x ＋2)2]′＝[9x 2＋12x ＋4]′＝18x ＋12.g ′(u )＝2u ，u ′＝3. 问题4：观察问题3中导数有何关系？ 提示：g ′(x )＝g ′(u )·u ′.若y ＝f (u )，u ＝ax ＋b ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y ′x ＝y ′u ·a .1．求复合函数的导数，关键在于分清函数的复合关系，选好中间变量． 2．利用复合关系求导前，若函数关系可以化简，则先化简再求导会更简单． 3．判断复合函数的复合关系的一般方法是：从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要形式，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析，最里层应是关于自变量x 的基本函数或关于自变量x 的基本函数经过有限次四则运算而得到的函数．[对应学生用书P11]复合函数的求导[例1](1)y ＝1(2x ＋3)3；(2)y ＝e－x ＋1；(3)y ＝cos(ωx ＋φ)(其中ω、φ为常数)； (4)y ＝log 2(5－3x )．[思路点拨]先分清函数自身结构，再合理地选取中间变量，利用复合函数的求导法则求解．[精解详析](1)y ＝1(2x ＋3)3＝(2x ＋3)－32是函数y ＝u －32，u ＝2x ＋3的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(u －32)′·(2x ＋3)′＝－32u －52·2＝－3u －52＝－3(2x ＋3)－52.(2)y ＝e－x ＋1是函数y ＝e u ，u ＝－x ＋1的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(e u)′·(－x ＋1)′＝－u＝－－x ＋1.(3)y ＝cos(ωx ＋φ)是y ＝cos u ，u ＝ωx ＋φ的复合函数， 所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(cos u )′·(ωx ＋φ)′ ＝－sin u ·ω＝－ωsin(ωx ＋φ)．(4)y ＝log 2(5－3x )是y ＝log 2u ，u ＝5－3x 的复合函数， 所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(log 2u )′·(5－3x )′＝－3·1u ln 2＝－3(5－3x )ln 2＝3(3x －5)ln 2.[一点通]对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解——求导——回代”，即：(1)弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；(2)利用求导法则分层求导；(3)最终结果要将中间变量换成自变量．1．若函数f (x )＝ln 1x，则f ′(x )＝________.解析：f (x )＝ln 1x 是f (u )＝ln u 与u ＝1x的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(ln u )′·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x′ ＝1u ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＝－1x.答案：－1x2．函数y ＝sin 3x ＋sin x 3的导数为________．解析：y ′＝(sin 3x ＋sin x 3)′＝(sin 3x )′＋(sin x 3)′ ＝3sin 2x cos x ＋cos x 3·3x 2＝3sin 2x cos x ＋3x 2·cos x 3. 答案：3sin 2x cos x ＋3x 2·cos x 33．求下列函数的导数：(1)y ＝e2x 2＋3x ；(2)y ＝1(1－3x )4.解：(1)y ＝e u ，u ＝2x 2＋3x ，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝e u ·(2x 2＋3x )′ ＝e u ·(4x ＋3)＝(4x ＋3)e2x 2＋3x . (2)∵y ＝1(1－3x )4＝(1－3x )－4，∴可设y ＝u －4，u ＝1－3x ， ∵y ′u ＝－4u －5，u ′x ＝－3，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝－4u －5×(－3)＝12(1－3x )－5.求导法则的综合应用[例2] (1)y ＝31－xsin(2x －1)；(2)y ＝ln(2x －1)2x －1.[思路点拨]根据导数的运算法则及复合函数的求导公式求解． [精解详析](1)y ′＝(31－x)′sin(2x －1)＋31－x·[sin(2x －1)]′＝－31－xln 3·sin(2x －1)＋31－x·2cos(2x －1)＝31－x[2cos(2x －1)－sin(2x －1)·ln 3]．(2)y ′＝[ln(2x －1)]′·2x －1－ln(2x －1)·(2x －1)′(2x －1)2＝22x －12x －1－ln(2x －1)·12(2x －1)－12·22x －1＝22x －1－ln(2x －1)2x －12x －1＝2－ln(2x －1)(2x －1)·2x －1.[一点通](1)利用加减乘除四则运算与复合生成函数的方法，都能由基本初等函数生成一些新的函数，认清这一点可帮助我们分析函数结构．(2)认清函数结构之后，不要急于求导，应注意恰当利用代数、三角变换方法，化简函数解析式，以达到准确套用法则，明确求导过程的目的．4．若函数f (x )＝x cos 2x ，则f ′(x )＝________. 解析：f ′(x )＝x ′cos 2x ＋x (cos 2x )′ ＝cos 2x －2x sin 2x . 答案：cos 2x －2x sin 2x 5．求下列函数的导数： (1)y ＝2x －1x ；(2)y ＝12sin 2(1－x )． 解：(1)y ′＝(2x －1)′x －2x －1·x ′x2＝x2x －1－2x －1x 2＝1－xx 22x －1.(2)∵y ＝12sin 2(1－x )＝14[1－cos(2－2x )]＝14－14cos(2－2x )＝14－14cos(2x －2)． ∴y ′＝12sin(2x －2)．复合函数导数的应用[例3] 2(1，f (1))处的切线为l ，若l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相切，求a 的值．[思路点拨]求函数f (x )的导数→求f ′(1)得切线l 的斜率→写出直线l 的点斜式方程→由l 与圆C 相切列方程→解方程求a .[精解详析]∵f ′(x )＝a (x 2)′＋2·12－x ·(2－x )′＝2ax －22－x，∴f ′(1)＝2a －2，又f (1)＝a ＋2ln 1＝a ， ∴切线l 的方程为y －a ＝2(a －1)(x －1)， 即2(a －1)x －y －a ＋2＝0. ∵直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相切，∴圆心(0,0)到直线l 的距离为12，所以有|2－a |4(a －1)2＋1＝12，解得a ＝118. ∴a 的值为118.[一点通]有了复合函数的求导法则，可以求导的函数类型更加丰富了．在实际应用中，先要准确求出函数的导数，然后注意切线的定义，导数的几何意义以及直线方程的求法的综合应用．6．函数y ＝cos 2x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线方程是________．解析：∵y ′＝－2sin 2x ，∴k ＝－2sin π2＝－2.∴切线方程为y －0＝－2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，即2x ＋y －π2＝0.答案：2x ＋y －π2＝07．求y ＝ln(2x ＋3)的导数，并求在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，ln 2处切线的倾斜角．解：令y ＝ln u ，u ＝2x ＋3，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(ln u )′·(2x ＋3)′＝1u ·2＝22x ＋3.当x ＝－12时，y ′＝23－1＝1，即在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，ln 2处切线的倾斜角的正切值为1， 所以倾斜角为π4.8．设曲线y ＝e －x(x ≥0)在点M (t ，e －t)处的切线l 与x 轴，y 轴围成的三角形面积为S (t )．(1)求切线l 的方程； (2)求S (t )的解析式． 解：∵y ＝e －x，∴y ′＝(e －x)′＝－e －x， ∴y ′|x ＝t ＝－e －t.故切线方程为y －e －t＝－e －t(x －t )， 即x ＋e ty －(t ＋1)＝0. (2)令y ＝0得x ＝t ＋1. 令x ＝0得y ＝e －t(t ＋1)． ∴S (t )＝12(t ＋1)·e －t(t ＋1)＝12(t ＋1)2e －t(t ≥0)．求复合函数导数的技巧及注意点(1)对于分式、根式、三角函数式、指数式、对数式的复合函数的导数，关键仍然在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量，熟用复合函数求导法则，迅速正确地求出导数．(2)在复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，对于经过多次复合及四则运算而成的复合函数，可以直接应用公式和法则，从最外层开始由表及里逐层求异．(3)灵活运用复合函数的求导法则，正确地进行求导运算，树立多角度、换方位思考问题的意识，达到优化解题思维、简化解题过程的目的．[对应课时跟踪训练(五)]一、填空题1．设函数f (x )＝sin(4x －2)，则f ′(x )＝________. 解析：∵f (x )＝sin(4x －2)，∴f ′(x )＝[sin(4x －2)]′＝4cos(4x －2)． 答案：4cos(4x －2)2．(全国大纲卷改编)曲线y ＝x e x －1在点(1,1)处切线的斜率等于________．解析：y ′＝e x －1＋x ex －1，故曲线在点(1,1)处切线的斜率为y ′|x ＝1＝2.答案：23．设曲线y ＝f (x )＝e ax在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________. 解析：∵切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直， ∴切线的斜率k ＝2. 又∵f ′(x )＝(e ax)′＝a e ax ， ∴k ＝f ′(0)＝a ＝2. 答案：24．函数y ＝x sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的导数为________．解析：∵y ＝x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝x 2sin(4x ＋π)＝－x 2sin 4x ， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2′sin 4x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2·(sin 4x )′＝－12sin 4x －2x cos 4x .答案：－12sin 4x －2x cos 4x5．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________． 解析：设切点为(x 0，y 0)，则y 0＝x 0＋1， 且y 0＝ln(x 0＋a )，所以x 0＋1＝ln(x 0＋a )① 对y ＝ln(x ＋a )求导得y ′＝1x ＋a，则1x 0＋a＝1，x 0＋a ＝1，② 由①②可得x 0＝－1，所以a ＝2. 答案：2 二、解答题6．求下列函数的导数． (1)y ＝5log 2(2x ＋1)； (2)y ＝cos(53π－7x )；(3)y ＝(2x －1)5.解：(1)设y ＝log 2u ，u ＝2x ＋1. 则y ′＝y ′u ·u ′x ＝5u ln 2×2＝10u ln 2＝10(2x ＋1)ln 2. (2)设y ＝cos u ，u ＝53π－7x .则y ′＝y ′u ·u ′x ＝－sin u ×(－7)＝7sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53π－7x . (3)设y ＝u 5，u ＝2x －1，则y ′＝y ′u ·u ′x ＝5u 4×2＝10u 4＝10(2x －1)4.7．已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2.求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程． 解：f ′(x )＝11＋x －1＋2x .由于f (1)＝ln 2，f ′(1)＝32，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －ln 2＝32(x －1)，即3x －2y ＋2ln 2－3＝0.8．已知A (1，f ′(x ))是函数y ＝f (x )的导函数图象上的一点，点B 的坐标为(x ，ln(2－x ))，向量a ＝(1,1)，设f (x )＝AB ―→·a ，试求函数y ＝f (x )的表达式．解：∵AB ―→＝(x ，ln(2－x ))－(1，f ′(1)) ＝(x －1，ln(2－x )－f ′(1))，a ＝(1,1)，∴f(x)＝AB―→·a＝x－1＋ln(2－x)－f′(1) ＝ln(2－x)＋x－f′(1)－1∴f′(x)＝12－x·(2－x)′＋1＝1x－2＋1，∴f′(1)＝0，∴f(x)＝ln(2－x)＋x－1.。
2020学年高中数学第1章导数及其应用1.2导数的运算1.2.1常见函数的导数课件苏教版选修2_2
(1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 ①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数． ②若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率 公式进行求解． (2)求过点 P 与曲线相切的直线方程的三个步骤
4.已知曲线 y＝ln x 的一条切线方程为 x－y＋c＝0， 求 c 的值．
(cos x)′＝－sin x，因记不住公式出错较多．
1．下列函数中，导函数是奇函数的是( )
A．y＝sin x
B．y＝ex
C．y＝ln x
D．y＝cos x
解析：选 D．y＝cos x，y′＝－sin x 为奇函数，故选 D．
2．曲线 y＝cos x 在点 Pπ3，12处的切线与 y 轴交点的纵坐标是
在本例(2)中是否存在与直线 PQ 垂直的切线，若有，求出切线方
程，若没有，说明理由． 解：假设存在与直线 PQ 垂直的切线， 因为 PQ 的斜率为 k＝42－＋11＝1， 所以与 PQ 垂直的切线斜率 k＝－1， 设切点为(x′0，y′0)，则 y′|x＝x′0＝2x′0， 令 2x′0＝－1，则 x′0＝－12，y′0＝14， 切线方程为 y－14＝－x＋12，即 4x＋4y＋1＝0.
(2)(ex)′＝ex 是(ax)′＝axln a(a＞0 且 a≠1)当 a＝e 时的特例．( √ )
(3)(ln x)′＝1x是(logax)′＝xln1 a(a＞0 且 a≠1)的特例． ( √ )
Байду номын сангаас
(4)sin
π3′＝cos
π3＝12.(
×)
2．已知 f(x)＝ x，则 f′(4)＝( A．－14 C．－2
4．已知 f(x)＝1x，则 ff′15＝________． 解析：因为 f(x)＝1x，所以 f′(x)＝－x12， 所以 f′15＝－25，所以 ff′15＝－215. 答案：－215
2020版高中数学第一章导数及其应用1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)课件人教A版选修2_2
-1-(������03 − 2x0)=(3������02 − 2)(1-x0),
解得
x0=1
或
x0=−
1.
2
题型一
题型二
题型三
题型四
∴k=3×12-2=1 或 k=3 ×
-
1 2
2
−
2=−
5.
4
∴切线的斜率为
1或
−
5,
4
故所求的切线方程为
y+1=x-1 或 y+1=− 5 (x-1),
4
即x-y-2=0或5x+4y-1=0.
典例透析
反思求复合函数的导数需处理好以下环节: (1)中间变量的选择应是基本函数的结构; (2)关键是正确分析函数的复合层次; (3)一般是从最外层开始,由外及里,一层层地求导; (4)善于把一部分表达式作为一个整体; (5)最后要把中间变量换成原自变量的函数.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练2】 求下列函数的导数:
[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]'=f1'(x)±f2'(x)±…±fn'(x).
2.注意两个函数的积与商的求导公式中,符号的异同,积的导数中 是“+”号,而商的导数中分子上是“-”号.
知识梳理
【做一做1-1】 函数y=x3cos x的导数是( ) A.3x2cos x+x3sin x B.3x2cos x-x3sin x C.3x2cos x D.-x3sin x 解析:y'=(x3cos x)'=3x2cos x+x3(-sin x)=3x2cos x-x3sin x,故选B. 答案:B 【做一做1-2】 若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f'(1)=2,则f'(-1)等于 () A.-1 B.-2 C.2 D.0
高中数学 第一章 导数及其应用 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(2)学案(含解析
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)[学习目标]1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数． 3．能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导． [知识链接]前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．我们已经会求f (x )＝5和g (x )＝1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f (x )与g (x )的和、差、积、商的导数呢？ 答 利用导数的运算法则． [预习导引] 1．导数运算法则法则语言叙述[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )·g (x )＋f (x )·g ′(x )两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x ·g ′x[g x ]2(g (x )≠0)两个函数的商的导数，等于分子的导数乘上分母减去分子乘上分母的导数，再除以分母的平方复合函数的概念一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x ))复合函数的求导法则复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积要点一 利用导数的运算法则求函数的导数 例1 求下列函数的导数： (1) y ＝x 3－2x ＋3；(2)y ＝(x 2＋1)(x －1)； (3)y ＝3x－lg x .解 (1)y ′＝(x 3)′－(2x )′＋3′＝3x 2－2. (2)∵y ＝(x 2＋1)(x －1)＝x 3－x 2＋x －1， ∴y ′＝(x 3)′－(x 2)′＋x ′－1′＝3x 2－2x ＋1.(3)函数y ＝3x－lg x 是函数f (x )＝3x与函数g (x )＝lg x 的差．由导数公式表分别得出f ′(x )＝3xln 3，g ′(x )＝1x ln 10，利用函数差的求导法则可得 (3x －lg x )′＝f ′(x )－g ′(x )＝3xln 3－1x ln 10. 规律方法 本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数．跟踪演练1 求下列函数的导数： (1)y ＝5－4x 3；(2)y ＝3x 2＋x cos x ； (3)y ＝e x·ln x ；(4)y ＝lg x －1x2.解 (1)y ′＝－12x 2；(2)y ′＝(3x 2＋x cos x )′＝6x ＋cos x －x sin x ； (3)y ′＝e xx＋e x·ln x ；(4)y ′＝1x ln 10＋2x3. 要点二 求复合函数的导数 例2 求下列函数的导数： (1)y ＝ln(x ＋2)； (2)y ＝(1＋sin x )2； 解 (1)y ＝ln u ，u ＝x ＋2∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(ln u )′·(x ＋2)′＝1u ·1＝1x ＋2.(2)y ＝u 2，u ＝1＋sin x ，∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 2)′·(1＋sin x )′ ＝2u ·cos x ＝2cos x (1＋sin x )．规律方法 应用复合函数的求导法则求导，应注意以下几个方面： (1)中间变量的选取应是基本函数结构．(2)正确分析函数的复合层次，并要弄清每一步是哪个变量对哪个变量的求导．(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导． (4)善于把一部分表达式作为一个整体．(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．熟练后，就不必再写中间步骤． 跟踪演练2 (1)y ＝e 2x ＋1；(2)y ＝(x －2)2.解 (1)y ＝e u，u ＝2x ＋1，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(e u )′·(2x ＋1)′＝2e u ＝2e 2x ＋1.(2)法一 ∵y ＝(x －2)2＝x －4x ＋4， ∴y ′＝x ′－(4x )′＋4′ ＝1－4×12x －12＝1－2x .法二 令u ＝x －2，则y x ′＝y u ′·u x ′＝2(x －2)·(x －2)′＝ 2(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12·1x －0＝1－2x .要点三 导数的应用例3 求过点(1，－1)与曲线f (x )＝x 3－2x 相切的直线方程． 解 设P (x 0，y 0)为切点，则切线斜率为k ＝f ′(x 0)＝3x 20－2故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0) ① ∵(x 0，y 0)在曲线上，∴y 0＝x 30－2x 0 ②又∵(1，－1)在切线上， ∴将②式和(1，－1)代入①式得 －1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)． 解得x 0＝1或x 0＝－12.故所求的切线方程为y ＋1＝x －1或y ＋1＝－54(x －1)．即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0.规律方法 (1，－1)虽然在曲线上，但是经过该点的切线不一定只有一条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要失解． 跟踪演练3 已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝t －1t2＋2t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，求t ＝3 s 时物体的瞬时速度．解 ∵s (t )＝t －1t 2＋2t 2＝t t 2－1t 2＋2t 2＝1t －1t 2＋2t 2， ∴s ′(t )＝－1t2＋2·1t3＋4t ， ∴s ′(3)＝－19＋227＋12＝32327，即物体在t ＝3 s 时的瞬时速度为32327m/s.1．下列结论不正确的是( )A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3C ．若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－12x＋1D ．若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x 答案 D解析 利用求导公式和导数的加、减运算法则求解．D 项，∵y ＝sin x ＋cos x ， ∴y ′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x . 2．函数y ＝cos x1－x 的导数是( )A.－sin x ＋x sin x 1－x 2B ．x sin x －sin x －cos x1－x2C ．cos x －sin x ＋x sin x 1－x 2D ．cos x －sin x ＋x sin x 1－x答案 C 解析 y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x 1－x ′＝－sin x1－x －cos x ·－11－x2＝cos x －sin x ＋x sin x 1－x 2. 3．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x ＋2答案 A 解析 ∵y ′＝x ′x ＋2－x x ＋2′x ＋22＝2x ＋22，∴k ＝y ′|x ＝－1＝2－1＋22＝2，∴切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.4．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________.答案 ln 2－1解析 设切点为(x 0，y 0)， ∵ y ′＝1x ，∴12＝1x 0，∴x 0＝2，∴y 0＝ln 2，ln 2＝12×2＋b ，∴b ＝ln 2－1.求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.一、基础达标1．设y ＝－2e xsin x ，则y ′等于( ) A ．－2e xcos x B ．－2e xsin x C ．2e xsin xD ．－2e x(sin x ＋cosx )答案 D解析 y ′＝－2(e xsin x ＋e xcos x )＝－2e x(sin x ＋cos x )．2．当函数y ＝x 2＋a 2x(a >0)在x ＝x 0处的导数为0时，那么x 0＝( )A ．aB ．±aC ．－aD ．a 2答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －x 2＋a2x 2＝x 2－a 2x2，由x 20－a 2＝0得x 0＝±a . 3．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( ) A ．2 B ．12 C ．－12D ．－2答案 D 解析 ∵y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1， ∴y ′＝－2x －12.∴y ′|x ＝3＝－12.∴－a ＝2，即a ＝－2.4．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为( ) A ．(－2，－8) B ．(－1，－1)或(1,1) C ．(2,8) D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－18答案 B解析 y ′＝3x 2，∵k ＝3，∴3x 2＝3，∴x ＝±1， 则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)．5．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为________．答案 4解析 依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4.6．已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝________.答案 1解析 由于f ′(0)是一常数，所以f ′(x )＝x 2＋3f ′(0)， 令x ＝0，则f ′(0)＝0， ∴f ′(1)＝12＋3f ′(0)＝1. 7．求下列函数的导数： (1)y ＝(2x 2＋3)(3x －1)； (2)y ＝x －sin x 2cos x2.解 (1)法一 y ′＝(2x 2＋3)′(3x －1)＋(2x 2＋3)(3x －1)′＝4x (3x －1)＋3(2x 2＋3)＝18x 2－4x ＋9.法二 ∵y ＝(2x 2＋3)(3x －1)＝6x 3－2x 2＋9x －3， ∴y ′＝(6x 3－2x 2＋9x －3)′＝18x 2－4x ＋9.(2)∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ，∴y ′＝x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝1－12cos x .二、能力提升8．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( )A ．－12B ．12C ．－22D ．22答案 B 解析 y ′＝cos x sin x ＋cos x －sin x cos x －sin xsin x ＋cos x 2＝1sin x ＋cos x2，故y ′|x ＝π4＝12， ∴曲线在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为12. 9．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( ) A ．[0，π4)B ．[π4，π2)C ．(π2，3π4]D ．[3π4，π)答案 D解析 y ′＝－4e xe x＋12＝－4e xe 2x ＋2e x＋1，设t ＝e x∈(0，＋∞)，则y ′＝－4t t 2＋2t ＋1＝－4t ＋1t＋2，∵t ＋1t ≥2，∴y ′∈[－1,0)，α∈[3π4，π)． 10．(2013·江西)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x，则f ′(1)＝________. 答案 2解析 令t ＝e x，则x ＝ln t ，所以函数为f (t )＝ln t ＋t ，即f (x )＝ln x ＋x ，所以f ′(x )＝1x ＋1，即f ′(1)＝11＋1＝2. 11．求过点(2,0)且与曲线y ＝x 3相切的直线方程．解 点(2,0)不在曲线y ＝x 3上，可令切点坐标为(x 0，x 30)．由题意，所求直线方程的斜率k＝x 30－0x 0－2＝y ′|x ＝x 0＝3x 20，即x 30x 0－2＝3x 20，解得x 0＝0或x 0＝3. 当x 0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k ＝0，则所求直线方程是y ＝0； 当x 0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k ＝27， 则所求直线方程是y －27＝27(x －3)， 即27x －y －54＝0.综上，所求的直线方程为y ＝0或27x －y －54＝0.12．已知曲线f (x )＝x 3－3x ，过点A (0,16)作曲线f (x )的切线，求曲线的切线方程． 解 设切点为(x 0，y 0)，则由导数定义得切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3， ∴切线方程为y ＝(3x 20－3)x ＋16， 又切点(x 0，y 0)在切线上， ∴y 0＝3(x 20－1)x 0＋16， 即x 30－3x 0＝3(x 20－1)x 0＋16， 解得x 0＝－2，∴切线方程为9x －y ＋16＝0. 三、探究与创新13．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．(1)解 由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12，①又f ′(x )＝a ＋b x2， ∴f ′(2)＝74，②由①，②得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12a ＋b 4＝74.解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋3x20(x －x 0)． 令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0||2x 0＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。
人教版高中数学第一章1.2第3课时复合函数的求导问题
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x＋1
(2)对，y′＝e2x·(2x)′＝2e2x. (3)错，由 y＝(2x－1)2＝4x2－4x＋1，得 y′＝8x－4. 答案：(1)× (2)√ (3)×
2．函数 y＝sin 2x 的导数为( ) A．y′＝cos 2x B．y′＝2xsin 2x C．y′＝2cos 2x D．y′＝2sin 2x 解析：y′＝(sin 2x)′＝cos 2x·(2x)′＝2cos2x.
二、听思路。
思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行
解答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
三、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答， 大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
四、听方法。
在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”
的研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进
行叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元
类型 3 导数运算法则的综合应用(误区警示) [典例 3] 求下列函数的导数： (1)y＝(ax＋b)n； (2)y＝a3x·cos (2x＋1)． 易错提示：对于复杂的复合函数的求导，往往由于弄
不清复合关系和不会选择恰当的导数公式而致误．
防范措施：对于较为复杂的复合函数的求导，首先要 弄清楚是由几个简单的基本初等函数符合而成的．第(2) 小题中的函数是由两个复合函数的乘积构成的函数，求 导时，既要考虑复合关系又要考虑求导法则的使用，稍 不仔细就会出错．
高中数学第1章导数及其应用1.2导数的运算1.2.2函数的和、差、积、商的导数2数学教案
1．2.2 函数的和、差、积、商的导数已知f (x )＝x ，g (x )＝1x.问题1：f (x )、g (x )的导数分别是什么？ 提示：f ′(x )＝1，g ′(x )＝－1x2.问题2：若Q (x )＝x ＋1x，则Q (x )的导数是什么？提示：∵Δy ＝(x ＋Δx )＋1x ＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝Δx ＋－Δx x (x ＋Δx )，∴Δy Δx ＝1－1x (x ＋Δx ). 当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx 无限趋近于1－1x 2，∴Q ′(x )＝1－1x2.问题3：Q (x )的导数与f (x )，g (x )的导数有什么关系？ 提示：Q ′(x )＝f ′(x )＋g ′(x )． 导数的运算法则设两个函数分别为f (x )和g (x )，则 (1)[f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x )； (2)[f (x )－g (x )]′＝f ′(x )－g ′(x )； (3)[Cf (x )]′＝Cf (x )′(C 为常数)；(4)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(5)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0)． 1．对于和差的导数运算法则，可推广到任意有限可导函数的和或差，即[f 1(x )±f 2(x )±…±f n (x )]′＝f 1′(x )±f 2′(x )±…±f n ′(x )．2．对于积与商的导数运算法则，首先要注意在两个函数积与商的导数运算中，不能出现[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )·g ′(x )以及(5)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g ′(x )这样想当然的错误；其次还要特别注意两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数法则中是“＋”，商的导数法则中分子上是“－”．[对应学生用书P9]求函数的导数[例1](1)y ＝x 2＋log 3x ；(2)y ＝x 3·e x；(3)y ＝cos x x；(4)y ＝x tan x .[思路点拨] 结合常见函数的导数公式及导数的四则运算法则直接求导．[精解详析] (1)y ′＝(x 2＋log 3x )′ ＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln 3.(2)y ′＝(x 3·e x )′＝(x 3)′·e x ＋x 3·(e x)′ ＝3x 2·e x ＋x 3·e x ＝(3x 2＋x 3)e x.(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝(cos x )′·x －cos x ·x ′x 2 ＝－x ·sin x －cos xx2＝－x sin x ＋cos xx2. (4)y ′＝(x ·tan x )′＝⎝⎛⎭⎪⎫x sin x cos x ′ ＝(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′cos 2x ＝(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin 2x cos 2x ＝sin x cos x ＋x cos 2x. [一点通] (1)应用基本初等函数的导数公式和导数运算法则可迅速解决一些简单的求导问题，要透彻理解函数求导法则的结构特点，准确熟记公式，还要注意挖掘知识的内在联系及其规律．(2)在求较复杂函数的导数时应首先利用代数恒等变换对已知函数解析式进行化简或变形，如把乘积的形式展开，公式形式变为和或差的形式，根式化成分数指数幂，然后再求导，使求导计算更加简化．1．若f (x )＝13x 3＋2x ＋1，则f ′(－1)＝________.解析：f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2x ＋1′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3′＋(2x )′＋1′＝x 2＋2，所以f ′(－1)＝(－1)2＋2＝3. 答案：32．函数y ＝x (x 2＋1)的导数是________． 解析：y ′＝[x (x 2＋1)]′＝(x 3＋x )′＝3x 2＋1. 答案：3x 2＋13．求下列函数的导数：(1)y ＝ln x x ＋1－2x ；(2)y ＝sin x －cos x 2cos x.解：(1)y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫ln x x ＋1′－(2x)′ ＝1x(x ＋1)－ln x(x ＋1)2－2xln 2 ＝1＋1x －ln x (x ＋1)2－2xln 2 ＝x －x ln x ＋1x (x ＋1)2－2x ln 2.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x －cos x 2cos x ′＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x 2cos x －12′ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 2cos x ′＝2cos 2x ＋2sin 2x4cos 2x ＝12cos 2x.导数运算法则的简单应用[例2] 设f (x )＝a ·e x＋b ln x ，且f ′(1)＝e ，f ′(－1)＝1e，求a ，b 的值．[思路点拨] 首先求f ′(x )，然后利用条件建立a ，b 的方程组求解．[精解详析] f ′(x )＝(a ·e x)′＋(b ln x )′＝a ·e x＋bx，由f ′(1)＝e ，f ′(－1)＝1e ，得⎩⎪⎨⎪⎧a e ＋b ＝e ，a e－b ＝1e ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，所以a ，b 的值分别为1,0.[一点通] 利用导数值求解参数问题，是高考的热点问题．它比较全面地考查了导数的应用，突出了导数的工具性作用．而熟练地掌握导数的运算法则以及常用函数的求导公式是解决此类问题的关键．4．设f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a ＝________. 解析：∵f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，∴f ′(x )＝3ax 2＋6x ， ∴f ′(－1)＝3a －6＝4，即a ＝103.答案：1035．若函数f (x )＝ex x在x ＝c (c ≠0)处的导数值与函数值互为相反数，求c 的值．解：∵f (x )＝e xx ，∴f (c )＝ecc，又f ′(x )＝e x ·x －e x x 2＝e x (x －1)x 2，∴f ′(c )＝e c(c －1)c2， 依题意知f (c )＋f ′(c )＝0，∴e c c ＋e c(c －1)c2＝0， ∴2c －1＝0得c ＝12.导数运算法则的综合应用[例(1,1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a 、b 、c 的值．[思路点拨] 题中涉及三个未知参数，题设中有三个独立的条件，因此可通过解方程组来确定参数a 、b 、c 的值．[精解详析] ∵曲线y ＝ax 2＋bx ＋c 过P (1,1)点， ∴a ＋b ＋c ＝1.①∵y ′＝2ax ＋b ，当x ＝2时，y ′＝4a ＋b . ∴4a ＋b ＝1.②又曲线过Q (2，－1)点，∴4a ＋2b ＋c ＝－1.③ 联立①②③，解得a ＝3，b ＝－11，c ＝9.[一点通] 利用导数求切线斜率是行之有效的方法，它适用于任何可导函数，解题时要充分运用这一条件，才能使问题迎刃而解．解答本题常见的失误是不注意运用点Q (2，－1)在曲线上这一关键的隐含条件．6．已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为________．解析：易知抛物线y＝12x2上的点P(4,8)，Q(－2,2)，且y′＝x，则过点P的切线方程为y＝4x－8，过点Q的切线方程为y＝－2x－2，联立两个方程解得交点A(1，－4)，所以点A 的纵坐标是－4.答案：－47．已知f′(x)是一次函数，x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1，求f(x)的解析式．解：由f′(x)为一次函数可知f(x)为二次函数．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.把f(x)，f′(x)代入方程x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1中得：x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)＝1，即(a－b)x2＋(b－2c)x＋c－1＝0.要使方程对任意x恒成立，则需有a＝b，b＝2c，c－1＝0，解得a＝2，b＝2，c＝1，所以f(x)＝2x2＋2x＋1.1．应用和、差、积、商的求导法则和常见函数的导数公式求导数时，在可能的情况下，应尽量少用甚至不用乘积的求导法则，应在求导之前，先利用代数、三角恒等变形对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免出错．2．对复杂函数求导，一般要遵循先化简后求导的原则，但要注意化简过程中变换的等价性．[对应课时跟踪训练(四)]一、填空题1．(广东高考)曲线y ＝－5e x＋3 在点(0，－2) 处的切线方程为________．解析：由y ＝－5e x＋3得，y ′＝－5e x，所以切线的斜率k ＝y ′|x ＝0＝－5，所以切线方程为y ＋2＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.答案：5x ＋y ＋2＝02．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝________. 解析：f ′(x )＝ln x ＋x ·1x＝ln x ＋1.∵f ′(x 0)＝2，∴1＋ln x 0＝2， ∴x 0＝e. 答案：e3．函数f (x )＝e xcos x ，x ∈[0,2π]，且f ′(x 0)＝0，则x 0＝________.解析：f ′(x )＝e xcos x －e xsin x ，由f ′(x 0)＝0，得e x 0cos x 0－e x 0sin x 0＝0， ∴cos x 0＝sin x 0，即tan x 0＝1.又∵x 0∈[0,2π]，∴x 0＝π4或5π4.答案：π4或5π44．(江西高考)若曲线y ＝x α＋1(α∈R )在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.解析：由题意y ′＝αxα－1，在点(1,2)处的切线的斜率为k ＝α，又切线过坐标原点，所以α＝2－01－0＝2.答案：25．曲线y ＝x2x －1在点(1,1)处的切线方程为________．解析：∵y ′＝－1(2x －1)2，∴当x ＝1时，y ′＝－1.∴切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. 答案：x ＋y －2＝0 二、解答题6．求下列函数的导数： (1)y ＝sin x ＋3x 2＋x ； (2)y ＝(1＋cos x )(2x 2＋e x)．解：(1)y ′＝(sin x ＋3x 2＋x )′＝(sin x )′＋(3x 2)′＋x ′＝cos x ＋6x ＋1.(2)y ′＝[(1＋cos x )(2x 2＋e x)]′＝(1＋cos x )′(2x 2＋e x )＋(1＋cos x )(2x 2＋e x)′＝－sin x (2x 2＋e x )＋(1＋cos x )(4x ＋e x)＝e x(1＋cos x －sin x )－2x 2sin x ＋4x (1＋cos x )． 7．设定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝ax ＋1ax＋b (a >0)．(1)求f (x )的最小值；(2)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值．解：(1)法一：由题设和基本不等式可知，f (x )＝ax ＋1ax＋b ≥2＋b ，其中等号成立当且仅当ax ＝1， 即当x ＝1a时，f (x )取最小值为2＋b .法二：f (x )的导数f ′(x )＝a －1ax 2＝a 2x 2－1ax 2，当x >1a时，f ′(x )>0，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞上单调递增；当0<x <1a时，f ′(x )<0，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递减．所以当x ＝1a时，f (x )取最小值为2＋b .(2)由题设知，f ′(x )＝a －1ax 2，f ′(1)＝a －1a ＝32，解得a ＝2或a ＝－12(不合题意，舍去)．将a ＝2代入f (1)＝a ＋1a ＋b ＝32， 解得b ＝－1.所以a ＝2，b ＝－1.8．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋ax (x ∈R ，a ∈R )，在曲线y ＝f (x )的所有切线中，有且仅有一条切线l 与直线y ＝x 垂直．求a 的值和切线l 的方程．解：∵f (x )＝13x 3－2x 2＋ax ， ∴f ′(x )＝x 2－4x ＋a .由题意可知，方程f ′(x )＝x 2－4x ＋a ＝－1有两个相等的实根．∴Δ＝16－4(a ＋1)＝0，∴a ＝3.∴f ′(x )＝x 2－4x ＋3＝－1.化为x 2－4x ＋4＝0.解得切点横坐标为x ＝2，∴f (2)＝13×8－2×4＋2×3＝23. ∴切线l 的方程为y －23＝(－1)(x －2)， 即3x ＋3y －8＝0.∴a ＝3，切线l 的方程为3x ＋3y －8＝0.。