数列的函数特性
1.1.2数列的函数特性课件ppt(2013-2014年北师大版必修五)
an＋1＝an
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想一想：如何利用数列的单调性求数列的最大项和最小项？
提示 数列中的最大项或最小项的探求可通过数列的增减性
an≥an＋1， an 应满足 an≥an－1
加以解决，若求最大项 an，则
an≤an＋1， an 应满足 an≤an－1.
若求最小
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2．数列的单调性 名 称 定 义 表达式
大于 从第二项起，每一项都_____它前 递增数列 面的一项
an＋1>an an＋1<an
小于 从第二项起，每一项都_____它前 递减数列 面的一项 常数列
摆动数列 相等 各项都_____ 从第2项起，有些项大于它的前1 项，有些项小于它的前1项的数列
【题后反思】 已知数列的通项公式求数列的最大(小)项， 其实质是求函数的最大(小)值，但要注意函数的定义域， 本题我们可以利用差值比较法来探讨数列的单调性，以此 求解最大项．
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2 2n－2 2 n－1 数列{an} 【训练3】若数列{an}的通项公式 an＝5×5 －4×5 ，
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规律方法 数列是一个特殊的函数，因此也可以用图像来 表示，以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标，即坐 标为(n，an)描点画图，就可以得到数列的图像．因为它的 定义域是正整数集N＋(或它的有限子集{1,2，3，…，n})， 所以其图像是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限 的，也可以是无限的．
误区警示
混淆函数与数列的单调性而致错
【示例】 已知数列{an}满足：an≤an＋1，an＝n2＋λn，n∈N＋，则实 数λ的最小值是________． [错解] ∵an≤an＋1，∴{an}单增，又an为n的二次式，
数列的函数特征(主要内容)
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二是作商比较法，若数列的通项公式为根式形式,用作商法
比作差法更简便一些.
an＞0
an1 ＞1 an
递增数列
0＜an1 ＜1 an
递减数列
a n1 1 an
常数列
an＜0 递减数列 递增数列常数列青苗辅导1
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在利用作商比较法时，要确保数列的每一项都不是 零，再确认相邻两项的正负，然后进行比较.
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【例2】设函数f(x)＝log2x－logx2(0<x<1)，数列{an}满足 f( 2an )=2n(n∈N+). (1)求数列{an}的通项公式； (2)判断数列的单调性. 【审题指导】解决本题的关键是把函数的解析式通过关系 式转化求解得到数列的通项公式，然后再根据通项公式进 行作差，判断与零的大小或者作商判断与1的大小，从而判 断数列的单调性.
可知：对称轴是x=8，所以当0<n<8时数列是递减数列；
当n≥8时，数列是递增数列.
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数列的函数性质的应用 数列的函数性质的应用 数列是特殊的函数，由数列的项与项数之间构成特殊的函 数关系可知：数列的通项an与n的关系公式就是函数f(x)的 解析式,所以根据函数解析式得出数列的通项公式是重要途 径.
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【规范解答】(1)令30＋n－n2＝－60，
即n2－n－90＝0，
∴n＝10或n＝－9(舍)，…………………………………2分
∴－60是这个数列的第10项，即a10＝－60. …………4分 (2)令30＋n－n2＝0，即n2－n－30＝0.
∴n＝6或n＝－5(舍)，即当n＝6时，an＝0. …………6分
2.1数列的概念与简单表示法(二)
§2.1数列的概念与简单表示法(二)学习目标 1.理解数列的几种表示方法，能从函数的观点研究数列；2.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项(重、难点).预习教材P30－31完成下列问题：知识点一数列的函数性质1.数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})为定义域的函数a n＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.2.在数列{a n}中，若a n＋1>a n，则{a n}是递增数列；若a n＋1<a n，则{a n}为递减数列；＝a n，则{a n}为常数列.若a n＋1【预习评价】1.从定义上看，数列是特殊的函数，因此，表示数列除可以用通项公式外，还可以有哪些方法？提示还可以用列表法，图象法.2.数列单调性与函数单调性的区别和联系是什么？提示联系：若函数f(x)在[1，＋∞)上单调，则数列f(n)也单调.反之不正确，例如f(x)＝(x－52，数列f(n)单调递增，但函数f(x)在(1，＋∞)上不是单调递增.4)区别：二者定义不同，函数单调性的定义：函数f(x)的定义域为D，设D⊇I，对任意x1，x2∈I，当x1<x2时，若f(x1)>f(x2)，则f(x)在I上单调递减，若f(x1)<f(x2)，则f(x)在I上单调递增，定义中的x1，x2不能用有限个数值来代替.数列单调性的定义：只需比较相邻的a n与a n＋1的大小来确定单调性.知识点二数列的表示方法1.数列的递推公式：如果数列{a n}的第1项或前几项已知，并且数列{a n}的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.2.数列的表示方法：数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法.【预习评价】1.已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋1，则数列的第5项a 5＝________，由此归纳出{a n }的一个通项公式为________，可以求得a 8＝________.解析 ∵a 1＝3，∴a 2＝2a 1＋1＝7，a 3＝2a 2＋1＝15，a 4＝2a 3＋1＝31，a 5＝2a 4＋1＝63，∴a 5＝63.可以看出a n ＝2n ＋1－1， ∴a 8＝29－1＝511.答案 63 a n ＝2n ＋1－1 5112.数列的通项公式与递推公式有什么区别？ 提示 不同点相同点通项公式 要根据某项的序号，直接用代入法求出该项都可确定一个数列，都可求出数列的任何一项递推公式可根据第1项或前几项的值，通过一次或多次赋值逐项求出数列的项，直至求出所需的项都可确定一个数列，都可求出数列的任何一项题型一 数列的函数特性【例1】 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n，试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由.解 法一 a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n＝（9－n ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n11，当n ＜9时，a n ＋1－a n ＞0，即a n ＋1＞a n ； 当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n ＞9时，a n ＋1－a n ＜0，即a n ＋1＜a n . 则a 1＜a 2＜a 3＜…＜a 9＝a 10＞a 11＞a 12＞…，故数列{a n }有最大项，为第9项和第10项，且a 9＝a 10＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫10119.法二 根据题意，令⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a na n ≥a n ＋1，即⎩⎨⎧n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n －1≤（n ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n （n ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ≥（n ＋2）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1，解得9≤n ≤10.又n ∈N *，则n ＝9或n ＝10.故数列{a n }有最大项，为第9项和第10项，且a 9＝a 10＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫10119.规律方法 1.由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1，2，…，n }这一条件.2.可以利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1，找到数列的最大项；利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1，找到数列的最小项.【训练】 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝nn 2＋9(n ∈N *)，写出其前5项，并判断数列{a n }的单调性.解 当n ＝1，2，3，4，5时，a n 依次为110，213，16，425，534，a n ＋1－a n ＝n ＋1（n ＋1）2＋9－nn 2＋9＝－n 2－n ＋9[（n ＋1）2＋9][n 2＋9]. ∵函数f (x )＝－x 2－x ＋9＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋374在[1，＋∞)上单调递减，又f (1)＝7>0，f (2)＝3>0，f (3)<0，∴当n ＝1，2时，a n ＋1>a n ，当n ≥3，n ∈N *时，a n ＋1<a n ， 即a 1<a 2<a 3>a 4>a 5>….∴数列{a n }的前3项是递增的，从第3项往后是递减的.方向1 由递推公式写出数列的项【例2－1】 已知数列{a n }的第一项a 1＝1，以后的各项由递推公式a n ＋1＝2a na n ＋2给出，试写出这个数列的前5项. 解 ∵a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，∴a 2＝2a 1a 1＋2＝23， a 3＝2a 2a 2＋2＝2×2323＋2＝12，a 4＝2a 3a 3＋2＝2×1212＋2＝25，a 5＝2a 4a 4＋2＝2×2525＋2＝13.故该数列的前5项为1，23，12，25，13. 方向2 由数列的递推公式求通项公式【例2－2】 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋1n （n －1）(n ≥2)，写出该数列前5项，并归纳出它的一个通项公式. 解 ∵a 1＝1，a n ＝a n －1＋1n （n －1）(n ≥2)，∴a 2＝a 1＋12×1＝1＋12＝32，a 3＝a 2＋13×2＝32＋16＝53，a 4＝a 3＋14×3＝53＋112＝74，a 5＝a 4＋15×4＝74＋120＝95.故数列的前5项分别为1，32，53，74，95.由于1＝2×1－11，32＝2×2－12，53＝2×3－13，74＝2×4－14，95＝2×5－15，故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2n －1n ＝2－1n . 方向3 构造数列法求通项公式【例2－3】 设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ∈N *)，则它的通项公式a n ＝________.解析 法一 (累乘法)：把(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0分解因式，得[(n ＋1)a n ＋1－na n ](a n ＋1＋a n )＝0. ∵a n ＞0，∴a n ＋1＋a n ＞0， ∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0， ∴a n ＋1a n ＝n n ＋1，∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝12×23×34×…×n －1n ，∴a n a 1＝1n .又∵a 1＝1，∴a n ＝1n a 1＝1n . 法二 (迭代法)：同法一，得a n ＋1a n ＝nn ＋1，∴a n ＋1＝nn ＋1a n ，∴a n ＝n －1n ·a n －1＝n －1n ·n －2n －1·a n －2＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·a n －3…＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·…·12a 1＝1n a 1.又∵a 1＝1，∴a n ＝1n .法三 (构造特殊数列法)：同法一，得a n ＋1a n ＝nn ＋1，∴(n ＋1)a n ＋1＝na n ， ∴数列{na n }是常数列， ∴na n ＝1·a 1＝1， ∴a n ＝1n . 答案 1n规律方法 1.由递推公式写出通项公式的步骤 (1)先根据递推公式写出数列的前几项(至少是前3项).(2)根据写出的前几项，观察归纳其特点，并把每一项统一形式. (3)写出一个通项公式并证明.2.递推公式的常见类型及通项公式的求法(1)求形如a n ＋1＝a n ＋f (n )的通项公式.将原来的递推公式转化为a n ＋1－a n ＝f (n )，再用累加法(逐差相加法)求解，即a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a 1＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (n －1). (2)求形如a n ＋1＝f (n )a n 的通项公式.将原递推公式转化为a n ＋1a n ＝f (n )，再利用累乘法(逐商相乘法)求解，即由a 2a 1＝f (1)，a 3a 2＝f (2)，…，a na n －1＝ f (n －1)，累乘可得a na 1＝f (1)f (2)…f (n －1).课堂达标1.下列四个命题：①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项； ②数列23，34，45，56，…的通项公式是a n ＝n n ＋1；③数列的图象是一群孤立的点；④数列1，－1，1，－1，…与数列－1，1，－1，1，…是同一数列. 其中真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3D.4解析 只有③正确.①中，如已知a n ＋2＝a n ＋1＋a n ， a 1＝1，无法写出除首项外的其他项.②中a n ＝n ＋1n ＋2，④中－1和1排列的顺序不同，即二者不是同一数列. 答案 A2.数列2，4，6，8，10，…的递推公式是( ) A.a n ＝a n －1＋2(n ≥2)B.a n ＝2a n －1(n ≥2)C.a 1＝2，a n ＝a n －1＋2(n ≥2)D.a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ≥2)解析 A ，B 中没有说明某一项，无法递推，D 中a 1＝2，a 2＝4，a 3＝8，不合题意. 答案 C3.数列{x n }中，若x 1＝1，x n ＋1＝1x n ＋1－1，则x 2 017等于( )A.－1B.－12 C.12 D.1解析 ∵x 1＝1，∴x 2＝－12，∴x 3＝1， ∴数列{x n }的周期为2，∴x 2 017＝x 1＝1. 答案 D4.已知数列{a n }，对于任意的p ，q ∈N *，都有a p ＋a q ＝a p ＋q ，若a 1＝19，则a 36＝________.解析 由已知得a 1＋a 1＝a 1＋1＝a 2，∴a 2＝29， 同理a 4＝49，a 8＝89，∴a 9＝a 8＋1＝a 8＋a 1＝89＋19＝1， ∴a 36＝2a 18＝4a 9＝4. 答案 45.求数列{－2n 2＋29n ＋3}中的最大项. 解 由已知，得a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2942＋10818.由于n ∈N *，故当n 取距离294最近的正整数7时，a n 取得最大值108， ∴数列{－2n 2＋29n ＋3}中的最大项为a 7＝108.课堂小结1.{a n }与a n 是不同的两种表示，{a n }表示数列a 1，a 2，…，a n ，…，是数列的一种简记形式.而a n 只表示数列{a n }的第n 项，a n 与{a n }是“个体”与“整体”的从属关系.2.数列的表示方法：①图象法；②列表法；③通项公式法； ④递推公式法.3.通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映a n 和n 之间的关系，即a n 是n 的函数，知道任意一个具体的n 值，就可以求出该项的值a n ；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n 直接得出a n .基础过关1.已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＋1＝0(n ∈N *)，则此数列的通项a n 等于( ) A.n 2＋1 B.n ＋1 C.1－nD.3－n解析 a n ＋1－a n ＝－1，利用累加法可以求得a n ＝3－n .选D. 答案 D2.已知数列{a n }中的首项a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，此数列的第3项是( ) A.1 B.12 C.34D.58解析 a 1＝1，a 2＝12a 1＋12＝1，a 3＝12a 2＋12×2＝34.答案 C3.数列{a n }中，a n ＝n － 2 011n － 2 012，则该数列前100项中的最大项与最小项分别是( ) A.a 1，a 50 B.a 1，a 44 C.a 45，a 44D.a 45，a 50解析 a n ＝n － 2 011n － 2 012＝1＋2 012－ 2 011n － 2 012.∴当n ∈[1，44]且n ∈N *时，{a n }单调递减， 当n ∈[45，＋∞)且n ∈N *时，{a n }单调递减， 结合函数f (x )＝2 012－ 2 011x － 2 012的图象，可知(a n )max ＝a 45，(a n )min ＝a 44. 答案 C4.数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝a n ＋1－3，则14是{a n }的第________项.解析 a 1＝2，a 2＝a 1＋3＝5，a 3＝a 2＋3＝8，a 4＝a 3＋3＝11，a 5＝a 4＋3＝14. 答案 55.数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ∈N *，2≤n ≤10)，则数列{a n }的最大项为________.解析 ∵a 1＝2，a n ＝2a n －1， ∴a n ≠0，∴a na n －1＝2>1，∴a n >a n －1，即{a n }单调递增，∴{a n }的最大项为a 10＝2a 9＝4a 8＝…＝29·a 1＝29·2＝210＝1 024. 答案 1 0246.已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝23，1a n －2＋1a n ＝2a n －1(n ∈N *，n ≥3)，求a 3，a 4.解 由a 1＝1，a 2＝23且1a n －2＋1a n ＝2a n －1，知当n ＝3时，1a 1＋1a 3＝2a 2，∴1a 3＝2a 2－1a 1＝3－1＝2，∴a 3＝12.当n ＝4时，1a 2＋1a 4＝2a 3，∴1a 4＝2a 3－1a 2＝4－32＝52，∴a 4＝25.7.根据下列条件，写出数列的前四项，并归纳猜想它的通项公式.(1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n －1(n ∈N *)；(2)a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋a n n ＋1(n ∈N *)； (3)a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1）(n ∈N *). 解 (1)a 1＝0，a 2＝1，a 3＝4，a 4＝9.猜想a n ＝(n －1)2(n ∈N *).(2)a 1＝1，a 2＝32，a 3＝42＝2，a 4＝52.猜想a n ＝n ＋12(n ∈N *).(3)a 1＝－1，a 2＝－12，a 3＝－13，a 4＝－14.猜想a n ＝－1n (n ∈N *).能力提升8.已知数列{x n }满足x 1＝a ，x 2＝b ，x n ＋1＝x n －x n －1(n ≥2)，设S n ＝x 1＋x 2＋…＋x n ，则下列结论正确的是( )A.x 100＝－a ，S 100＝2b －aB.x 100＝－b ，S 100＝2b －aC.x 100＝－b ，S 100＝b －aD.x 100＝－a ，S 100＝b －a解析 x 1＝a ，x 2＝b ，x 3＝x 2－x 1＝b －a ，x 4＝x 3－x 2＝－a ，x 5＝x 4－x 3＝－b ，x 6＝x 5－x 4＝a －b ，x 7＝x 6－x 5＝a ＝x 1，x 8＝x 7－x 6＝b ＝x 2，∴{x n }是周期数列，周期为6，∴x 100＝x 4＝－a ，∵x 1＋x 2＋…＋x 6＝0，∴S 100＝x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝2b －a .答案 A9.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，n 为正奇数，a n ＋1，n 为正偶数，则其前6项之和是( ) A.16B.20C.33D.120解析 a 1＝1，a 2＝2a 1＝2，a 3＝a 2＋1＝3，a 4＝2a 3＝6，a 5＝a 4＋1＝7，a 6＝2a 5＝14，∴前6项之和为33.答案 C10.已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2 010＝________，a 2 015＝________.解析 依题意，得a 2 010＝a 2×1 005＝a 1 005＝a 4×252－3＝1，a 2 015＝a 4×504－1＝0.答案 1 011.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n 1＋a n (n ∈N *)，试归纳出这个数列的通项公式a n ＝________.解析 由a 1＝1，a n ＋1＝a n 1＋a n得a 2＝12，a 3＝13，a 4＝14，…，所以可归纳出a n ＝1n . 答案 1n12.已知数列{a n }满足a 1＝12，a n a n －1＝a n －1－a n ，求数列{a n }的通项公式.解 ∵a n a n －1＝a n －1－a n ，∴1a n －1a n －1＝1. ∴故n ≥2时，1a n ＝1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3－1a 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n －1＝2＋＝n ＋1.∴1a n ＝n ＋1，∴当n ≥2时，a n ＝1n ＋1.a 1＝12也适合上式，∴a n ＝1n ＋1(n ∈N *). 13.(选做题)设f (x )是定义在实数集R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝f (x ＋1)－f (x )，对数列f (n )(n ∈N *)，若f (1)＝lg 32，f (2)＝lg 15，求f (2 016).解 f (3)＝f (2)－f (1)＝lg 15－lg 32＝lg 10＝1，f (4)＝f (3)－f (2)＝1－lg 15＝lg 23，f (5)＝f (4)－f (3)＝lg 23－1＝lg 115，f (6)＝f (5)－f (4)＝lg 115－lg 23＝lg 110＝－1，f (7)＝f (6)－f (5)＝－1－lg 115＝－1＋lg 15＝lg 32＝f (1)，f (8)＝f (7)－f (6)＝lg 32＋1＝lg 15＝f (2).∴f (n )是周期为6的周期数列.∴f (2 016)＝f (336×6)＝f (6)＝－1.。
高中数学第一章 1.2 数列的函数特性
例3
在数列{an}中，an＝(n＋1)(
10 11
)n(n∈N＋).
(1)求证：数列{an}先递增，后递减； 证明
(2)求数列{an}的最大项. 解答 由(1)知 a9＝a10＝1101190最大.
反思与感悟
数列中最大项与最小项的两种求法 (1)若求最大项an，则an应满足aann≥≥aann－＋11，，若求最小项an，则an应满足 an≤an＋1， an≤an－1.
跟踪训练2 若数列{n2＋λn}是递增数列，则实数λ的取值范围是 (_－__3_，__＋__∞__)_. 答案 解析
设an＝n2＋λn， 则an＋1－an＝(n＋1)2＋λ(n＋1)－n2－λn ＝2n＋1＋λ>0对任意n∈N＋恒成立. ∴(2n＋1＋λ)min＝3＋λ>0， ∴λ>－3.
命题角度2 求数列中的最大项与最小项
123
3.用火柴棒按下图的方法搭三角形：
按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的 关系式可以是_a_n_＝__2_n_＋__1. 答案 解析 a1＝3，a2＝3＋2＝5，a3＝3＋2＋2＝7， a4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴an＝2n＋1.
123
规律与方法
1.{an}与an是不同的两种表示，{an}表示数列a1，a2，…，an，…，是数 列的一种简记形式.而an只表示数列{an}的第n项，an与{an}是“个体”与 “整体”的从属关系. 2.数列的表示方法：(1)图像法；(2)列表法；(3)通项公式法；(4)递推公 式法.
跟踪训练1 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数 学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比如，他们将石子摆 成如图所示的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第 10个三角形数是_5_5_. 答案 解析
数列的概念与函数特性
∴am＋ n＝am＋ [(m＋ n)－m]· d＝ n＋ n· (－1)＝0.
规律方法
由等差数列的通项公式可证明： an－ am＝(n－
an－am m)d(n、m∈N＋，n≠m)或 d＝ ，当 m＝1 时，即为 an n－m ＝a1＋(n－1)d.
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专题归纳
解读高考
高考真题
专
高考真题
解
(1)法一 设首项为 a1，公差为 d，则
a1＝ 1， 解得 d＝ 2.
a3＝ a1＋ 2d＝ 5， a7＝ a1＋ 6d＝ 13，
∴ an＝a1＋ (n－ 1)d＝1＋ (n－ 1)×2＝ 2n－1. ∴通项公式是 an＝2n－ 1. 法二 a7－ a3 13－5 ∵ d＝ ＝ ＝ 2， 7－ 3 7－ 3
an－1≥ an， 用不等式组 找到数列的最小项． an≤ an＋ 1，
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专题二 等差数列通项公式
1．等差数列的通项公式为an＝a1＋(n－1)d，其中包含四 个元素：an，a1，n和d，很显然我们可以做到“知三求 一”． 2．在解题时，我们往往通过解方程(组)来确定a1和d，从 而就可以确定等差数列了，但是，有时这种解法运算 过程稍微复杂了一点，如果能够灵活使用另一个公式 an＝am＋(n－m)d可以简化运算．
2
9 2 105 ＋ 9n＋ 3＝－ 2n－ ＋ . 4 8
由于函数
9 2 105 9 f(x) ＝－ 2 x－ ＋ 在 0， 上是增函数，在 4 8 4
9 ，＋∞ 上是减函数，故当 4
n＝ 2 时，f(n)＝－ 2n2＋ 9n＋ 3 取
4m－2 2 2m－1 即 n＝ ＝ . 3 3 令 2m－1＝3t，∵(2m－1)∈N＋为奇数， 3t＋1 ∴t∈N＋ 且为奇数，∴m＝ ，n＝2t. 2 而 1≤m≤40,1≤n≤40，
数列的函数特性
递增数列
例如：1996~2002年某市普通高中生人数（单 位：万人） 82，93，105，119，129，130，132.
递减数列
目前通用的人民币面额从大到小的顺序构成数 列（单位:元） 100，50，20，10，5，2，1，0.5，0.2， 0.1，0.05，0.02，0.01.
常数数列
无穷多个3构成数列 3，3，3，3，3, … .
(1)2,1,0, 1, 3 n, 1 2 3 n (2) , , , , , 2 3 4 n 1
解： （1）设
n1
a
n
3 n 那么
a 3 (n 1) 2 n a a (2 n) (3 n) 1 所以 a a ，因此数列 {a n}是递减数列。
解： n an =2n-1 1 1 2 3 3 5 4 7 5 9
an
10 9 8
y=2x-1 an=2n-1
7
6 5 4 3 2 1
O
特 点:数列的图象是一群孤立的点。
n 数列的图象有何特点？
1 2 3 4 5 6 7
列 表 法
数列的表示方法
图 像 法
通项公式法
应用示例
例3 判断下列无穷数列的增减性
数列是一种特殊的函数
反过来，对于函数 y=f(x)，如果f(i) (i=1,2,3, …) 有意义 ，那么我们可以得到一个数列
f (1), f (2), f (3),
a1 = f(1) =16
f (n )
例如：函数y=7x+9,当x依次取1，2，3, …时， 其函数值构成的数列有什么特点？
a2 = f(2) =23
a3 = f(3) =30
a4 = f(4) =37
1.2 数列的函数特性 学案(含答案)
1.2 数列的函数特性学案（含答案）12数列的函数特性学习目标1.了解数列是自变量为正整数的一种特殊函数.2.了解数列的几种表示方法.3.能从函数的观点研究数列知识点一数列的表示方法1图像法数列可以看作是一个定义域为正整数集N或它的有限子集1,2,3，，n的特殊函数，数列的图像是由以n，an为坐标的一系列孤立的点构成的即散点图图像法的优点能够直观地表示出随着项数的变化，相应项的变化趋势2列表法列表法就是用表格的形式表示项数n和项an的变化关系列表法的优点不需要做任何计算就可以直接看出与项数相对应的项知识点二数列的增减性1递增数列一个数列an，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即an1annN，那么这个数列叫作递增数列2递减数列一个数列an，如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即an1annN，那么这个数列叫作递减数列3常数列如果数列an的各项都相等，那么这个数列叫作常数列1数列的图像是一群孤立的点2一个数列不是递增函数，则一定是递减数列3若anfn表示递增数列，则yfx在1，上是增函数4每个数列都可从通项公式.图像.列表等方法中任选一个表示题型一数列的表示法例1在数列an中，ann28n.1画出an的图像；2根据图像写出数列an的增减性解1列表n123456789an71215161512709描点在平面直角坐标系中描出下列各点即得数列an的图像1，7，2，12，3，15，4，16，5，15，6，12，7，7，8,0，9,9，，图像如图所示2当1n4nN时，数列an 为递减数列；当n4nN时，数列an为递增数列反思感悟数列是一个特殊的函数，因此也可以用图像来表示，以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标，即坐标为n，an描点画图，就可以得到数列的图像，因为它的定义域是正整数集N或它的有限子集1,2,3，，n，所以其图像是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限的，也可以是无限的跟踪训练1某种练习本单价5元，小王买了n本nN，n5该练习本，记an为买n本的总价，试用三种方法来表示数列an解通项公式法an5nnN，n5列表法n12345an510152025图像法题型二数列增减性的判断例2已知数列an的通项公式annN，试判断该数列的增减性，并说明理由解an 为递减数列，理由如下an1an.fx2在1，上是减少的，当n1时，fnf110.又n1210，n210，an1an0，an是递减数列反思感悟判断数列的增减性，一般是将其转化为比较相邻两项的大小，常用的方法有作差法.作商法，作差法判断数列增减性的步骤为作差；变形；定号；结论作商法适用于各项都是同号的数列，且应比较比值与1的大小关系跟踪训练2已知数列an的通项公式为annN，写出其前5项，并判断数列an的增减性解当n1,2,3,4,5时，an依次为，，，，，an1an.函数fxx2x92在1，上是减少的，又f170，f230，f330，当n1,2时，an1an，当n3，nN时，an1an，即a1a2a3，a3a4a5.数列an的前3项是递增的，从第3项往后是递减的题型三已知数列的增减性求参数范围例3已知数列an的通项公式为ann2knnN，若数列an是递增数列，求实数k的取值范围解由an是递增数列，得an1ann12kn1n2kn2n1k0对于任意nN恒成立fx2x1k在1，上是增加的，2n1k0对任意nN恒成立等价于211k0，k3，实数k的取值范围是3，反思感悟实际上，当3k2时，函数yx2kx在1，上不是单调函数，但数列ann2kn是单调的，由此可知函数yfx在1，上单调，则数列anfn一定单调，反之则不一定究其原因，是数列与函数定义域不同造成的差别跟踪训练3已知递增数列an的通项公式为an2kn1.则实数k的取值范围是________答案0，解析an是递增数列，an1an2kn112kn12k0，k0.求数列的最大.最小项典例已知数列an的通项ann1nnN，试问数列an有没有最大项若有，求最大项和最大项的项数；若没有，说明理由解设an为最大项，则即解得9n10.又nN，n9或n10.该数列中有最大项，为第9.10项，且a9a10109.引申探究将本例中的“ann1n”换为“an2n29n3”，如何求an中的最大项解由an2n29n322.n为正整数，当n2时，an取得最大值，a222292313.即数列2n29n3的最大项为a213.素养评析1求数列的最值常用的方法根据数列的增减性求最值；设第n项an最大或最小，则，从而确定出哪一项为数列的最值2本例中，理解运算对象，掌握运算法则，选择运算方法，求解运算结果，体现了数学运算的数学核心素养.1已知an3n2，则数列an的图像是A一条直线B一条抛物线C一个圆D一群孤立的点答案D解析an3n2，nN，数列an的图像是一群孤立的点2在数列an中，ann，则an是A递增数列B递减数列C常数列D以上都不是答案A解析an1ann1n10，数列an是递增数列3已知数列an的通项公式为ann29n100，则其最小项是A第4项B第5项C 第6项D第4项或第5项答案D解析fxx29x100的对称轴为x，且开口向上ann29n100的最小项是第4项或第5项4若数列an为递减数列，则an的通项公式可能为______填序号an2n3；ann23n1；an；an1n.答案5数列xn中，若x11，xn11，则x2020____.答案解析x11，x2，x31，数列xn的周期为2，x2020x2.1an与an是两种不同的表示，an表示数列a1，a2，，an，，是数列的一种简记形式而an只表示数列an的第n项，an 与an是“个体”与“整体”的从属关系2数列的表示方法1图像法；2列表法；3通项公式法；4递推公式法3数列的单调性是通过比较an中任意相邻两项an和an1的大小来判定的某些数列的最大项或最小项问题，可以通过研究数列的单调性加以解决4数列是特殊函数，一定要注意其定义域是N或它的有限子集。
(教参)：第一章1.2数列的函数特性Word版含解析
1.2 数列的函数特性学习目标1.了解递增数列、递减数列、常数列的概念(数学抽象)2.数列的图像表示(直观想象)3.会判断数列的增减性并能简单应用(逻辑推理)必备知识·自主学习导思1. 如何判断数列的单调性?2.若函数f(x)在[1,+∞)上单调递增,那么数列a n=f(n)也单调递增吗?反之成立吗?1.数列的三种表示法(1)列表法.(2)图像法.(3)通项公式法.2.数列的增减性(1)递增数列:一个数列{a n},如果从第2项起,每一项都大于它前面的一项,即a n+1>a n(n∈N+),那么这个数列叫作递增数列.(2)递减数列:一个数列{a n},如果从第2项起,每一项都小于它前面的项,即a n+1<a n(n∈N+),那么这个数列叫作递减数列.(3)常数列:如果数列{a n}的各项都相等,那么这个数列叫作常数列.(4)一个数列{a n},如果从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项,这样的数列叫摆动数列.1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).(1)数列的图像可以分布在坐标系内的任意象限. ( )(2)递增数列没有最大项. ( )(3)递减数列的最大项一定是当n=1时取得. ( )提示:(1)×.数列的定义域决定了数列的图像只可能在y轴右侧,不可能在第二、三象限.(2)×.递增数列是有穷数列时必有最大项.(3)√.由递减数列的概念可知.2.数列{a n}满足a n+1=a n+1,则数列{a n}是( )A.递增数列B.递减数列C.常数列D.摆动数列【解析】选A.因为a n+1-a n=1>0,所以{a n}为递增数列.3.数列{a n}中,a n=-n2+11n,则此数列最大项的值是( )A. B.30 C.31 D.32【解析】选B.a n=-n2+11n=-+,因为n∈N+,所以当n=5或6时,a n取最大值30.关键能力·合作学习类型一数列的表示方法(直观想象)【典例】在数列{a n}中,a n=n2-8n,(1)画出{a n}的图像.(2)根据图像判定数列{a n}的增减性.【思路导引】列表、描点画图像,再判断增减性.【解析】(1)列表n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …a n-7 -12 -15 -16 -15 -12 -7 0 9 …描点:在平面直角坐标系中描出下列各点即得数列{a n}的图像:(1,-7),(2,-12),(3,-15),(4,-16),(5,-15),(6,-12),(7,-7),(8,0),(9,9),…图像如图所示.(2)数列{a n}的图像既不是上升的,也不是下降的,则{a n}既不是递增的,也不是递减的.画数列的图像的方法数列是一个特殊的函数,因此也可以用图像来表示,以位置序号n 为横坐标,相应的项为纵坐标,即坐标为(n,a n)描点画图,就可以得到数列的图像.因为它的定义域是正整数集N+(或它的有限子集{1,2,3,…,n}),所以其图像是一群孤立的点,这些点的个数可以是有限的,也可以是无限的.根据数列的通项公式,写出数列的前5项,并用图像表示出来.(1)a n=(-1)n+2;(2)a n=.【解析】(1)a1=1,a2=3,a3=1,a4=3,a5=1.图像如图.(2)a1=-,a2=-,a3=-,a4=-2,a5=2.图像如图所示.类型二数列的增减性(逻辑推理)角度1 数列增减性的判断【典例】1.已知数列{a n}的通项公式为a n=,按项的变化趋势,该数列是( )A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列2.已知函数f(x)=(x≥1),构造数列a n=f(n)(n∈N+).(1)求证:a n>-2.(2)数列{a n}是递增数列,还是递减数列?为什么?【思路导引】通过计算a n+1-a n,判断差的符号确定增减性.【解析】1.选B.因为a n+1-a n=-=<0,所以a n+1<a n.故该数列是递减数列.2.(1)由题意得a n=f(n)===-2+.因为n∈N+,所以>0. 所以a n=-2+>-2.(2)数列{a n}是递减数列,证明如下:因为a n=,a n+1==,所以a n+1-a n=-===<0,所以a n+1<a n,所以数列{a n}是递减数列.如果{a n}为递增数列,则{a n}的通项公式可以为( )A.a n=-2n+3B.a n=-n2-3n+1C.a n=D.a n=log2 n【解析】选D.A选项是n的一次函数,一次项系数为-2,所以为递减数列;B选项是n的二次函数,图像开口向下,且对称轴为n=-,所以为递减数列;C选项是n的指数函数,且底数为,是递减数列;D选项是n的对数函数,且底数为2,是递增数列.角度2 数列增减性的应用【典例】(2020·贵阳高一检测)若数列的通项公式是a n=(n+1)·0.9n,对于任意的正整数n都有a n≤a N成立,则N为( )A.6或7B.7或8C.8或9D.9或10【思路导引】作差判断数列的单调性,得到当n<8时,a n+1>a n,数列单调递增;当n>8时,a n+1<a n,数列单调递减,当n=8时,a9=a8,由此可判断数列的最大项.【解析】选C.a n+1-a n=(n+2)·0.9n+1-(n+1)·0.9n=0.9n=0.9n,当n=8时,a n+1-a n=0,当n<8时,a n+1-a n>0,当n>8时,a n+1-a n<0.所以当n<8时,a n+1>a n,数列单调递增;当n>8时,a n+1<a n,数列单调递减,所以当n=8时,a 9=a8为数列的最大项.数列增减性两方面的应用(1)利用数列的增减性可以求参数范围:数列的增减性揭示了项之间的大小关系,可以据此列出不等式(组),求某些参数的范围.(2)利用数列的增减性求数列的最大或最小项:如果数列先增后减或先减后增,则存在最大(小)项,递增(减)数列中首项是最小(大)项.1.已知数列{a n}的通项公式为a n=n2-21n+20.(1)n为何值时,a n有最小值?并求出最小值;(2)数列{a n}有没有最大项?若有,求出最大项,若没有,说明理由.【解析】(1)因为a n=n2-21n+20=-,可知对称轴方程为n==10.5.又因n∈N+,所以n=10或n=11时,a n有最小值,其最小值为102-21×10+20=-90.(2)由(1)知,a1>a2>…>a10=a11<a12<…,所以数列{a n}没有最大项.2.已知数列{a n}的通项公式为a n=2n×0.9n,求数列{a n}中的最大项. 【解析】设a n是数列{a n}中的最大项,则即所以所以即9≤n≤10,所以当n=9或n=10时,a n最大,最大项a9=a10=2×10×0.910=20×0.910.3.在数列{a n}中,a n=(n+1)(n∈N+).(1)求证:数列{a n}先递增,后递减;(2)求数列{a n}的最大项.【解析】(1)因为a n+1-a n=(n+2)-(n+1)=·, 当n<9时,a n+1-a n>0,即a n+1>a n;当n=9时,a n+1-a n=0,即a n+1=a n;当n>9时,a n+1-a n<0,即a n+1<a n.所以a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>a12>…,所以数列{a n}先递增,后递减.(2)由(1)可知数列中有最大项,最大项为第9,10项,即a9=a10=.课堂检测·素养达标1.下列数列中,既是无穷数列又是递增数列的是 ( )A.1,,,,…B.sin ,sin ,sin,sin ,…C.-1,-,-,-,…D.1,2,3,4,…,30【解析】选C.数列1,,,,…是无穷数列,但它不是递增数列,而是递减数列;数列sin ,sin ,sin ,sin ,…是无穷数列,但它既不是递增数列,又不是递减数列;数列-1,-,-,-,…是无穷数列,也是递增数列;数列1,2,3,4,…,30是递增数列,但不是无穷数列.2.已知数列{a n}的通项公式是a n=,则这个数列是( )A.递增数列B.递减数列C.常数列D.摆动数列【解析】选B.数列{a n}的通项公式是a n===1+,则当n∈N+时为递减数列.3.数列{a n}的通项公式为a n=n2-6n,则它的最小值是.【解析】a n=n2-6n=(n-3)2-9,所以当n=3时,a n取得最小值-9.答案:-94.已知递增数列{a n}的通项公式为a n=2kn+1,则实数k的取值范围是.【解析】因为{a n}单调递增,所以a n+1-a n=[2k(n+1)+1]-(2kn+1)=2k>0,所以k>0.答案:(0,+∞)5.(教材二次开发:习题改编)数列{a n}满足a n+1=-2a n,若{a n}单调递增,则首项a1的范围是.【解题指南】先表示出a n+1-a n,再结合{a n}单调递增可求首项a1的范围. 【解析】因为a n+1=-2a n,所以a n+1-a n=-3a n>0,解得a n>3或a n<0,则有a1>3或a1<0.由于a 2=-2a1,所以-2a1>3或-2a1<0,解得a1>3或a1<-1(0<a1<2舍去).答案:(-∞,-1)∪(3,+∞)。
数列的函数特性
数列的函数特性1．数列的函数特性【知识点的认识】1、等差数列的通项公式：a n＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式S n＝na1+12n（n﹣1）d或者S n=n(a1+a n)22、等比数列的通项公式：a n＝a1q n﹣1；前n项和公式S n=a1(1−q n)1−q=a1−a n q1−q（q≠1）3、用函数的观点理解等差数列、等比数列（1）对于等差数列，a n＝a1+（n﹣1）d＝dn+（a1﹣d），当d≠0时，a n是n的一次函数，对应的点（n，a n）是位于直线上的若干个点．当d＞0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d＝0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d＜0时，函数是减函数，对应的数列是递减函数．若等差数列的前n项和为S n，则S n＝pn2+qn（p、q∈R）．当p＝0时，{a n}为常数列；当p≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题．（2）对于等比数列：a n＝a1q n﹣1．可用指数函数的性质来理解．当a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1时，等比数列是递增数列；当a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1时，等比数列{a n}是递减数列．当q＝1时，是一个常数列．当q＜0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列．【典型例题分析】典例1：数列{a n}满足a n＝n2+kn+2，若不等式a n≥a4恒成立，则实数k的取值范围是（）A．[﹣9，﹣8]B．[﹣9，﹣7]C．（﹣9，﹣8）D．（﹣9，﹣7）解：a n＝n2+kn+2=(n+k2)2+2−k24，∵不等式a n≥a4恒成立，∴3.5≤−k 2≤4.5，解得﹣9≤k ≤﹣7，故选：B ．典例2：设等差数列{a n }满足a 1＝1，a n ＞0（n ∈N *），其前n 项和为S n ，若数列{√S n }也为等差数列，则S n+10a n 2的最大值是（ ）A ．310B ．212C ．180D ．121解：∵等差数列{a n }满足a 1＝1，a n ＞0（n ∈N *），设公差为d ，则a n ＝1+（n ﹣1）d ， 其前n 项和为S n =n[1+1+(n−1)d]2， ∴√S n =√n[2+(n−1)d]2， √S 1=1，√S 2=√2+d ，√S 3=√3+3d ， ∵数列{√S n }也为等差数列，∴2√S 2=√S 1+√S 3，∴2√2+d =1+√3+3d ，解得d ＝2．∴S n +10＝（n +10）2，a n 2=（2n ﹣1）2，∴S n+10a n 2=(n+102n−1)2=(12+214n−2)2，由于{(12+214n−2)2}为单调递减数列， ∴S n+10a n 2≤S 11a 12=112＝121，故选：D ．。
11.2 数列的函数特性导学案(北师大版必修5)(1)
主备人：李斌 审核：高二备课组 使用日期：2012.9 负责人签字:1.2 数列的函数特性导学案班级 小组 姓名 小组评价: 教师评价: 学习目标：1.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项；3.了解数列和函数之间的关系，能用函数的观点研究数列．学习重点：用函数观点解决数列问题学习难点：数列的函数理解【使用说明及学法指导】试验、交流、归纳等方法的综合应用.先由学生认真阅读教材P6-8，按照学习目标提出的要求，完成：“自主学习”，再去完成：“合作交流”部分，学习组长做好督导、检查。
【知识链接】1．数列可以看作是一个定义域为正整数集N ＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n })的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值．2．一般地，一个数列{a n }，如果从第2项起，每一项都大于它的前一项，即a n ＋1>a n ，那么这个数列叫做递增数列．如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，即a n ＋1<a n ，那么这个数列叫做递减数列．如果数列{a n }的各项都相同，那么这个数列叫做常数列．3．数列的最大、最小项问题，可以通过研究数列的单调性加以解决，若求最大项a n ，n 的值可通过不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1a n ≥a n ＋1来确定；若求最小项a n ，n 的值可通过解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1a n ≤a n ＋1来确定． Ⅰ、自主学习已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，试写出a 3，a 4，a 5，a 6，a 7，a 8，你发现数列{a n }具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2 011项是多少？Ⅱ合作交流利用函数的性质判断数列的单调性例1 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2n 2＋1.求证：数列{a n }为递增数列．总结数列是一种特殊的函数，因此可用研究函数单调性的方法来研究数列的单调性．变式训练1在数列{a n}中，a n＝n2－an，若数列{a n}为递增数列，试确定实数a的取值范围．求数列的最大项例2已知a n＝9n(n＋1)10n(n∈N＋)，试问数列{a n}中有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由．总结先考虑{a n}的单调性，再利用单调性求其最值．变式训练2已知数列{a n}的通项公式为a n＝n2－5n＋4，则(1)数列中有多少项是负数？(2)n为何值时，a n有最小值？并求出最小值．由递推公式求通项公式例3 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n +1＋1n (n －1)(n ≥2)，写出该数列的前五项及它的一个通项公式．总结 已知递推关系求通项公式这类问题要求不高，主要掌握由a 1和递推关系先求出前几项，再归纳、猜想a n 的方法，以及累加：a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1；累乘：a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2…·a 2a 1·a 1等方法． 变式训练3 已知数列{a n }满足a 1＝12，a n a n+1＝a n+1－a n ，求数列{a n }的通项公式．Ⅲ 拓展交流函数与数列的联系与区别Ⅳ、自我总结:我学到了什么?我有哪些问题与老师交流? Ⅴ、达标检测1．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数项D ．不能确定2．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12n ＋12n ，则此数列第4项是( ) A ．1 B.12 C.34 D.583．若a 1＝1，a n ＋1＝a n 3a n ＋1，给出的数列{a n }的第34项是( ) A.34103 B ．100 C.1100 D.11044．已知a n ＝32n －11(n ∈N ＋)，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则使S n >0的n 的最小值为( )A ．10B ．11C ．12D ．135．已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧ 2a n ⎝⎛0≤a n <12，2a n －1 ⎝⎛⎭⎫12≤a n <1.若a 1＝67，则a 2 010的值为( ) A.67 B.57 C.37 D.17Ⅵ、延伸拓广1．已知函数f (x )＝2x －2－x ，数列{a n }满足f (log 2 a n )＝－2n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：数列{a n }是递减数列．2．在数列{a n }中，a 1＝12a n ＝1－1a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)． (1)求证：a n ＋3＝a n ； (2)求a 2 010.Ⅶ、作业布置课本P8-9 AB 组 .ⅦI 课后反思。
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数列的函数特性
【学习目标】
利用函数研究数列
【学习重点】
利用函数的性质研究数列的性质
【课前预习案】
1. 如果数列{an}的第1项或前几项已知，并且数列{an}的任一项an 与它的 前一项an －1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式。
2. 数列可以看作是一个定义域为____________(或它的有限子集{1,2,3，…， n})的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列________。
3. 一般地，一个数列{an}，如果从________起，每一项都大于它的前一项， 即__________，那么这个数列叫做递增数列。
如果从________起，每一项都小于它的前一项，即__________，那么这个数列叫做递减数列．如果数列{an}的各项________，那么这个数列叫做常数列。
【课堂探究案】
自学指导：围绕下列问题阅读课本6到8页，
1.数列的图像有什么特征：
2.什么是递增数列，递减数列，常数列，它们的图像有什么特点。
3.如何判断数列的增减性：
探究一：作数列的图像
例1.画出下列数列的图像，并判断增减性。
（1） （2）
探究二：判断数列的增减性
例2.判断下列数列的增减性；
(1) (2) 归纳总结：（1）数列图像的特征：
1n n a =-+12n n a -=231n n n a +=+23n
a n =-
（2）数列增减性的判断方法：
【课后检测案】
一、选择题
1．已知an ＋1－an －3＝0，则数列{an}是( )
A ．递增数列
B ．递减数列
C ．常数项
D ．不能确定
2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( )
A ．an ＋1＝an ＋n ，n ∈N ＋
B ．an ＝an －1＋n ，n ∈N ＋，n≥2
C ．an ＋1＝an ＋(n ＋1)，n ∈N ＋，n≥2
D ．an ＝an －1＋(n －1)，n ∈N ＋，n≥2
3．已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an ＋1＝12an ＋12n
，则此数列第4项是( )
A ．1 B.12 C.34 D.58
4．数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，都有a1·a2·a3…an＝n2，则：a3＋a5等于( )
A.259
B.2516
C.6116
D.3115
5．已知数列{an}满足an ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2an ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤an <12，2an －1 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12≤an<1.若a1＝67
，则a201的值为( ) A.67 B.57 C.37 D.17
6．已知an ＝n －98n －99
，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是( )
A ．a1，a30
B ．a1，a9
C ．a10，a9
D ．a10，a30
二、填空题
7．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝3,4Sn＝6an－an－1＋4Sn－1，则an＝________.
8．已知数列{an}满足：a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an，(n∈N＋)，则使an>100的n的最小值是________．
9．若数列{an}满足：a1＝1，且an＋1
an
＝
n＋2
n
(n∈N＋)，则当n≥2时，
an＝________.
10．已知数列{an}满足：an≤an＋1，an＝n2＋λn，n∈N＋，则实数λ的最小值是________．
三、解答题
11．在数列{an}中，a1＝1
2
，an＝1－
1
an－1
(n≥2，n∈N＋)．
(1)求证：an＋3＝an；
(2)求a2 010.。