1.1.2数列的函数特性课件ppt(2013-2014年北师大版必修五)
课前探究学习
an＋1＝an
课堂讲练互动
想一想：如何利用数列的单调性求数列的最大项和最小项？
提示 数列中的最大项或最小项的探求可通过数列的增减性
an≥an＋1， an 应满足 an≥an－1
加以解决，若求最大项 an，则
an≤an＋1， an 应满足 an≤an－1.
若求最小
课前探究学习
课堂讲练互动
2．数列的单调性 名 称 定 义 表达式
大于 从第二项起，每一项都_____它前 递增数列 面的一项
an＋1>an an＋1<an
小于 从第二项起，每一项都_____它前 递减数列 面的一项 常数列
摆动数列 相等 各项都_____ 从第2项起，有些项大于它的前1 项，有些项小于它的前1项的数列
【题后反思】 已知数列的通项公式求数列的最大(小)项， 其实质是求函数的最大(小)值，但要注意函数的定义域， 本题我们可以利用差值比较法来探讨数列的单调性，以此 求解最大项．
课前探究学习
课堂讲练互动
2 2n－2 2 n－1 数列{an} 【训练3】若数列{an}的通项公式 an＝5×5 －4×5 ，
课前探究学习
课堂讲练互动
规律方法 数列是一个特殊的函数，因此也可以用图像来 表示，以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标，即坐 标为(n，an)描点画图，就可以得到数列的图像．因为它的 定义域是正整数集N＋(或它的有限子集{1,2，3，…，n})， 所以其图像是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限 的，也可以是无限的．
误区警示
混淆函数与数列的单调性而致错
【示例】 已知数列{an}满足：an≤an＋1，an＝n2＋λn，n∈N＋，则实 数λ的最小值是________． [错解] ∵an≤an＋1，∴{an}单增，又an为n的二次式，
λ ∴－ ≤1，解之 λ≥－2，∴填－2. 2
二次函数的相关知识迁移到数列方面时，要注意定 义域发生了变化，类似的还有：an＝3n2－4n＋5(n∈N＋ )，当 n 4 ＝ 时 an 取最小值，这种错解忽视了 n∈N＋ .应为 n＝1 时，an 最 3 小．
课前探究学习 课堂讲练互动
1010 即 a9＝a10＝ 9 .(12 分) 11 法二 令 an ≥1(n≥2)， an －1
10 n n＋1 n＋1 11 11 即 ≥1，整理得 ≥ .(4 10 n－1 n 10 n· 11
分)
解得 n≤10，n＝10 时取等号．(6 分)
－7 －12 －15 －16 －15 －12 －7
课前探究学习
课堂讲练互动
描点：在平面直角坐标系中描出下列 各点即得数列{an}的图像： (1，－7)，(2，－12)，(3，－15)， (4，－16)，(5，－15)，(6，－12)， (7，－7)，(8,0)，(9,9)，… 图像如图所示． (2)数列{an}的图像既不是上升的，也 不是下降的，则{an}既不是递增的， 也不是递减的．
课前探究学习 课堂讲练互动
[正解一] an≤an＋1⇔n2＋λn≤(n＋1)2＋λ(n＋1)⇔λ≥－(2n＋1)， n∈N＋⇔λ≥－3.
[正解二] ∵an≤an＋ 1，∴{an}不减， 又 an 为 n 的二次式，并注意到 a1≤a2， λ 3 ∴－ ≤ ，解之，得 λ≥－3，∴填－3. 2 2
答案
n 1 为递增数列． 1＋ 2 >1，∴an＋ 1>an，∴数列 3n＋1 3n ＋4n
课前探究学习
课堂讲练互动
法三
x 令 f(x)＝ (x≥1)，则 3x＋1
1 13x＋1－1 1 f(x)＝ ＝ 1－ ， 3 3x＋1 3 3x＋1 ∴函数 f(x)在[1，＋∞)上是增函数，
n＋13n＋1－n3n＋4 1 ＝ ＝ ， 3n＋43n＋1 3n＋43n＋1
课前探究学习
课堂讲练互动
∵n∈N＋，∴an＋1－an>0，即 an＋ 1>an，
n 为递增数列． ∴数列 3n＋1
法二
∵n∈N＋，∴an>0.
n＋1 an＋1 3n＋4 n＋13n＋1 3n2＋4n＋1 ∵ ＝ ＝ ＝ ＝ 2 an n 3n＋4n 3n ＋4n 3n＋1
1.2 数列的函数特性
【课标要求】 理解数列的函数特性． 1． 2． 掌握三种特殊数列．
【核心扫描】 会根据数列的分类判断数列的单调性．(重点) 1． 会用函数的相关知识解决数列的最大(小)项等问题．(难点) 2．
课前探究学习
课堂讲练互动
自学导引
数列与函数 1． 正整数集N＋(或它的有限子 数列可以看作是一个定义域为_________________________ 集{1,2,3，…，n}) ________________的函数，当自变量从小到大依次取值 时，该函数对应的一列函数值就是这个数列．
(2)数列与函数： 推广，自变量任意化 数列 函数 自变量特殊化，定义域N＋或{1，2，3，…，n}.
课前探究学习
课堂讲练互动
即数列是一种特殊的函数． (3)任一数列都是函数，但任一函数并不都是数列．数列的图像 是一系列孤立的点，而函数的图像一般是连续的，不间断的． 2．数列单调性的判定方法 (1)作差比较法 ①若an＋1－an>0恒成立，则数列{an}是递增数列； ②若an＋1－an<0恒成立，则数列{an}是递减数列； ③若an＋1－an＝0恒成立，则数列{an}是常数列．
课前探究学习
课堂讲练互动
(2)作商比较法 ①若 an>0，则 an＋1 当 >1 时，数列{an}是递增数列； an
课前探究学习 课堂讲练互动
an＋1 当 <1 时，数列{an}是递减数列； an ②若 an<0，则 an＋1 当 <1 时，数列{an}是递增数列； an an＋1 当 >1 时，数列{an}是递减数列． an an＋1 ③若 an≠0，当 ＝1 时，数列{an}是常数列． an
10 n n＋1 n＋1 10 an 11 令 ≥1，即 ≥1，整理得 ≥ .(8 10 n＋1 an＋1 n＋2 11 n＋2 11
分)
课前探究学习
课堂讲练互动
解得n≥9，n＝9时取等号．(10分) ∴从第1项到第9项递增，从第10项起递减． ∴数列{an}有最大项，最大项为第9、10项， 1010 即 a9＝a10＝ 9 .(12 分) 11
课前探究学习
课堂讲练互动
[规范解答] 法一
∵an＋1－an＝ 分)
10 n＋1 10 n 10 n 9－n (n＋2) －(n＋1) ＝ · (4 11 11 11 11
当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；(6分) 当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；(8分) 当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1<an，(10分) 故a1<a2<a3<…<a9＝a10>a11>a12>…， 所以数列中有最大项，最大项为第9、10项，
课前探究学习 课堂讲练互动
题型二
【例2】
判断数列的增减性
n 的增减性． 判断数列 3n＋1
[思路探索] 由题目可获取以下主要信息：已知数列的 通项公式，作出数列增减性的判断．解答本题可用定义 求解，也可用函数知识求解．
n＋1 n＋1 n 解 ∵an＝ ，∴an＋1＝ ＝ . 3n＋1 3n＋1＋1 3n＋4 法一 n＋1 n an＋1－an＝ － 3n＋4 3n＋1
课前探究学习
课堂讲练互动
【训练1】 画出下列数列的图像，并判断数列的增减性． (1)2,4,6,8,10，…；(2)an＝－2n＋5. 解 (1)数列2,4,6,8,10，…的图像如图(1)所示．由图像知 它是递增数列．
(2)由通项公式an＝－2n＋5，写出数列的前5项3,1，－1， －3，－5，描点可得数列{an}的图像如图(2)所示．由图像 知它是递减数列．
(3)函数法：将通项公式转化为函数的形式，通过判断 函数的单调性来确定数列的单调性．
课前探究学习
课堂讲练互动
题型一
数列的图像
【例1】在数列{an}中，an＝n2－8n， (1)画出{an}的图像； (2)根据图像写出数列{an}的增减性． [思路探索] (1)当n∈N＋时，分别在平面直角坐标系中描出 点(n，an)即可．(2)图像的上升或下降显示数列的增减性． 解 (1)列表 n an 1 2 3 4 5 6 7 8 0 9 9 … …
课前探究学习
课堂讲练互动
解
(1)对任意 n∈N＋，
1 1 ∵an＋1－an＝ － n＋12＋5n＋1＋4 n2＋5n＋4 －2n＋3 ＝ <0， [n＋12＋5n＋1＋4]n2＋5n＋4 ∴数列{an}是递减数列． 1 (2)令 an<0，即 2 <0， n ＋5n＋4 ∴n2＋5n＋4<0⇒(n＋4)(n＋1)<0⇒－4<n<－1. 而 n∈N＋，故数列{an}没有负数项．
－3
课前探究学习
课堂讲练互动
函数的单调性与数列的单调性既有联系又有 区别，即数列所对应的函数若单调则数列一定单调，反 之若数列单调，其所对应的函数不一定单调，关键原因 在于数列是一个定义域为正整数集N＋(或它的有限子集 {1,2,3，…，n})的特殊函数．故对于数列的单调性的判 断一般要通过比较an＋1与an的大小来判断，若an＋1>an， 则数列为递增数列，若an＋1<an，则数列为递减数列．
项 an，则
另外一种方法就是将数列看作
一个特殊的函数，通过求函数的最值来解决数列的最值问题， 但此时应注意 n∈N＋这一条件．
an＋1＝an
课堂讲练互动
想一想：如何利用数列的单调性求数列的最大项和最小项？
提示 数列中的最大项或最小项的探求可通过数列的增减性
an≥an＋1， an 应满足 an≥an－1
加以解决，若求最大项 an，则
an≤an＋1， an 应满足 an≤an－1.
若求最小
课前探究学习
课堂讲练互动
2．数列的单调性 名 称 定 义 表达式
大于 从第二项起，每一项都_____它前 递增数列 面的一项
an＋1>an an＋1<an
小于 从第二项起，每一项都_____它前 递减数列 面的一项 常数列
摆动数列 相等 各项都_____ 从第2项起，有些项大于它的前1 项，有些项小于它的前1项的数列
【题后反思】 已知数列的通项公式求数列的最大(小)项， 其实质是求函数的最大(小)值，但要注意函数的定义域， 本题我们可以利用差值比较法来探讨数列的单调性，以此 求解最大项．
课前探究学习
课堂讲练互动
2 2n－2 2 n－1 数列{an} 【训练3】若数列{an}的通项公式 an＝5×5 －4×5 ，
课前探究学习
课堂讲练互动
规律方法 数列是一个特殊的函数，因此也可以用图像来 表示，以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标，即坐 标为(n，an)描点画图，就可以得到数列的图像．因为它的 定义域是正整数集N＋(或它的有限子集{1,2，3，…，n})， 所以其图像是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限 的，也可以是无限的．
误区警示
混淆函数与数列的单调性而致错
【示例】 已知数列{an}满足：an≤an＋1，an＝n2＋λn，n∈N＋，则实 数λ的最小值是________． [错解] ∵an≤an＋1，∴{an}单增，又an为n的二次式，
λ ∴－ ≤1，解之 λ≥－2，∴填－2. 2
二次函数的相关知识迁移到数列方面时，要注意定 义域发生了变化，类似的还有：an＝3n2－4n＋5(n∈N＋ )，当 n 4 ＝ 时 an 取最小值，这种错解忽视了 n∈N＋ .应为 n＝1 时，an 最 3 小．
课前探究学习 课堂讲练互动
1010 即 a9＝a10＝ 9 .(12 分) 11 法二 令 an ≥1(n≥2)， an －1
10 n n＋1 n＋1 11 11 即 ≥1，整理得 ≥ .(4 10 n－1 n 10 n· 11
分)
解得 n≤10，n＝10 时取等号．(6 分)
－7 －12 －15 －16 －15 －12 －7
课前探究学习
课堂讲练互动
描点：在平面直角坐标系中描出下列 各点即得数列{an}的图像： (1，－7)，(2，－12)，(3，－15)， (4，－16)，(5，－15)，(6，－12)， (7，－7)，(8,0)，(9,9)，… 图像如图所示． (2)数列{an}的图像既不是上升的，也 不是下降的，则{an}既不是递增的， 也不是递减的．
课前探究学习 课堂讲练互动
[正解一] an≤an＋1⇔n2＋λn≤(n＋1)2＋λ(n＋1)⇔λ≥－(2n＋1)， n∈N＋⇔λ≥－3.
[正解二] ∵an≤an＋ 1，∴{an}不减， 又 an 为 n 的二次式，并注意到 a1≤a2， λ 3 ∴－ ≤ ，解之，得 λ≥－3，∴填－3. 2 2
答案
n 1 为递增数列． 1＋ 2 >1，∴an＋ 1>an，∴数列 3n＋1 3n ＋4n
课前探究学习
课堂讲练互动
法三
x 令 f(x)＝ (x≥1)，则 3x＋1
1 13x＋1－1 1 f(x)＝ ＝ 1－ ， 3 3x＋1 3 3x＋1 ∴函数 f(x)在[1，＋∞)上是增函数，
n＋13n＋1－n3n＋4 1 ＝ ＝ ， 3n＋43n＋1 3n＋43n＋1
课前探究学习
课堂讲练互动
∵n∈N＋，∴an＋1－an>0，即 an＋ 1>an，
n 为递增数列． ∴数列 3n＋1
法二
∵n∈N＋，∴an>0.
n＋1 an＋1 3n＋4 n＋13n＋1 3n2＋4n＋1 ∵ ＝ ＝ ＝ ＝ 2 an n 3n＋4n 3n ＋4n 3n＋1
1.2 数列的函数特性
【课标要求】 理解数列的函数特性． 1． 2． 掌握三种特殊数列．
【核心扫描】 会根据数列的分类判断数列的单调性．(重点) 1． 会用函数的相关知识解决数列的最大(小)项等问题．(难点) 2．
课前探究学习
课堂讲练互动
自学导引
数列与函数 1． 正整数集N＋(或它的有限子 数列可以看作是一个定义域为_________________________ 集{1,2,3，…，n}) ________________的函数，当自变量从小到大依次取值 时，该函数对应的一列函数值就是这个数列．
(2)数列与函数： 推广，自变量任意化 数列 函数 自变量特殊化，定义域N＋或{1，2，3，…，n}.
课前探究学习
课堂讲练互动
即数列是一种特殊的函数． (3)任一数列都是函数，但任一函数并不都是数列．数列的图像 是一系列孤立的点，而函数的图像一般是连续的，不间断的． 2．数列单调性的判定方法 (1)作差比较法 ①若an＋1－an>0恒成立，则数列{an}是递增数列； ②若an＋1－an<0恒成立，则数列{an}是递减数列； ③若an＋1－an＝0恒成立，则数列{an}是常数列．
课前探究学习
课堂讲练互动
(2)作商比较法 ①若 an>0，则 an＋1 当 >1 时，数列{an}是递增数列； an
课前探究学习 课堂讲练互动
an＋1 当 <1 时，数列{an}是递减数列； an ②若 an<0，则 an＋1 当 <1 时，数列{an}是递增数列； an an＋1 当 >1 时，数列{an}是递减数列． an an＋1 ③若 an≠0，当 ＝1 时，数列{an}是常数列． an
10 n n＋1 n＋1 10 an 11 令 ≥1，即 ≥1，整理得 ≥ .(8 10 n＋1 an＋1 n＋2 11 n＋2 11
分)
课前探究学习
课堂讲练互动
解得n≥9，n＝9时取等号．(10分) ∴从第1项到第9项递增，从第10项起递减． ∴数列{an}有最大项，最大项为第9、10项， 1010 即 a9＝a10＝ 9 .(12 分) 11
课前探究学习
课堂讲练互动
[规范解答] 法一
∵an＋1－an＝ 分)
10 n＋1 10 n 10 n 9－n (n＋2) －(n＋1) ＝ · (4 11 11 11 11
当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；(6分) 当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；(8分) 当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1<an，(10分) 故a1<a2<a3<…<a9＝a10>a11>a12>…， 所以数列中有最大项，最大项为第9、10项，
课前探究学习 课堂讲练互动
题型二
【例2】
判断数列的增减性
n 的增减性． 判断数列 3n＋1
[思路探索] 由题目可获取以下主要信息：已知数列的 通项公式，作出数列增减性的判断．解答本题可用定义 求解，也可用函数知识求解．
n＋1 n＋1 n 解 ∵an＝ ，∴an＋1＝ ＝ . 3n＋1 3n＋1＋1 3n＋4 法一 n＋1 n an＋1－an＝ － 3n＋4 3n＋1
课前探究学习
课堂讲练互动
【训练1】 画出下列数列的图像，并判断数列的增减性． (1)2,4,6,8,10，…；(2)an＝－2n＋5. 解 (1)数列2,4,6,8,10，…的图像如图(1)所示．由图像知 它是递增数列．
(2)由通项公式an＝－2n＋5，写出数列的前5项3,1，－1， －3，－5，描点可得数列{an}的图像如图(2)所示．由图像 知它是递减数列．
(3)函数法：将通项公式转化为函数的形式，通过判断 函数的单调性来确定数列的单调性．
课前探究学习
课堂讲练互动
题型一
数列的图像
【例1】在数列{an}中，an＝n2－8n， (1)画出{an}的图像； (2)根据图像写出数列{an}的增减性． [思路探索] (1)当n∈N＋时，分别在平面直角坐标系中描出 点(n，an)即可．(2)图像的上升或下降显示数列的增减性． 解 (1)列表 n an 1 2 3 4 5 6 7 8 0 9 9 … …
课前探究学习
课堂讲练互动
解
(1)对任意 n∈N＋，
1 1 ∵an＋1－an＝ － n＋12＋5n＋1＋4 n2＋5n＋4 －2n＋3 ＝ <0， [n＋12＋5n＋1＋4]n2＋5n＋4 ∴数列{an}是递减数列． 1 (2)令 an<0，即 2 <0， n ＋5n＋4 ∴n2＋5n＋4<0⇒(n＋4)(n＋1)<0⇒－4<n<－1. 而 n∈N＋，故数列{an}没有负数项．
－3
课前探究学习
课堂讲练互动
函数的单调性与数列的单调性既有联系又有 区别，即数列所对应的函数若单调则数列一定单调，反 之若数列单调，其所对应的函数不一定单调，关键原因 在于数列是一个定义域为正整数集N＋(或它的有限子集 {1,2,3，…，n})的特殊函数．故对于数列的单调性的判 断一般要通过比较an＋1与an的大小来判断，若an＋1>an， 则数列为递增数列，若an＋1<an，则数列为递减数列．
项 an，则
另外一种方法就是将数列看作
一个特殊的函数，通过求函数的最值来解决数列的最值问题， 但此时应注意 n∈N＋这一条件．
合集下载
2013年高考数学必修5课件：第1章1.2
描点：在平面直角坐标系中描出下列各点即得 数列{an}的图像： (1，－7)，(2，－12)，(3，－15)，(4，－16)， (5，－15)，(6，－12)，(7，－7)，(8,0)， (9,9)，…
图像如图所示．
(2)数列{an}的图像既不是上
升的，也不是下降的，则{an}
既不是递增的，也不是递减
知新益能
1．数列与函数
正整数集N＋(或 数列可以看作是一个定义域为______________ 它的有限子集{1,2,3，…，n}) ____________________________的函数，当自 变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列 函数值就是这个数列． 2．数列的单调性
名称
定义
表达式 an＋1>an an＋1<an an＋1＝an
2．如何判定数列的单调性？ 提示：(1)作差比较法 ①若an＋1 －an>0恒成立，则数列{an}是递增数 列.
②若an＋1 －an<0恒成立，则数列{an}是递减数
列.
③若an＋1－an＝0恒成立，则数列{an}是常数列.
(2)作商比较法 ①若an>0，则
an＋1 当 a >1 时，数列{an}是递增数列； n an＋1 当 a <1 时，数列{an}是递减数列； n an＋1 当 ＝1 时，数列{an} 是常数列． an ②若 an<0，则 an＋1 当 a <1 时，数列{an}是递增数列； n
(2)由通项公式an ＝－2n＋5，写出数列的前5
项3,1，－1，－3，－5，描点可得数列{an}的
图像如图(2)所示．由图像知它是递减数列．
判断数列的单调性 判断数列的单调性，一般地，根据数列的通 项公式比较an＋1与an的大小，比较an＋1与an的 大小常用作差法，此外还可用作商法、函数 法．
北师大版高中数学必修5：数列_课件1(2)
所以 a1＜a2＜a3＜…＜a9＝a10＞a11＞a12＞…，
所以数列中有最大项，最大项为第 9、10 项，
即 a9＝a10＝1101190.
方法二：假设数列{an}中有最大项，并设第 k 项为最大项，
则
ak≥ak－1 ak≥ak＋1
对任意的 k∈N＋且 k≥2 都成立．
即k＋11110k≥k1110k－1
(2)若求一数列中最大项 an，只需满足aann≥≥aann＋ －11 求出 n 值，求最小项 an，只需满足aann≤≤aann＋ －11 求出 n 值.
3．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4，则(1)数列中有多少项是负数？
(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就构 成一个数列．
1．数列的表示方法
(1)数列可用图像来表示，在直角坐标系中，
以
序
号
为
横标 ，相应的项为纵标 描 点 画 图 ， 其 图 像 是
相应的曲线(或直线)上横坐标为正整数的一群孤立的点．
(2) 从 函 数 的 观 点 看 ， 数 列 的 表 示 方 法 有
∴
n＋1＋n n＋12＋1＋
n2＋1＜1
∴an＋1－an＜0，即 an＋1＜an. ∴数列{an}是递减数列．
方法二：(作商法)
∵an＞0，
∴aan＋n 1＝
n＋12＋1－n＋1 n2＋1－n
＝
[ n＋12＋1－n＋1] n2＋1＋n[ n＋12＋1＋n＋1] n2＋1－n n2＋1＋n[ n＋12＋1＋n＋1]
(2)递推公式存在一定的弊端，不能直接写出 指定的某一项的值，有时需转化成通项公式， 往往需运用归纳猜想或逻辑推理的方法得到．
所以数列中有最大项，最大项为第 9、10 项，
即 a9＝a10＝1101190.
方法二：假设数列{an}中有最大项，并设第 k 项为最大项，
则
ak≥ak－1 ak≥ak＋1
对任意的 k∈N＋且 k≥2 都成立．
即k＋11110k≥k1110k－1
(2)若求一数列中最大项 an，只需满足aann≥≥aann＋ －11 求出 n 值，求最小项 an，只需满足aann≤≤aann＋ －11 求出 n 值.
3．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4，则(1)数列中有多少项是负数？
(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就构 成一个数列．
1．数列的表示方法
(1)数列可用图像来表示，在直角坐标系中，
以
序
号
为
横标 ，相应的项为纵标 描 点 画 图 ， 其 图 像 是
相应的曲线(或直线)上横坐标为正整数的一群孤立的点．
(2) 从 函 数 的 观 点 看 ， 数 列 的 表 示 方 法 有
∴
n＋1＋n n＋12＋1＋
n2＋1＜1
∴an＋1－an＜0，即 an＋1＜an. ∴数列{an}是递减数列．
方法二：(作商法)
∵an＞0，
∴aan＋n 1＝
n＋12＋1－n＋1 n2＋1－n
＝
[ n＋12＋1－n＋1] n2＋1＋n[ n＋12＋1＋n＋1] n2＋1－n n2＋1＋n[ n＋12＋1＋n＋1]
(2)递推公式存在一定的弊端，不能直接写出 指定的某一项的值，有时需转化成通项公式， 往往需运用归纳猜想或逻辑推理的方法得到．
数列的函数特性课件-北师大版高中数学必修5
(1)1，12，13，…，n1，…； (2)1，2，22，…，263，…； (3)1，－0.1，0.12，…，(－0.1)n－1，…； (4)0，10，20，…，1 000； (5)－1，1，－1，1，…； (6)6，6，6，….
【解析】 (1)是无穷递减数列(1n>n＋1 1)． (2)是无穷递增数列(项随着序号的增加而增大)． (3)是无穷数列，由于奇数项为正，偶数项为负，故为摆动数 列． (4)是有穷递增数列． (5)是无穷数列，也是摆动数列． (6)是无穷数列，且是常数列．
【思路分析】 因为 an＝(n＋1)(1110)n 是积幂式子的形式且 an>0，所以可用比商法比较 an 与 an－1 的大小．
【解析】
(1)令aan－n 1≥1(n≥2)，即（nn·＋（1）1110（）11n10－）1 n≥1.
整理得n＋n 1≥1110.解得 n≤10.
令aan＋n 1≥1，即（（nn＋＋21））（（11111010））n＋n1≥1.
【解析】 (5)是有穷数列； (1)(2)(3)(4)(6)是无穷数列； (2)是递增数列； (1)(4)是递减数列； (6)是摆动数列； (3)(5)是常数列．
题型二 数列的单调性 例 2 已知数列{an}的通项公式为 an＝n2n＋2 1.求证此数列为递 增数列．
【证明】 ∵an＋1－an＝（（n＋n＋1）1）2＋2 1－n2n＋2 1 ＝（n＋1）[（2（n＋n21＋）12）＋－1]（n2[n（2＋n＋1）1）2＋1] ＝[（n＋1）22＋n＋11]（n2＋1）， 由 n∈N*，得 an＋1－an>0，即 an＋1>an. ∴数列{an}是递增数列．
整理得nn＋＋21≥1110.解得 n≥9.又 a9＝a10， ∴从第 1 项到第 9 项递增，从第 10 项起往后递减． (2)由(1)知 a9＝a10＝1101190最大．
【解析】 (1)是无穷递减数列(1n>n＋1 1)． (2)是无穷递增数列(项随着序号的增加而增大)． (3)是无穷数列，由于奇数项为正，偶数项为负，故为摆动数 列． (4)是有穷递增数列． (5)是无穷数列，也是摆动数列． (6)是无穷数列，且是常数列．
【思路分析】 因为 an＝(n＋1)(1110)n 是积幂式子的形式且 an>0，所以可用比商法比较 an 与 an－1 的大小．
【解析】
(1)令aan－n 1≥1(n≥2)，即（nn·＋（1）1110（）11n10－）1 n≥1.
整理得n＋n 1≥1110.解得 n≤10.
令aan＋n 1≥1，即（（nn＋＋21））（（11111010））n＋n1≥1.
【解析】 (5)是有穷数列； (1)(2)(3)(4)(6)是无穷数列； (2)是递增数列； (1)(4)是递减数列； (6)是摆动数列； (3)(5)是常数列．
题型二 数列的单调性 例 2 已知数列{an}的通项公式为 an＝n2n＋2 1.求证此数列为递 增数列．
【证明】 ∵an＋1－an＝（（n＋n＋1）1）2＋2 1－n2n＋2 1 ＝（n＋1）[（2（n＋n21＋）12）＋－1]（n2[n（2＋n＋1）1）2＋1] ＝[（n＋1）22＋n＋11]（n2＋1）， 由 n∈N*，得 an＋1－an>0，即 an＋1>an. ∴数列{an}是递增数列．
整理得nn＋＋21≥1110.解得 n≥9.又 a9＝a10， ∴从第 1 项到第 9 项递增，从第 10 项起往后递减． (2)由(1)知 a9＝a10＝1101190最大．
高中数学北师大版必修五课件：第1章 §1-1.2 数列的函数特性
三、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答， 大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
四、听方法。
在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”
本部分内容讲解结束
按ESC键退出全屏播放
编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
一、听要点。
一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物
【答案】 B
因为 an 是关于 n 的二次函数，本题易错解为函数对称轴k2≤1， k≤2，故选 A.错因是忽视了 n 为正整数这一条件．对于数列的 增减性的判断一般要通过比较 an＋1 与 an 的大小来判断：若 an＋1＞an，则数列为递增数列；若 an＋1＜an，则数列为递减数列．
1．下列说法中不正确的是( ) A．数列 a，a，a，…是无穷数列 B．数列{f(n)}就是定义在正整数集 N＋上或它的有限子集{1，2， 3，…，n}上的函数值 C．数列 0，－1，－2，－3，…不一定是递减数列 D．已知数列{an}，则{an＋1－an}也是一个数列
A.136
B．133
C．4
D．0
(2)作出数列－1，1，－1，1，…，(－1)n，…的图像，并判断
数列的增减性．
解：(1)选 D.因为 an＝－3n－522＋34，由二次函数性质，得当 n ＝2 或 3 时，an 最大，最大为 0. (2)作出数列的图像如图所示，数列各项的值负正相间，表示数 列的各点相对于横轴上下摆动，它既不是递增的，也不是递减 的．
北师大版高三数学必修5电子课本课件【全册】
第一章 数列
北师大版高三数学必修5电子课本 课件【全册】
1.数列
北师大版高三数学必修5电子课本 课件【全册】
1.1数列的概念
北师大版高三数学必修5电子课本 课件【全册】
北师大版高三数学必修5电子课本 课件【全册】
北师大版高三数学57页 0183页 0209页 0230页 0322页 0368页 0390页 0454页 0512页 0575页 0577页 0611页 0650页 0693页 0717页
第一章 数列 1.1数列的概念 习题1—1 2.1等差数列 习题1—2 3.1等比数列 习题1—3 习题1—4 复习题一 第二章 解三角形 1.1正弦定理 习题2—1 习题2—2 习题2—3 复习题二 1.不等关系 1.2比较关系
1.2数列的函数特性
北师大版高三数学必修5电子课本 课件【全册】
习题1—1
北师大版高三数学必修5电子课本 课件【全册】
2.等差数列
高中数学北师大版必修5课件：1.1.2数列的函数特性
������ (2) 证明 ������+1 ������������
=
(������+1)2 +1-(������+1) ������2 +1-������
=
������2 +1+������ (������+1) +1+(������+1)
2
<1.
∵an>0,∴an+1<an. ∴数列{an}是递减数列.
9 2 ������4 105 + . 8
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
判断数列的单调性
2 3 4 【例1】 写出数列1 , , , , … 的通项公式, 并判断它的增减性. 3 5 7 分析:观察得到数列的通项公式,用作差法判断an与an+1之间的大 小关系.
解 :题中数列的通项公式为 an=
∵an+1-an= 2������+1 − 2������-1 = ∴an+1<an, ∴数列{an}是递减数列.
【做一做1】 已知数列{an},an=n+1,则数列{an}是( ). A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 解析:∵an+1-an=[(n+1)+1]-(n+1)=1>0, ∴{an}为递增数列. 答案:A 【做一做2】 数列{-2n2+9n+3}中的最大项为 . 解析:由题意知an 因为n为正整数,所以当n取2时,an取到最大值,为13. 故数列{-2n2+9n+3}的最大项为a2=13. 答案:13 =-2n2+9n+3= -2
《数列的函数特性》PPT课件
工具
第一章 数列
5．已知数列{an}的通项公式为 an＝ n2＋1，证明数列 {an}为递增数列．
证明： ∵an＝ n2＋1，∴an＋1＝ n＋12＋1，
∴an＋1－an＝ n＋12－1－ n2＋1
＝
2n＋1 n＋12＋1＋
n2＋1＞0.
∴an＋1＞an，∴数列{an}为递增数列．
工具
第一章 数列
＜f(x2)成立，则称 f(x)是单调递增函数．
工具
第一章 数列
4．数列也可以看作定义域为正整数集N＋(或它的有限子集 {1,2,3，…，n})的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数 对应的一列函数值就构成一个数列．
工具
第一章 数列
1．数列的表示方法
(1) 数 列 可 用 图 像 来 表 示 ， 在 直 角 坐 标 系 中 ， 以 序 号 为 横标 ，相应的项为 纵标 描 点 画 图 ， 其 图 像 是 相应的曲线(或直线)上横坐标为正整数的一群孤立的点．
(2)方法一(作差法)：
∵an＋1－an＝ n＋12＋1－(n＋1)－( n2＋1－n) ＝ n＋12＋1－ n2＋1－1
＝[
n＋12＋1－ n2＋1][ n＋12＋1＋ n＋12＋1＋ n2＋1
n2＋1]－1
工具
第一章 数列
＝
n＋1＋n n＋12＋1＋
n2＋1－1
显然 n＋12＋1＞n＋1， n2＋1＞n.
(2)判断方法：①比较an＋1与an的大小(即定义法) ②利用数列的图像直观判断．
工具
第一章 数列
2．数列的递推关系 (1)有些数列的给出利用通项公式不直观或不能写成关于n的 函数，往往借助于相邻之间的关系给出：如数列 1,1,2,3,5,8,13，… 此数列的规律可以写成an＋2＝an＋1＋an.其中a1＝1，a2＝1.可 以利用以上关系列出整个数列，把此种类型的表示方法称为递 推公式法．
北师版选择性必修第二册1.1.2数列的函数特性【课件】
10 11
9
＝
1010 119
.
方法归纳
1．数列{an}中，若存在m∈N＋，对任意n∈N＋都有am≥an恒成立， 则am为数列{an}中的最大项；若存在t∈N＋，对任意n∈N＋都有at≤an 恒成立，则at为数列{an}中的最小项.
2．求数列的最大(小)项，其实质就是求相应函数的最大(小)值，但 要注意数列中的n∈N＋.
判断数列增减性的方法
(1)根据给出的通项公式画出图象，观察图象的变化趋势； (2)作差法：用数列的后一项减去前一项，an－an－1(n≥2，n∈N＋)或 an＋1－an，若结果为正，则是递增数列，若结果为负，则是递减数列； (3)作商法：在确定an为正或为负的情况下，作商，比较商值与1的关 系，从而确定数列的单调性； (4)借助数列通项公式对应函数的单调性进行判断.
1．2 数列的函数特性
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
[教材要点] 要点一 数列与函数 可以把一个数列视作定义在__正__整__数__集(或其子集)上的函数，因此 可以用图象(平面直角坐标系内的一串点)来表示数列，图象中每个点 的坐标为__(k_，__a_k)__，k＝1，2，3，….
跟踪训练2 已知数列{an}的通项公式an＝n2n+1(n∈N＋)，试判断该数 列的增减性，并说明理由．
解析：{an}为递减数列，理由如下：
an＋1－an＝
n+1 n+1 2+1
− n2n+1＝
n+1
n2+1 −n n+1 2+1
n+1 n2+1
2+1
＝
−n2−n+1 n+1 2+1 n2+1
高中数学第一章数列1.1.2数列的函数特性课件北师大版必修5
数学 必修5
第一章 数列
学课前预习学案
讲课堂互动讲义
练课后演练提升
函数与数列 1．任一数列都是函数，但任一函数并不都是数列．数列的 图像是一系列孤立的点，而函数的图像一般是连续的，不间断的． 2．数列的表示方法 常用的有四种：通项公式法(即解析式法)、列表法、图像法 和递推公式法．
数学 必修5
第一章 数列
学课前预习学案
讲课堂互动讲义
练课后演练提升
(1)通项公式法：数列{an}的通项公式 an＝f(n)．当 n 依次取 1,2,3，…，n，…时，即可得到数列 f(1)，f(2)，f(3)，…，f(n)，….
(2)列表法：用表格表示项数与项的关系. 项数 1 2 3 … n … 项 a1 a2 a3 … an …
讲课堂互动讲义
练课后演练提升
数列的函数特性 一个数列{an}，如果从第__二__项___起，每一项都__大__于___它前 面的一项，即 an＋1＞an，那么这个数列叫做递增数列． 如果从___第__二__项___起，每一项都__小__于___它前面的一项，即 an＋1＜an，那么这个数列叫做递减数列．如果数列{an}的各项都相 等，那么这个数列叫做__常___数__列____．
数学 必修5
第一章 数列
学课前预习学案
讲课堂互动讲义
练课后演练提升
1．已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝2an(n∈N＋)，此数列是
() A．递增数列
B．递减数列
C．常数列
D．摆动数列
数学 必修5
第一章 数列
学课前预习学案
讲课堂互动讲义
练课后演练提升
解析： 由 an＋1＝2an 得aan＋n 1＝2，又 a1＝1， ∴an>0，且 an＋1>an. 答案： A
高中数学 1.1.2 数列的函数特性课件 北师大版必修5
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 …
－－ － － － － －－
项
…
8 14 18 20 20 18 14 8
记 an＝n2－qn，数列图像如图所示：
由图像直观地看出它在{1，2，3，4}上是递减的，在{5， 6，7，8，…}上是递增的．
数列增减性的判断
已知数列{an}的通项公式 an＝n2＋n 1，试判断该 数列的增减性．
1．2 数列的函数特性
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 了解递增数列、递减数列、常数列的概念．掌握判断数 列增减性的方法．
2．过程与方法 通过画数列图像，观察图像的升降趋势的学习过程使学 生体会数列的增减性，学习过程采用启发、引导式教学． 3．情感、态度与价值观 通过本节课的学习培养学生数形结合思想，函数思想的 应用．
∵an＋1－an ＝(n＋2)(1110)n＋1－(n＋1)(1110)n＝(1110)n·9－ 11n， 当 n<9 时，an＋1－an>0，即 an＋1>an； 当 n＝9 时，an＋1－an＝0，即 an＋1＝an； 当 n>9 时，an＋1－an<0，即 an＋1<an. 故 a1<a2<a3<…<a9＝a10>a11>a12…， 所以数列中有最大项，最大项为第 9、10 项， 且 a9＝a10＝1101190.
解得 9≤k≤10. 又 k∈N＋， ∴数列{an}中存在的最大项是第 9 项和第 10 项， 且 a9＝a10＝1101190.
1．解答探索性题目的方法： 首先假设存在，然后在此前提下，利用已知条件进行推 理，若推出合理的结论，则说明存在；若推出矛盾的结论， 则说明不存在．
2．求数列的最大(小)项的两种方法： (1)利用判断函数增减性的方法，先判断数列的增减情况， 再求数列的最大项或最小项．