数列的函数特性习题(含答案)

2
(2)证明：当 n≥2 时，
an－an－1＝nn－＋11－n－n 2＝nn2＋1>0.
所以{an}是递增数列． 10．已知数列{an}的通项公式为 an＝n2－5n＋4，
(1)数列中有多少项为负数？
(2)n 为何值时，an 有最小值？并求此最小值． [解] (1)由 n2－5n＋4<0 得 1<n<4，n∈N＋，所以 n＝2 或 3.所以数列中有 2
A．第 6 项
B．第 7 项
C．第 6 项或第 7 项
D．第 5 项
D [an＝－n2＋10n＋11＝－(n2－10n＋25)＋36 ＝－(n－5)2＋36，所以当 n＝5 时，an 最大．]
5．一给定函数 y＝f(x)的图像在下列图中，并且对任意 a0∈(0,1)，由关系式
an＋1＝f(an)得到的数列{an}满足 an＋1＞an，则该函数的图像是( )
4
(2)an＝n2＋kn＋2＝
n＋k 2
2＋2－k2， 4
因为不等式
an≥a4
恒成立，所以
3.5≤－k≤4.5， 2
解得－9≤k≤－7.
5
课时分层作业(二)
(建议用时：60 分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．已知 an＝3n－2，n∈N＋，则数列{an}的图像是( )
A．一条直线
B．一条抛物线
C．一个圆
D．一群孤立的点
D [∵an＝3n－2，n∈N＋，∴数列{an}的图像是0,2an＋1＝an，则数列{an}是( )
项为负数．
(2)因为
an＝n2－5n＋4＝
n－5 2
2－9， 4
又因为 n∈N＋，
所以 n＝2 或 3 时，an 有最小值－2.
[能力提升练]
1．在数列{an}中，已知 an＝n＋c(c∈R)，则对于任意正整数 n 有( ) n＋1
A．an<an＋1
B．an 与 an＋1 的大小关系和 c 有关
C．an>an＋1
(－∞，2)
[由
于数
列{an}
为
单
调递
增数
列
，
an
＝
n
＋λ， n
所以
an ＋ 1 － an ＝
n＋1＋ λ n＋1
－
n＋λ n
＝1－nn＋λ 1>0，即λ<n(n＋1)(n∈N＋)，所以λ<2.]
三、解答题
9．已知数列{an}中，an＝n－1(n∈N＋)． n＋1
(1)求 a2＋a3；(2)证明{an}是递增数列． [解] (1)由已知得 a2＋a3＝13＋24＝56.
D．an 与 an＋1 的大小关系和 n 有关
B [因为 an＝n＋c＝1＋c－1，n＋1≥2， n＋1 n＋1
所以当 c－1>0，
即 c>1 时，ƒ(n)＝an 单调递减，
an＋1<an，
当 c－1＝0，即 c＝1 时，an＝1，an＋1＝an＝1，
当 c－1<0，即 c<1 时，ƒ(n)＝an 单调递增，an＋1>an，
1
A [由 an＋1＝f(an)，an＋1＞an，得 f(an)＞an，即 f(x)＞x，结合图像知 A 正确．] 二、填空题
6．若数列{an}为递减数列，则{an}的通项公式可能为______(填序号)． ①an＝－2n＋1；②an＝－n2＋3n＋1；③an＝21n；④an＝(－1)n.
①③ [可以通过画函数的图像一一判断．②中第一、二项相等，④是摆动
所以当 n＝5 时，an 取最小值．]
5．数列{an}的通项公式为 an＝n2＋kn＋2.
(1)若 a2＝a7，求数列{an}的最小项；
(2)若不等式 an≥a4 恒成立，求实数 k 的取值范围．
[解]
(1)由
a2＝a7 得
k＝－9，即
an＝n2－9n＋2＝
n－9 2
2－73. 4
因为 n∈N＋，所以当 n＝4 或 5 时，{an}的最小项为 a4＝a5＝－18.
a6＝2a5＝14，
∴前 6 项之和为 33.]
3．数列{an}中，a1＝2，an＝2an－1(n∈N＋，2≤n≤10)，则数列{an}的最大项
为________．
1 024 [∵a1＝2，an＝2an－1，∴an≠0，∴aan－n1＝2＞1，∴an＞an－1，即数列{an} 单调递增，∴{an}的最大项为 a10＝2a9＝4a8＝…＝29·a1＝29·2＝210＝1 024.]
数列．]
7 7．已知数列{an}的通项公式为 an＝(n＋2) 8 n.
则当 an 取最大值时，n 等于________．
5或6
[由题意知 an≥an－1，
n≤6， 解得
an≥an＋1，
n≥5.
所以 n＝5 或 6.]
8．已知数列{an}为单调递增数列，通项公式为 an＝n＋nλ，则λ的取值范围是 ________．
所以 an＋1 与 an 的大小关系和 c 有关，和 n 无关，故选 B.]
2an，n 为正奇数，
2．已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝
则其前 6 项之和
an＋1，n 为正偶数，
是( )
3
A．16
B．20
C．33
D．120
C [a1＝1，a2＝2a1＝2，a3＝a2＋1＝3，
a4＝2a3＝6，a5＝a4＋1＝7，
4．已知数列{an}满足 an＝ n＋1 (n∈N＋)，则数列{an}中的最小项是第 3n－16
________项．
5
[an＝
n＋1
n－16＋19 ＝ 33
3n－16 3n－16
19 ＝1＋ 3 ，
3 3n－16
令 3n－16<0，得 n<16. 3
0，16 又数列{an}在 3 上单调递减，且 n∈N＋，
A．递增数列
B．递减数列
C．常数列
D．以上都不对
B [∵a1＞0，an＋1＝12an，∴an＞0，∴aan＋n1＝12＜1，∴an＋1＜an.] 3．在递减数列{an}中，an＝kn(k 为常数)，则实数 k 的取值范围是( )
A．R
B．(0，＋∞)
C．(－∞，0)
D．(－∞，0]
C [∵{an}是递减数列，∴an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k<0.] 4．设 an＝－n2＋10n＋11，则数列{an}中第几项最大( )