第一章 高等代数多项式PPT课件

高等代数
高等代数
Higher Algebra 湖南大学数学与计量经济学院
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多项式
推荐教材： 《高等代数简明教程》(上、下册) 蓝以中著 《高等代数》(上、下册) 丘维声著
《高等代数学》(第2版) 姚慕生、吴泉水著
推荐习题集： 《高等代数精选题解》 杨子胥著 《高等代数中的典型问题与方法》李志慧、李永明著 《高等代数题解精粹》 钱吉林著
一个数集中，数的加、减、乘、除运算称为数的代数运算。
若数集P中任何两个数做某一运算后的结果仍然在这个数集 P中，则称该数集P对这个运算是封闭的。
a) 自然数集N对加、乘运算封闭，对减、除不封闭。 b) 整数集Z对加、减、乘运算封闭，对除不封闭。 c) 有理数集Q、实数集R、复数集C对加、减、乘、除 d) (除数不为0)四种运算都封闭。
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多项式
§1 数环和数域
根据数集对运算的封闭情况，可以得到两类数集： 数环和数域。
一、数环
定义1：若P是由一些复数组成的非空集合，若数集P对加、 减、乘三种运算都封闭，即对a，b∈P，总有a+b，a-b， a•b∈P，则称数集P是一个数环。
例如：整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C都是数环。
例 1 除了以上数环外，是否还有其他数环？有没有最小数环？
当m<n时，设bm+1=…=bn=0。
多项式f (x)和g(x)的乘积为：
nm
f(x)g(x) ( .
aibj)xs
s0 ijs
多项式
§2 一元多项式的定义和运算
多项式的运算(加、减、乘)满足以下运算规律：
加法交换律： f (x)+g(x) = g(x)+f (x) 加法结合律： [f (x)+g(x)]+h(x)=f (x)+[g(x)+h(x)] 乘法交换律： f (x)•g(x)=g(x)•f (x) 乘法结合律： [f (x)•g(x)]•h(x) = f (x)•[g(x)•h(x)] 乘法对加法的分配律：
非负整数 n 称为多项式 f (x) 的次数，记为 (f(x))n
例如： f(x)3x22x1 (f(x))2
f(x) 3
(f(x))0
几类特殊的多项式：
零次多项式：次数为0的多项式，即非零常数。
零多项式：系数全为0的多项式，即f (x)=0。对零多项式不
定义次数，因此，在使用次数符号时，总假定f (x)≠0。
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多项式
第一章 多项式
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绪论与准备知识
一、复 数
◆ 复数的概念 ◆ 复数的实部与虚部；模与幅角 ◆ 复数的三角表示，欧拉公式 ◆ 代数基本定理
◆ zn 1 的根
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准备知识
二、 数 域 的 概 念
1、数的认识过程
自然数
整数
有理数
实数
复数
N
Z
Q
R
C
2、数的范围对问题的影响
● x2 2 在有理数范围内不能进行因式分解，但在实
定义1在以下两方面推广了中学的多项式定义：
1) 这里的x不再局限为实数，而是任意的文字或符号。
2) 多项式中的系数可以在任意数域中。
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多项式
§2 一元多项式的定义和运算
例如： f(x ) 9 x 3 3 x 2 2 x 1 是Q上的一元多项式。
f(x)x2 2x3是R上的一元多项式。
f(x)5x2ix3是C上的一元多项式。
x2 2在有理数范围内不能进行因式分解，但在实域
内就可以分解。
x2 10在实数范围内没有根，但在复数域内就有一
对共轭复根。
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多项式
§1 数环和数域
我们通常考虑的数的范围主要包括全体实数、全体有理数以 及全体复数等，它们具有一些不同的性质，但也有很多共同 的性质，在代数中经常将具有共同性质的对象统一进行讨论。
首一多项式：首项系数为1的. 多项式。
多项式
二、多项式的运算
§2 一元多项式的定义和运算
定义4：设
f(x)anxnan1xn1a1xa0,
g(x)bmxmbm 1xm 1b1xb0,
是数域P上次数分别为n和m的多项式(不妨假设m≤n)，则
多项式f (x)和g(x)的和，差为：
f ( x ) g ( x ) ( a n b n ) x n ( a 1 b 1 ) x ( a 0 b 0 ) ,
§2 一元多项式的定义和运算
一称、为一首元项多，项式的定义
其中首项系数an≠0
常数项，或称 零次项
定义1：设 x 是一个文字(或符号)，n 是一个非负整数，
表达式
n
anxnan 1xn 1a1xa0 aixi
i0
其中a0，a1，…，an全属于数域P，称为系数在数域 P 中的
一元多项式，或简称为数域 P 上的一元多项式。
而
x21, 2x3, x33x2 都不是多项式。
x
x1
定义2：如果在多项式f (x)与g(x)中，除去系数为零的项外， 同次项的系数相等，那么就称多项式 f (x) 或 g(x) 相等，记为
f (x) = g(x)
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多项式
§2 一元多项式的定义和运算
定义3：设
f( x ) a n x n a n 1 x n 1 a 1 x a 0 , a n 0 ,
域内就可以分解。
● x2 10 在实数范围内没有根，但在复数域内就有
一对共轭复根。 .
多项式
§1 数环和数域
§1 数环和数域
数是数学中的一个基本概念，人们对数的认识经历了一个长期 的发展过程，由自然数到整数、有理数，然后是实数到复数。 数学中的许多问题都和数的范围有关，数的范围不同，对同一 问题的回答可能也不相同。例如
证明P2，P是一个数域，而且P是包含P1和P2的最小数域。
例 6 证明任何数域都包含有理数域Q。
例 7 在Q与R之间是否还有别的数域?R与C之间呢？
例 8 设F1和F2是两个数域，证明： 1）F1∩F2是一个数域； 2）F1∪F2是数域的充分必要条件是F1⊆F2或F2⊆F1。
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§2 一元多项式的定义和运算
例 2 一个数环是否一定包含0元？除零环外，是否还有只包含
有限个元素的数环？
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§1 数环和数域
例 3 证明 P{2ab2|a,b Z }是包含 2 的最小数环。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二、数域
定义2：若P是由一些复数组成的集合，其中包含0和1，如 果数集P对加、减、乘、除(除数不为0)四种运算都封闭， 则称数集P是一个数域。
定义3：若P是一个数环，如果① 数集P内含有一个非零数 ② 对a，b∈P，且b≠0，有a/b ∈P，则称数集P是一个 数域。
例如：有理数集Q、实数集R、复数集C都是数域。 .
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§1 数环和数域
例 4 证明 Q (2 ) { a b2|a ,b Q }是一个数域。
例 5 设 P 1{ ab2|a,b Q }P 2 { ab3|a,b Q } P { a b 2 c3 d 6 |a ,b ,c ,d Q }