高等代数课件北大版第九章 欧式空间.ppt
合集下载
高等代数9-4
§9.4 正交变换
3. 欧氏空间V的正交变换是V到自身的同构映射．
因而有， 1）正交变换的逆变换是正交变换； （由同构的对称性可得之） 2）正交变换的乘积还是正交变换． （由同构的传递性可得之）
§9.4 正交变换
4. n 维欧氏空间中正交变换的分类：
设 n 维欧氏空间V中的线性变换 在标准正交基 1,2, , n下的矩阵是正交矩阵A，则 A 1. 1）如果 A 1, 则称 为第一类的（旋转）; 2）如果 A 1, 则称 为第二类的．
§9.4 正交变换
例、在欧氏空间中任取一组标准正交基 1,2, ,n,
定义线性变换 为：
1 1 i i ,
i 2,3, n.
则 为第二类的正交变换，也称之为镜面反射．
§9.4 正交变换
例：设 是n 维欧氏空间V 的一个单位向量，定义变换
( ) 2(, ). 证明: （1） 是正交变换，这样的正交变换称为镜面
(2)
§9.4 正交变换
( ), ( ) ( , ),
(3)
把(3)展开得，
( ), ( ) 2 ( ), ( ) ( ), ( )
( , ) 2( , ) ( , )
再由(1)(2)即得，
( ), ( ) ( , )
是正交变换．
§9.4 正交变换
再证明2)与3)等价．
正交基1,2, ,n 的过渡矩阵是正交矩阵.
§9.4 正交变换
所以，A是正交矩阵．
" " 设 1,2, , n 为V的标准正交基，且
1,2, ,n 1,2, ,n A 即， 1,2, ,n 1,2, , n A
由于当A是正交矩阵时，1,2, ,n 也是V的
标准正交基， 再由1即得 为正交变换．
3. 欧氏空间V的正交变换是V到自身的同构映射．
因而有， 1）正交变换的逆变换是正交变换； （由同构的对称性可得之） 2）正交变换的乘积还是正交变换． （由同构的传递性可得之）
§9.4 正交变换
4. n 维欧氏空间中正交变换的分类：
设 n 维欧氏空间V中的线性变换 在标准正交基 1,2, , n下的矩阵是正交矩阵A，则 A 1. 1）如果 A 1, 则称 为第一类的（旋转）; 2）如果 A 1, 则称 为第二类的．
§9.4 正交变换
例、在欧氏空间中任取一组标准正交基 1,2, ,n,
定义线性变换 为：
1 1 i i ,
i 2,3, n.
则 为第二类的正交变换，也称之为镜面反射．
§9.4 正交变换
例：设 是n 维欧氏空间V 的一个单位向量，定义变换
( ) 2(, ). 证明: （1） 是正交变换，这样的正交变换称为镜面
(2)
§9.4 正交变换
( ), ( ) ( , ),
(3)
把(3)展开得，
( ), ( ) 2 ( ), ( ) ( ), ( )
( , ) 2( , ) ( , )
再由(1)(2)即得，
( ), ( ) ( , )
是正交变换．
§9.4 正交变换
再证明2)与3)等价．
正交基1,2, ,n 的过渡矩阵是正交矩阵.
§9.4 正交变换
所以，A是正交矩阵．
" " 设 1,2, , n 为V的标准正交基，且
1,2, ,n 1,2, ,n A 即， 1,2, ,n 1,2, , n A
由于当A是正交矩阵时，1,2, ,n 也是V的
标准正交基， 再由1即得 为正交变换．
高等代数【北大版】课件
线性规划问题
线性方程组是求解线性规划问题的常用工具 。
物理问题建模
在物理问题中，线性方程组可以用来描述各 种现象，如振动、波动等。
投入产出分析
通过线性方程组分析经济系统中各部门之间 的相互关系。
控制系统分析
在控制系统分析中，线性方程组用于描述系 统的动态行为。
PART 03
向量与矩阵
REPORTING
高等代数【北大版】 课件
REPORTING
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 多项式 • 特征值与特征向量 • 二次型与矩阵的相似对角化
目录
PART 01
绪论
REPORTING
高等代数的应用
在数学其他分支的应用
高等代数是数学的基础学科，为其他分支提供了理论基础，如几 何学、分析学等。
PART 04
多项式
REPORTING
一元多项式的定义与运算
总结词
一元多项式的定义、运算性质和运算方法。
详细描述
一元多项式是由整数系数和变量组成的数学对象，具有加法、减法、乘法和除法等运算性质和运算方法。一元多 项式可以表示为$a_0 + a_1x + a_2x^2 + ldots + a_nx^n$的形式，其中$a_0, a_1, ldots, a_n$是整数，$x$是 变量。
矩阵的相似对角化
总结词
矩阵的相似对角化是将矩阵转换为对角矩阵 的过程，有助于简化矩阵运算和分析。
详细描述
矩阵的相似对角化是通过一系列的线性变换 ，将一个矩阵转换为对角矩阵。对角矩阵是 一种特殊的矩阵，其非主对角线上的元素都 为零，主对角线上的元素为特征值。通过相 似对角化，可以简化矩阵运算，并更好地理 解矩阵的性质和特征。
线性方程组是求解线性规划问题的常用工具 。
物理问题建模
在物理问题中，线性方程组可以用来描述各 种现象，如振动、波动等。
投入产出分析
通过线性方程组分析经济系统中各部门之间 的相互关系。
控制系统分析
在控制系统分析中，线性方程组用于描述系 统的动态行为。
PART 03
向量与矩阵
REPORTING
高等代数【北大版】 课件
REPORTING
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 多项式 • 特征值与特征向量 • 二次型与矩阵的相似对角化
目录
PART 01
绪论
REPORTING
高等代数的应用
在数学其他分支的应用
高等代数是数学的基础学科，为其他分支提供了理论基础，如几 何学、分析学等。
PART 04
多项式
REPORTING
一元多项式的定义与运算
总结词
一元多项式的定义、运算性质和运算方法。
详细描述
一元多项式是由整数系数和变量组成的数学对象，具有加法、减法、乘法和除法等运算性质和运算方法。一元多 项式可以表示为$a_0 + a_1x + a_2x^2 + ldots + a_nx^n$的形式，其中$a_0, a_1, ldots, a_n$是整数，$x$是 变量。
矩阵的相似对角化
总结词
矩阵的相似对角化是将矩阵转换为对角矩阵 的过程，有助于简化矩阵运算和分析。
详细描述
矩阵的相似对角化是通过一系列的线性变换 ，将一个矩阵转换为对角矩阵。对角矩阵是 一种特殊的矩阵，其非主对角线上的元素都 为零，主对角线上的元素为特征值。通过相 似对角化，可以简化矩阵运算，并更好地理 解矩阵的性质和特征。
第09章 欧式空间
= α s−1
−
(α s−1, ε1 ) (ε1,ε1 )
ε
1
−⋯
−
(α s−1 (ε s−2
,ε ,ε
s −2 s−2
) )
ε
s
−2
，ε s
= αs
−
s −1 k=1
(α s (εk
− εk ) ,εk )
ε
k
① L(ε1 ,⋯,ε s ) = L (α1 ,⋯,αs ) ⇔ ε1,⋯,ε s 与 α1,⋯, αs 等价
α = (ε1,⋯,ε n ) X = (η1,⋯,ηn ) X ， X = T X ， β = (ε1,⋯,ε n)Y = (η1,⋯,η n)Y ，Y = T Y
(α, β )在基 ε1,⋯,ε n ，η1,⋯,ηn下的度量矩阵分别为 G, G
(α ,
β)
=
X
'GY
=
X
'
T
'GT Y
=
X
'
GY
∴G = T 'GT 即 G~G
⎧R欧式空间
线性空间定义度量性质后 ⎪⎪C酉空间
⎨⎪思维时空空间 ⎪⎩辛空间
三维几何空间 R3
R
2
：设
� a
=
(a1
,
a2
),
� b
=
(b1,
b2)
�� a ⋅b = a1b1 + a2b2 ∈R
� a 的长度：
� a
=
a2 + a2 =
�� a⋅a
1
2
�� a,b
的夹角：
<
�� a, b
>= ar
高等代数课件(北大版)第九章 欧式空间§9.1
事实上，对 V ,0，即 X 0
有 (,) X A X 0
A 为正定矩阵.
③ 由（10）知，在基 1,2, ,n下，向量的内积
由度量矩阵A完全确定.
*
第二十六页，共30页。
④ 对同一内积而言，不同基的度量矩阵是合同的.
证：设 1 ,2 , ,n ;1 ,2 , ,n为欧氏空间V的两组
基，它们的度量矩阵分别为A、B ，且
b
b
2 .( k f ,g ) a k f ( x ) g ( x ) d x k a f ( x ) g ( x ) d x
k(f,g)
*
第七页，共30页。
3 .(f g ,h ) a b f(x ) g (x ) h (x )d x
b
b
af(x )h (x )d x ag (x )h (x )d x
V为欧氏空间， ,, V , k R
1 ) ( , k ) k ( ,) , k , k k 2 ( ,)
2 )(, ) (,) (,)
s
s
推广： (,i)(,i)
i1
i1
3) (0,)0
* 第九页，共30页。
二、欧氏空间中向量的长度
1. 引入长度概念的可能性
1）在 R 3 向量 的长度（模） .
* 第十六页，共30页。
2）
施瓦兹 不等式
bf(x )g (x )d xbf2 (x )d xb g 2 (x )d x
a
a
a
证：在 C (a,b) 中，f(x) 与g(x) 的内积定义为
b
(f(x ),g (x ))af(x )g (x )d x
由柯西－布涅柯夫斯基不等式有
(f(x ),g (x ))f(x )g (x )
有 (,) X A X 0
A 为正定矩阵.
③ 由（10）知，在基 1,2, ,n下，向量的内积
由度量矩阵A完全确定.
*
第二十六页，共30页。
④ 对同一内积而言，不同基的度量矩阵是合同的.
证：设 1 ,2 , ,n ;1 ,2 , ,n为欧氏空间V的两组
基，它们的度量矩阵分别为A、B ，且
b
b
2 .( k f ,g ) a k f ( x ) g ( x ) d x k a f ( x ) g ( x ) d x
k(f,g)
*
第七页，共30页。
3 .(f g ,h ) a b f(x ) g (x ) h (x )d x
b
b
af(x )h (x )d x ag (x )h (x )d x
V为欧氏空间， ,, V , k R
1 ) ( , k ) k ( ,) , k , k k 2 ( ,)
2 )(, ) (,) (,)
s
s
推广： (,i)(,i)
i1
i1
3) (0,)0
* 第九页，共30页。
二、欧氏空间中向量的长度
1. 引入长度概念的可能性
1）在 R 3 向量 的长度（模） .
* 第十六页，共30页。
2）
施瓦兹 不等式
bf(x )g (x )d xbf2 (x )d xb g 2 (x )d x
a
a
a
证：在 C (a,b) 中，f(x) 与g(x) 的内积定义为
b
(f(x ),g (x ))af(x )g (x )d x
由柯西－布涅柯夫斯基不等式有
(f(x ),g (x ))f(x )g (x )
高等数学(高教版)第九章欧几里得空间第六节课件
第六节
实对称矩阵的标准形
主要内容
问题的提出 正交矩阵的求法
实对称矩阵的性质
主要结论
举例
正交的线性替换
一、问题的提出
在第五章我们得到，任意一个对称矩阵都合同
于一个对角矩阵，
使
换句话说，都有一个可逆矩阵 C
CTAC
成对角形. 在这一节，我们将利用欧氏空间的理论
把第五章中关于实对称矩阵的结果进行加强，这就 是这一节要解决的主要问题：
下的矩阵就是 A .
(2)
引理 2
设 A 是实对称矩阵，A 的定义如上
则对任意的 , Rn , 有 (A , ) = ( , A ) ， 或 (3)
T ( A ) = TA .
证明
只要证明后一等式即可.
实际上 = ( A )T
T ( A )
= TAT = T( A ) .
1 6 1 6 2 6 0
1 12 1 12 1 12 3 12
1 2 1 2 . 1 2 1 2
TTAT = diag(1, 1, 1, -3) .
例2 设
3 A 2 0
2 2 2
0 2 1
x1 x2 x n
满足
A = 0 . 令
x1 x2 , x n
其中
xi 是 xi 的共轭复数，则
考察等式
A = 0 .
T (A )
= TAT
= (A )T
T 是一个正交矩阵，而
T-1AT = TTAT 就是对角形. 根据上面的讨论，求正交矩阵 T 的步骤如下： STEP 1 求出 A 的特征值. 设 1 , …, r 是 A
实对称矩阵的标准形
主要内容
问题的提出 正交矩阵的求法
实对称矩阵的性质
主要结论
举例
正交的线性替换
一、问题的提出
在第五章我们得到，任意一个对称矩阵都合同
于一个对角矩阵，
使
换句话说，都有一个可逆矩阵 C
CTAC
成对角形. 在这一节，我们将利用欧氏空间的理论
把第五章中关于实对称矩阵的结果进行加强，这就 是这一节要解决的主要问题：
下的矩阵就是 A .
(2)
引理 2
设 A 是实对称矩阵，A 的定义如上
则对任意的 , Rn , 有 (A , ) = ( , A ) ， 或 (3)
T ( A ) = TA .
证明
只要证明后一等式即可.
实际上 = ( A )T
T ( A )
= TAT = T( A ) .
1 6 1 6 2 6 0
1 12 1 12 1 12 3 12
1 2 1 2 . 1 2 1 2
TTAT = diag(1, 1, 1, -3) .
例2 设
3 A 2 0
2 2 2
0 2 1
x1 x2 x n
满足
A = 0 . 令
x1 x2 , x n
其中
xi 是 xi 的共轭复数，则
考察等式
A = 0 .
T (A )
= TAT
= (A )T
T 是一个正交矩阵，而
T-1AT = TTAT 就是对角形. 根据上面的讨论，求正交矩阵 T 的步骤如下： STEP 1 求出 A 的特征值. 设 1 , …, r 是 A
高等代数欧几里得空间课件
矩阵的定义
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，可 以表示向量之间的关系和线性变换。
VS
矩阵的性质
矩阵具有一些重要的性质，如矩阵的加法、 标量乘法和乘法满足相应的运算规则，矩 阵的转置、行列式、逆等也具有相应的性 质和定义。
矩阵的运算规则
1 2 3
矩阵的加法 矩阵的加法满足交换律和结合律，即 $A+B=B+A$和$(A+B)+C=A+(B+C)$。
运算规则二
如果 $W_1$ 和 $W_2$ 是子空间，且 $W_1 cap W_2 = {0}$， 则 $W_1 + W_2$ 是子空间。
运算规则三
如果 $W$ 是子空间，且 $u in W$，则存在唯一的 $v in W$ 使得 $u + v = 0$。
欧几里得空的同
06
构与等价
同构的定义与性质
等价性质
等价的欧几里得空间具有相同的秩，且线性变换在等价 下是可逆的。
THANKS.
矩阵运算对应线性变换运 算
矩阵的加法、标量乘法和乘法分别对应线性 变换的加法、标量乘法和复合运算。
特征与特征向量
04
特征值与特征向量的定义
特征值
对于一个给定的矩阵A，如果存在一个非零的数λ和相应的非零向量x，使得Ax=λx成立， 则称λ为矩阵A的特征值，x为矩阵A的对应于λ的特征向量。
特征向量
与特征值λ对应的非零向量x称为矩阵A的对应于λ的特征向量。
助于学生更好地理解和掌握这一概念。
04
复数域上的全体二维向量构成的集合是一个二维复数 欧几里得空间。
向量与向量的运算
ห้องสมุดไป่ตู้02
向量的定义与表示
高等代数-9第九章欧几里得空间
, yn ' ,
(2)当 A=E 时写出内积的具体表达式.
称A =E 时定义的内积
, ' x1 y1 x2 y2
为普通内积或按通常定义的内积.
xn yn
§1 定义与基本性质
注1 同一线性空间V 上可以定义多个内积. 线性空间V 在不同的内积定义下构成不同的欧氏空间.
因此欧氏空间V的定义是和线性空间V以及V的 内积的定义紧密联系的.
§1 定义与基本性质(P363)
注 (1) 零向量与任意向量正交,即 o .
(2) 若 , 则 o.
(3) 若 , 非零, 则 , .
2
(4) 勾股定理 , V | |2 | |2 | |2
证明
2 ,
, 2, ,
了解欧几里得空间的内积的矩阵表示, 掌握度量矩阵
§1 定义与基本性质(P359)
一. 欧几里得空间的定义 1. 定义 设V是实数域 R上的线性空间,在V上定义二
元实函数( , ) , 满足性质: , , V , k R
1) ( , ) ( , ) （对称性）
2) (k , ) k( , )
f (x)为开口向上且与x轴最多只有一个交点的抛物线.
则判别式 4(, )2 4(, )( , ) 0, 即 ( , )2 ( , )( , ), 结论成立.
§1 定义与基本性质(P362)
下证 | (, ) || || | 当且仅当 、 线性相关. " " 若 、 线性相关,不妨设 k ,
第九章 欧几里得空间(P359)
§1 定义与基本性质 §2 标准正交基 §3 同构 §4 正交变换 §5 子空间 §6 对称矩阵的标准形 §7 向量到子空间的距离─最小二乘法
高等代数第九章 3第三节 同构
α = x1ε 1 + x 2ε 2 + L + x nε n
令
返回
σ(α)= ( x1 , x 2 , L , x n ) ∈ R，这是V到 的一个双射 双射， 我们知道，这是 到Rn的一个双射，并且适合定义 条件1), 2)(第六章§ 上一节(3)式说明, (3)式说明 中条件1), 2)(第六章§8). 上一节(3)式说明, σ 也适合条件3) 因而σ是 到 一个同构映射， 也适合条件3)，因而 是V到Rn的一个同构映射， 条件3)， 由此可知 结论 每个n维的欧氏空间都与R 同构. 每个 维的欧氏空间都与 n同构 维的欧氏空间都与 下面来证明，同构作为欧氏空间之间的关系 下面来证明，同构作为欧氏空间之间的关系 作为欧氏空间 反身性、 具有反身性 对称性与传递性. 具有反身性、对称性与传递性 证明 首先，每个欧氏空间到自身的恒等映射显 首先，每个欧氏空间到自身的恒等映射显 欧氏空间 同构映射. 关系是 然是同构映射 这就是说，同构关系 反身的 然是同构映射 这就是说，同构关系是反身的.
返回
上页
下页
返回 上页 下页
其次， 一个同构映射， 其次，设σ是V到V′的一个同构映射，我们知 是 到 逆映射σ 也适合定义中条件 条件1), 2)( 道，逆映射 -1也适合定义中条件1), 2)(第六章 而且对于α, ∈ §8). 而且对于 ,β∈V′ ，有 (α,β)=(σ(σ-1(α)),σ(σ-1(β)))=(σ-1(α),σ-1(β)) . , , , 这就是说， 这就是说，σ-1是V′到V的一个同构映射，因而同构 的一个同构映射，因而同构 关系是对称的. 关系是对称的 第三， 分别是V到 第三，设σ,τ分别是 到V′ ，V′到V′′的同构映 , 分别是 不难证明τσ是 到 证明留给大 射. 不难证明 是V到V′′的同构映射 (证明留给大 家作练习) 因而同构关系是传递的. 同构关系 家作练习 ，因而同构关系是传递的
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二、欧氏空间中向量的长度
1. 引入长度概念的可能性
1）在 R3向量 的长度（模） . 2) 欧氏空间V中， ,V , (, ) 0
使得 有意义.
2. 向量长度的定义
,V , ( , ) 称为向量 的长度.
特别地，当 1时，称 为单位向量.
§9.1 定义与基本性质
数学与计算科学学院
问题的引入
1、线性空间中，向量之间的基本运算为线性运算， 其具体模型为几何空间 R2、R3, 但几何空间的度量 性质(如长度、夹角)等在一般线性空间中没有涉及.
2、在解析几何中，向量的长度，夹角等度量性质 都可以通过内积反映出来：
长度：
夹角 , ： cos ,
b
b
1 . ( f , g) a f ( x)g( x) dx a g( x) f ( x) dx ( g, f )
b
b
2 . (k f , g) a k f ( x)g( x) dx ka f ( x)g( x) dx
k( f , g)
§9.1 定义与基本性质
数学与计算科学学院
（4）
2）在一般欧氏空间中推广（4）的形式，首先
应证明不等式：
此即,
§9.1 定义与基本性质
( , ) 1
数学与计算科学学院
2. 柯西－布涅柯夫斯基不等式
1) ( ,k ) k( , ), k ,k k2( , )
2) (, ) (, ) (, )
s
s
推广： ( , i ) ( , i )
i 1
i 1
3) (0, ) 0
§9.1 定义与基本性质
数学与计算科学学院
3
.
(f
g,
h)
b
a
f (x)
g( x) h( x) dx
b
b
a f ( x)h( x) dx a g( x)h( x) dx
( f ,h) (g,h)
4 . ( f , f ) b f 2( x) dx a f 2(x) 0, ( f , f ) 0.
1 (, ) ( , )
（对称性）
2 (k, ) k(, )
3 ( , ) , ( , )
（数乘） （可加性）
4 ( , ) 0, 当且仅当 0 时 ( , ) 0. （正定性）
§9.1 定义与基本性质
数学与计算科学学院
§9.1 定义与基本性质
数学与计算科学学院
3. 向量长度的简单性质
1) 0; 0 0
2) k k
3）非零向量 的单位化：
1.
（3）
§9.1 定义与基本性质
数学与计算科学学院
三、欧氏空间中向量的夹角
1. 引பைடு நூலகம்夹角概念的可能性与困难
1）在 R3中向量 与 的夹角 , arccos
第九章 欧氏空间
§1 定义与基本性质 §2 标准正交基 §3 同构 §4 正交变换 §5 子空间
§6 对称矩阵的标准形 §7 向量到子空间的
距离─最小二乘法 §8酉空间介绍 小结与习题
2019/12/29
数学与计算科学学院
§9.1 定义与基本性质
一、欧氏空间的定义 二、欧氏空间中向量的长度 三、欧氏空间中向量的夹角 四、n维欧氏空间中内积的矩阵表示 五、欧氏子空间
3、几何空间中向量的内积具有比较明显的代数性质.
§9.1 定义与基本性质
数学与计算科学学院
一、欧氏空间的定义
1. 定义 设V是实数域 R上的线性空间，对V中任意两个向量
、 , 定义一个二元实函数，记作 ( , ) ，若 ( , ) 满足性质： , , V , k R
且若 f ( x) 0, 则 f 2( x) 0, 从而 ( f , f ) 0.
故 ( f , f ) 0 f (x) 0.
因此，( f , g) 为内积， C(a,b)为欧氏空间.
§9.1 定义与基本性质
数学与计算科学学院
2. 内积的简单性质
V为欧氏空间， , , V , k R
例2．C(a,b) 为闭区间 [a,b] 上的所有实连续函数
所成线性空间，对于函数 f ( x), g( x) ，定义
b
( f , g) a f ( x)g( x) dx
则 C(a,b) 对于（2）作成一个欧氏空间.
（2）
证： f ( x), g( x), h( x) C(a,b), k R
a1,a2, ,an , b1,b2, ,bn
1）定义 ( , ) a1b1 a2b2 anbn 易证 ( , ) 满足定义中的性质 1 ～ 4 .
（1）
所以, ( , ) 为内积. 这样Rn 对于内积 ( , ) 就成为一个欧氏空间.
则称 ( , )为和 的内积，并称这种定义了内积的
实数域 R上的线性空间V为欧氏空间.
注： 欧氏空间 V是特殊的线性空间
① V为实数域 R上的线性空间; ② V除向量的线性运算外，还有“内积”运算;
③ ( , ) R.
§9.1 定义与基本性质
数学与计算科学学院
例1．在 Rn 中，对于向量
所以 ( , ) 也为内积. 从而Rn 对于内积 ( , )也构成一个欧氏空间.
注意：由于对 V , 未必有 (, ) (, )
所以1），2）是两种不同的内积.
从而 Rn 对于这两种内积就构成了不同的欧氏空间.
§9.1 定义与基本性质
数学与计算科学学院
当 n 3 时，1）即为几何空间 R3中内积在直角
坐标系下的表达式 . ( , )即 .
§9.1 定义与基本性质
数学与计算科学学院
2）定义
( , ) a1b1 2a2b2 kakbk nanbn 易证( , )满足定义中的性质 1 ～ 4 .